Екі таңбалы санды бір таңбалы санға көбейту мен бөлудің жағдайлары

Математиканың жаңа мазмұнының ерекшеліктері (3, 4 сынып)
1999-2000 оку жылында республиканың қазақ, орыс және ұйғыр мектептерінің 3-сыныптары жана буын оқулықтары мен оқу-өдістемелік кешенге көшті. Бұл сынып бойынша математиканың жаңа буын окулықтары мен оқу-әдістемелік
кешендерінің мынандай ерекшеліктері бар.
3-сыныпқа арналған математика оқулығы "байқау” мәртебесімен, яғни, республиканың әр аймағында орналасқан Ы.Алтынсарин атындағы Қазақ білім академиясының тәжірибе, сынақ жұмыстарын жүргізуге арналған мектептері үшін шектеулі таралыммен баспадан шықты. Осы мектептерде оқулықты сынақтан өткізген мұғалімдерден және оқулықтар таратылған облыстық, қалалық мұғалімдер білімін жетілдіру институтгары қызметкерлерінен келіп түскен пікірлер оқулық авторларымен бірге білім академиясы жанындағы оқу-әдістемелік кеңесте талқыланды.
Соның негізінде оқулықгың мазмұнына, құрылымына кейбір түзетулер енгізілді. Осыңдай жұмыстардан соң ғана оқулық қажетті таралыммен шығарылу үшін қайтадан баспаға өткізілді.
Бұл сынып математика оқулығының тағы бір ерекшелігі, мұнда 1 және 2-сыныптардағыдай оқулықтың қазақша нұсқасы орысшаға тікелей, тура аударылған жоқ. Яғни, 3-сынып математика оқулығының орыс тіліндегі нұсқасы мүмкіндігінше орыс халқының тарихынан, мәдениеінен мәлімет беретіндей және де осы мақсатта басқа да жағдайлармен бірге көптеген орыс халқының ескі есептері де пайдаланылған, яғни, лайықталған (адаптацияланған) оқулық. Бұл жағдайдың іс жүзіне асуына төл оқулық авторларымен бірге, Алматы к.алалық білім беру жүйесі мамандарының, білімін көтеру және қайта даярлау институтының қызметкері Валентина Яковлевна Анисимова да ат салысты. Бұл кісінің Алматы қаласыңдағы орыс тіліндегі мектеп мұғалімдерімен қоян-қолтық жұмыстар жүргізуі авторлық топқа (окулықтың орыс тіліндегі нұсқасына) қосылуына негіз болды.
Демек, 3-сынып математика оқулығы, біріншіден, күрделі сынақтан өтіп барып жарық кәрсе, екіншіден, қазақ тіліндегі нұсқа мен орыс тіліндегі нұсқада қандай да деңгейде айырмашылық бар. Сол сияқты бұл оқулық 1994 жылы алғаш рет жарық кәрген және 1999-2000 оқу жылына дейін республиканың қазақ тіліндегі мектептерінде толық пайдаланылған 3-сынып математика оқулығының жетілдірілген нұсқасы.
Тағы бір айта кететін жай 2000-2001 оқу жылынан бастап бұл оқулық, Қазақстан территориясында орналасқан өзбек тіліндегі мектептерде де пайдаланылады.
Еңді, бұған дейін қалыптасып қалған дәстүр бойынша оқушы қауымға түсінікті болу үшін 3-сыныптың төл және аударма математика мазмұнындағы мәселелерді салыстырайық.
Аударма бағдарлама
Төл бағдарлама бойынша
Аптасына 5 сағ., барлығы 170 сағ.
Аптасына 5 сағ., барлығы 170 сағ.
1. 1-ден 100-ге дейінгі саңдар —110 сағ.
1. Мың көлеміндегі сандар —170 сағ.
- Өткенді қайталау және қорыту— 10 сағ.
- Қосу және азайту — 4 сағ.
- Таблицалық көбейту және бөлу— 57 сағ.
- Көбейту және бөлу — 21 сағ.
- Таблицадан тыс көбейту және бөлу - 34 сағ.
- Кестелік көбейту және бөлу -- 55 сағ.
- Қалдықпен бөлу — 9 сағ.
-Ауызша көбейту және бөлу – 50 сағ.

2. 1-ден 1000-ға дейінгі саңдар —48 сағ.
- Жазбаша көбейту және бөлу-29 сағ.
- Нумерация - 20 сағ.
- Біз нені үйрендік? — 11 сағ.
- Арифметикалық амалдар - 28 сағ.

3. Өткен материалдардың ішіндегі негізгі материалдар-12 сағ.

4. Қосымша

Кестедегі тақырыптардың атауларынан кәрініп тұрғандай, аударма бағдарлама бойынша да, төл бағдарлама бойынша да 3-сынып математика пәнінің негізгі материалы көбейту және бөлу мәселесі. Бастауыш математиканың, күрделі мәселелерінің қатарына жататын көбейту мен бөлу жайлы материалдар 3-сыныпта аударма бағдарлама бойынша алдымен 100 көлеміндегі сандар (ұғымдардың алды-мағынасы, кестелік көбейту және бөлу, кестеден тыс көбейту және бөлу (екі таңбалы санды бір таңбалы санға көбейтудің кейбір жағдайлары, екі таңбалы санды бір және екі таңбалы санға бөлудің кейбір жағдайлары (қалдықпен бөлу, "сынап кәру" тәсілі бойьшша бөлу, т.б.)) одан соң 1000 көлеміндегі сандар тақырыптарында жеке-жеке қарастырылады.
Демек, мұнда көбейту және бөлу тәсілдерін қарастырудың реті сандар жиынының кеңею жағдайына тәуелді етіп құрылған.
Ал төл бағдарламада аталған мәселені қарастырудың ретін айқындау барысында академик П.М.Эрдниевтің ғылыми-зерттеу жұмысының нәтижесінде алынған қорытындылары басшылыққа алынды.
Оның негізіне қандай да нәрселер немесе құбылыстар жайлы олардың ұқсастығына қарай пайымдаулар жүргізілген. Осы тұрғыдан қарағанда "...100 көлеміндегі көбейту және бөлуге сәйкес 1000 көлеміндегі дөңгелек сандарды көбейту және бөлу жағдайларын бірге қарастыру әрі қолайлы, әрі уақыт үнемдеуге мүмкіндік береді". Осындай тұжырымға байланысты төл бағдарлама бойынша көбейту және бөлу мәселесі 1000 көлеміндегі сандар жайлы оқушыларда білім толық қалыптасқан соң ғана оқытылып-үйретіледі.
Сол сияқты бұл мәселені қарастырудың реті бұрын Таблицалық көбейту және бөлу", "Таблицадан тыс көбейту және бөлу" деп жүйеленсе, төл бағдарлама бойынша ол Кестелік көбейту және бөлу", "Ауызша көбейту және бөлу", "Жазбаша көбейту және бөлу" деп таратылған. Және де, практикадан байқауымызша, мұғалім қауымға бұл сөз тіркесінің мән-мағынасына аса ден қоя бермейтіні, яғни, тақырыпқа қарап ондағы негізгі және қосалқы материалдарды жеткілікті дәрежеде айқындай алмайды. Мысалы: Республиканың әр аймағынан келген бастауыш сынып мұғалімдері арасында жүргізген анкета бойынша 50 мұғалімнің 40-ы, яғни, 80% "ауызша көбейту және бөлу", "жазбаша көбейту және бөлу" ұғымдарын "Оңай есептелетін жағдай", "қиын есептелетін жағдай" деген сияқты мағынада жалпылама түсінетіні байқалады. Жене де, бұл ұғымдар жайлы педагогикалық арнаулы оқу орнын бітірумен шектелген үстаздардың бәрінің де бейхабарлығы өкінішті-ақ. Тіпті, мұғалімдердің 50% бастауыш математика мазмүнының негізгі, іргелі, ең қажетті және де басқа пөндерді, математиканың басқа мәселелерін оқыту барысында тірек білім ретінде пайдаланылатын "кестелік көбейту және бөлу" ұғымының мән-мағынасын, яғни, оның аныктамасы, оған тиесілі теңдіктер, т.б. жағдайларды бір-бірімен шатыстыруы оқушылардың математикалық біліміне көлеңкесін түсіретіні айкын.
Осындай жағдайларға байланысты аталған ұғымдардың мән-мағынасын математиканы оқыту әдістемесі тұрғысынан аша кетейік.
0 мен 1-ден басқа бір таңбалы санды бір таңбалы санға көбейтуді және осыған сәйкес бөлудің жағдайларын кестелік көбейту және бөлу деп атайды. Бұл жағдайда бірінші көбейткіш міндетті түрде не екінші көбейткішке тең, не одан артық болу керек. Яғни, 4- 3 = 12 кестелік көбейтудің теңдігі де 3 • 4 = 12 кестелік көбейтудін тендігі емес, Ол 4 • 3 = 12 теңдігінен туындайтын жағдай деп түсініледі. Сонымен бірге, 4 •3 = 12 болатын кестелік көбейтуге сәйкес кестелік бөлудің жағдайлары 12 : 4 = 3 және 12 : 3 = 4.
Ал келесі кезекте осы теңдіктердің қайсысының көбейту кестесіне тиістілігі анықталады. Жоғарыда айтылған анықтама мен оған берілген түсіндірулерден бұл гендіктердің ішіндегі тек қана 5- 2 = 10 тендігінің көбейту кестесіне тиістілігі айқындалады.
Мұндай мағынадағы мысалдар оқулықта көптеп кездеседі. Олардың мақсаты - оқушылардың көңілін көбейту кестесі тендіктеріне, яғни,
5-2 = 10, 2-5 = 10, 10 : 5 = 2 10 ; 2 = 5 теңдіктерінің ішінде 5х2 = 10 тендігінің басқалардан маңызды екендігіне аудару болып табылады. Демек, 5х2 = 10 негізгі теңдік ал 2х5 = 10; 10:5 = 2 ; 10:2 = 5 тендіктері негізгі тендіктен (5 ■ 2 = 10) туындайтын жағдайлар. Сондықтан оқушылар көбейту кестесінің тендіктерін жатқа білуге міндетті де, ал одан туындайтын өрнектердің мәнін осы тендіктерді пайдалана отырып таба алса жеткілікті деп есептелінеді.
Баған түрінде орындалатын көбейту мен "бұрыштап" бөлу жағдайларын жазбаша көбейту мен бөлу деп атайды. Көбейту мен бөлудің кестелік және жазбаша, сол сияқты "ерекше" деп аталатын жағдайларынан басқа барлық жағдайларын ауызша көбейту мен бөлу деп атайды. Жалпы, ауызша және жазбаша көбейту мен бөлу жағдайларьшың арасында қатал тосқауыл жоқ. Сондықтан, 34 • 2 және 68 : 2 түріндегі еспетеулер екі тақырыпта да қарастырыла береді. Алайда, бірінші тақырыпта есептеу, сандардың разрядтық құрамы, дөңгелек сандарды бір таңбалы санға көбейту, кестелік көбейту мәселелерінің. негізінде орындалса, екінші тақырыпта да осы білімнің жалпыланған жағдайында орындалды. Яғни, мұнда бірінші жағдайдағы оқушылардың білімі екінші жағдайда тірек білім ретінде пайдаланылып отыр.
Енді 3-сынып материалдарын бастауыш сынып математика пәнінің негізгі материалдары бойынша талдайық.
Теріс емес бүтін сандардың нумерациясы.
3-сыныпта бұл мәселеге байланысты жаңа материал, негізінен, жоқ. Себебі, 1000 көлеміндегі сандардың ауызша және жазбаша нумерациясы 2- сыныпта қарас-тырылды. Мұнда тек қана соларды еске түсіру немесе олардың мән-мағынасын басқа қырынан аша түсу мақсатында жекелеген тапсырмалар қарастырылады. Мысалы, № 6 (4-бет).
3 м 9 дм 6 см 39 дм 6 см
2 м 5 дм 7 см 25 дм 6 см
5 м 1 дм 4 см 61 дм 4 см
509 см 5 м 9 дм 7 см
329 см 3 м 2 дм 8 см
486 см 5 м 8 дм 6 см
Мұнда, ондық санау жүйесі мен ұзындық өлшеу жүйелерінің арасындағы байланыс негізінде төменгі разрядтың 10 бірлігі келесі разрядтың 1 бірлігіне тең деген қағида пысықтала түседі.
Сол сияқты, бұл тапсырма арқылы үш таңбалы сандарды салыстырудың тәсілі қайталанады.
Осы жерде айта кететін бір жағдай, сандарды салыстырудың әр түрлі тәсілдері, яғни, сандарды натурал сандар қатарындағы орнына байланысты (бұрын келетін сан кейін келетін саннан кем немесе керісінше, кейін келетін сан бұрын келетін саннан артық) салыстыру, сандарды таңбаларының санына қарай кез келген (үш таңбалы кез келген екі немесе бір таңбалы саннан артық немесе керісінше) салыстыру, таңбаларының саны бірдей болса, сандарды жоғары разрядтан бастап салыстыру сияқты мәселелер толық "жұмыс жасайды".
Бұл типтес тапсырмалар массаға (№ 6, 5-бет), уақытқа (№ 6, 6-бет), т.б. байланысты да орындалады.
Арифметикалық амалдар. Есептеулер.
Үшінші сыныпта бұл мәселелер геометриялық материалдар және шамалармен бір жүйе бойынша үйлесімді қарастырылады. Сондықтан оларды біріктіре отырып қарастырсақ,
Үшінші сынып математика пәні мазмұнының негізгі материалы көбейту және бөлу екендігін жоғарыда айтқанбыз. Сондықтан көбейту мен бөлудің аударма және төл бағдарлама бойынша оқытылу ретін жеке кестеге салып, оған назар аударайық.

Аударма бағдарлама бойынша
Төл бағдарлама бойынша
Көбейту амалының мән-мағынасы 2; 3 санына көбейту.
Көбейтудің ауыстырымдылық заңы
2; 3-ке көбейту
Бөлу амалының мән-мағынасы

-Кестелік көбейту және бөлу
Көбейту мен бөлудід "ерекше" жағдайлары
100 көлеміңдегі толық ондықтарды көбейту және бөлу.
Екі таңбалы санды бір таңбалы санға көбейту мен бөлудің жағдайлары.
Екі таңбалы санды екі таңбалы санға бөлу
Қалдықпен бөлу 100 көлеміндегі дөңгелек сандарды көбейту және бөлу
Жазбаша көбейту және бөлу (алгоритммен)
Көбейту және бөлу амалдарының мән-мағынасы
Аудан
Көбейтудің ауыстырымдылық заңы
Көбейту мен бөлудің "ереже" жағдайлары
Кестелік көбейту және бөлу
Санның квадраты мен кубы
Куб және оның көлемі
Екі таңбалы санды бір таңбалы санға көбейту мен бөлудің жағдайлары
Екі таңбалы санға бөлу
Қалдыкпен бөлу
Жазбаша көбейту және бөлу (алгоритмсыз)
Кестеден кәрініп тұрғандай, төл бағдарлама бойьшша көбейту мен бөлу мәселесін оқыту жүйесі бұрынғыға қарағанда мүлдем өзгеше. Атап айтқанда, мұнда
а) көбейту мен бөлу бір мезгілде қарастырылады;
ә) аудан және көлем ұғымдары таныстырылады;
б) санның квадраты мен куб ұғымдары жайлы білім беріледі;
в) кестелік көбейту мен бөлуте дейін көбейту мен бөлудің “ереже" жағдайлары қарастырылады;
г) жазбаша көбейту мен бөлу барысында көбейту мен бөлуді есептеудің алгоритмі басқаша қарастырылады.
Аудан мен көлем ұғымдары.
Бастауыш математиканың жаңа мазмүнында геометриялық материалдар 1-сыныптың алғашқы сабақтарынан бастап-ақ қарастырылатын маңызды мәселелердің бірі. Сондықтан да 1, 2-сыныптарда олардың элементтері, мәнді белгілері, қасиеттері жайлы оқушыларға елеулі білім берілсе, 3-сыныпта бұл материалдарды қарастыру жүйелі турде жалғастырылады. Атап айтқанда, 3-сыныпта геометриялық фигура ретінде куб және оның элементтері қарастырылса, геометриялық фигуралардың ерекше қасиеті, яғни, геометриялық шама болып табылатын аудан мен көлем ұғымдары жайлы да оқушьшарда білім қалыптастыру көзделеді. Демек, тік тәртбұрыш, шаршы, куб — геометриялық фигуралар, ал аудан мен көлем -геометриялық шамалар.
Сонымен қатар, бұл шамаларды дәл 3-сыныпта оқыту да кездейсоқ жағдай емес. Яғни, қазіргі әдістеме бойынша көбейту мен бөлудің мән-мағынасын, көбейтудің ауыстырымдылық, терімділік, үлестірілімдік қасиеттерін, қосьндыны санға бөлу, т.б. сияқты мәселелерді оқушыларға таныстыру немесе бұлар жайлы оқушылардың білімдерін бекіту, пысықтау, жалпылау барысында төртбұрыштың ауданы, кубтың көлемі кәрнекілік ретінде өте маңызды рөл атқарады.
Аудан мен көлем ұғымдары "Оқыту өмірмен, қоршаған ортамен байланысты болу керек" деген дидактиканың маңызды принциптері бірінің іс жүзіне асуына да ерекше ат салысатыны айқын.
Демек, аудан мен көлем, біріншіден, оқушьшардың геометриялық материалдар мен шамалар жайлы білімдерін жүйелі түрде жалғастыру, жетілдіру, екіншіден, математиканың практикалық бағытын окушыларға көрсету, үшіншіден және ең негізгісі, көбейту және бөлуге байланысты мәселелерді оқушыларға саналы меңгерту мақсаттарында қолданысқа түседі.
Санның квадраты мен кубы.
Санның квадраты мен кубы көбейтуге байланысты есептеулердің практикалық жағын кәрсететін мәселе болғанымен тәжірибе кәрсетіп отырғандай оқушылар қиындықпен игеретін білім больш табылады. Мәселенің мұндай болуына санның квадраты мен кубы ұғымдарының бұрын бастауыш мектепте мүлдем қарастырылмауы, яғни, аталған мәселелерді оқыту жайлы мұғалімдерде төжірибенің болмауы да өз әсерін тигізуде.
Санның квадраты мен кубы ұғымдары – бастауыш математика мазмұнындағы іргелі үш мәселенің, атап айтқанда, геометриялық материалдардың, шамалардың, есептердің түйіскен жері.
Алайда, бұл ұғым оқушыларға алғаш рет көбейту амалының мағынасы негізінде салыстыру арқылы түсіндіріледі. Мұндағы басты қағида "Бірдей қосылғыштардың косындысын көбейтіндімен (оқушыларға бұрыннан таныс), ал бірдей көбейткіштердің көбейтіндісін санның квадратымен немесе кубымен алмастыруға (жаңа материал) болады" деген түжырым болуы керек. Бұл ұғымдар ары қарай мынадай бағыттағы тапсырмаларды орындау барысында пысықтала түседі.
а) кесінді —-> үзындығы бар —” өлшем бірлігі -см, дм, м, т.б.
ө) тік тертбүрыш —> шаршы —> ауданы болады —” өлшем бірлігі
см2, дм2, м2
б) текше —> көлемі болады —> өлшем бірлігі см3, дм3, м2 т.б.
Демек, санның квадраты мен кубы ұғымдары, біріншіден, математикадағы тағы бір амал - дәрежеге шығару жайлы оқушыларда алғашқы түсінік қалыптастырады, екіншіден, геометриялық фигуралардың ауданы мен көлемі, оларды табу бағытында жүйелі түсінік береді, үшіншіден, математиканы оқытудың практикалық бағытын көрсетеді.
Көбейту мен бөлудің "ерекше" жағдайын қарастыру ретінің өзгеруі.
Көбейту мен бөлудің "ерекше" жағдайын оқытудың реті мынадай себептерге байланысты өзгертіледі:
а) Қосу мен азайту тәсілдерін оқытьш-үйрету санға 1-ді 0-ге қосу және азайту тәсілінен басталады. Яғни, төл оқулық авторлары бұл тәртіпті көбейту және бөлу тәсілдерін оқытып-үйрету барысында да сақтаған әдістемелік тұрғыдан дұрыс деп есептейді.
Оның үстіне 2-ні көбейту және бөлудің кестелік жағдайын қарастыру барысында, оқушылардың "неге көбейтпейміз немесе бөлмейміз?" деп сұрақ қойып жататынын тәжірибе көрсетіп отыр.
Бұрынғы оқулықта үш таңбалы санды бір таңбалы санға көбейту:
"Жазамын ...
Бірліктерді көбейтемін ...
Ондықтарды көбейтемін ...
Жүздіктерді көбейтемін ...
Жауабын оқимын ... " деген алгоритм бойынша орындалатын және мұның жазылуы кәрсетілетін.
Алайда, бұл жазу мен алгоритмнің арасындағы байланысты оқушылардың аңғаруы қиынға соғатын. Сондықтан мұғалімдер көбейту алгоритмін оқушылардың жаттап алуын талап ететін.
Бұл жағдай қазір жаттаудың негізінде формальды көбейтуге емес, оқушылардың білімді сапалы игеруіне негізделіп берілген. Атап айтқавда, мұнда алдымен бірінші көбейткіштіі разрядтық қүрамы айқындалады да, әр разряд сандары екінші көбейткішке жеке-жеке көбейтіледі. Және осыған сәйкес жазылады. Оеындай жағдайлардан соң ғана көбейтудің қысқаша жазылуы кәрсетіледі.

Төл бағдарлама бойынша 4-сынып

3-сынып
Аптасына 5 сағ., барлығы 170 сағ.
1. Сандар және шамалар, олармен жүргізілетін амалдар -5 сағ.
2.Көп таңбалы сандар, оларды оқу, жазу және салыстыру -15 сағ.
3.Сандарға және шамаларға қолданылатын амалдар - 110 сағ.
а) Қосу және азайту -5 сағ.
ә) Бір таңбалы санға көбейту және бөлу - 41 сағ.
б) Нөлмен аяқталатын санға көбейту және бөлу -19 сағ.
г) Үш таңбалы санға көбейту және бөлу 25 сағ.
4.Микрокалькуляторды пайдаланып есептеулер жүргізу – 5 сағ.
5.Негізгі мәселелерді қайталау, қорытындылау және дамыта түсу -35 сағ.