Туындыны табу ережелері: теория және практикалық есептер

Скачать

Сабақтың тақырыбы: Туындыны табу ережелері

Сабақ мақсаты:

1. Туындыны табу ережелері бойынша формуласымен танысып, оларды еесеп шығаруда қолдануды үйрету.
2. Туындының ұғымы бойынша білімдерін дамыту
3. Оқуға саналы сезімге жауапкершілікке өз бетінше еңбектенуге тәрбиелеу.

Сабақтың түрі:

Әдісі:

Көрнекілігі:

Сабақ барысы:

1. Ұйымдыстыру кезеңі
2. Жаңа сабақ
3. Есептер шығару
4. Үйге тапсырма
5. Қорытынды

Жоспар:

1. Туынды ережелерінен түсінік беру.

2. Ауызша тапсырма, салыстырмалы түрде.

3. Кітаппен жұмыс.

4. Тест( тестрмен) интерактифті тақта бойын

1-ереже

Егер и және υ функцияларының х нүктесінде и', υ' туындылары бар болса, онда и+υ функциясының х нүктесіндегі туындысы бар және ол

(и+υ) ' = и' + υ' формуласымен анықталады

Мысалы:

f(x) = x² - x + 5

Шешуі:

f ' (x) = (x² - x + 5) = (x²) ' - (x) ' + (5) ' = 2x - 1 + 0 = = 2x - 1

2 - ереже

Егер u және v функцияларының х нүктесінде туындылары бар болса, онда берілген функциялардың көбеитіндісі u v функциясының осы х нүктесінде туындысы бар және ол

( uv) ' = u'v+ uv'

формуласымен анықталады.

Дәлелдеу

Туындының алгоритмін қолданамыз; х-∆х өсімшесіне сәикес келетін uv функциясының өсімшесінің өрнегін анықтайық.

Аргумент өсімшесіне бөлеміз:

∆х→0

Салдар

С тұрақты сан болса, онда Cf (x) функциясының туындысы бар және ол

(Cf (x) ) '=Cf '(x)

формуламен анықталады, тұрақты көбейткішті туынды белгісіның алдына шығаруға болады.

Мысал: y=(3x²-7x+5) (2x-3)

Шешуі: u=3x²-7x+5, v=2x-3 u'=6x-7, v'=2

(uv) ' = u'v+ uv'

y'=((3x²-7x+5) (2x-3) ) '=(6x-7) (2x-3) +2·(3x²-7x+5) =12x²-14x-18x+21+6x²-14x+10=18x²-46x+31

3 - ереже

Егер u және v функцияларының х нүктесінде туындылары бар және v ≠0 болса онда функциясының да х нүктесінде туындысы бар және ол туынды

формуласы арқылы анықталады.

Дәлелдеу

Алгоритмін қолданамыз, аргументтің u функциясының өсімшесін v функциясының өсімшесін деп алып функциясының өсімшесін анықтайық.

Аргумент өсімшесі ∆х-ке бөлеміз:

∆х→0 жағдайда шегін анықтаймыз.

Мысал:

y=x ⁿ дәрежелі функцияның туындысы.

(x ⁿ ) ' = nx ^n-1 (x ^-m ) ' = -m·x ^{-m -1}

№178

1. f(х) =×(×+1), ×0f(х) = \times ( \times + 1), \times_{0}f(х) =×(×+1), ×0f(х) = \times ( \times + 1), \times_{0}=2

$f´(х) = \times \bullet ( \times + 1) ) = \times ´ \bullet ( \times + 1) + \times ( \times + 1) ´ = ( \times + 1) + \times = \times \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + 1 + \times = 2 \times + 1$ $f´(х) = \times \bullet ( \times + 1) ) = \times ´ \bullet ( \times + 1) + \times ( \times + 1) ´ = ( \times + 1) + \times = \times \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + 1 + \times = 2 \times + 1$

$\ \ \ \ \ f(х) = 2 \bullet 2 + 1 = 5$ $\ \ \ \ \ f(х) = 2 \bullet 2 + 1 = 5$ ;

2. f(х) =×2•(×−5) ×2=−2f(х) = \times^{2} \bullet ( \times - 5) \ \ \times_{2} = - 2f(х) =×2•(×−5) ×2=−2f(х) = \times^{2} \bullet ( \times - 5) \ \ \times_{2} = - 2

f´ $= \left( \times_{2} \bullet ( \times - 5) \right) ´ = \left( \times^{2} \right) ´ \bullet ( \times - 5) + \times^{2}( \times - 5) ´ = 2 \times ( \times - 5) + \times^{2} \bullet 1 = 2 \times^{2} - 10 \times + \times^{2} = 3 \times^{2} - 10 \times$ $= \left( \times_{2} \bullet ( \times - 5) \right) ´ = \left( \times^{2} \right) ´ \bullet ( \times - 5) + \times^{2}( \times - 5) ´ = 2 \times ( \times - 5) + \times^{2} \bullet 1 = 2 \times^{2} - 10 \times + \times^{2} = 3 \times^{2} - 10 \times$

$f( - 2) = 3 \bullet ({- 2) }^{2} - 10 \bullet ( - 2) = 3 \bullet 4 + 20 = 32$ $f( - 2) = 3 \bullet ({- 2) }^{2} - 10 \bullet ( - 2) = 3 \bullet 4 + 20 = 32$ ;

3. f(х) =(×−2) (×+3), ×0=−1f(х) = ( \times - 2) ( \times + 3), \times_{0} = - 1f(х) =(×−2) (×+3), ×0=−1f(х) = ( \times - 2) ( \times + 3), \times_{0} = - 1

$f´ = \left( ( \times - 2) ( \times + 3) \right) ´ = ( \times - 2) ´( \times + 3) + ( \times - 2) ( \times + 3) ´ = 1( \times + 3) ( \times - 2) \bullet 1 = \times + 3 + \times - 2 = 2 \times + 1$

$f( - 1) = 2 \bullet ( - 1) + 1 = - 2 + 1 = - 1$ $f( - 1) = 2 \bullet ( - 1) + 1 = - 2 + 1 = - 1$ ;

4. f(×) =×+1×−2( \times ) = \frac{\times + 1}{\times - 2\ }(×) =×+1×−2( \times ) = \frac{\times + 1}{\times - 2\ }×0\times_{0}×0\times_{0}=1

f´ $( \times ) = \frac{\left( \times + 1´) \bullet ( \times - 2) - ( \times + 1) \bullet ( \times - 2) ´ \right) }{( \times - {2) }^{2}} = \frac{1( \times - 2) - ( \times + 1) \bullet 1}{( \times - {2) }^{2}} = \frac{\times - 2 - \times - 1}{( \times - {2) }^{2}} = \frac{- 3}{( \times - {2) }^{2}}$ $( \times ) = \frac{\left( \times + 1´) \bullet ( \times - 2) - ( \times + 1) \bullet ( \times - 2) ´ \right) }{( \times - {2) }^{2}} = \frac{1( \times - 2) - ( \times + 1) \bullet 1}{( \times - {2) }^{2}} = \frac{\times - 2 - \times - 1}{( \times - {2) }^{2}} = \frac{- 3}{( \times - {2) }^{2}}$ ;

5. f´(×) =0f´( \times ) = 0f´(×) =0f´( \times ) = 0

$f( \times ) = \times^{3} - {3 \times}^{2}$ $f( \times ) = \times^{3} - {3 \times}^{2}$ +7

$f´( \times ) = \left( \times^{3} - {3 \times}^{2} + 7 \right) ´ = {3 \times}^{2} - 6 \times$

${3 \times}^{2} - 6 \times = 0$

$3 \times ( \times - 2) = 0$

$3 \times = 0$

$\times = 0$

$\times - 2 = 0$

$\times = 2$

$(0, 2)$

6. f(×) =3×3−2×3f( \times ) = {3 \times}^{3} - {2 \times}^{3}f(×) =3×3−2×3f( \times ) = {3 \times}^{3} - {2 \times}^{3}-1

$f´( \times ) = \left( {3 \times}^{3} - {2 \times}^{3} - 1 \right) = {9 \times}^{2} - {6 \times}^{2}$

${9 \times}^{2} - 6 \times = 0$

3 $\times (3 \times - 2) = 0$ $\times (3 \times - 2) = 0$

3 $\times = 0$ $\times = 0$

$\times = 0$

3 $\times - 2 = 0$ $\times - 2 = 0$

3 $\times = \frac{2}{3}$ $\times = \frac{2}{3}$

№184

$f´( \times ) > 0$

а) $f( \times ) = \frac{1}{3} \times^{3} + {4 \times}^{2} - 9 \times + 1$ $f( \times ) = \frac{1}{3} \times^{3} + {4 \times}^{2} - 9 \times + 1$

$f´( \times ) = \times^{2} + 8 \times - 9$

D>0 а>0

$\times^{2} + 8 \times - 9 > 0$

D $= 64 + 4 \bullet 9 = 100$ $= 64 + 4 \bullet 9 = 100$

$\times_{1} = \frac{- 8 - 10}{8} > 1$

$\times_{2} = \frac{- 8 - 10}{8} < - 9$

$( - \infty - 9) \bigcup(1 + \infty)$

б) $\ f( \times ) = \frac{1}{3} \times^{3} + \times^{2} + 3 \times$ $\ f( \times ) = \frac{1}{3} \times^{3} + \times^{2} + 3 \times$

$f´( \times ) = {- \times}^{2} + 2 \times + 3$

${- \times}^{2} + 2 \times + 3$

D $= 4 + 4 \bullet 3 = 16$ $= 4 + 4 \bullet 3 = 16$

$\times_{1} = \frac{- 2 + 4}{- 2} = \frac{2}{- 2} = - 1$

$\times_{2} = \frac{- 2 - 4}{- 2} = \frac{- 6}{- 2} = 3$

№185

$\ f´( \times ) \leq 0$

а) $\ f( \times ) = {2 \times}^{4} - \times$ $\ f( \times ) = {2 \times}^{4} - \times$

$f´( \times ) = {8 \times}^{3} - 1$ $f´( \times ) = {8 \times}^{3} - 1$

${8 \times}^{3} - 1 \leq 0$ ${8 \times}^{3} - 1 \leq 0$

${8 \times}^{3} \leq 1$ ${8 \times}^{3} \leq 1$

$\times \leq \frac{1}{2}$ $\times \leq \frac{1}{2}$

$\times^{3} \leq \frac{1}{8}$ $\times^{3} \leq \frac{1}{8}$

$\left( - \infty; \right. \ \left. \ \frac{1}{2} \right\rbrack$ $\left( - \infty; \right. \ \left. \ \frac{1}{2} \right\rbrack$

ә) $\ f( \times ) = \frac{1}{\times}{- 2 \times - 1}^{}$ $\ f( \times ) = \frac{1}{\times}{- 2 \times - 1}^{}$

$f´( \times ) = \left( \frac{1}{\times} \right) ´ - (2 \times ) = \times^{- 1 - 1} - 2 = - \times^{- 2} - 2$ $f´( \times ) = \left( \frac{1}{\times} \right) ´ - (2 \times ) = \times^{- 1 - 1} - 2 = - \times^{- 2} - 2$

$\frac{- 1}{\times^{2}} - 2 \leq 0$ $\frac{- 1}{\times^{2}} - 2 \leq 0$

$\frac{- 1}{\times^{2}} - 2 \leq 2$ $\frac{- 1}{\times^{2}} - 2 \leq 2$

-1 $\leq {2 \times}^{2}$ $\leq {2 \times}^{2}$

$\times^{2} \geq \frac{1}{2\ }$ $\times^{2} \geq \frac{1}{2\ }$

$\times > \sqrt{\frac{1}{2}}$ $\times > \sqrt{\frac{1}{2}}$ ;

б) $\ f( \times ) = \times^{3} - 27 \times$ $\ f( \times ) = \times^{3} - 27 \times$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f´( \times ) = {3 \times}^{2} - 27 \times$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f´( \times ) = {3 \times}^{2} - 27 \times$

${3 \times}^{2} - 27 \leq 0$ ${3 \times}^{2} - 27 \leq 0$

${3 \times}^{2} \leq 27$ ${3 \times}^{2} \leq 27$

${\ \ \times}_{2} \leq 9$ ${\ \ \times}_{2} \leq 9$

$\ \times$ $\ \times$

$\ \ \ \ \ \ \ \ ( - 3; 3)$

№186

$f( \times ) = \left( 4\sqrt{\times + 3} \right) \left( 4\sqrt{\times - 3} \right) + 2 \times^{2} = 4\sqrt{\times} - 3^{2} + 2 \times^{2} = 16 \times^{4} - 9 + 2 \times^{2}$

$f´( \times ) = \left( 16 \times - 9 + 2 \times^{2} \right) ´ = 16 + 4 \times ;$

$f( \times ) = \left( \times^{2} + 5 \right) \left( \times^{2} - 4 \right) + 2\sqrt{\times} = \times^{4} + 5 \times^{2} - 4 \times^{2} - 20 = \times^{4} + \times^{2} - 20$

$f´( \times ) = \left( \times^{4} - \times^{2} - 20 \right) = {4 \times}^{3} - 2 \times ;$

№189

а)

$f( \times ) = \frac{\times^{2} + 2 \times + 3}{\times^{2} + 2 \times + 5}$

$\left( \times^{2} + 2 \times + 3 \right) ´ = 2 \times + 2$

$\left( \times^{2} + 2 \times + 5 \right)$ $\left( \times^{2} + 2 \times + 5 \right)$ ´ $= 2 \times + 2$ $= 2 \times + 2$

$f´( \times ) = \left( \frac{\times^{2} + 2 \times + 3}{\times^{2} + 2 \times + 5} \right) ´ = \frac{(2 \times + 2) \bullet \left( \times^{2} + 2 \times + 5 \right) - \left( \times^{2} + 2 \times + 3 \right) \bullet (2 \times + 2) }{{( \times}^{2} + 2 \times + {5) }^{2}} = \frac{2 \times^{3} + {4 \times}^{2\ } + 10 \times + 2 \times^{2} + {4 \times}^{2\ } + 10 - 2 \times^{3} - {4 \times}^{2\ } - 6 \times - 2 \times^{3} - {4 \times}^{2\ } - 6}{{( \times}^{2} + 2 \times + {5) }^{2}} = \frac{4 \times + 4}{{( \times}^{2} + 2 \times + {5) }^{2}};$

$\frac{4 \times + 4}{\times^{2} + 2 \times + 5} = 0$

$4 \times + 4 = 0$

$4 \times = - 4$

$\times = - 1$

б)

$f( \times ) = \frac{1 - 3 \times + \times^{2}}{1 + \times + \times^{2}}$

$\left( 1 - 3 \times + \times^{2} \right) ´ = - 3 + 2 \times$

$\left( 1 + \times + \times^{2} \right) ´ = 1 + 2 \times$

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс