Файл қосу
Классикалық механика моделдері
|ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ |
|СемЕЙ қаласының ШӘКӘРІМ атындағы МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ |
|3 деңгейлі СМК құжаты |ПОӘК | |
| | |ПОӘК |
| | |042-18-38.81/03-2014 |
|ПОӘК | | |
|«Классикалық механика» |№ 1 басылым | |
|пәнінің оқу-әдістемелік |05.09.2013 ж. | |
|материалдары | | |
ПӘННІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ
«Классикалық механика»
«5В011000 – Физика» мамандығы үшін
ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК МАТЕРИАЛДАРЫ
Семей
2014
Мазмұны
|1 |Глоссарий |3 |
|2 |Дәрістер |5 |
|3 |Практикалық сабақтар |52 |
|4 |Студенттердің өздік жұмыстары |53 |
1 ГЛОССАРИЙ
физика – материаның жалпы формалары және өзара түрленуі туралы ғылым, ол
дәл ғылымдарға жатады және айналамыздағы процестермен құбылыстардың сандық
заңдылықтарын зерттейді
материалдық нүкте – берілген жағдайда өлшемдерімен формасын ескермеуге
болатын массасы бар дене
абсолют қатты дене – кез-келген екі нүктесінің арасындағы ара қашықтық
өзгермей қалатын дене (материалық нүктелер жүйесі)
абсолют серпімді дене – деформациясы оны тудыратын күштерге пропорционал
Гук заңына бағынатын дене
идеал сұйық – ішкі үйкеліс күштері жоқ сұйық
физикалық заңдар – табиғатта болатын тұрақты қайталанатын объективті
заңдылықтар
механика – материалдық нүктелердің механикалық қозғалысын қарастыратын
физиканың бөлімі
динамика – денеге түсірілген күштердің әсерінен болатын қозғалыстарды
қарастыратын механиканың бөлімі
статика – күштің әсерінен материалық денелердің тепе-теңдік шартын
қарастырады
санақ жүйесі – басқа материалдық нүктелер қозғалысы қатысты қарастырылатын
дене мен координаттар жүйесі және уақыт
қозғалыс траекториясы – дененнің кеңістіктегі қалдырған ізі
орын ауыстыру – дененің бастапқы және соңғы орындарын қосатын вектор
жылдамдық – қозғалыс тездігін сипаттайтын векторлық физикалық шама
бірқалыпсыз қозғалыс – бірдей уақыт аралығында әр түрлі жол жүретін дене
қозғалысы
орташа үдеу – жылдамдық өзгерісінің сол өзгеріс болған уақытқа қатынасына
тең шама
айналмалы қозғалыс – айналу өсі деп аталатын қозғалмайтын перпендикуляр
оське қатысты жазықтықта дененің барлық нүктелері қозғалады
бұрыштық жылдамдық – бұрылу бұрышының бірінші туындысына тең айналу осіне
қатысты оң бұрғы ережесімен анықталатын вектор
үдеудің тангенсал құраушысы – жылдамдық шамасының өзгеру тездігін
сипаттайтын шама
үдеудің нормаль құраушысы – жылдамдық шамасының бағыт бойынша өзгеру
тездігін сипаттайтын шама
айналу периоды – толық бір тербелісжасауға кеткен уақыт
айналу жиілігі – бірлік уақытта жасалатын толық тербеліс заңы
бұрыштық үдеу – бұрыштық жылдамдықтың уақыт бойынша бірінші туындысына тең
векторлық шама
инерттілік – сыртқы әсер тоқталған кезде дененің тыныштық қалпын сақтау
қасиеті
инерциалдық санақ жүйесі – еркін материалдық нүкте бірқалыпты және түзу
сызықты қозғалатын жүйе
инерциалдық емес санақ жүйесі – инерциалдық жүйеге қатысты үдеумен
қозғалатын санақ жүйесі, мүнда Ньютон заңы да, импульстың сақтау заңы да,
инерция заңы да , импульстың сақталу заңы да орындалмайды
күш – денелердің бір-біріне әсерінің өлшемі бола алатын векторлық шама
ішкі күштер – механикалық жүйенің материалық нүктелері арасындағы әсерлесу
күштері
сыртқы күштер – жүйенің материалық нүктелеріне сыртқы денелердің әсер ету
күші
тұйық жүйе – сыртқы күштер әсер етпейтін жүйе
инерция (массалар центрі) – осы жүйенің массаларының таралуын сипаттайтын
нүкте орны
потенциалдық күш – орын ауыстыру жүмысы орын ауыстыру траекториясына
тәуелсіз болатын жұмыс кезіндегі күш
консервативті емес күш – егер осы күштердің істеген жұмысы нүктенің орын
ауыстыру траекториясына тәуелсіз болған кездегі әсер ететін күш
қуат – бірлік уақытта істелетін жұмысқа тең шама
кинетикалық энергия – еркін қозғалып өшетін дененің механикалық энергиясы
потенциалдық энергия – денелер жүйесінің өзара орналасуына және әсерлесу
күштеріне қатысты анықталатын жүйенің механикалық энергиясы
абсолют серпімді соқтығысу – нәтижесінже, соқтығысатын денелер жүйесінің
механикалық энергиясы басқа энергия түрлеріне ауыспайтын соққы
абсолют серпімсіз соқтығысу – соқтығысқаннан кейін бірге, бір жылдамдықпен
қозғалатын соққы
тыныштық энергиясы – дененің ішкі энергиясы, дененің барлық бөлшектерінің
кинетикалық және потенциалдық энергияларының қосындысы
тербелетін нүктенің ығысуы – тербелетін нүктенің тепе-теңдік қалпынан
ауытқуы
амплитуда – тербелетін қалыптан ең үлкен ауытқу
фаза – айналатын дененің бұрылу бұрышы
Доплер эффектісі – тербелістер қабылдаушысымен шығарушы қозғалысына
байланысты тербеліс жиілігінің өзгеруі
толқын ұзындығы – бірдей фазада қозғалатын екі нүктенің ара қашықтығы
когерентті толқындар – уақыт бойынша фазалар айырымы тұрақты болып қалатын
толқындар
толқындар интерференциясы – когерентті толқындардың қабаттасуы кезінде
бірін-бірі күшейту немесе әлсірету құбылысы
2 Дәрістер
Классикалық механика пәні мен әдістері. Классикалық механика моделдері.
Кеңістік және уақыт. Санақ жүйелері. Бөлшектің кинематикалық сипаттамалары.
Галилей түрлендіруі.
Дәріс мақсаты: Классикалық механика пәні мен әдістері. Классикалық механика
моделдері. Кеңістік және уақыт. Санақ жүйелері. Бөлшектің кинематикалық
сипаттамалары. Галилей түрлендіруі жайында мағұлымат беру.
Жоспар:
1. Классикалық механика пәні мен әдістері.
2. Классикалық механика моделдері.
3. Кеңістік және уақыт.
4. Санақ жүйелері.
5. Бөлшектің кинематикалық сипаттамалары.
6. Галилей түрлендіруі жайында мағұлымат беру.
Тақырыптың қысқаша мазмұны:
Кіріспе
Әлемдегі барлық материалды обьектілер, микробөлшектерден бастап
жұлдыздар мен галактикаларды қоса, бейберекет қозғалыста болады.
Қозғалыстың ең қарапайым түрі механикалық қозғалысы болып табылады, уақыт
өтуіне байланысты бір дененің басқа материалдық денеге қатысты орын
ауыстыруы.
Класскалық механика – бұл аспан денелерінің қарапайым орын ауыстыру
теориясы. 2007 жылы классикалық механиканың негізі құрайтын Исаак
Ньютонның «Натуральды философияның математикалық бастамасы» еңбегінің
жарыққа шыққанына 320 жыл толды.
Классикалық механиканың негізін қарапайым және көрнекі постулаттар,
кеңістік және уақыт жайындаға ұғымдар, Ньютон заңдары құрайды және
инерциалдық санақ жүйесі қолданылады т.с.с. Классикалық механика
қайшылықсыз логикалық және аяқталған теория болып табылады.
Классикалық мехника зерттеудің математикалық әдістерін қолданады:
Лагранж әдісі, Гамильтон әдісі, вариациялық әдіс және т.б.
Қазіргі уақытта да классикалық механика өзінің мәнін жоғалтқан жоқ.
Керісінше бірде-бір машина, бірде-бір механизм классикалық механиканың
талаптарын қанағаттандырмай құрыла алмайды.
Барлық физикалық теория сияқты классикалық механиканың да қолданылу
шекарасы бар.
Негізгі бөлімдер мен меңгеру обьектілері
Нақты күрделі заттардың қозғалысын қарастыруды жеңілдету үшін
классикалықь механикада иделаизацияланған обьектілер енгізеді: материалды
нүкте, материалды бөлшек, материалды нүктелер жүйесі, абсолют қатты дене,
тұтас деформацияланатын орта (қатты дене, сұйық, газ).
Зерттелетін обьектілерге байланысты классикалық механиканы материалдық
нүктелер механикасы, абсольют қатте дене механикасы, тұтас орталар
механикасы деп ажыратыды. Шығарылатын есептердің сипатына қарай классикалық
механиканы кинематика, динамика, статика деп ажыратады.
ХІХ ғасырдың соңында фтизика ғылымы шегіне жеткен яиқты болған еді:
механика, термодинамика және макроскопиялық электродинамика заңдарының
негізінде шектен тыс көп құбылыстар мен процестерді түсіндіре ататын еді.
Тек атақты ағылшын физигі Дж.Томсонның айтуы бойынша екі «кішкене тұман»
жоғарыда көрсетілге физика бөлімдерінің аумағында жинақталып, «горизонтта
тұрды». Бұлар: 1) қызған денелердің сәуленуі бағынатын физика заңдарын оқу
кезінде кездесетін қиындықтар; 2) электромагниттік эффир мәселесі.
ХІХ ғасырдың соңыда және ХХ ғасырдың басында осы мәселелерді шешу
барысында кванттық физика мен арнайы салыстырмалы теория пайда болды.
Электормагнитті эффир мәселесін қарастырған кезде классикалық
физиканың қиындықтарының мәні неде екенін қарастырайық.
Бізді қоршаған барлық заттар және процестер және олармен жүретін
құбылыстар кеңістікте уақты бойынша өтеді. Бұл ұғымды, кеңістік және уақыт
– материяның бар болу формасы, оның қозғалысының атрибуттары ретінде
философия толық түсіндіреді. Барлық денлерге көлем және өлшем тән. Олар бір-
біріне қатысты орналасқан. Яғни бұл материалды дене кеңістікте бар деген
сөз. Барлық процестің ұзақтығы болады, бір құбылыс екіншісінен тез өтеді.
Бұл материаның уақыт бойынша бар екенін білдіреді. Өлшемдері болмайтын дене
болмайды. Қандай да бір уақыт аралығына созылмайтын құбылыс болмайды. Бұл
материаның кеістіктен және уақыттан тыс өмір сүре алмайтынын көрсетеді.
Екінші жағынан, кеңістік және уақыт өз бетінше өмір сүретін нәрсе
емес. Олар материалдық обьектілер мен құбылыстардың ажырамас бөлігі.
Кеңістік пен уақыттың нақтылығына қарамастан – бұл өте күрделі ұғым.
Ерте кездің өзінде-ақ адамдар ғаламның өлшемі, уақыпен салыстырғанда
оның өмірінің соңы жайында ойланған болатын. Олардың уақыт пен кеңістік
жайындағы түсініктері шектелген жеке тәжірибелерінің қорытындысынана
жиналған. Сонымен, ежелгілердің түсінігінше аспан – аспандық жарқырауық
бекітілген жарты сфераіспетті. Жер үш киттің арқасында тыныштықтағы жазық
ретінде елестелді, өз кезегінде «теңіз-океан»-да жүзіп жүрген гиганттық
таспақада тұрғандай елестетілді. Адамдар алдарындағы горизонт сызығын
көріп, оған дейін жетуге болады деп есептеді.
Жердің қалай пайда болғанын адамдар түсіндіре алмай, олар жоғары бір
тылсым күштің – Кұдайдың бар екені жайындағы ойға келді. Айналадағылардың
барлығының тек басы ғана емес, сондай-ақ ерте ме кеш пе бітетінін ескеріп,
құдіретті күш құдай жаратқан әлемнің жаратылысы қандай-да бір кезде
аяқталатынын түсінікті. Сонымен Тұрмыстың (Бытия) соңы жайындағы түсінік
пайда болды.
Кеңістік және уақыт жайындағы алғашқы ғылыми түсініктер ұлы ағалшын
физиигі И.Ньютонның «Натураль философияның математикалық бастамалары» деген
кітабында тұжырымдалған (1687 ж.): Кеңістік және уақыт оьбективті бар,
бірақ олар денелерге тәуелсіз бар, олар кеңістікте және уақыт бойынша
қозғалады.
Ньютон бойынша уақыт – бұл жағдайлардың қарапайым ұзақтығы, ол «не
болса да соған байланыссыз» өтеді. Сондықтан бұл уақыт абсолютті деп
аталады. Бірақ абсолютті кеңістік пен абслютті уақыт адамзат қабылдауына
жеткіліксіз,- деп ұйғарды Ньютон. Кәдімгі өмірде біз салыстырмалы кеңістік
пен салыстырмалы уақытты ғана сеземіз. Біз тек дененің алып тұрған көлемін
және оның басқа денеге қатысты орналасуын (қалпын) ғана анықтай аламыз.
Сағаттың көмегімен өлшенетін уақыт аралығы (табиғатың немесе адамның
әсерінен пайда болған сағаттар, механизмдерге периодты түрде әсер ететін:
ертедегі су және құм сағаттары, Жердің жылдық және күндік қозғалысының
циклі және т.б.) бізге тек абсолют уақыттың үзіндісін (отрезок) ғана
береді. Дәл сондықтан Ньютон бұл кәдімгі кеңістік пен уақыттың пайда болуын
салыстырмалы деп атады.
Физикалық процестерді меңгеру кезінде құралдар, өлшенген координат
жүйесі және сағаттардың синхронды жинытығы қажет. Осы жиынтықтардың барлығы
санақ жүйесі (СЖ) деп аталады. Ең алдымен бұл ұғымға келесі элементтерді
енгізді:
1) санақ денесі; 2) басы санақ денесімен дәл келетін координат жүйесі; 3)
масштабтар; 4) сағаттар. Қазіргі заманғы физикада «санақ жүйесі» ұғымы
физикалық құбылыстарды меңгеру және бақылау үшін қажетті барлық құралдар
мен шарттарды қамтитын физикалық зертхана жайындағы түсініктерге дейін
кеңейді. Инерциалық және инерциаық емес санақ жүйелері деп ажыратады.
Инерциалық санақ жүйесінің сипатты ерекшелігі – онда механиның классикалық
заңдары – Ньютон заңдары дәл орындалады, (сәйкесінше инерциалдық емес санақ
жүйесінде бұл заңдар орындалмайды). Барлық ИСЖ (ал ола сансыз көп) бір-
бірімен салыстырғанда бірқалыпты және түзусызықты қозғалады, және
салыстырмалылықтың классикалық принципіне – Галилейдің салыстырмалылық
принципіне сәйкес барлық ИСЖ тең құқылы. Бұл кез-келген құбылысты
қарастырғанда кез-келген ИСЖ қолдануға болатыны мүмкін екендігін білдіреді,
олардың барлығы эквивалентті. ИСЖ тең құқылығы қандайда-бір мәселені
қарастыруда (өте қарапайым математикалық сипаттау және анық физикалық
түсінік үшін) белгілі бір санақ жүйесін таңдауға мүмкіндік береді.
Дегенмен, дәл осы ИСЖ-нің тең құқылылығының салдарынан оларды алынған
нәтижелер, сандық жағынан әртүрлі мәнге ие болуына қарамастан обьективті,
нақты болады. Мысалы, поездағы жолаушының қозғалысын «Поезд» ИСЖ
сипаттауға, сондай-ақ кез-келген басқа ИСЖ-де, мысалы, «Жер» -мен
салыстырғанда «Поезд» ИСЖ түзу сызықты және бірқалыпты қозғалатын,
сипаттауға болады. Әрине, жолаушының қозғалыс жылдамдығы бұл ИСЖ-де
әртүрлі, бірақ олардың екеуі де нағыз (шын), екеуі де нақты.
Кеңістіктегі обьектінің тұрған орнын анықтау үшін, ИСЖ-де әрбір
нүктеге нақты бір сандық мән – координата жазу керек. Ол үшін кеңістікті
«метрлеу» (өлшеу) қажет, яғни масштабты сызғышты пайдаланып, координата
басына сәйкес сол нүктенің тұрған орынын анықтау керек.
Әрбір ИСЖ-де жүрісі әрине бірдей сағат болуы керек.
Бірақ, сағаттың жүрісін ретке келтіру және дәл сол уақыт мезетінде
сағат тілдерінің бірдей қалпын тағайындау үшін, бірдей тәсілдермен екі
классикалық түсініктер бойынша жасауға болады. Жеклеген жағдайларда: 1)
сағаттарды бір орынға апару (мысалы, мұны сағат заводына істеу), олардың
жүрісін синхронизациялау және жұмыс орындары бойынша ажырату (сағаттарды
тасымалдау олардың жүрісіне әсер етпейді, жеп есептеледі); 2) шексіз
жылдам сигнал бар болғандықтан, «орталықтан» (мысалы, санақ жүйесінің
координата басынан) шартты сигналды жіберуге болады, және барлық сағаттарға
бірдей уақытта тілшелердің бірдей қалпы тағайындалады (қандай қашықтықта
орналасқанына қарамастан радиостациядан жіберілетін сигнал бойынша
өзіміздің сағатымыздың жүрісін салыстырып, іс жүзінде біз барлығымыз да
осылай істейміз).
Классикалық физика алыстан әсер ету принципіне, яғни сигналды кез-
келген қашықтыққа лезде жеткізуге болатындығы мүмкіндігіне негізделетіні,
бұрынырақ айтылған болатын. Мұнда межеаралық орта әсерді жеткізу
жылдамдығына ешқандай әсер жасамайды. Бұл қағида келесі ұйғарым үшін
маңызды (это положение важно для последующего изложения), сондықтан оның
ақиқаттылығын бірқатар белгілі мысалдарды талдай отырып дәлелдейміз.
Жылдамдықтарды қосудың классикалық теоремасы бойынша:
[pic]
Мұндағы [pic]- бір инерциялық жүйенің екіншісіне қатысты салыстырмалы
жылдамдығы, [pic] - қарастырылып отырған ИСЖ –дегі оьбектінің
жылдамдықтары, бұдан [pic] шамасы ешбір нәрседен оқшауланбаған (ограничена)
және ол шексіз үлкен болуы да мүмкін. Ньютонның екінші заңының формуласын
төмендегідей түрде жазамыз:
[pic]
Бұл заң денеге күш әсер ете бастағанда оның үдеу алатынын (сол мезетте
(тотчас же)) бекітеді(тұжырымдайды), мұнда күш көзі үдеу алатын денеден кез-
келген қашықтықта болуы мүмкін. Бұл идея Ньютонның үшінші заңында да (қарсы
әсер әсер пайда болған мезеттен басталады (пайда болады)) және Бүкіл
әлемдік тартылыс заңында да (тартылыс күші тартылушы денелердің арасындағы
қашықтық өзгере салысымен пайда болады) беріледі.
Тақырып: Инерциялық санақ жүйесі. Галилейдің салыстырмалылық принципі
Сыртқы өрістер жоқ кезде кеңістік біртекті және изотропты, уақыт – біртекті
болып табылады. Дене өздігіне берілген санақ жүйесі тыныштықта немесе
бірқалыпты және түзусызықты қозғалады. Ондай санақ жүйесін инерциялық санақ
жүйесі (ИСЖ (ИСО)) деп атайды. Инерция заңы Ньютон механикасы заңдарының
бірі болып табалатындықтан, (ИСЖ) инерциялық санақ жүйесінде Ньютон заңдары
орындалады.
Галелейдің салыстырмалылық принципі мынаны тұжырымдайды: Галилейдің
координат және уақыт түрлендірулері формулаларымен салыстырғанда механика
заңдары теңдеулерінің сыртқы түрі өзгермейтіндігіген, барлық санақ
жүйесінде (ИСЖ (ИСО)) механика заңдары бірдей болады деген тұжырым жасайды.
Суретті қолдана отырып, оларды, сол сияқты олардың салдарын аламыз. Мұндағы
М- материалды нүктенің лездік (мгновенное положение) қалпы, [pic][pic] және
[pic] екі инерциалдық санақ жүйесі. Чертеждан,
М [pic] (*)
[pic]
L’
L О
Сонымен бірге, алыстан әсер ету және барлық ИСЖ (ИСО) уақыт жүрісінің
абсолюттілігі принципінен:
[pic]
(**)
Бір ИСЖ екіншісіне қатысты –ОХ осінің бойымен қозғалысының қарапайым
нұсқасын қарастырамыз (қалған остер басқа ИСЖ сәйкес салыстырмалы [pic]
жылдамдықпен параллель орынауыстырады (қозғалады (перемещаются))). [pic]
уақыт мезетінде екі жүйенің бас нүктелері координатталары бір-бірене дәл
келсін. Онда (*) және (**) формулалары былайша жазылады:
[pic]
Бұл формулалар Галилей түрлендірулері деп аталады. Составим
производную по времени от обеих частей этого равенства:
[pic]
Жылдамдықтарды қосудың классикалық теоремасын алдық. Екінші туынды аламыз:
[pic]
Классикалық физикада масса инвариантты шама болып табылады, ал күштер
қашықтыққа немесе салыстырмалы жылдамдыққа тәуелді болады, олай болса
Ньютонның екінші заңын өрнектейтін формулалардың коварианттылығын (сыртқы
түріні өзгермейтін) аламыз:
[pic] [pic]
Тақырып: Галилейдің салыстырмалылық принципі. Классикалық физикадағы
абсолютті және салыстырмалы шамалар, классикалық механика заңдарының
инварианттылығы.
Классикалық физиканың негізінде басы Галилей және Ньютоннан бастау
алатын барлық ИСЖ-дің тең құқылылығын бекітетін салыстырмалылық принципі
жатыр (Галилейдің салыстырмалылық принципі). Оның мәнін Галелей «Әлемнің 2
жүйесі жайындағы диалаогта» (1632 ж.) мынадай ой-тұжырыммен берген:
«Запритесь с кем-нибудь из друзей в кают-компании под палубой большого
корабля, взяв с собой мух, бабочек и других небольших летающих животных.
Возьмите и большой сосуд с водой, в котором плавают рыбы. Подвесьте бутыль,
из которой капля за каплей вытекает вода в широкий сосуд внизу. Пока ваше
судно стоит на месте, внимательно наблюдайте, как насекомые летают по
помещению с одинаковыми скоростями во все стороны. Рыбы плавают как угодно,
не предпочитая какого-либо направления. Капли падают в сосуд под бутылью.
Если же вы бросите что-нибудь вашему другу, то вы приложите одинаковое
усилие, в каком бы направлении ни бросали, если расстояния одинаковы. Екі
аяқпен бірдей бірден сеіргенде, сіз кез-келген бағытта бірдей қашықтыққа
ұшатын боласыз. Мұның барлығын мұқият бақылап (корабль орында тұрғанға
дейін мұның барлығы дәл солай өтететініне сіз күмәнданбасаңызда), кез-
келген жылдамдықпен корабльдің қозғалуына бұйрық беріңіз, тек оның
қозғалысы бірқалыпты болсын және ешбір өзгеріске ұшырамайтындай болсын.
Көрсетілген процестердің бірде –бірінде сіз кішкене де бір өзгерісті
байқамайсыз және олардың бірле-бірінің көмегімен сіздің корабль қозғалып
бара ма немесе орында тұр ма анықтай аламйсыз.
Галелей көрсеткен барлық құбылыстар механикалық болып табылады.
Сондықтан, Галелейдің қортындыларын жинақтай келе, барлық ИСЖ-лерінде
барлық механикалық құбылыстар бірдей жағдайларда бірдей өтеді,-деген
тұжырым жасауға болады. Басқаша сөзбен айтқанда, механика заңдары барлық
ИСЖ-лерінде бірдей (инвариантты дейді). ИСЖ-лердің ішінде өтетін
механикалық құбылыстарды бақылай келе, бұл ИСЖ-сі қозғала ма әлде
тыныштықта бола ма тағайындауға болмайтындықтан, Галелейдің салыстырмалылық
принципі механикалық қозғалыстың ждәне тыныштықтың салыстырмалылығын бекіте
түседі.
Әртүрлі ИСЖ-лердегі механика заңдарының инварианттылығынан әлемді тану
жайындағы маңызды тұжырым шығады. Берілген жағдайда бұл тұжырымды былайша
түсіну керек: Қандай-да бір ИСЖ-дегі механикалық процестерді зерттеп, басқа
да ИСЖ-лерінде олар қайда болғанына байланыссыз ол процестер дәл сондай
жағдайларда (дәл сол қалпында (ұқсас)) аналогия бойынша өтеді деген ұйғарым
қабылдауға болады. Галилейдің салыстырмалылық принципі, негізі ньютондық
кеңістік, уақыт және қозғалыс жайындағы түсініктерден қаланған абсолютті
қозғалысты бақылау мүмкіндігін теріске шығарады.
Галелейдің салыстырмалылық принципінің кең мазмұны бір инерциалық
санақ жүйесінен екіншісене өткен кезде Галелейдің уақыт және координат
түрлендірулері деген ат алған формулар көмегімен ашылады. Жоғарыда
айтылғандай Галелейдің салыстырмалылық принципі барлық ИСЖ-лерінде бірдей
жағдайларда (шарттарда) механикалық процестер бірдей өтетінін бекітеді.
Сондықтан оларды бір ИСЖ-сіне көшіру жеткілікті. Дегенмен, егерде бұл
процестер басқа ИСЖ-де бақыланса, онда бақылау шарттары өзгереді. Сондықтан
бақыланатын құбылыстардың сандық сипаттамалары да өзгереді. Жоғарыда біз
алған Галелей формулалары әртүрлі екі ИСЖ-де өлшенген механикалық
процестердің кеңістіктік және уақыттық сипаттамалары арасын өзара
байланыстыруға мүмкіндік береді.
Екі ИСЖ қарастырайық, олардың бірін шартты түрде қозғалмайды (ИСЖ) деп
есептейміз, екіншісін біріншімен салыстырғанда жылдамдықпен қозғалады деп
қарастырамыз (1-сурет). [pic] ИСЖ қозғалыс бағытын ОХ осінің оң бағытына
қабылдаймыз ([pic]), басқа координат остерінің бағыты 1-суретте
көрсетілген. Уақыттың нолдік моментіне (біртектілік күшіндегі, уақыт
жүрісінің бірдейлігі)[pic] және [pic] ИСЖ басы дәл келетін уақыт мезетін
шартты түрде қабылдаймыз (ИЖ инерциялық жүйе әруақытты түзусызықты және
бірқалыпты қозғалыста болатынын ұмыпаймыз), бұл біздің есептелерді
жеңілдетеді.
y [pic]
[pic]
.M
О [pic]
x [pic]
1-сурет.
Қандай да бір [pic] уақыт аралығынан кейін, ИСЖ басы О және О' нүктелері
[pic] қашықтыққа ажырайды, хОу жазықтықтығындағы қандай да бір нүктеде М
жағдайы пайда болады. [pic] ИСЖ-дегі оның координаттары: х және у.
Сәйкесінше [pic] ИСЖ-дегі (1-суреттен көрініп тұр) М жағдайының
координаттары [pic] және [pic]болады. 1-суретті қолданып М жағдайының
штрихталған және штрихталмаған координаттары арасындағы байланысты табамыз:
[pic] (1-3)
Сонымен бірге барлық ИСЖ-леріндегі уақыт аралығының абсолюттлігінен, былай
жазуға болады:
[pic][pic] (4)
(1) — (4) қатынастар классикалық физикадағы координат және уақыт
түрлендірулерінің формулалары немесе Галелейдің түрлендірулерінің
формулалары деп аталады. Бұл формулаларға кеңістіктің, уақыттың және
қозғалыстың қасиеттері жайындағы классикалық физиканың негізгі түсініктері
енетіні төменде көрсетіледі.
(1) формуладан жағдай координатасы (кеңістіктік сипаттама) бір
инерциялық жүйеден екіншісіне өткен кезде өзгеретіні, яғни жағдай
координатасы салыстырмалы шама екені шығады. Екінші жағынан (4) формула
классикалық физиканың іргелі қалпын тіркеді (дәлелдеді) (зафиксировала):
уақыт – жағдайдың абсолют сипаттамасы. [pic] теңдігінің көмегімен процестің
ұзақтығын анықтай отырып, сондай-ақ процестің ұзақтығы да абсолют шама
екенін аламыз. Егер екі жағдай да дәл сондай бірдей уақыт аралығында [pic]
өтсе, онда (4) теңдеуден бұл қатынас кез-келген басқа ИСЖ сақаталатыны
шығады. Бұдан бірдей уақыттылық (одновременность) абсолютті екендігі
шығады: онда бір ИСЖ бірдей уақыттылық, басқа ИСЖ-де де бірдей уақытты
болады.
Қандай шамалар абсолютті, қандай шамалар салыстырмалы болыт
табылатынын анықтаудың, өте терең мағынасы бар: физикалық теория кез-келген
ИСЖ-де құбылыстарды қарастырған кезде сақталатын, абсолютті физикалық
шамасыз (оның рамкасында) құрыла алмайды. Басқаша айтқанда ондай физикалық
теория бізді қоршаған әлемнің құрылымы және қасиеттері жайындағы обьективті
білімдерді бере алмас еді
Галелйдің уақыт және координат түрлендірулері формулаларын пайдаланып,
бірқатар салдарлар аламыз.
Классикалық физикадағы ұзындықтың абсолюттілігі
[pic] қозғалыстағы ИСЖ-де [pic] осінің бойында біртекті стержень
орналассын. Тыныштықтағы стерженнің ұзындығын анықтау үшін оның соңының
координатасын (засечь) ескеру керек. Стержень тыныштықта болғандықтан, мұны
жасау қиынға соқпайды. Қиындық тудыратны нәрсе, дене қозғалыста болса,
дененің соңының координаттарын анықтау қиынырақ болады. Сондықтан келсі
ережені енгіземіз: қозғалыстағы стерженнің соңының координаттарын есепке
алуды бір мезгілде алу керек. Қозғалыстағы[pic] ИСЖ координаттардың соңы
(1) формуланың көмегімен [pic] ИСЖ өлшенген координаттарымен байланысты.
Оны стерженнің басы және соңы координаттары үшін жазамыз:
[pic]
(5)
Жоғарыда тұжырымдалған ережеге сәйкес
[pic]
(6)
(6) өрнекті ескеріп, (5) өрнектің айырмашылығын құрамыз. Белгілеулер
енгізіп: [pic] және [pic], мұндағы [pic] және [pic]— [pic] және [pic] ИСЖ
стерженнің ұзындығы, аламыз:
[pic]
(7)
Және дене ұзындығының абсолюттілігін тағайындайды.
Қай ИСЖ дененің ұзындығын өлшемейік, оның сандық мәні әруақытта бірдей
болады. Галелей формуласының бір салдары осындай. Күнделікті тәжірибе осы
нәтижемен сәйкес келеді.
Классикалық физикадағы жылдамдықтарды қосу теоремасы
Теорема екі ИСЖ-лерде алынған сол бір дененің жылдамдықтары мәндерінің
арасындағы байланысты тағайындайды. Орындалатын есептеулерді жеңілдету үшін
орташа жылдамдық жйында әңгіме енгіземіз. [pic] уақыт аралығында дене
координаттары [pic] ИСЖ-де [pic] -ден [pic]-ге дейін, [pic] ИСЖ-де
[pic] -ден [pic]-ге дейін өзгерді (біз денені материалды нүкте ретінде
қарастырамыз, оның [pic] осіндегі қалпы (сәйкесінше[pic]) бір координатамен
анықталады). Штрихталған және штрихталмаған координаттар өзара (1) формула
бойынша байланысты:
[pic] (8)
Бұл өрнектердің айырымын құрамыз және алынған теңдіктің екі жағын да
бірмезгілде [pic] қозғалыс уақытына бөлеміз:
[pic] (9)
Орташа жылдамдық анықтамасын пайдаланып, белгілеулер енгіземіз:
[pic] (10)
Онда (9) теңдеу былайша жазылады:
[pic] (11)
Бірөлшемді қозғалыс жылдамдықтарын қосу теоремасын өрнектейді. Шексіз аз
уақыт аралығына және координаттар өзгерісіне көшіп, қозғалыстағы дененің
лездік жылдамдығы үшін дәл сондай өрнек аламыз. Олай болса, классикалық
физикадағы жылдамдық салыстырмалы шама болып табылады, яғни әртүрлі ИСЖ-
лерінде дәл сондай уақыт мезетінде әртүрлі сандық мәнге ие болады.
Бір дененің екінші денеге қатысты қозғалысының салыстырмалы жылдамдығының
абсолюттілігі
Берілген дененің басқа денеге қатысты салыстырмалы жылдамдығы деп біз,
[pic] айырмасын түсінеміз, мұндағы [pic] және [pic] берілген дене
қозғалатын ИСЖ-сінде анықталады. Мысалы, шоссе бойымен бір бағытта екі
автомобиль сәйкесінше [pic] және [pic] жылдамдықтармен қозғалады. Бірінші
машинаның екінші машинаға қатысты салыстырмалы жылдамдығы [pic] шамасы
болады, ал екінші машинаның біріншіге қатысты салыстырмалы жылдамдығы [pic]
айырмасы болып табылады. Басқа ИСЖ-де сол дене үшін бұл шама өзгереме соны
тағайындаймыз? Әрбір дене үшін жылдамдықтарды қосу теоремасының формуласын
құрамыз:
Бірінші дене үшін: [pic], (12)
Екінші дене үшін: [pic]. (13)
Салыстырмалы жылдамдықтардың анықтамасынан, аламыз:
[pic]. (14)
(14) теңдеу екі дене үшін салыстырмалы жылдамдық абсолют, инвариантты шама
болып табылатынын тағайындайды. Бұл қорытынды қозғалыстың классикалық
заңдарын талдау кезінде бізге керек болады.
Дене үдеуінің абсолюттілігі
Қандай-да бір уақыт аралығында дене жылдамдығы [pic]-ден [pic]-ге
дейін өзгерсін. [pic] ИСЖ-дегі уақыт аралығы үшін сол дененің жылдамдық
өзгерісін анықтаймыз, ол үшін жыдамдықтарды қосу теоремасының формуласын
пайдаланамыз:
[pic] және [pic] (15)
(Мұнда келесі мәселеге көңіл аударыңыз. Бұл есептегі математикалық жазба
алдыңғы есептегі жазбамен сәйкес келеді, бірақ алдыңғы есепте бірдей уақыт
аралығындағы екі әртүрлі дененің жылдамдықтары жайында сөз болса, мұнда
әртүрлі уақыт мезетіндегі бір дененің жылдамдығы жайында). (15) теңдеудің
айырмасын құрамыз және теңдеудің екі жағын да жылдамдық өзгерісі болып
өткен [pic] уақыт аралығына бөлеміз. Үдеу анықтамасына сәйкес аламыз,
орташа үдеу:
[pic] (16)
Инвариантты, абсолют шама болып табылады. Шексіз аз уақыт аралығында
жылдамдық өзгерісін қарастырып, дененің лездік үдеуі инвариантты шама
екенін аламыз, яғни барлық ИСЖ-лерінде бірдей сандық мәнге ие болады.
Ньютонның екінші заңы формуласының инварианттылығы
Ньютонның екінші заңының формуласын скаляр түрде төмендегідей түрде
жазамыз:
[pic] (17)
Механиканың негізгі міндеті алғашқы шарттар және берілген күштер бойынша
қозғалыс заңын [pic] тағайындау болып табылатыны белгелі. Бірақ кез-келген
ИСЖ қолдануға мүмкіндігіміз бар болғадықтан, сұрақ туындайды: Ньютон заңы
басқа ИСЖ-де сондай бола ма, жаңа айнымалыларда да ([pic] ИСЖ
белгілеулерінде) заңның теңдеуі өзінің түрін сақтай ма? Берілген сұраққа
жауап беру үшін заңның формуласына енетін әрбір шаманы талдауымыз қажет.
Жоғарыда үдеу инвариантты шама екені көрсетілген. Классикалық физика
аумағында Ломоносов және Лавуазье тағайындаған массаның сақталу заңы ақиқат
(дәл (справедлив)). Сондықтан масса инвариантты шама болып табылады.
Классикалық механикада қарастырылатын күштерді талдау ғана қалады: үйкеліс
күші [pic], серпімділік күші [pic] және гравитациялық әсерлесу күші [pic]
мұндағы [pic]- тұрақты коэффиценттер, ал [pic], [pic]- бір дененің
басқаға қатысты қозғалысының салыстырмалы жылдамдығы, тартылатын денелер
арасындағы қашықтық және деформация шамасы. Бұл шамалардың барлығы,
жоғарыда көрсетілгендей абсолютті, инвариантты шамалар болып табылады.
Сондықтан, механиканың екінші заңының формуласы өзінің түрін сақтайды, және
оған енетін шамалар Галилей формулаларының көмегімен бір ИСЖ екіншісіне
көшкен кезде өзінің сандық мәнін өзгертпейді.
Олай болса, механиканың екінші заңы абсолютті, инвариантты заң болып
табылады, яғни ол кез-келген ИСЖ ақиқат (дәл) болады. Бұл Галилейдің
салыстырмалылық принципі болып табылады және соны тұжырымдайды: барлық ИСЖ-
де бірдей жағдайларда (шарттарда) механикалық құбылыстар бірдей өтеді.
Салыстырмалылық принципінде басқа да теріс деп атауға болатын тұжырымдама
да бар: ИСЖ-нің ішінде механикалық тәжірибелерді қойып, берілген ИСЖ
қозғалыста ма жоқ әлде тыныштықта ма оны тағайындауға болмайды. Басқаша
сөзбен айтқанда, бірқалыпты, түзу мызықты қозғалыс және тыныштық
салыстырмалы, механикалық құбылыстарды бақылап абсолютті тыныштық пен
қозғалысты анықтау мүмкіндігі жоқ. Бұл тұжырым абсолютті кеңістік пен
уақыттың және онымен байланысты абсолютті қозғалыс пен тыныштықтың бар
болуын теріске шығарады, дәлірек айтқанда тек механикалық құбылыстарды
бақылап, абсолютті кеңістік пен уақытты анықтау мүмкіндігін теіске
шығарады.
Бірақ ньютондық түсініктер бойынша абсолютті кеңістік және уақыт
сияқты түсініктер бар болуы қажет. Физиктер басқа механикалық емес
процестерді, мысалы оптиаклық қолданып, оларды шешуді іздеді. Осыдан
физиканың жаңа даму кезеңі басталды, ақыр аяғында арнайы салыстырмалы
теорияның (АСТ) пайда болуын тудырды. АСТ кеңістік және уақыт арасында
байланыс тағайындалады, бірыңғай кеңістік – уақыт қарастырылады, әлем төрт
өлшемді деп есептеледі. Галилей формулаларының орнына Лоренц формулалары
келді:
[pic]
[pic] қатынасы орындалған кезде Лоренц түрлендірулерінің формулалары
Галилей түрлендірулерінің формулаларына өтеді, бұл сәйкестік принципін
талап етеді. Сәйкестік принципі классикалық механиканың қолданылу шекарасын
тағайындайды: егер жақыннан әсер етуді ескерсек, онда классикалық механика
дәл (анық (справедлива)).
Тақырып: Кинематика.
Бөлшектің кинематикалық сипаттамалары, санақ жүйесін геометриялық
түрлендіру кезіндегі өзгеруі
«Кинематика» бөлімінде қозғалысты тудыратын
себепті анықтамай-ақ, макроскопиялық денелердің
(материалды нүктелер) қозғалысы қарастырылады.
1. Нүкте қозғалысының векторлық сипаттамасы
Нүктенің кеңістіктегі орны оның қандай да бір қозғалмайтын центрге қатысты
уақыт функциясы ретінде радиус-вектормен бірмәнді анықталады:
[pic] (*)
(*) функциясы материалды М нүктесінің қозғалыс заңы деп аталады.
Бастапқы нүктесі бекітілген айнымалы вектордың соңғы нүктесінің
кеңістіктегі орындарын көрсететін сызықты сол вектордың годографы деп
атайды. Ендеше, қозғалыстағы нүктенің траекториясы оның радиус-векторының
годографы болғаны.
[pic] Радиус-векторының кеңістіктегі соңғы нүктесін сипаттаитйн, М
материалды нүктенің траекториясы деп КМЛ қисығын айтады (суретті қара). Бұл
қисық [pic] радиус-векторының годографы деп аталады.
[pic] жылдамдық векторын материалды нүктенің [pic] радуис-векторының уақыт
бойынша өзгерісімен анықтайды және шек түрінде өрнектеледі:
v [pic].
М
Суреттен көрініп тұрғандай [pic] жылдамдық
векторы траекторияның берілген нүктесінде М
нүктесіндегі траекторияға жанама бойымен бағытталған
(немесе [pic] радиус-векторының годографына).
Жылдамдық годографы радиус-вектор годографына аналогия бойынша енгізіледі.
М нүктесіндегі үдеу векторы [pic] жылдамдық векторының уақыт бойынша
өзгерісін сипаттайды және былайша анықталады:
[pic]
Суреттен, [pic] хордасы [pic] кезде [pic] бірлік векторының бағытымен
сәйкес келетін қалыпты алу үшін ұмтылады, яғни [pic] үдеу векторы
жылдамдық векторының годографына жанама (касательной) бағытталған:
[pic] .
Төмендегідей өрнекпен анықталатын секториальды жылдамдық деген жаңа ұғым
енгіземіз:
[pic]
[pic] [pic] [pic]
O
Суреттен, [pic] екінші ретті аз модуль векторының дәлдігі дейін
қозғалыстағы материалдық нүктенің [pic] уақыттағы радиус-векторын
бейнелейтін ауданына саны жағынан тең екенін көрініп тұр. Сондықтан
секторлық жылдамдықта, бірлік уақыттағы М нүктесінің сызатын радиус-
векторының, сан жағынан ауданға тең. [pic] векторының бағыты [pic]
векторымен анықталады.
2. Нүкте қозғалысы мәселесінің табиғи тәсілі.
Нүктенің радиус-векторының орнына[pic]орын
М [pic] Р[pic] ауыстыру векторы
қолданылады. Бұл кезде
радиус-вектор орын
ауыстыру векторының
функциясы
[pic] [pic] болып табылады.
О Суреттен, көрініп тұрғандай
[pic]
[pic]
Табиғи тәсіл кезінде қозғалыс мәселесі [pic] функциясының көмегімен
анықталған өзара перпендикуляр үш орттың жиынтығы табиғи үш қыр
(естественным трехгранником) деп аталады. Бұл орттардың бірін [pic]
траекторияға жанаманы анықтайтын [pic] бойымен бағыттайды. [pic], дога
элементіне тең болғандықтан, [pic] орты былайша анықталады: [pic].
Екінші [pic] ортты [pic], бойымен бағыттайды, яғни траекторияға нормаль
бойымен (приращение любого вектора [pic] постоянной длины перпендикулярно
самому вектору). Теңдіктің екі жағын да дифференциялдап, [pic], аламыз
[pic] жоғарыдағы ұйғарымды бекітеді):
[pic],
бұдан [pic].
dS доғасының [pic]- бұрышы [pic] және [pic] қатынасымен анықталатын
траектория қисығының радиусы R деген ұғым енгіземіз. [pic]- бірлік вектор,
сондықтан [pic] аздықтың жоғары шамасына дейінгі дәлдікпен [pic] бұрышына
тең. Сондықтан, [pic] орты
[pic]
беріледі және траектоияға бинормаль деп аталады.
Қозғалыс мәселесінің табиғи тәсілі кезінде материалдық нүкте үдеуін
көрсетейік: [pic]
мұндағы к – траектория қисығы (кривизна траектории), траекторияның иілу
жағына қарай бағытталған нормаль (бұл бас нормаль).
3.Нүкте қозғалысы мәселесінің координаттық тәсілі.
Материалдық нүкте қозғалысы мәселесінің векторлық және табиғи тәсілдерінен
басқа, координаттық тәсілін де қолдануға болады:[pic]
Онда [pic]
Сәйкесінше [pic]
Тақырып: Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысының кинематкасы
Екі нүктені қосатын кез-келген түзу өз-
өзіне параллель орын ауыстыратын болса, онда
қатты дененің қозғалысы ілгерілемелі деп
аталады.
z [pic] [pic] x, Суреттен көрініп тұрғандай
х О у [pic]=Сonst,
(ілгерілемелі қозғалыс
анықтамасы бойынша).
Бұл өрнекті уақыт бойынша дифференциалдап,
мынаны аламыз:
[pic]
Бұл, ілгерілемелі қозғалыстағы дененің барлық нүктелерінің
жылдамдықтары мен үдеулерінің бірдей болатынын көрсетеді; кез-келген
нүктенің траекториясын траекторияға параллель көшіру арқылы алуға болады.
Қозғалмайтын оске қатысты қатты дененің айналысы
Қозғалмайтын оске қатысты қатты дененің айналма қозғалысы деп осы остің
барлық нүктелері қозғалмай қалатын қозғалысты айтады. Қатты дененің
айналыстағы нүктелерінің траекториясы дөңгелек болып табылады, оның центрі
айналу осінде болады.
M, Нүкте қалпын [pic] бұрышыменберуге болады
z [pic] [pic] Бұл мәселе [pic] Нүкте қозғалысының заңы болып
табылады.
a M Суреттен:
[pic]
O [pic] y [pic] (*)
x
Векторлық шама енгіземіз:
[pic]
сонда (*) теңдігін:
[pic] (**)
(векторного произведения) қарастыруға болады. [pic] шамасы (мгновенной
угловой скоростью) лездік бұрыштық жылдамдық деп аталады. (**) теңдеуден:
[pic]
Мұнда [pic] векторының модулы тұрақты болып қалады. Бұл формуланы тек
бағыты бойынша өзгеретін, кез-келген вектор үшін, мысалы қозғалмалы санақ
жүйесінің орты үшін, жалпылауға болады:
[pic]
Соңғы формула Пуассон формуласы деп аталады.
Қозғалмайтын остен айналатын қатты дене нүктесінің үдеуін анықтаймыз:
[pic]
Мұндағы [pic]- бұрыштық үдеу векторы.
Қозғалыстағы санақ жүйесіне өткен кездегі бөлшектің жылдамдығы мен үдеуінің
түрленуі
[pic] [pic] Суреттен:
[pic] [pic] (*)
[pic] [pic] мұндағы [pic]
z [pic][pic] [pic]
L [pic]
О y
(*) теңдеуден уақыт бойынша туынды (производную) құрамыз:
x
[pic]. (**)
Екінші мүшені түрлдендіру үшін Пуассон формуласын пайдаланамыз
(жоғарыдағыны қара):
[pic]
[pic] ескеріп, (**) –дан аламыз:
[pic] (***)
(***) өрнек жылдамдықтарды қосу теоремасы болып табылады. Жолшыбай біз
вектор бағыты бойынша ғана өзгермей, сондай-ақ шамасы бойынша да өзгеретін
жағдай үшін Пуасонның жалпыланған формуласын алдық.
[pic] шамасын келтірілге (переносной скоростью) жылдамдық деп атайды.
М нүктесінің үдеуін түрлендіру заңын анықтаймыз. Ол үшін (***) формуласын
уақыт бойынша дифференциалдаймыз (продифференцируем):
[pic]
Бірақ [pic]
Онда [pic].
Екінші, үшінші және төртінші қосындылар (переносное ускорение) келтірілген
үдеуді түзеді, ал соңғы мүше – бұл кориолистік үдеу.
[pic] үдеуі әрқашан да [pic] СО айналу осіне перпендикуляр, ол центрге
тартқыш (центростремительным) деп аталады. Кориолистік үдеу қозғалмалы
[pic] санақ жүйесіне қатысты М нүктесінің келтірілген айналма қозғалысының
өзіндік кинематикалық әсерлесу нәтижесінде пайда болады. Егер:
1.М нүктесі [pic] санақ жүйесімен қатаң байланыста, яғни [pic]
2. [pic] санақ жүйесімен бірлесе М нүктесі тек ілгерілемелі қозғалыста
болады, яғни [pic]; [pic] Онда кориолистік үдеу болмайды.
Тақырып: Динамика
Динамика – бұл макроскопиялық денелер қозғалысы осы қозғалысты
анықтайтын физикалық себептермен байланысты меңгерілетін классикалық
механика бөлімі. Денелердің өзара әсерлесуі нәтижесінде олардың
деформациясы немесе олардың қозғалыс күйі өзгереді, немесе екеуі де бірге
өтуі мүмкін. Өзара әсерлесу байланыста болғанда (при контакте), немесе
өрістердің байланыстары арқылы жүзеге асуы мүмкін.
Денелердің өзара әсерлесуінің сандық өлшемі күш болып табылады. Күш
үшін суперпозиция принципі және күш әсерінің тәуелсіздік принципі әділ. Күш
– векторлық шама, яғни ол тек сан мәнге ғана ие болып қоймай, оның бағыты
және күш түсіру нүктесі болады. Күштер геометриялық түрде қосылады
(параллелограмм ережесі бойынша).
Дене инерттілігін сипаттайтын сандық өлшем оның массасы. Масса дене
инерттілігінің өлшемі, яғни оның күйінің өзгерісіне қарсы әсер ете алу
қабілеттілігі. Механиканың бірінші заңы – инерция заңы, әрқандай дене, егер
басқа денелердің әсеріне ұшырамаса онда ол өзінің тыныштық күйін немесе
бірқалыпты түзу сызықты қозғалыс күйін үнемі сақтайды дегенді бекітеді. Осы
заң (немесе механиканың басқа да заңдары) орындалатын санақ жүйесі
инерциялық санақ жүйесі (ИСЖ) деп аталады. Барлық ИСЖ бір-бірне қатысты
бірқылыпты және түзусызықты қозғалады, олар сансыз көп, олардың барлығы тең
құқылы. Олардың бірін таңдау есеп (мәселенің) шарттарына негізделеді.
Әдетте, зерттелетін құбылыс анық ұсынылған және қарапайым математикалық
тұрғыда суреттелген ИСЖ таңдалады.
Тақырып: Ньютон динамикасының негізгі заңдары
Классикалық механиканың бірінші заңы Галилейдің салыстырмалық принципінің
жалпыланған өрнегі болып табылады. Ол инерциалық санақ жүйесінің, яғни бір-
біріне қатысты бірқалыпты және түзусызықты қозғалатын инерциялық санақ
жүйесінің (ИС) тең құқылығын бекітеді. Сыртқы күштер әсер етпеген дене
тыныштықта болады, немесе бірқылыпты және түзусызықты қозғалады. Бұл
тыныштық және бірқылыпты, түзусызықты қозғалысты ажырату мүмкін еместігін
(различимы) білдіреді. Басқа дене әсер еткенге дейін өзінің күйін сақтайды,
дене қабілеттілігі инерттілік деп аталады. Сондықтан механиканың бірінші
заңын инерция заңы деп атайды, сәйкесінше осы заң орындалатын санақ жүйесі
инерциялық санақ жүйесі деген атқа ие болды.
Классикалық механиканың екінші заңы денеге әсер ететін күштер мен
олардың алатын үдеулерінің арасындағы байланысты тағайындайды. Күш бір
дененің екінші денеге тигізетін әсері ретінде, дене күйін өзгертетеін себеп
ретінде қарастырылады. Ньютон механикасында күш нақты денелердің әсерлесуі
нәтижесінде пайда болады. Дәл сондықтан инерция күштері фиктивті
(фиктивными) деп аталады. Күш векторлық шама болып табылады. Механикада
суперпозиция принципі сияқты денелер әсерінің тәуелсіздігі (принцип
независимости действия сил) принципі де бар. Дифференциальдық формада заң
былайша жазылады:
[pic]
Теңдеуді шешу үшін тек әсер етуші күштерді беріп қана қоймай, сондай-ақ
бастапқы қалпы мен дененің бастапқы жылдамдығын беру керек. Теңдеуді шешу
дене қалпын және кез-келген уақыт жалғасымдылығы мезетіндегі оның
жылдамдығын анықтауға мүмкіндік береді. Бұл классикалық динамиканың негізгі
есебі болып табылады.
Егер дене импульсін пайдалансақ [pic], онда 2-ші заңның формуласын былайша
жазамыз:
[pic].
Механиканың үшінші заңы бір дененің екінші денеге әсері екінші дененің
қарсы әсерімен бір уақытта өтетінін бекітеді. Әсер және қарсы әсер сан
жағынан бір-біріне тең, бірақ әртүрлі денеге түсіріледі (сондықтан оларды
қосуға болмайды!): [pic]
Бұл заң кеңістіктің айналық симметриясының салдары болып табылады. (одан оң
және солды ажыратпау (неразличимости в нем левого и правого)).
2-ші және 3-ші заңдардың формуласына уақыт кірмейді (үдеу денеге күш әсер
ете бастаған уақыттан бастап алынады; қарсы әсер әсер пайда болған мезеттен
бастап пайда болады). Бұл фактіден, классикалық механика алыстан әсер ету
принципіне негізделгендігі жайында қорытынды шығады, яғни әсердің лездік
берілуі, шексіз жылдам сигналдың бар болуы.
Ньютон механикасының заңдары кеңістіктің біртектілігіне және
изотроптылығына және уақыт жүрісінің біртектілігіне негізделген.
Галилейдің уақыт және координат түрлендірулерінің формулаларын қолданып,
[pic][pic]
Ньютонның 2-заңының теңдеуінің (жоғарыдағыны қара) штрихталған СЖ-деде
өзінің түрін сақтайтынын көрсетуге болады. Бұл бірдей жағдайларда
механикалық құбылыстар бірдей өтетінін білдіреді. Бірақ, дәл осы жайында
Галилейдің салыстырмалылық принципі айтады. Яғни, механиканың 2-заңы
формуласының инварианттылығы – бұл Галилейдің салыстырмалылық принципінің
математикалық өрнегі екенін бекітуге болады.
Тақырып: Динамиканың негізгі міндеті (есебі). Бастапқы шарттардың ролі.
Классикалық механикадағы себептілік принципі.
Еркін материалдық нүктелер жүйесін қарастырамыз. Бұл жүйе, кез-келген
уақыт мезетінде оның барлық бөлшектерінің жылдамдықтарының және радиус-
вектордың мәнін беруге болатын материалдық нүктелер жүйесі. Материалдық
нүктелер жүйесі инерциалдық санақ жүйесінде (ИСЖ) қарастырылады.
1.Тура (негізгі) есеп – бөлшектің радиус-векторын уақыт [pic] функциясы
ретінде анықтау. Ол үшін ішкі және сыртқы күштер берілген жағдайда кәдімгі
екінші текті дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу қажет:
[pic]. (*)
2.Кері есеп - [pic] белгілі болған жағдайда [pic]-ші бөлшекке әсер ететін
толық [pic] күштер жүйесін табу. Радиус-векторлар үздіксіз функциялар және
екі рет дифференицалданатын болуы керек.
Бірінші есепті шешу кезінде біртектілік үшін бастапқы шарттар беру
керек. Мұнымен материалдық нүктелер жүйесінің (одан кейінгі) келесі күйі
анықталады. Мұнда себептілік принципінің (лапластық детерминизм
(лапласовский детерминизм)) мазмұны жатыр.
Қозғалыс теңдеуі (*) уақытпен салыстырғанда жұп (четное) (уақыт
бойынша туынды екі рет алынады). Бұл t -ны (-t) –ға алмастырғанда теңдеу
өзгеріссіз қалатынын білдіреді. Бұдан (*) теңдеуін шеше отырып, біз
материалдық нүктелер жүйесінің болашақ күйін анықтап қана қоймай, сондай-ақ
біз нөл деп қабылдаған өткен уақыт мезетіндегі және бастапқы шарттар
берілген күйлерін де анықтай алатынымыз шығады.
Тақырып: Сыртқы күштік өрістегі материалдық нүктенің потенциалдық энергиясы
және күштер жұмысы
Төмендегі теңдіктің қатысымен «жұмыс» физикалық шаманың элментін
анықтаймыз:
[pic] (*)
А және В нүктелер арасындағы соңғы жолдағы [pic] күшінің толық жұмысы
мынаған тең:
[pic]
Ерекше жағдайды қисық сызықты интегралдың жолдың формасына тәуелсіздігі
құрайды. Математикалық анализ курсында көрсетілгендей, бұл жағдайда
элементар жұмысты (*) координаттың қандай да бір функциясының толық
дифференциалы ретінде беруге болады:
[pic]
Онда [pic]
Бұл жағдайда күштік өріс потенциалды деп аталады, ал U функция сыртқы
птоенциалды күштер өрісіндегі материалды нүктелердің потенциалды энергиясы
деп аталады. [pic] біле отырып, потнециалды энергияныанықтауға болады:
[pic],
мұндағы С аддитивті еркін тұрақты, сан мәнін еркін таңдауға болады, мысалы
бастапқы шарттардан.
Күштік өріс потенциалды болуы үшін [pic]болуы қажет. Сток теоремасын
пайдаланып, мынаны аламыз:
[pic]
Контур және еркінділік күшінде, контурмен шектелген аудан, интеграл
астындағы функция нолге тең болған жағдайда ғана интеграл нолге тең болады,
яғни [pic]
Бұл потенциалды өрістің – құйынсыз өріс екенін білдіреді.
Өрістің құйынсыз екенін сипаттау үшін потенциал функцияны енгізуге болады:
[pic]
Мұндағы U –материалды нүктенің потенциалды энергиясы.
Өрістің әрбір нүктесінде [pic] вектор тұрақты потенциал энергияның
(жазықтықтың эквипотенциал сызықтарына) сызықтарына (жазықтығына)
перпендикуляр бағытталған. Шынында, эквипотенциал сызықтар (жазықтықтар)
анықтамасы бойынша, былайша жаза аламыз:
[pic].
Бұдан, күш векторы оның әрбір нүктесінде эквипотенциал сызықтарға
перпендикуляр екені шығады. [pic] және U -дың уақытқа тәуелділігі болмаған
жағдайда, күштік өріс стационар болып табылады. Сыртқы потенциал күштер
өрісіндегі өзара әсерлесуші бөлшектер жүйесі потенциал энергияға ие болады:
[pic]
сондықтан:
[pic]
Айнымалы күш жұмысы. Егер күш немесе тең әсерлі күш өзінің шамасын немесе
бағытын (қисықсызықты траектория бойынша қозғалысын, мұнда бұрыш α ≠ 900)
өзгертсе, онда траекторияның соңғы бөлігіндегі айнымалы күш F (немесе Fрез)
жасаған жұмыс ∆А былайша есептеледі. Төмендегі суретте F күшінің S жолдан
тәуелділігінің графигі көрсетілген. Барлық жолды N бөлікке бөлеміз. Әрбір
бөліктегі орынауыстыру мен әсер етуші күш сәйкесінше Fi және ∆ri тең. Онда
F күші атқарған А жұмыс, әрбір кішкене бөліктегі Fi күш атқарған
жұмыстардың алгебралық қосындысына тең:
А = ∆А1 + ∆А2 +....+ ∆АN = (F1∙∆r1) + (F 2∙∆r2) + ...+(F N∙∆rN) =
[pic](Fi∙∆ri),
мұндағы i = 1,2......N – траекторияның элементар бөліктерінің нөмірі.
[pic]
Күштің жолға тәуелділігінің графигі
∆ri бөлігіндегі Fi күшін тұрақты деп есептеуге болады, онда ∆ri
бөлігіндегі элементар жұмыс ∆Аi мынаған тең ∆Аi=Fi∙∆ri және де
көрсетілген суреттегі штрихталған фигураның ауданына тең болады.
А=[pic]∆ Аi – бұл r бөліктегі F күшінің жұмысы, ол сан жағынан [pic]
осімен [pic] тәуелділігімен шектелген қисық фигурасының [pic] ауданына тең.
Айналмалы қозғалыс кезіндегі сыртқы күштердің толық жұмысы осы күштің
моментінің күш әсер еткен уақыттағы дененің айналу бұрышының көбейтіндісіне
тең. ∆A=М∆[pic].
Күш моменті де бұрыштық орынауыстыру да (бұрылу бұрышына модулі
бойынша тең) – айналу бұрышының бойымен бағытталған векторлар. Егер бұл
векторлардың бағыты дәл келсе, онда ∆A>0. Егер бұл векторлардың бағыты
қарама-қарсы болса, онда ∆A<0.
Жұмысы тек түсірілген нүктелердің соңғы және бастапқы нүктелерімен
анықталатын, траекторияның түріне де, дене қозғалысының сипатына да
байланыссыз күштер консервативтік немесе потенциалдық деп аталады.
Бұл күштердің басқа анықтамасы мынадай. Жұмысы тұйықталған траектория
бойынша нолге тең күштер потенциалдық деп аталады. Сәйкесінше, егер жұмыс
тұйық траектория бойынша нолге тең болмаса, онда ондай күш консервативтік
емес (потенциалды емес) деп аталады. Потенциалды емес күштерге үйкеліс
күштері және шамасы нүктенің (дененің) қозғалыс жылдамдығына байланысты
күштер жатады.
Ауырдық күші мен серпімділік күші потенциалды күштер болып табылады.
Тақырып: Сақталу заңдары және қозғалыс теңдеулерінің бірінші интегралдары
Еркін механикалық жүйенің n бөлшектер жүйесінің күйі берілген жүйеге
кіретін барлық бөлшектердің жылдамдықтарының 3n проекциясының 3n
координаттардың берілуімен анықталады. Қозғалыс процесінде бұл айнымалылар
өзгереді. Сондай-ақ, қозғалыс кезінде мынадай [pic] бастапқы шарттармен
анықталатын тұрақты мәндері сақталатын координат және жылдамдық сияқты
уақыт функцияларын көрсетуге болады.
мұндағы Const[pic]
Бұл функцияларды [pic] қозғалыстың бірінші интегралдары деп атайды.
Олардың саны [pic] және егер қозғалыстың дифференциалдық теңдеуіндегі
айнымалыларды толық бөлу мүмкін болса, дәл 2n, тең.
Қозғалыстың бірінші интегралдарымен қатар механикалық жүйелерде
қозғалыстың екінші интегралдары да бар, ол барлық бөлшек координаттарының
және интегралдау тұрақтысының [pic] уақыт функциясы болып табылады.
Қозғалыстың бірінші интегралдың 6n және екінші интегралдың 3n жиынтығы
қозғалыстың теңдеулер жүйесіне эквивалентті.
Қозғалыстың жекелеген бірінші интегралдарының терең физикалық мағынасы бар
және уақыт және кеңістік симметриясының қасиеттерімен байланысты.
Қозғалыстың бұл бірінші интегралдарын жекелеген топтарға ажыратып, оларды
сақталу заңдары деп атайды. Қозғалыстың барлық бұл интегралдары аддитивтік
қасиетке ие. Бұл шамалардың сақталуы қозғалыс теңдеулерін шешуді талап
етпейді.
Тақырып: Материалдық нүкте импульсінің сақталу заңы
Заттық нүктенің импульсі (қозғалыс мөлшері) деп оның массасы мен
жылдамдығының көбейтіндісіне тең векторлық шаманы айтады:
[pic], [pic] немесе [pic]
Механиканың екінші заңын, Ньютон өзі жазғандай, былайша беруге болады:
[pic]
Егер қозғалмайтын остегі күштердің проекциясы кез-келген уақыт мезетінде
нолге тең болса, онда осы остегі импульс проекциясы сақталады. Мысалы,
[pic] болсын. Жалпы жағдайда, егер [pic]онда және [pic] Бұл нүкте
импульсінің сақталу заңы болып табылады.
Тақырып: Нүктенің импульс моментінің сақталу заңы
Бұл заң да Ньютонның екінші заңының салдары болып табылады.
Жаңа физикалық шамалар енгіземіз – төмендегідей түрде анықталатын күш
моменті: [pic],
және импульс моменті:
[pic]
Ньютонның екінші заңының формуласын сол жағынан нүктенің радиус-векторына
векторлы түрде көбейтеміз (Умножим формулу второго закона Ньютона векторно
слева на радиус-вектор точки):
[pic]
Теңдіктің сол жағын, нүкте массасысының тұрақты шама екенін ескеріп, және
[pic], түрлендіреміз:
[pic].
Сонымен, [pic]
Бұл векторлық теңдікті үш скаляр түрінде беруге болады. Егер қандайда бір
осте импульс моментінің проекциясы нолге тең болса, онда осы осте импульс
моментінің проекциясы уақыт бойынша сақталады:
Егер [pic]
Дегенмен, күш моменті нолге тең болуы үшін күш (немесе оның проекциясы)
нолге тең болуы міндетті емес. Шынындада, Оz осі күшке параллель болсын,
онда [pic] Екінші жағынан, [pic] Бұдан, [pic] Олай болса, импульс
моментінің проекциясы, күш бағытында сақталады, қозғалыстың бір бірінші
интегралын береді.
Екінші жағдай: күш нолге тең емес, ал импульс моменті сақталады.
Ескерілетін жағдай, орталық күштер жағдайы. Егер күш центрін координат
жүйесінің басы етіп қабылдасақ, онда осы нүктемен салыстырғанда күш моменті
нолге тең, сондықтан [pic] Бірақ, импульс моментінің барлық үш проекциясы
бір-біріне тәуелді емес, олар төмендегі қатынас арқылы байланысады:
[pic]
мұнда аралас туындының циклдік шарты қолданылады (где использовано условие
циклической перестановки смешанного произведения). Сондықтан, импульс
моментінің тек екі проекциясы тәуелді (байланысты) емес, яғни қозғалыстың
тек екі бірінші интегралдары бар. Орталық күштің әсерінен нүкте әрқашан да
жазық траектория бойынша қозғалатынын көрсеткен өте маңызды. Шын мәнінде,
мынаны құрамыз:
[pic]
мұнда аралас туындының циклділік шарты ескерілді (где учтено условие
цикличности смешанного произведения).
Траектория жазықтығы күш центрі арқылы өтеді және нүктенің тұрақты импульс
моментіне перпендикуляр
[pic].
Еркін оқшауланған материалдық нүкте үшін әруақытта қозғалыс мөлшері
моментінің сақталу заңы орындалады: [pic]
Нүктенің импульс моментін төмендегідей теңдікпен анықталатын секторлық
жылдамдық арқылы өрнектейміз: [pic]
онда [pic] теңдеу былайша жазылады:
[pic]
Егер [pic] онда [pic] Бұл Oz осіне перпендикуляр жазықтықта [pic]
проекция кез-келген бірдей уақыт аралығында бірдей аудандар сызады.
Аудандар интегралын алдық (Мы получили так называемый интеграл площадей).
Тақырып: материалдық нүкте энергиясының сақталу және айналу заңы Ньютонның
екінші заңының теңдеуінен [pic]кинетикалық энергия өзгерісінің заңын
аламыз. Ол үшін бұл теңдеудің екі жағында элементар орынауыстыруға [pic]
скаляр түрде көбейтеміз:
[pic]
Оң жағында элементар жұмыс үшін өрнек тұр. Теңдеудің сол жағын
түрлендіреміз:
[pic]
мұндағы [pic] -нүктенің кинетикалық энергиясы.
Сонымен,
[pic]. (*)
Нүктенің кинетикалық энероиясының дифференциалы нүктеге әсер ететін күштің
элементар жұмысына тең.
(*)-ны dt бөліп, мынаны аламыз:
[pic]
Бірлік уақыт ішіндегі нүктенің кинетикалық энергиясының өзгерісі нүктеге
әсер ететін күш қуатына тең.
Алдында потенциалды күштер, потенциалды функция, потенциалды энергоия
енгізгенбіз. Егер күш анық уақытқа тәуелді болмаса, онда нүктенің тіркелген
қалпында (то при фиксированном положении точки) оның потенциалдық энергиясы
уақытқа байланысты өзгермейді, яғни
[pic] (**)
Нүктенің толық механикалық энергиясын анықтаймыз: E=T+U. (**) ескеріп,
былайша жазуға болады: [pic][pic]
Бірлік уақыт ішіндегі нүктенің толық механикалық энергиясының өзгерісі
нүктеге әсер ететін күш қуатын береді.
Егер нүктеге әсер ететін күш қуаты нолге тең болса, онда нүктенің толық
механикалық энергиясы уақыт бойынша сақталады. Бұл тұжырым механикалық
энергияның сақталу және айналу заңын бейнелейді. Механикалық энергияның
айналуы жайында айта отырып, біз толық энергия компонентінің өзгеруі
жайында аламыз: толық энергияның сақталуы кезінде кинетикалық энергия
потенциалдық энергияның есебінен артады және керісінше.
E=Const шарты қозғалыс теңдеуін шешуді іздемей-ақ, жылдамдық шамасын нүкте
қалпының функциясы ретінде анықтауға мүмкіндік беретін, қозғалыстың бірінші
интегралы болып табылады.
Тақырып: Еркін емес бөлшек қозғалысы. Рекация күштері
Еркін нүкте деп өзіне түсірілген күш әсерінен кез-келген бағытта
қозғала алатын нүктені айтады. Еркін емес нүкте қозғалысы кеңістіктің
шектелген бір бөлігінде ғана өтеді. Нүктенің қозғалысын шектейтін шартты
байланыс деп атайды. Сонымен, нүктеге жасалатын байланыстар оны қандайда
бір бет үстімен немесе сызық бойымен қозғалуға мәжбүр етеді. Еркін емес
дене ретінде стол үстінде жатқан бор, жіпке ілінген жүк т.б. мысалдар
келтіруге болады.
Байланыстар деп қозғалыстың бастапқы шарттарына және түсірілген күштер
жүйесіне байланыссыз материалық нүктелер қозғалысының шектелуін айтады.
Байланыстар бір жақты және екі жақты болып бөлінеді (1-қатты стерженьді
физикалық маятиник; 2-жіптегі матемаикалық маятник). Байланыстар голономды
(интегралданатын) және голономды емес (интегралданбайтын).
Материалдық нүктелердің орынауыстыруын шектейтін байланыстар осы
нүктеге реакция күштері деп аталатын күш әсері арқылы әсер етеді.
Еркін емес материалдық нүкте динамикасының есептерінде байланыстардан
бостау принципі қолданылады. Байланыстарды ойша алып тастап, берілетін
күштердің санына байланыстардың реакция күштерін қосады. Бұл кезде еркін
емес материалдық нүкте берілетін күштердің және байланыстардың реакция
күштерінің әсерінен қозғалатын еркін деп қарастырылады.
Тақырып: Бөлшектер жүйесінің динамикасы
Массалар центрінің қозғалысы, жүйе импульсінің сақталу заңы
Механикалық жүйенің массалар центрі (немесе инерция центрі) деп Центром
масс (или центром инерции) механической системы называется воображаемая
точка, которой приписывается масса всей системы и положение которой
определяется радиусом-вектором:
[pic] (*)
Массалар центрінің жылдамдығы мен үдеуін алдыңғы формуланы уақыт бойынша
дифференциалдап, алуға болады.
Механикалық жүйенің импульсі деп жүйе нүктелерінің импульстарының [pic]
қосындысын айтады:
[pic]
(*) теңдеуден, [pic] (**)
Массалар центрі қозғалысының теңдеуін анықтаймыз. (**)-ден мынау шығады:
[pic]
мұндағы [pic] Ньютонның үшінші заңы бойынша.
Сонымен, [pic][pic]
Бұдан жүйе импульсінің өзгеру саңын аламыз:
[pic]
Бір бөлшек жағдайына аналогия бойынша, егер кез-келген уақыт мезетінде
қандайда –бір қозғалмайтын ось проекция күштері [pic] нолге тең болса, онда
жүйе импульсінің преокциясы немесе жүйенің массалар центрі жылдамдығының
проекциясы сол осте сақталады. Сондықтан, осы остің бағытында массалар
центрі бірқалыпты қозғалады. Оқшауланған (тұйықталған) материалдық нүктелер
жүйесі жағдайында [pic]=0 (анықтама бойынша). Бұдан, мынау шығады
[pic]
Біз тұйық жүйе импульсінің сақталу заңының математикалық өрнегін алдық.
Тұйық жүйенің массалар центрі бірқалыпты және түзу сызықты қозғалады, және
ішкі күштер жүйе жылдамдығын (импульсін) өзгерте алмайды.
Тақырып: Жүйенің кинетикалық моментінің сақталу заңы
Жүйенің әрбір материалдық нүктенің қозғалыс теңдеуінің [pic] сол
жағын осы нүктенің [pic] радиус-векторына векторлық түрде көбейтеміз.
Импульс моментінің [pic] және күш моментінің [pic] анықтамасын ескеріп,
мынаны аламыз:
[pic],
мұндағы [pic] жүйенің кинетикалық моенті деп аталады:
[pic]
Ньютонның үшінші заңын ескеріп, мынаған ие боламыз: [pic] Олай болса,
мынаны аламыз:
[pic]
Жүйенің кинетикалық моментінің өзгеру заңы былайша оқылады:
Жүйенің кинетикалық моментінің уақыт бойынша туындысы жүйеге әсер ететін
барлық сыртқы күштердің мометтерінің қосындысына тең.
Егер [pic]онда [pic] Бұл секторлық жылдамдықтың көмегімен былайша
жазылады: [pic]
Тұйық жүйе жағдайында [pic] Біз тұйық жүйенің кинетикалық моментінің
сақталу заңын алдық. Ішкі күштердің әсерінен тұйық жүйенің кинетикалық
моменті өзгермейді.
Тақырып: Жүйе бөлшектерінің механикалық энергиясының сақталу және айналу
заңы
Материалдық нүктелер жүйесінің қозғалыс теңдеуін [pic] оның элементар
[pic] орынауыстыруына көбейтеміз, күштердің ішкі және сыртқы болып
бөлінуіне көңіл аударамыз. Сонда бөлшектердің кинетикалық энергиясының
өзгерісі ішкі және де сондай-ақ сыртқы күштердің есебінен өтеді:
[pic]
Жүйенің барлық бөлшектері үшін (жұмыс пен энергияның аддитивті
күштілігінде):
[pic]
Жүйенің кинетикалық энергиясының дифференциалы (өзгерісі) жүйе бөлшектеріне
әсер ететін ішкі және сыртқы күштердің элементар жұмыстарының қосындысына
тең.
Жүйенің потенциалдық энергиясын төмендегі қосындылар түрінде береміз:
[pic]
мұнда бірінші қосынды жүйе бөлшектерінің өзара әсерлесуіне негізделген, ал
екіншісі – сыртқы өрістегі бөлшектердің потенциалдық энергиясын көрсетеді.
Жүйенің толық механикалық энергиясы мынаған тең: E=T+U.
Бөлшектер уақытқа тәуелді емес потенциалдық күштер өрісінде болған жағдайда
dU/dt=0.
Бұл шартты ескеріп, жүйенің әрбір материалдық нүктесінің әрбір қозғалыс
теңдеуін оның [pic] жылдамдығына көбейткеннен кейін және осы теңдеулердің
барлығын қосындылап, мынаны аламыз:
[pic]
Бұл теңдеу, стационар потенциал өрістегі материалдық нүктелердің
тұйықталған жүйесінде, қозғалыс процесінде төмендегі скаляр шама
сақталатынын бекітеді: [pic]
Ондай жүйелер консервативтік деп аталады.
Механикалық энергияның сақталу және айналу заңы жалпыға бірдей табиғат
заңының –энергияның сақталу және айналу заңының – жеке жағдайы болып
табылады.
Сонымен, біз механикалық жүйедегі сақталу және өзгеру заңдарын
бейнелейтін жеті теңдеуді аламыз:
[pic]
Белгілі бір шарттарда олар сақталу заңдарына саяды. Тұйық жүйе
жағдайында, энергияның басқа түрлеріндегі механикалық энергияның ішкі
түрлендірулері болмаған жағдайда, сақталу заңдары қозғалыстың жеті бірінші
интегралын және үш екінші интегралын береді:
[pic]
яғни, механиканың он классикалық интегралдарын береді.
Сақталу заңдарының бәрі Ньютонның қозғалыс теңдеулерінен алынды.
Сондықтан олар классикалық механикадағы уақыт және кеңістік қасиеттерімен
байланысты.
Импульстің сақталуы жүйені бүтін бір тұтастық ретінде кез-келген
параллель тасымалдауда тұйық жүйедегі механикалық қасиеттер
өзгермейтіндігінде кеңістіктің біртектілігімен байланысты.
Моменттің сақталуы жүйені бүтін бір тұтастық ретінде кез-келген бұруда
тұйық жүйедегі механикалық қасиеттер өзгермейтіндігінде кеңістіктің
изотроптылығымен байланысты.
Механикалық энергияның сақталуы жүйені уақыт бойынша кез-келген
«тасымалдауда» тұйық жүйедегі механикалық қасиеттер өзгермейтіндігінде
уақыттың біртектілігімен байланысты.
Тақырып: Кёниг теоремасы
Теорема механикалық жүйенің кинетикалық энергиясы екі қосындының
қосындысы түрінде берілуі мүмкін дегенді бекітеді: ілгерілемелі қозғалыстың
кинетикалық энергиясы және массалар центріне қатысты бөлшектер қозғалысының
кинетикалық энергиясы, яғни:
[pic] (*)
Бұл ұйғарымды дәлелдеу үшін белгілі қатынасты қолданамыз (жылдамдықтарды
қосудың классикалық теоремасы):
[pic]
Бұл қатынасты жүйенің кинетикалық энергиясын анықтайтын формулаға қоямыз:
[pic]
«Массалар центрі» санақ жүйесіндегі қосынды импульс (алдыңғы формуладағы
соңғы қосынды) нолге тең екенін ескеріп, сол мезетте өрнекті аламыз (*)
(Учитывая, что в системе отсчета «Центр масс» суммарный импульс (последнее
слагаемое в предыдущей формуле) равен нулю, тотчас же получаем искомое
выражение (*)).
Кёниг теоремасының көмегімен материалдық бөлшектер жүйесінің толық
механикалық энергиясын былайша жазуға болады:
[pic]
мұндағы [pic] - жүйенің ішкі энергиясы.
Тақырып: Бірөлшемді қозғалыс
Бір еркіндік дәрежелі жүйе қозғалысын бірөлшемді деп айтады.
Қозғалыстың бірінші интегралын – механикалық энергияның сақталу заңын
қолданамыз:
[pic] (*)
Бұл теңдеу бірінші текті дифференциалдық теңдеу болып табылады,
айнымалыларды бөлу жолымен шешіледі (решается путем разделения переменных).
(*)-ден аламыз:
[pic]
Одан
[pic]
Қозғалыс теңдеуін шешуде екі еркін тұрақтының атқаратын ролі: 1.Толық
энергия Е; 2.Интеграалдау тұрақтысы С. Қозғалыс кезінде кинетикалық энергия
потенциалдық энергиядан үлкен болуы керек, сол себепті қозғалыс кеңістіктің
[pic],тек сол аумағында ғана өтуі мүмкін.
U A B
U=E
x
[pic] [pic] [pic]
[pic] тәуелділігі график түрінде берілсін. Горизонталь сызық толық
энергияға Е сәйкес келеді. Содықтан қозғалыс Следовательно, движение тек
([pic]) шекарада және оңжақта өтуі мүмкін. Қозғалыстың шекараларын [pic]
нүктелерде анықтайды (Точки, в которых [pic]определяют границы движения).
Олар «аялдама нүктелері» болып табылады, себебі оларды жылдамдық нолге тең
(Т=0). Егер қозғалыс ақырғы нүктелермен (крайними точками) шектелсе, онда
қозғалыс финитті деп аталады. Егер қозғалыс аумағы шектелмесе, немесе бір
жағынан ғана шектелсе, онда қозғалыс инфинитті деп аталады, нүкте
шексіздікке кетеді. Бірөлшемді финитті қозғалыс тербелмелі болып табылады,
бөлшек потенциалды шұқырда қайталанатын қозғалыс жасайды. Қозғалыстың
қайтымдылығында (в силу обратимости движения), оның периоды анықталады:
[pic]
мұндағы [pic] [pic] шарынан анықталады.
[pic]өрісіндегі бөлшектің жазық қозғалысын сипаттау үшін полярлы
координаттарды ([pic]) енгіземіз және олар арқылы механикалық энергияның
сақталу заңы және импульс моментінің абсолют мәні (аудандар интегралы) үшін
формулаларды өрнектейміз:
[pic]; [pic]) =[pic]
Егер екінші өрнектен [pic] анықтап және бірінші өрнекке қойсақ, онда
[pic]
мұндағы:
[pic]
[pic] бірөлшемді эффективті потенциал деп атайды, [pic] шамасын центрден
тепкіш (центробежным потенциалом) потенциал деп атайды, бірақ бұл шамалар
өрістің центріне қатысты айналмалы қозғалысымен байланысты бөлшектің
кинетикалық энергиясының тек бір бөлігін ғана құрайды.
Тақырып: Екі дене есебі
Екі дене есебі деп өзара әсерлесетін екі нүктелік денеден (бөлшектен)
тұратын тұйық механикалық жүйелер қозғалысы жайындағы мәселені (есебі)
атайды. Теориялық (қатынаста) жағынан бұл есептің көптеген дене есептерінен
айырмашылығы жалпы түрде толық және дәл шешімін беруімен қызықты. Бұл
есепті шешудің негізі аспан механикасында (небесной механики) және жасанды
спутиктердің еркін қозғалысының теориясында, бөлшектердің шашырауы
(рассеяния) және соқтығысуларының классикалық теориясының негізінде жатыр.
Бұл есепті шешу кезінде қолданылатын идеялар атомдық және молекулалық
физика және т.б. «жұмыс» жасайды.
Массалары [pic] және [pic] тұйық екі бөлшек жүйесін қарастырамыз.
Бізге потенциалдық энергия және олардың өзара әсерлесуі салыстырмалы
қашықтық функциясы ретінде [pic], яғни [pic], белгілі деп аламыз. Екі дене
қозғалысы біртұтас бүтін жүйе қозғалысы және олардың жалпы массалар
центрімен салыстырғандағы бөлшек қозғалысының қосындысы. Бөлшектің массалар
центрі еркін ИСЖ (лабораториялық ИСЖ) салыстырғанда түзу сызықты және
бірқалыпты қозғалады:
[pic]
Бұдан, екі дене есебі мәні бойынша, бөлшектердің салыстырмалы қозғалысы, «Ц-
жүйе»-де (Санақ жүйесі «массалар центрі»), яғни бөлшектің массалар
центрімен байланысты қозғалыстағы ИСЖ-де қарастырған ыңғайлы, жайындағы
есеп екені көрініп тұр. Бұл ИСЖ-де бөлектің қозғалыс теңдеуі былайша
жазылады: [pic]. (**)
Бірінші теңдеуден екіншіні аламыз (вычтем из первого уравнения второе):
[pic]
Мұндағы [pic]
[pic] екі дененің келтірілген массасы деген атау алады.
Біз, бөлшектердің жалпы массалар центріне қатысты екі бөлшек қозғалысы
жайындағы есеп массалар центріндегі центрлі сыртқы орталық өрістегі [pic]
массасы [pic] қандайда бір фиктивті бөлшек қозғалысы жайындағы эквивалентті
есеппен дәл келетінін дәлелдедік.
Анықтама бойынша: [pic] Массалар центрі үшін («Массалар центрі» санақ
жүйесіндегі) [pic]бұдан
[pic].
Соңғы екі теңдеуден уақыт бойынша туынды алып (производную), табамыз
[pic]
мұндағы [pic] -массасы [pic]фиктивті бөлшектің жылдамдығы.
Фиктивті бөлшек стационар және орталық-симметриялы өрісте
қозғалатындықтан, оның толық энергиясы [pic] және өріс центрімен
салыстырғандағы, бөлшектердің массалар центрімен [pic] сәйкес келетін,
импульс моменті [pic] сақталады:
[pic]=Сonst.
[pic] және [pic] екі нақты бар бөлшектер жүйесінің ішкі энергиясы мен
меншікті механикалық моментіне сәйкес болып табылатынына оңай көз жеткізуге
болады.
Шынында:
[pic]
Аналогия ретінде:
[pic]
Екі бөлшек жүйесінің олардың массалар қатынасына (соотношения) тәуелді
қандайда бір жеке жағдайларын қарастырамыз.
1 жағдай. [pic](Күн + планета, немесе сутекті атом). Бұл жағдайда
[pic]
[pic] шегінде қозғалыс қозғалмайтын ауыр жүйенің («массалар центрі» СЖ-
дегі) маңында жеңіл бөлшектің қозғалысына келтіреді (сводится).
2 жағдай. [pic]. (қоз (двойные) жұлдыздар, электрон +позитрон).
[pic]
Бөлшектер бірінен кейін бірі дөгелек орбита бойынша қозғалатын болады.
[pic] [pic]
[pic] .С [pic]
[pic]
Тақырып: Орталық-симмертиялық (в центрально-симметричном поле) өрістегі
қозғалысты сапалық зерттеу
Екі дене қозғалысы жайындағы есепті бір дене қозғалысы жайындағы
есеппен салыстыра, біз потенциалдық энергиясы тек r –ден белгілі бір
қозғалмайтын нүктеге дейінгі қашықтықтан тәуелді, сыртқы өрістегі бөлшек
қозғалысын анықтау жайындағы мәселеге келдік. Ондай өріс орталық
(центральным) деп аталады.
Бөлшекке әсер ететін [pic] күш абсолют шамасы бойынша тек r байланысты және
әрбір нүктеде радиус-вектор бойымен бағытталады.
Жоғарыда көрсетілгендегідей, қозғалыс кезінде орталық (центральном
поле) өрісте өріс центріне қатысты жүйенің моменті сақталады.
Бір бөлшек үшін жазуға болады:
[pic]
[pic] және [pic] векторлары өзара перпендикуляр болғандықтан, [pic] тұрақты
(постоянство) бөлшектің қозғалысы кезінде оның радус-векторы барлық уақытта
бір жазықтықта –[pic] перпендикуляр жазықтықта қалатынын білдіреді. Олай
болса, орталық өрісте (центральном поле) бөлшек траекториясы тұтастай бір
жазықтықта жатады.
Жоғарыда көрсетілгендей, қозғалыс мөлшерінің моменті полярлық
координаттарда былайша жазылады:
[pic]
Оралық өрістегі бір бөлшектің жазық қозғалысы үшін
бұл заң қарапайым геометриялық интерпретацияны береді
(допускает). [pic] өрнегі екі шексіз жақын радиус-
векторлармен және траектория догасының элементінен
түзілген сектор ауданын береді. Оны белгілейміз
[pic]
мұндағы [pic] - секториальды
жылдамдық.
Сондықтан моменттің сақталуы секториальды жылдамдықтың тұрақтылығын
білдіреді: бірдей уақыт аралығында қозғалыстағы нүктенің радиус-векторы
бірдей аудандар сызады (бұл Кеплердің екінші заңы).
Есептің талдауы.
Қозғалыс теңдеуін жазбастан бұрын, энергияның сақталу заңы үшін өрнекті
қолданамыз (Не выписывая уравнения движения, воспользуемся выражением для
закона сохранения энергии):
[pic]
Бұдан:
[pic]
Айнымалыларды бөлуді жүргіземіз және интегралдаймыз (Произведем разделение
переменных и проинтегрируем):
[pic] (*)
[pic] -дан [pic] шығатынын ескереміз. Бұған [pic] қойып, [pic] үшін
өрнектен, табамыз:
[pic] (**)
(*) және (**) формулаларынан жалпы түрде қойылған есепті шығарады. (**)
формуласы [pic] және [pic] арасындағы байланысты, яғни қозғалыс теңдеуін
анықтайды.
Бірінші (*) формула қозғалыстағы нүктенің центрден [pic] қашықтығын анық
емес түрде уақыт функциясы ретінде анықтайды. [pic] бұрышы уақыттан
монотонды өзгеретінін көрсетеміз (отметим): [pic] формуласынан [pic]
ешқашанда белгісін () өзгертпейтіні көрініп тұр. Эффективті потенциал
енгіземіз: [pic]
[pic] мәні [pic] кезінде центрден қашықтық бойынша қозғалыс аймағының
шекарасын анықтайды. Бұл шарт орындалған кезде [pic] радиальды жылдамдық
нолге айналады [pic]
Бұрыштық жылдамдық [pic] нолге айналмайтындықтан, бұл бөлшектің аялдамасын
(остановку частицы) білдіреді (шынмәнінде бірөлшемді қозғалыс ретінде).
[pic] теңдеуі [pic] функциясы ұлғаюдан кемуге өтекендегі немесе керісінше
жағдайдағы траекторияның айналу нүктесін білдіреді.
Егер рұқсат етілетін өзгеру r аймағының екі шекарасы [pic]және
[pic]болса, онда қозғалыс финитті болады және траекториясы тұтастай
[pic]және [pic] дөңгелегімен шектелген сақинаның ішінде жатады. Бірақ бұл,
траектория тұйықталған қисық болып табылатынын білдірмейді. [pic]- [pic]-
нан [pic]-ға дейін сосын қайтадан [pic]-ға өзгеретін уақыт ішінде радиус-
вектор (**) қатынасына сәйкес тең келетін, [pic] бұрышына бұрылады:
[pic]
Траектория «ромашка» тәріздес (траектория подобна «ромашке»), өзара жақын
«жапырақшалар» («лепестками») арасындағы бұрыш [pic] болады.
Траекторияның тұйықтылық шарты осы бұрыштың рациональ бөлігінен [pic]-ға
тең болуына негізделеді (заключается), яғни мынадай түрге тең болуына
негізделген: [pic] мұндағы [pic] және [pic] сандары
бүтін сандар.
Уақыттың бұл периодтық [pic] қайталауынан кейін нүктенің радиус-векторы
толық [pic] айналым жасап, өзінің алғашқы мәнімен сәйкес келеді, яғни
траектория тұйықталады (замкнется).
Бірақ мұндай жағдай болуы мүмкін емес (исключительны), және [pic]
функциясының еркін түрінде [pic] бұрышы [pic]-ден рационалды бөлігі болып
табылмайды. Сондықтан жалпы жағдайда финитті қозғалыстың траекториясы
тұйықталмаған. Ол минимал және максимал қашықтық арқылы өтсе мәнсіз сан
(бесчисленное число) және шексіз уақыт ішінде көршілес шектелген дөңгелек
арасындағы барлық сақинаны толтырады.
Финитті қозғалыстың барлық траекториялары тұйықталатын орталық өрістердің
(центральных полей) тек екі түрі бар. Бұл өріс бөлшектің потенциалдық
энергиясы [pic] немесе [pic] пропорционал болатын өріс. Бірінші жағдай
төменде қарастырылады, екіншісі кеңістіктік осцилляторға сәйкес келеді.
Тақырып: Кеплер есебі
Оралық өрістің маңызды жағдайы потенциалдық өріс r-ға кері
пропорционал және сәйкесінше күштер [pic]-қа кері пропорционал болатын өріс
болып табылады. Бұған тартылыстың ньютондық өрісі және кулондық
электростатикалық өріс жатады. Алғашқысы, тартылыс сипатқа ие екені
белгілі, ал екіншісі тартылыс, сондай-ақ тебілу өрістері бола алуы мүмкін.
Алдымен [pic] болатын тартылыс өрісін қарастырамыз.
«Эффективті» потенциалды энергияның [pic] графикі суретте кескінделген.
[pic] кезінде график [pic] ұмтылады, ал [pic] [pic] болғанда
энергияның теріс мәні жағынан нолге ұмтылады. [pic] болғанда график
мынадай минимумға ие, [pic]
[pic]
Графиктен [pic] болғанда бөлшек қозғалысы инфинитті, ал [pic] болғанда
финитті болатыны көрініп тұр.
Траектория теңдеуі (**) қатынасының көмегімен алдыңғы есептен (в предыдущей
задаче) алынады. Оған [pic] қойып және қарапайым интегралдау жүргізіп,
мынаны аламыз:
[pic]
Соnst=0 болатындай, [pic] бұрышының санақ басын таңдап, және белгілеулер
енгізіп
[pic], (***)
траектория үшін формуланы мынадай түрде жазамыз:
[pic] (****)
Бұл координата басындағы фокусты қиманың каноникалық теңдеуі, P и е -
орбитаның эксцентриситеті және параметрі (так называемые параметр и
эксцентриситет орбиты). Таңдау жасалған бұрыштың санақ басы [pic]=0 кезінде
С нүктесі орталыққа жақын болып табылады.
(***) белгілеулерден Е<0 болғанда эксцентриситет е<1 екенін көрініп тұр,
яғни орбита эллипс және қозғалыс финитті болып табылады. Аналитикалық
геометрияның формулалары бойынша эллипстің жарты осінің энергия мен
моментке тәуелділігін тағайындаймыз:
[pic]
Энергияның рұқсат етілген ең төменгі мәні [pic] (жоғарыдан қара) сәйкес
келеді, е=0 болғанда эллипс дөңгелекке айналады. Эллипстің үлкен жарты осі
тек қана бөлшектің энергиясына (бірақ моментіне емес) ғана тәуелді
болатынын ескертеміз. Өріс центрінен (эллипс фокусынан) ең кіші және ең
үлкен қашықтық мынаған тең:
[pic]
Бұл мәндерді [pic] теңдеуінің түбірі ретінде де алуға болатын еді.
Эллипистік орбитадағы айналу уақытын, яғни қозғалыс периодын [pic]–нің
«аудандар интегралы» формасындағы моменттің сақталу заңының көмегімен
анықтауға болады. Бұл теңдікті уақыт бойынша нолден Т –ға дейін
интегралдап, мынаны аламыз:
[pic]орбита көлемі.
Эллипс үшін [pic] және формула көмегімен (жоғарыдағыны қара), табамыз:
[pic]бұл Кеплердің бірінші заңы.
y
Период бөлшектің энергиясына тәуелді екенін ескертеміз. Бұл жағдайда
периодтың квадраты орбитаның сызықтық өлшемдерінің кубына пропорционал
(Кеплердің үшінші заңы).
[pic]болғанда қозғалыс инфинитті.
Егер Е>0, онда эксцентриситет е>1, яғни траектория гипербола болып
табылады, суретте көрсетілгендегідей өріс (фокус) центрі майысқан болады
(огибающей центр поля (фокус)).
Центрге дейінгі жақын қашықтық [pic], мұндағы [pic] - гиперболаның
«жартыосі».
Е =0 жағдайында, эксцентриситет е =1, ал бөлшек [pic] аз қашықтықтпен
парабола бойымен қозғалады. Бұл жағдай, егер бөлшек өз қозғалысын тыныштық
күйден бастап шексіздікке дейін жеткізсе, жүзеге асады.
а(1+е)
Тебілу өрісінде [pic] тиімді (эффективті) потенциалдық [pic] энергия, r
нолден шексіздікке дейін өзгерген кезде +[pic]-тен нолге дейін монотонды
кемиді.
Бөлшек энергиясы тек оң және және қозғалыс әрқашанда инфинитті болуы
мүмкін. Осы жағдай үшін барлық есептеулер жоғарыда келтірілгендермен дәл
бірдей (аналогичны). Траектория гипербола болып табылады (немесе Е=0
болғанда парабола болады):
[pic]
Тақырып: Күштік орталықтағы бөлшектің шашырауы (Рассеяние частиц на силовом
центре)
Екі бөлшектің серпімді соқтығысуын, яғни бөлшектің ішкі күйі өзгермейтін
соқтығысуды қарастырамыз.
Есепті жеңілдетеміз, ол үшін алдымен бөлшек массасының центрінде орналасқан
қозғалмайтын центрдің U(r) өрісіндегі массасы m бір бөлшектің ығысуы
жайындағы есепке эквивалентті есепті қарастырамыз.
[pic] [pic]
[pic]О[pic]
Орталық өрісте бөлшек траекториясы нүкте орбитасының центріне жақын
келтірілген түзуге қатысты орталық (в центральном поле) өріске симметриялы
(симметрична) (суреттегі ОА). Сондықтан орбитаның екі асимптотылары да
бірдей бұрыштармен көрсетілген түзулерді қиып өтеді. Егер бұл бұрыштарды
[pic] деп белгілесек, онда бөлшектің ауытқу бұрышы суреттен көрініп
тұрғандағыдай
[pic] (*)
ұшу кезінде центрден мимо (жанай) кетеді. [pic] бұрышы формулаға сәйкес
(жоғарыдағыға қара) мына интегралмен анықталады:
[pic], (**)
Бөлшектің шексіз оқшауланған қалпы мен центрге жақын қалпының арасында
алынған интеграл. [pic] радикал таңбасының астында тұрған өрнектің түбірі
болып табылатынын ескертеміз.
Инфинитті қозғалыс кезінде [pic] және [pic] тұрақтыларының орнына
шексіздіктегі және [pic] прицельді қашықтық деп аталатын, бөлшектің басқа
жылдамдығын [pic]енгізу ыңғайлы. Соңғысы центрден бағытқа [pic] түсірілген,
яғни күштік өріс болмаған жағдайда, бөлшек центрден жанай (мимо) өтетін
қашықтық, перпендикулярдың ұзындығын көрсетеді.
Осы шамалар арқылы энергия мен момент мына формулаларға сәйкес өрнектеледі:
[pic],
Ал (*) формуласы мынадай түр қабылдайды:
[pic] (***)
[pic] үшін өрнекті ескеріп (жоғарыдағыға қара),[pic] анықтауға болады.
Физикалық есептерде әдетте бөлшектердің жекелеген ауытқуына емес, бірдей
[pic] жылдамдықпен шашыратушы орталыққа (рассеивающий центр) түсетін бірдей
бөлшектердің тұтастай ағынының (целого пучка) шашырауына мән береді.
Ағында (пучок) әртүрлі бөлшектер әртүрлі прицелді қашықтықтарға ие болады,
және сәйкесінше әртүрлі [pic]бұрыштармен шашырайды.
[pic]-дан [pic] аралығында жатқан бұрышқа бірлік уақытта шашырайтын
бөлшектер санын dN деп белгілейміз. Өз-өзінен бұл сан, түсетін ағынның (~)
тығыздығына тәуелді болғандықтан, процестің сипатамасы үшін ыңғайлы емес.
Сондықтан мынадай қатынас енгіземіз:
[pic]
мұндағы n – ағынның көлденең қимасының бірлік ауданы арқылы бірлік уақыта
өтетін бөлшектер саны (біз, ағын өзінің барлық қимасы бойынша біртекті деп
ұйғарамыз).
Бұл қатынас аудан өлшеміне ие және де шашыраудың эффективті қимасы (немесе
жай қима) деп аталады. Ол тұтастай (всецело) шашыратушы өріс түрімен
анықталады және шашырау процесінің маңызды сипаттамасы болып табылады.
[pic] және [pic] арасындағы байланыс өзара бірмәнді деп есептейміз. Егер
шашырау бұрышы прицельді қашықтықтың монотонды кему функциясы (монотонной
убывающей функцией прицельного расстояния) болып табылса, онда бұл солай
болады. Бұл жағдайда шашырау [pic] және [pic] арасындағы бұрыштардың
берілген аралықтарында, [pic] және [pic] арасындағы анықталған
аралықтарындағы прицельді қашықтықпен ұшатын бөлшектер ғана өтеді.
Ондай бөлшектердің саны [pic] және [pic] радиусты дөңгелектер арасындағы
сақина ауданына туындысына тең, яғни [pic]. Сондықтан эффективті аудан
мынаған тең:
[pic]
Эффективті ауданның шашырау бұрышына тәуелділігін анықтау үшін, бұл өрнекті
мынадай түрде жазу жеткілікті:
[pic] (****)
Біз мұнда [pic] туындының абсольютті мәнін, теріс болуы мүмкін дегенді
ескеріп жазамыз. Көбіне [pic] жазық бұрыш [pic] элементіне емес, денелік
бұрыш элементіне [pic] жатқызады. (Телесный угол между конусами с углами
раствора [pic] есть [pic] ). Сондықтан
[pic]
Қозғалыстағы күштік өрістегі емес бөлшектер ағыныны шашырауының физикалық
есебіне емес, ал басқа алғашқы тыныштықтағы бөлшек есебіне келе отырып, біз
(****) формула «масса центрі» санақ жүйесіндегі шашырау бұрышына
тәуелділіктегі эффективті қиманы анықтайды деп айта аламыз.
[pic] шашырау бұрышына тәуелділіктегі шашыраудың эффективті қимасын табу
үшін лабораториялық санақ жүйесінде осы формуладан [pic]-ны [pic] арқылы
өрнектеу керек. Мұнда түскен бөлшек ағанының шашырау қимасы үшін де ([pic],
[pic]-арқылы өрнектелген), сол сияқты алғашқы тыныштықтағы бөлшек үшін де
([pic],[pic]-арқылы өрнектелген) өрнек алынады.
Тақырып: Резерфорд формуласы
Кулон заңы бойынша әсерлесетін, спинсіз зарядталған бөлшек шашырауын
қарастырайық. Бұл жағдайда [pic]
Массасы [pic], заряды [pic] және жылдамдығы [pic] біртекті бөлшектер ағыны
қандайда бір алғашында тыныштықта болатын массасы [pic] және заряды [pic]
(бұл жағдайда [pic] тұрақты, мынаған тең [pic][pic]) зарядтар жиынтығына
түссін.
Алдымен Ц-жүйедегі кулондық шашыраудың дифференциалдық қимасын есептейміз.
Ол үшін (жоғарыдан қара) формулаларды пайдаланамыз:
[pic]
Жаңа айнымалыларға көшеміз [pic] онда [pic]
Бірақ біз кестелік интеграл алдық, оның мәні мынаған тең
0
[pic]x[pic]=[pic]
бұдан
[pic].
Бұл теңдікті тригонометриялық қатынаспен салыстырамыз:
[pic].
Сонда
[pic].
Бұл теңдеуді [pic] бұрышы бойынша дифференциалдап және алынған нәтижені Ц-
санақ жүйесіндегі кулондық шашыраудың эффективті қимасы үшін формуласына
қойып, мынаны аламыз: [pic]
Сонымен, Резерфордтың белгілі формуласы алынды.
Формуладан кулондық шашыраудың дифференциалдық қимасы бөлшектер бір-біріне
тартыла ма немесе тебіле ме [pic], осы екі жағдайда да әсерлесуші
бөлшектердің траекториясы әртүрлі болғанына қарамастан, байланысты емес
екенін көрсетеді.
Кулондық шашыраудың ерекше сипаттамасы аз бұрыштардағы: [pic] болғанда
дифференциалдық қиманың [pic] өзі және де оның бірінші туындысы сияқты
шексіздікке айналады, бөлшектердің шашырауы үшін дифференциалдық қиманың
өте жылдам өсуі болып табылады. Бұл кері шашырайтын бөлшектер бөлігінің
(доля) (немесе өте үлкен бұрыштарға) өте аз және шашыраудың толық қимасы –
шексіз үлкен екені көрсетеді. Шынында да, [pic] өрнекті [pic] барлық
мәндері бойынша 0-ден [pic]-ге дейін интегралдап, мынаны табамыз:
[pic] =[pic]
Енді Л-санақ жүйесіне көшеміз, мынадай жағдайларды қарастырамыз
(ограничиваясь рассмотрением наиболее интересных случаев): 1) [pic]
1) Бұл жағдайда Резерфорд формуласына айырбас енгізу жеткідікті (в этом
случае в формуле Резерфорда достаточно произвести замену) [pic]
Нәтижесінде аламыз:
[pic]
Бұл кезде эффективті қима [pic] бөлшектер – тыныштықта және соқтығыстан
кейін қала берді.
2) Егер [pic]. [pic] бұрышының [pic] шашырау бұрышымен алғашқыда
тыныштықта болатын ұшатын бөлшектердің [pic] беру бұрышытарының байланысы
мынадай қатынаспен анықталады: [pic] Онда
[pic]
Егер бөлшектер ажыратылмайтын болса (альфа-бөлшектер гелий атымында
шашырайды), онда [pic] Мұндай процесте бөлшектердің жиынтығын, олардың
ажыратылмайтындығын ескеру керек болғандықтан, бұны тәжірибе мұны
бекітпейді.
Ц – санақ жүйесі.
[pic]
[pic]
[pic][pic] [pic]
[pic]
[pic]
Ц-санақ жүйесінде соқтығысатын бөлшектер біртұтас ретінде тынышталады.
Импульстің сақталу заңынан ұшатын бөлшектер мипульстары соқығысқанға дейін
де, сондай-ақ соқтығысқаннан кейін де сәйкесінше бір-біріне тең болады:
[pic]
[pic] бұрышы Ц-санақ жүйесіндегі шашырау бұрышы деп аталады, бұл шашырау
бұрышы 0-ден [pic]-ге дейін өзгере алады.
| | Шашырау [pic]және беру (угла отдачи) |
| |[pic]бұрыштарын енгізе отырып, соқтығысу |
| |диаграммасын тұрғызамыз. Дөңгелек радиусы [pic], |
| |Ц-санақ жүйесіндегі соқтығысқанға дейінгі [pic] |
| |ұшатын бөлшектердің жылдамдық мәніне сан жағынан |
| |тең: |
[pic]
Радиусы [pic] жарты дөңгелек, сол санақ жүйесіндегі соқтығысқанға дейінгі
[pic] бөлшектердің жылдамдық мәніне сан жағынан тең:
[pic]
Берілген [pic], О және А нүктелерінің қалпы диаграммада қатаң түрде
фиксирленген, сол уақытта В және С нүктелері [pic] дөңгелектерінде ([pic]
бұрышына тәуелділікте) кез-келген қалыпқа ие болуы мүмкін. ОДБ және ДАВ
ұшбұрыштарынан [pic]және [pic]бұрыштарын Ц-СЖ-гі [pic]шашырау бұрышымен
байланыстыратын формулаларды құрамыз:
[pic]
Кез-келген соғуда [pic] шашырау бұрышы [pic], ал беру бұрышы (угол отдачи)
[pic] Бұл қабырғалық соғудан кейін (после лобового удара) ұшатын бөлшек
[pic] кері бағытта қозғалатынын, ал алғашқы тыныштықтағы бөлшек [pic] алға
қарай «беруді» (получает «отдачу» вперед) алатынын білдіреді. [pic]
бұрыштардың қосындысы соқтығысудан кейіні ажырау бұрышы (углом разлета) деп
аталады. Тақырып: Инерциалдық емес санақ жүйесіндегі қозғалыс (ИЕСЖ)
Осы уақытқа дейін материалдық нүктелер қозғалысы бір сансыз инерциалдық
санақ жүйесінде қарастырылып келді. Ондай ИСЖ-де материалдық нүктенің
қозғалыс теңдеуі Ньютонның екінші заңын өрнектейтін теңдеу болып табылады.
Оны мынадай түрде жазамыз:
[pic] (*)
мұндағы «абс» индексі ИСЖ-н анықтайды.
Енді есепті қоямыз: ИЕСЖ-де материалдық нүктенің қозғалыс теңдеуін анықтау
керек. ИЕСЖ-сі ИСЖ-не қатысты үдемелі қозғалады. Есеп ИСЖ-нен кез-келген
ИЕСЖ-не өткенде үдеу мен күштің түрлену заңдарын тағайындауға саяды. ИСЖ-не
қатысты дене қозғалысы ИЕСЖ-не қатысты салыстырмалы қозғалысы және ИЕСЖ-мен
бірге көшпелі қозғалысты қосылады.
z M
[pic] [pic]
y
[pic]-ИСЖ-нің басы, О–қозғалыстағы СЖ-нің басы, кез-келген уақыт мезетінде
мына шарт орындалады:
[pic]
Бұдан [pic]
«О» СЖ ілгерілемелі қозғалысты қарастырамыз. Бұл жағдайда [pic] және [pic]
көшпелі жылдамдық және үдеу (переносными скоростями и ускорениями) болып
табылады, сәйкесінше [pic]және [pic]- салыстырмалы жылдамдық пен үдеу.
[pic]
Абсолютті үдеудің мәнін (*) формулаға қоямыз:
[pic].
Бұл материалдық нүкенің салыстырмалы қозғалысының теңдеуі болып табылады.
Бұл теңдеудің оң бөлігін формалды түрде қозғалыстағы СЖ-дегі материалдық
нүктеге әсер ететін қандай-да бір «күш» ретінде қарастыруға болады. Бұл
кезде «күш» денелердің әсерлесу нәтижесі (бұл Ньютон механикасында
анықталатындағыдай) болуы қажетті шарт емес.
Классикалық физикада күш өзара әсерлесуші бөлшектердің қашықтығына немесе
олардың жылдамдықтарының айырмасына тәуелді болғандықтан инвариант болып
табылады. Ал бұл шамалар классикалық механикада инварианттар болып
табылады.
Енді «О» СЖ-гі еркін қозғалысты қарастырамыз. Бұл қозғалысты екіге
ажыратамыз: жылдамдығы «О» СЖ-нің қозғалыс басына тең жылдамдығы [pic]
ілгерілемелі қозғалыс және [pic]бұрыштық жылдамдықпен басы арқылы өтетін
ілездік остің маңындағы айналмалы қозғалыс.
Жанама (искомого ускорения) үдеу үшін біз төмендегі өрнекті алған
болатынбыз:
[pic] (*)
Егер «О» ИЕСЖ-де материалдық нүкте қозғалыссыз болатын болса, онда ол осы
СЖ-де тек үдеуге [pic] ғана ие болған болар еді.
(*)-формуласы Кориолис теоремасы деп аталады.
[pic] - центрге тартқыш үдеу болып табылады және (мгновенной оси вращения)
лездік айналу осіне бағытталады. Шынында:
[pic]
Қозғалыс теңдеуін құрамыз
[pic]
Аламыз:
[pic]
Күшке [pic] екі инерция күші қосылады: кориолистік күш
[pic]
Және көшпелі инерция күші (переносная сила инерции):
[pic].
Бірінші қосынды – бұл көшпелі инерция күші, екнші қосынды – центрден тепкіш
инерция күші (центробежная сила инерции).
Инерцияның Кориолистік күші айналмалы санақ жүйесінде, егер дене осы санақ
жүйесіне қатысты қозғалса, пайда болады ([pic]). Бұл күш салыстырмалы
жылдамдыққа перпендикуляр, сондықтан салыстырмалы қозғалыс кезінде ол жұмыс
жасамайды.
Салыстырмалылқтың жалпы теориясында (СЖТ) инерция күштері мен гравитация
күштерінің эквиваленттілік принципі енгізіледі.
Лармор теоремасы
ИЕСЖ-дегі қозғалыс мысалы ретінде сыртқы магнит өрісіне [pic] орналасқан
атомдағы электронның қозғалысын қарастырамыз. Электронның орбиталды
механикалық момент мен орбиталды магнит моментінің арасындағы байланысты
орнатамыз. Магнитті момент былайша анықталады:
[pic], мұндағы [pic], [pic]
Онда [pic]
Бірақ [pic] - [pic]электронның қозғалыс мөлшерінің моменті.
Сонымен, [pic]
[pic] қатынас гиромагнитті сан деп аталады. Электронда оның орбиталды
қозғалысында [pic]және [pic][pic]векторлары қарама-қарсы жаққа бағытталған.
Бұл электрон зарядының таңбасымен байланысты.
Сыртқы магнит өрісінде атомның (электронның) магниттік моменті өріс бойынша
да, сондай-ақ оған қарсы да бағытталуы (ориентироваться) керек
(флуктуациялық процестер күшінде). Бірақ, механикалық моментпен байланысты
магнитті момент сыртқы магнит өрісінің бағытының маңында прецессировать
(прецессировать) етеді. Әрине, моменттермен бірге электрон орбитасы да
прецессировать (прецессировать) етеді.
Электрон орбитасымен бірге прецессировать (прецессировать) ететін
қозғалмалы санақ жүйесін енгіземіз. Осы санақ жүйесінде прецессия
жылдамдығын анықтаймыз. Прецессияның бұрыштық жылдамдығы
[pic][pic][pic][pic],қозғалмайтын және қозғалыстағы санақ жүйелеріндегі
электронның жылдамдығы сәйкесінше - [pic] және [pic] болсын. Қозғалыстағы
санақ жүйесінде электронға (добавочные силы) күштер әсер етеді: центрден
тепкіш инерция күші (центробежная сила инерции) [pic] және кориолистік күш
[pic]. Электронға прецессиялық қозғалыс беретін сызықтық жылдамдық
прецессия болмаған жағдайда, яғни [pic], орбиталдық жылдамдықпен
салыстырғанда аз деп есептеп, біздің кориолистік күшпен салыстырғанда
центрден тепкіш күшті ескермеуімізге болады. Сол ұйғарымда (в том же
приближении) кориолистік күште [pic]-ты [pic]-ға алмастыруға (можно сделать
замену) жасауға болады:
[pic].
Екінші жағынан магнит өрісінде электронға Лоренц күші әсер етеді: [pic].
Прецессия осі [pic] магнит индукция векторына парпллель болғандықтан, бұл
екі күш бір-біріне тікелей (прямо) қарама-қарсы әсер етеді. Сондықтан,
орбита өзінің өлшемдері мен формасын сақтауы үшін, олар бір-біріне сан
бойынша тең болулары керек.
Сонымен: [pic]
Магнит өрісінің электрон орбитасына әсерін [pic] бұрыштық жылдамдықпен
прецессия орбитасына әсерімен сәйкес келтіруге болады. (Действие магнитного
поля на электронную орбиту можно свести к сообщению этой орбите прецессию с
угловой скоростью [pic]). Лармор теоремасының мәні дәл осында.
Аналитикалық механиканың негіздері
Механиканың негізгі есептерін шешу кезінде біз, И.Ньютон жасаған
әдісті пайдаландық. Классикалық механиканың кейінгі дамуы механикалық
есептерді шешудің жаңа әдістерін әкелді. Олардың жалғасымдылықпен бір
қатарын қарастырайық.
Тақырып: Байланыстар. Виртуальды орынауыстыру (Виртуальные перемещения).
Даламбер принципі
Бірнеше анықтама енгізу ыңғайлы.
Егер материалдық нүктелер қозғалысы сыртқы денелермен шектелсе, онда
қозғалыстарды шектейтін күштер байланыс күштері деп аталады. Егер байланыс
дифференциалдық теңдеулермен берілсе, онда ондай байланыс голономды деп
аталады. Ондай байланыс стационар (уақытқа тәуелді (байланысты) болмайтын)
және стационар емес болуы мүмкін. Егер байланыс тек координат пен уақытқа
ғана емес сондай-ақ жылдамдыққа да байланысты болса, онда ондай байланыс
голономды емес деп аталады. Әрбір байланыс материалдық нүктенің еркіндік
дәрежесін кішірейтеді (азайтады).
Егер материалдық нүкте қозғалатын орынауыстыратын) жазықтық, идеал жұмсақ
(гладкая) болса, онда байланыс идеал деп аталады. Бұл жағдайда, материалдық
нүкте қозғалысы кезінде байланыс күштеріне қарсы (олар жоқ) жұмыс
жасалмайды.
Реал күштердің орнына материалдық нүктелер қозғалысын қарастырған кезде
байланыстар олардың [pic] күштеріне эквивалент енгізіледі. Бұл процесс
байланыстардан босау (освобождаемости от связей) принцпі деген атау алған.
Материалдық нүктелерге түсірідлетін қосымша күштер (добавочные силы) [pic]
, байланыс реакциялары деп аталады. Бұл жағдайда материалдық нүкте бос
(свободной) деп есептеледі және қозғалыс теңдеуі қарапайым (обычный вид)
түр қабылдайды:
[pic]
Егер [pic] және матреиалдық нүкте қозғалмаса, онда [pic] күштер қозғалыс
тудыра алмайды (бұл күштер материалдық нүктелердің қозғалысы кезінде пайда
болады). Байланыс күштері пасивті күштер болып табылады.
Жоғарыда бір материалдық нүкте үшін анықталғандардың барлығы матреиалдық
нүктелер жүйесі үшін де дұрыс (ақиқат). [pic] байланыстар үшін m теңдеу
құруға болады:
[pic] (*)
[pic]бөлшектерден тұратын материалдық нүктелер жүйесі[pic]еркіндік
дәрежесіне ие болады.
Виртуалдық орынауыстыру жайындағы – бұл материалдық нүктелер жүйесінің
шексіз аз орынауыстыруы (сонымен бірге мұнда уақытқа тәуелділігі жоқ) –
ұғымды енгіземіз. [pic] бөлшектің виртуалды орын ауыстыруымен бірге, оның
[pic]- координат вариациялары, проекцияларын да қарастыруға болады.
Виртуальды орынауыстыру – бұл заң бойынша, байланыстар беретін ұйғарымды
орынауыстыру.
Олардың табылуы үшін (мысал үшін) ([pic]) тіркелген уақыт кезіндегі (*)
теңдеулер жүйесінің бірінен вариация құрамыз:
[pic]
Варьирленген функцияны Тейлор қатарына жіктейміз және алғашқы екі мүшемен
шектелеміз. Әртүрлі таңбалы ұқсас мүшелерді қысқартқаннан кейін, мынаны
аламыз:
[pic]=0.
Мұндай вариацияны (*) барлық теңдеулер жүйесі үшін құруға болады. Әрине,
тәуелсіз вариациялар[pic] болады, яғни N материалдық бөлшектер жүйесінің
еркіндік дәрежесі қанша болса, сонша.
Егер материалдық нүктелер жүйесі тепе-теңдікте болса, онда идаел
байланыстар кезінде жүйеге түсірілген жұмыстар қосындысы, байланыс
реакциялары сияқты нолге тең деп ұйғаруымызға болады. Бұл тұжырым
аиртуальды орынауыстыру принципі деп аталады.
Материалдық нүктелер қозғалысы теңдеуіне байланыстардың реакция күштерін
енгіземіз. Сонымен біз, тепе-теңдік күйде материалдық нүктелердің еркін
емес қозғалысына айналдырамыз:
[pic] (**)
Даламбердің инерция күші деп аталады.
(**) теңдеу тепе-теңдік күйдің негізгі теңдеуі болып табылады. Материалдық
нүктенің қозғалыс теңдеуінің мұндай формасы Даламбер принципі деп аталады.
Ол: егер берілген күштер мен байланыс реакциясы күштеріне инерция күштеріне
[pic] тең күштерді қосса, онда алынған теңдеу материалдық нүктелердің тепе-
теңдік шарты болады деп ұйғарды. Даламбер принципі материалдық нүктелердің
динамикалық қозғалысы жайындағы есепті статика есептеріне тағыстыруға
мүмкіндік береді. Дәл осы Даламбер принципінің мәні болып табылады.
Егер (**) теңдеуінің мүшлерін виртуальды орынауыстыруға [pic] көбейтсе,
және реакция күшінің жұмысын алып тастаса (ол нолге тең), онда теңдеу
мынадай түр қабылдайды:
[pic] (***)
(***) теңдеу механиканың жалпы теңдеуі деп аталады.
Тақырып: Лагранж әдісі
Механикалық жүйе күйін сипаттау үшін жүйе бөлшектерінің жылдамдықтары
мен координаттарын ғана беру керек емес. Ондай шамалар жалпыланған
координаттар деген атау алған (Такие величины получили название обобщенных
координат и сопряженных им обобщенных скоростей). Жүйе [pic] бөлшектерден
тұрсын, жалпыланған координат sN болуы керек, сәйкесінше жалпылданған
жылдамдық та sN болады, мұндағы s-жүйе бөлшектерінің еркіндік дәреже саны
(еркіндік дәреже саны деп айнымалыларға тәуелді емес, бөлшек қалпын анықтау
үшін беру қажет немесе жалпыланған жылдамдық және жалпыланған координат
кеңістігіндегі бөлшектер жүйесінің санын айтады). Бір бөлшектің бірөлшемді
қозғалысы жағдайында оның күйін сипаттау үшін бір жалпыланған координат (х)
және бір жалпыланған жылдамдық беру жеткілікті. Жалпыланған координат пен
жалпыланған жылдамдықты байланыстыратын налитикалық қатынас қозғалыс
теңдеулері деп аталады.
Лагранж әдісін практикалық тұрғыдан қолдану үшін жалпыланған координат,
жылдамдық және уақыт функциясы ретінде, ең аз әсер деп аталатын принципті
(Гамильтон принципін) пайдаланып, L Лагранж функциясын құру қажет:
[pic]
Ең аз әсер принципіне сәйкес [pic] уақыт мезетіндегі әсер деп еталатын
шама:
[pic] (*)
механикалық жүйенің екі күйі үшін ең аз мәнге (минимал) ие болады.
Жүйенің бір еркіндік дәрежесі болатын қарапайым жағдай үшін Лагранж
теңдеуін құрамыз. Біздің есептің шешімі болып табылатын, [pic] функциясын
анықтадық деп ұйғарамыз, ол S функциясының әсерін минималдандырады. Егер
q(t) функциясын [pic] алмастырса, онда S өседі. [pic] шамасын вариация деп
атаймыз, анықтама бойынша [pic] уақыт мезетінде вариация жоғалып кетуі
керек: [pic]. (**)
[pic] -ды [pic]-ға алмастырғандағы S функциясының өзгерісін анықтаймыз:
[pic]=
Бірінші интегралдың интеграл астындағы өрнегін Тейлор қатарына жіктеп және
жіктеудің алғашқы екі мүшесімен шектеліп, мынаны аламыз:
[pic]
Әсер вариация функциясының нолге тең болуы ең аз әсер функциясына
негізделген.
Варьирлеуді жүргізіп, мынаны аламыз (Производя варьирование, получаем):
[pic]
Мұнда формалды түрде екі интеграл. [pic] ескеріп, екінші интегралды
бөліктер бойынша аламыз (возьмем второй интеграл по частям):
[pic]
(**) ескеріп, бірінші қосындыны бостамыз (Учитывая (**), опускаем первое
слагаемое). [pic] кезінде, егер интеграл астындағы өрнек нолге тең болса,
екінші интеграл нолге тең бола алады. Сонымен біз Лагранж теңдеуін аламыз:
[pic]
Егер жүйе s еркіндік дәрежесіне ие болса, онда біз әрбір еркіндік дәрежесі
үшін аналогиялық теңдеулер аламыз. Бұл дифференциалдық теңдеулер жүйесін
шешу үшін бастапқы шарттарды беру керек. Есептің жалпы шешімі 2s ерркін екі
тұрақтыдан тұрады. (*)-ға сәйкес енгізілген Лагранж функциясы материалдық
нүктелер күйін (немесе материалдық нүктелер жүйесін)қандай да бір жылдамдық
және координат функциясынан толық туындыға дейінгі дәлдікпен анықтайды деп
ескереміз. Мұны дәлелдеуге болады, бірақ біз мұны пастулат ретінде
қабылдамыз. Сонымен бірге, Лагранж функциясы аддитивтілік қасиетке ие. Егер
Лагранж функциясын өзара әсерлеспейтін екі бөлшек ретінде қарастырсақ, мұны
дәлелдеу қиын емес. Сонымен бірге, оны қандайда бір тұрақты көбейткішке
көбейтсек (Лагранж теңдеуін құру барысында бұл тұрақты қысқарып кетеді) бұл
функцияның мағынасы өзгермейді.
Еркін бөлшек үшін Лагранж функциясын тұрғызу
Лагранж функциясы енгізілмейді, ал жалпы физикалық талаптарға (мысалы,
салыстырмалық принципінен), уақыт және кеңістік қасиеттеріне, және есептің
нақты шарттарына байланысты тұрғызылады.
Егер материалы бөлшекке сыртқы күштер әсер етпесе, онда материалды бөлшек
еркін деп есептеледі. Жазықтық біртекті және изотропты, ал уақыт – біртекті
екендігін пайдаланамыз. Сонда Лагранж функциясы берілген есепте материалды
нүкте қалпының радиус-векторына да, уақытқа да тәуелді болмауы керек.
Сондай-ақ, жылдамдық бағытына тәуелді болмауы үшін, жылдамдыққа тәуелділік
~[pic]болуы керек. Функцияның түрі мынадай болады (Наиболее очевидный вид
функции будет такой):
[pic]
Галилейдің салыстырмалылық принципінің талабы бізге басқа кез-келген ИСЖ-де
осы функциясының түрін береді:
[pic]
Лагранж функциясы тұрақты көбейткіш дәлдігіне дейін анықталатындықтан,
еркін материалдық нүкте үшін мынадай түр таңдауға болады:
[pic],
[pic] тұрақтыны мынадай [pic]түрде аламыз. Мұндай таңдаудың дұрыстығы нақты
есептерді шығару кезінде дәлелденеді. [pic] шамасын материалдық нүкте
массасы деп атаймыз.
Олай болса, еркін материалдық нүкте үшін Лагранж функциясы былайша
жазылады:
[pic].
Еркін материалдық нүктелер жүйесі үшін Лагранж функциясын, оның
аддитивтілік күшінде былайша жазамыз:
[pic]
Әртүрлі түзібұрышты координаттарда еркін материалдық нүктелер үшін
тұрғызылған Лагранж функциясын жазамыз.
Декарттық координаттарда:
[pic]
полярлық координаттарда:
[pic]
сфералық координаттарда:
[pic]
Тақырып: Бірөлшемді гармоникалық осциллятор
Материалдық нүктенің тепе-теңдік маңында аз (амплитудаасы бойынша)
тербелісін қарастырамыз. Бұл қозғалыс финитті болады. Материалдық нүкте бір
еркіндік дәрежесіне ие болады. Материалдық нүкте қозғалысын [pic] бір
координатамен және бір кордината осінің жылдамдығының [pic] проекциясымен
сипаттауға (жазуға) болады. Материалдық нүктенің финиттік қозғалысы
механикалық энергияның сақталу заңының орындалуына алып келеді:
[pic]
Айналу нүктелерінде Т=0 , сондықтан [pic]. Егер тепе-теңдік қалпына
потенциалдық энергия нолге тең (условие нормировки) деп қабылдасақ, онда
бұл қалыпта кинетикалық энергия осциллятордың толық энергиясына тең
максимал мәнді қабылдайды. Қозғалыс теңдеуін табу (анықтау) үшін Лагранж
әдісін қолданамыз.
Лагранж функциясын құрамыз:
[pic]
Лагранж формасындағы осциллятордың қозғалысының дифференциалдық теңдеуінің
түрі былайша жазылады:
[pic]
Мынадай белгілеулер енгіземіз: [pic]мұндағы [pic]-циклдік жиілік
(өлшемділік әдісін қолданып, оны оңай тексеруге болады).
Гармоникалық осциллятор қозғалысының дифференциалдық теңдеуінің шешуі
[pic]
[pic] (*)
Мынадай функция түрінде болады:
[pic]
Интегралду тұрақтылары [pic] және [pic] тригонометрия формуласы бойынша
[pic] және [pic] тұрақтылары арқылы анықталады:
[pic][pic]
А тұрақтысы тербеліс амплитудасы болып табылады, [pic]-тербелістің бастапқы
фазасы. (*) теңдеуімен анықталатын қозғалыс, қарапайым гармоникалық
тербеліс болып табылады, осындай қозғалыс жасайтын материалдық нүкте
гармоникалық осциллятор деп аталады.
Гармоникалық осциллятор қозғалысының траекториясын фазалық кеңістікте,
материалдық нүкте координата және сәйкесінше жылдамдықпен (импульспен)
анықталатын кеңістік, кескіндеуге болады.
Мына айнымалыларда осциллятордың толық энергиясы үшін өрнек құрамыз:
[pic]
Бұл теңдеуді былайша жазамыз:
[pic]
Бұл теңдеуді эллипис теңдеуімен салыстырамыз:
[pic]
Соңғы екі формуланы салыстырудан, p,q остерінде гармоникалық
осциллятордың фазалық траекториясы жарты a және b ості эллипс болып
табылады деп айтуға болады. Эллипс ауданы мына формула бойынша анықталатыны
белгілі:
[pic] [pic]- сызықтық жиілік.
Алынған теңдеуден, осциллятордың фазалық траекториясының өлшемі оның
энергиясы сияқты және тербеліс жиілігі сияқты анықталатыны шығады.
Тақырып: Бірнеше еркіндік дәрежесі бар материалдық нүктелер жүйесінің
тербелісі
Берілген бұл есеп алдыңғы есепті жалпылайды. Топталған (ождественных) екі
материалдық нүктенің тербелмелі қозғалысын қарастырамыз. Бұрынғыдай аз
тербеліспен шектелеміз. Бірақ, бірыңғай жүйе құрайтын бөлшектер энергиясы
жалпыланған координаттар мен екі бөлшектің де жылдамдықтарының функциясы
болатынын ескеру керек:
[pic]
Лагранж әдісін қолданып, қозғалыс теңдеуін құрамыз. Екі материалдық
нүктенің Лагранж функциясының түрін мынадай:
[pic].
Онда әрбір тербелетін нүктенің Лагранж теңдеуі [pic] былайша жазылады:
[pic]
Шешімді келесі функция түрінде табамыз:
[pic]
Бұл функцияны алдыңғы теңдеулер жүйесіне қойып, нетривиальды шешімі бар
теңдеулер жүйесін аламыз, егер [pic] шамасы кезіндегі коэффициенттерден
құрылған анықтауыш нолге тең болса:
[pic][pic] =0 (*)
(*) теңдеу сипаттамалық (характеристическим) немесе ғасырлық (вековым) деп
аталады. Ол жиілікпен салыстырғанда биквадратты. Бірақ маңызды
(вещественных решений) шешім екеу болады:[pic], олардың саны әрқашан
тербелмелі бөлшек жүйесінің еркіндік дәрежесінің санына тең. Жиілікті таба
отырып, сосын [pic] және [pic]координаттарды табамыз:
[pic]
Шешімнің түрінен алдыңғы есептен осы есептің айырмашылығын көресететін жаңа
нәрсе шығатыны көрсетеді: екі бөлшек жүйесінің гармоникалық тербелісі бір-
біріне қосындысы (наложение) өтеді.
Тақарып: Өзара әсерлесетін материалдық бөлшектер жүйесі үшін Лагранжа
функциясы (ӨМБЖ)
Тұйық ӨМБЖ бар болсын. Бұл бөлшектер өзара әсерлесетінін білдіреді,
бірақ сыртқы денелермен әсерлесу жоқ. Уақыт әсерлесу функциясына кірмейді,
яғни бұл функция тек бөлшектер арасындағы қашықтыққа ғана тәуелді. Олардың
біреуінің ығысуы сол мезетте-ақ әсерлесудің өзгеруін тудырады. Бұл
әсерлесуді (ақпаратты) беруге қажетті шексіз жылдам сигналдың болуына,
классикалық механика негізделген алыстан әсер ету принципіне сәйкес келеді.
Сонымен, ӨМБЖ үшін Лагранж функциясын мынадай түрде жазамыз:
[pic] (*)
Бірінші қосынды ӨМБЖ –ның кинетикалық энергиясы деп, ал екіншісі олардың
өзара әсерлесуінің потенциалдық энергиясы деп аталады. (*) ескеріп, ӨМБЖ
қозғалыс теңдеуін құрамыз:
[pic]
[pic] шамасы i шамасы әсер ететін күшті көрсетеді. Біз Ньютонның екінші
заңының формуласын алдық. Егер теңдіктің оң бөлігі материалдық нүктелер
жылдамдығына тәуелді болмаса, онда сол жағы да, яғни үдеу жылдамдыққа
тәуелді болмайды. Жүйеге (А) сыртқы денені ойша оны бір (В) денесімен
алмастырып, қосып есепті күрделілендіреміз. Аддитивтілік күшінде Лагранж
функциясын былайша жазуға болады:
[pic] (***)
Егер денелердің күйі уақыт бойынша өзгерсе, онда Лагранж функциясы уақытқа
тәуелді болады.
Бір бөлшек үшін Лагранж функциясын мынадай түрде құруға болады:
[pic]
Және сәйкесінше, қозғалыс теңдеуі:
[pic]
Біртекті өріс жағдайында (F=Const) потенциалдық энергия мына формула
бойынша анықталады:
[pic]
Тақырып: Гамильтон функциясы. Гамильтон теңдеуі.
Лагранж функциясын біз жалпыланған координат және жалпыланған
жылдамдық функциясы ретінде анықтадық. Лагранж теңдеуі екінші реттік
дифференциалдық теңдеу болып табылады және оның шешімі 2s интегралдау
тұрақтысын қамтиды. Материалдық нүкте қозғалысын сипаттау үшін бірінші
реттік дифференциалдық теңдеу құруға болады екен. Бірақ, ол үшін айнымалы
ретінде [pic] жалпыланған координаттар мен [pic] жалпыланған импульстарды
алу қажет.
Бұны көрсетейік. Лагранж функциясынан толық дифференциал құрамыз:
[pic] (*)
Лагранж теңдеулерінің күшінде (в силу уравнений Лагранжа).
(*)-дегі екінші қосындыны түрлендіреміз:
[pic]
Сонда (*) былайша жазылады:
[pic]
Дифференциал таңбасының астынана сол жағында жүйенің толық энергиясы тұр
(Слева под знаком дифференциала стоит полная энергия системы). Берілген
есепте оны Гамильтон функциясы деп атайды және былайша H(p,q,t) белгілейді:
[pic]
Сонда: [pic]
Бұл өрнек сол мезетте-ақ Гамильтон теңдеулері деп аталатын дифференциалдық
теңдеулерді алуға мүмкіндік береді. Екінші реттік дифференциалдық теңдеулер
ждеп аталатын Лагранж теңдеулерінен оның айырмашылығы Гамильтон теңдеулері
бірінші текті:
[pic]
Ондай теңдеулердің саны 2s, 2s үшін белгісіз шамалар [pic]
Гамильтон функциясынан уақыт бойынша толық туынды (производную) құрамыз:
[pic].
Егер Гамильтон теңдеулерін қолдансақ, онда мынаны аламыз:
[pic]
Егер Гамильтон функциясы уақытқа тәуелді болмаса, онда соңғы теңдеуден
жүйенің толық энергиясы өзгермейтіндігі шығады. Біз механикалық энергияның
сақталу заңын алдық.
Тақырып: Пуассон жақшалары
Қандай да бір координатар, импульстар және уақыттар функцияларын
қарастырайық [pic] Одан уақыт бойныша толық туынды құрайық (производную):
[pic].
Гамильтон теңдеулерін пайдаланамыз және екінші мүшені түрлендіреміз:
[pic].
Түрлендірілген екінші мүшенің символдық жазбасы Пуассон жақшасы деп
аталады.
Егер Ф функциясы қозғалыс интегралы болып табылса, онда [pic] және
Пуассон жақшасы да нолге тең. Онда келесі ережені тұжырымдауға болады: Егер
уақытқа тәуелді емес қандай да бір функция Пуассон жақшасын нолге
айналдырса, онда бұл функция қозғалыс интегралы болып табылады. Пуассон
жақшасын ендірудің мағынасы осында.
Тек жүйеде белгілі бір [pic] қозғалыс интегралдарының саны болатынын ескеру
керек, мұндағы s-еркіндік дәреже саны. Сондықтан тұжырымдалған ереже
әруақытта қозғалыстың жаңа интегралын бермейді (поэтому не всегда
сформулированное правило дает новый интеграл движения).
Тақырып: Тұтас ортамеханикасының негіздері
Материалдық нүкте механикасы және қатты дене механикасынан басқа тағы да
тұтас орта механикасы да бар. Бұл ғылым гидродинамиканы, газдық динамиканы,
серпімділік теориясын және затты үзіліссіз орта ретінде қарастыратын
бірқатар пәндерді қамтиды. Гидродинамика сығылмайтын сұйықтар қозғалысын
және сығылмайтын сұйықтардың қаты денелермен әсерлесуін көрсететін
механиканың бөлімі.
Сұйық крисстал және газ арасындағы аралық қалыпты алады. Сұйық толықтай
изоторпты. Сұйықтың қозғалысын Эйлер әдісімен сипатау тәсілі: сұйықтың
бөлшектерін қадағалауды емес, кеңістіктің жекелеген нүктелерін қадағалауға
және сұйықтың жекелеген бөлшектерінің әрбір берілген нүкте арқылы өтетін
жылдамдықты белгілеуге мүмкіндік береді. Кеңістіктің әрбір нүктесі үшін
жылдамдық векторын уақыт функциясы ретінде көрсетіп сұйықтың қозғалыс күйін
анықтауға болады.
Жылдамдықтар векторының өрісі. Ток сызықтары. Стационар ағыс. Ток түтігі
(трубкасы).
Егер сұйық сығылмайтын болса (яғни оның тығыздығы барлық жерде бірдей
және өзгере алмайды), онда S1 және S2 (1-сурет) қималары арасындағы сұйық
мөлшері өзгеріссіз қалады. Бұдан, S1 және S2 қималары арқылы бірлік уақытта
өтетін сұйықтың көлемі бірдей болуы керектігі шығады:
S1v1=S2v2 .
[pic]
1-сурет.
Жоғарыда келтірілген ұйғарым кез-келген S1 және S2 қималар жұбына
қолданылады. Сондықтан, сығылмайтын сұйық үшін Sv шамасы ток түтікшесінің
кез-келген қимасында бірдей болуы керек:
[pic]=const. (1)
Алынған нәтиже үзілісіз ағыс жайындағы теореманың мазмұынын береді.
Массаның сақталу заңы.
Сұйықтардың қозғалысын қарастыра отырып, көптеген жағдайларда сұйықтың
бір бөлігінің басқа бөлігімен салыстрығанда орынауыстыруы үйкеліс күшінің
пайда болуымен байланысты емес деп есептеуге болады. Толықтай ішкі үйкелісі
(тұтқыр емес) жоқ сұйық идеал сұйық деп аталады. Стационар ағатын идеал
сығылмайтын сұйықтың кез-келген ток сызығының бойында мына шарт орындалады
(в стационарно текущей несжимаемой идеальной жидкости вдоль любой линии
тока выполняется условие):
[pic], (2)
мұндағы [pic] – динамикалық қысым: жылдамдықтық (скоростной
(динамикалық) напор;
[pic] – гидростатикалық (нивелирное) қысым;
p – статикалық қысым (ағын денесінің бетіндегі сұйықтың қысымы).
Бұл формула Бернулли теңдеуі деп аталады. Ол идеал сұйықтың ағысын
тағайындауда қолданылатын энергияның сақталу заңын өрнектейді.
Идеал сұйық, яғни үйкеліссіз сұйық абстракция болып табылады. Барлық реал
сұйықтарға және газдарға аз немесе көп дәрежеде тұтқырлық немесе ішкі
үйкеліс тән.
Сұйықтың екі көршілес қабатының арасындағы әртүрлі жылдамдықпен бір-
біріне параллель қозғалатын үйкеліс күші Ньютонның тұтқыр үйкеліс заңы
бойынша анықталады:
[pic], (3)
мұнда S – сұйық қабатының ауданы,
[pic] – сұйық қабаттарының арасындағы жылдамдық градиенті,
[pic] – сұйықтың динамикалық тұтқырлығы деп аталады.
Сұйықтың (немесе газдың) екі түрлі ағысы қадағаланады. Сұйықтың «ойша»
бөлінген жұқа қабаттары бір-біріне қосылмай ағатын болса, мұны ламинарлық
(қабатты) ағыс деп, ал сұйықтың қабаттары қарқынды түрде ақса бұл ағысты
турбуленттік (құйынды) ағыс деп атайды. Сұйықтардың бұл ағыстары Рейнольдс
санына тығыз байланысты:
[pic], (4)
мұндағы [pic] – сұйықтың (газдың) тығыздығы , v – ағынның орташа
жылдамдығы, [pic] – сұйықтың тұтқырлық коэффициенті,
l – сипаттық өлшем (характерный размер).
Бұл шама Рейнольдс саны деп аталады. Рейнольдстың аз мәнді санында
ламинарлық ағыс байқалады (Re[pic]1000). Белгілі бір Re анықталған
кризистік деп аталатын мәні кезінде турбулентік ағыс байқалады (1000[pic]
Re[pic]2000).
Стокс формуласы. Re аз мәні кезінде, яғни үлкен емес қозғалыс жылдамдығы
кезінде (және үлкен емес l кезінде), ортаның кедергісі іс жүзінде тек қана
үйкеліс күштеріне негізделген. Стокс бұл жағдайда кедергі күші
[pic]динамикалық тұтқырлық коэффициентіне, сұйықпен салыстырғанда дене
қозғалысының v жылдамдығына және дененің сипаттық өлеміне l пропорциональ
[pic] екенін тағайындаған. Мысалы, шар үшін, егер l ретінде r шардың
радиусын алсақ, пропорционалдық коэффициенті [pic]-ға тең болады.
Сондықтан:
[pic]. (5)
Бұл формула Стокс формуласы деп аталады.
Пуазейль формуласы. Дөңгелек түтіктегі сұйықтың қозғалысы кезінде түтік
қабырғасында жылдамдық нолге тең және түтік осінде максимал болады. Ағысты
ламинар деп есептеп, түтік осінен қашықтықтағы жылдамдықтың өзгеру заңын
анықытауға болады:
[pic], (6)
мұндағы vo – түтік осіндегі жылдамдық мәні, ал R – түтік радиусы.
Түтік ішіндегі сұйықтың бөлшектер жылдамдығы парабола заңдылығы бойынша
таралатындығы көрінеді.
Ағысты ламинарлық деп есептеп, сұйық Q ағынын (поток) есептеуге болады,
яғни бірлік уақытта түтіктің көлденең қимасы арқылы ағып шығатын көлемін
есептеуге болады. Ағын (поток) үшін формуланы аламыз:
[pic], (7)
мұндағы [pic] – түтік бірлігі ұзындығындағы қысымның түсуі (перепад
давления на единице длины трубы). (7) формула (7) Пуазейль формуласы деп
аталады.
3. Практикалық сабақтар
ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ № 1,2
ТАҚЫРЫБЫ: Материалдық нүкте қоғалысының сипаттамаларын есептеу. Бөлшек
қозғалысының кинематикалық сипаттамаларын есептеу әдістерін қарастыру:
қозғалыс заңы, жылдамдық, үдеу.
Сабақтың мақсаты: кинематика есептерін шығарудың жалпы тәсілімен таныстыру;
Шығарудың жалпы алгоритмін өңдеу. Қозғалыс теңдеуін дифференциялдап
жылдамдық пен үдеуді анықтау дағдысын қалыптастыру. Қозғалыстың
кинематикалық сипаттамаларын есептеу мысалдарын қарастыру.
ТАПСЫРМА:
1. Екі материалдық нүктелердің қозғалыс теңдеуі келесі теңдеулермен
сипатталады: [pic] и [pic] Қандай уақыт мезетінде бұл нүктелердің
жылдамдықтары бірдей болады? Осы уақыт мезетінде жылдамдық пен үдеу
неге тең?
2. 1000 м биіктіктен бастапқы жылдамдықсыз дене құлайды. Бірдей уақытта
1100 м қандайда бір бастапқы жылдамдықпен басқа дене құлайды. Екі
дене де бірдей уақыт мезетінде жерге жетеді. Ауаның кедергісін
ескеріп (пренебрегая сопротивлением воздуха), екінші дененің бастақы
жылдамдығын анықтаңыз.
3. Велосипедші алғашқы үштен бір жолын 10м/с жылдамдықпен жүріп өтті,
сосын жарты жолын 6 м/с жылдамдықпен және қалған жолдың бөлігін 2 м/с
жылдамдықпен жүріп өтеді. Велосипедшінің орташа жылдамдығы неге тең?
4. Допты горизонтқа 400 бұрыш жасай 10 м/с жылдамдықпен лақтырады.
Ауаның кедергісін ескермей, табу керек: а) доп қандай биіктікке
көтеріледі? б) доп лақтырылған орнынан жерге қандай қашықтыққа
құлайды? в) доп қанша уақыт қозғалыста болады?
ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУЛАР :
Есеп шығару мысалдары
1 есеп. Ауаның кедергісін ескеріп, горизонтқа лақтырылған дененің бұрышын
анықтау керек. Дененің максимал көтерілу биіктігі оның ұшу қашықтығының 1/4
тең (1-сурет).
Берілгені: [pic].
Табу керек: [pic].
Шешуі
Дененің бастапқы жылдамдығының құраушылары [pic]
[pic]мұндағы [pic]-көтерілу уақыты, [pic]-ұшу уақыты;
[pic](А-нүктесінде), бұдан [pic]
[pic]
[pic]
Жауабы: [pic]
[pic]
2 есеп. Дене қозғалмайтын остен мынадай [pic]формула бойынша өрнектелетін
заңдылық бойынша айналады. [pic]4 с уақыт мезетін үшін айналу осінен 0,1м
қашықтықтағы нүктенің толық үдеуінің шамасын табу керек. (2-сурет).
Берілгені: [pic]; [pic]0,1 м; [pic]4 с.
Табу керек: [pic]
Шешуі
[pic]
мұндағы [pic] [pic]
[pic] [pic] рад/с2=const.
[pic]4 с уақыт мезетінде[pic] рад/с;
[pic]м/с2.
Жауабы: а=1,65 м/с2.
Ұсынылатын әдебиеттер мен оқулықтар
1.Пятницкий Е.С., Трукан Н.Н., Ханукаев Ю.Н. Сборник задач по аналитической
механике, М.: 2002
2.Гольдстейн Г. Классическая механика: М., Наука,1975
3.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах: М., 1966
4.Сборник коротких задач по теоретической механике / под ред.О.Э.Кепе/: М.,
Высшая школа,1989
5.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: М., Наука, 1986
ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ № 3
ТАҚЫРЫБЫ: Материалдық нүкте қозғалысының теңдеуін шешу. Материалдық нүкте
қозғалысының теңдеуін шешу және құру мысалдарын қарастыру.
МАҚСАТЫ: есептің нақты жағдайларына динамика заңдары жайындағы меңгерілген
білімдері қолдана білу іскерлігін қалыптастыру. Есепті шығару процесінде
бірдей тәсілдің жүзеге асатынын көрсету: әсерлесетін денелердің шығуы және
әрбір қозғалыстағы дене үшін сәйкес қозғалыс теңдеуін жазу.
ТАПСЫРМА:
Өзбеттерімен шығаруға арналған есептер
1. Массасы 2 кг дене түзусызықты мынадай [pic]заңдылық бойынша
қозғалады, мұндағы С=2 м/с2, D=0,4 м/с3. Қозғалыстың соңғы бірінші
секундында денеге әсер ететін күшті анықтаңыз.
2. Массасы 500 г жүк жіпке ілінген. Егер жүкті жіппен а) 2 м/с2 үдеумен
жоғары көтерсе; б)сол үдеумен төмен түсірсе жіптің керілу күші қандай
болады.
3. Көлбеу жазықтықта жатқан (α бұрышы 200 тең) массасы 10 кг денеге
горизонталь бағытталған 8 Н күш әсер етеді. Үйкелісті ескермей
(пренебрегая трением) анықтау керек: а) дененің үдеуін; б) дененің
жазықтықты қысатын күшін.
ТАПСЫРМАНЫ ОРЫНДАУ БОЙЫНША НҰСҚАУЛАР:
1 есеп. Массалары бірдей (m1=m2=0,5 кг) жүктер жіппен байланған және
салмақсыз блок арқылы үстелдік шетіне бекітілген (1-сурет). Үстел мен m2
жүк арасындағы үйкеліс коэффициенті µ =0,15. Блоктағы үйкелісті ескермей
(Пренебрегая трением в блоке), анықтау керек: а) жүктер қозғалатын үдеуді;
б) жіптің керілу күшін.
Берілгені: m1=m2=0,5 кг; µ =0,15.
Табу керек: а, Т.
Шешуі
Ньютонның екінші заңы бойынша жүктердің қозғалыс теңдеуінің түрі мынадай
болады:
[pic]
[pic], бұдан
[pic]м/с2;
[pic] Н.
Жауабы: а=4,17 м/с2, Т=2,82 Н.
2. есеп. Қарудан ұшып шыққан массасы 5 кг снаряд, траекторияның жоғары
нүктесіндегі жылдамдығы 300 м/с. Осы нүктеде ол екі жарықшаққа
бөлінеді, массасы 3 кг жарықшақ 100 м/с жылдамдықпен кері бағытта
ұшады. Екінші кішкене жарықшақтың жылдамдығын анықтаңыз.
Берілгені: m=5 кг; v=300 м/с; m1=3 кг; v1=100 м/с.
Табу керек: v2.
Шешуі
Импульстің сақталу заңы бойынша [pic]
[pic] мұндағы [pic] [pic]м/с.
Жауабы: v2=900 м/с.
Ұсынылатын әдебиеттер мен оқулықтар
1.Пятницкий Е.С., Трукан Н.Н., Ханукаев Ю.Н. Сборник задач по аналитической
механике, М.: 2002
2.Гольдстейн Г. Классическая механика: М., Наука,1975
3.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах: М., 1966
4.Сборник коротких задач по теоретической механике / под ред.О.Э.Кепе/: М.,
Высшая школа,1989
5.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: М., Наука, 1986
ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ № 4-5
Тақырып: Материалды нүктенің салыстырмалы қозғалысының сипаттамаларын
есептеу.
Мақсаты: Материалды нүктенің салыстырмалы қозғалысының сипаттамаларының
есептеулерін және есептерді шешу ерекшеліктерін түсіндіру. .
ТАПСЫРМА:
Өзбеттерімен шығаруға арналған есептер
1. Массасы 5 кг денені 2 м/с2 үдеумен көтереді. Алғашқы бес секундтағы
күш жұмысын табыңыз.
2. Горизонтқа көлбеулік бұрышы 300 тең көлбеу жазықтық бойымен массасы
50 кг жүкті 4 м қашықтыққа көтеру кезінде атқарылатын жұмыс неге тең?
Көтерілу уақыты 2 с құрайды, ал үйкеліс коэффициенті 0,06.
3. Биіктігі 35 м мұнарадан массасы 0,3 кг тас горизонталь лақтырылды.
Ауаның кедергісін ескермей (пренебрегая сопротивлением воздуха),
анықтау керек: а)егер қозғалыс басталғаннан 1 с кейін оның
кинетикалық энергиясы 60 ДЖ болса, тастың лақтырылған жылдамдығын; б)
қозғалыс басталғаннан 1 стан кейінгі потенциалдық энергиясын.
4. Горизонталь 500 м/с жылдамдықпен ұшып келе жатқан массасы 10 г оқ,
ұзындығы 1 м және массасы 5 кг баллистикалық маятникте тиіп, онда
қалып қояды. Маятниктің ауытқу бұрышын табыңыз.
ТАПСЫРМАНЫ ОРЫНДАУ БОЙЫНША НҰСҚАУЛАР:
1 есеп. Биіктігі 20 м мұнарадан горизонталь 10 м/с жылдамдықпен массасы 400
г тас лақтырылған (1-сурет). Ауаның кедергісін ескермей (пренебрегая
сопротивлением воздуха), қозғалыс басталғаннан кейін 1 с соңғы тастың
кинетикалық және потенциалдық энергияларын анықтау керек.
Берілгені: H = 20 м; v0 = 10 м/с; m = 0,4кг; t = 1c.
Табу керек: Ek, Eп.
Шешуі
А нүктесінде[pic][pic] [pic] мұндағы [pic]
[pic] [pic] [pic] [pic]
Сандық мәндерін қойып, табамыз Ek = 39,2 Дж, Eп = 59,2 Дж.
Жауабы: Ek = 39,2 Дж, Eп = 59,2 Дж.
2 есеп. Массасы 1,8 т автомобиль тауға қозғалып барады, әрбір 100 м жолды 3
м көлбеулік құрайды (2-сурет) (автомобиль массой 1,8 т движется в гору,
уклон которой составляет 3 м на каждые 100 м пути (рис.2)). Анықтау керек:
а) үйкеліс коэффициенті 0,1 тең болса, онда 5 км жолдағы автомобиль
двигателінің атқарған жұмысы неге тең; б) егер осы жолдың 5 мин ішінде
жүрілгені белгілі болса, онда двигателдің өндіретін қуаты неге тең?
Берілгені: m = 1800 кг; sinα = 0,03; s = 5000 м; μ = 0,1; t = 300 с.
Табу керек: А, Р.
Шешуі
[pic][pic]мұндағы [pic][pic] [pic]
[pic] [pic] [pic]
Сандық мәндерін қойып, табамыз:
А = 11,5·106 Дж, Р = 38,3·103 Вт.
Жауабы: А = 11,5 МДж, Р = 38,3·кВт.
Ұсынылатын әдебиеттер мен оқулықтар
1.Пятницкий Е.С., Трукан Н.Н., Ханукаев Ю.Н. Сборник задач по аналитической
механике, М.: 2002
2.Гольдстейн Г. Классическая механика: М., Наука,1975
3.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах: М., 1966
4.Сборник коротких задач по теоретической механике / под ред.О.Э.Кепе/: М.,
Высшая школа,1989
5.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: М., Наука, 1986
ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ № 6
Тақырып: ИЕСЖ-дегі бөлшектің қозғалысы.
Мақсаты:ИЕСЖ-де инерция күштерін есептеу мысалдарын және қозғалыстың
кинематикалық сипаттамаларын қарастыру.
ТАПСЫРМА:
Өзбеттерімен шығаруға арналған есептер
1. Бірдей материалдан жасалған, массасы бірдей шар және тұтас цилиндр
бірдей жылдамдықпен сырғанаусыз (без скольжения) домалайды. Шардың
кинетикалық энергиясы цилиндрдің кинетикалық энергиясынан қанша есе
аз екенін анықтаңыз.
2. массасы 0,5 кг жұқа қабырғалы жарты цилиндр үйкеліссіз сырғанайды,
қабырғаға соғылып, одан кері қайтады. Цилиндрдің қабырғаға соғылу
жылдамдығы 1,4 м/с, соғылғаннан кейін 1 м/с болды. Соғылған кезде
бөлінетін жылу мөлшерін табыңыз.
3. Массасы 10 кг біртекті тұтас дискінің ободына оске отырғызылдған,
тұрақты жанама 30 Н күш түсірілген. Күш әсер еткеннен кейін 4 с өткен
соң кинетикалық энергияны анықтаңыз. (К ободу однородного сплошного
диска массой 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная
касательная сила 30 Н. Определить кинетическую энергию через 4 с
после начала действия силы).
4. Желдеткіз 600 ай/мин жиілікпен айналады. Ажыратылғаннан кейін ол
бірқалыпты кемімелі айналып және 50 айналым жасап, тоқтайды. Тежелі
күшінің жұмысы 31,4 Дж. Анықтау керек: а)тежелу күшінің моментін;
б)желдеткіштің инерция моментін.
5. Радиусы 0,5 м біртекті тұтас дискінің ободына тұрақты жанама күш
түсірілген. Айналу кезінде дискіге 2 Н·м үйкеліс күш моменті әсер
етеді. Егер оның бұрыштық үдеуі тұрақты және 16 рад/с2 тең болса,
онда дискінің массасы қандай?
6. Горизонтпен бұрыш жасайтын көлбеу жазықтықтан үйкеліссіз (без
скольжения) шарик домалайды. Егер домалау кезінде массалар центрі 30
см төмендесе, үйкелісті ескермей (пренебрегая трением) шариктің
көлбеу жазықтық бойымен қозғалу уақытын анықтаңыз.
ТАПСЫРМАНЫ ОРЫНДАУ БОЙЫНША НҰСҚАУЛАР:
1 есеп. Массасы 5 кг және радиусы 10 см шар симметрия осінің маңында [pic]
заңдылығы бойынша айналады, мұндағы В=2 рад/с2, С=-0,5 рад/с3. t=3 c уақыт
мезеті үшін айналу осіне қатысты күш моментін анықтаңыз. Берілгені: R=0,1
м; m=5 кг; [pic]рад; В=2 рад/с2; С=-0,5 рад/с3; t=3 c.
Табу керек: Mz.
Шешуі
Қозғалмайтын оске қатысты қатты дененің айналмалы қозғалысы динамикасының
теңдеуіне сәйкес
[pic], мұндағы[pic]- шардың инерция моменті;
[pic]
[pic]
[pic]үшін [pic]
Жауабы: Mz=-0,1 Н·м.
2 есеп. Инерция моменті 0,15 кг·м2, радиусы 20см біртекті тұтас циллиндір
валға, бір ұшына массасы 0,5кг жүк бекітілген жеңіл жіп оралған. Барабанның
айналуының басына дейін жүктің еденнен биіктігі 2,3 м құрады (1-сурет).
Анықтау керек: а)еденге дейін жүктің түсу уақыты; б)жіптің керілу күшін;
в)жүктің еденге соқтығысқан мезетіндегі кинетикалық энергияны.
Берілгені: R=0,2 м; Jz=0,15 кг·м2; m=0,5 кг; h=2,3 м.
Табу керек: t, T, Eк.[pic]
Шешуі
Энергияның сақталу заңы бойынша
[pic]
Бұдан [pic]
Жүктің еденге дейін түсі уақыты: [pic][pic].
Валдың айналма қозғалыс динамикасының теңдеуі[pic][pic] бұдан жіптің керілу
күші
[pic]мұндағы [pic]онда [pic].
Еденге соғылған мезеттегі жүктің кинетикалық энергиясы:
[pic]
Жауабы: t=2 с; Т=4,31 Н; Ек=1,32 Дж.
Ұсынылатын әдебиеттер мен оқулықтар
1.Пятницкий Е.С., Трукан Н.Н., Ханукаев Ю.Н. Сборник задач по аналитической
механике, М.: 2002
2.Гольдстейн Г. Классическая механика: М., Наука,1975
3.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах: М., 1966
4.Сборник коротких задач по теоретической механике / под ред.О.Э.Кепе/: М.,
Высшая школа,1989
5.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: М., Наука, 1986
ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ № 7
Тақырып: Есептерді шығаруда жалпыланған координаттарды қолдану.
Мақсаты:Жалпыланған координаттарды енгізу мен қолданудың тиімділігін нақты
мысалдармен көрсету.
Ұсынылатын әдебиеттер мен оқулықтар
1.Пятницкий Е.С., Трукан Н.Н., Ханукаев Ю.Н. Сборник задач по аналитической
механике, М.: 2002
2.Гольдстейн Г. Классическая механика: М., Наука,1975
3.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах: М., 1966
4.Сборник коротких задач по теоретической механике / под ред.О.Э.Кепе/: М.,
Высшая школа,1989
5.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: М., Наука, 1986
ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ № 8
Тақырып: Есептерді шығаруда жалпыланған координаттарды қолдану.
Мақсаты: Жалпыланған координаттарды енгізу мен қолданудың тиімділігін нақты
мысалдармен көрсету.
ТАПСЫРМА:
Есептерді шығару: 20.6.13; 20.2.2; 20.5.3; 18.1.1.
Ұсынылатын әдебиеттер мен оқулықтар
1.Пятницкий Е.С., Трукан Н.Н., Ханукаев Ю.Н. Сборник задач по аналитической
механике, М.: 2002
2.Гольдстейн Г. Классическая механика: М., Наука,1975
3.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах: М., 1966
4.Сборник коротких задач по теоретической механике / под ред.О.Э.Кепе/: М.,
Высшая школа,1989
5.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: М., Наука, 1986
ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ № 9-10
Тақырып: Гамильтонның каноникалық теңдеулер жүйесін қолдану.
Мақсаты:Гамильтонның каноникалық теңдеулер жүйесін қолданып есептер
шығарудың әдістермен таныстыру.
ТАПСЫРМА:
Есептер шығару: 16.1.17; 16.1.32; 17.1.11.
Ұсынылатын әдебиеттер мен оқулықтар
1.Пятницкий Е.С., Трукан Н.Н., Ханукаев Ю.Н. Сборник задач по аналитической
механике, М.: 2002
2.Гольдстейн Г. Классическая механика: М., Наука,1975
3.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах: М., 1966
4.Сборник коротких задач по теоретической механике / под ред.О.Э.Кепе/: М.,
Высшая школа,1989
5.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: М., Наука, 1986
ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ № 11
Тақырып: Электромагниттік өрістегі зарядталған бөлшектің қозғалысы.
1. Мақсаты:Классикалық механикадағы қатынастар мен заңдарды қолданып
электромагниттік өрістегі зарядталған бөлшектің қозғалыс сипаттамасын
есептеу әдістерін қарастыру.
Ұсынылатын әдебиеттер мен оқулықтар
1.Пятницкий Е.С., Трукан Н.Н., Ханукаев Ю.Н. Сборник задач по аналитической
механике, М.: 2002
2.Гольдстейн Г. Классическая механика: М., Наука,1975
3.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах: М., 1966
4.Сборник коротких задач по теоретической механике / под ред.О.Э.Кепе/: М.,
Высшая школа,1989
5.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: М., Наука, 1986
ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ № 12
Тақырып: Кулондық өрістегі бөлшектредің қозғалысы.
Мақсаты: Орталық күштік өрістегі дене қозғалысының сипаттамаларын есептеу
мысалдарын қарастыру.
Ұсынылатын әдебиеттер мен оқулықтар
1.Пятницкий Е.С., Трукан Н.Н., Ханукаев Ю.Н. Сборник задач по аналитической
механике, М.: 2002
2.Гольдстейн Г. Классическая механика: М., Наука,1975
3.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах: М., 1966
4.Сборник коротких задач по теоретической механике / под ред.О.Э.Кепе/: М.,
Высшая школа,1989
5.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: М., Наука, 1986
ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ № 13
Тақырып: Бір дәрежелі жүйе тербелісі.
Мақсаты:Классикалық механикадағы әдістерді қолданып жүйе қозғалысының
сипаттамаларын есептеу мысалдарымен танысу.
Ұсынылатын әдебиеттер мен оқулықтар
1.Пятницкий Е.С., Трукан Н.Н., Ханукаев Ю.Н. Сборник задач по аналитической
механике, М.: 2002
2.Гольдстейн Г. Классическая механика: М., Наука,1975
3.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах: М., 1966
4.Сборник коротких задач по теоретической механике / под ред.О.Э.Кепе/: М.,
Высшая школа,1989
5.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: М., Наука, 1986
ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ № 14
Тақырып: Қатты дене кинематикасы.
Мақсаты:Қатты дене қозғалысының кинематикалық сипаттамасының ерекшеліктерін
қарастыру.
Ұсынылатын әдебиеттер мен оқулықтар
1.Пятницкий Е.С., Трукан Н.Н., Ханукаев Ю.Н. Сборник задач по аналитической
механике, М.: 2002
2.Гольдстейн Г. Классическая механика: М., Наука,1975
3.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах: М., 1966
4.Сборник коротких задач по теоретической механике / под ред.О.Э.Кепе/: М.,
Высшая школа,1989
5.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: М., Наука, 1986
ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ № 15
Тақырып: Идеал сұйық қозғалысының заңдары.
Мақсаты:Идеал сұйықтың қозғалысын сипаттау үшін классикалық механика
заңдарын қолдану мысалдарын талдау.
Ұсынылатын әдебиеттер мен оқулықтар
1.Пятницкий Е.С., Трукан Н.Н., Ханукаев Ю.Н. Сборник задач по аналитической
механике, М.: 2002
2.Гольдстейн Г. Классическая механика: М., Наука,1975
3.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в
примерах и задачах: М., 1966
4.Сборник коротких задач по теоретической механике / под ред.О.Э.Кепе/: М.,
Высшая школа,1989
5.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: М., Наука, 1986
4. СТУДЕНТТЕРДІҢ ӨЗДІК ЖҰМЫСТАРЫ ТАҚЫРЫПТАРЫНЫҢ ТІЗІМІ
СӨЖ тапсырмаларын орындауға кірісерде қажет:
- тақырып бойынша теориялық материалды меңгеру;
- есеп шығара бастағанда оның мәнін түсіну. Сөз болып отырған физикалық
құбылысты тек елестетіп қана қоймай, сондай-ақ есеп шығара отырып жасалуы
қажет қысқартуларды, ұйғарымдарды еске түсіру керек;
- егер есептің сипаты мүмкіндік берсе есептің мазмұныны және мағынасын,
есепті шығаруға көмектесетін суреттерді салу ұсынылады;
- есептің шшартына енетін барлық шамаларды қамти отырып, есептің шартын
қысқаша жазу, ХБЖ жүйесінде өрнектеу;
- есептің шартында жетіспейтін мәліметтерді кестелерден жазу;
- есептің шешімін түсіндірме жазбамен келтіру;
- жалпы түрде есепті шығарып, формуланың жекелеген мүшелерінің өлшемдерінің
теңдігі бойынша жауапты тексеру;
- сандық есептеулерді орындау;
- сандық жауапты алып, оның шындыққа жанасатынын бағалау.
СӨЖ тапсырмаларын орындау бойынша графикке сәйкес келесі тапсырмаларды
шығарып, тексеруге тапсыру керек:
4.1. Нүкте кинематикасы-[8] №10-1,6,11,14,19,11-5,8; 12-1,14, 25
4.2. Жылжымайтын осьтен айналу – [7] № 13-1,4,9, 12,13,15.
4.3. Материалды нүкте динамикасы -[8] № 26-1,3,6,8,11,15,27
4.4. Динамиканың жалпы теоремалары -[8], № 28-2,6,12, 29-2,7, 30-5,9
4.5. Нүкте мен қатты дененің күрделі қозғалысы – [7] № 11.4.1; 12.1.1;
12.2.1; 12.3.1; 12.4.1.
4.6. Аналитикалық механика – [7] № 18.1.1; 18.1.8; 18.2.1; 20.1.6; 20.2.2;
20.2.15; 20.3.5; 20.3.6; 20.5.3; 20.5.5;20.5.7; 20.5.10; 20.6.7; 20.6.13;
20.6.17.
-----------------------
ccc
[pic]
[pic]
А
y
x
v0x
v0y
v0
h
α
s
o
1 -сурет
[pic]
аτ
an
a
o
2-сурет
m1g
T
T
N
m2g
Fтр
1-сурет
.
v0
x
0
y
H
h
h1
.
A
vx
vy
v
1-сурет
mg
F
N
F1
F2
Fтр
α
2-сурет
R
Jz
m
mg
h
a
T
1-сурет
[pic]
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz