ҰБТ-ке дайындық: стереометрия есептері мен шешімдері

Батыс Қазақстан облысы

Теректі ауданы

Федоровка қазақ жалпы орта білім беретін мектебі

ҰБТ -ке дайындық

( стреометрия курсының есептерінің шығару жолдары)

Айнагүл Хабиболлақызы Хайрова

І санатты математика және информатика пәнінің мұғалімі

2011-2012 оқу жылы

Федоровка қазақ жалпы орта білім беретін мектебінің І санатты математика және информатика пәнінің мұғалімі Айнагүл Хабиболлақызы Хайрованың

«ҰБТ -ке дайындық» ( стреометрия курсының есептерінің шығару жолдары) жинағына

Пікір

Есептер жинағында, бірнеше жылдардан бері ҰБТ-де кездесіп отырған стреометрия курсы есептерінің шығару жолдары және оларға сәйкессызбаларымен көрсетілген.

Жинақ 8 бөлімнен тұрады. Әр бөлімге қысқаша анықтамалық мәліметтер мен формулалар берілген. Құрастырылған есептер жинағы ҰБТ-ке даярланушыларға, өз беттерімен жұмыстану барысында үлкен көмек көрсетеді.

Мұғалімнің «ҰБТ -ке дайындық» есептер жинағы талапқа сай орындалған және бекітуге ұсынылады.

Пікір айтушы: Федоровка қазақ жалпы орта білім беретін мектебінің жоғары санатты математика пәнінің мұғалімі Р. З. Кулекешова

І бөлім Жазықтықтардың қасиеттері

2003ж

№1(4 нұсқа №28)

А нүктесі жазықтықтан 18 см қашықтықта жатыр. Осы нүктеде өтетін және жазықтықпен 60 ⁰ бұрыш жасайтын көлбеудің ұзындығын табыңыз.

AD=18, <AKD=60 ⁰

AK-?

AK=18
2004 ж

№2. (12 нұсқа №28)

АВС үшбұрышы a жазықтығындағы MNK үшбұрышының проекциясы, D нүктесі АВ кесіндісінде жатыр. А, В, С және D нүктелері сәйкеc M, N, K, P нүктелерінің прокциялары.

Егер АD =4, DB=6, MK= 6 болса, онда MN кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

АD =4,

DB=6,

MK= 6

PN=9,

MN=6+9=15
№3 (21 нұсқа №28)

АВС үшбұрышының АВ қабырғасына параллель а жазықтығы оны АС және ВС түзулерінде жататын К және Р нүктелерінде қиып өтеді. Егер AC= 15, AB= 20, KP=4 болса, КС -ны табыңыз.

KC=3
№4 (26 нұсқа №28)

Ұзындығы 10 см тең кесінді жазықтықты қиып өтеді. Оның ұштары жазықтықтан 3 см және 2 см қашықтықта жатыр. Берілген кесінді мен жазықтықтың арасындағы бұрышты табыңыз

АВ=10см

АР=2см

ВD=3см

<BOD-?

BC=BD+DC=2см+3см=5см

<BAC=<BOD=

=sin

Sin =

=30 ⁰
<BOD=30 ⁰

2006 ж

№5 (14 нұсқа №24)

Ұзындығы 2, 4 см-ге тең ВК кесіндісі катеттері 6 см және 8 см болатын АВС тік бұрышты (<B=90 ⁰ ) үшбұрышының жазықтығына перпендикуляр. К нүктесінен АС түзуіне дейінгі қашықтықты табыңыз.

AB=6, BC=8, BK=2, 4

KN-?

AN=x

NC=10-x

BN ² =AB ² -AN ²

BN ² =BC ² -NC ²

36-x ² =64-(10-х) ²

20х=7, 2

Х=3, 6

BN ² =36-3, 6 ²

BN=4*8
KN ² =BK ² +BN ²

KN ² =5, 76+23, 04=28, 8

KN=2, 4

№6

Бір нүктеден өтетін екі көлбеудің ұзындықтары 10 см және 17 см. Берілген нүкте жазықтықтан 8 см қашықтықта болса, көлбеулердің проекцияларын табыңыз.

AB=10, AC=17, AH=8

BH, HC-?

BH ² =AB ² -AH ²

BH ² =100-64=36

BH=6

HC ² =AC ² -AH ²

HC ² =289-64=225

HC=15

2009ж

№7(22 нұсқа №19)

АВ кесіндісі а жазықтығын қияды. С нүктесі АВ кесіндісінің ортасы. А, В және С нүктелері арқылы жазықтығын М, К және Р нүктелерінде қиятын параллель түзулер жүргізілген.

Егер АM= , BP = дм болса, СK кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

BN= BP+PN

BN= + дм=4 дм

АВN үшбұрышының орта сызығы- CD

СD=BN:2=2

CK=CD-KD=2 - =
№8 (1 нұсқа №19)

А(3; -2; -4) нүктесінен ОУ осіне дейінгі және А нүктесінен XOZ жазықтығына дейінгі қашықтықтар қосындысын табыңыз.

A(3; -2; -4)

ОУ осіндегі А ₁ (0; -2; 0)

XOZ жазықтығындағы А ₂ (3; 0; -4)

АА ₁ =

АА ₂ =

АА ₁ + АА ₂ =5+2=7

№9 (7 нұсқа №24)

АВСD ромбының қабырғасы 8 см, ал <D=135 ⁰ , AE ABCD және ВС түзуінен 8 қашықтықта жатыр. В, С және Е нүктелері арқылы өтетін жазықтық пен ромб жазықтығының арасындағы бұрышты табыңыз.

AB=8, EK=8

S _ромб =a ² sin135 ⁰

S=32

S=ah

h=S:a=4

cos

=60 ²

№10 (19 нұсқа №19)

АВСD ромбының қабырғасы 8 см, ал <А=45 ⁰ Ромб жазықтығына ВЕ перпендикуляры тұрғызылған. Е нүктесі АD түзуінен 4 қашықтықта. Е нүктесінен АВС жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

AB=8, EK=4

<A=45 ⁰

<ABK=45 ⁰

AK ² +KB ² =AB ²

2KB ² =64

KB ² =32

BE ² =EK ² - KB ²

BE ² =96-32=64

BE=8

ІІ бөлім. Пирамида

Пирамида деп бір жағы кез келген көпбұрыш, ал қалған п жағы төбелері ортақ үшбұрыштардан тұратын көпжақты атайды.

SA - бүйір қыры , SO-биіктігі, SM-бүйір жағының биіктігі( апофемасы)

V- көлемі

S _{т. б} -толық бетінің ауданы

S _таб -табанының ауданы

S _{б. б} -бүйір бетінің ауданы

Кез келген пирамида үшін: V= S _таб H

S _{т. б} = S _{б. б} + S _таб

Дұрыс пирамида үшін : S _{б. б} = PA

P-пирамида табанындағы көпбұрыштың периметрі

А-апофемасы

Қиық пирамида деп пирамиданың табаны мен табан жазықтығына параллель қима жазықтық арасындағы бөлігі аталады.

Р ₁ , Р ₂ -табандарының периметрі

S _1, S ₂ -табандарының аудандары

V= H(S ₁ +S ₂ + )

S _{б. б} = (P ₁ +P ₂ ) A

2003 ж тест жинағы

№1 (1 нұсқа №12)

Егер берілген нүктеден барлық қабырғаларына дейін 3 см, ал үшбұрыш қабырғасы 2 см тең болса, берілген нүктеден дұрыс үшбұрыш жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

SH=3 см

AB= 2 см

SO=?

Шешуі: OH - дұрыс үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы.

r= ;

OH=

SO ² =SH ² -OH ²

SO= =2

Жауабы:2 см

№2. (1 нұсқа №21)

Пирамиданың табанына параллель жазықтық пирамида биіктігін 3:2 қатынасқа бөледі. Жазықтық пирамиданың көлемін қандай бөлікке бөледі?

ИО=3x, ОН=2x

S _КМР =S ₁ ; S _ABC = S ₂

S ₁ =9y; S ₂ = 25y

V _ИКМР = Equation. 3 ИО* S ₁ = Equation. 3 *3x*9у=9 ху

V _{қиық пир} = ОИ (S ₁ +S ₂ + ) = *2x (9y+25y+ ) = *98 xy

= =

№3 (2 нұсқа №10)

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі 2 см -ге тең, ал табанының қабырғасы 4 см. Бүйір қырының ұзындығын тап.

SH=2, AB= 4. SA= ?

АC=

AH=2

SA= =

Жауабы: см.

№4 (2 нұсқа №21)

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі 9 см-ге тең, ал бүйір қыры 12 см болса, көлемі неге тең?

SH=9 см, SA= 12 см, V=?

НС= =3

AC=6

AB ² +BC ² =252

S=AB ² = 126

V= S H

V= *126 *9=378см ³ Жауабы:378см ³

№5 (4 нұсқа № 21)

Дұрыс төртбұрышты пирамиданың биіктігі 80 см, табан қабырғасы 120 см. Табанының центірінен өтетін бүйір жағына параллель қимасының ауданын табыңыз.

SH=80 cм,

AB=120 cм

S _KFNM -?

AC=

AH=60

SA= =20

КМ=SA:2=20 :2=10

MN=BC=120

MO=(MN-KF) :2=(120-60) :2=30

KO= =50

S _KFNM = 4500cм ²

№6 ( 5 нұсқа № 10)

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың табан қабырғасы 20 см, бүйір қырының екі жақты бұрышы 120 ⁰ . Пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

<AFC=120 ⁰

AC ² =AB ² +BC ²

1) ABC

AC= =20

2) AFC

FC=(20 . ) : =20

3) FBC

BF= =

SC ² =SF ² +FC ²

SC=x,

SF= x-

X ² =( x- ) ² +(20 ) ²

X ² =X ² -2X +( ) ² +

X=10

SC=10

SK ² =SC ² -KC ² =(10 ) ² -10 ² =200

SK=10

S _{б. б} = P _ABCD SK= *80* 10 = 400

№7 (5 нұсқа № 21)

Үшбұрыш пирамиданың бүйір қырлары өзара перпендикуляр және 4 см, 5см, 6 см тең. Көлемі неге тең?

SB-биіктік,

AB=4 cм, BC= 5 cм, SB=6 cм

S _ABC = AB*BC= *4*5=10

V= S _ABC . SB= *10*6=20 cм ³

№ 8 (7 нұсқа № 21)

Пирамиданың табаны - бүйір қабырғасы 10 см, табаны 12 см болатын тең бүйірлі үшбұрыш. Бүйір жақтары табан жазықтығымен 60 ⁰ -қа тең екі жақты бұрыш жасайды. Пирамиданың биіктігін табыңыз.

ABC-тең бүйірлі, AC=CB=10 cм, AB=12 cм.

<SKO=60 ⁰ , SO-?

S=r p

KO=r=S:p

p=(10+10+12) :2=16

S= =48

=tg60 ⁰

r=КО=48:16=3

SO=3 cм

№9 (8 нұсқа №30)

Табанының қабырғасы 9 см және биіктігі 10 см болатын үшбұрышты дұрыс пирамидаға сырттай шар сызылған. Шардың радиусын табыңыз.

AH= r- ABC-ға сыртай сызылған шеңбердің радиусы

AO=R -пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусы.

SH-пирамиданың биіктігі.

AS= = =

AS=L

L ² =2RH

R= =6, 35

№10 (10 нұсқа №21)

Пирамиданың табаны -ромб, оның сүйір бұрышы 60 ⁰ , қабырғасы 14 см. Пирамида табанындағы екі жақты бұрыштары 45 ⁰ -тан. Пирамиданың көлемі неге тең?

ABCD-ромб, <A=60 ⁰ <SKO=45 ⁰ , V-?

S _ромб =a ² sin 60 ⁰ =14 ² * =98

AHD

DH = sin60 ⁰

DH=14 * =7

OK=DH:2=

SO=OK

SOK, <O=90 ⁰ .

<K=<S=45 ⁰

V= S _ромб SO= *98 * =343 cм ²

№11 (11 нұсқа №10)

Бүйір қыры 3см-ге, ал табанының қабырғасы 4 см-ге тең төртбұрышты дұрыс пирамиданың көлемін табыңыз.

SA=3 cм, AB=4 cм, V-?

AC= =4

HC=AC:2=4 :2=2

SH= =1

V= AB ² SH= *16*1=5 cм ³

№12 (13 нұсқа №10)

Дұрыс төртбұрышты пирамиданың бүйір қыры 5 см, ал биіктігі 4 см. Пирамиданың көлемі неге тең?

SA=5 cм, SH=4 cм.

V-?

HC= =3

AC=2HC=6

AB ² +BC ² =AC ²

AB ² =6:2=3

V= AB ² SH= *3*4=4 cм ³

№13 ( 14 нұсқа №12)

Берілген нүктеден шаршының барлық төбелеріне дейінгі қашықтық 4 см-ге тең. Ал шаршының қабырғасы 2 см-ге тең болса, берілген нүктеден шаршының жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

SA=SB=SC=SD=4 cм,

AB=2, SH-?

AB ² +BC ² =AC ²

AC= =2

HC=

SH= = cм.

№14 (17 нұсқа №21)

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір бетінің ауданы 2 см-ге,

табанының қабырғасы 2 см-ге тең. Пирамиданың көлемі неге тең?

S _{б. б} =2 cм,

AB=2cм.

V-?

S _{б. б} = P _ABCD . SM,

SM- бүйір жағының апофемасы

SM=2S _ABCD :P=4 :8=

SH=

V= *4* =2 cм ³

№15 (23 нұсқа №19)

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қыры мен табанының арасындағы бұрыш , диогональдық қимасының ауданы S. Пирамиданың көлемі неге тең?

<SAH=

S _ASC =S, V-?

=ctg

SH=h

AH=hctg

AC=2hctg

AB ² +BC ² =AC ²

2AB ² =(2hctg ) ²

AB ² =2h ² ctg ²

S _ASC = AC* SH= *2hctg *h=h ² ctg

AB=

S _ABCD =( ) ² =2Sctg V= 2Sctg =

№16 (29 нұсқа №21)

Пирамиданың табаны квадрат. Биіктігі табанының бір төбесі арқылы өтеді. Егер табанының қабырғасы 20 дм, биіктігі 21 дм болса, онда пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

ABCB-шаршы, АB=20 дм, SD=21 дм. S _{б. б} -?

S _ASD = AD SD= *20*21=210

S _ABS = AB AS= *20*29=290

S _{б. б} =2 (S _ASD + S _ABS ) =(210+290) *2=1000 дм ² =10м ²

№17 (34 нұсқа №8)

Жазықтықта тік бұрышты үшбұрыш берілген. Гипотенузасы 12 см. Кеңістікте берілген бір нүктеден үшбұрыш төбелеріне дейінгі қашықтық 10 см-ден. Үшбұрыш жазықтығынан кеңістіктегі нүктеге дейінгі қашықтықты табыңыз.

ABC-тік бұрышты үшбұрыш, АВ=12 cм,

SA=10cм

SH-?

AH=R- ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы

R= 6

SH=

№18 (34 нұсқа №19)

Пирамиданың табаны диогональдары 4 см және 2 см арасындағы бұрышы 30 ⁰ -қа тең параллелограмм. Пирамиданың биіктігі табанының кіші қабырғасына тең болса, онда көлемі неге тең?

ABCD-параллелограмм, AC=4cм, BD=2 cм, <BHC=30 ⁰

SH=AB, V-?

S= AC* BD *sin30 ⁰ = *4*2 * =2 cм ²

AB=

V= *2 *1= cм ³

2004 жыл №19 (4 нұсқа №26)

ABCD тік төртбұрышының D төбесі арқылы тік төртбұрыш жазықтығына перпендикуляр DS түзуі жүргізілген. S нүктесінен тік төртбұрыштың төбелеріне дейінгі қашықтықтар

12 м, 14 м, 18 м. DS кесіндісінің ұзындығы неге тең?

SA=12 м, SB=14 м, SC=18м

SD=?

AB=x, BC=y, SD=z

X ² +z ² =144

Y ² +z ² =196

X ² +y ² +z ² =324

144-z ² +196-z ² +z ² =324

Z ² =16

Z=4м

Жауабы: SD=4м

№20

Үшбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қырының ұзындығы см-ге тең. Бүйір қыры табан жазықтығымен 60 ⁰ бұрыш жасаса, онда пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусын табыңыз.

SA= см

<SAH=60 ⁰

AO=R- пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусы

=cos60 ⁰

AH= .

SH= =

SA ² =2R*SH

R= = см

2005 ж

№21 (4 нұсқа №30)

Дұрыс тетраэдрдің биіктігі h-қа тең. Толық бетінің ауданын табыңыз.

AB=x

SH=h

R- ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы

AS ² =SH ² +AH ²

X ² =( ) ² +h ²

X ² - =h ²

X ² = h ² S _ABC =

S _{т. б} =4

№22 (5 нұсқа №21)

Көлемі 4 см ³ , ал табанының қабырғасы 2 см-ге тең төртбұрышты дұрыс пирамиданың бүйір қырының ұзындығын табыңыз.

V=4cм ³

AB=2 см

S _ABCD =2 ² =4см ²

V= S _ABCD *SH

SH=3V: S _ABCD

SH=12:4=3

АС=2 , HC=

SC=

№23. (15 нұсқа №16)

Пирамиданың табан қабырғасы а-ға тең шаршы. Іргелес екі бүйір жағы табынына перпендикуляр, ал басқа екі бүйір жағы табанымен 60 ⁰ бұрыш жасайды. Пирамиданың толық бетінің ауданын табыңыз.

ABCB-шаршы, AB=a

<SAD=<SCD=60 ⁰

S _{т. б} =S _таб +2(S _ASD +S _SAB )

S _таб =a ²

SD = tg60 ⁰

SA= a

S _ASB = AS*AB= *a*2a=a ²

S _SAD = AD*SA= *a* a= a ²

S _{т. б} =a ² +2(a ² + a ² ) ² =a ² (3+ )

2006 ж

№24. (14 нұсқа №30)

Пирамиданың табанына параллель жазықтық қимасы биіктікті 1:1 қатынасындай бөледі. Қима ауданы 2 м ² болса, табан ауданы неге тең?

SH ₁ =2SH S ₁ =2 м ²

=( ) ²

S ₁ =8 м ²

№25 (17 нұсқа №13)

MABCD дұрыс төртбұрышты пирамиданың МО биіктігі 7 см-ге тең, ал бүйір қыры 14 см- ге тең болса, онда скаляр көбейтіндісін табыңыз.

MO=7, MA=14.

AO ² = MA ² -MO ²

AO=

M(0; 0; 7), O(0; 0; 0), C(-7 ; 0; 0)

MO(0; 0; 7)

MC(-7 ; 0; 7)

=0+0+49=49
2007 ж

№26 (6 нұсқа №24)

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың табан қабырғасы а-ға тең, бүйір қырындағы екі жақты бұрыштары 120 ⁰ -тан. Пирамиданың көлемі неге тең?

S _таб =

ABC:

CB ² =CE ² +EB ² -2CE *CB cos120 ⁰

CE=x

a ² =3x ²

SAC:

AE ² =AC ² -CE ²

AE= =a

AS=CS=y

ES ² +EC ² =SC ²

ES=AS-ES
(y- a ) ² + =y ²

y ² -2ax +2 + = y ²

AS=

SAH: AH=

SH ² =AS ² -AH ²

SH=

V= S _таб SH= * * =

2009 ж

№27 (1 нұсқа №18)

Пирамиданың табаны тік бұрышты үшбұрыш, 30 ⁰ төбесіне қарсы жатқан катеті 30 см. Бүйір қырлары табан жазықтығына 60 ⁰ бұрыш жасаса, пирамиданың биіктігін табыңыз.

ABC-тік бұрышты үшбұрыш

<A=30 ⁰ , BC=30, <SAH=60 ⁰

SH=?

AB=60

AC=

R- ABC-ға сырттай сызылған шеңбердің радиусы

R=AH

R= =30

tg60 ⁰

SH=30

№28 (2 нұсқа № 19)

SABC пирамидасының SB қыры биіктігі болады. BС=18 см, AB= 12 см,

SB=5 см <CBA=90 ⁰ болса, пирамиданың төбесінен табанының медианаларының қиылысу нүктесіне дейінгі қашықтықты табыңыз.

BС=18 см, AB= 12 см, SB=5 см <CBA=90 ⁰ SO-?

AC=

m- ABC-ның АС-ға жүргізілген медианасы

BO- АВС-ның медианаларының қиылысу нүктесі

BO= =4

SO ² =SB ² +BO ²

SO=

№29 (3 нұсқа №25)

Пирамиданың табаны-параллелограмм, оның қабырғасы 3 см және 7 см, ал диогональдарының бірі 6 см. Пирамиданың биіктігі диогональдарының қиылысу нүктесінен өтеді, ол 4 см-ге тең. Бүйір қырын табыңыз.

AB=3, BC=7, AC=6, SH=4

SA-?

AC ² +BD ² =2(AB ² +BC ² )

BD ² =2(9+49) -36

BD ² =80

BD=4

BH=BD:2=2

SB ² =SH ² +BH ²

SB ² =16+20=36

SB=6

SA ² =9+16=25

SA=5

№30 (7 нұсқа №25)

М нүктесі тең түйірлі ABCD трапеция жазықтығынан тысқары жатыр және трапеция төбелерінен бірдей 7 см қашықтықта орналасқан. Егер AB= 12 см, DC= 8 см, AD=6см болса, М нүктесінен трапеция жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

R _ABCD =R _ABD

AK=(AB-DC) :2=(12-8) :2=2

DK ² =AD ² -AK ²

DK ² =36-4=32

DK=4

DB ² =DK ² +KB ²
KB=AB-AK=12-2=10

DB ² =32+100=132

DB=2

P _ABD =(12+2 +6) :2=9+

S _ABD =

R _ABD =

MO=

№31 (13 нұсқа №25)

Дұрыс төртбұрышты пирамиданың табанының диогоналі 4 см, бүйір жақтары табан жазықтығымен 60 ⁰ жасайды. Пирамидаға іштей сызылған сфераның бетінің ауданын табыңыз.

AC=4

<SHO=60 ⁰

r _cфера -?

AB ² +BC ² =AC ²

2 AB ² =96

AB ² =48

AB=4

OH=2

<OSH=30 ⁰

r _cфера =r tg30 ⁰ =2 * =2
S=4 r _cфера ² =4 *2 ² =16

№32( 15 нұсқа №24)

Үшбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі мен бүйір жағының арасындағы бұрыш 30 ⁰ -қа тең. Пирамидаға іштей сызылған шардың радиусы 1 см-ге тең болса, табан қабырғасының ұзындығын табыңыз.

<OSK=30 ⁰

r _ABC =

SK=2OK=2 =

SO=

r _cфера =

a=6

AB=3

№33 (16 нұсқа №24)

Пирамиданың табанында катеттері 6 см және 8 см болып келетін тік бұрышты үшбұрыш жатады. Пирамиданың табанындағы барлық екі жақты бұрыштар 60 ⁰ -қа тең. Пирамиданың биіктігін табыңыз.

AC=6, BC=8, AC=10

OK=(6+8-10) /2=2

<OSK=30 ⁰

SK=2OK=4

SO ² =SK ² -OK ²

SO ² =16-4=12

SO=2

№34 (25 нұсқа №25)

Үшбұрышты пирамиданың екі бүйір жағы өзара перпендикуляр және олардың аудандары P мен Q -ға тең, ал ортақ қырының ұзындығы а-ға тең. Пирамиданың көлемі неге тең?

S _ASB =P, S _BSC =Q, SB=a V-?

AB=x, BC=y

S _ASB = AB SB

x=2P:a

S _BSC = BC* SB

y=2Q:a

S _ABC = AB* BC=

2010 ж

№35 (9 нұсқа №24)

МАВС пирамидасының барлық қырлары 6 см-ге тең, ВМ кесіндісінің ортасы К және А нүктелері арқылы және ВС қырына параллель өтетін қиманың периметрін табыңыз.

AK ² =AB ² -BK ²

AK ² =36-9=27

AK=3

KN=3

AN=3

P=3+3 +3 =3(2 +1)
№36(15 нұсқа №24)

Дұрыс төртбұрышты пирамиданың диогональдық қимасы табанымен тең шамалы. Егер бүйір қыры 5 см-ге тең болса, пирамиданың табанының ауданын табыңыз.

S _ASC =S _таб

AS=5, S _таб -?

SH=h

AB=x

AH ² =AS ² -SH ² =25-h ²

AC=

AC ² =2AB ²

AB ² =2 (25-h ² )

S _ASC = AC *SH S _таб = AB ²

h=2 (25-h ² )

h ² =4(25-h ² )

5h ² =100

h ² =20

h=2

AB ² =2(25-20) =10

S _таб =10

№37 (5 нұсқа №29)

Табанының қабырғалары 3 м және 2 м болатын, ал бүйір бетінің ауданы табандарының қосындысымен тең шамалы болатын дұрыс қиық пирамиданың көлемін табыңыз.

AB=AC=BC=3

MN=NK=MK=2

S _{б. б} = S _ABC + S _MNK

V-?

R _ABC =

S _таб =

S _ABC =
S _MNK =

S _{б. б} = (P _ABC +P _MNK ) m, m-бүйір жағының апофемасы

S _{б. б} =

R _ABC -R _MNK =

H _пир =

№38 (16 нұсқа №29)

Табандарының ауданы 16 см ² және 4см ² , ал биіктігі 3 см-гетең қиық пирамиданың көлемін табыңыз.

S _ABC =16 см ²

S _MNK =4см ²

H=3 см

V-?

V= 3 (16+4+ ) =28 см ³

№39 (17 нұсқа №24)

Үшбұрышты қиық пирамиданың биіктігі 10 м-ге тең, ал табандарының қабырғалары 27 м, 29 м, 52 м-ге тең және екінші табанының периметрі 72 м-ге тең. Пирамиданың көлемін табыңыз.

H=10 м, AC=27, BC=29, AB=52

P _MNK =72, V-?

P _ABC =24+29+52=108

S _ABC =

S _MNK =120

V= *10 *(270+120+ ) =1900м ²

ІІІ бөлім Параллелепипед.

Параллелепипед -барлық жақтары параллелограммдар болатын призма.

Тік параллелепипед- бүйір қырлары табанына перпендикуляр параллелепипед.

а, в, с- қабырғалары, d-диогональ

Тік параллелепипедтің барлық жақтары -тік төртбұрыштар.

V=abc;

S _{б. б} =2c(a+b)

S _{т. б} =2(ab+bc+ac)

d ² =a ² +b ² +c ²

2003 ж

№1 (3 нұсқа №21)

Жақтарының аудандары 6 см ² , 2см ² және 3см ² тең тік бұрышты параллелепипедтің көлемін табыңыз.

S ₁ =ab

ab=6 b=6:a

S ₂ =ac

ac=2 c=2:a

S ₃ =bc

bc= 3

a ² =4
a=2

b=6:2=3

c=2:2=1

V=abc=6cм ³

№2(8 нұсқа №19)

Биіктігі 4 см-ге тең диагоналі табан жазықтығымен 45 ⁰ бұрыш жасайтын тік бұрышты табаны шаршы параллелепипед берілген. Параллелепипедтің көлемін табыңыз.