Өнеркәсіптегі прогрессия

Кіріспе

Біз, математика сабақтарында, математика бұл - өте көне ғылым және оның адамдардың күнделікті қажеттігінен туындағаны жайлы көп естідік. Осы орайда, прогрессияныңда маңызы зор екенін көреміз.

Жобаның мақсаты: Прогрессияларға анықтама беріп, оның қасиеттерін тұжырымдау. Мүмкіндігінше арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың қолданыс аясын көрсету.

Бұл жұмыста, прогрессияның күнделікті өмірдегі алатын орны жайлы айтылады. Ол үшін әр түрлі авторлардың жазған алгебра оқулықтарындағы прогрессияға берілген есептер талданды. Тізбектерге байланысты байланысты тарихи мәліметтер жинақталды. Әр түрлі шаруашылықтардағы прогрессияның қолданылуына мысылдар келтірілді. Геометриялық прогрессияның, жер бетіндегі тірі ағзалардың көбеюіне, әсеріне талдау жасалды.

Зертеудің көкейтестілігі: Тізбек ұғымы қашан пайда болды, неліктен?

Бідің күнделікті өмірімізде алатын орны қандай? - деген сұрақтарға жауап береді.

Осы сұрақтарға жауап тауып, математика өте көне ғылым және ол адамдардың күнделікті қажеттілігінен туындағанын тағыда бір дәлелдегім келді.

9 сынып оқулықтарынан прогрессияны оқып үйрендім; анықтамасын тұжырымдадым;

Формула бойынша мүшелерін тауып үйрендім; алғашқы мүшелерінің қосындысын таптым. Оқып үйрене келе, көптеген сұрақтар туындады.

Сол сұрақтарға әсіресе, прогрессия шын мәнінде күнделікті өмірімізде маңызды орын алама? - деген сұраққа жауап табуға тырыстым.

1. Төмендегі мәселелерді анықтадым.

- Қашан және қандай қажеттіліктен, адамдарда тізбек ұғымы пайда болды?

- Біздің жағдайымыздағы прогрессия

- Зерттеліп отырған мәселені шешуде, қай ғалымдар, үлкен үлес қосты.

2. Әр түрлі оқулықтардағы прогрессияға байланысты есептерді оқып үйрендім.

3. Бактериялардың белсенді көбеюіндегі, медицинадағы, фармакологиядағы, ауыл шаруашылығындағы, геометриялық прогрессияның, қолданыс аясының кеңдігін көрсеттім.

Зерттеу барысында:1. Мектеп оқулықтарын, математикалық анықтамалық әдебиеттерін, математика тарихына байланысты әдебиеттерді, интернет материалдарын талдадым. 2. Мектеп оқулықтарындағы есептерді сараладым. 3. Биология, экология оқулықтарынан және медициналық анықтамалықтардан алынған мәліметтерді жалпыладымЗаманауи оқулықтардағы практикалық мазмұнды есептерді қарастырдым.

Сонымен, прогрессия термині латын тілінен алынған, (progression, алға жүру дегенді білдіреді) және рим авторы Боэци (VI ғ) енгізген.

Бұл терминмен алғашында әр түрлі заңдылықтар бойынша бір бағытта жалғаса беретін, әр түрлі тізбектерді атайтын болған. Қазір прогрессия термині алғашқы мағынасында қолданылмайды. Ең маңызды екі прогрессия арифметикалық және геометриялық прогрессия өз атын сақтап қалды. Арифметикалық және геометриялық атаулары ежелгі гректер оқып үйренген үзіліссіз пропорциялар теориясынан ауысты. Прогрессияларға байланысты алғашқы мәліметтер, бізге Ежелгі Грецияның құжаттарынан жетті.

Ежелгі Египетте б. э. д Vғасырда гректер прогрессиялар және олардың қосындылары жайлы білді:

1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1) .

Прогрессияға қатысты кейбір формулалар, қытайлық және үнділік ғалымдарға да белгілі болды (V ғ. )

Кез келген шектеулі геометриялық прогрессияны қосудың жалпы ережесі, 1484 жылы жарыққа шыққан Н. Шюктің «Сандар туралы ғылым» кітабында кездеседі. Германияда жас ғалым Карл Гаусс (1777-1855) әп - сәтте 1 ден 100ге дейінгі сандардың қосындысын, бала күнінде есептеп шығарды

1+2+3+4+…+98+99+100 = (1+100) +(2+99) +(3+98) +…+(50+51) =101×50 =5050.

Кез кеген шектеусіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысын табу формуласын 17-ғасырдың бірінші жартысында бірнеше математиктер ұсынды, олардың ішінде франсуз математигі Пьер Фермада бар еді.

Жекелеген арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың мысалдарын тіпті ежелгівавилиондық және гректік төрт мыңжылдық және одан да көп жыл бұрынғы жазбалардан кездестіруге болады. Ежелгі грецияда б. э. д бес жүзжыл бұрын мынадай қосындылар белгілі болды:

1+2+3+…+n= n(n+1) ;

1+3+5+…+(2n-1) =n ² ;

2+4+6+…+2n=n(n+1) .

Б. э. д екінші мыңжылдыққа қатысты, Вавилиондық кестелерде, сол сияқты египеттік папирустарда, арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың мысалдары кездеседі. Бізге ежелден жеткен прогрессияның есептері адамдардың күнделікті тіршілігімен тығыз байланысты: тағамдарды бөлісу, енші бөлу т. с. с.

Ертеде есепшілер көбіне тастардың көмегімен санады, оларды дұрыс фигуралар түрінде жинай білді.

1тарау. Ғылыми әдебиеттерге шолу

1. 1 Архимед еңбектеріндегі прогрессиялар.

Архимедтің еңбектерінде (б. э. д. 287-212жж) прогрессиялар жөніндегі алғашқы мәліметтер жарияланған.

Архимед дөңгелектің ауданын қалай есептеген…

Алғашында Архимед дөңгелекке алтыбұрышты іштей сызды, сосын әр қабырғасына теңбүйірлі үшбұрыштарды салды - онекібұрыш пайда болды.

Біртіндеп қабырғаларды екі еселей отырып, Архимед 24- бұрышты, 48- бұрышты, ақыр соңында 96- бұрышты алды. Салынған көпбұрыштар біртіндеп дөңгелектің ауданын жапты. Бұл әдіс Архимед өлген соң 2200 жылдан кейін заманауи геоиетрия оқулығының беттерінен көрінді.

Архимед өз зерттеулерінің барысында, еселігі ¼ болатын шектеусіз геометриялық прогрессияның қосындысын тапты, бұл математикадағы шектеусіз тізбектің алғашқы мысалы еді.

Кейбір геометриялық және механикалық есептерді шешуде, Архимед натурал сандардың квадраттарының қосындысының формуласын қорытып шығарды алайда бұл формула оған дейін белгілі еді:

Прогрессиялар арасындағы байланысқа бірінші болып, ұлы Архимед назар аударды. Архимедтің ойлары, 1544 жылы неміс математигі Михаил Штифелдің «Жалпы арифметика» деген кітабы жарыққа шыққанда белгілі болды. Ол төмендегідей таблица құрды:

-4

-3

-2

-1

-4: 1/6

-3: 1/8

-2: 1/4

-1: 1/2

0: 1

1: 2

2: 4

3: 8

4: 16

5: 32

6: 64

7: 128

Жоғарғы жолда айырмасы 1ге тең арифметикалық прогрессия, төменгі жолда еселігі 2ге тең геометриялық прогрессия орналасқан.

Егер a ⁿ ·a ^m =a ^n+m және a ^m :a ⁿ =a ^m-n тепе теңдіктерін ескерсек Штифелдің төменгі жолын былай жазуға болады:

1/6

1/8

1/4

1/2

128

1/6: 2 ^-4

1/8: 2 ^-3

1/4: 2 ^-2

1/2: 2 ^-1

1: 2 ⁰

2: 2 ¹

4: 2 ²

8: 2 ³

16: 2 ⁴

32: 2 ⁵

64: 2 ⁶

128: 2 ⁷

1. 2. Геометриялық фигуралар мен байланысты тізбектер.

Пифагор (IV ғ. б. э. д) және оның оқушылары геометриялық фигуралар мен байланысты тізбектерді қарастырды. Үшбұрыштардағы, квадраттардағы, бесбұрыштардағы сандар тобын есептей келе, олар төмендегідей қорытындыға келді.

- үшбұрышты сандар тізбегі (а _п ) 1, 3, 6, 10, 15, … ;

- квадраттық сандар тізбегі ( b _п ) 1, 4, 9, 16, 25, … ;

- үшбұрышты сандар тізбегі (с _п ) 1, 5, 12, 22, 35, . .

Осы тізбекті п- мүшесінің формуласы арқылы берейік.

а ₁ = 1, а ₂ = 1 + 2, а ₃ = 1 + 2 + 3, а _п = 1 + 2 + 3 + … + п.

Сондықтан:

а _п = ( 1 + п ) : 2· п.

Осы тізбекті п- мүшесінің формуласы арқылы берейік.

b ₁ = 1, b ₂ = 1 + 3, b _з = 1 + 3 + 5, …, b _n = 1 + 3 + 5 + … + 2п- 1.

бұдан,

b _n =(1+2 n -1) :2· n ; b _n = n ² .

Сандардың квадраттарының формуласына келдік.

Осы тізбекті п- мүшесінің формуласы арқылы берейік.

с ₁ = 1, с ₂ = 1 + 4, с _з = 1 + 4 + 7, …, с _n = 1 + 4 + 7 + … +(1+3( п - 1) ) .

Бұдан,

с _n =(1+1+3( п - 1) ) :2· n ; с _n =(3 n -1) · n /2

1. 3. Фиббоначчи қатары.

Фиббоначчи қатары. Европалықтарда кез келген арифметикалық прогрессияның қосындысын табу ережесі, алғаш рет Леонардо Пизанскидің шығармасында кездесті «Книга об абаке» (1202 г. )

«Книгa абака» сол замандағы Батыс Европада математиканың дамуында маңызды роль атқаратын барлық арифметикалық және алгебралық мәліметтер жарияланды. Европалықтар осы кітап арқылы үнді, араб цифрларымен танысты. Фибоначчидің ең танымал «қояндардың көбеюі туралы » есебі, Фиббоначчи тізбегінің анықталуына алып келді.

Фибоначчи есебі:

Бір адам қояндар жұбын, қоршалған бір жерге орналастырды. Ол бір жылда қанша қояндар жұбы туатынын білгісі келді. Қояндардың табиғатында, әрбір жұп бір айдан соң, дүниеге бір жұп әкеледі; ал қояндар туғаннан кейін екі айдан соң балалайды.

Егер біз алғашқы жұптың жаңа туғанын ескерсек, екінші айда да бұрынғыдай, бір жұп болады; үшінші айда - 1+1=2; төртінші айда - 2+1=3(мұндағы екі жұптың біреуі ғана ұрпақ беретінін ескереміз) ; бесінші айда - 3+2=5 (үшінші айда туған жұп ұрпақ берді) ; алтыншы айда- 5+3=8 жұп (төртінші айда туған жұптар ғана ұрпақ береді) т. с. с.

«Бір жұптан жылына қанша ұрпақ тарайды»

айы

айы: Қояндар жұбы

0: 0

1: 1

2: 1

3: 2

4: 3

5: 5

6: 8

7: 13

8: 21

9: 34

10: 55

11: 89

12: 144

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 және сол сияқты сандар қатары Фибоначчи қатары болып табылытынын біз білеміз. Бұл қатардың ерекшелігі: 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 және т. с. с. Осылайша n- айдан кейінгі жұптардың санын u _k деп белгілесек, онда u ₁ =1, u ₂ =1, u ₃ =2, u ₄ =3, u ₅ =5, u ₆ =8, u ₇ =13, u ₈ =21 және т. с. с. және бұлар ортақ заңмен реттеледі:

u _n =u _n-1 + u _n-2 және n >2.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 …шыққан сан тізбегін жалғастырсақ, Фибоначчи қатарын аламыз. Фибоначчи сандары - сандық тізбектің элементері үшіншісінен бастап әрбір сан өзінің алдындағы екі санның қосындысы болып табылады. Орта ғасырдағы математик Леонардо Пизанскидің атымен аталған.

Тізбектің қарапайым қасиеттері

1. Фибоначчидің алғашқы n- санының қосындысы:

u ₁ +u ₂ +…+u _n =u _n+2 -1.

Фибоначчидің тақ нөмірлі сандарының қосындысы:

u ₁ +u ₃ +u ₅ +…+u _2n-1 =u _2n .

Фибоначчидің жұп нөмірлі сандарының қосындысы:

u ₂ +u ₄ +…+u _2n =u _2n+1 -1.

Фибоначчидің алғашқы n- санының квадраттарының қосындысы:

Фибоначчи тізбегінде әрбір үшінші сан - жұп, әрбір төртіншісі 3ке бөлінеді, әрбір бесіншісі 5ке бөлінеді, әрбір он бесіншісі 10ға бөлінеді.

u _n+m =u _n-1 u _m +u _n u _m+1 (1)

1) (1) формуласындағы m=n болсын, u _2n =u _n-1 u _n +u _n u _n+1 немесе u _2n =u _n (u _n-1 +u _n+1 ) болғандықтан u _n =u _n+1 -u _n-1 u _2n =(u _n+1 -u _n-1 ) (u _n+1 +u _n-1 ) немесе u _2n =(u _n+1 ) ² -(u _n-1 ) . ² болады.

Ендеше Фибоначчи сандарындағы, реттік нөмірлерінің айырмашылығы екіге тең, екі санының квалраттарының айырымыда, Фибоначчи саны болады.

2) m=2n болсын u _3n =(u _n+1 ) ³ +(u _n ) ³ -(u _n-1 ) ³ . Егер n - орнының нөмірі болса, онда

мынадай және екі иррационал санның көмегімен, Фибоначчи қатарының кез келген мүшесін (1) формуламен табуға болады.

Евклидтің шығармаларында «Бастамалар» (б. э. д. 300ж) геометриялық прогрессияға байланысты ауызша теорема бар, оны мынадай теңдікпен көрсетуге болады.

1. 4. Ертедегі Индия аңызы

Ертедегі Индияның патшасы Шерам, шахматты ойлап тапқан өнертапқыш Сетаны өзіне шақырып, осындай тамаша ойынды ойлап тапқаның үшін не сыйлайын деп сұрапты.

Сонда өнертапқыш, патшадан шахмат тақтасының бірінші клеткасына

1 дән, екіншісіне - 2 дән, үшіншісіне - 4, төртіншісіне - 8 және т. с. с. ., яғни әр клеткаға, алдыңғыдағыдан екі есе артық дән салуын сұрапты.

Алғашында патша осыншалық аз сұранысқа таң қалады да, тезірек Сетаның өтінішін орындауды бұйырады.

Алайда патша сарайындағы «қор» бұл өтінішті орындауға қауқарсыз болып шығады.

Шын мәнінде бұл өтінішті орындау үшін, мына қосындыға тең дән керек еді 1 + 2 + 2 ² +. . + 2 ⁶³ , ал бұл қосынды 18446744073709551615 ке тең. Егер1 пуд дән 4 дәннен тұратынын ескерсек, өтініш орындалу үшін 230 584 300 921 369 пуд дән керек . Егер жылына 1 000 000 000 пуд дән жиналады деп ұйғарсақ, өткізу керек (бір де бір дән шығын болмаған жағдайда) .

Шахматты ойлап тапқаны үшін өнертапқыш,

S ₆₄ =2 ⁶⁴ -1=18446744073704551615 дән алар еді.

Барлық дән: 18 квинтиллион 446 квадриллион 744 триллион73 миллиард (биллион) 709 миллион 551мың 615

Бұл санның стандарт түрі:

S ₆₄ = 2 ⁶⁴ - 1 = 1, 84 · 10 ¹⁹

2тарау. Заманауи оқулықтардағы прогрессиялар

2. 1. Арифметикалық прогрессия

Анықтама. Екінші мүшесінен бастап, әрбір мүшесі өзінің алдындағы көршілес мүшеге бірдей тұрақты санды қосқанға тең болса, онда бұл тізбекті арифметикалық прогрессия деп атайды.

Әрбір арифметикалық прогрессияны былай жазуға болады: a, a+d, a+2d, a+3d, … және былай белгіленеді: ÷

Мысалы келесі параметрлермен берілген прогрессияны қарастырайық:

a ₁ =1 d=2.

Мына түрдегі 1, 3, 5, 7, 9, 12… өспелі арифметикалық прогрессияны аламыз.

Ұқсас жұмыстар

Заманауи оқулықтардағы прогрессиялар

Арифметикалық прогрессия. Оқушының әрекеті

Арифметикалық прогрессияларға есептер шығару

Арифметикалық прогрессия Геометриялық прогрессия

Сабақ тақырыбы Шексіз кемімелі прогрессияның қосындысы

Арифметикалық прогрессия жайлы ақпарат

ҰБТ кезіндегі прогрессия есептері және оны шығару жолдары