Бөлінгіштік белгілері

Астана қаласы Ә.Марғұлан атындағы №40 орта мектебінің математика
пәнінің мұғалімі Молдаханова Алтынай Сайлауқызы

БӨЛІНГІШТІК БЕЛГІЛЕРІ

Бөлінгіштік белгілері деп, берілген х санының а санына қалдықсыз
бөлінетінін бөлу амалын орындамай – ақ білуге болатын ережелерді атаймыз.
Мысалға есептеу үшін қолайлы, ондық санау жүйесіндегі бөлінгіштік
белгілерін қарастырайық.
2 – ге бөлінгіштік белгісі.
Сан жұп 0, 2, 4, 6, 8 цифрларымен аяқталса ғана 2 – ге бөлінеді.
3 – ке ( 9 – ға ) бөлінгіштік белгісі.
Егер санның цифрларының қосындысы 3 – ке ( 9 – ға) бөлінсе, тек сонда
ғана ол сан 3 – ке ( 9-ға ) бөлінеді.
4 – ке бөлінгіштік белгісі.
Егер санның соңғы екі орынды саны 4 – ке бөлінсе, тек сонда ғана сан
4 – ке бөлінеді.
5 – ке бөлінгіштік белгісі.
Егер сан 5 – пен немесе 0 – мен аяқталса, ол сан 5 – ке бөлінеді.
7 – ге бөлінгіштік белгісі.
7 сиқырлы сан деп есептелген . Оған бөлінгіштік белгісі осы күнге дейін
нақтылы анықталмаған. Себебі 7 – ге бөлінгіштіктің біраз ұсынылған
белгілері көптеген есептеу жұмысын жүргізуді қажет етеді, одан гөрі 7 – нің
өзіне бөлу жеңілірек. Мысалға, өткен ғасырдың орта кезінен 7 – ге
бөлінгіштіктің мынадай белгісін білеміз. Ол былай есептеледі : берілген
санның соңғы цифрын сызып тастап, сол сызылған санды екі еселеп берілген
саннан азайтамыз. Осы әдісті ең соңында бір орынды сан қалғанға дейін
жалғастырамыз. Егер осы бір орынды сан 7 – ге бөлінсе, онда берілген
сан 7 – ге бөлінеді. 61671142 санының 7 – ке бөлінгіштігін тексерейік.

61671142
- 4
6167110
- 0
616711
- 2
61669
- 18
6148
- 16
598
- 16
43
- 6
- 2
Мұнда ең соңғы бір орынды сан – 2 7 – ге бөлінбейді, ендеше берілген
сан 61671142 де 7 – ге бөлінбейді.

8974531264
8
897453118
- 16
89745295
- 10
8974519
- 18
897433
- 6
89737
- 14
8959
- 18
877
- 14
73
- 6
1
Енді 8974531264 санын тексергенде соңғы цифр 1 болып шықты. Ол
7 – ге бөлінбейді, олай болса 8974531264 саны да 7 – ге
бөлінбейді.
8 – ГЕ БӨЛІНГІШТІК БЕЛГІСІ.
Егер берілген санның соңғы үш орынды саны 8 – ге бөлінсе, ол сан
8 – ге бөлінеді.
Мысалы, 724648, 648 : 8 = 81, демек, 724648 8 – ге бөлінеді.
4751337, 337 : 8 – бөлінбейді, ендеше 4751337 8 – ге бөлінбейді. т.с.с
11 – ГЕ БӨЛІНГІШТІК БЕЛГІСІ.
Берілген сан 11 – ге бөліну үшін ол санның жұп орындағы цифрларының
қосындысы мен тақ орындағы цифрларының қосындысының айырмасы не нөл немесе
11 – ге бөлінетін сан болуы керек.
Мысалы, 345796 тексеріп көрейік . 4 + 7 + 6 = 17,
3 + 5
+ 9 = 17,
17 –
17 = 0
Ендеше, бұл сан 11 – ге қалдықсыз бөлінеді. Сол сияқты 92617294 санын
тексерсек 2 + 1 + 2 + 4 = 9
9 + 6 + 7 + 9 = 31
31 – 9 = 22
22 : 11 = 2
Ендеше, 92637294 саны 11 – ге бөлінеді. 11 – ге бөлінгіштік белгісін
дәлелдейік.
Кез келген көп таңбалы N санында a бірлік , b ондық, с жүздік, d
мыңдық т.с.с бар болсын, сонда N = a + 10b + 100с + 1000 d + .... = a + 10(
b + 10с + 100d+ ....).
Енді N – нен 11 ( b + 10с + 100 d + ....) (бұл сан 11 – ге бөлінеді) санын
азайтамыз.
Сонда шыққан айырма а – b – 10(с + 10d + ...) болады, бұл санды 11 –
ге бөлгенде шығатын қалдық бастапқы N саннын 11 – ге бөлгендегі қалдықпен
бірдей. Осы қалдыққа 11 – ге бөлінетін 11( с + 10d + ...) санын қоссақ,
а – b+с +10 ( d + ...) саны шығады, бұл санды да 11 – ге
бөлсек, қалдығы сол N – ді 11 – ге бөлгендегі қалдыққа тең болады. Осы
саннан 11( d + ...) ( 11 – ге бөлінетін) санын азайтамыз
т.с.с Нәтижесінде а – b + с – d +
....) – (b+d+ ....) саны шығады, бұл санды 11 – ге бөлгенде шығатын
қалдықпен тең.
11 – ге бөлгіштің басқа да белгісі бар ол тек аса үлкен емес сандар
үшін. Ол әдіс бойынша берілген санды оңнан солға қарай екі орынды сандарға
бөлеміз, одан соң әр бөліктегі сандарды мүшелеп қосамыз, осы қосынды 11-ге
бөлінсе, онда сан да 11-ге бөлінеді, басқаша болса, бөлінбейді.
Мысалы, 528 санын тексерейік: |5|28|, қосамыз 5 + 28=33 бұл 11-ге
бөлінеді, ендеше 528 де 11-ге бөлінеді. Осы бөлінгіштік белгісін дәлелдеу
керек. Көп орынды N санын 2-орындыдан бөліп шығамыз, сонда екі орынды, бір
орынды сандар аламыз. Оны солдан оңға қарай a, b, c т.б. деп белгілейміз.
Сонда, N= a + 100b + 10000c +… = a + 100(b + 100c +…) Енді N санынан 11-ге
бөлінетін 99(b + 100c+…) санын азайтамыз. Шыққан а + (b + 100c + …)= a + b
+100(c + …) санын 11-ге бөлгендегі қалатын қалдық бастапқы N-ді 11-ге
бөлгенде шығатын қалдықпен бірдей болады.Бұл санын 99(c + …), (11-ге
бөлінетін сан) санын азайтамыз т. с. с. нәтижесінде 11-ге бөлгендегі
қалдығындай болатын а + b + с + ...саны шығады.
13-КЕ БӨЛІНГІШТІК БЕЛГІСІ.
Берілген санды солдан оңға қарай сызықшамен үш орынды сандарға
бөлеміз. Бірінші, үшінші, бесінші орындағы бөліктердің қосындысын, содан
соң екінші, төртінші, т. с. с. орындағылардың қосындысын тауып, сол
қосындылардың айырмасы 13-ке бөлінсе, онда берілген сан да 13-ке бөлінеді.
Мысалы, 91182091 санын тексерейік,911 |820|91, бұдан 911 + 91=1002,
1002 - 820 = 182, 182 13-ке бөлінеді, ендеше, 91182091 саны да 13-ке
бөлінеді.
19-ҒА БӨЛІНГІШТІК БЕЛГІСІ
Сан 19-ға бөлінуі үшін ол санның ондықтары мен екі еселенген
бірліктерінің қосындысы 19-ға бөлінуі керек.
Мысалы, N= 10х + у, мұндағы х – ондықтар саны, у- бірліктер саны.
Егер х+2у =N΄ 19-ға бөлінсе, N де 19-ға бөлінетінін дәлелдеуіміз
керек. Ол үшін N΄-ты 10-ға көбейтіп, одан N-ді азайтамыз, сонда 10 N΄ − N =
10(х+2у) –(10х+у)=19у. Бұдан байқайтынымыз: егер N΄ 19-ға бөлінетін болса,
онда N = 10N΄-19у те 19-ға бөлінеді, керісінше, егер N саны 19-ға қалдықсыз
бөлінсе, онда N΄ та 19-ға қалдықсыз бөлінеді.

47045881
+ 2
4704590
+ 18
47063
+ 6
4712
+ 4
475
+ 10
57
+ 14
19

25 – КЕ БӨЛІНГІШТІК БЕЛГІСІ.

Сан 25 – ке бөлу үшін , ол 00, 25, 50, 75 сандарының бірімен
аяқталуы керек.

Санның соңғы цифры х = хп ·10п + .... + х2 · 102 + х1
10+х0 болсын. 100 25 –ке бөлінеді,ендеше 1000, 10000 т.с.с. да 25 – ке
бөлінуі үшін х1·10+х0 саны 25 – ке бөлінуі керек екен. Ол тек х1·10+х0
сандары 00, 25, 50, 75 – пен аяқталғанда ғана орындалады.

99 – ҒА, 33 – КЕ, 11 – ГЕ БӨЛІНГІШТІК БЕЛГІСІ.

Сан 99 – ға , 33 – ке, 11 – ге бөлінуі үшін, оның цифрларын оңнан
солға қарай екі орыннан бөлгенде шыққан сандардың қосындысы 99- ға , 33
–ке, 11 – ге бөлінеді.

Мысалы, 2΄ 03΄ 73΄ 54 саннан 54 + 73 + 03 + 2 = 132. Ал 132 33 – ке ,
11- ге бөлінеді,ендеше 2037354 саны да 33 – ке, 11 – геқалдықсыз бөлінеді.

Сол сияқты 6΄ 91΄ 80΄ 21 үшін 21+80+91+6 = 198, ал бұл 99 – ға
бөлінеді. Олай болса, 33 – ке де, 11 – ге де бөлінеді, бұдан 6918021 саны
да 99 –ға, 33 – ке, 11 – ге бөлінеді.

101 – ГЕ БӨЛІНГІШТІК БЕЛГІСІ.

Егер берілген санның, оңнан солға қарай есептегенде, екі – екіден
бөлінген цифрларының тақ орындағыларының қосындысы мен жұп орындағыларының
қосындысы бірінен бірін азайтқанда айырма не 0 – ге, не 101 – ге тең болса,
онда бұл сан 101 – ге бөлінеді.

Мысалы. 2΄ 68΄ 45΄63΄83 санында 83+45+2 =130. 63+68 = 130, 130 -130 = 0
, демек 268456383 саны 101 – ге бөлінеді.

999 – ҒА, 333 – КЕ, 111 – ГЕ, 37 – ГЕ, 27 – ГЕ БӨЛІНГІШТІК БЕЛГІЛЕРІ.

Берілген сан 999 – ға , 333 – ке, 111 – ге, 37 – ге, 27 – ге бөлінуі
үшін оңнан солға қарай үш – үштен санағанда алғашқы үш бөліктің қосындысы,
одан кейінгі үш бөліктің қосындысына тең болса және олар 999, 333, 111, 37,
27 – ге бөлінетін болса, ол осы сандарға бөлінеді.

Мысалы, 776223 – ті тексеріп көрейік: 223+776 = 999;
999 = 3 · 333 = 9·111 = 27 · 37, демек, берілген
сан 999 – ға да, 333 – ке де, 11 - ге де, 37 – ге де , 27 – ге де
бөлінеді.