Функцияның кризистік нүктелері

Экономика саласын таңдаған оқушылар үшін математика пәнінен эллективті курс
бағдарламасы

Габитова Зарина Маратқызы
СҚО, Уәлиханов ауданы, Көктерек ауылы,
Елтай орта мектебі
математика пәнінің мұғалімі

ТҮСІНІК ХАТ

Мектепте оқитын оқушыларды математикаға деген көзқарас бойынша бірнеше
топтарға бөлуге болады: математиканы тек мектепте оқып, әрі қарай өмірде
қолданбайтын оқушылар тобы; болашақта математикамен байланысты мамандықты
таңдап алатын оқушылар тобы.
Бұл бағдарлама математиканы өмірде қолданатын, әрі басқа мамандықтарға
қажет ететін жаратылыстану-математика бағытында оқитын 10 сыныптар үшін
ұсынылып отыр. Экономика саласын таңдаған оқушыларға қаржы заңдарын білу
қажет. Қаржы заңдарын дұрыс меңгермеген, әрі есептеуді баяу жүргізетін
оқушы болашақта жақсы маман иесі болатындығына күмән келтіріледі.
Ұсынылып отырған бағдарламада жас ұрпақтың қоғамдық өміріндегі экономикалық
тәрбиенің мәні мен маңызын ашып көрсетіп, математикадан сыныптан тыс
жұмыстарда экономикалық тәрбие берудің нақтылы жолдарын анықтау мәселелері
қарастырылады.
Қолданбалы курсы оқушыға экономикалық есепті математика тіліне аударған
қандай да бір гипотезаны дәлелдеуге мүмкіндік береді. Сонымен қатар
ұсынылып отырған курс:
• оқушылардың математикалық білімнің өмірдегі қолданылуымен таныстыру
арқылы математикалық білім сапасын арттыруға;
• оқушылардың өмірдінде кездесетін экономикалық міндеттерін шешуде;
• оқушылардың ойлау қабілеттерін дамытуға, өз бетінше тұжырымдай алуға
жағдай жасау, мүмкінділік жасаумен сипатталады.
Берілген курс 10 сыныпқа 34 сағатқа (аптасына 1 рет) есептелген.

Мақсаты: математикадан алған теориялық білімдерінің экономикадағы
қолданылуымен оқушыларды таныстыру. Оқушылардың есептеу мәдениетін
қалыптастыру.

Міндеттері:
• математиканың білім қолданылымы айқын көрінетін экономикалық
тақырыптармен таныстыру;
• экономикалық есептердің түрлерімен таныстыру;
• қоршаған орта туралы көзқарастарын математикалық тұрғыдан дамыту;
• математикалық білімдерін экономикалық есептеуде қолдана алу;
• экономикалық мәтінді есептер бойынша оқушыларға білімді меңгертудегі
математиканың рөлін көрсету;
• белгілі бір іс-әрекетті жүзеге асыру арқылы оқушылардың ойлауын толық
тұжырымдай алуға тәрбиелеу;
• экономика, өндірісті дамыту үшін ғылым прогресіне қажеттілік туралы
түсініктерін қалыптастыру;
• экономикамен байланысты мамандыққа бағдар беру.

Курсқа қойылатын талаптар
қолданбалы курс лекция және семинар сабақтары түрінде өткізіледі. Әсіресе,
экономикалық мағынасы бар практикалық есептерге мән беріледі.
• Зерттеу жұмыстары, баяндамалар беріледі. Оқу курсының бақылауы сынақ
сабақтар, тест және конференциялар түрінде жүргізіледі.

Оқушылардан күтілетін нәтиже
қолданбалы курсын оқу кезінде оқушылар:
• микрокалькуляторды пайдаланып есептей алу;
• процент, берілген санның процентін таба білу;
• экономикалық мәселелерді шешетін математикалық білімді қолдана алу;
• математикалық модельдердің негізгі принциптерін қолдана алу;
• өмір жағдайларында математикалық әдістерді қолдана алу;
• өздігінен зерттеу жұмысын ұйымдастыра алу;
• практикалық есептерді шығармашыл есептей алу қажет.

Бағдарламаның мазмұндық бөлігі
Кіріспе
Жалпы түсінік. Мақсаты.
Микрокалькулятор
Микрокалькулятор. Микрокалькулятордың қолданылуы.
Пайыз. Пропорция
Пайыз. Берілген санның поцентін табу. Пайыздарға берілген есептер.
Пропорцияның белгісіз мүшесін табу.
Қарапайым экономикалық сөз есептер
Экономикалық сөз есептер.
Функция.
Функция. Функциялардың экономикадағы қолданулары.
Туынды
Туындының экономикалық мағынасы. Туындының экономикада қолдану. Функцияның
икемділік қасиеттері.
Интеграл
Интеграл. Интеграл түрлері. Анықталған интегралдың экономикалық мағынасы
Анықталған интеграл ұғымын экономикада қолдану.
Дифференциалдық теңдеулер
Бір айнымалы функцияның икемділік ұғымы. Экономикалық зерттеулерде
кездесетін кейбір екі айнымалы функциялар.
Зерттеу жұмысы
Практикалық сабақ. Жоба қорғау
Қорытынды сабақ

Қолданылатын әдебиеттер тізімі:
1. «Алгебра және анализ бастамалары», оқу құралы, 10-11 сыныптары
2. Түнғатаров Ә., «Экономикалық мамандықтарға арналған жоғары математика
курсы»
3. «Экономикалық-математикалық модельдеу»
4. Айдос Е. «Жоғары математика»
5. Асқарова Ж. «Экономикадағы математикалық әдістер»
6. Есептеулер жинақтары

Күнтізбелік – тақырыптық жоспарлау

|№ | Тақырыбы |Сағат |Мер |
| | |саны |зімі |
|1 |Кіріспе (әңгіме сабақ) |1 | |
|2 |Микрокалькулятор. Микрокалькулятормен есептеу |1 | |
|3 |Пайыз. Пропорция |1 | |
|4 |Пайыздарға берілген есептер. |1 | |
| |Пропорцияның белгісіз мүшесін табу. | | |
|5 |Қарапайым сөз есептердегі экономика |1 | |
|6 |Қарапайым сөз есептердегі экономика. Практикалық |1 | |
| |сабақ. (оқушылардың есептері) | | |
|7-8 |Функция. Функциялардың экономикадағы қолданулары |2 | |
| |(сызықтық) | | |
|9-10 |Функциялардың экономикадағы қолданулары |2 | |
| |(рационал, логарифмдік, т.б) | | |
|11 |Шектер және үзіліссіздік. Пайызды үзіліссіз қосу |1 | |
| |есептері | | |
|12 |Туынды. Туындының экономикалық мағынасы |1 | |
|13-14 |Туындының экономикада қолдану. Функцияның |2 | |
| |икемділік қасиеттері | | |
|15-16 |Функцияның кризистік нүктелері |2 | |
|17 |Туынды ұғымын экономикада қолдану |1 | |
|18 |Сынақ сабақ |1 | |
|19 |Интеграл. Интеграл түрлері |1 | |
|20 |Анықталған интегралдың экономикалық мағынасы |1 | |
|21-22 |Анықталған интеграл ұғымын экономикада қолдану |2 | |
|23 |Анықталған интегралдың экономикада қолдануын |1 | |
| |Кобба-Дуглас функциясы арқылы шығару | | |
|24 |Сынақ сабақ |1 | |
|25 |Дифференциалдық теңдеулер |1 | |
|26-27 |Бір айнымалы функцияның икемділік ұғымы |2 | |
|28 |Экономикалық зерттеулерде кездесетін кейбір екі |1 | |
| |айнымалы функциялар | | |
|29 |Функцияның икемділігін график арқылы көрсету |1 | |
|30 |Сынақ сабақ |1 | |
|31 |Жоба жұмыстарына дайындық жұмысы |1 | |
|32-33 |Практикалық сабақ. Жоба жұмысы |2 | |
|34 |Қорытынды сабақ |1 | |

1-сабақ. Кіріспе
Ғылымдар ішінде математика ерекше орын алады. Математика-нақты өмірдің
сандық қатыстары мен кеңістіктегі түрлері туралы ғылым.
Математика басқа ғылымдарға табиғат құбылыстары арасындағы түрлі қатыстарды
өрнектеу үшін, сандар мен символдар тілін ұсынады. Бірақ математиканы
қолданбас бұрын биолог, физик немесе экономист зерттелетін құбылыс мәнін
терең түсінуі қажет, оны математикалық түрде өңдеуге болатындай етіп
бөліктеуі керек.
Математикадағы зерттеу обьектілері – қоғам мен, табиғат құбылыстарын
сипаттау үшін құрылған логикалық модельдер. Математика осы модельдер
элементтеррінің арасындағы қатыстарды зерттейді.
Бір ғана математикалқы модель өзінің абстракциялылығын әртүрлі процестерді
сипаттай алады. Мысалы, бір дифференциалдық теңдеу радтоактивті ыдырауы да,
дене температурасының өзгерісін сипаттайды.
Экономикалық есептердің қайсысын да алмасаң, математикалық модельдерсіз
шығару мүмкін емес.

2 сабақ. Микрокалькулятор. Микрокалькулятормен есептеу
Математикада, экономикада болмасын,есептеуді шапшаң орындау үшін
электрондық есептеу машиналары пайдалынады. Олардың ішіндегі қарапайымы –
микрокалькулятор.
Кез келген микрокалькулятордың бет панелінде клавиатура және экран
орналасқан. Клавиатурасында 0-ден 9-ға дейінгі цифрлар, арифметикалық төрт
амал таңбасы, теңдік таңбас, т.б бар.
Қазіргі жаңа заманда микрокалькулятордың сан алуан түрлері бар. Олар
арифметикалық амалдардың түрлісін орындайды.
Микрокалькуляторлар бүтін сандармен және ондықбөлшектермен амалдар
рындайды. Микрокалькуляторға бүтін сандарды және ондық бөлшектерді ендіру
олардың жазылуына сәйкес орындалады. Егер микрокалькуляторға теріс сан
ендірукерек болса, онда көптеген микрокалькуляторда «-» таңбалы клавишаны
пайдаланады, бұл экономикада кеңінен қолданылады.
Микрокалькуляторда екі санға арифметикалық бір амал рындау үшін оған
бірінші санды ендіріп, тиісті амалдың таңбасы бар клавишаны басу керек,
содан соң екінші санды ендіріп, теңдік таңбасы бар клавишаны басу керек.
Нәтижесі экранда көрінеді.

Есептер шығару
1. Микрокалькуляторға мына сандарды ендіріп, жай 0,1 дәлдікпен есепте:
; ; 14,265 : 478,2
2. Жанар жылына 384658 теңге жалақы алады. Ай сайын 0,1( табыс салығын
төлейді. Есептеу керек:
а) Жанар жылына неше теңге табыс салығын төлейді;
б) Жанар ай сайын қолына неше теңге жалақы алады?
Микрокалькулятормен есепте.
3. Микрокалькулятордың көмеген отбасы бюджетін есепте.

3сабақ. Пайыз. Пропорция
Күнделікті өмірде әртүрлі шамалардың жүздік үлестерін жиі кездестіреміз,
әрі табыстың үлесін тапқымыз келеді немесе жұмыс көлемін есептегіміз
келеді. Мұндай септеулерді жүргізу барысында пайызды қолданған тиімді.
Экономикада пайыз көп қолданылады. Бөлшектің жүзден бір бөлігін пайыз
(процент) деп атаймыз.
Пайыз (процент) сөзі латын тілінен аударғанда – «жүздік» немесе «жүзден»
деген мағынаны береді.
Пайыз Үндістанда V ғасырда белгілі болған, ал Еуропада ХVІ ғасырда
қолданыла бастады.
Пайызды Римде кең қолданған. Римдіктер ақшаны пайыз деп атаған. Римдіктер
арқылы Еуропа елдері пайызбен танысқан. Көп уақытқа дейін пайызды әрбір 100
бірлікке келетін кіріс пен қарыз деп түсінген.
Пайыз сөзінің орнына ( белгісі қолданылады және ол белгі санан кейін
қолданылады. Пайызды санмен өрнектеу үшін пайыз белгісін алып тастап, пайыз
санын 100-ге бөледі. Санның 1(-ы белгілі болған жағдайда, санды (шаманы)
табу үшін 1(-ды беретін санды 100-ге көбейту керек.
Мысал қарастырайық, Жұмысшы айына 23000 теңге табыс алатын. Осы жылдан
бастап оның табысы 27600 теңге болды. Жұмысшының табысы неше пайызға өсті?
Шешуі: Жұмысшының табысына неше теңге қосылғанын анықтау керек. Кейін ғана
пайызын есептеп аламыз. Жауабында, жұмысшының табысы 20(-ға өсті.
Екі санның бөліндісі сол сандардың қатынасы деп аталады, ал екі қатынастың
теңдігі пропорция деп аталады.
Мысал, сүттен алынатын ірімшіктің массасы сүттің массасының 8(-індей. 200
кг сүттен неше кг ірімшік алынады?
Шешуі: 200кг сүттен алынатын ірімшіктің массасы белгісіз (айнымалы),
сондытан оны х деп белгілейміз.
200 кг-100(
х кг - 8(
200/х(100/8; Жауабы, сүттен алынатын ірімшіктің массасы 16 кг.

Есептер шығару

1. 1л бензиннің массасы 690г, ал оның 1л керосинмен қоса алғандағы
массасы 1485г. 1л бензиннің масасы 1л керосиннің массасының қанша
пайызын құрайды?
2. Банк салымшыларға қысқа мерзімді салым бойынша 3,5( жылдық сыйақы
төлейді (салым жыл сайын 3,5(-ға өсіп отырады). Бір жылдан соң салымшы
207000 тг алса, ол банкке алғашқыда қанша теңге салған?
3. Тауар бағасы 100(-ға өсті. Тауар бағасы қанша есе өсті?
4. Жалақы 30(-ға көтерілсе, 1,3 есе өсті деп айтуға бола ма?
5. Ұялы телефон 21000тг тұрады. Бұл баға 8(-ға төмендеді. Кейін баға тағы
15(-ға төмендеді. Екінші рет төмендетілген соң ұялы телефонның бағасы
қандай болды?

4сабақ. Проценттерге берілген есептер. Пропорцияның белгісіз мүшесін табу

1. Калькулятордың бағасын алдымен 25%-ке, ал содан соң тағы да 65%-ке
арттырды. Калькулятордың бағасы қанша есе өсті?
2. Калькулятордың бағасын алдымен 25%-ке, ал содан соң тағы 65%-ке
арттырды. Калькулятордың бағасы қанша есе өсті?
3. Пропорцияның алғашқы үш мүшесінің қосындысы 58-ге тең. Үшінші мүшесі
бірінші мүшесінің -сін, екіншісі -ін құрайды. Пропорцияның
төртінші мүшесін табыңыз.
4. 1999 жылғы санақ қорытындысы бойынша елімізде 14953000 адам тұрған. Оның
53,4(-ын қазақтар, 30(-ын орыстар, 3,7(-ын украиндер, 2,5(-ын өзбектер,
2,4(-ын немістер, 1,4-ын ұйғырлар, 0,7(-ын кәрістер және 5,9(-ын басқа
ұлттар құраған. 19999 жылғы санақ қорытындысы бойынша елімізде аталған
ұлттардан қанша адам тұрған?
5. Айналып тұрған доңғалақтың бұрылу бұрышы уақыт квадратына пропорционал.
Доңғалақ бірінші рет 8 секундта бір айналып шықты. Айнала бастағаннан 48 с
өткеннен кейін доңғалақтың бұрыштық жылдамдығы қандай еді?
6. 40 г тұзы бар ерітіндіге 200 г су қосысылды да, оның концентрациясы 10(
кеміді. Ерітіндіде әуелде қанша су бар еді және концентрациясы қандай еді?
7. Екі кесек жездің массасы 30кг. Бірінші кесекте 5кг, екіншісінде 4 кг
таза мыс бар. Егер екінші кесектегі мыс біріншідегіден 15( артық болса,
бірінші кесектегі мыс неше пайыз (процент) болады?

5-6 сабақ. Қарапайым сөз есептердегі экономика

1. Жинақ кассасынан ақша сатушы әуелде өз ақшасының бөлігін алып,
екінші рет қалған ақшасының бөлігін және 640 теңге алды. Ақшасын екі
рет алғаннан кейін жинақ кітапшасында барлық салған ақшасының бөлігі
қалды. Басында салған ақшаның мөлшері қандай еді?

8. Кварталда 8 көпқабатты уй салынды. Олардың орташа биіктігі 38 м. Егер
сегіз үйдің төртеуінің орташа биіктігі 29 м болса, онда қалған төрт
үйдің орташа биіктігі қандай болғаны?
Бірінші жұмысшы жұмысты 10 күнде бітіреді, ал екінші жұмысшы сол жұмысты 15
күнде бітіре алады. Екеуі бірлесіп, осы жұмысты неше күнде бітіреді
9. Салымшы жинақ кассадан салынған ақшасының алдымен бөлігін,
келесі жолы қалған ақшасының бөлігін және 640 теңге алды. Содан
кейін жинақ кітапшасында барлық ақшасының бөлігі қалды.
Алғашқыда салған ақшасы қанша теңге еді?

10. Үш жұмысшының жалпы табысы 4080 теңге. Бірінші және екінші жұмысшының
табыстары қатынасындай, ал үшінші жұмысшының табысы бірінші
жұмысшының табысының құрайды. Әр жұмысшының табысын анықтаңыз.

11. Үш санның екіншісі біріншісінен қанша үлкен болса, үшіншісі
екіншісінен сонша үлкен. Егер екі кіші сандардың көбейтіндісі 85-ке
тең, ал екі үлкен сандардың көбейтіндісі 115-ке тең болса, сол үш
санды табыңыз.
12. Егер берілген саннан оның алтыдан бір бөлігін азайтып, осы айырмаға
санның бестен бір бөлігін қоссақ, онда 9,3 саны шығады. Берілген санды
табыңыз.

7-8сабақ. Функция ұғымы. Экономикада функцияның қолданылуы (сызықтық)

D қандай да бір сандар жиыны болсын. Егер әрбір х € D санына толық
анықталған жалғыз у санын сәйкес қоятын f ережесі көрсетілсе, онда D
жиынында анықталған сандық мәнді функция берілді дейді және оны y=f(x) x€D
деп белгілейді. D – функцияның анықталу аймағы, ал Е={y€R: y=f(x) x€D} –
функцияның мәндер жиыны деп аталады. Бұл жағдайда Е жиыны D жиынының f
функция бойынша алынған бейнесі деп аталады. Функциялар әр түрлі болады.
Біз сызықтық функцияны қарастырамыз.

Функцияларды әр түрлі тәсілдермен беруге болады.

1.Кестелік тәсіл. Функция кесте түрінде берілуі мүмкін. Экономикада сұраныс
пен ұсыныс тақырыбын өткен кезде функция қолданылып, кесте түрінде
беріледі. Сұраныс пен ұсыныстың өзгеруін көрсету үшін ең алдымен кесте
толтырылуы қажет.

Мысал. Күніне сүтті 5 литрден сатады. Егер күн сайын сүтке деген сұраныс
екі есе артатын болса, күн сайынғы сұранысты көрсетіңдер.

х-күндер, у – сұраныстың өзгеруі; у=2x
|х |1 |2 |3 |4 |5 |6 |
|у |5 |10 |15 |20 |25 |30 |

2. Графиктік тәсіл. Функцияның графиктері функцияға байланысты. Сұраныс пен
ұсыныстың графигін біздің есепте түзу арқылы көрсетуге болады.

у

сұраныстың өзгеруі

0. х

3. Аналитикалық тәсіл. Аналитикалық тәсіл экономикада көп қолданылмайды.
Бұл тек қана есептердің шешімін табуда қолданылады.

Есептер шығару

1. Функцияларының анықталу аймағын табу керек:

1. y=arcsin(2x+1)

2. y=сos(х-π/3)

3. y=2+4/х-3

1. f(x)=x+1/x функциясының -1; ½; 10 нүктелеріндегі;

2. f(x)=x2+2x функциясының –π/4; 0; 5π/12 нүктелеріндегі мәндерін тап.

3. Функциялардың графиктерін сал:

3.1 y=1/х-3

3.2 y=1+2sinx

3.3 y=2+1/x

9-10сабақ. Экономикада функцияның қолданылуы (бөлшек рационал, дәрежелі,
көрсеткіштік, логорифмдік)

Экономикалық теория мен тәжірибеде сызықтық
функциялардан бастап зерттеліп отырған заттың әр түрлі уақыттағы
жағдайларын байланыстыратын рекуренттік катынастар арқылы
анықталатын белгілі алгоритмдермен құрылған функцияларға
дейінгі көптеген функциялар кеңінен пайдаланылады. Онда
сызықтық функциялармен катар бөлшек рационал, дәрежелі
(квадраттық, кубтық және т.б.), көрсеткіштік, логорифмдік және
басқа да функциялар қолданылады. Бірқатар экономикалық
құбылыстардың периодтылығы, өзгеру зандылығы тригонометриялық
функцияларды қолдануға мүмкіндік береді. Экономикада өте жиі қолданылатын
кейбір функцияларды келтіріп кетейік.
1. Сұраным, пайдаланым және ұсыным функциялары жеке бұйымдарға немесе
ұсыныстарға сұраным, пайдаланым және ұсыным көлемдерінің (мөлшерлерінің) әр
түрлі жағдайлардан (мысалы, бағадан, түсімнен, т.б.) калай тәуелділігін
көрсетеді. Мысалы, заттың бағасы. Р тенге болса , онда белгілі бір шарттар
орындалғанда сол затқа сұраным q оның бағасына тәуелді. яғни q=f(p)-сұраным
функциясы болады. Кей жағдайларда бағаны сұранымға тәуелді етіп талдау
жүргізуге, яғни p=f(q) функциясын зертеуге тура келеді.
2. Өндіріс функциясы өндіріс нәтижелерінің оларға жұмсалатын
өндіріс күштерінен, себептерден қалай тәуелділігін көрсетеді.
3. Шығын функциясы (өндіріс функциясыныі бір түрі) өндіріс шығындарының
өндіріс нәтижелерін (өнімдеріне) қалай тәеулділігін көрсетеді. Мысалы, егер
х өндірілетін өнім мөлшері (көлемі) болғанда зат өндірілгенде кететін жалпы
шығынды К(х) арқылы белгілесек, онда К(х)/х функциясын орта немесе меншікті
шығын функциясы деп атайды. Ол Р(х) арқылы белгіленеді, яғни Р(х)=К(х)/х
4. Түсім функциясы (өндіріс функциясының дербес түрі) өнім көлемінің оны
шығаруға жқмсалатын шикі заттардан, жқмыс күшінен қалай тәуелділігін
береді. Мысалы, егер q мөлшерде зат сатылса, онда осы сатылған зат
көлемінің әр заттың бағасына көбейтсек, жалпы түсім шығады, яғни U=p∙q =
q∙f(q) функциясы пайда болады. Бұл функцияны жалпы түсім функциясы деп
атайды.
5. Пайдалылық (басымдылық беру) функциялары кең мағынада іс нәтижесінің осы
істі жүргізу деңгейіне қалай тәуелділігін көрсетеді.

Есептер шығару

1. Функцияның ең кіші оң периодын тауып, графигін сал:
1. y=sin2x
2. y=cosx/3
3. y=3tg1,5x
2. Өз сыныбында қандай да бір затты алып, оны достарына ұсын. Сұраныс пен
ұсынысты зерттеп, графигін сал.

11сабақ. Шектер және үзіліссіздік. Пайызды үзіліссіз қосу есептері
Егер y=f (x) функциясы:
1. х0 нүктесінде анықталған;
2. х0 нүктесінің қандай да бір Uõ (х0) маңайында анықталған;
3. lim x→0 f (x) = f (x0) теңдігі орындалса, онда ол х0 нүктесінде
үзіліссіз функция деп аталады.
Бұл анықтаманы кванторларды пайдаланып былайша жазуға болады:
f (x) функциясы x0 нүктесінде үзіліссіз,
lim x→x0 f(x)=f (lim x→x0 x)
Бұдан, егер функция үзіліссіз болса, онда функция астында шекке өтуге
болатынын, басқаша айтқанда, үзіліссіз функция мен шек таңбаларын өзара
орын ауыстыруға болатынын көреміз.
Мысалы, lim sinx= lim sinx=sinπ/2=1 (sinx функциясының кез келген х€R
нүктесінде үзіліссіз екені төменде көрсетіледі).
y=f(x) функциясының х0 нүктесінде үзіліссіз болуы үшін, оның х0 нүктесінің
оң жағында да, сол жағында да үзіліссіз болуы қажетті және жеткілікті:
lim x→x0+ f(x)= f(x0)= lim x→x0- f(x)
f(x) функциясының х0 нүктесінде үзіліссіз болу анықтамасын
lim x→x0 [f(x) - f(x)]=0
lim ħ →0 [f(x0 + ħ ) - f(x0 )] = 0
lim ∆x →0[f(x0 + ∆x ) - f(x0 )]=0
lim ∆x →0∆у=0
жіне т.с.с. түрлерінде де жазады. Мұнда ∆x=х - x0=һ саны аргументтің x0
нүктесінде өсімшесі, ∆у= f(x) - f(x0)= f(x0 +һ)- f(x0)= f(x0+∆x)- f(x0)
саны функцияның x0 нүктесіндегі өсімшесі деп аталады.
Экономикада нарықта болып жатқан өзгеріс жағдайды үзіліссіздік арқылы
көруге болады.
Мәселен, нарықта айдың алғашқы мен соңында болған өзгерісі көрсетілген
(текті үзілісті функция арқылы)

Б
А – айдың басы

С
С – соңында

0

Есептер шығару

1. Көрсетілгендердің шектерін тап:
1. limх→-25х2 +13х+6/3х2 +2х-8
2. limх→4 3х2-10х-8/4х2+6х-64
1.3limх→∞7х4 +2х3 +5/6х4 +3х2-7х

2. Берілген функциялардың үзіліссіздігін зертте, графигін сал:
x+4, х<-1
2.1 f(x)= х2+2, -1≤х<1
2х, х≥1

sinx, х<0
2.2 f(x)= х, 0≤х≤2
0, х>2

3. f(x)=cos2x-cos32x және φ(x)=3x2-5x3 функциялары х→0 ұмтылғанда,
реттері бірдей ақырсыз кішкене болатынын дәлелдеу керек.

12сабақ. Туындының экономикалық мағынасы

Өндірілген өнім мөлшерінен уақыт бойынша туындының еңбек өнімділігін
беретінін көрдік. Енді туындының экономикалық мағынасын көрсететін тағы бір
ұғымды береміз.
Өндіріс шығындарын өндірілетін өнімнің мөлшері х-ке тәуелі функция
ретінде карастырамыз. Өнімнің өсімі ∆х болса, оңі өндіріс шығынының
өсімшесі ∆у, ал өнім бірлігіне жұмсалатын өндіріс шығынының орта өсімшесі
∆у /∆х болады. Сонда туынды у'= lim∆х →0∆у/∆х
өндірстің шекті шығынын береді және косымша өнімнің бірлігіне жұмсалатын
қосымша шығынды жуықтап сипаттайды. Шекті шғындар өндіріс күші (шығарылатын
өнім көлемі) х-ке тәуелді және тұрақты емес тек айнымалы өндіріс
шығындарымен (шикізат, жанармай және т.б.) анықталады. Осы сияқты шекті
табыс, шекті өнім, шекті пайдалылық, шекті өнімділік және баска шекті
шамаларды қарастыруға болады.
Шекті шамалар экономикалық ұгымдардың өзгеру барысын сипаттайды.
Туынды кайсыбір экономикалық объектінің басқа бір объектіге карағанда
өзгеру жылдамдығын анықтайды. Кейбір жағдайларда экономикалық
көрсеткіштердің үзіліссіз еместігіне қарамастан шекті шамаларды ұтымды
пайдалануға болады. Мысал ретінде монополистік және бәсекелік рынок
жағдайындағы орта және шекті табыстардың байланысын қараймыз. Өнімді
сатқаннан шыққан жиынтық табысты өнім бірлігінің бағасымен өнім
санының көбейтіндісі ретінде анықтауға болады:

Монополистік нарық Еркін
бәсекелік нарық

r = pq, r — жиынтық табыс, р-өнім бірлігінің бағасы, q —өнім саны.
Монополия жағдайында бір немесе бірнеше фирма белгілі саладағы өнім
ұсынысын, демек өнім бағасын толығымен қадағалайды. Әрине, бағаның өсуіне
байланысты өнімге деген сұраныс азайады. Сұраныстың азаюы р = аq + в, (а
< 0, в > 0) кемімелі функциясы арқылы берілсін делік. Мұндағы р =
р(q)~өнім саны q -ға тәуелді сұраныс мөлшері. Соңда сатылған өнімнен
түсетін жиынтық табыс r = (аq + в)q=аq2 + вq, өнім бірлігінен түсетін
орта табыс rор = r/q = аq+ в, ал шекті табыс, яғни қосымша өнім бірлігінен
түсетін қосымша табыс r,q = 2аq+ в болады.
Сонымен монополистік нарық жағдайында сатылған өнім саны өскен сайын
шекті табыс кемиді. Ол орта табыстың аз жылдамдықпен азаюуына соқгырады.
Нарыққа өнім шығаратындар өте көп және жеке фирма бағаның деңгейін
қадағалай алмайтын бәсекелік жағдайында сатылатын өнім саны тұрақты,
мысалы, р = в болады. Сонда жиынтық табыс r = вq, орта табыс rор = r/q =
в, ал шекті табыс r,q = в болады.
Сонымен еркін бәсекелестік нарық жағдайында орта және шекті табыстар
өзара тең болады.
Экономикалық процесстерді зерттеу үшін көбінесе функцияның икемділік
ұғымы қолданылады.
Анықтама. ∆х → 0 болғанда у функциясының салыстырмалы өсімшесінің х
аргументінің салыстырмалы өсімшесіне қатынасының шегі Ех(у) у функциясының
икемділігі деп аталады.
Ех(у)= lim∆х →0 (∆у/у : ∆х/х )=х/у lim∆х →0 ∆у/∆х = х/у · у´ (1)
Функция икемділігінің геометриялық мағынасын қарастыралық.

(1)формуласы бойынша Ех(у)= х/у · tg a, мұнда tg a – М (х,у) нүктесінде
у=у (х)қисығына жүргізілген жанаманың көлбеу бұрышы.
МВN үшбұрышы бойынша МN = х·tg a, МС = у. МВN мен АМС үшбұрыштары ұқсас
болғандықтан МN / МС = МВ/МА. Сондықтан Ех(у)= МВ/МА.
Егер А және В нүктелері жанаманың бойында М нүктесінің бір жағында
орналасса, онда Ех(у)оң, ал екі жағында орналасса – теріс болады.

Есептер шығару
1. Туындысын тап:
1.1 у2=8х
1.2 х2/5+у2/7=1
1.3 ху - 6=cosy
2. Екінші туындысын есепте:
2.1 y=sin2x; x0=π/2
2.2 y=arctgx; x0=1
3. y=(4x - 5)5; x0=1

13-14сабақ. Туындының экономикада қолдану.
Функцияның икемділік қасиеттері
Функция икемділігінің қасиеттері:
1. Функция икемділігі функция өзгеру қарқыны Ту =(ln у)´ = у´/ у пен
тәуелсіз айнымалы х-тің көбейтіндісіне тең
Ех(у)= х·Ту
2. Екі функцияның көбейтіндісінің (қатынасының) икемділігі олардың
икемділіктерінің қосындысына (айырымына) тең
Ех(и ·v) = Ех(и)+Ех(v)
Ех (и /v)= Ех(и) – Ех(v)
3. Өзара кері функциялардың икемділіктері өзара кері:
Ех(у)= 1/Ех(х)
Функция икемділігі сұраныс пен тұтынуды талдау кезінде қолданылады. Егер
|Ех(у)|=1 болса, онда сұранысты бірлік икемді дейді.
Мысал ретінде өнімді сату кезінде бағамен салыстырғанда сұраныстың
икемділігі жиынтық табыс r = pq - ге қалай өсетінін қарастыралық. Сұраныс
қисығы p = p(q) -кез келген функция болсын. Шекті табысты табамыз r
´q=(pq)´ q= p´ · q+ p·1= p (1+ Еq(p))
Еу (q)<1 және Еq (р)= 1/Ер(q) болғандықтан
r´q=p1 – 1/|Ер(q)| (2)
Егер сұраныс икемсіз, яғни |Ех(у)|<1 болса, онда (2) формуласы бойынша
шекті табыс r´q кез келген баға үшін теріс, икемді, яғни |Ех(у)|>1 болса –
оң болады. Сонымен, икемсіз сұраныс үшін баға мен шекті табыс бір бағытта,
ал икемді сұраныс үшін әр түрлі бағытта өзгереді. Бұдан мынандай қорытынды
жасаймыз: бағаөскен сайын икемді сұраныс үшін сатудан түскен жиынтық табыс
өсіп отырады, ал икемсіз сұраныс үшін – кеміп отырады.

Есептер шығару

1. Жүктің 1км теміржолмен тасымалдау құны – k1 теңге, ал автомобильмен 1км
тасымалдау құны k2 теңге. Суретке А пункінен С пунктіне жүкті ең арзан
бағамен жеткізу үшін, асфальт жолды қай орыннан бастап салу керектігін
көрсет. Мұнда |АВ|=а, |ВС| = b.
2. Көлемі V-ға тең, толық бетінің ауданы ең кіші болатын цилиндрдің R
радиусі мен H биіктігінің арасындағы қатысты табу керек.
2. Көрсетілген функцияларға толық зерттеу жүргізіп, олардың графигін сал:
2.1 y=x2-2x+2/x-1
2.2 y=x+1/(x-1)2
2.3 y=xInx

15-16сабақ. Функцияның кризистік нүктелері
Туынды ұғымы функцияларды зерттеу кезінде, олардың графиктерін салуда
қолданылады. Туындыны қолдана білу үшін біз дифференциалдық есептеудің
бірнеше негізгі теоремаларымен танысуымыз керек.
f (x) > 0 және f < 0 болғанда функцияның қалай өзгеретінін қарастырамыз.
Функцияның туындысы нолге тең немесе туындысы жоқ болатын анықталу
облысының ішкі нүктелері сол функцияның кризистік нүктелері деп аталады.
Функцияның графигін салғанда бүл нүктелер маңызды роль атқарады, өйткені
тек сол нүктелер ғана функцияның экстремум нүктелері бола алады. Сәйкес
пәкәрдә тұжырымдаймыз – оны Ферма теоремасы деп аталады. Онымен кейін
танысармыз.
Экстремум нүктелері деп максимум және минимум нүктелерін атаймыз.
Функция максимуның белгісі. Егер f функциясы х0 нүктесінде үздіксіз болса
және (а; х0) интервалында f' (х) > 0, ал (х0; в) интервалында f' (х) < 0
болса, онда х0 нүктесі f функциясының максимум нүктесі болып табылады.
Функция минимумның белгісі. Егер f функциясы х нүктесінде үздіксіз болса
және (а; х0) интервалында f' (х) < 0, ал (х0; в) интервалында f' (х) > 0
болса, онда х0 нүктесі f функциясының минимум нүктесі болып табылады.
Мысал-1. у = х(х-2)3 функциясының экстремумы бар немесе жоғын зерттеңіз.
Шешуі. Функцияның туындысын табамыз:
у' = (х-2)3+Зх(х-2)2, у' = (х-2)2(4х-2), яғни у' = 4 ( х - 2) 2 ( х -
1/2) .
Туындыны нөлге теңестіре отырып, күдікті нүктелерін анықтаймыз: у' = 0
=> х1=1/2, х2 = 2. :у' функциясы сан осіні барлық нүктелерінде анықталған,
сондықтан осы екі нүктеден басы күдікті нүктелер жоқ. Енді осы екі нүктенің
маңайларындағы туындының таңбаларын анықтаймыз, мысалға, интервал әдісімен.

Сонымен х= ½ нүктесі төңіректік минимум нүктесі болады, х = 2 нүктесінде
экстремум жоқ

Экстремумның жеткілікті шарты
Теорема. Екі рет дифференциалданатын у =ƒх) функциясының бірінші туындысы
х0 нүктесінде нөлге тең болсын: ƒ'(х0) = 0 Егер х0 нүктесінде екінші
туынды оң болса (ƒ"(х0)>0), онда х0 функцияның төңіректік минимум
нүктесі, ал егер теріс болса (ƒ"(х0) < 0), онда төңіректік максимум
нүктесі болады.
Дәлелдеуі. ƒ'(х0) = 0 жөне ƒ"(х0)>0 болсын. Олай болса х0 нүктесінің бір
маңайында ƒ'(х) функциясы өседі. Сондықтан ƒ'(х0)=0 болғандықтан х0
нүктесінің сол жағында ƒ'(х) < 0, ал оң жағында ƒ'(х)>0. Онда экстремумның
бірінші жеткілікті шарты бойынша х0 —төңіректік минимум нүктесі болады.
ƒ'(х0) және ƒ''(хо)< 0 жағдайы да осылай қарастырылады.
Мысал. Өнеркәсіп өзінің әрбір өнімін р теңгеге сатады және өнімді
щығаруға жұмсалатын шығынмен өнім көлемінің арасындағы байланыс s (x) = ах
+ λх3 (а < р, λ > 0) функциясымен берілген. Мұндағы х— өндірілген өнім
көлемі. Өнеркәсіп үшік тиімді өнім көлемін жөне оған сәйкес пайданы
табыңыз.
Шешуі. х арқылы өндірілген өнім көлемін белгілейміз де, пайда функциясын
құрамыз: С(х) = рх - s (х), яғни С(х) = рх –(ах + λ х3). Мұнда рх-сатылған
өнімнен түсетін табыс. С(х) функциясынан туынды табу аркылы оның күдікті
нүктелерін табамыз.
С'(х) = р – а - 3λ х2)=0→х1 =√р – а/3λ, х2 = √р –а/3λ
Есептің мағынасы бойынша х > 0. Сондықтан х2 нүктесін қарастырмаймыз.
Осыдан С(х) функциясының екінші туындысының таңбасы арқылы х1 нүктесінің
қандай күдікті нүкте екендігін көреміз.

Есептер шығару

1. Кәсіпорын А және В екі бұйымды өндіру үшін үш түрлі шикізат қолданады.
Кестеде әрбір бұйымға қанша шикізат жұмсалатын нормасы, жалпы шикізат
қоры және бүйымдарын бағасы берілген.
|Шикізат түрі |Бір бұйымға жұмсалатын шикізат |Шикізат қоры (кг)|
| |нормасы (кг) | |
| |А |В | |
|І |12 |4 |300 |
|ІІ |4 |4 |120 |
|ІІІ |3 |12 |252 |
|Бір бұйымды |30 |40 | |
|сатудан түсетін | | | |
|пайда (тг) | | | |

(А және В бұйымдар кез келген қатынаста өндірілуі мүмкіндігін ескеріп,
кәсіпорынның пайдасын максималды болуын қамтамасыз ететін бұйымдарды өндіру
жоспарын құрастыру керек)
2. F=x1+x2 функциясының максимунын мен минимумын табу керек.
2х1+4х2≤16
-4х1+2х2≤8
х1+3х2≥9
х1, х2 ≥0
3. F=x1+2x2 функциясының максималды мәндерін табу керек. Мынандай шектеулер
берілген:
4х1-2х2≤12
-х1+3х2≤6
2х1+4х2≥16
х1, х2≥0
17сабақ. Туындының экономикада қолданылуы

Туындының экономикада қолданылуының кейбір мысалдарын карастырамыз.
Өндіру және тұтыну, сұраныс және ұсыныс теорияларының негізгі заңдары осы
бөлімде келтірілген тұжырымдарға негізделеді.
Алдымен Ферма теоремасының экономикалық қолдануына тоқталайық.
Ферма теоремасы. Егер X аралығында дифференциалданатын у=ƒ(х) функциясы
осы аралықтың ішінде жатқан бір х0 нүктесінде өзінің ең үлкен немесе ең
кіші мәнін қабылдаса, онда оның туындысы х0 нүктесінде нөлге тең болады:
ƒ''(хо) = 0.
Өндіру теориясының негізгі заңдарының бірі былай айтылады: Өндірушіге
тиімді тауар көлемі шектік шығын мен шектік табыстың теңдігімен анықталады.
Өнім көлемі х-ке тәуелді табыс функциясы — 0(х), пайда функциясы — С(х),
ал шығын функциясы —S(х) болсын. Сонда С(х) = D(х) - S(х). Әрине, пайда
С(х) максималды мән алатын өнім көлемі х = х0 өндірістің тиімді деңгейі
болады. Сондықтан Ферма теоремасы бойынша бұл нүктеде С'(х0) = 0,
С'(х)=D(х)-S(х)болғандықтан D'(х0)=S'(х0). Сонымен жоғарыда айтылған
экономикалық зандылыққа келдік.
Өңдіріс теориясының басқа бір маңызды ұғымы — орта шығындары ең аз
(минимальді) болатын тиімді өндіріс деңгейі. Сәйкес экономикалық заң былай
айтылады: орта және шектік шыгындардың теңдігімен ең тиімді өндіріс деңгейі
анықталады.
Бұл шартта Ферма теоремасының салдары ретінде айтылады. Егер S(х) – х өнім
көлеміне тәуелді шығын мөлшері болса, онда S(х)/х, яғни тауарды шығарудағы
шығын көлемінің тауар санына қатынасы орта шығынды береді. Бұл шаманың
минимумы оның күдікті нүктесінде болады. Сондықтан
(S(х)/х)'= S' (х) ·х - S(х)/х2=0 → S' (х) ·х - S(х) =0 →S' (х) = S(х)/х
яғни минимум (тиімді өндіріс деңгейі) орта жөне шектік шығында өзара тең
болатын х - тің мөнінде қабылданады.
Функция графигінің дөңестік ұғымының да экономикалық мағынасы бар. Ең
көп таралған экономикалық зандылықтарды бірі — кемімелі табыс заңы былай
айтылады: Өндіріс өскен сайын әрбір жаңа ресурстан (еңбек ресурсын,
технологиялық, ресурс алынған қосымша өнім бір уақыттан кейін кеми
бастайды. Басқа сөзбен айтқанда, егер Δх —ресурс өсімшесі, ал Δу — шығатын
өнім өсімшесі болса, онда Δу/Δх шамасы х өскен сайын кемиді.
Сонымен, кемімелі табыс заңы былай айтылады: Қолданылған ресурсқа тәуелді
өнім көлемін беретін у = ƒ(х) функциясы графигінің дөңестігі жоғары
бағытталған.
Экономикалық теорияның басқа бір іргелі ұғымы — ол пайдалылық
функциясы U = U(х). Мұнда х—тауар, ал U -пайдалылық. Бұл шама жеке
тұтынушы үшін өте субъективті, ал жалпы қоғам үшін жеткілікті
объективті болады. Кемімелі пайдалылық заңын былай айтады: Тауар
көлемі өскен сайын бір уақытшан кейін әрбір жаңа тауардан алынатын
қосымша пайдалылық кеми бастайды.
Кемімелі пайдалылық заңы сұраныс және ұсыныс теориясының математикалық
зерттеулерінің негізі болады.

Есептер шығару

1. Функцияның туындыларын тап:

1. f(x)=x2+x3

2. f(x)=x-5

3. y=1+2x/3-5x

4. y=x8-3x4-x+5

5. f(x)=x2-3x

2. f функциясының туындысы нөлге тең болатындай х-тің мәндерін тап:

2.1 f(x)= х4+4х

2.2 f(x)=х3-6х2-63х

2.3 f(x)=2/3х3-8х

19-сабақ. Интеграл

f функциясын [a; b] кесіндісінде теріс емес және үздіксіз, оған сәйкес
қисық сызықты трапецияныңауданын шамамен былайша есептеуге болады.
[a; b] кесіндісін х0=aкесінділерге бөлеміз және ∆х=в-а/п=хk-xk-1, мұндағы k=1,2...,п-1,п болсын.
[xk-1; хk] кесінділердің әрқайсысын табан ретінде алып, биіктігі f (xk-1)
болатын тік төртбұрыш салынған. Бұл тік төртбұрыштың ауданы мынаған тең:
f (xk-1) ∆х=в-а/п∙ f (xk-1)
ал осындай тік төртбұрыштың аудандарының қосындысы мынаған тең:
Sn= в-а/п∙ (f (x0)+ f (x1)+…+ f (xn-1)
f функциясының үздіксіз болуы себепті, салынған тік төртбұрыштың бірігуі п
үлкен болғанда, яғни ∆х аз болғанда өзіміз әңгімелеп отырған қисық сызықты
трапециямен дәл дерліктей келіп беттеседі. Сондықтан п үлкен болғанда Sn≈S
деген болжам туындайды.
[a; b] кесіндісінде үздіксіз кез келген f функциясы үшін Sn шамасы п→∞
жағдайда қандай да бір санға ұмтылады. Бұл санды f функциясының а-дан b-
ге дейінгі интегралы деп атайды және

∫ ƒ(х)dx деп белгілейді.

а мен b сандары интегралдау шектері деп аталады: а-төменгі, b-жоғарғы шегі.
f функциясы – интеграл астындағы функция деп, ал х айнымалы – интегралдау
айнымалысы деп аталады.
Сонымен, егер [a; b] кесіндісінде ƒ(х)≥0 болса, онда сәйкес қисық сызықты
трапецияның ауданы мынадай формуламен өрнектеледі:

S= ∫ ƒ(х)dx

Есептер шығару

1. Интегралды есептеп шығар:

1. ∫ х4dx

2. ∫ х3dx

3. ∫ sin2хdx

2.Мынадай сызықтармен шектелген фигураның ауданын есепте:
2.1 y=х4; y=0; х=-1; х=1
2.2 y=х4; y=1;
2.3 y=х2-4х+5; y=5;
2.4 y=2-х3; y=1; х=-1; х=1;
2.5 y=х3; y=8; х=1

20-сабақ. Анықталған интеграл ұғымы, оның экономикалық мағынасы

Қисық сызықты трапецияның ауданы туралы есепті
қарастыралық, [а,в] сегментінде теріс емес, яғни ƒ(х) ≥ 0 у=ƒ(х)
функциясы берілсін. Жоғарыдан у = ƒ(х) функциясы графигімен, төменнен
абсцисса осінің [а,в] кесіндісімен, ал бүйір жақтарынан х - а және х = в
түзулерімен қоршалған жазық фигураны қисық сызықты трапеция деп атайды.
Осы қисық сызықты трапецияның ауданы S-ті табу керек. Қисық сызықты

трапецияның ауданы S-ті табудың жолын қысқаша түсіндірелік. у= ƒ(х)
қисығына жеткілікті түрде жақын орналасқан сынық сызықты таңдап аламыз.
Жоғары шекарасы сынық сызық болатын фигураның ауданы Sс трапециялар
аудандарының қосындысынан тұрады. Сынық сызықты у=ƒ(х) қисығына кез келген
дәлдікпен жақын алуға болатындықтан, S пен Sс үшін жуық теңдік орындалады.
S≈Sс. Сынық сызықты у = ƒ(х) қисығына шексіз ұмтылғандағы шегін алуға
болады. Енді осы айтылғанды математикалық түрде негіздейміз. Ол үшін
интегралдық қосынды ұғымын енгіземіз. [а,в] кесіндісінде у = ƒ(х) функциясы
берілсін. у = ƒ(х) кесіндісін х0, х1, .... хп (а=х0 < х1 < х2 < ...< хп
=в)нүктелері арқылы п элементар кесінділерге (бөліктерге) бөлеміз: [а,в]
=[х0 х1]U...U [хп-1 хп]. Ұзындығы Δхі= хі – хі-1 болатынын әрбір [хп-1 хп]
элементар кесіндінің ішінде жатқан бір ζ1 нүктесін аламыз. Әрине хі-1 ≤ ζ1
≤ хі

Сонда ∑ ƒ(ζ1) Δх1 қосындысы у = ƒ(х) функциясының [а,в] кесіндісіндегі

интегралдық қосындысы деп аталады.

Есептер шығару
1. х өсіндегі |a;b| кесіндісінде жатқан сызықтық біртекті емес желі
берілсін. Оның массасының үлестіру тығыздығы ρ (х) үзіліссіз функция
болсын. Осы желінің массасын анықта.

2.1 ∫ (2√х – 3)dx

2.2 ∫ √1-sinх dx

2.3 ∫ dх/(х+10)2

2.4 Қисық сызықты трапецияға мысал келтір.

21-22сабақ. Анықталған интегралдың экономикада қолдану

z=f(t) функциясы бір өндіріс өнімділігінің уақытқа байланысты өзгеруін
сипаттасын.. [0,Т] уақыт аралығында өндірілген өнім мөлшерін анықтайық. Осы
өнім мөлшерін V мен белгілейміз. Егер өндірістің өнімділігі [t, t + Δt]
уақыт аралығында өзгермесе (f (t) = С), онда осы уақыт аралығында
өндірілген өнім Δи, Δи=f(t)·Δt формуласымен анықталады. Жалпы жағдайда Δи ≈
f(ζ)· Δt мәні кішірек болған сайын бұл теңдіктің дәлдігі өсе береді. Жалпы
жағдайды қарастыралық. Ол үшін [0,Т] уақыт аралығын 0 = t0< t1 < t2<..< tп
= Т нүктелерімен п бөлікке бөлеміз: [0,Т] =[t0, t1]U=[t1, t2]U... U. [tп-
1, tп]; [tі-1, tі] уақыт аралығында өндірілген Δиі өнімі үшін Δиі ≈
f(ζі)· Δtі жуық теңдігі орындалады.
Мұнда ζі €[tі-1, tі] , Δ tі= tі - tі-1 , і=1,2,...п. Сонда

и ≈ ∑ Δиі = ∑ f(ζі) · Δt

λ = тах{Δtі саны нөлге ұмтылған сайын бұл жуық тендіктің дәлдігі өсе
береді. Сондықтан

и=lim λ→0 ∑ f(ζі) · Δtі

Анықталған интегралдың анықтамасын ескере отырып, осы
теңдікті былай жазамыз
и=∫ f (t)dt

Сонымен, егер f (t) - t уақыттағы еңбек өнімділігі болса, онда ∫ f (t)dt

интегралы [0,Т] уақыт аралығындағы өндірілген өнімнің көлемін көрсетеді.
Интегралдың анықтамасына тағы да тоқталалық. Әрине, кез келген
функция үшін қосындысының шегі болмауы мүмкін. Қандай функцияның
аныкталған интегралы болады? Осы сұрақка әзірше былай жауап береміз:
Теорема: (анықталған интегралдың бар болуының жеткілікті
шарты). [а,в]сегментінде үзіліссіз кезкелген у - f (х) функциясының
осы аралықта анықталған интегралы бар.

Есептер шығару

1. Анықталған интегралды дәлдікпен есепте:

1. ∫sin2x/2dx

1.2 ∫dx/x2(х-1)

2. ∫dx/x (1+х2)

3. ∫3х2+2х-3/х3-х dx

4. ∫ dx/(х-1)(х+2)

5. ∫х2+3/х3-х2-6х)∙dx

23сабақ. Анықталған интегралдың экономикада қолдануын Кобба-Дуглас
функциясы арқылы шығару
Кобба-Дуглас функциясы арқылы шығаруды қарастыралық. Егер еңбектің
шығымы уақытқа тәуелді, ал капиталдың шығыны тұрақты болса, онда Кобба-
Дуглас функциясы ретінде g(t) =(at + β)еп функциясын алуға болады. Мұндай
жағдайда Т уақытындағы өнімнің көлемін есептейміз:
Q = ∫ (at + β)еп dt (1)

Мысал. Кобба-Дуглас функциясы g(t) = (2 + t)е2t болған жағдайда 3 жыл
ішінде шығарылған өнімнің көлемін табу керек.
Шешуі. (1) формуласы бойынша іздеп отырған өнімнің көлемі
анықгалады. Сонымен, жауабынан ¾ (3е6 -1) екенін табамыз.
Ел табысы пайызының осы табысты табатын түрғындар, пайызына қатынасын
Лоренц қисығы арқылы зерттейді. Лоренц қисығы арқылы ел табысының
біркелкі үлестіруін (табыс бөлу теңсіздігінің дөрежесін) анықтайды.

А 100(1)% (үлес)
тұрғындар

С
0
ОВА-Лоренц қисығы. Ел табысы біркелкі үлескенде (таралғанда) Лоренц
қисығы ОА биссектрисасына айналады. Сондықтан ОА биссектрисасымен және ОВА
қисығымен қоршалған фигура ауданының ΔОАС үшбұрыш ауданына қатынасы
табыс бөлу теңсіздігінің дәежесін сипаттайды. Осы қатынасты Жини
коэффициенті дейді.
Мысал: Ел табысының тұрғындар арасында бөліну нәтижелерін зерттегенде
Лоренц қисығының у=1-√1–х2 функциясы графигі болатындығы көрсетілген.
Мұндағы х-тұрғындардың, ал у - тұрғындар табыстарының үлесі. Жини
коэффициентін табу керек.

Шешуі. Жини коэффициентін К әрпімен белгілейік. Сонда К=SОАВ/SΔОАС = SОВАС
- SОВАС /SΔОАC =1 - 2SОВАC6

өйткені, SΔОАС=1/2

Енді жоғарыдан Лоренц кисығымен қоршалған қисық сызықты үшбүрыштың ауданын
табамыз:

SОВАС =1 – π/4

Олай болса, k=1-2(1- π/4) = π/2-1≈0,57. Есептелген К -нің үлкен мәні
Ұлттық

табыстың түрғындар арасында өте кең бөлінбеуін көрсетеді.
Жылдық пайызы (пайыздық қойылымы) р болғанда t уақыт еткеннен кейін
бастапқы қаржыны оның соңғы шамасы бойынша табуды дисконттау дейді. Мұндай
есеп күрделі қаржы еңгізудің экономикалық тиімділігін анықтауда кездеседі.
t жыл ішінде алынған қаржы Кt болсын, ал алғашқы (дисконтталатын) қаржы К
болсын. Финанстық талдауда бұл қаржыны қазіргі қаржы деп айтады. Егер
пайыз жай болса, онда Кt = К(1+іt) болады, мұнда і = р/100 -үлестік
пайыздық қойылым. Сондықтан К=(1+іt)/Кt Егер пайыз күрделі болса, онда
Кt = К(1 + іt) t. Сондықтан К= Кt/(1+іt) k
Жыл сайын түсіп отыратын табыс уакытқа байланысты өзгеріп отырған жағдайда,
яғни f(х) функциясымен өрнектелетін жөне үлестік пайыздық қойылым f-ге тең
болтан жағдайда пайыз үзіліссіз қосылып отырсын. Мұндай жағдайда
дисконтталған табыс К Т уақыт аралығында

К= ∫ f(t)е-іtdt (1)

формуласымен есептеледі.

х -партиядағы бұйымның реттік нөмірі болсын, ал t)= t (х) —функциясы
өндірістің жетілуіне қарай t -ға байланысты шығынның өзгеру заңдылығын
көрсетсін. Сонда х1-ден х2-ге дейінгі бұйымдарды жасау кезіндегі бір
бұйымға жұмсалатын орташа уақыт tор. анықталған интегралдың орта мән
формуласы арқылы табылады:

tор=1/ х2-х1 ∫ t(х)dx (2)

t = t(х) функциясы көп жағдайда
t=ах -в (3)
түрінде беріледі. Мұнда а—бірінші өнімге жұмсалатын уақыт, в — өнеркәсіп
процесінің көрсеткіші.

Есептер шығару
1. Егер күрделі каржының енгізілуі 10 млрд. тенге болып, жыл сайын ол 1
млрд.теңгеге өсетін болса, онда пайыздық қойылым 8% болғанда 3 жыл ішіндегі
дисконтталған қаржыны табу керек.
Шешуі. Әрине, күрделі қаржының енгізілуі f(t) = 10 + 1t = 10 +t
функциясымен анықталады (1)формуласы бойынша шығарылады.
Жауабын жуықтап аламыз, сонда ≈30,5 млрд.теңге екені белгілі болады.
2. Кобба-Дуглас функциясы f(х) = (3 + х)е2х болған жағдайда 2 жыл
ішінде шығарылған өнімнің көлемін табу керек.
3. Өзін тұратын көшенің тұрғындарының арасында бөліну нәтижелерін зертте.
Лоренц қисығының қай функцияның графигі болатындығын көрсетіп, Жини
коэффициентін тап.

25сабақ. Дифференциалдық теңдеулер

Табиғат жөніндегі білім саласынан есептер шығару барысында қандай да бір
функцияның туындыларын ол функцияның өзін және тәуелсіз айнымалына
байланыстыратындай қатыстар жиі ұшырасады.Жалпы алғанда f функция үшін
алғашқы F функцияны қарапайым дифференциалдық теңдеудің
F'(х)=f(х)
Шешімі ретінде қарастыруға болады, f(х) – берілген функция, F(х) – осы
теңдеудің шешімі.
Әлеуметтік ғылымдардың көптеген есептерінің шешуі мынадай дифференциалдық
теңдеуді
f'(х)= k f (х)
қанағаттандыратындай функцияларын табуды тілейтін математикалық есептерге
келіп саяды, мұндағы k – қандай да бір константа.
Көрсеткіштік функциясының формуласын біле отырып, теңдеудің
f(х) =Се k х
түріндегі кез келген функция болатынын байқау қиын емес, мұндағы С –
тұрақты. Ал С еркімізше алынатындықтан, дифференциалдық теңдеудің шешімдері
шектеусіз көп болады.

Есептер шығару
1. у(х) функциясы мына берілген дифференциалдық теңдеудің шешімі екекнін
тексер:
1.1 у(х)(3cos (2x+π), у׳׳( -4у;
1.2 у(х)(2cos 4х, у׳׳+16у( 0
2. Гармониялық тербелістің дифференциалдық теңдеуін жаз:
2.1 х(2cos (2-1)
2.2 у(х)(0,71sіп(0,3t-0,7)
3. Радиоактивті ыдырау басталар қарсаңында 1г А радий бар еді. Егер оның
жартылай ыдырау периоды 3 минутқа тең болса, неше минуттан кейін одан 0,125
г қалады?
4. Екі дененің температурасы бірдей 100º. Оларды ауаға шығарып қойған
(ауаның температурасы 0º). 10 минуттан кейін бір дененің температурасы 80º,
екіншісінікі 64º болды. Суый бастаған кезінен неше минуттан кейін олардың
температураларының айырмасы 25 º-қа тең болады?
26-27сабақ. Бір айнымалы функцияның икемділік ұғымы

(Ех(у)-функциясы) Бір айнымалы функцияның икемділік ұғымын көп
айнымалы z=f (х1,х2,...хп)) функциясы үшін де енгізуге болады:
Ехі(z)=Δхі→0 (Δх1 z/z : Δхі/хі)=хі/z хі'
Сонымен, Ехі(z)- z = f(х1,х2,...,хп) функциясының айнымалысы бойынша
икемділігі болады.
Мысалы, z= в0 хв1 -ув2 Кобба-Дуглас функциясында Ех(z) = в1, Ех(z) = в2,
яғни в1 мен в2 көрсеткіштері тек еңбек шығыны х немесе тек өндіріс қоры у
шамаларының 1% өзгергенінде өндіріс шығаратын өнімнің шамамен қанша
процентке өсетінін көрсетеді.
Пайдалылық функциясының дербес туындылары их,иу шектік пайдалылықтар деп
аталып, Мих және Миу таңбаларымен белгіленеді. Егер тауардың санын
бағамен есептейтін болса, онда шектік пайдалылықтарды осы тауарға
түскен сұраныстың функциясы ретінде қарауға болады.
U(х,у)=а1/1-в1 х1-в1+а2/1-в2 у1-в2 тұрақты икемділік функциясының шектік
пайдалылығын табайық. Сонда Мих – а1х-в1, Миу = а2х-в2, яғни әрбір тауар
бағасының өсуіне байланысты сұраныс функциясы - кемімелі функция, ал в1
мен в2 параметрлері осы тауарларға сұраныстың дербес икемділіктерін
көрсетеді.
Егер q сұранысын бірнеше айнымалылардың функциясы ретінде, мысалы, тауар
бағасы р мен тұтынушылар табысы r шамаларының функциясы q=(р,r) ретінде
қараса, онда Ер (q) = р/q·qр — сұраныстың бағаға байланысты дербес
икемділігі, ал Еr(q)= r/q·q' сұраныстың табысқа байланысты дербес
икемділігі болады. Сапасы жоғары тауарлар үшін Еr(q)>0, ал сапасы төмен
тауарлар үшін Еr(q)< 0, өйткені табыс өскен сайын сапасы жоғары тауарларға
сұраныс көбейеді де, ал сапасы — төмен тауарларға азаяды. Егер тауар
сұранысын зерттеу кезінде басқа бір қосымша бағасы р, болатын
альтернативтік тауардың әсерін ескеру керек болса, яғни сұранысты q=f(р,
р1, r)болатын үш айнымалыға тәеулді функция ретінде қараса, онда Ер1 (q)
= р1/q ·qр1' формуласымен анықталатын сұраныстың салыстырмалы икемділік
коэффициентін қарау керек болады. Ол альтернативтік тауардың бағасы 1%-ға
өзгергенде негізгі тауарға сұраныстың шамамен қанша пайызға өсетінін
көрсетеді. Әрине, бірін-бірі ауыстыратын тауарлар үшін Ер1 (q)>0, өйткені
бір тауардың бағасының өсуі, екінші тауарға сұранысты көбейтеді. Ал бірін-
бірі толықтыратын тауарлар үшін Ер1(q) < 0, өйткені бұл жағдайда кез келген
тауардың бағасының өсуі тауар сұранысын азайтуға соқтырады. Енді бірнеше
айнымалы өндіріс функциясын сипаттайтын, экономика ғылымдарында маңызы зор
икемділік коэффициентіне тоқталамыз. z=f(х,у) -өндіріс функциясы,
ал Мр(х)= fх (х,у) және Мр(у)=f'у(х,у)- х және у қорларына сөйкес
шектік өнімдер болсын.
Жалпы жағдайда орналасу икемділігінің коэффициенті екі айнымалы
функция болады. Оның изокванта нүктелерімен өрнектелуін қарайық, Изокванта
бойында z=f(х,у) функциясы тұрақты болғандықтан, оның толық
дифференциалы dz=f'xdх + f'уdу изокванта бойында нөлге тең болады. Осыдан
–/dх=Мр(х)/Мр(у) теңдігі шығады.
Мұнда dу/ dх — М(х,у) нүктесінде изокванта жүргізілген жанаманың
бұрыштық коэффициенті. Сондықтан 1/ŏху шамасы изоквантаның қисықтығын
көрсетеді. Функция графигінің дөңестігі ұғымы да маңызды экономикалық
заңдылықтарды түсіну үшін өте кажет. Ол кемімелі табыс және кемімелі шектік
пайдалылық зандарын математикалық формула түрінде өрнектеуде қолданылады.

Есептер шығару
1. Функцияларды зерттеп, графигін бір координаталық жазықтықта сал.
f(х)(-х2+5х+4
f(х)(3х2-х3
2. f(х)(х3-3х2+3х функциясын пайдаланып, өндіріс қоры 2% өзгергенінде
өндіріс шығаратын өнімнің шамамен қанша процентке өсетінін тап.
3. «Егер тауардың санын бағамен есептейтін болса, онда шектік
пайдалылықтарды осы тауарға түскен сұраныстың функциясы ретінде қарауға
болады» деген тұжырымдаманы қолданып, қандай да бір тауарды ал да,
сұраныстың функциясын жаз.

28сабақ. Экономикалық зерттеулерде кездесетін кейбір екі айнымалы
функциялар

Көптеген экономикалық құбылыстар екі айнымалы функциялардың деңгей
сызықтары арқылы сипатталады. Ол сызықтар изокванттар деп аталады. х және у
арқылы өндірістің әр түрлі факторлары, ал z = f(х, у) функциясы х пен у-тің
мәндері себеп болатын өндіріс өнімі болсын. Изокванттар арқылы өнім көлемін
азайтпай отырып, бір фактордың санын азайту арқылы екінші фактордың
санын көбейтуге болады. Осылай істеуге болатын (х,у) факторлар мәндерінің
облысы экономикалық облыс деп аталады. Яғни ол бір факторды екінші
фактормен ауыстыруға болатын облыс. Изокванттар арқылы қорларды тиімді
үлестіру есебін шығаруға болады. Мысалы, z=g(х,у) функциясы х және у
қорларын дайындауға кететін шығынды анықтайтын шығын функциясы болсын.
Сонда өнім мен шығын функцияларының изокванттарын бірге зерттеу арқылы х
және у факторларының тиімді мәнін тандап алуға болады. Осы екі сызықтардың
жанасу нүктелерінің координаттары факторлардын тиімді мәндері болады.
Пайдалылық функциясының деңгей сызықтары арқылы бір тауарды екінші
тауармен тиімді ауыстыру, яғни тиімді тұтыну есебін шығаруға болады.
Талғаусыздық сызықтарының басқа қолданулары инвестиция теориясында
пайда болады. Құнды қағаздар қоржыны екі параметрмен сипатталады.
Олар күтілген табыс – r және тәуелділік — ŏ. Әрбір қоржынға (ŏ,r)
координаттар жазығынан нүктені сәйкес қоюға болады, сонда барлық қоржындар
жиыны бір облысын береді.

Т

D

0
Әрине, бірдей табысты қоржындардың ішінен инвестор тәуекелділігі аз
қоржынды таңдайды. Талғаусыздық сызығы болатын U= U(ŏr) – таңдау
функциясы деңгей сызығының дөңестігі төмен бағытталады. D облысымен
жанасатын U= U(ŏ,r) функциясы деңгей сызығының нүктесі –Т инвесторға
ұнайтын қоржынға сәйкес келеді.
Дербес туындылар ұғымы да экономика ғылымдарында кеңінен қолданылады.

29сабақ. Функцияның икемділігін график арқылы көрсету
Икемділік ұғымы бізге экономикадан таныс. Бұл сұраныс пен ұсыныста
қолданылады.
U(х,у)=а1/1-в1 х1-в1+а2/1-в2 у1-в2 тұрақты икемділік функциясы екенін
білеміз. Мих – а1х-в1, Миу = а2х-в2, яғни әрбір тауар бағасының өсуіне
байланысты сұраныс функциясы - кемімелі функция, ал в1 мен в2 параметрлері
осы тауарларға сұраныстың дербес икемділіктерін көрсетеді.
2x3 + x2 – 8x – 4 = 0
sin(2x) – lnx = 0

Сұраныстың немесе ұсыныстың функциясының графигі көбіне түзу болады. Бұл
сұраныс пен ұсыныс қисығының өзгеруіне байланысты.

Есептер шығару
1. Тұтынушылар табысы r шамаларының функциясы q=(18,9) ретінде қарастырып,
Ер (q) = р/q·qр — сұраныстың бағаға байланысты дербес икемділігі, ал
Еr(q)= r/q·q' сұраныстың табысқа байланысты дербес икемділігін тап. Кесте
құрып, график ретінде көрсет.

32-33сабақ. Практикалық сабақ. Зерттеу жұмысы
Оқушыларға берілетін зерттеу жұмыстарының кейбір тақырыптарының үлгілері:
«Математика мен экономиканың сабақтастығы»
«Экономикалық есептер математика тілінде...»
«Сұраныс пен ұсыныс қисығының графигі»
«Экономикадағы математикалық модельдеу»

-----------------------
2

1/2

+

+

-

ƒтөң.min= ƒ(1/2)=1/2 (1/2 – 2)³ = 1/2 (– 3/2)³ = - 27/16

■

п

і-1

п

і=1

п

і=1

п

і=1

Т

0

Т

0

r

0

Т

0

х1

b

а

b

а

2

-1

1

3

π/2

π/4

π

-π

3

2

2

1

3

2

4

5

10

8

0

2

π

0

3

-3