Ньютон биномы (жоспар)

Сабақ жоспары

Алгебра және анализ бастамалары-10

Сабақтың тақырыбы: Ньютон биномы.

Сабақтың мақсаты:

1. Білім берушілік: Оқушыларды (х+а) ^п , п кезкелген натурал сан болған жағдайда, екімүшені п дәрежеге шығару формуласымен, биномдық коэффициент ұғымымен таныстырып, оның Ньютон биномының қосылғыштарға жіктелген формуласы екенін дәлелдеп, оның қасиеттерін білуге үйрету, бином формуласын пайдаланып есеп шығару дағдыларын қалыптастыру.

2. Дамытушылық: Оқушылардың ықтималдық теориясы, комбинаториканың бөлім- дері - орналастырулар, алмастырулар, терулер туралы алған білімдерін кеңейтіп, оларды есептер шешуде қолдана білу дағдыларын дамыту.

3. Тәрбиелік: Оқушылардың ойлау қабілетін жетілдіру, жауапкершілікке, еңбек етуге, ізденіске, бір-біріне көмек беруге тәрбиелеу.

Сабақтың түрі: жаңа сабақ.

Сабақтың көрнекілігі: интерактивті тақта, таблица, үлестірме карточкалар.

Сабақтың әдісі: СТО стратегиясы, сұрақ-жауап.

Сабақтың барысы:

І. Ұйымдастыру кезеңі:

а) Оқушыларды түгендеу.

ә) Сабақтың мақсатын нұсқау.

ІІ. Қызығушылықты ояту/ Өткен тақырыпты қайталау /:

Орналастырулар:Anm=n!(n−m) !{:\ \ A}_{n}^{m} = \frac{n!}{(n - m) !}
Алмастырулар:Pn=n!P_{n} = n!
Терулер:Cnm=n!m!(n−m) !{:\ \ C}_{n}^{m} = \frac{n!}{m!(n - m) !}
Орналастыру топтарының бір-бірінен айырмашылығы қандай?
п элементтен т-нен құралған орналастыру тобының саны қанша?
5, 6, 7 сандары арқылы үш орынды қанша сан жазуға болады?
Алмастыру және орналастыру топтарының айырмашылығы бар ма?

Жауабын түсіндіріңдер.

ІІІ. Мағынаны тану/ жаңа сабақты түсіндіру/:

Қысқаша көбейту формулалары бойынша (х+а) ² =х ² +2ах+а ² ; (х+а) ³ =х ³ +3ах ² +3а ² х+а ³ екенін білеміз.

Сонда (х+а) ⁴ =(х+) ³ ·(х+а) =( х ³ +3ах ² +3а ² х+а ³ ) ·(х+а) =х ⁴ +4ах ³ +6а ² х ² +4а ³ х+а ⁴ .

(х+а) ^п =х ^п +пах ^п-1 + $\frac{\mathbf{п(п - 1) }}{\mathbf{2!}}\mathbf{а}^{\mathbf{2}}\mathbf{х}^{\mathbf{п - 1}}$ а ² х ^п-1 + . . . + $\frac{\mathbf{п}\left( \mathbf{п - 1} \right) \mathbf{\ldots(п - к + 1) }}{\mathbf{к!}}$ а ^к х ^п-к + . . . +а ^п ; (1)

$C_{n\ }^{k}$ = $\frac{A_{n}^{k}}{P_{k}}$ формуласын пайдалансақ, (x+a) ⁿ = $\mathbf{C}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{0}}\mathbf{a}^{\mathbf{0}}\mathbf{x}^{\mathbf{n}}$ + $\mathbf{C}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{1}}\mathbf{a}^{\mathbf{1}}\mathbf{x}^{\mathbf{n - 1}}$ + $\mathbf{C}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{x}^{\mathbf{n - 2}}$ + $\mathbf{C}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{3}}\mathbf{a}^{\mathbf{3}}\mathbf{x}^{\mathbf{n - 3}}$ +…+ + $\mathbf{C}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{n - 1}}\mathbf{a}^{\mathbf{n - 1}}\mathbf{x}^{\mathbf{1}}$ + $\mathbf{C}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{n}}\mathbf{a}^{\mathbf{n}}\mathbf{x}^{\mathbf{0}}$ ; (2)

Осы теңдіктегі $C_{n}^{0}$ =1; a ⁰ =1; $C_{n}^{1}$ =n; $C_{n}^{n - 1}$ =n; $C_{n}^{n}$ =1; x ⁰ =1.

және (2) формулаларНьютон биномының формуласыдеп аталады.

Ньютон биномының формуласындағы коэффициенттерді биномдық коэффициенттер деп атайды.

формуланы қысқаша былай жазады:(𝐱+𝐚) 𝐧=∑𝐤=𝟎𝐧𝐂𝐧𝐤𝐚𝐤𝐱𝐧−𝐤\left( \mathbf{x + a} \right) ^{\mathbf{n}}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{k = 0}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{C}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{k}}\mathbf{a}^{\mathbf{k}}\mathbf{x}^{\mathbf{n - k}}};

ІV. Ой толғау/Дамыту кезеңі/:

Оқулықпен жұмыс :№№ 330, 332, 334.

№ 330.

(x+7) ⁷ биномын қосылғыштарға жіктеу керек.

(x+7) ⁷ = $C_{7}^{0}a^{0}x^{7}$ + $C_{7}^{1}a^{1}x^{6}$ + $C_{7}^{2}a^{2}x^{5}{+ C}_{7}^{3}a^{3}x^{4}$ + $C_{7}^{4}a^{4}x^{3}$ + $C_{7}^{5}a^{5}x^{2}$ + $C_{7}^{6}a^{6}x^{1}$ + $C_{7}^{7}a^{7}x^{0}$ = = x ⁷ +7ax ⁶ + $\frac{7!}{2! \bullet 5!}$ a ² x ⁵ + $\frac{7!}{3! \bullet 4!}$ a ³ x ⁴ + $\frac{7!}{4! \bullet 3!}$ a ⁴ x ³ + $\frac{7!}{5! \bullet 2!}$ a ⁵ x ² +7a ⁶ x+a ⁷ = x ⁷ +7ax ⁶ +21a ² x ⁵ +70a ³ x ⁴ + +70a ⁴ x ³ +21a ⁵ x ² +7a ⁶ x+a ⁷ ;

№ 334 .

${(\sqrt{5} + \sqrt{2}) }^{20}$ жіктелуінің ең үлкен мүшесін табу керек.

$T_{11}$ = $C_{20}^{10} \bullet {\sqrt{5}}^{10} \bullet {\sqrt{2}}^{10} = \frac{20!}{10! \bullet 10!}(({{\sqrt{5}) }^{2}) }^{5} \bullet (({{\sqrt{2}) }^{2}) }^{5}$ = $\frac{11 \bullet 12 \bullet 13 \bullet 14 \bullet 15 \bullet 16 \bullet 17 \bullet 18 \bullet 19 \bullet 20}{1 \bullet 2 \bullet 3 \bullet 4 \bullet 5 \bullet 6 \bullet 7 \bullet 8 \bullet 9 \bullet 10}\$ ·2 ⁵ ·5 ⁵ = =11·13·2·17·19·10 ⁵ =314925·10 ⁵ .