Түзулердің арасындағы бұрыш

Алғысөз

Математикалық талдау пәні информатика бөлімінде оқытылатын арнайы пәндердің бірі болғандықтан, студенттердің бұл пәнді жеткілікті деңгейде меңгеруі қажет. Теориялық білім мен қатар практикалық тапсырмаларды да орындай алуы міндетті. Бұл жинақта оқу бағдарламасында қарастырылған барлық тараулар бойынша есептер мен жаттығулар жинақталып беріліп отыр. Сонымен қатар әр тапсырманың соңында тапсырманы орындау үлгісі де ұсынылды, бұл оқушыға қажетті теориялық білімді қолдана отырып берілген тапсырманы орындауға өте қажетті нұсқау.
Жинақ информатика бөлімі студенттеріне арналған.

Жазықтықтағы координаталар

1. І квадрантта орналасқан қабырғасы 10-ға тең теңқабыр-ғалы үшбұрыштың бір төбесі О координаталар басымен беттеседі, ал үшбұрыштың табаны Ох осінде жатыр. Осы үшбұрыштың төбелерінің координаталарын табыңыз.
2. А(1; 2) нүктесіне а) Ох осіне қарағанда; ә) Оу осіне қарағанда; б) І және ІІІ ширектердің биссектрисасына қарағанда; ІІ және ІҮ ширектердің биссектрисасына қарағанда симметриялы болатын М(х;у) нүктесінің коор-динаталарын анықтаңыз.
3. MN түзуі ордината осіне параллель және одан 5 бірлік қашықтықта орналасқан. А(2; 4) нүктесіне MN түзуіне қарағанда симметриялы болатын А1 нүктесінің, және В(-1; 3) нүктесіне сол MN түзуіне қарағанда симмет-риялы болатын В1 нүктесінің координаталарын табыңыз.
4. Берілген А(3; 4) нүктесінен қашықтығы 5-ке тең бола-тын, Ох осінде жатқан нүктені табыңыз.
5. С нүктесі ұштары А(2; 5) және В(4; 8) болатын АВ кесіндісін 2: 3 қатынасында бөледі. С нүктесінің коорди-наталарын табыңыз.
6. С(2; 3) нүктесі АВ кесіндісін 2 : 3 қатынасында бөледі. Егер А нүктесінің координаталары x = 1, y = 2 екені белгілі болса, В нүктесінің координаталарын табыңыз.
7. Үшбұрыштың төбелері А(-2; 0), В(6; 6) және С(1; -4) нүктелері болып табылады. А төбесінен жүргізілген биссектрисаның ұзындығын табыңыз.
8. А(-2; 1) және В(7; 4) нүктелерінде сәйкесінше m1= 10 г және m2 = 20 г жүктер орналасқан. Осы жүйенің ауырлық центрінің координаталарын анықтаңыз.
9. Төбелері А(-2; 1), В(2; -1), С(4; 3) нүктелері болатын АВС үшбұрышының Т ауырлық центрінің координаталарын табыңыз. (Үшбұрыштың ауырлық центрі оның медиана-ларының қиылысу нүктесімен беттеседі, және медиана-лардың әрқайсысы осы нүктеде үшбұрыш төбесінен бастап санағанда 2 : 1 қатынасында бөлінетіні белгілі).
10. А(-7; -3), В(-1; 1) және С(2; 3) нүктелері бір түзуде жататындығын көрсетіңіз.

Түзудің теңдеуі

1. Келесі теңдеулермен берілген түзулерді салыңыз:
а) y = 2x - 1; б) 2x - 3y - 6 = 0.
2. Теңбүйірлі трапецияның табандары 10-ға және 6-ға тең, ал табанындағы бұрышы 60°. Координаталар осьтері - трапецияның үлкен табаны мен трапецияның симметрия осі болады деп есептеп, осы трапецияның қабырға-ларының теңдеулерін жазыңыз.
3. М(3; 4) нүктесі арқылы өтетін және у түзуімен 45° бұрыш жасайтын түзудің теңдеуін жазыңыз.
4. Ұштары А(-3; 2) және В(1; -1) нүктелері болатын АВ кесіндісі берілген. Кесіндінің ортасын координалар басымен қосатын түзудің теңдеуін жазыңыз.
5. Төбелері А(4; 2), В(-2; 4) және С(-1; -4) нүктелерінде болатындай АВС үшбұрышы берілген. С төбесі арқылы өтетін медиананың теңдеуін жазыңыз және оның ұзындығын есептеңіз.
6. Төбелері А(5; 3), В(-3; 4) және С(-2; -5) нүктелерінде болатындай АВС үшбұрышы берілген. В төбесі арқылы өтетін биіктіктің теңдеуін жазыңыз және оның ұзындығын табыңыз.
7. Төбелері А(6; 4), В(-3; 5) және С(-2; -6) нүктелерінде болатындай АВС үшбұрышы берілген. А төбесі арқылы өтіп, В төбесі арқылы өтетін медианаға параллель болатын түзудің теңдеуін жазыңыз.
8. (5; 2) нүктесі арқылы координаталар осьтерінен бірдей кесінділер қиятын түзу жүргізіңіз.
9. Берілген түзулердің қиылысу нүктелерін табыңыз:
а) 5x - 7y - 20 = 0 және 7x - 10y + 15 = 0
ә) 2x + 3y - 7 = 0 және 4x + 6y + 11 = 0
б) 2x - y = 0 және x - 0,5y = 0
10. 5x - 7y - 20 = 0 және 7x - 10y + 15 = 0 түзулерінің қиылысу нүктесі арқылы және координаталар басы арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазыңыз.

Жазықтықта түзулердің өзара орналасуы. Түзулердің арасындағы бұрыш. Түзулердің параллельдік және перпендикулярлық белгілері

АВС үшбұрышында төбелерінің берілген координаталары бойынша табу керек:
1) АВ қабырғасының ұзындығын;
2) АВ және ВС қабырғаларының теңдеулерін және олардың бұрыштық коэффициенттерін;
3) В бұрышының шамасын радианмен, үтірден кейін екі орынға дейінгі дәлдікпен;
4) СD биіктігінің теңдеуін және оның ұзындығын;
5) АЕ медианасының теңдеуін және осы медиананың СD биіктігімен қиылысуының К нүктесін;
6) К нүктесі арқылы өтіп АВ қабырғасына параллель болатын түзудің теңдеуін;
7) СD түзуіне қарағанда А нүктесіне симметриялы орналас-қан М нүктесінің кооординаталарын.
Ескерту: сызбаны милиметрлік қағазда орындау керек.
№ 1. А( - 8; - 3) В (4; - 12) С (8; 10)
№2. А( - 5; 7) В(7; - 2) С(11; 20)
№3. А ( - 12; - 1) В (0; - 10) С (4; 12)
№4. А ( - 10; 9) В (2; 0) С (6; 22)
№5. А (0; 2) В (12; - 7) С (16; 15)
№6. А ( - 9; 6) В (3; - 3) С (7; 16)
№7. А (1; 0) В (13; - 9) С (17; 13)
№8. А ( - 4; 10) В (8; 1) С (12; 23)
№9 А (2; 5) В (14; - 4) С (18; 18)
№10. А ( - 1; 4) В (11; - 5) С (15; 17)
№11. А ( - 2; 7) В (10; - 2) С (8; 12)
№12. А ( - 6; 8) В (6; - 1) С (4; 13)
№13. А (3; 6 ) В (15; - 3) С (13, 11)
№14. А ( - 10; 5) В (2; - 4) С (0; 10)
№15. А ( - 4; 12) В (8; 3) С (6; 17)
№16. А ( - 3; 10) В (9; 1) С (7; 15)
№17. А (4; 1) В (16; - 8) С (14; 6)
№18. А ( - 7; 4) В (5; - 5) С (3; 9)
№19. А (0, 3) В (12; - 6) С (10; 8)
№20 А ( - 5; 9) В(7; 0) С (5; 14)
№21. А(4; - 12) В( - 8; - 3) С (8; 10)
№22. А(7; - 2) В(11; 20) С( - 5; 7)
№23. А( - 12; - 1) В(4; 12) С(0; - 10)
№24. А(2; 0) В(6; 22) С( - 10; 9)
№25. А(16; 15) В(0; 2) С(12; - 7)
№26. А(3; - 3) В(7; 16) С( - 9; 6)
№27. А(13; - 9) В(17; 13) С(1; 0)
№28. А(12; 23) В( - 4; 10) С (8; 1)
№29 А(18; 18) В(2; 5) С(14; - 4)
№30. А(11; - 5) В(15; 17) С( - 1; 4)

Тапсырманы орындау үлгісі

АВС үшбұрышының А(4; 3), В(16,-6), С(20; 16) төбелерінің берілген координаталары бойынша табу керек:
1) АВ қабырғасының ұзындығын;
2) АВ және ВС қабырғаларының теңдеулерін және олардың бұрыштық коэффициенттерін;
3) В бұрышының шамасын радианмен, үтірден кейін екі орынға дейінгі дәлдікпен;
4) СD биіктігінің теңдеуін және оның ұзындығын;
5) АЕ медианасының теңдеуін және осы медиананың СD биіктігімен қиылысуының К нүктесін;
6) К нүктесі арқылы өтіп АВ қабырғасына параллель бола-тын түзудің теңдеуін;
7) СD түзуіне қарағанда А нүктесіне симметриялы орналас-қан М нүктесінің кооординаталарын.
Шешуі: 1) А(х1; у1) және В(х2; у2) нүктелерінің d арақашықты-ғы мына формуламен табылады:
y= x2- x12+ y2- y12 (1)
(1) қолданып АВ қабырғасының ұзындығын табамыз:
AB=(16-4)2+ (-6-3)2 = 144+81=15.
2) А(х1; у1) және В(х2; у2) нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуі y- y1y2- y1= x- x1x2- x1 (2) формуласымен табылады. (2) формулаға А және В нүктелері-нің координаталыр қойып, АВ қабырғаның теңдеуін шығарып аламыз: y- 3-6-3= x-416- 4; y- 3-9= x-412; y- 3-3= x-44;
4y-12=-3x+12; 3x+4y-24=0 AB.
Соңғы теңдеуді у айнымалысына қатысты шешіп, АВ қабыр-ғасының бұрыштық коэффициентімен берілген теңдеуін ала-мыз: 4y= -3x+24; y= -34 x+6, осыдан kAB= -34.
(2) формулаға В және С нүктелерінің координаталырын қойып, ВС түзуінің теңдеуін табамыз:
y + 616+6 =x-16 20-16; y + 622= x - 164; y + 611= x - 162;
11x-2y-188=0 BC, немесе y=5,5 x- =5,5 x- 94, осыдан kBC=5,5.
3) Бұрыштық коэффициенттері сәйкесінше k1 және k2 болатын екі түзудің арасындағы бұрышының тангенсі келесі формула бойынша есептелетіні белгілі:
tg φ= k2- k1 1+ k1k2 (3)
Біз табайын деп отырған В бұрышы АВ және ВС түзулерімен жасалған бұрыш, олардың бұрыштық коэффициенттері жоғарыда анықтағанымыздай: kAB= -34 ; kBC=5,5 . Осыларды (3) формулаға қойып есептейміз.
tgB= kAB- kBC 1+ kAB ∙ kBC= -34- 5,5 1+-34 ∙5,5= -25 4-16,5 =2 ;
B = 6326 , немесе B 1,11 рад.
4) Берілген нүкте арқылы көрсетілген бағытта өтетін түзудің теңдеуі y - y1 = k (x - x1) (4) түрінде болады.
CD биіктік АВ қабырғасына перпендикуляр. CD биіктігінің бұрыштық коэффициентін табу үшін түзулердің перпендику-лярлық шартын пайдаланамыз. kAB= -34 болғандықтан kCD= 43 болады. (4) формулаға С нүктесінің координата-ларын және биіктіктің табылған бұрыштық коэффициентін қойып, CD түзуінің теңдеуін шығарып аламыз.
y - 16 = 43 ( x - 20 ); 3y - 48 = 4x - 80 ;
4x - 3y - 32 = 0 (CD).
Енді CD биіктігінің ұзындығын табу үшін, алдымен АВ және CD түзулерінің қиылысу нүктесі болып табылатын D нүктесі-нің координаталарын анықтап алуымыз керек.
3x+4y-24=04x-3y-32=0 теңдеулер жүйесін шешіп,
x = 8, y = 0 яғни D(8 ; 0) болатынын табамыз.
(1) формула бойынша CD биіктігінің ұзындығын табамыз:
CD=20-82+ 16-02 = 144+256= 400=20.
5) АЕ медианасының теңдеуін табу үшін, алдымен ВС қабырғасының ортасы болып табылатын Е нүктесінің координаталарын анықтап алуымыз керек. Оны кесінді ортасының координаталарын табу формулаларын пайдала-нып анықтаймыз: x= x1 + x2 2 ; y= y1+ y2 2 . (5)
Олай болса, xE= 16+20 2=18; yE= -6+16 2=5; E18;5.
(2) формулаға А және Е нүктелерінің координаталарын қойып есептеу арқылы медиананың теңдеуін табамыз:
y-35-3= x-4 18-4 ; y-3 2= x-4 14; x - 7y + 17 = 0 (AE).
CD биіктік пен АЕ медиананың қиылысу нүктесінің коорди-наталарын анықтау үшін келесі теңдеулер жүйесінің ортақ шешімін табамыз:
4x-3y-32=0 x-7y+17=0
x = 11, y = 4; K(11; 4).
6) Ізденлініп отырған түзу АВ түзуіне параллель болғандық-тан, түзулердің параллельдік шарты бойынша, оның бұрыш-тық коэффициенті АВ түзуінің бұрыштық коэффициентіне тең болады. (4) теңдеуге табылған К нүктесінің координаталарын және k= -34 бұрыштық коэффициентінің мәндерін қойып есептейміз:
y-4= -34 x-11; 4y-16= -3x+33 ;
3x + 4y - 49 = 0 (KF).
7) АВ түзуі СD түзуіне перпендикуляр болғандықтан, СD түзуіне қарағанда А нүктесіне симметриялы орналасқан ізделініп отырған М нүктесі АВ түзуінде жатады. Бұдан басқа D нүктесі МА кесіндісінің ортасы болып табылады. Олай болса, ізделініп отырған М нүктесінің координаталарын (5) формуланы пайдаланып табамыз:
8= 4+ xM2 xM=12; 0= 3+ yM2 yM= -3;
M (12 ; - 3).

Матрицалар. Кері матрица

А және В матрицалары берілген.
Табу керек: а) АВ; ә) ВА; б) А-1; в) АА-1; г) А-1А.

№ 1. A = 2-1-38-7-6-342 B = 2-1-23-54121
№ 2. A = 35-6243-311 B = 28-5-3-1045-3
№ 3. A =21-12-11101 B =36024-61-23
№ 4. A = -6111925037 B = 3010271-32
№ 5. A= 312-102121 B = 0-12211371
№ 6. A = 23213-1413 B = 32-1312530
№ 7. A = 673310221 B = 2054-1-2437
№ 8. A = -2343-1-4-122 B = 331062192
№ 9. A = 173-494032 B = 652192452
№10. A = 261132011 B = 4-32-40532-3
№11. A = 694-1-101017 B = 111343052
№12. A = 103317218 B = 354-30156-4
№13. A = 51-213-1841 B = 355712160
№14. A = 225336434 B = 1-112331-2-1
№15. A = 1-25306434 B = -1112331-2-1
№16. A = 542124305 B = 54-53-71122
№17. A = 31043222-7 B = 2705311-61
№18. A = 8-1-15-5-11032 B = 325321102
№19.A = 3-721-834-23 B = 05-324121-5
№20. A = 3-103514-75 B = -1021-85302
№21. A = 2-1-44-932-7-1 B = 00-45-647-41
№22. A = 85-1153110 B = 4-7-632-1012
№23. A = 11-12-414-31 B = 10-425-34-32
№24. A = 5-8-470-5410 B = 1551212-1-3
№25. A = 1211-243-53 B = 75153-1123
№26. A = -3421-53012 B = 144132-412
№27. A = -340451-233 B = 17-10262-11
№28. A = -34-312350-1 B = 2-205411-12
№29. A = -102232371 B = 301-317132
№30. A = 41-42-4612-1 B = 0-112501-12

Тапсырманы орындау үлгісі.

А және В мвтрицалары берілген:
A= -4012-13322 B= 12-3201-213
Табу керек: а) AB; б) BA; в) A[-1]; г) AA[-1]; д) A[-1]A
а) А матрицасының бағандар саны мен В матрицасының жолдар саны тең болғандықтан А мен В матрицаларын көбейтуге болады. C = AB матрицасының элементтерін cij=ai1b1j+ ai2b2j+ ...+ ainbnj формуласы бойынша табамыз:
AB = -4012-13322 ∙ 12-3201-213= c11c12c13c21c22c23c31c32c33=
=-4+0-2-8+0+112+0+32-2-64+0+3-6-1+93+4-46+0+2-9+2+6=-6-715-67238-1
б) B матрицасының бағандар саны мен A матрицасының жолдар саны тең болғандықтан B мен A матрицаларын көбейтуге болады. Жоғарыда көрсетілген тәсілмен C = BA матрицасын табамыз:
BA = 12-3201-213 ∙ -4012-13322= c11c12c13c21c22c23c31c32c33=
= -4+4-90-2-61+6-6-8+0+30+0+22+0+28+2+90-1+6-2+3+6= -9-81-5241957 .
а) мен б)-да шыққан нәтижелерден AB BA болатынын көреміз.
в) А матрицасының анықтауышын табайық:
detA= -4012-13322=8+0+4+3+24+0=39 !=0
А матрицасының анықтауышы 0-ге тең емес, яғни А матрицасы нұқсансыз. Олай болса А - 1 кері матрицасы бар. Кері А - 1 матрицаны A-1= 1detA A11A21A31A12A22A32A13A23A33 формуласы бойынша есептейміз, мұндағы Aij матрицаның aij элементтерінің алгебралық толықтауыштары. Енді алгебралық толықтауыштарды есептейміз:
A11= -1322=-8, A21= -0122=2, A31= 01-13=1,
A12= -2332=5, A22=-4132=-11, A32=--4123=14,
A13= 2-132=7, A23= --4032=8, A33=-402-1=4.
Сонымен,
A-1= 139∙ -8215-1114784= -839239139539-11391439739839439.
Ескерту: Кері матрицадағы 139 санын көбейткіш етіп қалдырған жөн: A-1= 139∙ -8215-1114784 . Олай етпесе кері матрицаға қатысты амалдар күрделеніп кетуі мүмкін.
г) Матрицаларды көбейту ережесін қолданамыз:
A∙A-1= 139∙-4012-13322∙ -8215-1114784=
= 139∙390003900039= 100010001=E
д) Матрицаларды көбейту ережесін қолданамыз:
A-1∙A= 139∙ -8215-1114784∙-4012-13322=
= 139∙390003900039= 100010001=E
Соңғы г) мен д) пункттерінен AA - 1 = A - 1 A = E теңдіктерінің орындалғанын көреміз, демек кері матрица дұрыс табылған.

Матрицаның анықтауышы

1. Берілген анықтауышының ai2, a3j элементтерінің минорлары мен алгебралық толықтауыштарын табыңыз;
2. Анықтауышты i-ші жол элементтері бойынша жіктеу арқылы есептеңіз;
3. Анықтауышты j-ші баған элементтері бойынша жіктеу арқылы есептеңіз.

№ 1. 1 1 -2 0 3 6 -2 5 1 0 6 4 2 3 5 1 № 2. 20-1 63-9 02-1 30342 0 6
i = 4, j = 1 i = 3, j = 3

№ 3272 11-1 34010205-1 3 № 4. 4-5-1-328 531 -5-23-2 4-6 8
i = 4, j = 1 i = 1, j = 3

№ 5. 353 241 1-22 20151-2 4 № 6. 320 43-5 10-2 -50301-3 4
i = 2 ,j = 4 i = 1 , j = 2

№ 7.041 -421 012 13-213 4 -3 № 8. 0-21 4-82 101-5 7-34-83 2 -1
i = 4, j = 3 i = 4 , j = 2
№ 9. 5-317320114 -1 2 -63-29 4 № 10. 4-11 02-2 341 5324 11 2
i = 3 , j = 4 i = 1 , j = 2

№ 11. 1823-205-37 -3 4-1320 2 № 12. 2-34 4-23 302 1213-14 3
i = 1 , j = 4 i = 2 , j = 4

№ 13. 2-12 341 2-10 0 2 11 2 3 -2 № 14. 3201-12451 -2 3 0-323 -3
i = 2 , j = 3 i = 3 , j = 1

№ 15. 3124-121-11 3 4 -14-12 5 № 16. 312 506-221 0 1 3-132 1
i = 1 , j = 3 i = 3 , j = 2

№ 17. 1-1032112-1 3-1 34 0 1 2 № 18. 5041-12412 2 1 0 111 1
i = 3, j = 1 i = 2 , j = 4

№ 19. 6210-5-7-424-2 4 1-630-5 4 № 20. -1-24 230 2-21 16431-2 -1
i = 2 , j = 3 i = 4 , j = 3

№ 21. 123 -21-4 3-4-1 4 3 24 3-2 -1 № 22. -1202-313-12 4 1 42 0 1 3
i = 1 , j = 2 i = 4 , j = 4

№ 23. -11-2122-231 3 3 023-2 0 № 24. 412 -1213-12 0 -1 15 0 4 2
i = 3 , j = 2 i = 3 , j = 2

№ 25. 43-2-21-4041 -1 3-25 0 1 -1 № 26. 3-5101-131-3 2 -2 0 1 2-1 2
i = 2 , j = 3 i = 4 , j = 1

№ 27. 2-2032111-23-113 4-4 0 № 28. 60-12-2011-3 1 1 34 1-1 2
i = 3 , j = 4 i = 1 , j = 2

№ 29. -1-232013-31 4 -1 04 2 1 -2 № 30. -4122-12-301 0 3 1 2 1-2 3
i = 4 , j = 4 i = 2 , j = 2

Тапсырманы орындау үлгісі

Берілген ∆ = -3212-2140-1 0423 1 -14 анықтауышының:
а) а12, а32 элементтерінің минорлары мен алгебралық толықтауыштарын табу керек;
б) анықтауышын келесі үш тәсілмен есептеу керек:
1) 1-ші жол элементтері бойынша жіктеу арқылы;
2) 2-ші баған элементтері бойынша жіктеу арқылы;
3) Алдын ала 1-ші жолда нөлдер алу арқылы.

а) а12 және а32 элементтерінің минорлары мен алгебралық толықтауыштарын табамыз:
M12= 2144-123-14= -8-16+6+12+4-16= -18,

M32= -3102143-14= -12+12-12-8= -20.
A12=(-1)1+2M12=--18=18,
A32=(-1)3+2M32=--20=20.
б) 1) Анықтауышты бірінші жол элементтері бойынша жіктеп, алынған үшінші ретті анықтауыштарды Саррюс ережесі бойынша есептейміз:
∆=a11A11+a12A12+a13A13+a14A1=
= -3 -2140-121-14- 22144-123-14+1 2-24402314= =-38+2+4-4-2-8-16+6+12+4-16+6-6-16+16-12-4+32=38.

2) Анықтауышты екінші баған элементтері бойынша жіктеп, алынған үшінші ретті анықтауыштарды Саррюс ережесі бойынша есептейміз:
∆=-2 2144-123-14- 2-3104-123-14+1 -3102144-12= =-2-8+6-16+12+4-16-212+6-6-16+-6+16-12-4=38.
3) Егер анықтауыштың қандай да бір қатарының барлық элементтеріне осы қатарға параллель қатардың сәйкес элементтерін кез келген k санына көбейтіп қосса, онда анықтауыштың мәні өзгермейді. Анықтауыштың бірінші жолында нөлдер алу үшін осы қасиетті былай қолданамыз: анықтауыштың 3-ші бағанын кезегімен 3-ке және -2-ге көбейтіп, нәтижелерін сәйкес 1-ші және 2-ші бағанға қосаммыз. Сонда бірінші жолдың бір элементінен басқа элементтері нөлге тең болады. Берілген анықтауышты 1-ші жол элементтері бойынша жіктеп, алынған үшінші ретті анықтауышты есептейміз.
∆ = -3212-2140-1 0423 1 -14=0015-4112-1 0420 3 -14=
=1∙ A13= 5-44122034=40+12-30+16=38.

Теңдеулер жүйелерін шешу әдістері

Сызықтық біртекті емес алгебралық теңдеулер жүйесі беріл-ген. Берілген жүйені: а) Крамер ережесі бойынша; ә) Кері матрица көмегімен (матрицалық әдіспен); б) Гаусс әдісімен шешу керек.
№ 12x1+ x2+ 3x3=7 2x1+ 3x2+ x3=13x1+ 2x2+ x3=6
№ 2 2x1- x2+ 2x3=3 x1+ x2+ 2x3=-44x1+ x2+ 4x3=-3
№ 3 3x1- x2+ x3=12 x1+ 2x2+ 4x3=65x1+ x2+ 2x3=3
№ 4 2x1- x2+ 3x3=-4 x1+ 3x2- x3=11x1- 2x2+ 2x3=-7
№ 5 3x1- 2x2+ 4x3=12 3x1+ 4x2- 2x3=62x1- x2- x3=-9
№ 68x1+ 3x2- 6x3=-4 x1+ x2- x3=24x1+ x2- 3x3=-5
№ 7 4x1+ x2- 3x3=9 x1+ x2- x3=-28x1+ 3x2- 6x3=12
№ 8 2x1+ 3x2+ 4x3=33 7x1- 5x2=244x1+ 11x3=39
№ 9 2x1+ 3x2+ 4x3=12 7x1- 5x2+ x3=-334x1+ x3=-7
№ 10 x1+ 4x2- x3=6 5x1+ 4x3=-203x1- 2x2+ 5x3=-22
№ 11 3x1- 2x2+ 4x3=21 3x1+ 4x2- 2x3=92x1- x2- x3=10
№ 12 3x1- 2x2- 5x3=5 2x1+ 3x2-4x3=12x1- 2x2+ 3x3=-1
№ 134x1+ x2+ 4x3=19 2x1- x2+ 2x3=11x1+ x2+ 2x3=8
№ 14 2x1- x2+ 2x3=0 4x1+ x2+ 4x3=6x1+ x2+ 2x3=4
№ 15 2x1- x2+ 2x3=8 x1+ x2+ 2x3=114x1+ x2+ 4x3=22
№ 16 2x1- x2- 3x3=-9 x1+ 5x2+ x3=203x1+ 4x2+ 2x3=15
№ 17 2x1- x2- 3x3=0 3x1+ 4x2- 2x3=1x1+ 5x2+ x3=-3
№ 18 -3x1+ 5x2+ 6x3=-8 3x1+ x2+ x3=-4x1-4x2- 2x3=-9
№ 19 3x1+ x2+ x3=-4 -3x1+ 5x2+ 6x3=36x1- 4x2- 2x3=-19
№ 20 3x1- x2+ x3=-11 5x1+ x2+ 2x3=8x1+ 2x2+ 4x3=16
№ 21 3x1- x2+ x3=9 5x1+ x2+ 2x3=11x1+ 2x2+ 4x3=19
№ 22 2x1+ 3x2+ x3=4 2x1+ x2+ 3x3=03x1+ 2x2+ x3=1
№ 23 2x1+ 3x2+ x3=12 2x1+ x2+ 3x3=163x1+ 2x2+ x3=8
№ 24 x1- 2x2+ 3x3=14 2x1+ 3x2- 4x3=-163x1- 2x2- 5x3=-8
№ 25 3x1- 4x2- 2x3=11 2x1- x2- x3=43x1- 2x2+ 4x3=11
№ 26 x1+ 5x2- 6x3=-15 3x1+ x2+ 4x3=132x1- 3x2+ x3=9
№ 27 2x1- x2=-6 3x1+ 2x2+ 5x3=-14x1- 3x2+ 4x3=-19
№ 28 5x1+ 2x2- 4x3=-16 x1+ 3x3=-62x1- 3x2+ x3=9
№ 29 x1+ 4x2- x3=-9 4x1- x2+ 5x3=-2 3x2- 7x3=-6
№ 30 7x1+ 4x2- x3=13 3x1+ 2x2+ 3x3=32x1- 3x2+ x3=-10

Тапсырманы орындау үлгісі

Берілген сызықтық біртекті емес алгебралық теңдеулер жүйесін x1+ 5x2- x3=3 2x1+ 4x2-3x3=23x1- x2- 3x3=-7
а) Крамер ережесі бойынша;
б) Кері матрица көмегімен (матрицалық әдіспен);
в) Гаусс әдісімен шешу керек.

а) Алдымен берілген теңдеулер жүйесі айнымалыларының коэффициенттерінен құрылған бас анықтауышты есептей-міз:
∆=15-124-33-1-3= -12-45+2+12-3+30=-16.
= - 16 0, олай болса, берілген теңдеулер жүйесі үйлесімді және оның жалғыз ғана шешімі бар.
Бас анықтауыштың бірінші бағанының элементтерін (х1 айнымалысының коэффициенттері) бос мүшелермен алмастырып, алынған 1 анықтауышты есептейміз:
∆1=35-124-3-7-1-3= -36+105+2-28-9+30=64.
Осылайша, бас анықтауыштың екінші және үшінші бағандарының элементтерін сәйкесінше бос мүшелермен алмастыра отырып, шыққан 2 , 3 анықтауыштарды да есептейміз:
∆2=13-122-33-7-3= -6-27+14+6-21+18=-16,

∆3=1532423-1-7=-28+30-6-36+2+70=32.
Крамер ережесі бойынша: x1=∆1∆ , x2=∆2∆ , x3=∆3∆ .
Олай болса, x1=64-16=-4 , x2=-16-16=1 , x3=32-16=-2.
Жауабы: ( - 4; 1; - 2).
б) Жүйенің матрицалық түрдегі шешімін X = A - 1B теңдігін пайдаланып табамыз. А матрицасына кері А - 1 матрица бар, өйткені = det A = - 16 0. Кері матрицаны табамыз:
A11=43-1-3=-15, A21=-5-1-1-3=16, A31=5-14-3=-11,

A12=-2-33-3=-3, A22=1-13-3=0, A32=-1-12-3=1,

A13=243-1=-14, A23=-153-1=16, A33=1524=-6,

A-1=1-16∙-1516-11-301-1416-6.
Жүйенің шешімі:
X=x1x2x3=1-16∙-1516-11-301-1416-6∙32-7=

=1-16∙-45+32+77-9+0-7-42+32+42= 1-16∙64-1632=-41-2.

x1 = - 4, x2 = 1 , x3 = - 2. Жауабы: ( - 4; 1; - 2).
в) Жүйені Гаусс әдісімен шешейік. Алдымен кеңейтілген А матрицасын құрамыз: А =15-124-33-1-332-7.
Кеңейтілген А матрицасын элементар түрлендірулер арқылы трапеция тәріздес матрицаға келтіреміз. Ол үшін А матрицасының бірінші жолын - 2-ге көбейтіп, екінші жолға қосамыз, содан соң бірінші жолды - 3-ке көбейтіп үшінші жолға қосамыз да, екінші және үшінші бағандардың орындарын өзара алмастырамыз, тек бағандардың үстіне сәйкес белгісіздерді көрсетіп жазып қоямыз:
B=15-124-33-1-332-7 ~15-10-6-10-1603-4-16~
х1 х3 х2
~1-150-1-600-163-4-16
Алынған трапеция тәріздес матрицадан r (A) = r (A) = 3, яғни жүйенің жалғыз шешімі бар екенін көреміз. Енді Гаусс әдісіндегі кері жүру жолын орындаймыз:
x1- x3+5x2=3 -x3-6x2= -4 -16x2=-16 x1- x3+5 ∙1=3 -x3-6∙1= -4 x2=1 x1--2=-2 x3= -2 x2=1
Жауабы: ( - 4; 1; - 2).

Функцияның туындысы
Туындылар кестесі

1. c'=0;
2. xa'=axa-1, x'=1; 1x'=-1x2; x'=12x;
3. ax'=ax ln a, a>0,a!=1, ex'=ex;
4. logax'=1xIna, a>0, a!=1, ln x'=1x;
5. sinx'=cosx;
6. cosx'=-sinx;
7. tgx'=1cos2x;
8. ctgx'=-1sin2x;
9. arcsinx'=11-x2;
10. arccosx'=-11-x2;
11. arctgx'=11-x2;
12. arcctgx'=-11+x2;
13. shx'=chx;
14. chx'=shx;
15. thx'=1ch2x;
16. cthx'=-1sh2x;

Туындыны есептеу ережелері

1. u +-v'=u'+v' 3. c ∙u'=c∙u'
2. u ∙v'=u'∙v+u∙v' 4. uv'= u'∙v-u∙v'v2 , v!=0

Күрделі функцияның туындысы

y=fgx => y'=f'gx∙g'x

Берілген функциялардың туындыларын табу керек

№ 1 y=2x5-4x3+1x+3x
№ 2y=3x+5x2- 4x3+2x4
№3 y=3x4+3x5- 2x-4x2
№ 4y=7x- 2x5- 3x3+ 4x
№5 y=7x+ 5x2- 7x4+ 6x
№ 6y=5x2- 3x4+ 4x3- 5x
№ 7 y=3x5- 3x- x3+ 10x5
№ 8 y=3x7+ 3x- 4x6+ 4x5
№ 9 y=8x2+3x4- 4x- 2x3
№ 10 y=4x6+ 5x- 3x7- 7x4
№ 11 y=2x3- 7x- 2x5+ 3x2
№ 12y=4x3- 3x- 5x2+ 6x2
№ 13 y=5x3- 8x2+ 4x+ 1x
№ 14y= 9x3+ 3x4- 2x+ 5x4
№ 15 y= 4x5- 9x+ 5x2- 7x3
№ 16 y= 8x2+ 3x-4x3+ 2x7
№ 17y=5x2+ 4x- 3x7-2x6
№ 18 y=10x2+3x5- 4x- 5x4
№ 19 y= x5- 3x+4x2- 3x3
№ 20 y=9x3+ 5x- 7x4+ 3x7
№ 21 y=3x+4x5+ 3x2- 7x
№ 22 y= x3+ 2x- 4x5- 5x3
№ 23 y=7x2+ 3x- 5x4+ 8x3
№ 24 y=8x3- 4x- 7x4+ 7x3
№ 25 y=8x- 5x4+ 1x- 5x4
№ 26 y= 4x3- 5x+ 4x5+3x
№ 27 y=4x3+ 3x- 3x5- 2x4
№ 28 y=4x5- 5x- x3+ 2x3
№ 29 y= 7x+ 4x3- 5x3- 2x6
№ 30 y= 6x4- 3x+ 3x3- x7
№31. y= 33x4+2x-5+ 4(x-2)5
№ 32. y= 3(x-3)4- 32x3-3x+1
№ 33. y= (x-4)5+52x2+4x-3
№ 34. y=57x2-3x+5- 5(x-1)3
№ 35. y=43x2-x+5+ 3(x-5)4
№ 36. y=3x4-2x3+x- 4(x+2)3
№ 37. y=3(x-7)5+ 54x2+3x-5
№ 38. y= 5(x+4)6- 22x2-3x+7
№ 39. y= 3(x-4)7- 5x2-4x+3
№ 40. y= 34x2-3x-4- 3(x-3)5
№ 41. y= 7(x-1)3+ 8x-3+x2
№ 42. y=53x2+4x-5+4(x-4)4
№ 43. y= 35x4-2x-1+ 8(x-5)2
№ 44. y= 3(x+2)5- 75x-7x2-3
№ 45. y= 4(x-1)5- 47x2-3x+2
№ 46. y= 3(x+4)2- 34+3x-x4
№ 47. y= 5(x-2)6- 37x3-x2-4
№ 48. y= 2(x-1)3- 86x2+3x-7
№ 49. y= 1+5x-2x2+3(x-3)4
№ 50. y= 35+4x-x2-5(x+1)3
№ 51. y=45x2-4x+1-7(x-5)2
№ 52. y=53-7x+x2+4(x-7)5
№ 53. y= (x-3)7+ 97x2-5x-8
№ 54. y= 3(x-8)4-21+3x-4x2
№55. y= 34x-3x2+1- (x+1)5
№ 56. y= 3x-4+ 6(2x2-3x+1)5
№ 57. y= 4(x-7)3- 3(3x2-x+1)4
№ 58. y= (x-4)7- 103x2-5x+1
№ 59. y= 7(x+2)5- 8-5x+2x2
№ 60. y= 3(x-1)5+ 52x2-4x+7
№ 61. y=sin32x∙cos8x5
№ 62. y= cos53x∙tg(4x+1)3
№ 63. y=tg4x∙arcsin4x5
№ 64. y=arcsin32x∙ctg7x4
№ 65. y=ctg3x ∙arccos3x2
№ 66. y= arccos24x∙lnx-3
№ 67. y= ln5x∙arctg7x4
№ 68. y= arctg34x ∙3sinx
№ 69. y= 2cosx∙arcctg5x3
№ 70. y= 4-x∙ln5(x+2)
№ 71. y= arcctg25x ∙lnx-4
№ 72. y= arctg32x ∙lnx+5
№ 73. y= arccos4x ∙lnx2+x-1
№ 74. y= arccos2x ∙ 3-x
№ 75. y= tg43x ∙arctg 7x3
№ 76. y= 5-x2∙arcsin 3x3
№ 77. y= arctg5x ∙ log2(x-3)
№ 78. y= log3(x+5) ∙arccos3x
№ 79. y= e-x ∙ arcsin25x
№ 80. y= (x+1)5 ∙ arccos3x4
№ 81. y=sin23x∙arcctgx5.
№ 82. y=cos5x∙arctgx4.
№ 83. y=tg62x∙cos7x2.
№ 84. y=ctg34x∙arcsinx.
№85. y=ctg1x∙arccosx4.
№ 86. y=tgx∙arcctg3x5.
№ 87. y=tg32x∙arccos2x3.
№ 88. y=2tgx∙arctg53x.
№ 89. y=sin53x∙arctgx.
№ 90. y=cos43x∙arcsin3x2.
№ 91. y=arcctg25x ∙ln(x-4)
№ 92. y=arctg3 2x∙ln(x+5 )
№ 93. y=arccos4 x ∙ln (x2+x-1)
№ 94. y=arccos2x ∙3-x
№ 95. y=tg43x∙arctg7x2
№ 96. y=5-x2∙arcsin3x3
№ 97. y=arctg5x∙log2 (x-3)
№ 98. y=log3 x+5 ∙arccos3x
№ 99. y=e-x∙arcsin2 5x
№ 100. y=log4x-1∙arcsin4x
№ 101. y=(x-4)5∙arcctg3x2
№ 102. y=ctg34x∙arctg2x3
№ 103. y=e-cosx∙arctg7x5
№ 104. y=(x+1 )5∙arccos3x4
№ 105. y=2sinx∙arcctgx4
№ 106. y=3-x3∙arctg2x5
№ 107. y=3cosx∙arcsin23x
№ 108. y=ln(x-10)∙arccos24x
№ 109. y=lg(x-2)∙arcsin5x
№ 110. y=log3(x+1)∙arctg57x
№ 111. y=ln(x+9)∙arcctg32x
№ 112. y=lg(x+2)∙arcsin23x
№ 113. y=4-sinx∙arctg3x
№ 114. y=2cosx∙arcctg3x
№ 115. y=lg(x-3)∙arcsin25x
№ 116. y=log2(x+3)∙arccos2x
№ 117. y=2-x∙arctg34x
№ 118. y=ln(x-4)∙arcctg43x
№ 119. y=lg(x+3)∙arcctg25x
№ 120. y=log5(x+1)∙arctg2x3
№ 121. y=tg43x∙arcsin2x3
№ 122. y=(x-2)4·arcsin5x4
№ 123. y=2-x3∙arctg7x4
№ 124. y=(x+6)6.arcsin3x5
№ 125. y=3cosx·ln⁡(x2-3x+7)
№ 126. y=log2x-7∙arcctgx
№ 127 .y=arccos35x∙tgx4
№ 128. y=(x-5)7∙arcctg7x3
№ 129. y=arccosx2∙ctg7x3
№ 130 .y=5-x2∙arccos5x4
№ 131. y=arctg4x∙cos7x4.
№ 132. y=4(x-7)6∙arcsin3x5
№ 133. y=x+52∙arcos35x.
№ 134. y=2-sinx∙arcsin32x
№ 135. y=x+27∙arccosx.
№ 136. y=(x-7)5∙arcsin7x4
№ 137. y=lnx-3∙arccos3x4.
№ 138. y= log2(x-4)∙arctg34x
№ 139. y=x-74∙arcctg27x.
№ 140. y=3x-3∙arccos42x

№ 141. y=3x-4∙arcsin45x.
№ 142. y=(x-32)∙arccos3x6
№ 143. y=x+45∙arcsin2x3.
№ 144. y=3(x+1)2·arccos3x
№ 145. y=tg3x∙arcctg3x.
№ 146. y=(x-23∙arctg(7x-1)
№ 147. y=5x+42∙arcsin7x2.
№ 148. y=arcsin34x∙ctg3x
№ 149. y=e-cosx∙arcsin2x.
№ 150. y=(x+5)3∙arccos4x
№ 151. y=earccos3xx+5. № 152. y=x-42earcctgx.
№ 153. y=e-x3x2+5x-1. № 154. y=e-ctgx3x2-4x+2.
№ 155. y=7x3-5x+2ecosx. № 156. y=etg3x3x2-x+4.
№ 157. y=esinxx-57. № 158. y=32x2-3x+1e-x.
№ 159. y=x3+4x-5ex3. № 160. y=ectg5xx+43.
№ 161. y=3+2x-x2ex. № 162. y=e3x3x2-x-7.
№ 163. y=e-sin2xx+54. № 164. y=ecos5xx2-5x-2.
№ 165. y=2x+53etgx. № 166. y=e-tg3x4x2-3x+5.
№ 167. y=e-sin4x(2x-5)6 № 168. y=3x2-5x+10e-x4
№ 169. y=e-x(2x2-x+4)2 № 170. y=e4x3x+53
№ 171. y=ectg5x(3x-5)4 № 172. y=2x-37e-2x
№ 173. y=3x+14e4x № 174. y=5x2+4x-2e-x
№ 175. y=5x2 -x+1e3x № 176. y=e-x22x-57
№ 177. y=ecos3x(2x+4)5 № 178. y=esin5x3x-22
№ 179. y=x2-3x-7e-x3 № 180. y=e-tgx4x2+7x-5
№ 181. y=log5 3x-7ctg7x3 № 182. y=ln5x-34tg3x4
№ 183. y=ln(7x+2)5cos42x № 184. y=sin3 5xln2x-3
№ 185. y=cos23xlg(3x-4) № 186. y=tg3 2xlg5x+1
№ 187. y=log3 (4x+5)2ctgx № 188. y=ln7x-33tg2 4x
№ 189. y=lg⁡(11x+3)cos2 5x № 190. y=ctg2 5xln7x-2
№ 191. y=tg2(x-2)lg⁡(x+3) № 192. у=sin3(5x+1)lg⁡(3x-2)
№ 193. y=cos47x-1lgx+5 № 194. у=sin3(4x+3)ln⁡(7x+1)
№ 195. y=ctg3(2x-3)log⁡(x+2) № 196. у=lg3xsin5x2
№ 197. y=ln2(x+1)cos3x4 № 198. у=log2(7x-5)tgx
№ 199. y=log3(4x-2)ctg2x № 200. у=ln3(x-5)tg1x
№ 201. y=lg(x+1)sin2x5 № 202. у=tg37xln⁡(3x+2)
№ 203. y=ctgx-2lg⁡(3x+5) № 204. у=tg(3x+7)tg3x
№ 205. y=cos2xlg⁡(x2-2x+1) № 206. у=log2(3x+7)tg3x
№ 207. y=ln3xctg(x-3) № 208. y=tg45xln⁡(x+7)
№ 209. y=log3(x+4)cos5x № 210. y=tg43xlgx2-x+4
№ 211. y=9arctg(x+7)(x-1)2 № 212. y=7arcos(4x-1)(x+2)4
№ 213. y=3arcctg(2x-5)(x+1)4 № 214. y=4arccos3x(x+2)5
№ 215. y=7arctg(4x+1)(x-4)2 № 216. y=2lg⁡(4x+5)(x+6)4
№ 217. y=4log3(3x+1)(x+1)2 № 218. y=ln(7x+2)(x-6)4
№ 219. y=5log2(x2+1)(x-3)4 № 220. y=3log2(5x-4)(x-3)5
№ 221. y=log7(2x2+5)(x-4)2 № 222. y=8lg⁡(4x+5)(x-1)5
№ 223. y=8arctg(2x+3)(x+1)3 № 224. y=9arcsin⁡(x+5)(x-2)5
№ 225. y=2arctg(3x+2)x-32 № 226. y=arcsin⁡(3x+8)(x-7)3
№ 227. y=3arcsin⁡(2x-7)(x+2)4 № 228. y=5ln(5x+7)(x-7)2
№ 229. y=7log4(2x-5)(x-1)5 № 230. y=4lg⁡(3x+7)x+17
№ 231. y=6log3 (2x+9)x+42 № 232. y=7log5 (x2+x)x+33
№ 233. y=2ln(3x-10)(x+5)7 № 234. y=2log3(4x-7)(x+3)4
№ 235. y= (x-4)2earcctgx № 236. y= 7x3-5x+2ecosx
№ 237. y= ecos5xx2-5x-2 № 238. y= log5(3x-7)ctg 7x3
№ 239. y= ln(5x-3)4 tg 3x4 № 240. y= cos23xlg⁡(3x-4)

Тапсырмаларды орындау үлгісі

1. y=9x5-4x3+3x7-3x+4
> y'=9x5-4x3+3x7-3x+4'=
=9∙5x4-4∙-3x-4+73x43-3=
=45x4+12x4+733x4-3.
2. y=42x2-3x+1-6x+13
> y'=42x2-3x+1-6x+13'=
=342x2-3x+1-144x-3-6∙-3x+1-4=
=34∙4x-342x2-3x+1+18x+14 .

3. y=tg5x+2 ∙arccos3x2
> y'=tg5x+2 ∙arccos3x2'=
=5tg4x+2∙ 1cos2x+2 ∙arccos3x2+tg5x+2∙ -11-9x4∙6x=
=5tg4x+2∙arccos3x2cos2(x+2)- tg5x+2∙6x1-9x2
4. y=arcsin54x∙log2x-5
> y'= arcsin54x∙log2x-5'=
=5arcsin44x∙11-16x2∙4log2x-5+arcsin54x∙1(x-2)∙ln2=
=20arcsin44x∙log2x-51-16x2+arcsin44xx-5 ln2 .
5. y=3-x4ctg7x3
> y'=3-x4ctg7x3 '=
=3-x4ln3∙-4x3∙ctg7x3+3-x41-sin27x3∙21x2=
= -4 ln3 ∙3-x4∙x3∙ctg7x3- 21x3∙3-x4 sin2 7x3 .

Интеграл

Анықталмаған интегралды табыңыз:

№1. 3+3x2-2xxdx №2. 2x2+3x-12xdx
№3. 3x+4x3-5x2x2dx №4. 2x-x2+33xdx
№5. 4x-2x+5x2dx №6. 2x3-x5+1xdx
№7. 3xx+2x3-4dx №8. 3x2-6xx-5dx
№9. 5x- 4x5+2dx №10. 3xx-2x3+1dx
№ 11. 3x-24xx+3dx № 12. 3x2-5x+2xdx
№ 13. 6x5-5x2+3xdx № 14. (x2-6xx-3)dx
№ 15. 2x3-3x5+4xdx № 16. 3x2-x3+7x3dx
№ 17. (5x2-2x3+4)dx № 18. (5x-2x3+4x2)dx
№ 19. 3x2x-7x3+5dx № 20. 2x3-x+4xdx.
№ 21. 2x3-x5+1xdx. № 22. 2x3-x+4x2dx.
№ 23. xx-1x3+1dx. № 24. 3x2-2x5+3xdx.
№ 25. x3-3x4+2xdx. № 26. 2x3-x5+5x2dx.
№ 27. 3x4-3x2+1x2dx. № 28. x-2x3+6xdx.
№ 29. x-3x2x3+2dx. № 30. 2x2x-5x+6dx.
№ 31. dx3-x. № 32.dx3x+9.
№ 33. dx2-3x. № 34. dx1-4x.
№ 35. dx2+3x. № 36. dx2-5x
№ 37. dx3x-2. № 38. dx2x+3.
№ 39. dx3x-4. № 40. dx4-3x.
№ 41. dx3x+4. № 42. dx4x-2.
№ 43. dx5-3x. № 44. dx4-7x.
№ 45. dx5x-3. № 46. dx3-2x.
№ 47. dx5+3x. № 48. dx3-5x.
№ 49. dx5+4x. № 50. dx6-3x.
№ 51. dx6+5x. № 52. dx1-7x.
№ 53. dx1+6x. № 54. dx2+7x.
№ 55. dx7-3x. № 56. dx5-2x.
№ 57. dx2x+7. № 58. dx2x+9.
№ 59. dx7x-3. № 60. dx6x+1.
№ 61. Sin 2-3xdx. № 62. Sin 3-2xdx.
№ 63. sin 5-3xdx. № 64. cos2+3x dx.
№ 65. cos3+2x dx. № 66. sin 4-2xdx.
№ 67cos5-2x dx. № 68. cos7x+3 dx.
№ 69. sin 8x-3dx. № 70. sin 3+4xdx.
№ 71. sin 3-4xdx. № 72. cos4x+3 dx.
№ 73. cos3-4x dx. № 74. cos2+5x dx.
№ 75. cos3x+5 dx. № 76. sin 5x-3dx.
№ 77. sin 5x-3dx. № 78. sin 3x+6dx.
№ 79. cos5x-8 dx. № 80. cos3x-7 dx.
№ 81. cos5x-6 dx. № 82. sin 7x+1dx.
№ 83. cos7x+3 dx. № 84. sin 7-4xdx.
№ 85. cos3x-7 dx. № 86.sin 8x-5dx.
№ 87. cos8x-4 dx. № 88. sin 8x-5dx.
№ 89. cos10x-3 dx. № 90. sin 8x-5dx.

№ 91. 3dx9x2-3 № 92. dx9x2+3
№ 93. dx9x2+3 № 94. 9dx9x2-3
№ 95. dx9x2-3 №96. dx7x2-4
№ 97. 3dx7x2-4 № 98. dx5x2+3
№ 99. dx5x2-3 № 100. dx3-5x2
№ 101. dx5x2+3 № 102. dx4-7x2
№ 103. 5dx3-4x2. № 104. dx2x2-9.
№ 105. dx2x2+7. № 106. dx3x2+2.
№ 107. dx3x2+2. № 108. 2dx7-2x2.
№ 109. 14dx2x2-7. № 110. dx8x2+9.
№ 111. dx3x2-2. № 112. dx4x2+3.
№ 113. dx4x2+3. № 114. dx3-4x2.
№ 115. dx9-8x2. № 116. dx4x2-3.
№ 117. dx8x2-9. № 118. dx4x2+7.
№ 119. 2dx4+3x2. № 120. 2dx4x2-3.
№ 121. 2xdx5-4x2. № 122. xdx5-3x2.
№ 123. 3xdx4x2+1. № 124. 4xdx3-4x2.
№ 125. 2xdx8x2-9. № 126. 4xdx4x2+3.
№ 127. xdx9-8x2. № 128. 3xdx3x2-2.
№ 129. 2xdx3x2-2. № 130. 2xdx7-2x2.
№ 131. xdx2x2-7. № 132 . xdx3x2+8.
№ 133. 2xdx3x2 -7. № 134. 2xdx2x2+5.
№ 135. xdx7-3x2. № 136. xdx2x2+9.
№ 137. 5xdx3-5x2. № 138. xdx3x2+8.
№ 139. 5xdx5x2+3. № 140. xdx3x2-6.
№ 141. xdx5x2+1. № 142. 5xdx5x2-3.
№ 143. xdx2x2-7. № 144. 9xdx1-9x2.
№ 145. 3xdx9x2+2. № 146. 5xdx7x2-1.
№ 147. 3xdx9x2+5. № 148. 2xdx5x2-3.
№ 149. xdx3x2-2. № 150. 7xdx7x2+1
№ 151. dx2-5x2 № 152. dx2x2-5
№ 153. dx7x2-3 № 154. dx5x2+2
№ 155. dx2x2+3 № 156. dx5x2+1
№ 157. dx2x2+9 № 158. dx9-2x2
№ 159. dx9x2+2 № 160. dx5x2-4
№ 161. dx3x2-7 № 162. dx3x2+7
№ 163. dx6x2-7 № 164. dx7x2+6
№ 165. dx7-3x2 № 166. dx6x2+1
№ 167. dx5x2-1 №.168. dx3x2-5
№ 169.dx2-3x2 № 170. dx8-3x2
№ 171. dx3x2+8 № 172. dx3x2+2
№ 173. dx2x2+7 № 174. dx4x2-3
№ 175. dx3x2+4 № 176. dx8x2-9
№ 177. dx5-4x2 № 178. dx1-3x2
№ 179. dx4x2+5 № 180. dx3x2-2
№ 181. e2x-7dx № 182. e3+5xdx
№ 183. e2-3xdx № 184. e2x+1dx
№ 185. e7x-2dx № 186. e5x-7dx
№ 187. e5x+7dx № 188. e7-2xdx
№ 189. e3-4xdx № 190. e10x+2dx
№ 191. e2x-10dx № 192. e4x+3dx
№ 193. e4x+5dx № 194. e6x-1dx
№ 195. e5-2xdx № 196. e4-3xdx
№ 197. e3-5xdx № 198. e1-4xdx
№ 199. e2-5xdx № 200. e6x-4dx
№ 201. e8x+1dx № 202. e2-6xdx
№ 203. e2-4xdx № 204. e3-6xdx
№ 205. e4-5xdx № 206. e5-xdx
№ 207. e7+3xdx № 208. e2x+3dx
№ 209. e8x+1dx № 210. e4-7xdx
№11. 3+x dx №12. 31+x dx
№13. 3(1+x)2 dx №14. dx1+x
№15. (1-4x)7 dx №16. (1+4x)5 dx
№17. 1+3x dx №18. 5-4x dx
№19. dx3(1-4x)5 №20. dx3(3-4x)2
№21. 41+3x dx №22. 53-2x dx
№23. 5(6-5x)2 dx №24. 4(3+5x)3 dx
№25. dx2-3x №26. dx2x+3
№27. dx6+5x №28. dx7x-3
№29. sin2-3xdx №30. cos2+3xdx
№31. cos5x-6dx №32. sin7x+1dx
№33. 3dx9x2- 3 №34. dx9x2+3
№35. dx9x2+3 №36. 9 dx9x2- 16
№37. dx25-9x2 №38. dx2x2- 9
№39. dx4x2+ 3 №40. dx4x2+ 7
№41. 2 dx4+3x2 №42. 3 dx9-8x2
№43. 2x dx5-4x2 №44. 3x dx 4x2+ 1
№45. x dx 9-8x2 №46. x dx3x2+ 8
№47. dx4-16x2 №48. dx9x2- 49
№49. dx5x2+ 1 №50. dx6x2- 1
№51. e2x-7dx №52. e3+5xdx
№53. e2-3xdx №54. e2x+1dx
№55. e7+3xdx №56. e4-7xdx
№57. dx2x+13ln2(2x+1) №58. dxx-4ln5x-4
№59. ln5(x-8)x-8 dx №60. ln3(x+6)x+6 dx
№61. 2 - 3xx2 + 2 dx №62. 3-5x 1- x2 dx
№63. 8-13x x2- 1 dx №64. 6x+12 x2- 1 dx
№65. x-24- x2 dx №66. 3-7x 1-4x2 dx
№67. 1-5x 1+25 x2 dx №68. x-3 9 x2+ 16 dx
№69. 5-x 4+ x2dx №70. 5-4x 1- x2 dx
№71. sin2x 1+3cos2x dx №72. 3 x21- x4 dx
№73. sin3x 3-cos3x dx №74. ex2 ex+ 3 dx
№75. sin2x cos2x-4 dx №76. ex4-3 ex dx
№77. x27-5 x3 dx №78. sin2x 3 sin2x+4 dx
№79. 4x-5 2x2-5x+17 dx № 80. 7 x32 x4- 5 dx
№81. 3 x2+ 1 x3+ x-10 dx №82. x5 3 x6- 7 dx
№83. 1-2x- x31+ x2dx №84. 7- x21-x dx
№85. 8 x3- 1 2x+1 dx №86. x5- 2 x2- 4 dx
№87. 6 x3+ x2-2x+1 2x-1 dx №88. x2- 5x+6 x2+ 4 dx
№89. x4- 2 x2- 1 x2+ 1dx №90. 2 x3- 3 x-2 dx

Мазмұны

Алғысөз
3
Жазықтықтағы координаталар
4
Түзудің теңдеуі
5
Жазықтықта түзулердің өзара орналасуы
6
Матрицалар. Кері матрица
11
Матрицаның анықтауышы
15
Теңдеулер жүйелерін шешу әдістері
19
Функцияның туындысы
24
Интеграл
44