Инверсия және шеңберлер шоғы

Инверсия және оның қолданылуы
Кіріспе..............................................................................................................3
1. Инверсия және шеңберлер шоғы...............................................................4
1.1 Жазықтықтың қарапайым түрлендірілулері..........................................4
1.2 Стереографиялық проекция. Жазықтықтың шексіз алыстағы нүктесі.......................................................................................................................9
1.3 Инверсия...................................................................................................12
1.4 Инверсия қасиеттері................................................................................14
1.5 Шеңберге қатысты нүктенің дәрежесі. Екі шеңбердің радикалдық осі............................................................................................................................21
1.6 Инверсияны салу есептерін шешуде қолдану......................................26
1.7 Шеңберлер шоғы.....................................................................................33
1.8 Эллипстік шоқтың құрылымы...............................................................41
1.9 Параболалық шоқтың құрылымы..........................................................42
1.10 Гиперболалық шоқтың құрылымы.....................................................43
1.11 Птолемей теоремасы.............................................................................44
2. Комплекс сандар және инверсия..............................................................49
2.1 Комплекс сандардың геометриялық кескіні және оларға қолданылатын амалдар.........................................................................................49
2.2 Комплекс айнымалының сызықтық функциясы және жазықтықтың қарапайым түрлендірілулері.................................................................................53
2.3 Комплекс айнымалының бөлшек-сызықтық функциясы және жазықтықтың нүктелік түрлендірілулері............................................................54
Мысалдар.......................................................................................................58

Кіріспе
Тақырыптың өзектілігі: Геометрия есептерін шешудің бірнеше әдісі бар. Солардың бірі-түрлендірулер әдісі. Планиметрия есептерін алгебралық әдіспен шешуге қарағанда түрлендірулерді қолданып шешу әлде қайда қысқа болып табылады. Оқушыларға бір есепті бірнеше әдіспен шешіп көрсету олардың математикаға қызығушылығын арттырады, ойлау қабілетін дамытады. Геометриялық есепті түрлендірулер әдісімен шешу оңай болмайды. Берілген есеп үшін қандай түрлендіру пайдаланатынын тағайындап алу керек. Ал есепті инверсияны пайдаланып шешу шағын шығармышылық жұмыс.
Тақырыптың мақсат-міндеттері:Инверсия түрлендіруі туралы теориялық материалдар жинақтау және оны есептер шешуде қолдануын көрсету.
Геометрияда фигуралардың әр түрлі түрлендірулері маңызды орын алады. Мектепте қозғалыс гомотетия және ұқсас түрлендірулер, сондай-ақ олардың қолданылуы оқылады. Бұл түрлендірулердің маңызды ерекшелігі қарапайым геометриялық образдардың табиғатын сақтайды. Мысалы түзуді түзуге, шеңберді шеңберге түрлендіреді. Ал инверсия бұл түрлендірулерге қарағанда күрделі түрлендіру болып табылады. Инверсияда түзу шеңберге, шеңбер түзуге түрленеді. Түрлендірудің мұндай ерекшелігі элементарлы геометрия есептеріне қолданғанда өзіне тән оқу әдістемесін енгізуді талап етеді. Бұл, ең алдымен, салу есептері мен шеңберлер шоғы теориясына қатысты.
Элементар геометрияның инверсияны қолданбайтын бөлімдерін қарастыру есептердің әркелкілігінде және көп жағдайда жеке ерекшелігі бар жасанды салуларды қолдануына байланысты.
Инверсияның айтылған қолдануларымен қатар ол элементар геометрияның басқа да мәселелерінде және жоғары геометрияда қолданылады.
Дипломдық жұмыста инверсия деп аталатын түрлендіру жан-жақты қарастырылады. Инверсия түрлендіруін салу есептерінде және дәлелдеулерде қолдану басқа жолмен қиын шешілетін бірқатар есептерді шешуді жеңілдетеді.
Бұл әдіс алғаш XIX-ғасырдың 30-шы жылдарында енгізіле бастады. Бұл жұмыста қарастырылатын есептерді шығару әдісін инверсия әдісі, немесе кері радиустар әдісі, немесе айналдыру әдісі деп атауға болады.
Салу есептері оқушының математикалық мәдениетін, дағдысын, ой-өрісін, дайындығын дамытуға зор көмек береді. Инверсия салу есептерін шешуге қолданылатын әдістердің ішінде ең кереметі.

Жазықтықтың қарапайым түрлендірілулері
Бұл тақырыпта жазықтықтағы фигуралар жайында және бір геометриялық фигураны екінші бір геометриялық фигураға түрлендіру басты сөз болады. Қандайда бір жазықтықты қарастырайық және осы жазықтықтың әрбір Х нүктесіне оныңx' нүктесі сәйкес қойылатындай заң берілген болсын. Осы заңдылықтыжазықтықтың түрлендірілуі, ал X' нүктесі Xнүктесінің бейнесі деп аталады. Жазықтықтың түрлендірілуін гректің φ әрпімен белгілейік,ал X' нүктесін φ(X) деп белгілеп алайық.
Айталық жазықтықта φ түрлендірілуі берілсін және F сол жазықтықтағы қандайда бір фигура болсын. φ түрлендірілуі F фигурасының әрбір Xнүктесін оның бейнесі X' нүктесіне көшіреді. F фигурасының нүктелерінің барлық бейнелерінің жиынынF' фигурасы делік. F' фигурасы F фигурасының φ түрлендіруіне қатысты бейнесі деп аталады. F' фигурасын φ(F) түрінде белгілеуге болады. Бұдан F'=φ(F), яғни φ түрлендіруі жазықтықтың әрбір F фигурасын оның бейнесі F' фигурасына көшіріп отырады(1-сурет).

1-сурет
Жалпы жағдайданүкте мен оның бейнесі әртүрлі нүктелер. Xнүктесі мен оның бейнесі-φXбеттессе X нүктесі