Кері тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктер: қасиеттері және шешу әдістері

Сабақтың тақырыбы : Кері тригонометриялық теңдеу, теңсіздіктер

Сабақтың мақсаты :

1. Дидактикалық : кері тригонометриялық теңдеу, теңсіздіктерді шеше білуге үйрету

2. Тәрбиелік : ұқыптылыққа, жинақтылыққа, тапқырлыққа тәрбиелеу;

3. Дамытушы : оқушының ойлау қабілетін дамыту, ми жұмысының іскерлігін

арттыру.

Сабақтың түрі : практикалық.

Сабақты оқыту әдісі : ұжымдық, даралап оқыту.

Пәнаралық байланыс : оқушылардың білімін пәнаралық интеграциялау арқылы тиянақтау,

негізгі меже - функция қасиеттерін қолдануға бағыттау.

Кіріспе мотивациялық бөлім

1. 1. Проблемалық ахуал : кері тригонометриялық теңдеу, теңсіздіктерді шешудің дайын формуласы жоқ болғандықтан, оны формальды операциялар арқылы шешу мүмкін емес.

1. 2. Сабақтың міндеті : осы проблемалық ахуалдан шығу жолдарын іздестіру: кері тригонометриялық функциялардың қасиеттерін қолдану арқылы қарапайым теңдеу, теңсіздіктерге көшу жолдарын меңгеру.

1. 3. Бағытталған негіздегі іс- әрекеттер : теориялық материалды қайталап, есеп шығарудың негізін қалау.

1. 4. Өткен тақырыптың өзектілігі : кері тригонометриялық функциялардың қасиеттерін білу оқушыларды есеп шығару әрекетіне дайындайды.

2. Танымдық жұмыстар

2. 1. Оқушыларды қажетті ақпаратпен қамтамасыз ету: оқу материалдарын алдын ала

үлестіру.

2. 2. Қосымша әдебиет қолдану:

1) Н. Я. Виленкин и др. Алгебра и начало анализа 10

2) М. Л. Галицкий и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа

2. 3. Деңгейлік есептер шығару

3. Бақылау, бағалау: өздік жұмыс есептерін шығару.

4. Үйге тапсырма беру: Тарату материалындағы есептерді шығару.

5. Сабақты қорытындылау.

Оқу материалының мазмұны:

Теңдеу, теңсіздіктерді шешкенде кері тригонометриялық функциялардың ерекше қасиеттерін есте сақтап, олардың орындалуын қадағалау керек.

1. .

немесе .

немесе . , тақ функция, өспелі функция.

немесе .

немесе . . кемімелі функция.

3. .

, яғни .

, яғни . , тақ функция, өспелі функция.

4. .

, яғни .

, яғни . . кемімелі функция.

1. Алдымен қарапайым теңдеу, теңсіздіктерді қарастырайық.

1) , бұл екі бұрыштың теңдігі. Теңдіктің екі жағын синустаймыз:

. Жауабы: .

2) , болғандықтан, .

3)

. Жауабы: .

4)

,

Жауабы: .

5) , өспелі функция.

Жауабы: .

6)

теңдігін пайдаланамыз:

, . Жауабы: .

7) , болғандықтан.

Жауабы : .

8) , болғандықтан, .

Жауабы:

9)

.

Жауабы:

10)

қасиетін қолданамыз.

.

Жауабы: .

11)

, келтіру формуласын қолданамыз.

,

, .

Жауабы: .

Жаттығулар:

Теңдеуді шешу:

Теңсіздікті шеш:

Екі жағында бірдей кері тригонометриялық функция болатын теңдеу, теңсіздіктер.

, функцияларының өспелі, ал , функциялары кемімелі, , функцияларының анықталу облысы болатынын қолдану керек.

Кері тригонометриялық функцияларға байланысты теңдеу, теңсіздіктерді қарапайым мәндес теңдеу, теңсіздіктермен алмастыру жолдарын қарастырайық.

Мысалдар:

теңдеуін шешу керек. Ол үшін мәндес жүйеге көшеміз:

Жүйедегі теңдеуді шешеміз:

.

Мұндағы мәні жүйедегі теңсіздікті қанағаттандырмайды.

Жауабы: .

теңдеуітеңдеуімен мәндес.

Жауабы: .

теңсіздігін шешу үшін мәндес жүйеге көшеміз:

Жауабы:

теңсіздігін мәндес жүйемен алмастырамыз:

теңсіздігін шешу үшін

теңсіздігіне көшеміз.

Жауабы : .

Жаттығулар:

Теңдеуді шеш:

1)

2)

3)

4)

5)

Теңсіздікті шеш:

3. Екі жағы да әртүрлі кері тригонометриялық функциялар болатын теңдеу, теңсіздіктер

Егерсанытеңдеудің шешімі болсын. Сонда, деп алсақ,, . Бұдан. Яғни.
формуласын қолдансақ, .
формуласы бойынша.
формуласы бойынша.
формуласы бойынша, .
формуласы бойынша, .

Ескерту:

- 4) пунктеріндегі теңдеулердің шешімі, болатындайсаны болу керек. Олай болмаса, теңдіктің оң және сол жағындағы мәндер жиыны қиылыспайды. Сонда

Мысал.

теңдеуін шешу керек.

Шешуі:

Жауабы: 2.

Жүйедегі теңдеудің шешімі . Олардың біріншісі шешім бола алмайды.

Жауабы :2.

теңсіздігі сол жақтағы өрнектің мағынасы болатындай барлықхтер үшін дұрыс болады, себебі. Сондықтан
Жауабы:

Жаттығу:

Теңдеуді шеш:

Теңдікті шеш:

4. Жаңа айнымалы енгізу әдісі:

Кері тригонометриялық функциялар енетін кейбір теңдеу, теңсіздіктерді жаңа айнымалы енгізу арқылы алгебралық түрге келтіруге болады. Сонымен қатар кері тригонометриялық функциялардың шектеулі екенін ескеріп отыру керек.

Мысалы: