Пирамиданың табаны квадрат

Батыс Қазақстан облысы
Теректі ауданы
Федоровка қазақ жалпы орта білім беретін мектебі

ҰБТ –ке дайындық
( стреометрия курсының есептерінің шығару жолдары)

Айнагүл Хабиболлақызы Хайрова

І санатты математика және информатика пәнінің мұғалімі

2011-2012 оқу жылы

Федоровка қазақ жалпы орта білім беретін мектебінің І санатты математика
және информатика пәнінің мұғалімі Айнагүл Хабиболлақызы Хайрованың
«ҰБТ –ке дайындық» ( стреометрия курсының есептерінің шығару жолдары)
жинағына

Пікір

Есептер жинағында, бірнеше жылдардан бері ҰБТ-де кездесіп отырған
стреометрия курсы есептерінің шығару жолдары және оларға сәйкессызбаларымен
көрсетілген.
Жинақ 8 бөлімнен тұрады. Әр бөлімге қысқаша анықтамалық мәліметтер мен
формулалар берілген. Құрастырылған есептер жинағы ҰБТ-ке даярланушыларға,
өз беттерімен жұмыстану барысында үлкен көмек көрсетеді.
Мұғалімнің «ҰБТ –ке дайындық» есептер жинағы талапқа сай орындалған және
бекітуге ұсынылады.

Пікір айтушы: Федоровка қазақ жалпы орта білім беретін мектебінің жоғары
санатты математика пәнінің мұғалімі Р.З.Кулекешова

І бөлім Жазықтықтардың қасиеттері
2003ж
№1(4 нұсқа №28)
А нүктесі жазықтықтан 18 см қашықтықта жатыр. Осы нүктеде өтетін және
жазықтықпен 600 бұрыш жасайтын көлбеудің ұзындығын табыңыз.
AD=18, AK-?

AK=18
2004 ж
№2. (12 нұсқа №28)
АВС үшбұрышы a жазықтығындағы MNK үшбұрышының проекциясы, D нүктесі АВ
кесіндісінде жатыр. А,В,С және D нүктелері сәйкеc M, N, K, P нүктелерінің
прокциялары.
Егер АD =4, DB=6, MK= 6 болса, онда MN кесіндісінің ұзындығын табыңыз.
АD =4,
DB=6,
MK= 6

PN=9,
MN=6+9=15
№3 (21 нұсқа №28)
АВС үшбұрышының АВ қабырғасына параллель а жазықтығы оны АС және ВС
түзулерінде жататын К және Р нүктелерінде қиып өтеді.Егер AC= 15, AB= 20,
KP=4 болса, КС –ны табыңыз.

KC=3
№4 (26 нұсқа №28)
Ұзындығы 10 см тең кесінді жазықтықты қиып өтеді.Оның ұштары жазықтықтан 3
см және 2 см қашықтықта жатыр.Берілген кесінді мен жазықтықтың арасындағы
бұрышты табыңыз

АВ=10см
АР=2см
ВD=3см
BC=BD+DC=2см+3см=5см
=sin
Sin=
=300
2006 ж
№5 (14 нұсқа №24)
Ұзындығы 2,4 см-ге тең ВК кесіндісі катеттері 6 см және 8 см болатын АВС
тік бұрышты (АС түзуіне дейінгі қашықтықты табыңыз.
AB=6, BC=8, BK=2,4
KN-?
AN=x
NC=10-x
BN2=AB2-AN2
BN2=BC2-NC2
36-x2=64-(10-х)2
20х=7,2
Х=3,6
BN2=36-3,62
BN=4*8
KN2=BK2+BN2
KN2=5,76+23,04=28,8
KN=2,4
№6
Бір нүктеден өтетін екі көлбеудің ұзындықтары 10 см және 17 см. Берілген
нүкте жазықтықтан 8 см қашықтықта болса, көлбеулердің проекцияларын
табыңыз.
AB=10, AC=17, AH=8
BH, HC-?
BH2=AB2-AH2
BH2=100-64=36
BH=6
HC2=AC2-AH2
HC2=289-64=225
HC=15
2009ж
№7(22 нұсқа №19)
АВ кесіндісі а жазықтығын қияды.С нүктесі АВ кесіндісінің ортасы. А,В және
С нүктелері арқылы жазықтығын М,К және Р нүктелерінде қиятын
параллель түзулер жүргізілген.
Егер АM=, BP =дм болса, СK кесіндісінің ұзындығын табыңыз.
BN= BP+PN
BN=+дм=4дм
АВN үшбұрышының орта сызығы- CD
СD=BN:2=2
CK=CD-KD=2-=
№8 (1 нұсқа №19)
А(3; -2;-4) нүктесінен ОУ осіне дейінгі және А нүктесінен XOZ жазықтығына
дейінгі қашықтықтар қосындысын табыңыз.
A(3;-2;-4)
ОУ осіндегі А1(0;-2;0)
XOZ жазықтығындағы А2(3;0;-4)
АА1=
АА2=
АА1+ АА2=5+2=7
№9 (7 нұсқа №24)
АВСD ромбының қабырғасы 8 см, ал 8қашықтықта жатыр. В,С және Е нүктелері арқылы өтетін жазықтық пен
ромб жазықтығының арасындағы бұрышты табыңыз.

AB=8, EK=8
Sромб=a2sin1350
S=32
S=ah
h=S:a=4

cos
=602
№10 (19 нұсқа №19)
АВСD ромбының қабырғасы 8 см, ал <А=450 Ромб жазықтығына ВЕ перпендикуляры
тұрғызылған.Е нүктесі АD түзуінен 4қашықтықта. Е нүктесінен АВС
жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.
AB=8, EK=4
AK2+KB2=AB2
2KB2=64
KB2=32
BE2=EK2- KB2
BE2=96-32=64
BE=8
ІІ бөлім. Пирамида
Пирамида деп бір жағы кез келген көпбұрыш, ал қалған п жағы төбелері ортақ
үшбұрыштардан тұратын көпжақты атайды.
SA-бүйір қыры, SO-биіктігі, SM-бүйір жағының биіктігі( апофемасы)
V- көлемі
Sт.б-толық бетінің ауданы
Sтаб-табанының ауданы
Sб.б-бүйір бетінің ауданы
Кез келген пирамида үшін: V=Sтаб H
Sт.б= Sб.б+ Sтаб
Дұрыс пирамида үшін: Sб.б=PA

P-пирамида табанындағы көпбұрыштың периметрі
А-апофемасы
Қиық пирамида деп пирамиданың табаны мен табан жазықтығына параллель қима
жазықтық арасындағы бөлігі аталады.
Р1, Р2-табандарының периметрі
S1, S2-табандарының аудандары
V=H(S1+S2+)
S б.б=(P1+P2) A
2003 ж тест жинағы
№1 (1 нұсқа №12)
Егер берілген нүктеден барлық қабырғаларына дейін 3 см, ал үшбұрыш
қабырғасы 2см тең болса, берілген нүктеден дұрыс үшбұрыш жазықтығына
дейінгі қашықтықты табыңыз.
SH=3 см
AB= 2см
SO=?
Шешуі: OH – дұрыс үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы.
r= ;
OH=
SO2=SH2-OH2
SO==2
Жауабы:2см
№2. (1 нұсқа №21)
Пирамиданың табанына параллель жазықтық пирамида биіктігін 3:2 қатынасқа
бөледі. Жазықтық пирамиданың көлемін қандай бөлікке бөледі?
ИО=3x, ОН=2x
SКМР=S1; SABC= S2
S1=9y; S2= 25y
VИКМР=ИО* S1=*3x*9у=9 ху
Vқиық пир=ОИ (S1+S2+)=*2x (9y+25y+)= *98 xy
==
№3 (2 нұсқа №10)
Төртбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі 2 см –ге тең, ал табанының
қабырғасы 4 см. Бүйір қырының ұзындығын тап.
SH=2, AB= 4. SA= ?
АC=
AH=2
SA==
Жауабы: см.

№4 (2 нұсқа №21)
Төртбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі 9 см-ге тең, ал бүйір қыры 12 см
болса, көлемі неге тең?
SH=9 см , SA= 12 см , V=?
НС==3
AC=6
AB2+BC2=252
S=AB2= 126
V=S H
V=*126 *9=378см3Жауабы:378см3

№5 (4 нұсқа № 21)
Дұрыс төртбұрышты пирамиданың биіктігі 80 см, табан қабырғасы 120 см.
Табанының центірінен өтетін бүйір жағына параллель қимасының ауданын
табыңыз.

SH=80 cм,
AB=120 cм
SKFNM-?
AC=
AH=60
SA==20
КМ=SA:2=20:2=10
MN=BC=120
MO=(MN-KF):2=(120-60):2=30
KO==50
SKFNM=4500cм2
№6 ( 5 нұсқа № 10)
Төртбұрышты дұрыс пирамиданың табан қабырғасы 20 см, бүйір қырының екі
жақты бұрышы 1200. Пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

AC2=AB2+BC2
1) ABC
AC==20
2) AFC

FC=(20.):=20
3) FBC
BF==
SC2=SF2+FC2
SC=x,
SF= x-
X2=( x-)2+(20)2
X2=X2-2X+()2+
X=
X=10
SC=10
SK2=SC2-KC2=(10)2-102=200
SK=10
Sб.б=PABCDSK= *80* 10= 400
№7 (5 нұсқа № 21)
Үшбұрыш пирамиданың бүйір қырлары өзара перпендикуляр және 4 см, 5см, 6
см тең. Көлемі неге тең?

SB-биіктік,
AB=4 cм , BC= 5 cм, SB=6 cм
SABC=AB*BC= *4*5=10
V= SABC.SB=*10*6=20 cм3
№ 8 (7 нұсқа № 21)
Пирамиданың табаны – бүйір қабырғасы 10 см, табаны 12 см болатын тең
бүйірлі үшбұрыш. Бүйір жақтары табан жазықтығымен 600-қа тең екі жақты
бұрыш жасайды. Пирамиданың биіктігін табыңыз.
ABC-тең бүйірлі,AC=CB=10 cм, AB=12 cм.
S=r p
KO=r=S:p
p=(10+10+12):2=16
S==48
=tg600
r=КО=48:16=3
SO=3cм

№9 (8 нұсқа №30)
Табанының қабырғасы 9 см және биіктігі 10 см болатын үшбұрышты дұрыс
пирамидаға сырттай шар сызылған. Шардың радиусын табыңыз.
AH= r-ABC-ға сыртай сызылған шеңбердің радиусы
AO=R -пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусы.
SH-пирамиданың биіктігі.
R=
AS===
AS=L
L2=2RH
R==6,35
№10 (10 нұсқа №21)
Пирамиданың табаны –ромб, оның сүйір бұрышы 600,қабырғасы 14 см. Пирамида
табанындағы екі жақты бұрыштары 450-тан. Пирамиданың көлемі неге тең?
ABCD-ромб, Sромб=a2sin 600=142 *=98
AHD
DH = sin600
AD
DH=14 * =7
OK=DH:2=
SO=OK
SOK, V= Sромб SO=*98*=343 cм 2
№11 (11 нұсқа №10)
Бүйір қыры 3см-ге, ал табанының қабырғасы 4 см-ге тең төртбұрышты дұрыс
пирамиданың көлемін табыңыз.
SA=3 cм, AB=4 cм, V-?
AC==4
HC=AC:2=4:2=2
SH==1
V=AB2 SH=*16*1=5cм3

№12 (13 нұсқа №10)
Дұрыс төртбұрышты пирамиданың бүйір қыры 5 см, ал биіктігі 4 см.
Пирамиданың көлемі неге тең?
SA=5 cм, SH=4 cм.
V-?
HC==3
AC=2HC=6
AB2+BC2=AC2
AB2=6:2=3
V=AB2SH=*3*4=4 cм3

№13 ( 14 нұсқа №12)
Берілген нүктеден шаршының барлық төбелеріне дейінгі қашықтық 4 см-ге тең.
Ал шаршының қабырғасы 2 см-ге тең болса, берілген нүктеден шаршының
жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.
SA=SB=SC=SD=4 cм,
AB=2, SH-?
AB2+BC2=AC2
AC==2
HC=
SH==cм.
№14 (17 нұсқа №21)
Төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір бетінің ауданы 2см-ге,
табанының қабырғасы 2 см-ге тең. Пирамиданың көлемі неге тең?
Sб.б=2cм,
AB=2cм.
V-?
Sб.б=PABCD.SM,
SM- бүйір жағының апофемасы
SM=2SABCD:P=4:8=
SH=
V= *4*=2 cм3
№15 (23 нұсқа №19)
Төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қыры мен табанының арасындағы бұрыш
, диогональдық қимасының ауданы S. Пирамиданың көлемі неге тең?
SASC=S, V-?
=ctg
SH=h
AH=hctg
AC=2hctg
AB2+BC2=AC2
2AB2=(2hctg)2
AB2=2h2ctg2
SASC=AC* SH=*2hctg*h=h2ctg
h=
AB=
SABCD=()2=2Sctg V=2Sctg=
№16 (29 нұсқа №21)
Пирамиданың табаны квадрат. Биіктігі табанының бір төбесі арқылы өтеді.
Егер табанының қабырғасы 20 дм, биіктігі 21 дм болса, онда пирамиданың
бүйір бетінің ауданын табыңыз.
ABCB-шаршы, АB=20 дм,SD=21 дм. Sб.б-?
SASD=AD SD=*20*21=210
SABS=AB AS=*20*29=290
Sб.б=2 (SASD+ SABS)=(210+290)*2=1000 дм2=10м2

№17 (34 нұсқа №8)
Жазықтықта тік бұрышты үшбұрыш берілген. Гипотенузасы 12 см.
Кеңістікте берілген бір нүктеден үшбұрыш төбелеріне дейінгі қашықтық 10 см-
ден. Үшбұрыш жазықтығынан кеңістіктегі нүктеге дейінгі қашықтықты табыңыз.
ABC-тік бұрышты үшбұрыш, АВ=12 cм,
SA=10cм
SH-?
AH=R-ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы
R=6
SH=
№18 (34 нұсқа №19)
Пирамиданың табаны диогональдары 4 см және 2см арасындағы бұрышы 300-
қа тең параллелограмм. Пирамиданың биіктігі табанының кіші қабырғасына тең
болса, онда көлемі неге тең?
ABCD-параллелограмм, AC=4cм, BD=2cм, SH=AB, V-?
S=AC* BD *sin300=*4*2*=2 cм2
AB=
V=*2*1=cм3
2004 жыл №19 (4 нұсқа №26)
ABCD тік төртбұрышының D төбесі арқылы тік төртбұрыш жазықтығына
перпендикуляр DS түзуі жүргізілген. S нүктесінен тік төртбұрыштың
төбелеріне дейінгі қашықтықтар
12 м, 14 м , 18 м. DS кесіндісінің ұзындығы неге тең?
SA=12 м, SB=14 м, SC=18м
SD=?
AB=x, BC=y, SD=z
X2+z2=144
Y2+z2=196
X2+y2+z2=324
144-z2+196-z2+z2=324
Z2=16
Z=4м
Жауабы: SD=4м
№20
Үшбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қырының ұзындығы см-ге тең. Бүйір
қыры табан жазықтығымен 600 бұрыш жасаса, онда пирамидаға сырттай сызылған
шардың радиусын табыңыз.
SA= см
AO=R- пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусы
=cos600
AH=.
SH==
SA2=2R*SH
R= = см
2005 ж
№21 (4 нұсқа №30)
Дұрыс тетраэдрдің биіктігі h-қа тең. Толық бетінің ауданын табыңыз.
AB=x
SH=h
R-ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы
R=
AS2=SH2+AH2
X2=()2+h2
X2-=h2
X2=h2 SABC=
Sт.б=4
№22 (5 нұсқа №21)
Көлемі 4 см3, ал табанының қабырғасы 2 см-ге тең төртбұрышты дұрыс
пирамиданың бүйір қырының ұзындығын табыңыз.
V=4cм3
AB=2 см
SABCD=22=4см2
V= SABCD*SH
SH=3V: SABCD
SH=12:4=3
АС=2, HC=
SC=
№23.(15 нұсқа №16)
Пирамиданың табан қабырғасы а-ға тең шаршы. Іргелес екі бүйір жағы
табынына перпендикуляр, ал басқа екі бүйір жағы табанымен 600 бұрыш
жасайды. Пирамиданың толық бетінің ауданын табыңыз.

ABCB-шаршы, AB=a
Sт.б=Sтаб+2(SASD+SSAB)
Sтаб=a2
SD= tg600
AD
SA=a
SASB=AS*AB=*a*2a=a2
SSAD= AD*SA=*a* a=a2
Sт.б=a2+2(a2+a2)2=a2(3+)
2006 ж
№24.(14 нұсқа №30)
Пирамиданың табанына параллель жазықтық қимасы биіктікті 1:1 қатынасындай
бөледі. Қима ауданы 2 м2 болса, табан ауданы неге тең?
SH1=2SH S1=2 м2

=()2

S1=8 м2
№25 (17 нұсқа №13)
MABCD дұрыс төртбұрышты пирамиданың МО биіктігі 7 см-ге тең, ал бүйір қыры
14 см- ге тең болса, онда скаляр көбейтіндісін табыңыз.

MO=7, MA=14.
AO2= MA2-MO2
AO=
M(0;0;7), O(0;0;0), C(-7;0;0)
MO(0;0;7)
MC(-7;0;7)
=0+0+49=49
2007 ж
№26 (6 нұсқа №24)
Төртбұрышты дұрыс пирамиданың табан қабырғасы а-ға тең, бүйір қырындағы
екі жақты бұрыштары 1200-тан. Пирамиданың көлемі неге тең?
Sтаб=
ABC:
CB2=CE2 +EB2-2CE *CB cos1200
CE=x
a2=3x2
x=
SAC:
AE2=AC2-CE2
AE==a
AS=CS=y
ES2+EC2=SC2
ES=AS-ES
(y- a)2+=y2
y2-2ax+2+= y2
y=
AS=
SAH: AH=
SH2=AS2-AH2
SH=
V= Sтаб SH=**=
2009 ж
№27 (1 нұсқа №18)
Пирамиданың табаны тік бұрышты үшбұрыш, 300 төбесіне қарсы жатқан
катеті 30 см. Бүйір қырлары табан жазықтығына 600бұрыш жасаса, пирамиданың
биіктігін табыңыз.
ABC-тік бұрышты үшбұрыш
SH=?
AB=60
AC=
R- ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы
R=AH
R==30
tg600
SH=30
№28 (2 нұсқа № 19)
SABC пирамидасының SB қыры биіктігі болады. BС=18 см, AB= 12 см ,
SB=5 см қиылысу нүктесіне дейінгі қашықтықты табыңыз.
BС=18 см, AB= 12 см ,SB=5 см AC=
m-ABC-ның АС-ға жүргізілген медианасы
m=
BO-АВС-ның медианаларының қиылысу нүктесі
BO==4
SO2=SB2+BO2
SO=
№29 (3 нұсқа №25)
Пирамиданың табаны-параллелограмм, оның қабырғасы 3 см және 7 см, ал
диогональдарының бірі 6 см. Пирамиданың биіктігі диогональдарының қиылысу
нүктесінен өтеді, ол 4 см-ге тең. Бүйір қырын табыңыз.
AB=3, BC=7, AC=6, SH=4
SA-?
AC2+BD2=2(AB2+BC2)
BD2=2(9+49)-36
BD2=80
BD=4
BH=BD:2=2
SB2=SH2+BH2
SB2=16+20=36
SB=6
SA2=9+16=25
SA=5
№30 (7 нұсқа №25)
М нүктесі тең түйірлі ABCD трапеция жазықтығынан тысқары жатыр және
трапеция төбелерінен бірдей 7 см қашықтықта орналасқан. Егер AB= 12 см ,
DC= 8 см, AD=6см болса, М нүктесінен трапеция жазықтығына дейінгі
қашықтықты табыңыз.
RABCD=RABD

AK=(AB-DC):2=(12-8):2=2
DK2=AD2-AK2
DK2=36-4=32
DK=4
DB2=DK2+KB2
KB=AB-AK=12-2=10
DB2=32+100=132
DB=2
PABD=(12+2+6):2=9+
SABD=
RABD=
MO=
№31 (13 нұсқа №25)
Дұрыс төртбұрышты пирамиданың табанының диогоналі 4см, бүйір жақтары
табан жазықтығымен 600 жасайды. Пирамидаға іштей сызылған сфераның бетінің
ауданын табыңыз.
AC=4
rcфера-?
AB2+BC2=AC2
2 AB2=96
AB2=48
AB=4
OH=2
rcфера=r tg300=2*=2
S=4 rcфера2=4*22=16
№32( 15 нұсқа №24)
Үшбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі мен бүйір жағының арасындағы
бұрыш 300-қа тең. Пирамидаға іштей сызылған шардың радиусы 1 см-ге тең
болса, табан қабырғасының ұзындығын табыңыз.
rABC=
SK=2OK=2=
SO=
rcфера=
a=6
AB=3
№33 (16 нұсқа №24)
Пирамиданың табанында катеттері 6 см және 8 см болып келетін тік бұрышты
үшбұрыш жатады. Пирамиданың табанындағы барлық екі жақты бұрыштар 600-қа
тең. Пирамиданың биіктігін табыңыз.
AC=6, BC=8, AC=10
OK=(6+8-10)/2=2
SK=2OK=4
SO2=SK2-OK2
SO2=16-4=12
SO=2

№34 (25 нұсқа №25)
Үшбұрышты пирамиданың екі бүйір жағы өзара перпендикуляр және олардың
аудандары P мен Q –ға тең, ал ортақ қырының ұзындығы а-ға тең. Пирамиданың
көлемі неге тең?
SASB=P, SBSC=Q, SB=a V-?
AB=x, BC=y
SASB=AB SB
x=2P:a
SBSC=BC* SB
y=2Q:a
SABC=AB* BC=
V=
2010 ж
№35 (9 нұсқа №24)
МАВС пирамидасының барлық қырлары 6 см-ге тең, ВМ кесіндісінің ортасы К
және А нүктелері арқылы және ВС қырына параллель өтетін қиманың периметрін
табыңыз.
AK2=AB2-BK2
AK2=36-9=27
AK=3
KN=3
AN=3
P=3+3+3=3(2+1)
№36(15 нұсқа №24)
Дұрыс төртбұрышты пирамиданың диогональдық қимасы табанымен тең шамалы.
Егер бүйір қыры 5 см-ге тең болса, пирамиданың табанының ауданын табыңыз.

SASC=Sтаб
AS=5 , Sтаб-?
SH=h
AB=x
AH2=AS2-SH2=25-h2
AC=
AC2=2AB2
AB2=2 (25-h2)
SASC=AC *SH Sтаб= AB2
h=2 (25-h2)
h=
h2=4(25-h2)
5h2=100
h2=20
h=2
AB2=2(25-20)=10
Sтаб=10
№37 (5 нұсқа №29)
Табанының қабырғалары 3 м және 2 м болатын, ал бүйір бетінің ауданы
табандарының қосындысымен тең шамалы болатын дұрыс қиық пирамиданың көлемін
табыңыз.
AB=AC=BC=3
MN=NK=MK=2
Sб.б= SABC+ SMNK
V-?
RABC=
Sтаб=
SABC=
SMNK=
Sб.б=(PABC+PMNK) m, m-бүйір жағының апофемасы
Sб.б=

m=
RABC-RMNK=
Hпир=
V=
№38 (16 нұсқа №29)
Табандарының ауданы 16 см2 және 4см2, ал биіктігі 3 см-гетең қиық
пирамиданың көлемін табыңыз.
SABC=16 см2
SMNK=4см2
H=3 см
V-?
V=3 (16+4+)=28 см3
№39 (17 нұсқа №24)
Үшбұрышты қиық пирамиданың биіктігі 10 м-ге тең, ал табандарының
қабырғалары 27 м, 29 м, 52 м-ге тең және екінші табанының периметрі 72 м-ге
тең.Пирамиданың көлемін табыңыз.
H=10 м, AC=27, BC=29, AB=52
PMNK=72, V-?
PABC=24+29+52=108
SABC=

SMNK=120
V=*10 *(270+120+)=1900м2
ІІІ бөлім Параллелепипед.
Параллелепипед –барлық жақтары параллелограммдар болатын призма.
Тік параллелепипед- бүйір қырлары табанына перпендикуляр параллелепипед.
а,в,с- қабырғалары, d-диогональ

Тік параллелепипедтің барлық жақтары –тік төртбұрыштар.
V=abc;
Sб.б =2c(a+b)
Sт.б=2(ab+bc+ac)
d2=a2+b2+c2
2003 ж
№1 (3 нұсқа №21)
Жақтарының аудандары 6 см2, 2см2 және 3см2 тең тік бұрышты
параллелепипедтің көлемін табыңыз.
S1=ab
ab=6 b=6:a
S2=ac
ac=2 c=2:a
S3=bc
bc= 3

a2=4
a=2
b=6:2=3
c=2:2=1
V=abc=6cм3
№2(8 нұсқа №19)
Биіктігі 4 см-ге тең диагоналі табан жазықтығымен 450 бұрыш жасайтын тік
бұрышты табаны шаршы параллелепипед берілген. Параллелепипедтің көлемін
табыңыз.

с=4см
d=4cм
а2+в2=d2
2a2=16
a2=8
Sтаб= a2
Sтаб=8
V=8*4=32cм2
№3 (9 нұсқа №19)
Тік бұрышты параллелепипедтің табан қабырғалары 7 дм және 24 дм, биіктігі 8
дм. Диогональдық қимасының ауданын табыңыз.
a=7 дм
b=24дм
c=8 дм
d2=a2+b2
d2=49+576=625
d=25
Sқима=25*8=200дм2= 2м2
№4.( 15 нұсқа №21)
Тік бұрышты параллелепипедтің бір төбеден шығатын үш жағының
диогональдарының ұзындығы 2см, 2см және 10 см.
Параллелепипедтің диогоналін табыңыз.

d1=2см, d2=2см, d3=10 см. d=?
а2+в2=(2)2
a2+c2=(2)2
в2+с2=102
в2=40-а2
с2=68-a2
40-а2+68-a2=100
2a2=8 a2=4
в2=40-4=36
с2=68-4=64
d2=4+36+64=104
d=
№5 (20 нұсқа №19)
Тік бұрышты параллелепипедтің өлшемдері 15м, 50м,36м. Оған тең шамалас
кубтың қырын табыңыз.
a=15м, b=50м, c= 36м
V=15*50*36=27000м2
Vk=a3
a3=27000
a=30м
№6(22 нұсқа №19)
Тік параллелепипедтің табанының қабырғалары 2 см және 4 см, ал арасындағы
бұрыштың синусы -ке тең. Егер кіші диогоналінің ұзындығы 4 см-
ге тең болса, параллепипедтің кіші диогоналі мен табанының арасындағы
бұрышты табыңыз.
a=2cм, b=4cм
sinA=
d=4
cosA=
d2=a2+b2-2abcosA
d2=4+16-2*2*4*=20-12=8 , d=2
=cos cos №7 (30 нұсқа №30)
Тік параллелепипедтің бүйір қыры 1м, табан қабырғасы 23 дм, 11дм, ал
диогоналінің қатынасы 2:3. Диогональдік қимасының ауданын табыңыз.
c=1м=10дм, a=23дм, в=11дм
d1:d2=2:3
d1=
d22+d22=2(232+112)
d22=1300=900
d2=30
d1==20
S1=20дм* 10дм=200дм2=2м2
S2=30 дм* 10дм=300дм2=3м2

№8
Тік параллелепипедтің табаны ауданы 3 см2 тең ромб, ал диогональдық
қималарының аудандары 3см2 және 2см2. Параллепипедтің көлемін табыңыз.
Sромб=3 см2
S1=3см2
S2=2см2 V-?
Sромб=d1d2
S1=d1h
S2=d2h
d1=3:h
d2=2:h
=3
h=1cм
V=3*1=3cм2
2005ж№9 ( 2 нұсқа №20)
Тік параллелепипедтің табанның бұрыштарының бірі 300 болатын
параллелограмм. Табан ауданы 4дм2, ал бүйір жақтарының аудандары 6дм2 және
12дм2.
Параллепипедтің көлемін табыңыз.
Sтаб=4дм2
S1=6дм2
S2=12дм2.
V-?
Sтаб=ab sin300
ab= 8
bc=6
ac=12
a=8:b
c=6:b

b2=4 , b=2, a=4, c=3
V= Sтаб h=4*3=12дм3
№10(18 нұсқа №28)
Тік параллепипедтің табаны-бір бұрышы а-ға тең ромб. Параллепипедтің
Sб.б=S болса, параллепипедке іштей сызылған цилиндрдің бүйір бетінің
ауданын табыңыз.
Sб.б=Ph, P=4a
4ah=S
h=S:(4a)
Sромб=a2sin a
Sромб=ah=2ra
a2sin a=2ra
r=a sin a Sб.б.цил=2rh =2 a =

2007 ж
№11 (10 нұсқа №24)
Табан қабырғаларының 2 дм жәнедм, арасындығы бұрышы 300-қа тең
көлбеу параллепипедтің кіші диогональдық қимасы ромб болады және ол
табанына перпендикуляр. Бүйір қыры табан жазықтығымен 600 жасаса,
Параллепипедтің көлемін табыңыз.
AB=2, BC=, BDNP –ABCD-ға перпендикуляр
V-?
BD2=22+2-2*2**cos300=7-6=1
BD=1
SBDNP= BD2sin600=
SBDNP=ah
h=:1=
Sтаб=2*sin300= V= Sтабh=*=1,5
2009ж
№12 (8 нұсқа №18)
Тік бұрышты параллелепипедтің биіктігі 8 см, табан қабырғасы 5см және 6 см.
Төменгі табанының кіші қабырғасы және оған қарама-қарсы жатқан жоғары
табанының қабырғасы арқылы өтетін қиманың ауданын табыңыз.
a=6 , b=5, h=8
Sқима-?
d2=64+36=100
d=10,
S=10*5=50 cм
№13 (14 нұсқа №24)
Диогональнің ұзындығы L-ге тең және ол диогональ бір жағымен 300, екінші
жағымен 450 бұрыш жасайтын тік бұрышты параллелепипедтің көлемін табыңыз.

AC1=L
V-?
AC12=AC2+CC12
AC=CC1=x,
2x2= L2
AC=
AB1C1
B1C1=L:2,
AC2=AB2+BC2
BC2=()2-
BC=L:2
Sтаб=АВ2== V=*=
2010 ж
№14 (5 нұсқа №24)
Тік параллелепипедтің табан қабырғасы 3 және 5 см-ға, табанының бір
диоганалі 4 см. Кіші диогоналі табан жазықтығымен 600 бұрыш жасаса,
параллепипедтің үлкен диогональін табыңыз.

а=3cм, b=5cм, D1=4cм,
D12+D22=2(32+52)
D22=68-16=48
D2=
=tg600
BB1=4
AC1==10
№15 (7 нұсқа №25)
Тік бұрышты параллелепипедтің өлшемдері а, в,с. Сырттай сызылған сфераның
ауданын табыңыз.
Sсфера=4R2
R=D:2
D2=a2+b2+c2
R2=( a2+b2+c2)
Sсфера=4( a2+b2+c2)= ( a2+b2+c2)
№16 (13 нұсқа №9)
M( 2;0;0) H( 0;0;0) P( 0;4;0) H1(0;0;4) MHPKM1H1P1K1 тік бұрышты
параллелепипедтің төбелері болса, М1нүктесінің координатасын табыңыз.
M1(2;0;4)

ІҮ бөлім Куб
Куб- барлық жақтары квадрат болатын тік параллелепипед.
a=b=c
V=a3
Sб.б=4a2
Sт.б=6a2
d=a
2003 ж № 1 (6 нұсқа №10)
Қыры 4 см –ге тең куб берілген. АВ қыры және СС1 қырының ортасы арқылы
қима жазықтығы жүргізілген. Қиманың ауданын табыңыз.
CE=2 cм
ET=4 cм
BE2=BC2+CE2
BE2=16+4=20
BE=2
SABET=4*2=8

№ 2 (6 нұсқа №28)
Кубқа сырттай цилиндр сызылған. Кубтың бетінің ауданы S-ке тең болса,
онда цилиндрдің толық бетінің ауданын табыңыз.
Sкуб т.б=S
Sкуб т.б=6a2
a=
R=AC:2
AC2=()2+()2
AC=
R=
H=
Sцил т.б= 2R (H+R)=2(+)=

№ 3 (27 нұсқа №21)
Кубтың диогоналі 12 см-ге тең. Көлемін табыңыз.
D2=3a2
a2=D2:3
a=
V=
№ 4 (30 нұсқа №19)
Кубтың толық бетінің ауданы 96см2 Кубтың көлемін табыңыз.
Sкуб т.б=6a2
6a2=96
a2=16
a=4
V=4*16=64cм3
2004ж
№5 (3 нұсқа №29)
Кубтың А және С1төбелері арқылы және ДД1 қырының ортасы арқылы қима
жүргізілген. Қима ауданы 50тең болса, кубтың қырын табыңыз.
SAMCN=50
AC=a
AC=a
SABCD= SAMCN cos cos a2=50=100
a=10
2004 ж
№6
Қыры 2 см –ге тең кубтың ВС және А1Д1 қырлары арқылы жазықтық
жүргізілген. Қиманың ауданын табыңыз.
A1B=4
Sқима=4*2=8cм2
2005 ж
№7 (20 нұсқа №29)
Кубтың қыры а-ға тең. Іштей сызылған шардың радиусын табыңыз.
r=a:2
№8 (34 нұсқа №26)
Кубтың қыры а-ға тең. Диогоналі табан жазықтығына қандай бұрышпен
көлбеген?
AC=a
AC1=a
Sin 2010 ж
№9 (8 нұсқа №24)
Кубтың АС1 түзуі мен табан жазықтығының арасындағы бұрышты табыңыз.
AC=a
AC=a
cos №10 (21 нұсқа №25)
Кубтың диогоналі –а. Осы кубқа сырттай сызылған цилиндрдің көлемін
табыңыз.
AB=x
AC1=a
a2=3x2
x=
R=AC:2
AC2=AB2+BC2
AC=
R=
Sцил=R2=()2=
V= SцилH==
№11 (23 нұсқа №25)
Қыры 2-ге тең куб берілген. М-ВСВ1 С1 жағының центрі.МД және ВВ1
қырларының арасындағы бұрыш неге тең?

M(0;1;1), В(0;0;0)
D(2;2;0), В1(0;0;2)
MD(2;1;-1) ВВ1(0;0;-2)
Cos a=
a=arccos

№12 (24 нұсқа №25)
Қыры 1-ге тең куб берілген. АД1мен АС1 векторларының скаляр көбейтіндісін
табыңыз.

A(1;0;0) С1(0;1;1)
Д1(1;1;1)
АД1(0;1;1)
АС1(-1;1;1)
АД1*АС1=-1*0+1*1+1*1=2

№13 (25 нұсқа №25)
Қыры 2-ге тең куб берілген. АВ1 және ВС1 кесінділерінің орталарының
арақашықтығы неге тең?А(2;0;0) В(0;0;0)
В1(0;0;2) С1(0;2;2)
М(1;0;1) N(0;1;1)
MN2=(0-1)2+(1-0)2+(1-1)2 MN=
Ү бөлім Призма.
Екі жағы параллель жазықтықтарда жататын өзара тең көпбұрыштар, ал
қалған жақтары осы көпбұрыштармен ортақ қабырғаларыбар параллелограмдар
болып келген көпжақты призма деп атайды.
Табандары-тең көпбұрыштар,
Бүйір жақтары-параллелограмдар,
Бүйір қырлары -өзара параллель.
V=SH
Sб.б=PL, L-бүйір қыры
Sт.б= Sб.б+2Sтаб
Тік призма деп бүйір қырлары табандарына перпендикуляр призмаларды атайды.
L=H, V=SH, Sб.б=PH
2003 ж
№1 (2 нұсқа №29)
Төртбұрышты дұрыс призма шарға іштей сызылған. Шардың радиусы 5 см, ал
призманың табанының қабырғасы 6 см болса, онда призманың биіктігін табыңыз.

AB=6 cм, AO=5 cм, Hпризма-?
AC=6
Rшар=(+Rтаб2
Rтаб=AC:2=3

625=(+(3)2
H2=28
H=2
№2 (11 нұсқа №21)
Тік призманың табаны-ромб, ал призманың диогоналдары 8см және 5 см. Призма
биіктігі 2 см. Табан қабырғасын табыңыз.
AP=8, BN=5, CP=2
AB-?
AC2=AP2-CP2
AC2=64-4=60
AC=4
BD2=BN2-BD2
BD2=25-4=21
BD=
AB=
№3 (12 нұсқа №21)
Үшбұрышты тік призманың барлық қырлары өзара тең. Оның бүйір бетінің
ауданы
48 см2. Биіктігін табыңыз.

Sб.б=48 см2.
Sб.б=PH
3a*a=48
a2= 16
a=4
H=4cм
№4 (13 нұсқа №21)
Тік үшбұрышты призманың табанының қабырғалары 10см, 17см, 21 см, ал призма
биіктігі 18 см. Призманың бүйір қыры мен табаының кіші биіктігінен өтетін
қиманың ауданын табыңыз.
p=
S=
S=AB*CH
CH=2S:AB
CH= 168:21=8cм
№5 (18 нұқса №21)
Үшбұрышты дұрыс призманың табанының ауданы 12 тең. Егер призманың
биіктігі табанының қабырғасынан 2 есе үлкен болса,
онда призманың көлемін табыңыз

Sтаб=12
MA=2AB
Sтаб=
=12
a2=48 a=4
MA=2*4=8
V=12*8=288 cм3
2004 ж
№6
Дұрыс төртбұрышты призманың бүйір бетінің ауданы 32м2, ал
толық бетінің ауданы 40м2. Биіктігін табыңыз.
Sб.б=32м2, Sт.б=40м2
Sт.б= Sб.б+2 Sтаб
Sтаб==4
Sтаб=a2
a2=4, a=2
Sб.б=PH
P=4*2=8cм
H= Sб.б:P
H=32:8=4cм
2006 ж
№7 (21 нұсқа №24)
Тік призманың табанында төбесіндегі бұрышы болып келетін тең
бүйірлі үшбұрыш жатады. Осы бұрышқа қарсы жатқан жағының диогоналі L ге
тең және табан жазықтығымен бұрышын жасайды. Призманың көлемін
табыңыз
Үшбұрыш AEC:
, AE=L sin, AC=Lcos
Үшбұрыш ABC:
AH=AC= Lcos
=ctg
BH= Lcos ctg
SABC=AC* BH= Lcos* Lcos ctg
S=L2 cos2 ctg
V=L2 cos2 ctg* L sin =L3
sin2cos ctg
№8 (27 нұсқа №13)
Көлбеу үшбұрышты призманың бүйір қырларының ара қашықтығы 10см, 17 см,
21см, ал бүйір қыры 18 см. Призманың көлемін табыңыз

AB=10, BC=17, AC=21,
L-бүйір қыры, L=18

p=
S=
V=SABC*L, L-бүйір қыры
V=84*18=1512cм3
2007 ж №9 (5 нұсқа №24)
Дұрыс төртбұрышты призманың диогоналі мен бүйір жағының арасындағы бұрыш
300, ал табанының қабырғасы а-ға тең. Призманың көлемін табыңыз.

TM=a, MA=2a
MA2=a2+a2+h2
h2=4a2-2a2=2a2
h=a
SABC=a2
V= SABC*h=a2*a=a3

№10 (11 нұсқа №14)
Төртбұрышты дұрыс призманың диогоналі бүйір жағымен 300 бұрыш жасап
көлбейді. Диогоналінің табан жазықтығымен жасайтын бұрышын табыңыз.
TM=a, AM=2a
AC=a

cos= =450
№11 (15 нұсқа №24)
Үшбұрышты дұрыс призманың табан қабырғасы мен оған қарсы жатқан қырының
ортасы арқылы өтетін жазықтық табан жазықтығымен 450 бұрыш жасайды.Табан
қабырғасы а-ға тең болса, призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз.
AB=a, Sб.б-?
OC2=BC2-OB2
OC=
=tg450
KC=
H=2*=a
P=3a
Sб.б=PH=3a* a=3a3
2009ж №12 (2 нұсқа №18)
Тік призманың табанында жатқан үшбұрыштың бір қабырғасы 2м, ал
қалғандары 3м-ге тең. Призманың бүйір қыры 4м. Осы призмамен көлемдері
бірдей кубтың қырын табыңыз.
AB=2м, AC=BC=3м, AM=4м,
Vпризма=Vкуб
P=
S=
Vпризма=SH=2*4=8
Vкуб=a3 a3=8 a=2
2010 ж
№13 (11 нұсқа №9)
А(2;0;0), В(0;0;0), С(0;2;0) В1(0;0;2) АВСА1В1С1 призманың төбелері
болса, С1 нүктесінің координатасын табыңыз.C1(0;2;2)

№14 (11 нұсқа №25)
Дұрыс төртбұрышты призманың табанының диогоналі 4см, бүйір жағының
диогоналі
5 см. Осы призмаға іштей сызылған цилиндрдің бүйір бетінің ауданын
табыңыз.
AC=4см
AT=5 см
Sб.б-цилиндр-?
Sб.б=2RH
AC2=AB2+BC2
2AB2=32
AB2=16
AB=4
AP2=AT2-PT2=25-16=9
AP=3 см
R=AC:2=4:2=2
Sб.б=2RH=2*2*3=12 см2
ҮІ бөлім Шар
Жарты дөңгелек өзін шектейтін диаметрден айналғанда шығатын фигураны шар
деп атайды.
V=R3
S=4 R2

2003ж
№1 ( 1 нұсқа №27)
Шардың радиусы 8 см-ге, ал қиманың радиусы см-ге тең. Шардың
центрінен қима жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.
R=OB=8 см
AB= см
AO-?
AO2=OB2-AB2
AO2=64-15=49
AO=7см
№2(15 нұсқа №11)
Радиусы 41 см шар центрінен 9 см қашықтықты жазықтықпен қиылған. Қиманың
ауданын табыңыз.
R=OB=41 см
AO=9 см
AB2=OB2-AO2
AB2=1681-81=1600
S=R2
S=1600

№3 (17 нұсқа №27)
Шар бетінің ауданы 36. Шардың көлемін табыңыз.
S=4 R2
36=4 R2
R=3
V=R3= *33=36
№4 (29 нұсқа №11)
Үш шардың радиустары 3см, 4см, 5 см. Көлемі осы шарлардың көлемдерінің
арифметикалық ортасына тең болатын шардың радиусы неге тең?
R1=3см, V1=R13=*33=36
R2=4см, V2=R23=*43=
R3=5 см, V3=R33=*53=
V=(V1+V2+V3)= (36++)=*288=96
V=R3
R3=
R=
2004ж
№5( 15 нұсқа №30)
Радиусы 17 см болып келетін шар оның центрінен 15см қашықтықта
жазықтықпен қиылысады. Қима ауданын табыңыз.
R=OB=17 см
AO=15 см
AB2=OB2-AO2
AB2=289-225=64
S=R2
S=64

№6(20 нұсқа №30)
Шар секторының табанындағы шеңбердің радиусы см-ге, ал шардың
радиусы 3 см-ге тең. Шар секторының көлемін табыңыз.
R=OA= 3см
AB= см
BO2=OA2-AB2
BO2=9-5=4
BO=d=2cм
H=R-d=3-2=1cм
V=R2H=*9*1=6
№7 (22 нұсқа №30)
Шар бетінің ауданы 100 . Шардың көлемін табыңыз.
S=4 R2
100=4 R2 R=5
V=R3= *53=
№8 (32 нұсқа №30)
Шар бетіне тиісті C, D және Е нүктелері берілген және CD=7 cм, DE=8cм,
CE=9 cм. Шардың центрінен CDE үшбұрыш жазықтығының центріне дейінгі
қашықтық 1 см-ге тең болса, шар бетінің ауданын табыңыз.

AO=1cм,
P=(7+8+9)=12
S=
RCDE=
OE2=AO2+AE2
OE=
S=4 R2S=4*=92,2
2005 ж
№9 (9нұсқа №28)
Бір шар бетінің ауданы 18см2-қа тең. Көлемі берілген шар көлемінен 8 есе
үлкен екінші шар бетінің ауданын табыңыз.
S1=18 см2
4 R2=18
R2=
R=
V1=R3=*()3=
V=V1*8=*8=
=R3
R=
S=4R2
S=4*=72cм2
№10(28 нұсқа№30)
V=cм3тең болатын шар конусқа іштей сызылған.Конустың биіктігі 3 см
болса, көлемін табыңыз.
V=R3
R3=
Rшар=1
SO=H
L-жасаушысы
L2=H2+R2
L=
Rшар=
=1
3R=R+
=2R
4R2=9+R2
R2=3
Sконус= R2
Sконус=3
V= SконусH=*3*3=3
№11 (29 нұсқа №30)
Шарлардың радиустары 25 дм, 29 дм, ал олардың центрлерінің ара қашықтығы
36 дм.Шарлардың беттерінің қиылысу сызығының ұзындығын табыңыз.
AB=25 дм, BC=29 дм, AC=36 дм
AD=x , DC=36-x
BD2=AB2-AD2
BD2=BC2-DC2
252-x2=292-(36-x)2
625- x2=841-1296+72x- x2
72x=1080
x=15
BD2=AB2-AD2
BD2=625-225=400
BD=20
C=2R=2*20=40дм=4м
2006 ж №12(26 нұсқа №14)
Шардың көлемінің және оның беттерінің аудандарының сан мәндері тең.
Шардың радиусын табыңыз.
Vшар= Sб.б
R3=4 R2
R=3 cм
2007ж
№13( 2 нұсқа №30)
Сыртқы диаметрі 10,7 см, ал ішкі диаметрі 8,6 см-ге тең іші қуыс шойын
шардың массасын есептеп шығарыңдар. Шойын тығыздығы 7,3г/см3
AB=10,7 см
CD=8,6 см
=7,3 г/см3
m=V
R1=AB/2=10,7:2=5,35
V1=R13=*5,353=204,17
R2=CD/2=8,6:2=4,3
V2=R23=*4,33=106,009
V=V1-V2=204,17-106,009=98,161
m=V
m=7,3*98,161=716,6
№14(6 нұсқа №14)
Шардың көлемі 288см3. Шар бетінің ауданын табу керек.
V=288см3
R3=288
R=6
S=4R2=4*62=144

2009ж
№15(9 нұсқа №18)
Шарды қиятын екі параллель жазықтық шар центрінің екі жағында
орналасқан. Қималардың аудандары 144 және 25. Жазықтықтардың
арасы 17 см болса, шар бетінің ауданын табу керек.

AB=17см
S1=144
S2=25
Sшар-?
R12=144
BC=R1=12
R22=25
AD=R2=5
AO=x, BO=17-x
CO2=BO2+BC2
DO2=AO2+AD2
DO=CO=R
(17-x)2+144=x2+25
289-34x+x2+144= x2+25
34x=408
X=12
AO=12, DO2=144+25=169
DO=13
S=4*R2=676
№16 (18 нұсқа №24)
Шардың өзара перпендикуляр екі қимасының ортақ хордасының ұзындығы 12 см.
Қималардың аудандары 100және 64 болса, шардың радиусын табыңыз.
S1=100 R1=10
S2=64 R2=8
AB=12 см.
AKD; KD2=AD2-AK2
KD2=100-36=64
KD=8
BKC
KC2=BC2-KB2
KC2=64-36=28
KC=2
DKO;
KO2=KD2+DO2
KO2=64+28=92
AKO
AO2=AK2+KO2
AO2=36+92=128
R=
2010ж
№17 (15 нұсқа №25)
Сфера центрінің бір жағында орналасқан, сфераны қиятын параллель
жазықтықтардың қималарының ұзындығы 10 және 24. Жазықтықтардың
арасы 7 см болса, сфера бетінің ауданын табыңыз.
AB=7, C1=10 , C2=24.
Sсфера-?
2R1=10
AC=R1=5
2R2=24.
BD=R2=12
AOC;
BO=x
AO=x+7
OC2=AO2+AC2=(x+7)2+25
BOD
OD2=BO2+BD2=x2+144
OC=OD=R
(x+7)2+25= x2+144
X2+14x+49+25=x2+144
14x=70
X=5
R2= x2+144=25+144=169
R=13
S=4*R2=4*169=676
ҮІІ бөлім Цилиндр
Цилиндр деп тік төртбұрышты оның қабырғаларының бірінен айналдырғанда
шығатын фигураны айтады.
V=R2H
Sб.б=2RH
Sт.б= Sб.б+2Sтаб

2003ж
№1 (7 нұсқа №21)
Биіктігі 3см-ге тең, ал осьтік қимасы шаршы болатын цилиндрдің бүйір
бетінің ауданын табыңыз.
AC=H=3см
R=AB:2=3:2=1,5 см
S=2RH
S=2*1,5*3=9

№2 (13 нұсқа №11)
Цилиндр биіктігі 2 м, табан радиусы 3 см. Көлемін табыңыз.
H=2 м=200 см.
R=3 см.
V=R2H
V=*32*200=1800 см3
№3 (14 нұсқа №11)
Цилиндрдің биіктігі 6 дм, ал табанының радиусы 5дм. Цилиндрдің бүйір
бетінің ауданын табыңыз.
H=6 дм, R=5дм.
S=2RH
S=2*5*6=60 дм2
№4 (16 нұсқа №11)
Цилиндрдің осьтік қимасының ауданы 24 см2. Бүйір бетінің ауданын табыңыз.
SABCD=24 см2,
Sб.б=2RH
AB=2R
AC=H
SABCD=AB*AC
Sб.б=24 см2
№5 (16 нұсқа №27)
Осьтік қимасының ауданы 30см2, ал табанының ауданы 9см2цилиндр
берілген.
Көлемін табыңыз.
SABCD=30 см2,
Sтаб=9см2
Sтаб=R2
R2=9
R=3
AB=2R
AC=H
SABCD=AB*AC
2R*H=30
H=30:6=5cм
V=R2H
V=*9*5=45
№6(19 нұсқа №26)
Цилиндрдің бүйір бетінің жазбасы тік төртбұрыш. Жазбаның диогоналі d
табанымен бұрыш жасайды. Цилиндрдің көлемін табыңыз.
AC=d
V-?
CD=d sin
AD=d cos
Cтаб= 2R
2R= d cos
R=
V=R2H
V=()2* d sin=cos2*sin
2004ж
№7.(3 нұсқа №30)
Цилиндрдің көлемі 112 см3, биіктігі 28 см. Осьтік қимасының
диогоналінің ұзындығын табыңыз.

V=112 см3
V=R2H
H=28 см.
AD-?
R2*28=112
R2=4
R=2
AB=4
AD2=AB2+BD2
AD2=16+784=800
AD=
2006ж
№8 (19 нұсқа №14)
Цилиндрдің осьтік қимасының ауданы 70см2, ал биіктігі 7 см-ге тең.
Цилиндрдің бетінің ауданын табыңыз.
AB=2R
AC=H=7 см
SABCD=AB*AC=70см2
2R*7=70
R=70:14=5cm
Sб.б=2RH=2*5*7=70
Sтаб=R2=*52=25
Sт.б=2 Sтаб+ Sб.б=50+70=120
2007ж
№9(25 нұсқа №30)
Цилиндрдің осьтік қимасының диогональдары өзара перпендикуляр. Қиманың
периметрі 8а. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.
PABCD=8a
AB=2a, AC=2a
R=a,
Sб.б=2RH=2*a*2a=4a2
V=R2H
V=a2*2a=2a3
2009ж
№10 (17 рұсқа№24)
Радиусы R, биіктігі Н-қа тең цилиндрге табаны цилиндр табанының біріне
іштей сызылған, ал төбесі оның келесі табанына тиісті болатын дұрыс
төртбұрышты пирамида іштей сызылған. Пирамиданың толық бетінің ауданын
табыңыз.
SO=H, OD=R.
Sт.б-?
AD=2R
AB=x
AD2=AB2+BC2
x2+x2=4R2
x2=2R2
Sтаб=AB2
Sтаб=2R2
Sб.б=P*A (А-пирамиданың апофемасы)
AB=R
P=4R
A2=H2+(AB/2)2
A=
Sб.б=*4R*=2R
Sт.б=2R+2R2=2R(+R)
ҮІІІ бөлім. Конус
Конус деп тік бұрышты үшбұрышты катетінен айналдырғанда шығатын фигураны
атайды.
V=R2H
Sб.б= RL
L2=H2+R2
Sт.б= Sб.б+Sтаб

2003ж
№1 (3 нұсқа №11)
Конустың жасаушысы 2 см-ге тең, осьтік қимасының төбесіндегі бұрышы
1200.
Конустың табанының ауданын табыңыз.
AC=2 см
Sтаб-?
АВ2=AC2+BC2-2AC*BC*cos1200
АВ2= (2)2+(2)2+2*2*=2*4*3+4*3=36
AB=6
R=3
Sтаб=R2 Sтаб=9
№2 (3 нұсқа №29)
Конустың биіктігі 4см. Табанының диаметрі 6см. Бүйір бетінің ауданын
табыңыз.
CH=4см
AB=6см
R=3cм
Sб.б= RL
L2=H2+R2
L2=16+9=25
L=5
Sб.б= *3*5=15
№3 (8 нұсқа №26)
Конустың биіктігі табанының радиусына тең. Көлемі V=9.Жасаушысын
табыңыз.
CH=R=x
V=9.
L-?
V=R2H
R2H=9
X3=27
X=3
L2=H2+R2
L2=9+9=18
L=3
№4 (9 нұсқа №26)
Конустың табанының радиусы 3см, ал жасаушысы табан жазықтығына 450
бұрыш жасай көлбеген. Конустың көлемін және бүйір бетінің ауданын табыңыз.
R=AH=3см
V, Sб.б-?
СH=3см
L2=H2+R2
L2=(3)2+(3)2
L2=36
L=6
V=R2H
V=(3)3=18
Sб.б= RL
Sб.б= *3*6=18
№5 (13 нұсқа №27)
Конустың көлемі 9см3 Егер оның осьтік қимасы тең қабырғалы
үшбұрыш болса, конустың биіктігін табыңыз.
V=R2H
V=9см3
9см3 =R2H
R=x, CB=2x
CH2=4x2-x2=3x2
CH=x
*x2*x=9
X3=27
X=3
CH=x=3
№6 (25 нұсқа №11)
Осьтік қимасы тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрыш болатын конус берілген.
Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы 6см-ге тең болса, бүйір бетінің
ауданын табыңыз.
AB=6
R=3
H=3
L2=H2+R2
L2=(3)2+(3)2
L2=36
L=6
Sб.б= RL
Sб.б=*3*6=18
2004 ж
№7( 5 нұсқа №30)
Конустың жасаушысы табан жазықтығына 300бұрыш жасай көлбеген және 8 см-ге
тең. Осьтік қимасының ауданын табыңыз.
AC=8 см
SABC-?
SABC=AB*CH
CH=AC
CH=*8=4
AH2=AC2-CH2
AH2=64-16=48
AH=4
AB=8
SABC=AB*CH=*8*4=16
№8 (13 нұсқа №30)
Тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрыш өзінің катетінен айналдырылған.
Гипотенузасы 3см-ге тең болса, шыққан конустың көлемін табыңыз.
AC=3см
AC2=AH2+CH2
2AH2=18
AH2=9
AH=3
V=R2H
V=*32*3=9
№9(19 нұсқа №30)
Конустың биіктігі 15cм, ал көлемі 320 см3. Табанының радиусын
табыңыз.
V=R2H
V=320 см3
H=15см
R2 *15=320
R2=64
R=8
2009ж
№10( 1 нұсқа №25)
Жасаушысы L-ге, ал табанының радиусы R-ге тең конус берілген. Бір жағы
конус табанында, ал қарсы жатқан жағының төбелері оның бүйір бетінде
жататын конусқа іштей сызылған кубтың қырын табыңыз.

PB=L
BK=R, R-төртбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусы
a-? a-төртбұрыштың қабырғасы
a=R

H=

1-
a (
a=
a=
№11( 3 нұсқа №18)
Конустың осьтік қимасы тең бүйірлі үшбұрыш, бүйір қабырғасы 16 см, ал
арасындығы бұрышы 1200 болса, толық бетінің ауданын табыңыз.
AC=16 см,
Sт.б-?
Sт.б=R(R+L)
АВ2=AC2+BC2-2AC*BC*cos1200
AB2=162+162+2*16*16*=768
AB=16
R=AB:2
R=8
Sт.б=R(R+L)= *8(8+16)=64(3+2)
№12(4 нұсқа №18)
Тік конустың жасаушысы 6 см-ге тең және табан жазықтығына 600бұрыш жасай
көлбеген. Толық бетінің ауданын табыңыз.
AC=6 см, Sт.б-?
Sт.б=R(R+L)

AH=6*=3 см
Sт.б= *3*(3+6)=27
2010ж №13 (8 нұсқа №25)
Конустың биіктігі 20-ға, табанының радиусы 25-ке тең. Конустың төбесі
арқылы өтетін және конустың табанының центрінен қашықтығы 12 см-ге тең
боатын қиманың ауданын табыңыз.
SO=20 см, KO=25 см, PO=12 см
SSKL=SP*KL
SEO; SE=
SPO; SO2=SE*SP
SP= SO2:SE
SP=400:16=25
KPO; KP=
SSKL=SP*KL=*25*20=500
№14 (11 нұсқа №25)
Пирамиданың табаны-қабырғасы а-ға , сүйір бұрышы -ға тең ромб.
Пирамидаға жасаушысы табан жазықтығымен бұрыш жасайтын конус іштей
сызылған. Конустың көлемін табыңыз.

V=Sтаб *SO
=sin
h=a sin
r=h= a sin
SO=sintg
Sтаб=r2=(a sin)2
V= *()2a2sin2
*sintg=sin3tg
№15 (16 нұсқа №25)
Конустың биіктігі 3см, табанының радиусы 5 см.
Төбесі арқылы өтетін биіктігімен 300жасайтын қиманың ауданын табыңыз.
SO=3см
R=5 см.
SSKL=KL*SP
SP=2PO
SP=2x, PO=x
SO2=SP2-PO2
3x2=27
X2=9
X=3
SP=6, PO=3 KP==4 KL=2KP=8
SSKL=KL*SP=*8*6=24 см2
№16 (19 нұсқа №25)
Конустың биіктігі 4 см. Конус бүйір бетінің жазбасының центрлік
бұрышы 1200.Конустың көлемін табыңыз.

CH=4
=

L=3R
H=
H=2R
2R=4 R=2
V=R2H
V=*22*4 =
№17 (21 нұсқа №24)
Конустың бүйір бетінің ауданы табанының ауданынан 2 есе артық болса,
жазбасының бұрышын радианмен табыңыз.
Sб.б= RL
Sб.б=2Sтаб
RL=2R2
L=2R
=
=1800

№ 18 (16 нұсқа №25)
Конустың көлемі V –ға тең. Конусқа іштей сызылған дұрыс төртбұрышты
пирамиданың көлемін табыңыз.
V=R2H
H=
Vпир=Sтаб*H
R-төртбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусы
a-төртбұрыштың қабырғасы
a=R
Sтаб=a2=(R)2=2R2
Vпир =Sтаб*H=*2R2*H=*2R2*=

№19 (17 нұсқа №25)
Радиусы 6 см-ге тең жарты дөңгелек конусқа айналдырылған. Кoнустың көлемі
неге тең?
С=R=6
H=
H=
C=2R
2R=6
R=3
V=R2H=*9*3=9
№20 (20 нұсқа №18)
Конустың осьтік қимасы тік бұрышты үшбұрыш.P=16(2+) , толық
бетінің ауданы неге тең?
AC=BC=L, AB=2R
AC2+BC2=AB2
2L2=4R2
L=R
P=2R+2L
2R+2L=16(2+)
R+L=8(2+)
R+R=8(2+)
R(1+)=8(1+)
R=8
L=*8=16
Sт.б=R(R+L)= *8*(8+16)=
*8*8(1+)=128(1+)
№21 (2003ж. 2 нұсқа №27)
Қиық конустың табан радиусы 7 м және 4 м. Жасаушысы табанына 600бұрышпен
көлбеген.Жасаушысын табыңыз.
OC=4 м.
ND=7 м
DC-?
DH=DN-HN=7-4=3м
=cos600
DC=3: =6м
№22 (18 нұсқа №11)
Қиық конустың табанының диаметрі 3м, 6м, биіктігі 4 м. Жасаушысын
табыңыз.
AD=6, BC=3, CH=4, DC-?
HD=(AD-BC)= *(6-3)=1,5
DC2=CH2+HD2
DC2=16+2,25=18,25
DC=

№23 (23 нұсқа №26)
Қиық конустың табанының радиустары 10 см және 4 см, ал жасаушысы табан
жазықтығына 450 бұрыш жасай көлбеген. Конустың осьтік қимасының ауданын
табыңыз.
ND=10, OC=4, SABCD-?
HD=ND-OC=10-4=6
HD=CH=6
S=(AD+BC) *CH=(20+8)*6=84

№24 (2009ж 10 нұсқа №25)
Конустың көлемі 375 см3. Биіктігі 5 см.Конус төбесінен 2 см қашықтықтан
өтетін және де оның табанына параллель жазықтық қияды. Пайда болған қиық
конустың көлемін табыңыз.
V=375 см3
H=5 см.
SC=2cм
Vқиық кон-?
V=R2H
R2*5=375

R2=225:
R=
CN=x
x=
V=H(r2+R2+R*r)= *3*()=351 см2

Мазмұны:
І бөлім Жазықтықтардың қасиеттері
ІІ бөлім. Пирамида
ІІІ бөлім Параллелепипед
ІҮ бөлім Куб
Ү бөлім Призма
ҮІ бөлім Шар
ҮІІ бөлім Цилиндр
ҮІІІ бөлім Конус