Тригонометриялық теңсіздіктерді шығару дағдысын қалыптастыру

1. sin⁡x>a, sin⁡x<a, sin⁡x≤a, sin⁡x≥a\sin x > a, \sin x < a, \sin x \leq a, \sin x \geq aтүріндегі тригонометриялық теңсіздіктермен танысу және оларды шешудің әдістерін үйрену.
2. Тригонометриялық теңсіздіктерді шығару дағдысын қалыптастыру.
3. Жоғары деңгейлі тригонометриялық теңсіздіктерді шешу дағдысын шыңдау.

• sin⁡x>a, sin⁡x<a, sin⁡x≤a, sin⁡x≥a\sin x > a, \sin x < a, \sin x \leq a, \sin x \geq aтүріндегі тригонометриялық теңсіздіктерді және оларды шешудің әдістерін біледі;
• Тригонометриялық теңсіздіктерді шығара алады;
• Жоғары деңгейлі тригонометриялық теңсіздіктерді шығара алады.

Оқушылармен амандасу. Психологиялық дайындық.

«Ертегі әлемінде» техникасы арқылы топқа бөлу.

Ерте, ерте, ертеде, ешкі жүні бөртеде, Тригонометрия елінде 4 патшалық болыпты. Бұл патшалықтарды sin, cos, tg, ctg атты патшалар билепті. Бұл патшалардың сенімді нөкерлері болған. Олар: arcsin, arccos, arctg, arcctg. Sin пен cos елдерінің жері шексіз, яғни -∞-тен +∞-ке дейін, ал tg пен ctg елдерінің шері $- \frac{\pi}{2}\ мен\ \frac{\pi}{2}$ аралығында орналасқан. sin пен cos елдерінде жер таулы, ал tg пен ctg елдерінде жер жазық болған. Sin пен cos елдерінде ауаның температурасы -1 мен +1 аралығында, ал tg пен ctg елдерінде ауа райы өзгере берген екен.

Білу.

1. $y = \sin x$ функциясының анықталу облысы.

2. $y = \sin x$ функциясының кері функциясы.

3. $\sin x = a$ теңдеуінің түбірін мына формула бойынша табады:

4. Формуланы жалғастыр: $\sin{(\alpha \pm \beta) } =$

5. $\sin\frac{1}{2} =$

6. $\sin\frac{\sqrt{2}}{2} =$

7. $\sin\frac{\sqrt{3}}{2} =$

Түсіну. «Ойлан - жұптас - бөліс» әдісі

1-топ. $\sin x > a, \sin x \geq a$ теңсіздігінің шешімдерінің жиыны:

1. егерa<−1a < - 1болса, R
2. егер−1≤a<1- 1 \leq a < 1болса,

${(arcsin}a + 2\pi n; \ \pi - \arcsin a + 2\pi n)$

3. егерa>1a > 1болса, шешімі жоқ(⌀) (\varnothing) .

Мысалы, $\sin x \geq \frac{1}{2}$

Теңсіздіктің шеткі нүктелерін $t_{1}, t_{2}$ деп белгілеп,

$t_{1} = \arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}; \ \ \ t_{2} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

Демек, $\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{5\pi}{6}$ болады. $y = \sin x$ функциясының периодтылық қасиетін пайдаланып, берілген теңсіздіктің шешімін жазамыз: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \ \ n \in Z$

Жауабы: $x \in \left\lbrack \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right\rbrack, \ \ n \in Z$

2-топ. $\sin x < a, \sin x \leq a$ теңсіздігінің шешімдерінің жиыны:

1. егерa>1a > 1болса, R
2. егер−1<a≤1- 1 < a \leq 1болса, (−π−arcsina+2πn; arcsin⁡a+2πn) {( - \pi - arcsin}a + 2\pi n; \ \arcsin a + 2\pi n)
3. егерa<−1a < - 1болса, шешімі жоқ(⌀) (\varnothing) .

Мысалы, $\sin x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теңсіздіктің шеткі нүктелерін $t_{1}, t_{2}$ деп белгілеп, $t_{1} = - \pi - \frac{\pi}{3} = - \frac{4\pi}{3}; \ \ \ t_{2} = \frac{\pi}{3}$

Демек, $- \frac{4\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{3}$ болады. $y = \sin x$ функциясының периодтылық қасиетін пайдаланып, берілген теңсіздіктің шешімін жазамыз: $- \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \ \ n \in Z$

Жауабы: $x \in \left\lbrack - \frac{4\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right\rbrack, \ \ n \in Z$

3-топ. $\sin{3x} < - \frac{1}{2}$ теңсіздікті шешейік.

$a < 1$ болғандықтан ${( - \pi - arcsin}a + 2\pi n; \ \arcsin a + 2\pi n)$ формуласын қолдана отырып, теңсіздіктің шеткі нүктелерін $t_{1}, t_{2}$ табайық: $t_{1} = - \pi - \left( - \frac{\pi}{6} \right) = - \frac{5\pi}{6}; \ \ \ t_{2} = - \frac{\pi}{6}$ .

Демек, $- \frac{5\pi}{6} < 3x < - \frac{\pi}{6}$ болады. Енді $y = \sin x$ функциясының периодтылық қасиетін пайдаланып, берілген теңсіздіктің шешімін жазамыз: $- \frac{5\pi}{6} + 2\pi n < 3x < - \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \ \ n \in Z$ . Осы теңсіздікті 3 санына бөлcек, $- \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi}{3}n < x < - \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3}n, \ n \in Z$

Жауабы: $x \in \left( - \frac{5\pi}{18} + \frac{2\pi}{3}n; \ - \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi}{3}n \right), \ \ n \in Z$

4-топ. $\sin\left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) > \frac{\sqrt{2}}{2}$ теңсіздігін шешейік.

$a < 1$ болғандықтан ${(arcsin}a + 2\pi n; \ \pi - \arcsin a + 2\pi n)$ формуласын қолдана отырып, теңсіздіктің шеткі нүктелерін $t_{1}, t_{2}$ табайық: $t_{1} = \frac{\pi}{4}; \ \ \ t_{2} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ .

Демек, $\frac{\pi}{4} < 2x - \frac{\pi}{3} < \frac{3\pi}{4}$ болады. Енді $y = \sin x$ функциясының периодтылық қасиетін пайдаланып, берілген теңсіздіктің шешімін жазамыз: $\frac{\pi}{4} + 2\pi n < 2x - \frac{\pi}{3} < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \ \ n \in Z$ . Осы теңсіздіктің әрбір бөлігіне $\frac{\pi}{3}$ -ті қосамыз:

$\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n < 2x - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \ \ n \in Z$

$\frac{7\pi}{12} + 2\pi n < 2x < \frac{13\pi}{12} + 2\pi n, \ n \in Z$ . Енді осы теңсіздікті 2 санына бөлcек, $\frac{7\pi}{24} + \pi n < x < \frac{13\pi}{24} + \pi n, \ n \in Z$

Жауабы: $x \in \left( \frac{7\pi}{24} + \pi n; \ \frac{13\pi}{24} + \pi n \right), \ \ n \in Z$

Қолдану.

А деңгей

№1. 1) $\sin{8x} < \frac{1}{2}$

$t_{1} = - \pi - \frac{\pi}{6} = - \frac{7\pi}{6};$ $t_{2} = \frac{\pi}{6}$

$- \frac{7\pi}{6} + 2\pi n < 8x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \ n \in Z$

$- \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi}{4}n < x < \frac{\pi}{48} + \frac{\pi}{4}n, \ n \in Z$

Жауабы: $x \in \left( - \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi}{4}n; \frac{\pi}{48} + \frac{\pi}{4}n \right), \ n \in Z$

2) $4\sin x - 2 \geq 0$

$\sin x \geq \frac{1}{2}$

$t_{1} = \frac{\pi}{6}$ $t_{2} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Жауабы: $x \in \left( \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \right), n \in Z$

Талдау

В деңгей

№2. 1) $\sin x \bullet \cos\frac{\pi}{10} - \cos x \bullet \sin\frac{\pi}{10} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\left( x - \frac{\pi}{10} \right) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

$t_{1} = \frac{\pi}{4}$ $t_{2} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

$\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x - \frac{\pi}{10} \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z$

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{10} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z$

$\frac{7\pi}{20} + 2\pi n \leq x \leq \pi + 2\pi n, n \in Z$

Жауабы: $x \in \left\lbrack \frac{7\pi}{20} + 2\pi n; \pi + 2\pi n \right\rbrack, \ n \in Z$

2) $\sin{3x} \bullet \cos{3x} \leq 0, 25$

$\sin{6x} \leq \frac{1}{2}$

$t_{1} = - \pi - \left( - \frac{\pi}{6} \right) = - \frac{5\pi}{6};$ $t_{2} = - \frac{\pi}{6}$

$- \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq 6x \leq - \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \ \ n \in Z$

$- \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi}{3}n \leq x \leq - \frac{\pi}{36} + \frac{\pi}{3}n, \ n \in Z$

Жауабы: $x \in \left\lbrack - \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi}{3}n; - \frac{\pi}{36} + \frac{\pi}{3}n \right\rbrack, \ n \in Z$

3) $2\sin\left( x + \frac{\pi}{6} \right) \leq \sqrt{3}$

$\sin\left( x + \frac{\pi}{6} \right) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$

$t_{1} = - \pi - \frac{\pi}{3} = - \frac{4\pi}{3};$ $t_{2} = \frac{\pi}{3}$

$- \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \leq x + \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$

$- \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z$

$- \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z$

Жауабы: $x \in \left\lbrack - \frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right\rbrack, n \in Z$

Жинақтау

№3. $y = \sqrt{\sin\left( \frac{\pi}{3} - \frac{x}{2} \right) }$ функциясының анықталу облысын табыңдар.

$\sin\left( \frac{\pi}{3} - \frac{x}{2} \right) \geq 0$

$t_{1} = - \pi;$ $t_{2} = 2\pi n$

$- \pi + 2\pi n \leq \frac{\pi}{3} - \frac{x}{2} \leq 2\pi n, n \in Z$

$- \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \leq - \frac{x}{2} \leq - \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$

$\frac{2\pi}{3} + 4\pi n \leq x \leq \frac{8\pi}{3} + 4\pi n, n \in Z$

Жауабы: $x \in \left\lbrack \frac{2\pi}{3} + 4\pi n; \frac{8\pi}{3} + 4\pi n \right\rbrack, n \in Z$

Post It

Жинаған ұпай санына байланысты бағалау.

0 - 7 «2»

8 - 12 «3»

13 - 19 «4»

20 - 26 «5»