Тригонометриялық теңдеулер және теңсіздіктер

Мұғалжар ауданы №7 орта мектеп

Тақырыбы: Күрделі тақырыптардағы есептерді шешу мысалдары
(жоғарғы сынып оқушыларына математикадан көмекші құрал)

Дайындаған: математика пәнінің мұғалімі Нұрбаева Ж.К.

2015 жыл

І. Оқушылардың функционалдық сауаттылығын дамытуға арналған жаттығулар

1. Суретте Қанаттың дүкеннен велосипед сатып алғандағы дүкенге бару және қайту қозғалысының графигі кескінделген. Қанаттың дүкенге барып-қайтқандағы орташа жылдамдығын табыңыз.

А) 4 км/сағ
В) 6 км/сағ
С) 12 км/сағ
Д) 8 км/сағ
Е) 9 км/сағ
Шығару жолы:
Қанаттың дүкенге баруға кеткен уақыты 40 мин. Ол дүкенде 10 мин сауда жасады, үйге қайту уақыты 20 мин. Барлық жүрген жолы 8 км. Жолда жүрген барлық уақыты 60 мин., яғни 1 сағ.
Орташа жылдамдық - Vорт. = 8 км/1 сағ. =8 км/сағ.
Жауабы: Д) 8 км/сағ.

2. Бөлменің есігі жақтауларының ені бірдей болатындай етіп шынылған. Шынының ауданы 1,8 м2. Жақтаудың енін х деп алып, шынының ауданын табуға арналған теңдеуді көрсетіңіз.

А) (1,2-2х)(2-2х)=1,8
В) 2(1,2-2х)=1.8
C) (1,2-2х)х=1.8
Д) (1,2-х)(2-х)=1,8
Е) 2(2-2х)=1.8
Шығару жолы:
Шынының ені: 1,2м-2х.
Шыны ұзындығы: 2м-2х
_______________________
Шыны ауданы: (1,2-2х)(2-2х)=1,8м.
Жауабы: А)

3. Төмендегі диаграммада сыныптағы 31 оқушының үйірмелерге қатысуы берілген. Екі үйірмеге де неше оқушы қатысатынын табыңыз.

А) 7
В) 5
С) 8
Д) 6
Е) 4
Шығару жолы:
Сыныптағы барлық оқушы санынан үйірмеге қатыспайтын оқушылар санын алып тастаймыз.
31-5=26
Спорттық үйірмеге 19 оқушы, ал би үйірмесіне 12 оқушы қатысады, жалпы саны
19 +12=31.
Екі үйірмеге де қатысатын оқушылар саны
31-26=5.
Жауабы: С)
4. Құрылыс фирмасы 40 м2 құрылыс діңгектерін үш сатушыдан алуына болады. Бағалары мен жеткізу шарттары кестеде көрсетілген. Жеткізу шартымен есептегенде ең аз төлемақыны табыңыз.

Сатушы
Діңгек бағасы (1м3 үшін тг-мен)
Жеткізу ақысы
Қосымша шарттар
1
700
10000
-
2
900
8000
Сауда 30000 тг-ден артыққа жасалса, жеткізу тегін
3
750
8000
Сауда 50000 тг-ден артыққа жасалса, жеткізу тегін
А) 35500 тг.
В) 44000 тг.
С) 38500 тг.
Д) 37000 тг.
Е) 36000 тг.
Шығару жолы:
1- сатушы: 40*700=28000, 28000+10000=38000. (мұнда жеңілдік жоқ)
2-сатушы: 40*900=36000 (мұнда жеткізу тегін)
3-сатушы: 40*750 =30000 , 30000+8000=38000. (жеңілдікиі қолдана алмайды)
Үш бағаны салыстырып, екінші сатушының бағасының арзан екенін көреміз.
Жауабы: Е)

5. Суретте көрсетілген боялған төртбұрыштың ауданын табыңыз.

1cм

А) 26 см2 В) 27,5 см2
С) 28,5 см2 Д) 29 см2
Е) 31 см2

Шығару жолы:

Төмендегідей белгілеулер енгізіп аламыз. Суреттегі фигуралардың төбелерін A, B, C, D, E, L, M, N. Толық аудан ABCD төртбұрышының ауданын есептейік:
SABCD=9*8=72 см2
Боялған төртбұрыштың ауданын табу үшін боялмаған клеткалардың аудандарын тауып аламыз:
SAKE = 3*7/2 = 10.5 см2
SECD= 6*8/2 = 24 см2
SLNC =2*7/2=7 см2
SKML=1*2/2=1см2
SKBNM = 2*1=2 см2
Енді боялған жердің ауданын табу үшін жалпы ауданнан боялмаған ауданды алып тастаймыз:
SKLCE = 72-10.5-24-7-1-2 = 27,5
Жауабы: В)

6. Төмендегі диаграммада үш оқушының математика пәнінен олимпиадаға қатысып, берілген он есептің нешеуін шығарғаны көрсетілген. Кем дегенде
неше есепті үш оқушы да шығарғанын табыңыз.

А) 5
В) 1
С) 3
Д) 4
Е) 2
Шығару жолы:
Әділханның шығармаған есеп саны: 10-9=1
Арманның шығармаған есеп саны: 10-6=4
Мақпалдың шығарған есептер санынан осы екі баланың шығармаған есептер санын алып тастаймыз:
7-1-4=2,
демек ең кем дегенде екі есепті үш оқушы да шығарған.
Жауабы: Е)

7. Ғаламтор провайдері үш тариф белгіледі:
Тариф атауы
Абоненттік төлемақы
Қосымша төлемақы
<<0>>
Жоқ
1 Мб үшін 1,5 тг.
<<400>>
Айына 400 тг. 500 Мб үшін
500 Мб-тан артық болса, 1 Мб үшін 2 тг.
<<600>>
Айына 600 тг. 550 Мб үшін
550 Мб-тан артық болса, 1 Мб үшін 2 тг.

Егер қолданушы айына 650 Мб қолданатын болса, осы қолданушы үшін ең арзан тарифті таңдап, бағасын есептеңіз.
А) 825 тг.
Б) 750 тг.
С) 650 тг.
Д) 850 тг.
Е) 700 тг.
Шығару жолы:
1. <<0>>-дік тарифте 650*1,5 =975 тг.
2. <<400>>-дік тарифте 400+(650-500) *2 =700 тг.
3. <<600>>-дік тарифте 600+(650-550)*2 = 800 тг.
Осы үш бағаны салыстырып, ең арзаны 700 тг. екенін анықтаймыз.
Жауабы: Е)

8. Екі жолаушы Арқалықтан Астанаға барғанда пойызбен немесе автокөлікпен барғанда қаражат үнемдеу жолын ойластырды. Пойыз билетінің құны бір адамға 2655 тг. Автокөлік 100 км жолға 10 л жанармай жұмсайды, ал жанармай бағасы бір литрге 110 тг. Автокөлікпен жүрген жолдың ұзындығы 400 км. Ең аз дегенде екі адамға қанша теңге төленеді?
А) 4650 тг.
В) 5455 тг.
С) 5280 тг.
Д) 5310 тг.
Е) 4400 тг.
Шығару жолы:
1. Пойызбен : 1 адамға 2655 тг.
2 адамға: 2*2655 =5310 тг.
2. Автокөлікпен:
100 км-ге 10 л жұмсаса,
400 км-ге 40 л жанармай жұмсалды: 4*10л =40л,
1 л жанармай 110 тг болса,
40 л жанармай:
110*40 =4400 тг.
Салыстырсақ: пойызбен екі жолаушы 5310 тг., автокөлікпен екі жолаушы 4400 тг. жұмсайды
Жауабы: Е)

9. Үш фирманың біреуіне көрмені шынылау үшін 100 бірдей шыныға тапсырыс беруге болады. Әр шынының ауданы 0,5 м2. Кестеде шыны мен оны кесу бағалары көрсетілген. Ең тиімді тапсырысқа қанша теңге төленетінін анықтаңыз.
Фирма
Шыны бағасы
(1 м2 үшін тг-мен)
Кесу бағасы
(1 шыны үшін тг-мен)
Қосымша шарттар
1
70
10

2
80
8
Сауда 3000 тг-ден артыққа жасалса, шыны бағасына 10% жеңілдік
3
75
5
Тапсырма 4000 тг-ден артыққа жасалса, кесу тегін

А) 4500 тг.
В) 4100 тг.
С) 4400 тг.
Д) 3750 тг.
Е) 4250 тг.
Шығару жолы:
100 шынының ауданы: 0,5*100 =50 м2
І фирма: 70*50+ 100*10=3500+1000=4500тг.
ІІ фирма: 80*50=4000 тг. Қосымша шарттарды пайдаланып, шыны бағасынан 10 %-ды алып тастаймыз:
4000-400=3600 тг.
Кесу бағасы: 100*8=800 тг.
Жалпы бағасы: 3600+800 =4400 тг.
ІІІ фирма: 75*50=3750
3750+500=4250 тг.
Үш фирманың бағасын салыстырып, үшінші фирманың бағасы арзан екенін көруге болады.
Жауабы: Е)

10. Қамырдан 20 бірдей қалаш немесе 25 бірдей тоқаш жасауға болады. Егер бір қалашқа тоқашқа қарағанда 10 г қамыр артық кететін болса, барлық қамырдың салмағы қандай болғаны?
А) 750 г
В) 1 кг
С) 2 кг
Д) 1,5 кг
Е) 500г
Шығару жолы:
Бір тоқашқа кететін қамыр х гр.
Бір қалашқа кететін қамыр х+10 гр.
(х+10) ∙20 = 25х
20х+200 = 25х
5х = 200
X = 40
Барлық қамыр 25х = 25 ∙ 4 = 1000гр = 1кг
Жауабы: В

ІІ. Логикалық есептер

1. Раушан, Орал және Маржан жеңіл атлетикадан Қазақстан турниріне қатысты. Раушан жүгірумен, дискі лақтырумен айналыспайды. Орал - жүгірумен айналыспайды, ал Маржан ұзындыққа секіру және дискі лақтырумен айналыспайды. Турнирге кім спорттың қай түрімен қатысты?
Шығару жолы:

жүгіру -
Раушан дискі лақтыру -
ұзындыққа секіру +

ұзындыққа секіру -
Маржан дискі лақтыру -
жүгіру +

жүгіру -
Орал дискі лақтыру +
ұзындыққа секіру -
Жауабы: Раушан - ұзындыққа секіру, Орал - дискі лақтыру, Маржан - жүгіру

2. Зообақ қызметкері кенгуру әр қыс сайын 5 кг-ға толықтап, әр жаз сайын 4 кг-ға жүдейтін, ал көктем мен күзде салмағы өзгермейтінін байқаған. 2008 жылы көктемінде кенгуру салмағы 100 кг болса, 2004 жылы күзінде оның салмағы қандай болған?

Шығару жолы:
2004ж - күз х
2004ж - қыс, желтоқсан х+5
2005ж - қыс, қаңтар, ақпан

2005ж - жаз x+5-4=x+1

2005ж - қыс,желтоқсан
2006 ж - қыс, қаңтар х+1+5=х+6

2006ж - жаз х+6 - 4=х+2

2006 ж - қыс, желтлқсан
2007ж-қыс,қаңтар х+2+5=х+7

2007ж - жаз х+7-4=х+3

2007ж - қыс, желтоқсан
2008ж - қыс, қаңтар х+3+5=х+8
100кг

2008 ж - көктем 100кг

Х+8=100
х=92кг
Жауабы: 92 кг

3. Алдар көсе бір байдың үйіне жұмысқа жалданады. Бір жылдық жұмыс істегені үшін 1 жылқы және 100 000 теңге алу керек болатын, бірақ ол 7 айдан кейін жұмыс істегісі келмей, жұмыстан кетеді. Өзімен 1 жылқы және 20000 теңге алып кетеді. 1 жылқының құны қанша?
Шығару жолы:
1 жыл=12 айда 1 жылқы 100 000 тг
7 айда 1 жылқы 20 000 тг

Сонда:
5 айда = 80 000 тг
Демек:
1 айда = 16 000 тг
Бұдан: 1 жыл = 12 айда 16 000 тг * 12 = 192 000тг
Сонда 1 жылқы құны 192 000 тг - 100 000тг = 92 000 тг
Жауабы: 92 000 тг

4. Ондық цифрлары бірліктер цифрларынан улкен болатын қанша екі таңбалы сан бар?

Шығару жолы:
10, 1 сан
20,21, 2 сан
30,31,32 3 сан
.........................................................
.........................................................
90,91,92,93,94,95,96,97,98 9 сан

Жалпы: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
Жауабы: 45 сан

5 . Ұлы,қызы, шешесіүшеуі бірігіп бірнеше теңге жұмсаған. Ұлы мен шешесі 320 тг, ұлы мен қызы 250 тг,ал қызы мен шешесі 200 тг жұмсаған. Барлығы қанша теңге жұмсаған.
Шығару жолы:
ұ+қ+ш=х

ұ + ш = 320
ұ+қ = 250
ш+қ = 200

Бұдан:

ш қ =70
+ ш+қ = 200
2ш = 270 қ = 135 - 70
ш = 135 қ =65
ұ = 320-135
ұ = 185 Демек: ш+қ+ұ =135+185+65=385
Жауабы: 385 тг

6. Электронды сағат уақытты сағат және минутпен көрсетеді. (00:00 - 23:59 аралығы). Бір тәулікте бұл сағаттың көрсеткішінен мына 2,0,1,8 цифрларын неше рет көруге болады? (кез - келген ретте)
Шығару жолы:
01:28, 02:18, 08:12, 08:21, 10:28, 12:08, 18:02, 18:20, 20:18, 21:08
Жауабы: 10 рет
7. Автотұрақта бес машина бірінен соң бірі тұр. <<Волга>> <<Мерседестің>> алдында, <<Ауди>> <<Тайотадан>> кейін. <<Мерседес>> <<Лексустың>> алдында, <<Лексус>> <<Тайотаның>> алдында тұр. Тұрақта машиналар қандай ретпен тұр?
Шығару жолы:
<<Волга>> <<Мерседестің>> алдында: ВМ
<<Ауди>> <<Тайотадан>> кейін: ТА ВМЛТА
<<Мерседес>> <<Лексустың>> алдында: МЛ
<<Лексус>> <<Тайотаның>> алдында: ЛТ
Жауабы: Волга, Мерседес,Лексус, Тайота, Ауди.

8. 31000 саны қандай цифрмен аяқталады?
Шығару жолы:
1000 / 4=250 31 = 3 35 =243 ......
32 = 9 36 =729 .......
33 = 27 37 = 2187 ...........
34 = 81 38 = 6561 ...........

Жауабы: Демек: 31000 тең саны 1 цифрымен аяқталады.

9. А, В, С - әртүрлі оң цифрлар санымен қатар АВС * АВС = 207936.
Бұл цифрлардың қосындысын табыңдар: А+В+С=?
Шығару жолы:
АВС*АВС =(АВС)2 = 207936
АВС = 456
А+В+С = 4+5+6 = 15
Жауабы: 15

10. Бір газеттің жалпы бетінің саны 48 және оның ішіндегілердің барлығы тек екібеттік қағаздар. Осы газеттен әрбір екі беттігін алып ашып қарағанда, беттік нөмірлерініңқосындысы қандай да бір тақ санды береді. Ол қай сан?
Шығару жолы:
2 - ші бет пен 47 - ші бет
2+47=49
Жауабы: 49

ІІІ. Мәтін есептер

1. Катер өзен ағысымен 15 км және 4 км тынық суда жүзді. Барлық жолға 1 сағ уақыт кетті. Өзен ағысының жылдамдығы 4 км/сағ болса, онда катердің өзен ағысымен жүзгендегі жылдамдығын табыңыз.
Шығару жолы:
s=vt жолдың формуласынан
t=sv;
сонда 15v+4+4v=1

15v+4v+16v(v+4)=1
19v+16=v2+4v
v2-15v-16=0
D=225+64=289
v1=15-172=-1; v2=15+172=16
Сонда катер өзен ағысымен жүзгенде 16км/сағ. + 4км/сағ. =20км/сағ.
Жауабы: 20 км/сағ.

2. Құны 225 мың теңгелік екі бағалы тері халықаралық аукционда 40 % пайдамен сатылды. Егер бірінші теріден 25%, екіншісінен 50% пайда түскен болса, әр терінің жеке бағасы қанша?

Шығару жолы:
x+y=2251,25x+1,5y=225+0,4∙225=315
Бірінші теңдеуден y=225-x, екінші теңдеуге қойып:
1,25x+1,5(225-x)=315
1,25x+337,5-1,5x=315
-0,25x=-22,5
x=90
y=225-90=135
Жауабы: 135 мың және 90 мың теңге.

3. Жинақ кассасынан ақша сақтаушы кісі әуелде өз ақшасының 14 бөлігін алып, екінші рет қалған ақшасының 49 бөлігін және 640 тг алды. Ақшасын екі рет алғаннан кейін жинақ кітапшасында барлық салған ақшасының 320 бөлігі қалды. Басында салған ақшасының мөлшері қандай еді?
Шығару жолы:
Әуелде салған ақшасын х деп аламыз. Сонда бірінші рет 14x ақша алғанда x-14x=34x ақшасы қалды. Екінші рет қалған 34x ақшаның 49 бөлігін және 640 тг алды.
Сонда: 34x∙49=13x,
демек 34x-13x-640=320x ,
512x-320x=640
1660x=640
4x15=640
x=2400
Жауабы: 2400 тг.

4. Екі кран бірлесе жұмыс жасай отырып, баржадағы жүкті 6 сағатта түсіріп болды. Егер олардың біреуі екіншісіне қарағанда жүкті 5 сағатқа ерте түсіретін болса, онда олардың әрқайсысы жүкті неше сағатта түсіріп болар еді?
Шығару жолы: 1x+1x-5=16;
2x-5x(x-5)=16;
x2 -17x+30=0
D=289-120=169
x1=17-132=2; x2=17+132=15
Жауабы: x=15 сағ.
х - 5=15 - 5=10 сағ.

5. Ара қашықтығы 900 км екі қаладан бір-біріне қарама-қарсы екі пойыз шығып, олар жол ортада кездескен. Бірінші пойыз екіншісінен 1 сағат кеш шығып, екінші пойыздың жылдамдығынан 5км/сағ артық жылдамдықпен жүрген. Әр пойыздың жылдамдығын табыңыз.
Шығару жолы:
Пойыздар жол ортада кездескендіктен, олардың әрқайсысы 450 км жол жүр-ген. Бірінші пойыздың жылдамдығы v+5, екінші пойыздың жылдамдығы v.
450v+5=450v-1
450v-450v-2250v(v+5)=-1
v2+5v-2250=0
D=25+9000=9025=952
v1=-5-952=-50 ; v2=902=45
Жауабы: v =45км/сағ.
v +5 км/сағ = 50 км/сағ.

6. Фотоаппараттың бағасын екі рет бірдей процентке арзандатқанда оның бағасы 300 тг-ден 192 тг-ге түсті. Фотоаппараттың бағасы екі ретінде де неше пайызға арзандатылған?
Шығару жолы:
300 -->100%
a --> х%
a=300x100=3x
Бірінші арзандатылғаннан кейінгі бағасы 300 - 3х болды.
300 - 3х--> 100%
b--> x%
b=300-3xx100=3x-0.03x2
Екінші рет арзандатылғаннан кейінгі бағасы:
300 - 3х - 3х+0,03х2 =192
0,03х2 - 6х + 108 =0
D=36 - 12,96=23,04=4,82
x1=6-4,82∙0,03=1,20,06=20
Жауабы: Фотоаппараттың бағасы екі рет 20%-ға арзандаған.

7. Тауардың бағасы алдымен 20%-ға, одан кейін жаңа бағасын тағы да 25%-ға кемітті. Тауардың бастапқы бағасын неше процентке кеміткен?

Шығару жолы:
Тауардың бағасын х деп аламыз. Сонда: х -->100%
0,2х --> 20%
Бірінші рет арзандатқаннан кейінгі бағасы х - 0,2х =0,8х. Енді 0,8х-->100%
0,2х-->25%
Екінші рет арзандатқаннан кейінгі бағасы 0,8х - 0,2х=0,6х.
Алғашқы бағасы х, соңғы бағасы 0,6х. Демек, х - 0,6х=0,4х, яғни 40%-ға арзандаған.
Жауабы: 40%

8. Теңіз суының құрамында 5% тұз бар (массасы бойынша). 80 кг теңіз суына, ондағы тұздың мөлшері 4 % болуы үшін қанша тұщы су құю керек?
Шығару жолы:
80 кг-->100%
х -->5%
x=80∙5100=4 , демек: х =4 кг тұз бар.
Сонда 4 кг -->4%
100 кг-->100%
100 кг - 80 кг = 20 кг.
Жауабы: 20 кг тұщы су керек.

9. Картоп егілген жердің бір бөлігінің ауданы екіншісіне қарағанда 2 га артық. Бірінші бөліктен 748 тонна, екіншісінен 720 тонна картоп жиналды. Егер екінші бөліктің 1 гектарынан жиналған картоп бірінші бөліктің 1 гектарынан жиналған картоптан 4 тоннаға көп болса, онда әр бөліктің 1 гектарынан қанша картоп жиналды?
Шығару жолы:
Бірінші бөліктің өнімділігі х,
ауданы y+2
Екінші бөліктің өнімділігі х+4
Ауданы y деп алып, төмендегі жүйеге ие боламыз:
xy+2=748yx+4=720

Екінші теңдеуден: y=720x+4. Осыны бірінші теңдеуге қойып:
x∙720x+4+2=748
720xx+4+2x=748
2x2+728x - 748x - 2992 =0
2x2 - 20x - 2992 =0
x2 - 10x - 1496 =0
D=100+5984=6084=782
x=10+782=44
Жауабы: Бірінші бөліктің өнімділігі х =44 тонна
Екіншісі бөліктің өнімділігі х+4=48 тонна

10. Екі мотоциклші бір мезгілде бір-біріне қарамаса-қарсы А мен В пунктерінен шыққан. Олардың ара қашықтығы 600 км. Бірінші мотоциклші 250 км жүргенде екіншісі 200 км жүреді. Бірінші мотоциклші В-ға екіншінің А-ға жеткен уақытынан 3 сағат бұрын жетеді. Олар бірқалыпты қозғалады деп есептеп, мотоциклшілердің жылдамдықтарын табыңдар.
Шығару жолы:
v1 - бірінші мотоциклшінің жылдамдығы
v2 - екінші мотоциклшінің жылдамдығы
250v1=200v2;
200v1 =250v2
v1=1,25v2
600v1=600v2-3
6001,25v2=600v2-3
480=600 - 3v
v2 =40
демек, v1=1,25v2=1,25 ∙ 40=50.
Жауабы: 40 км/сағ., 50 км/сағ.

ІV. Логорифмдік теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелері

1. Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз:
5x+2log0,22+18log0,22<04x+3℃∙2x-4x2+x+3<0 log0,225x+4+log0,2218<022x+3∙2x-4x2+x+3<0

Шығару жолы:
Жүйедегі бірінші теңсіздікті шығарамыз:
log0,2(25x+2∙218)<0
25x+2+18>0,20
25x+20>1
25x+20>20
5x+20>0
5x>-20
x>-4

- 4
Екінші теңсіздікті шешу үшін жаңа айнымалыны енгіземіз:
22x+3∙2x-4x2+x+3<0 теңсіздігінен
22x+3∙2x-4=0 x2+x+3=0
y2+3y-4=0 D= 1 - 12 = - 11
D=9 + 16 = 25
y1=-3-52=-4
y2=-3+52=1
2x=y
2x!=-4
2x=1
x = 0
Жауабы: (- 4; 0)

2. Теңдеуді шешіңіз:
log33x2-13x+28+29=log50,2
Шығару жолы:
Теңдеудің оң жағындағы
log50,2=log5210=log515=-1 сонда,
log33x2-13x+28+29=-1 бұдан
3x2-13x+28+29=13
3x2-13x+28=13-29=19=3-2
x2-13x+28=-2
x2-13x+30=0
D=169-120=49
x1=13-71=3
x2=13+72=10
Жауабы: x1=3; x2=10

3. Теңсіздікті шешіңіз:
1-5logx2+6logx22<0
Шығару жолы:
Жаңа айнымалыны енгізу арқылы y=logx2 квадрат теңдеу аламыз:
6y2-5y+1<0
D=25-24=1
y1=5-112=412=13
y2=612=12
Бұдан logx2=13 және logx2=12
x13=2 x12=2
x = 23 x = 22
x = 8 x = 4
Жауабы: (4; 8)

4. Теңсіздікті шешіңіз:
5∙0,2lgx>0,22lg2
Шығару жолы:
5∙15lgx>0,2lg4
5∙15lgx>15lg4
15-1∙15lgx>15lg4
-1+lgxlgxlgxlgxlgxx<40
Жауабы: Логорифмдік функцияның анықталу аймағын есепке алып, х > 0 болғандықтан, шешімі (0; 40)

5. Теңсіздікті шешіңіз:
2log8x-1-log8(x-2)>=23
Шығару жолы:
log8x-12-log8x-2>=23
log8(x-1)2x-2>=23
(x-1)2x-2>=4
(x-1)2x-2-4>=0
x2-2x+1-4x+8x-2>=0
x2-6x+9(x-2)>=0
x2-6x+9=0
x1,2=3
x!=0
Жауабы: Бөлшек функцияның анықталу аймағын есепке алсақ: x!=0, теңсіздіктің шешімі (2; infinity)

6. Теңдеуді шешіңіз:
log392x-3=3log94
Шығару жолы:
Логорифмдердің қасиеттерін қолданып,
log332(2x-3)=32log92, бұдан
log334x-6=9log92 сонда:
4x-6=2
4x=8
x=2
Жауабы: x=2
7. Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз:
log2x- 4log2x-3 x(9-x)>0
Шығару жолы: Жүйенің бірінші теңсіздігін шешіп:
log2x-4log2x-3<=0
log22x-3log2x-4log2x-3<=0 немесе
log22x-3log2x-4(log2x-3)<=0 бұдан
log22x-3log2x-4=0 және log2x-3=0
Жаңа айнымалы x = 23
y=log2x x = 8
енгізіп,
y2-3y-4=0
D=9+16=25
y1=3-52=-1
y2=3+52=4 бұдан x-ті тапсақ:
log2x=-1 және log2x=4
x = 2-1 x = 24
x=12 x = 16
Логорифмнің АО есепке алып х >0, бірінші теңдеудің шешімін жазамыз:
О; 12 ∪ (8; 16].
Енді жүйенің екінші теңдеуін шығарамыз:
x(9-x)>0
x = 0 9 - x =0
x = 9 теңдеудің шешімі: (0; 9)
Жауабы: Жүйенің шешімі О; 12∪(8; 9]
8. Теңдеуді шешіңіз:
3log23x2-x-10log2x=2
3log23x2-x-10=2log2x
log2(3x2-x-10)3=log2x2
x2-x-10=x2
x=-10
Жауабы: шешім жоқ, анықталу аймағында x>0 болуы керек.
9. Теңдеуді шешіңіз және теңдеулерінің түбірлерінің қосындысын табыңыз:
lgx+7-12lg2x-1=2-lg25
lgx+72x-1=lg4
x+72x-1=4
(x+7)2=16(2x-1)
x2-18x+65=0
D=64
x1=18-82=5
x2=18+82=13
Бұдан x1+x2=5+13=18
Жауабы: 18

10. Теңсіздікті шешіңіз:
log2x<0log16x2-3x+2<-1
Шығару жолы:
Жүйенің бірінші теңсіздігін шешеміз:
log2x<0
x<23
x<8
АО: x>0. Сонда 0log16x2-3x+2<-1 AO: x2-3x+2>0
x2-3x+2>16-1 , бұл жерде АО ескермесе де болады:
x2-3x+2>6
x2-3x-4>0
D=25
x1=4 x2=-1
Жауабы: Теңдеудің шешімі (- infinity; -1) ∪ (4; infinity). Ал жүйенің шешімі (4; 8).

V. Тригонометриялық теңдеулер және теңсіздіктер
1. Теңсіздікті шешіңіз:
-12
sint-ға байланысты теңсіздіктерді шешкенде Oy өсіне қатысты шешеміз. Шешімді жазғанда сағат тіліне қарсы бағытта жазамыз.
Жауабы: -PI6+2nPI; PI6+2nPI∪5PI6+2nPI; 7PI6+2nPI.

2. Теңсіздікті шешіңіз:

sinxcosPI6-cosx∙sinPI6<=12
sinx-PI6<=12
-7PI6+2nPI<=x-PI6<=PI6+2nPI
-7PI6+2nPI+PI6<=x<=PI6+2nPI+PI6
-PI+2nPI<=x<=PI3+2nPI
Жауабы: -PI+2nPI; PI3+2nPI

3. Теңсіздікті шешіңіз:
-12
Cost-ға байланысты теңсіздіктерді шешкенде Ох өсіне қарай есептейміз.
Жауабы: -2PI3+2nPI; -PI3+2nPI∪PI3+2nPI; 2PI3+2nPI

4. Теңсіздікті шешіңіз:
-12<=sint<32

y=-12 және y=32 түзулерін жүргіземіз.
Сағат тіліне қарсы бағытта шешімді жазамыз.
Жауабы: -PI6+2nPI; PI3+2nPI∪2PI3+2nPI; 7PI3+2nPI

5. Функцияның анықталу аймағын табыңыз:
y=cosxsinx+1;

Бұл функцияның анықталу аймағы төмендегі теңсіздіктер жүйесінің шешімі болып табылады.
cosx>=0sinx+1!=0
sinx!=-1 x!=-PI2+2nPI
-PI2+2nPIЖауабы: -PI2+2nPI
6. Теңсіздікті шешіңіз:
2cosx-PI3>-2

cosx-PI3>-22
x=-22 түзуін бірлік шеңберде жүргіземіз.

Шешім төмендегіше жазылады:
-3PI4+2nPIБұдан х-ті тапсақ:
-3PI4+2nPI+PI3-5PI12+2nPIЖауабы: -5PI12+2nPI
7. Теңсіздікті шешіңіз:
-12
y=12 және y=32 түзулерін жүргіземіз. Сонда шешім:
2PI3+2nPI немесе
PI6+2nPI; PI3+2nPI∪2PI3+2nPI; 5PI3+2nPI
Жауабы: PI6+2nPI; PI3+2nPI∪2PI3+2nPI; 5PI3+2nPI

8. Теңдеуді шешіңіз:
sin2x=32
2x=-1nPI3+nPI
Бұдан х-ті тапсақ: x=(-1)nPI6+nPI2;
Жауабы: x=(-1)nPI6+nPI2

9. Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз:
sinx>=12cosx>12

y=12 және x=12 түзулерін жүргіземіз.
Жауабы: PI6+2nPI; PI3+2nPI

10. tgx>=-1 теңсіздігін x ∈-PI2;PI4 аралықта шешіңіз:

-PI4<=x<=PI4
Жауабы: [-PI3; PI4].

VI. Стереометрия есептері

1. Шардың диаметрі 1:2:3 қатынаста бөлінген және осы нүктелер арқылы перпендикуляр жазықтықтар жүргізілген. Егер қималардың аудандарының қосындысы 52PI болса, шардың бетінің ауданын табыңыз.

Шығару жолы: S1 + S2 = 52PI
R1=R2-49R2=53R
R2=R2-19R2=223R
S1+S2=PIR21+PIR22=59R2PI+89R2PI139PIR2=52PI
139R2=52
R2=36
R=6
Sшар=4PIR2=4∙PI∙62=144PI
Жауабы: 144PI

2. Конустың жасаушысы 6 см-ге тең және табан жазықтығына 600 бұрыш жасай көлбеген. Конустың толық бетінің ауданын табыңыз.

Берілгені: L=6
Табу керек: Sкон.т.б.=?
Шығару жолы:
300 бұрышқа қарсы жатқан катет гипотенузаның жартысына тең. Демек:
R=L2=6см2=3см
Сонда: Sт.б. = Sтаб.+Sб.б.
Демек: S=PIR2+PIRL=32∙PI+3∙6∙PI=9PI+18PI=27PI
Жауабы: 27PI см2

3. Табан қабырғалары 6 см, 8 см, 10 см, ал биіктігі 8 см үшбұрышты призма берілген. Толық бетінің ауданын табыңыз.
Шығару жолы:
Үшбұрышты призманың табан қабырғаларының ұзындықтарынан тікбұрышты үшбұрыш екендігін анықтаймыз: 102 = 62 + 82.
Сонда табан ауданы:
Sтаб=6 см∙8см2=24 см2
Бүйір жазықтарының аудандары:
S1=8см∙8см=64см2
S2=8см∙6см=48см2
S3=8см∙10см=80см2
Сонда бүйір бетінің ауданы:
Sб.б.=64см2+48см2+80см2=192см2
Ал толық бетінің ауданы:
Sт.б.=Sб.б.+2Sтаб.=192см2+2∙24см2=240см2
Жауабы: 240см2

4. DABC пирамидасында AD қыры биіктігі болады. АС =18, AB =12,
AD =5, ∆CAB =90o болса, пирами-даның төбесінен табанының медиа-наларының қиылысу нүктелеріне дейінгі қашықтықты табыңыз.
Шығару жолы:
CB=182+122= 468=36∙13=613
Тікбұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер центрі гипотенузаның ортасы болып табылады. Сонда, ол шеңбердің радиусы гипотенузаға жүргізілген медиананың ұзындығына тең.
Демек: AE=R=CB2=6132=313
Ал медианалардың қиылысу нүктесінде қатынаста бөлінетінін есепке алсақ,
OE=13AE=13∙33=13 және AO=23∙AE=23∙313=213
Сонда ізделінді қашықтық:
BO=AD2+AO2=52+(213)2=25+4∙13=25+52=77
Жауабы: 77

5. Жасаушысы 10 және табан жазықтығымен 45о бұрыш жасайтын қиық конусқа іштей сызылған шардың көлемін табыңыз.

Берілгені: CD =10
∆CDE =45o
Табу керек: Vшар =?
Шығару жолы:
∆CEDБұдан ED=CE=H (биіктік)
Демек: H2 + H2 =102
2H2 =100
H =5√2
Бұдан шардың радиусы:
R=H2=522
Демек шардың көлемі:
V=43∙R2PI=43∙5222∙PI=43∙125∙228∙PI=12523∙PI
Жауабы: V=12523∙PI

6. Көлемі 375 см3, биіктігі 5 см болған конусты төбесінен 2 см қашықтықта табанына параллель жазықтықпен қиғанда пайда болған қиық конустың көлемін табыңыз.

Берілгені: V1 =375 см3
SO = H = 5 см
SO1 = h = 2 см
Табу керек: V - ?

Шығару жолы:
V1=13S1∙H=53∙S1=375
S1=375∙35=225
S1=PIR2=225
R=225PI=15PI; rPI15=25; r=6PI;
V2=13S2h=13∙PI∙36PI∙2=12∙2=24
V=V1-V2=375-24=351
Жауабы: 351 см2

7. Табан қабырғасы 2-ге тең, бүйір бетінің ауданы 213 -ке тең. Дұрыс төртбұрышты пирамиданың көлемін табыңыз.

Берілгені: Sб.б. = 213
Табу керек: V - ?
V=13∙Sтаб.∙H
Шығару жолы:
Бұл пирамиданың бүйір беті өзара тең бол-ған төрт бұрыштан құралған. Сонда бүйір жағының ауданы:
Sб.т.=Sб.б.4=Sүшб.=12∙2∙h=h=132;
h=132;
SE=h; OE=r; SO=H
H=h2-r2;
r=a2tgPI4=22∙1=1
H=134-1=94=32; Sтаб.=22=4
V=13∙S∙H=13∙4∙32 =2
Жауабы: V=2

8. Конустың осьтік қимасының ауданы 12, жасаушысы 5 болса, конустың көлемінің бүйір бетінің ауданына қатынасын табыңыз.
Шығару жолы:
Sқима =12
S∆ = 12∙2R∙H=RH=12
R2+H2=25 демек төмендегі жүйеге ие боламыз:
R∙H=12R2+H2=25 R=12H;
144H2+H2=25
H2=x деп белгілеп алып, мына теңдеуге ие боламыз:
144x+x=25 бұдан
x2-25x+144=0
D=625-576=49
x1=25-72=9; x2=25+72=16
демек: H2=9 немесе H2=16
H=3 немесе H=4
Сонда: R=12H=123=4 немесе R=124=3
V=13∙H∙PIR2
Sб.б.=PIRL
VSб.б.=13∙H∙PIR2PIRL=3∙43∙5=45=0,8
Жауабы: 0,8

9. Диагональінің ұзындығы L-ге тең және ол диагональ бір жағымен 30о, ал екінші жағымен 45о бұрыш жасайтын тік бұрышты параллелепипедтің көлемін табыңыз.
Шығару жолы:
V=S∙H=abc
c=L2; a=d
L2=L24+x2
x=3L4=32L
a2+b2=3L24b2+c2=d2 --> a2+b2=3L24b2+L24=a2 --> a2+b2=3L24a2-b2=L24
Мүшелеп қосатын болсақ:
2a2=L2
a2=12L2
a=22L
b2=3L24-L22=L24; b=L2;
V=abc=22∙L∙L2∙L2=28L3.
Жауабы: V=28L3

10. Радиусы R, биіктігі H-қа тең цилиндрге табаны цилиндр табандарының біріне іштей сызылған, ал төбесі оның келесі табанына тиісті болатын дұрыс төртбұрышты пирамида іштей сызылған. Пирамиданың толық бетінің ауданын табыңыз.
Шығару жолы:
a2+a2=4R2
a2=2R2
a=2R
r=a2=22R
h=H2+r2=H2+R22=2H2+R22
Sб.б.=4S∆=4∙12∙a∙h=22R2H2+R22=2R∙2H2+R2
Sтаб.=a2=2R2
Sт.б.=Sб.б.+Sтаб.=2R∙2H2+R2+2R2=2R(2H2+R2+R)
Жауабы: Sт.б.=2R(2H2+R2+R).

Мазмұны

1. Функционалдық сауаттылықты арттыруға арналған есептерді шешу.
2. Логикалық есептерді шешу.
3. Мәтін есептерді шешу.
4. Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктер.
5. Логорифмдік теңдеулер және теңсіздіктер.
6. Стереометрия есептері.