Теңдік қашан орындалатынын дәлелдеңдер

Дайындаған:

Математика пәнінің жоғары санатты мұғалімі

Утешов Халел Хайноллаұлы

қаңтар 2013 жыл

Аудандық олимпиада

9 сынып . 2005 ж

а, в, с -үшбұрыштың қабырғалары болсын. Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі О-нүктесі АА ₁ биссектрисасын АО:А ₁ О=(в+с) :а қатынасында бөлетіндігін

дәлелдеңдер.

Шешуі: , х= ,

BA ₁ = a- = = ,

AO:A ₁ O=c : = :a д. к. о

9 сынып. І тур. 2006ж

Үшбұрыштың екі медианасы перпендикуляр орналасқан, m _a┴ m _b , үшбұрыштың қабырғалары: a, b, c

Дәлелдеу керек: 5с ² = а ² +в ²

9-сынып. 1-тур . 2008ж

Табаны АД болатын АВСД трапециясы берілген. М нүктесі А және В төбелеріндегі

сыртқы бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі, ал N нүктесі С және

Д төбелеріндегі сыртқы бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі.

МN кесіндісі трапеция периметрінің жартысына тең екендігін дәлелдеңдер.

Дәлелдеу керек MN=

Шешуі: ∆АВМ -тік бұрышты үшбұрыш, себебі ішкі тұстас бұрыштардың биссектрисалары тік бұрыш жасап қиылысады.

Тікбұрышты үшбұрыштың тікбұрышының медианасы гипотенузаның жартысына тең.

ME= сол сияқты FN= EF=

ME+EF+FN= + + =

9 сынып. ІІ тур . 2008ж

Берілгені: а, в, с - үшбұрыштың қабырғалары және

а+в+с =2

Дәлелдеу керек : а ² +в ² +с ² <2(2- авс ) екендігін.

Дәлелдеу жолы: а, в, с- үшбұрыштың қабырғалары болғандықтан, мына теңсіздіктер тура болады: бағандап көбейтуге болады, өйткені а>0 в>0 с>0

(а+в) (в+с) (а+с) >авс

(ав+ас+в ² +вс) (а+с) =а ² в+а ² с+ав ² +авс+авс+ас ² +в ² с+вс ² >авс

ав(а+в+с) +ас(а+в+с) +вс(в+с-а) >0

в+с=2-а болғандықтан 2ав+2ас+вс(2-а-а) >0

2ав+2ас+вс(2-2а) >0 бұдан 2ав+2вс+2ас=4- 4-(а ² +в ² +с ² ) >2авс 4-2авс>а ² +в ² +с ² 2(2-авс) > а ² +в ² +с ² ^{д. к. о}

9 сынып. ІІ тур. 2007ж

Берілгені: кез-келген а, в, с -теріс емес сандар үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңдер:

ав+вс+ас ≥

Шешуі: Теңсіздіктің екі жағын авс -ға бөлуге болады, себебі берілгені бойынша а, в, с - оң сандар.

≥ ≥ теңсіздіктің екі жағын квадраттаймыз, сонда теңсіздік мынадай түрге келеді:

≥

≥ теңсіздіктің екі жағын 2-ге көбейтіп, айырманың квадратына келтіреміз.

≥

≥0 д. к. о.

9 сынып. ІІ тур . 2006ж

Диаметрі d-ға тең дөңгелекте өзара перпендикуляр АВ және CD хордалары жүргізілген. AC ² +BD ² =d ²

болатынын дәлелдеу керек.

Шешуі: AD ² =AE ² +ED ² S _ABD = S _ABD =

S _ACD = S _ACD =

Бұдан шығады .

Есептеңдер:

Шешуі: Қосылғыштарды бағандап жазамыз, сонда әрбір жол геометриялық прогрессияның қосындысы болады.

2 ² +2 ³ +2 ⁴ +2 ⁵ +2 ⁶ +2 ⁷ +2 ⁸ +2 ⁹ +2 ¹⁰

2 ³ + . . . +2 ¹⁰

2 ⁴ + . . . +2 ¹⁰

. . .

2 ⁹ +2 ¹⁰

2 ¹⁰

т. с. с. Бәрін қосамыз, сонда Жауабы:

10 сынып. 1 тур . 2006ж

Берілген теңдіктерін қанағаттандыратын барлық x, y, z нақты сандарын тап.

Жүйедегі теңдіктерді бағандап қосамыз, сонда

Жүйенің теңдіктерін 2-ге бөлеміз, сосын квадраттаймыз, айырманың квадратына келтіреміз де түбірін табамыз.

Жүйенің теңдіктерін бағандап қосайық

Теңдіктің сол жағы нөлге тең, олай болса оң жағы да нөлге тең болады

бұл теңдік орындалуы үшін шарты орындалуы қажет.

10 сынып. ІІ тур. 2008ж

АВС үшбұрышында теңдігі орындалады.

< екендігін дәлелдеңдер.

Биссектрисаның қасиеті бойынша DC табамыз:

∆ BDC- тең бүйірлі, өйткені

Үшбұрыштың қабырғаларының теңсіздігі бойынша: > а

> а 2ав>

2 в > а+с > д. к. о.

11 сынып. І тур. 2007ж

Нақты х және у сандары келесі шарттарды қанағаттандырады: Онда натурал сан екенін дәлелдеңіз және оны табыңыз.

Шешуі

Сонымен, д. к. о.

11 сынып. ІІ тур . 2007ж

Қай сан үлкен?

Шешуі: 2007=a деп алсақ,

<1 және Equation. 3 >1

Сонымен, < д. к. о.

10 сынып. ІІ тур 2007ж

1-ден 127-ге дейінгі натурал сандарды топтағы сандардың қосындылары өзара тең бірнеше (бірден артық) топқа бөлген. Осындай топтардың саны жұп болатынын дәлелде.

Шешуі: Тақ сандар мен жұп сандар тізбегін айырып аламыз, екеуі де арифметикалық прогрессия болады.

1+3+5+ . . . +125+127=S _т

2+4+6+ . . . +124+126=S _ж

қосындысын табамыз:

S _ж

Сонымен, екі сандар тобы пайда болды. Тақ сандардың қосындысы жұп сандардың қосындысынан 64-ке артық, екі қосындыны теңестіру үшін 32 санын жұп сандарға қосу қажет. Сонда екі топтың қосындысы теңеседі:

Өзара тең екі топтан өзара тең бірнеше топтар құрастыруға болады, олардың саны жұп болады.

9 сынып. І тур. 2008ж

Дәлелдеңдер: <

болғанда

11 сынып.

Теңдеулер жүйесін шешіңдер. xyz≠0 болсын, жүйенің теңдеулерін xyz-ке бөліп мынадай жүйе аламыз: бағандап қоссақ мынау шығады:

Шыққан теңдеуді (1) жүйенің әрбір теңдеуімен қоссақ мынадай жүйе аламыз:

9 класс ІІ тур 2007ж

1) Офисте жұмыс істейтін 94 қызметкердің әрбіреуі әлде қазақша, әлде орысша біледі. Қазақша сөйлейтіндердің 70%-і орысша біледі, ал орысша сөйлейтіндердің 80%-і қазақша біледі. Офисте қанша қызметкер екі тілде сөйлейді?

Шешуі:

80 қызметкер қазақ тілін біледі, 80∙0, 7=56 қызметкер екі тілде сөйлейді.

10-сынып 2-тур 2007ж

2) Иесі кодты дипломатты ашатын үш цифрды ұмытып қалды, (000-999) . Бірақ ол үш цифрдың қосындысы 15-ке тең екендігін біледі. Дипломатты ашу мүмкіндігінің ең аз саны қанша?

Шешуі:

069

078

159

168

177

294

285

276

555

393

384

375

366

447

456

069: 6

078: 6

159: 6

168: 6

177: 3

294: 6

285: 6

276: 6

555: 1

393: 3

384: 6

375: 6

366: 3

447: 3

456: 6

Дипломатты ашу мүмкіндігінің ең аз саны: 73

АВС үшбұрышының АР биссектриссасы жүргізілген. BP=16 PC=20 ABP үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі АС қабырғасында жатыр. АВ-ны тап.

AB=x деп алайық, сонда

(центрлік бұрыштар)

Қиюшылардың қасиетін қолданамыз:

9 - сынып І тур 2010 жыл

Өрнекті ықшамдаңдар:

10-сынып 2009ж

Теңсіздікті дәлелдеңдер : (х, у>0)

Екі жағын квадраттаймыз, сонда

Сол жаққа жинап ортақ бөлімге келтіреміз, сонда

д. к. о.

Алматы қаласындағы Жәутіков конкурсы. 2009ж

АВСД трапециясының диагоналдары О нүктесінде АО:ОС=3:1 қатынасында қиылысады және АОД үшбұрышының ауданы 36-ға тең. Трапецияның ауданын табыңыз.

А) 81 В) 108 С) 96 Д) 58 Е) 64

Шешуі: S _∆AOD =36

S _MBCA =S _BCED =1z∙h S _∆CDE = S _BCD =16 S _ABC =16

Сонымен S _тр =36+16+16-4=64. ∆AOD~∆BOC

9-сынып 2010 жыл

а+в+с=х+у+z теңдігін қанағаттандыратын теріс емес а, в, с және оң х, у, z нақты сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңдер:

Шешуі: теңсіздіктің сол жағына Коши теңсіздігін қолданамыз, сонда

8-сынып 2009ж

Сүйір бұрышты АВС үшбұрышының АВ және АС қабырғаларының орталарын сәйкесінше М және N

деп белгілейік. Олай болса, ВС қабырғасынан алынған кез-келген S нүктесі үшін болатынын

дәлелдеңдер.

Егер S нүктесі ВС қабырғасының ортасы болса,

Егер S болса, <МДВ< <МДS, сондықтан МВ<МS

МВ-МS<0 <NCS< <NSC болғандықтан NS<NC

NC-NS>0

Егер S болса, керісінше болады.

10-сынып 2-тур 2011 ж

Қосындысы 2-ге тең оң нақты х, у, z сандары үшін

теңсіздікті дәлелдеңдер:

Шешуі: Теңсіздіктің екі жағын 2-ге көбейтеміз, сонда

Теңсіздіктің оң жағының теріс екендігін дәлелдесек

жеткілікті. немесе

Теңсіздікті 2-ге көбейтіп, сол жағына Коши теңсіздігін

қолданамыз:

бұдан шығады:

жақшаларды ашайық, сонда

д. к. о

11-сынып 2011 жыл

Қосындысы 1-ге тең оң нақты a, b, c сандары үшін

теңсіздікті дәлелдеңдер:

abc≤(ab+bc+ca) (a ² +b ² +c ² ) ²

Шешуі: Кез-келген оң нақты а, в, с сандары үшін мына теңсіздік тура екендігін білеміз:

а+в+с=1 болғандықтан,

Берілген теңсіздікті (авс) -ға бөлуге болады:

бұдан

Сонда теңсіздігі тура,

өйткені бірінші қосылғыш 9-дан кем емес, екінші

қосылғыш 1-ден артық. д. к. о.

9-сынып 2011 жыл

АВСД квадратының сыртынан АР=АВ және

болатындай етіп Р нүктесі алынған. бұрышының

мүмкін ( градустық) мәндерін анықтаңдар.

10-сынып. 2011 ж

Кез-келген натурал n>1 және k>1 сандары үшін

n ^k+2 -n ^k саны 12-ге қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңдер.

9-сынып 2010 ж

m натурал саны үшін 8 ^m санының ондық жазбасындағы

цифрлардың қосындысы 8-ге тең екені белгілі.

Осы 8 ^m санының соңғы цифры 6-ға тең болуы мүмкін

бе?

10-сынып 2010 ж

АВСД параллелограмының В бұрышы доғал. АД

түзуі АВС үшбұрышына сырттай сызылған шеңберін

Е≠А нүктесінде қияды, ал СД түзуі шеңберін F≠C

нүктесінде қияды. Онда DEF үшбұрышына сырттай

сызылған шеңбердің центрі -да жататынын дәлелдең-

дер.

11-сынып 2011 ж

CK және BL биіктіктері үшін AB+CK=AC+BL теңдігі

орындалатын барлық АВС үшбұрыштарын сипаттаңдар.

Мұғалімдердің облыстық олимпиадасы

желтоқсан-2011

а, в, с >0 үшін>2 теңсіздігін

дәлелдеңдер.

Кез-келген натурал n үшін мына теңсіздікті

математикалық индукция әдісімен дәлелдеңдер:

+қосындысы 7-ге бөлінетінін

дәлелдеңдер.

Төбелері (0; 0), (1; 0), (1; 1) және (0; 1) нүктелерінде

болатын квадратқа кездейсоқ М(х, у) нүктесі

тасталады. С={(х, у) : х ² +у ² ≤а ² , а>0} оқиғасының

ықтималдығын табу керек.

SАВСД тіктөртбұрышты пирамиданың табаны

АВСД, барлық бүйір жақтарының аудандары

тең. жазықтығы оның SA, SB, SC, SD бүйір

қырларын сәйкесінше А ₁ , В ₁ , С ₁ , Д ₁ нүктелерінде

қияды және SA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ пирамидасының

көршілес екі бүйір жағының аудандары тең болады. Осы пирамиданың қалған екі бүйір

жақтарының аудандарының тең болатынын

дәлелдеңдер.

Жазықтықта қызыл, көк және жасыл түсті

15 әртүрлі нүктелер алынған. Басқа түсті нүкте-

лер жоқ. Қызыл және көк түсті нүктелердің

барлық парларының ара қашықтығы 51, дәл

осылайша қызыл және жасыл нүктелердің ара

қашықтығы 39, ал көк және жасыл нүктелердің

ара қашықтығы 1. Жазықтықта қанша қызыл,

көк, жасыл нүктелер алынған?

(Мүмкін жағдайлардың барлығы қарастырылуы керек) .

Құрметті әріптестер!

Облыстық олимпиада есептерінің шешу жолдарын интернетке жіберулеріңізді сұраймын.

Сәлеммен Халел Хайноллаұлы

Зеленов ауданы Батыс қазақстан облысы

2012 жылғы оқушылардың Республикалық математикалық олимпиадасының тапсырмалары

Жұмыс уақыты-4 сағат

Әр есеп 7 ұпайға бағаланады.

9-сынып 2-тур