«біртұтас педагогикалық процесті технологияландыру» атты жоба бойынша жасалған күнделікті сабақ жоспарының жобасы

1-слайд

Тригонометриялық теңдеулер жүйесінің анықтамасы

Қандай жүйені тригонометриялық теңдеулер жүйесі деп атаймыз?

• Анықтама. Тригонометриялық теңдеуі бар жүйені тригонометриялық теңдеулер жүйесі деп аталады.

Әр түрлі тригонометриялық теңдеулерді шешу алгебралық теңдеулерді шешу әдістеріне негізделіп шешіледі.

Тригонометриялық теңдеулер жүйесін шешкенде осы әдістерді және тригонометриялық тепе-теңдіктер мен негізгі формулаларды қолданамыз.

2-слайд

Әр түрлі тригонометриялық теңдеулер жүйесінін шешу әдістері

• І түрі. $\left\{ \begin{array}{r} \sin x \pm \sin y = a, \\ x \pm y = a \end{array} \right. \ \left\{ \begin{array}{r} \cos x \pm \cos y = a, \\ x \pm y = a \end{array} \right. \ \left\{ \begin{array}{r} \sin x \pm \cos y = a, \\ x \pm y = a \end{array} \right. \$

$$\left\{ \begin{array}{r} tgx \pm tgy = a, \\ x \pm y = a \end{array} \right. \ \left\{ \begin{array}{r} ctgx \pm ctgy = a, \\ x \pm y = a \end{array} \right. \$$

Бұндай түрдегі берілген теңдеулер жүйесін шешу үшін бірінші теңдеудегі қосындыны немесе айырымды көбейтінді түріне келтіреміз.

•1-мысал. $\left\{ \begin{array}{r} \cos{2y} - \ \cos{2x} = \ - 1, \\ x + y = \ \frac{\pi}{4} \end{array} \right. \$ теңдеулер жүйесін шешейік.

Шешуі: Бірінші теңдеудегі косинустардың айырымын көбейтінгдіге түрлендіру формуласын қолданамыз:

$\left\{ \begin{array}{r} - 2\sin\frac{2y + 2x}{2}\sin\frac{2y - 2x}{2} = \ - 1, \\ x + y = \ \frac{\pi}{4} \end{array} \right. \$ ⇒ $\left\{ \begin{array}{r} {2sin}(x + y) \sin(x - y) = \ - 1, \\ x + y = \ \frac{\pi}{4} \end{array} \right. \$ ⇒ $\left\{ \begin{array}{r} {2sin}\frac{\pi}{4}\sin(x - y) = \ - 1, \\ x + y = \ \frac{\pi}{4} \end{array} \right. \$ ⇒ $\left\{ \begin{array}{r} 2 \bullet \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x - y) = \ - 1, \\ x + y = \ \frac{\pi}{4} \end{array} \right. \$ ⇒ $\left\{ \begin{array}{r} \sin(x - y) = \ - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ x + y = \ \frac{\pi}{4} \end{array} \right. \$

Алмастыру әдісі бойынша екінші теңдеудегі x-тіy арқылы өрнектеп, оны бірінші теңдеудегі x-тің орнына қоямыз:

$$\left\{ \begin{array}{r} \sin\left( \frac{\pi}{4} - y - y \right) = \ - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \ \\ x = \ \frac{\pi}{4} - y. \end{array} \right. \$$

$\sin\left( \frac{\pi}{4} - 2y \right) = - \frac{\sqrt{2}}{2},$ - 2y = $- \frac{\pi}{4} + ( - 1) ^{n + 1}\frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in Z,$

y = $\frac{\pi}{8} - ( - 1) ^{n + 1}\frac{\pi}{8} - \frac{\pi n}{2} = \ \frac{\pi}{8}\left( 1 - ( - 1) ^{n + 1} \right) - \ \frac{\pi n}{2}, \ n \in Z,$

x = $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{8} + ( - 1) ^{n + 1}\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi}{8} + ( - 1) ^{n + 1}\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} = \ \frac{\pi}{8}\left( 1 + ( - 1) ^{n + 1} \right) + + \frac{\pi n}{2}, \ n \in Z,$

Егер n = 2kболса, онда

х = $\frac{\pi}{8}\left( 1 + ( - 1) ^{2k + 1} \right) + \frac{2kn}{2} = \frac{\pi}{8}(1 - 1) + \frac{2k\pi}{2} = \ \pi k, \ k \in Z, \ \ \ осылайша\ y = \ \frac{\pi}{4} - \ \pi k, \ k \in Z.$

Егер n = 2k + 1 болса, онда х = $\frac{3\pi}{4} + \pi k, \ k \in Z, \ \$ y= - $\frac{\ \pi}{2} - \pi k, \ k \in Z.$

Жауабы: $\left( \pi k\ ; \frac{\pi}{4} - \ \pi k \right), \ \ \left( \frac{3\pi}{4} + \pi k; - \frac{\pi}{2} - \pi k\ \right), \ k \in Z$

ІІ түрі.

$$\left\{ \begin{array}{r} \sin x \bullet \sin y = a, \\ x \pm y = a \end{array} \right. \ \left\{ \begin{array}{r} \cos x \bullet \cos y = a, \\ x \pm y = a \end{array} \right. \ \left\{ \begin{array}{r} \sin x \bullet \cos y = a, \\ x \pm y = a \end{array} \right. \$$

$$\left\{ \begin{array}{r} tgx \bullet tgy = a, \\ x \pm y = a \end{array} \right. \ \left\{ \begin{array}{r} ctgх \bullet ctgy = a, \\ x \pm y = a \end{array} \right. \$$

Бұл тригонометриялық теңдеулерді шешу үшін көбейтіндіні қосындыға түрлендіру формуласын қолданамыз.

ІІІ түрі.

$$\left\{ \begin{array}{r} \sin x + \ \sin y = a, \\ \cos^{2}x + \ \cos^{2}y = b; \end{array} \right. \ \left\{ \begin{array}{r} cosx + \ cosy = a, \\ \cos^{2}x + \ \cos^{2}y = b; \end{array} \right. \ \left\{ \begin{array}{r} \cos x + \ \cos y = a, \\ \sin^{2}x + \ \sin^{2}y = b; \end{array} \right. \$$

Бұндай теңдеулер жүйесін шешу үшін u = $\sin{x, \ \ \ v = \ \sin y}$ белгілеулерін

енгізіп, $\left\{ \begin{array}{r} u + v = a, \\ u^{2} + v^{2} = b \end{array} \right. \$ ⇒ $\left\{ \begin{array}{r} u + v = a, \\ uv = \ \frac{a^{2} - b}{2} \end{array} \right. \$ жүйесін аламыз.

•3-мысал. $\left\{ \begin{array}{r} \cos x + \ \cos y = \ \frac{1}{2}\mathbf{, } \\ \sin^{2}x + \ \sin^{2}y = \ \frac{7}{4} \end{array} \right. \$ теңдеулер жүйесін шешейік.

Шешуі: sin ² x = 1 - cos ² формуласын қолданып, $\left\{ \begin{array}{r} cosx + \ cosy = \frac{1}{2}, \\ \cos^{2}x + \ \cos^{2}y = \frac{1}{4} \end{array} \right. \$ түріне келтіріп, u = $\sin{x, \ \ \ v = \ \sin y}$ белгілеулерін енгіземіз.

$\left\{ \begin{array}{r} u + v = \frac{1}{2}, \\ u^{2} + v^{2} = \frac{1}{4} \end{array} \right. \$ ⇒ $\left\{ \begin{array}{r} u + v = \frac{1}{2}, \\ uv = \ 0 \end{array} \right. \$ бұл теңдеуді шешуді өздерің орындаңдар.

u ₁ = 0, v ₁ = $\frac{1}{2};$ u ₂ = $\frac{1}{2}$ , v ₂ = 0.

Табылған бұл мәндерді белгілеудегі u мен v-ның орнына қойып x пен у-тің мәндерін табамыз: $\left\{ \begin{array}{r} \cos x = 0, \\ \cos y = \ \frac{1}{2} \end{array} \right. \$ ⇒ $\left\{ \begin{array}{r} x = \ \frac{\pi}{2} + k\pi, \ k \in Z, \\ y = \ \pm \frac{\pi}{6} + \ 2m\pi, \ m \in Z \end{array} \right. \$

$\left\{ \begin{array}{r} \cos x = \frac{1}{2}, \\ \cos y = 0 \end{array} \right. \$ ⇒ $\left\{ \begin{array}{r} x = \ \pm \frac{\pi}{6} + \ 2m\pi, \ m \in Z \\ y = \ \frac{\pi}{2} + \ k\pi, \ k \in Z. \end{array} \right. \$

Жауабы: $\left( \frac{\pi}{2} + \ \pi k; \ \pm \frac{\pi}{6} + 2m\pi \right), \ \ \left( \pm \frac{\pi}{6} + 2m\pi; \frac{\pi}{2} + \ \pi k\ ; \ \right), \ \ k, \ m \in Z$

ІV түрі.

$\mathbf{1) }\left\{ \begin{array}{r} \sin x \bullet \sin y = a, \\ \cos x \bullet \cos y = b; \end{array} \right. \ \left\{ \begin{array}{r} \sin x \bullet \cos y = a, \\ \cos x \bullet \sin y = b \end{array} \right. \$ (1)

түріндегі теңдеулерді шешу үшін теңдеулерді бір-біріне қосып және азайту арқылы

$\left\{ \begin{array}{r} \cos(x + y) = b - a, \\ \cos(x - y) = b + a \end{array} \right. \$ және $\left\{ \begin{array}{r} \sin(x + y) = a + b, \\ \sin(x - y) = a - b \end{array} \right. \$ түріне келтіреміз.

2) $\left\{ \begin{array}{r} \sin x \bullet \sin y = a, \\ tgx \bullet tgy = b; \end{array} \right. \ \left\{ \begin{array}{r} \sin x \bullet \sin y = a, \\ ctgx \bullet ctgy = b; \end{array} \right. \ \left\{ \begin{array}{r} \sin x \bullet \cos y = a, \\ tgx \bullet ctgy = b \end{array} \right. \$

Бұл теңдеулерді шешу үшін бірінші теңдеуді екінші теңдеуге бөліп, (1) жүйенің түріне келтіреміз.

3) $\left\{ \begin{array}{r} \sin x \bullet \cos y = a, \\ \cos x \bullet \cos y = b, \ b \neq 0, \end{array} \right. \$ түріндегі жүйелерді шешу үшін оның бірінші теңдеуін екіншісіне бөліп, $tgx = \ \frac{a}{b}$ теңдеуінен х-тің мәнін тауып, оны

берілген жүйенің біреуіне қойып у-ті табуға болады.

•4-мысал. $\left\{ \begin{array}{r} \sin x \bullet \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4}, \\ \cos x \bullet \cos y = \ \frac{\sqrt{3}}{4} \end{array} \right. \$ теңдеулер жүйесін шешейік.

Шешуі: $\left\{ \begin{array}{r} \cos(x + y) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \\ \cos(x - y) = 0 \end{array} \right. \ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} x - y = \ \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \ \ k \in Z, \\ x + y = \ \frac{\pi}{2} + m\pi, \ \ \ m \in Z \end{array} \right. \$

$$\left\{ \begin{array}{r} x = \ \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}(2k + m), \ \\ y = \ \frac{\pi}{6} + \ \frac{\pi}{2}(m - 2k), \ k, m \in Z; \end{array} \right. \ \left\{ \begin{array}{r} x = \frac{\pi}{6} + \ \frac{\pi}{2}(2k + m), \ \ \\ y = \ \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}(m - 2k), \ \ \ k, m \in Z. \ \end{array} \right. \$$

Жауабы: $\left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}(2k + m) ; \frac{\pi}{6} + \ \frac{\pi}{2}(m - 2k) \right), \ \$

$\left( \frac{\pi}{6} + \ \frac{\pi}{2}(2k + m) ; \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}(m - 2k) \right)$ , $k, m \in Z$ .