Прогрессияның бірінші мүшесі мен еселігін табыңдар

Скачать

Сабақтың тақырыбы: §13 Геометриялық прогрессияның алғашқы п мүшесінің қосындысы

Сабақтың міндеті:

Білімділік: геометриялық прогрессияның алғашқы п мүшесінің қосындысы туралы мағлұматтар беру, негізгі ұғымдармен таныстыру;

Тәрбиелік: жан-жақты дамыған, саналы тұлға тәрбиелеу;

Дамытушылық: деңгейлік әртүрлі тапсырмалар беру арқылы пәнге деген қызығушылығын артыру.

Сабақтың типі: жаңа материалды игерту.

Әдісі: түсіндіру, топтардың жарысы.

Көрнекілігі: интерактивті тақта, презентация, оқулық, тапсырмалар жазылған топшамалар.

Барысы:

Ұйымдастыру бөлімі:

• оқушыларды түгелдеу, сабаққа даярлығын қадағалау;
• үй тапсырмасын тексеру:

№208, №211

Шығарылу жолдары:

№208Геометриялық прогрессияныңы бесінші мүшесі 61-ге, ал он бірінші мүшесі 1647-ге тең. Прогрессияның а) екінші мүшесін; ә) сегізінші мүшесін табыңдар.

Бер: b ₅ =61

b ₁₁ =1647

Т/к: b ₂

Ш:

ә)

Жауабы: және 549

№211

Геометриялық прогрессияның бірінші және екінші мүшелерінің айрымы 8-ге, ал екінші және үшінші мүшелерініңі қосындысы 12. Прогрессияның бірінші мүшесі мен еселігін табыңдар.

Бер:

Т/к: b ₁ ; q

Ш:

Жауабы: 1) ; 2)

1) ; 2)

Негізгі бөлім:

Жаңа сабаққа ену.

1 ) «Миға шабуыл»

1. Геометриялық прогрессия дегеніміз не?

Жауабы:екінші мүшесінен бастап есептегенде кез келген мүшесі алдыңғы мүшесін, нөлден өзге қандай да бір тұрақты санға көбейткенде шығатын сандар тізбегі.

2. Геометриялық прогрессияның еселігі деген не және ол қалай белгіленеді?

Жауабы: келесі мүшесін алу үшін алдыңғы мүшесіне көбейтілетін сан.

3. Геометриялық прогрессияның п -ші мүшесінің формуласын кім айтады?

Жауабы:

2) «Мағынаны тану»

Арифметикалық прогрессия

Геометриялық прогрессия

: Белгіленуі

Арифметикалық прогрессия:

Геометриялық прогрессия:

: п -ші мүшесінің формуласы

Арифметикалық прогрессия:

Геометриялық прогрессия:

: Алғашқы п мүшесінің қосындысы

Арифметикалық прогрессия:

Геометриялық прогрессия: ? $\ (S_{n} = \frac{b_{1}(1 - q^{n}) }{1 - q^{n}}$ $\ (S_{n} = \frac{b_{1}(1 - q^{n}) }{1 - q^{n}}$ ^, , q≠1)

Аңыз бойынша, үнді ханзадасы Сирам шахмат ойынын ойлап тапқан өнертапқыштан сыйлыққа не қалайтынын сұрайды. Өнертапқыш шахмат тақтасындағы тор көзге бидай дәнін екі еселеуді сұрайды. Ал шахмат тақшасында 64 тор көз бар. Сонда ханзада 2 ⁶⁴ бидай дәнін беру керек болады. Бірақ сыйлыққа беретін дән жеткіліксіз болады. Ханзада қанша дән беру керектігін енді өзіміз есептеп шығарамыз.

S=1+2+2 ² +2 ³ + . . . +2 ⁶² +2 ⁶³ . /теңдіктің екі жағын екіге көбейтеміз/

2 S=2+2 ² +2 ³ +2 ⁴ + . . . +2 ⁶³ +2 ⁶⁴ /Соңғы теңдіктен алдыңғы теңдікті азайтамыз/

S=2 ⁶⁴ -1/Бидай дәнін елестетсек, ол жер бетінің құрғақ жерлеріне бірдей етіп төгіп тастаса қалыңдығы 9 мм болады. Бұл адамзаттың барлық өмірінде осы уақытқа дейінгі жиналған астық мөлшерінен асып түседі. /

Еселігі q≠1 геометриялық прогрессиның алғашқы п мүшесінің қосындысын табу үшін жоғарыдағы әдісті қолданамыз.

S _п =b ₁ + b ₂ + b ₃ + . . . + b _п (1)

Геометриялық прогрессияның п -ші мүшесінің формуласын қолдансақ, онда (1) теңдікті былай жазуға болады:

S _п =b ₁ + b ₁ q+ b ₁ q ² + b ₁ q ³ + . . . + b _п q ^п-1 (2)

(2) теңдіктің екі жағын мүшелеп q-ге көбейтсек, онда:

qS _п =b ₁ q+ b ₁ q ² + b ₁ q ³ + b ₁ q ⁴ + . . . + b ₁ q ^п (3)

Енді (2) теңдіктен (3 ) теңдікті мүшелеп алсақ, онда:

S _п - qS _п =b ₁ - b ₁ q ^п $= > (1 - q) S_{n} = b_{1}(1 - q^{n})$ $= > (1 - q) S_{n} = b_{1}(1 - q^{n})$ $= > S_{n} = \frac{b_{1}(1 - q^{n}) }{1 - q^{}}$ $= > S_{n} = \frac{b_{1}(1 - q^{n}) }{1 - q^{}}$ ^, , q≠1 (4)

Сонымен, еселігі q≠1 геметриялық прогрессияның алғашқы п мүшесінің қосындысы бірінші мүше және 1 саны мен п- ші дәрежелі еселік айырымына көбейтіндісін 1 саны мен еселік айрымының қатынасына тең болады.

Егер $q >$ $q >$ 1 болған жағдайда, геметриялық прогрессияның алғашқы п мүшесінің қосындысын табу үшін мына формуланы қолданған ыңғайлы:

$S_{n} = \frac{b_{1}(q^{n} - 1) }{q^{} - 1}\, \ q \neq 1$ $S_{n} = \frac{b_{1}(q^{n} - 1) }{q^{} - 1}\, \ q \neq 1$ (5)

Бұл формуланы (4) теңдікті (-1) -ге көбейту арқылы алуға болады.

Едігі кезекте мысылдар шығарып көрейік:

1-мысал: 1+3+3 ² +3 ³ +3 ⁴ +3 ⁵ +3 ⁶ +3 ⁷ өрнегінің қосындысын табайықы.

b ₁ =1, q=3, п =8 және $q > 1$ $q > 1$ , (5) формуланы қолданамыз:

$S_{8} = \frac{b_{1}(q^{8} - 1) }{q^{} - 1} = \frac{1(3^{8} - 1) }{3^{} - 1} = \frac{6561 - 1}{2} = \frac{6560}{2} = 3280$

Жауабы: $S_{8} = 3280$ $S_{8} = 3280$

2-мысал: 6; 2; $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{3}$ ; . . . түрінде берілген геометриялық прогрессияның алғашқы бес мүшесінің қосындысын табыңдар:

b ₁ =6, q=; $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ .

(4) формуламен есептейміз: $S_{5} = \frac{b_{1}(1 - q^{5}) }{1 - q^{}} = \frac{6(1 - \left( \frac{1}{3} \right) ^{5}) }{(1 - \frac{1}{3}) } = \frac{6(1 - \frac{1}{243}) }{\frac{2}{3}} = \frac{6*242*3}{2*243} = \frac{247}{27} = 8\frac{26}{27}$ $S_{5} = \frac{b_{1}(1 - q^{5}) }{1 - q^{}} = \frac{6(1 - \left( \frac{1}{3} \right) ^{5}) }{(1 - \frac{1}{3}) } = \frac{6(1 - \frac{1}{243}) }{\frac{2}{3}} = \frac{6*242*3}{2*243} = \frac{247}{27} = 8\frac{26}{27}$ ^,

Жауабы: $S_{5} = 8\frac{26}{}$ $S_{5} = 8\frac{26}{}$

3) Тапсырмалар орындау:

/ Сыныпты 3 топқа бөлу арқылы, яғни үш қатар бойынша бөлу /

Бағалау парағы

Шешу жолдары:

І деңгей

№222

Бер: а) 10; 20; 40; . . . $\$ $\$ ; ә) -4; 16; -64; . . . ; б) 3; -1; $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ ; . . . ;

Т/к: $\ {а) S}_{10}\ ; ә)$ $\ {а) S}_{10}\ ; ә)$ $S_{7}; \ б) S_{}$ $S_{7}; \ б) S_{}$

Ш:

а) $b_{1} = 10, q = 2, \$ $b_{1} = 10, q = 2, \$ n=10

$S_{10} = \frac{b_{1}(1 - q^{10}) }{1 - q^{}} = \frac{10(1 - 2^{10}) }{1 - 2} = \frac{10(1 - 1024) }{- 1} = 10230$

ә) $\ b_{1} = - 4, q = - 4, \$ $\ b_{1} = - 4, q = - 4, \$ n=7

$S_{7} = \frac{b_{1}(1 - q^{7}) }{1 - q^{}} = \frac{- 4(1 - ( - 4) ^{7}) }{1 - ( - 4) } = \frac{- 4(1 + 16384) }{1 + 4} = \frac{- 4*16385}{5} = - \frac{65540}{5} = - 13108$

б) $b_{1} = 3, q = - \frac{1}{}, \$ $b_{1} = 3, q = - \frac{1}{}, \$ n=8

$S_{8} = \frac{b_{1}\left( 1 - q^{8} \right) }{1 - q^{}} = \frac{3(1 - ({- \frac{1}{3}) }^{8}) }{1 - \left( - \frac{1}{3} \right) } = \frac{3\left( 1 - \frac{1}{6561} \right) }{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3\left( \frac{6561 - 1}{6561} \right) }{\frac{3 + 1}{3}} = \frac{3*\frac{6564}{6561}}{\frac{4}{3}} = \frac{6564*3}{4*2187} = \frac{1641}{729}$

Жауабы:а) $\ S_{10} = 10230$ $\ S_{10} = 10230$ ; ә) $\ S_{7}$ $\ S_{7}$ $= - 13108$ $= - 13108$ ; б) $\ S_{8}$ $\ S_{8}$ .

ІІ деңгей

№223

І топ

$a) \left\{ a_{n} \middle \right\}$ $a) \left\{ a_{n} \middle \right\}$ геометриялық прогрессиясында $а_{8} = 2, 56\ жq = 2$ $а_{8} = 2, 56\ жq = 2$ .

1. Прогрессияның бірінші мүшесін;
2. Прогрессияның алғашқы сегіз мүшесінің қосындысын табыңдар.

Бер: $\ \left\{ a_{n} \middle \right\}$ $\ \left\{ a_{n} \middle \right\}$ геометриялық прогрессия

$а_{8} = 2, 56$ $а_{8} = 2, 56$ , $q = 2$ $q = 2$

Т/к: 1) а _1, 2) $\ S_{8}$ $\ S_{8}$ , 3) $\ S_{6}$ $\ S_{6}$ ,

Ш:

1) $a_{8} = a_{1}*q^{n - 1}. a_{1} = \frac{a_{8}}{q^{n - 1}} = \frac{2. 56}{2^{7}} = \frac{2. 56}{128} = 0. 02$ $a_{8} = a_{1}*q^{n - 1}. a_{1} = \frac{a_{8}}{q^{n - 1}} = \frac{2. 56}{2^{7}} = \frac{2. 56}{128} = 0. 02$

2) $s_{8} = \frac{a_{1}(1 - q^{n}) }{1 - q} = \frac{0. 02(1 - 2^{8}) }{1 - 2} = \frac{0. 02*( - 255) }{- 1} = \frac{- 5. 1}{- 1} = 5. 1$ $s_{8} = \frac{a_{1}(1 - q^{n}) }{1 - q} = \frac{0. 02(1 - 2^{8}) }{1 - 2} = \frac{0. 02*( - 255) }{- 1} = \frac{- 5. 1}{- 1} = 5. 1$

Жауабы: $\ {1) a}_{1} = 0. 02$ $\ {1) a}_{1} = 0. 02$ , $\ {\ \ 2) s}_{8} = 5. 1,$ $\ {\ \ 2) s}_{8} = 5. 1,$

ІІ топ

№223

Ә) $\left\{ y_{n} \right\}$ $\left\{ y_{n} \right\}$ геометриялық прогрессияның бесінші мүшесі 81-ге және еселігі $\frac{3}{4} - ке\$ $\frac{3}{4} - ке\$ тең. 1

1) Прогрессияның бірінші мүшесін;

2) Прогрессияның алғашқы бес мүшесінің қосындысын табыңдар.

Бер: $\left\{ y_{n} \right\}$ $\left\{ y_{n} \right\}$

$y_{5} = 81, \ \ q = \frac{3}{4}$ $y_{5} = 81, \ \ q = \frac{3}{4}$

Т/к: 1) $\ y_{1}; 2) S_{5}$ $\ y_{1}; 2) S_{5}$

Ш:

$y_{5} = y_{1}*q^{n - 1}; \ \ \ \ \ \ y_{1} = \frac{y_{5}}{q^{n - 1}} = \frac{81}{{(\frac{3}{4}) }^{4}} = \frac{81}{\frac{81}{256}} = \frac{81*256}{81} = 256$

$S_{5} = \frac{y_{1}(1 - q^{n}) }{1 - q} = \frac{256(1 - ({\frac{3}{4}) }^{5}) }{1 - \frac{3}{4}} = \frac{256(1 - \frac{243}{1024}) }{\frac{1}{4}} = \frac{256(\frac{1024 - 243}{1024}) }{\frac{1}{4}} = \frac{256*\frac{781}{1024}}{\frac{1}{4}} = \frac{\frac{781}{4}}{\frac{1}{4}} = 781$

Жауабы: $\ 1) y_{1} = 256, \ \ 2) S_{5} = 781$ $\ 1) y_{1} = 256, \ \ 2) S_{5} = 781$

ІІІ топ

№223

$a) \left\{ a_{n} \middle \right\}$ $a) \left\{ a_{n} \middle \right\}$ геометриялық прогрессиясында $а_{8} = 2, 56\ және\ q = 2$ $а_{8} = 2, 56\ және\ q = 2$ .

1. Прогрессияның бірінші мүшесін;
2. Прогрессияның алғашқы алты мүшесінің қосындысын табыңдар.

Бер: $\ \left\{ a_{n} \middle \right\}$ $\ \left\{ a_{n} \middle \right\}$ геометриялық прогрессия

$а_{8} = 2, 56$ $а_{8} = 2, 56$ , $q = 2$ $q = 2$

Т/к: 1) а _1, 2) $\ S_{6}$ $\ S_{6}$ ,

Ш:

1) $a_{8} = a_{1}*q^{n - 1}. a_{1} = \frac{a_{8}}{q^{n - 1}} = \frac{2. 56}{2^{7}} = \frac{2. 56}{128} = 0. 02$ $a_{8} = a_{1}*q^{n - 1}. a_{1} = \frac{a_{8}}{q^{n - 1}} = \frac{2. 56}{2^{7}} = \frac{2. 56}{128} = 0. 02$

2) $\ S_{6} = \frac{a_{1}(1 - q^{n}) }{1 - q} = \frac{0. 02(1 - 2^{6}) }{1 - 2} = \frac{0. 02*( - 63) }{- 1} = \frac{- 80. 64}{- 1} = 80. 64$ $\ S_{6} = \frac{a_{1}(1 - q^{n}) }{1 - q} = \frac{0. 02(1 - 2^{6}) }{1 - 2} = \frac{0. 02*( - 63) }{- 1} = \frac{- 80. 64}{- 1} = 80. 64$

Жауабы:1) $\ a_{1} = 0. 02$ $\ a_{1} = 0. 02$ , 2) $S_{6} = 80. 64$ $S_{6} = 80. 64$

ІІІ деңгей

№225

5; $\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{6}}\mathbf{; \ldots}геометриялық\ прогрессияны$ $\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{6}}\mathbf{; \ldots}геометриялық\ прогрессияны$ ң алғашқы а) үш мүшесінің; ә) алты мүшесінің; б) төрт мүшесінің қосыныдысын табыңдыр.

Бер: $\ b_{1} = 5$ $\ b_{1} = 5$ , $b_{2 =}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{6}}$ $b_{2 =}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{6}}$

Т/к: а) $S_{3}$ $S_{3}$ ; ә) $\ S_{6}; \ \ б) S_{4}$ $\ S_{6}; \ \ б) S_{4}$

Ш:

а) $q = \frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{6}}}{5} = \frac{1}{6}$ $q = \frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{6}}}{5} = \frac{1}{6}$

$S_{3} = \frac{b_{1}(1 - q^{n}) }{1 - q} = \frac{5(1 - ({\frac{1}{6}) }^{3}) }{1 - \frac{1}{6}} = \frac{5(1 - \frac{1}{216}) }{1 - \frac{1}{6}} = \frac{5*\frac{215}{216}}{\frac{5}{6}} = \frac{5*215*6}{216*5} = \frac{215}{36} = 5\frac{35}{36}$

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс