Файл қосу
Есептеулер қателігі
|ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ |
|шәкәрім атындағы семей мемлекеттік университеті |
|3 деңгейлі СМК құжаты |3 деңгейлі СМК |ПОӘК |
| |құжаты | |
| | |ПОӘК |
| | |042-14.2.02.01.20.64/03-2013 |
|«Есептеу тәсілдері» пәнін|«Есептеу тәсілдері» | |
|оқыту әдістемелік кешені |пәнінің оқытушыға | |
| |арналған | |
| |бағдарламасы | |
| |ПОӘК | |
«Есептеу тәсілдері»
пәнінен оқыту-әдістемелік кешені
«5В060200» - «Информатика» мамандығына арналған
ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК МАТЕРИАЛДАР
Семей
2013
мазмұны
1. Глоссарий
2. Дәрістер
3. Машықтану және зертханалық сабақтар
4. Студенттің өздік жұмысы
1. глоссарий
|Алгоритм |Есептер жинағын шешу үшін белгілі |
| |ретпен орындалатын нақты қадамдар |
|Е жиынында функцияның өзгеруі |Жоғарғы және төменгі шекаралар айырымы |
|косеканс |Тригонометриялық функция, белгіленуі |
| |cosec x |
|Қисық сызықты интеграл |Кеңістікте немесе жазықтықтағы қисық |
| |бойынша алынған интеграл |
|Критерий (белгі) |Жеткілікті және қажетті шарт |
|Логарифмдік теңдеу |Белгісіз мүшеде логарифм бар теңдеу |
|Бастапқы шарттар |Қарастырылатын жағдайдағы бастапқы |
| |мәндер |
|Үзіліссіз пропорция |Ортаңғы мүшелері тең геометриялық |
| |пропорция |
|Жуық формуланың қалдық мүшесі |Нақты шешіммен жуық шешімнің айырмасы |
|Параметр |Қарастырылып отырған есептегі тұрақты |
| |мән |
|Тізбек |Натурал сандар жиынында берілген |
| |функция |
|Қолданбалы математика |Математиканы ғылымның басқа облыстарға |
| |және техникаға қолдану |
|Көпмүшенің көбейткіштерге |Көпмүшені бірнеше көбейткіштерге жіктеу|
|жіктелуі |теңбе-тең түрлендіруі |
|Симметриялы матрица |Элементтері бас диагональға байланысты |
| |симметриалы болатын квадрат матрица |
|Меншікті вектор |Сызықтық алгебра түсінігі |
|Жиындардың жинақталу нүктесі |Жиынның шеткі нүктесі |
|Факториал |1 ден n-ге дейінгі сандардың |
| |көбейтіндісі |
|Функций теориясы |Математикалық анализдің функцияның |
| |жалпы қасиетін зерттейтін бөлімі |
2. Дәрістер
1-дәріс :Қателіктер теориясы. Дәріс жоспары:
• Қателіктер теориясы
• Абсолютті қателік
• Салыстырмалы қателік.
Берілген объектіні математикалық модель және есептеу эксперименті
әдісімен зерттеу процесі жуық мәнді процесс,себебі әрбір этапта әр түрлі
қателіктер кезігеді.
Қателіктер үш топқа бөлінеді:
1. Математикалық модель құру кезінде алғашқы берілген шамалардың мәні
жуықтап алынады-олар жоғалмайтын қателіктер.
2. Математикалық модельден сандық әдіске өту кезінде әдіс қателігі деп
аталатын қателіктер пайда болады.
3. Есептеулер қателігі.
Қателіктер теориясы.
1.Абсолютті және салыстырмалы қателік
2.Дұрыс және мәнді цифрлар
3.Арифметикалық амалдардың қателігі.
Әр түрлі есептерді шешу барысында дәл және жуықтау сандар кезігуі
мүмкін.
а жуықтау сан деп А дәл саннан айырмашылығы аз ғана болатын және
есептеу кезінде А санының орнына қолданылатын санды айтамыз.
Кез келген есептеу кезінде дәл мән алынбайды. Сондықтан есептеу
нәттижесінің қандай да бір қателігі болады.
Қателіктерді үш топқа бөлуге болады:
1.Берілгендер немесе жоғалмайтын.
2.Дөңгелектеу қателігі.
3.Қорытынды қателік.
а- жуық мән, А-дәл мән.
Егер а<А болса, онда а саны А санының кемігеннен алынған жуық мәні
деп аталады. Егер а>А болса, онда а саны А санының артығымен алынған жуық
мәні деп аталады.
[pic]- а жуық санның абсолюттік қателігі (1)
А дәл мәні белгісіз болған жағдайда абсолютті қателіктің шекаралары деген
ұғымды енгіземіз. Ол
[pic] - теңсіздігін қанағаттандырады.
[pic]- шекті абсолютті қателік. Онда [pic]
[pic] Абсолютті қателіктен үлкен немесе оған тең болатын санды шекті
абсолютті қателік деп атаймыз.
[pic] -салыстырмалы қателік (2)
[pic]
[pic](3)
[pic]- шекті салыстырмалы қателік.
(2) және (3) теңсіздіктерден:
[pic]
[pic]
а жуық санның мәнді цифрлары деп осы санның ондық жүйеде жазылуындағы
барлық цифрларды айтамыз(нөлден өзгеше цифрларды),0 цифры мәнді цифр
болады, егер ол екі мәнді цифрдың арасында орналасса және мәнді цифрдың
соңында орналасса.
[pic][pic]- жуық санының n дұрыс мәнді цифрлары болады, егер [pic](1)
теңсіздігі орындалса (тар мағынада).
Кең мағынада: [pic] (2)
1) және (2) теңсіздіктерден:
[pic]
Теорема:Бірнеше жуық сандардың алгебралық қосындысының абсолютті қателігі
осы сандардың абсолютті қателіктерінің қосындысынан артпайды.
[pic]
Теорема: Нөлден өзгеше бірнеше жуық сандардың көбейтіндісінің салыстырмалы
қателігі осы сандардың салыстырмалы қателіктерінің қосындысынан артпайды.
[pic]
Теорема: Бөліндінің салыстырмалы қателігі бөлінгіш және бөлгіштің
салыстырмалы қателіктерінің қосындысынан артпайды.
[pic]
2-ші дәріс: Дұрыс және мәнді цифрлар. Арифметикалық амалдардың қателігі.
Функцияның қателіктерін есептеу.
Дәріс жоспары:
• Мәнді цифрлар, дұрыс цифрлар, күмәнді цифрлар
• Дөңгелектеу қателіктері.
• Функцияның қателіктерін есептеу.
• Кейбір дербес жағдайларды қарастырайық
Есептеу кезінде анализдік әдістерді пайдалану қиындық келтіргенде немесе
тіпті пайдалану мүмкін болмаған жағдайда есептеу математикасының сандық
әдістерді қолданылады. Ол әдістер бастапқы берілген есепті мағынасы бойынша
соған жуық басқа есеппен алмастыру мүмкіндігіне негізделген. Ал соңғы есеп
кейбір шарттарды қанағаттандыру тиіс. Мәселен, шешімнің бар болуы, орнықты,
жинақты болуы және т.с.с. Бұл есептің шешімі алғашқы есептің жуық шешімін
беруі тиіс немесе оған белгілі бір дәлдікпен жинақталуы қажет.
Дәл және жуық шешімдердің айырымын жуықтау немесе әдіс қателігі деп
атайды.
Есепте негізгі деректер, яғни ондағы коэффициенттер, бос мүшелер немесе
қосымша шарттар жуық шамалармен берілуі мүмкін, соның нәтижесінде пайда
болған қателіктерді жөнделмейтін (түзетілмейтін) қателіктер деп атайды.
ЭЕМ-де цифрлар саны шексіз көп сандарға арифметикалық амалдар
қолданылмайды. Сондықтан ондай сандар ең алдымен цифрларының саны шектеулі
жуық сандармен алмастырылады. Ол әдетте, орта мектептен белгілі дөңгелектеу
әдісі арқылы жүзеге асырылады. ЭЕМ-де дөңгелектеу амалы арифметикалық
амалдар орындалған кездерде де жүргізіледі. Өйткені нәтижеде цифрларның
саны шексіз көп сандар пайда болуы мүмкін. Осындай дөңгелектеулердің
салдарынан пайда болған қателіктерді есептік қателіктер деп атайды. Олар
есептің жуық шешімінің дәлдігіне тікелей әсерін тигізетіні анық.
Жуық сандардың жөнделмейтін және есептік қателіктеріне осы бөлімде
тоқталамыз.
Сандарды ЭЕМ-де жазу
р негізде санау жүйесінде (р-кез келген бүтін оң сан) Np саны
[pic] (1.1)
түрінде жазылады. Мұнда [pic]және [pic] санының мантиссасы және ретті
болып табылады. Мысалы:
[pic]
Санның (1.1) түрінде кесінділеуін оның жылжымалы үтір түріндегі жазылуы
деп атайды. Бұлай аталу себебін жоғарыдағы мысалдап байқауға болады.
Ал дербес жағдайда [pic]мантииса үшін
[pic] (1.2)
шартты орындалса, онда (1.1) формуласы санның нормаль түрі деп аталады.
ЭЕМ-нің көпшілігі екілік жүйеде нормаль түрде жазылған сандармен ғана
жұмыс істейді. Ол сандар үшін (1.2) шарты
[pic]
түрінде жазылады.
Әрбір сан ЭЕМ-нің белгілі бір ұяшығына орналасады. Олардың құрлым
жүйесінде m және q мәндерінде арналған саны шектеулі екілік разрядтар
бөлінген.
Айталық, ұяшықта m мантисса үшін t екілік разряд бөлінген болсын. Онда
N2 саны мына түрде өрнектеледі.
[pic]
Мұндағы [pic] (і=1,2,…n) коэффициенттері нөлге немесе бірге тең.
Мысалы:
[pic]
Егер N2=0 болса, онда оның жазылуында m=0 болады, яғни [pic] деп
аталынады, ал реті анықталмайды.
Енді ЭЕМ-нің ұяшығында N2 санының q реті үшін r екілік разряд бөлінген
болсын делік, яғни
[pic]
Бұл жағдайда
[pic]
саны электрондық есептеуіш машинасына жазылатын ең кіші оң сан болып
табылады, сол сиқты ең үлкен оң сан мынандай болмақ:
[pic]
Демек,
[pic]
шартын қанағаттандыратын N2 сандар ғана (t,r) разрядтты ұяшықтарға
енгізіледі.
Егер есептеу барысында [pic]теңсіздігін қанағаттандыратын N2 саны пайда
болса, онда N2=0 деп алынады да, ал [pic] болған жағдайда ЭЕМ өз жұмысын
тоқтатады.
[pic] жуық санының өрнектелуіндегі бірінші [pic]-ден басталған барлық
ak(k=s, s-1,…,-n) коэффициенттері оның мәнді цифрлары деп аталады. Мысалы,
мына жуық сандардағы
[pic]
асты сызылған цифрлар - мәнді цифрлар.
Егер [pic] санының абсолютті қателігі ak цифрна сәйкес келетін k бірлік
разрядының шамасынан (10-k) аспаса, онда ak дұрыс цифр, ал кері жағдайда
күмәнді цифр деп аталады. Мысалы,
[pic]
сандарында асты екі рет сызылған цифрлар дұрыс, ал қалғандары – күмәнді
цифрлар.
Жуық сандарды жазған кезде оның цифрлары дұрыс болуы тиіс. Сонда санның
жазылуы бойынша оның қателігін анықтау қиын емес. Мысалы, х*=2,718 санының
абсолют қателігі [pic] Кейде есептік қателіктер көбеймеу үшін, жуық санның
жазылуында 1-2 күмәнді цифрлар сақталып жазылады.
Жуық шаманың салыстырмалы қателігі оның үтірден кейінгі дұрыс цифрларының
саны арқылы анықталады. Мәселен, үтірден кейін бір дұрыс цифр болса, онда
оның салыстырмалы қателігінің шамасы сол санның
10%-не, екеу болса, 1%-не, ал үшеу болса, 0,1%-не тең болады.
Дөңгелектеу қателіктері
ЭЕМ-да разрядтарының саны шектеулі сандармен ғана жұмыс істей алатыны
белгілі. Оларға арифметикалық амалдарды қолданғанда, разрядтарының саны
өте көп сандар пайда болуы ғажап емес. Сонымен қатар, есептеу нәтижесі
машинаның ұяшығына сыймауы да мүмкін. Бұл жағдайда дөңгелектеу арқылы ол
басқа жуық санмен алмастырылады. Енді осы амалға тоқталайық. Түсінікті
болу үшін ондық жүйедегі сандарды қарастырайық.
Айталық, [pic] - разрядтарының саны s-тен аспайтын ондық сандар жиыны
болсын. Бұл жиынның кез келген r(s) мүшесі мына түрде жазылады:
[pic][pic]
Мұндағы аі(0≤аі≤9) – ондық цифрлар. Есептеу барысында
[pic]
саны пайда болды делік. Ол [pic] немесе [pic] шарттарының біреуін ғана
қанағаттандырады. Соңғы жағдайда [pic]орнына басқа [pic]жуық саны
алынады. Ол төмендегіше жүзеге асырылады:
а) егер [pic] болса, онда
[pic]
деп алынады.
б) [pic] болса, онда
[pic]
в) егер [pic] болып, [pic] жұп болса, онда[pic], ал кері жағдайда
[pic]деп алынады.
Мысал. s=9 болса,
[pic] болғанда, [pic]
[pic] болғанда, [pic]
[pic] болғанда, [pic]
[pic]болғанда, [pic]
Кейде s саны жылжымалы да болуы мүмкін. Мәселен, [pic] санын бүтін санға
дейін (n=s=1) дөңгелектеу керек блсын делік. Ол үшін жоғарыдағы дөңгелектеу
ережесін былайша тізбектеп қолданған жеткілікті: 3,90495; 3,9050; 3,905;
3,90; 3,9; 4.
Енді жуық санды дөңгелектегенде, оның абсолют қателігі қалай өзгеретінін
анықтайық. Айталық,
[pic]
жуық санын жоғарыдағы ереже бойынша s разрядқа дейін дөңгелектеп
[pic]
санын алдық делік. Мұнда [pic]коэффициенті as-ке немесе (as+1)-ге тең.
Егер х шамасы х* жуық санының дәл мәні, ал [pic]- оның абсолют қателігі
десек, онда [pic]
теңсіздігі орындалады. Сонымен бірге
[pic]
екені анық.
Олай болса, [pic] шамасының абсолют қателігі
[pic]
формуласымен анықталады, яғни
[pic]
Енді ЭЕМ-дерді қолданғанда негізгі арифметикалық амалдардың дөңгелектеу
қателіктері қандай болатынына тоқталайық.
Айталық, ЭЕМ жады (t,r) екілік разрядтты ұяшықтардан құралған болсын. Ал
fl(x) деп, х шамасының дөңгелектеу амалын қолданғаннан кейінгі алынған
мәнін белгілейік. Онда оның [pic] салыстырмалы қателігі үшін
[pic]
теңсіздігінің орындалатыны бұрыннан белгілі.
Алдымен [pic] қосу және азайту амалдарының дөңгелектеу қателіктерін
зерттейік. Мұндағы a және b – екілік жүйесіндегі сандар деп алайық.
Әдетте, есептеу нәтижесінің мантиссасы үшін 2t разрядты қосымша регистр
пайдаланылады. Жоғарыдағы [pic] амалдар есептеуіш машинасында мынандай
тәртіп бойынша орындалады: Алдымен сандардың qa және qb реттері
салыстырылады. Содан кейін реті кіші санның мантиссасы оңға қарай
[pic]разрядқа жылжиды. Жылжу кезінде мантиссаның кейбір [pic] мәнді
цифрлары жоғалып кетуі мүмкін. Соңында [pic] өрнегінің нәтижесі нормаль
түрде өрнектеледі. Бұл жағдайда қосымша регистр ішіндегі разрядтар
ескерілмейді. Демек, амалдың дөңгелектеу қателігі мантиссаның соңғы бірлік
разрядынан (2-t ) аспайды, яғни
[pic]
Жалпы [pic] амалының дөңгелектеу қателігі [pic] шамасынмен анықталады.
Дәл осылай көбейту және бөлу амалдары үшін де төмендегі теңдіктерді алуға
болады:
[pic]
Мұндағы ескеретін бір жағдай сандардың модульдерін, не олардың ішінен ең
үлкенін, не ең кішісін табу кезінде дөңгелектеу амалын қолдану қажет
болмайды.
Енді практикада жиі кездесетін кейбір есептеу формулаларының дөңгелектеу
қателіктерін келтірейік:
[pic]
[pic]
[pic]
Функцияның қателіктерін есептеу
Айталық, [pic] өзінің хі аргументтері бойынша үзіліссіз
дифференциалданатын функция болсын. Сонымен бірге әрбір хі аргументі үшін
[pic]
теңдіктері орындалсын. Мұнда [pic] шамалары - [pic] жуық сандарының сәйкес
абсолют қателіктері. Осы
[pic]
функцияның қателіктерін есептейік.
Анықтамаға сәйкес
[pic] және [pic]
екені анық. Белгілі Лагранж формуласы бойынша у-у* айырымын
[pic] (1.3)
[pic]
түрінде жазамыз. Енді төмендегі мына шарттар орындалады деп есептейік:
1) [pic] функциясының [pic] дербес туындылары баяу өзгереді;
2) [pic]- абсолют қателіктері мейлінше аз шамалар.
Мұндай жағдайда (1.3) формуладан жуық шамамен
[pic] (1.4)
теңдігін алуға болады.
Ал егер (1.4) теңдігінің екі жағын да [pic]-ке бөлсек онда [pic]
салыстырмалы қателігін мынандай формуламен өрнектей аламыз:
[pic] (1.5)
Бұдан
[pic][pic] (1.6)
екеніне көз жеткізу қиын емес.
(1.5), (1.6) формулаларды үзіліссіз дифференциалданатын [pic] функциясының
абсолют және салыстырмалы қателіктерін есептеуге пайдалануға болады.
Енді кейбір дербес жағдайларды қарастырайық:
а) у=ха дәрежелік функцияның қателіктері:
[pic]
б) у=ах (а>0) көрсеткіштік функцияның қателіктері:
[pic]
егер а=е болса, онда [pic] екені анық;
в) у=Іnх – логарифмдік функцияның қателіктері:
[pic] ал [pic] болғанда
[pic] болады.
г) Тригонометриялық функциялардың қателіктері:
[pic]
д) Қосындының қателіктері:
Айталық, х1 және х2 – берілген екі санның дәл мәні, ал [pic] және [pic]
олардың сәйкес жуық мәндері болсын, яғни
[pic] (1.7)
Мұндағы [pic], [pic] - осы жуық сандардың абсолют қателіктері. Енді
х=х1+х2 қосындысының қателіктерін есептейік. Жоғарыдағы (1.7) қатынастарды
пайдаланып, х=х1+х2-ні былайша өрнектейміз: х=х1+х2=[pic].
Егер х=х1+х2 қосындысының абсолют қателігін [pic] деп белгілесек, яғни
[pic]
онда соңғы теңдіктен
[pic]
болатыны анықталады. Бұдан
[pic]
(1.8)
теңсіздігі шығады.
Демек, қосындының абсолют қателігі қосылғыштардың абсолют қателіктерінің
қосындысынан аспайды. Ал қосындының шектік абсолют қателігін (1.8)
теңсіздігінен шығарып алуға болады:
[pic]
Енді х=х1+х2 қосындысының шектік салыстырмалы қателігін есептеуге көшейік
. [pic] және [pic] жуық шамалары – бір таңбалы сандар, мәселен, [pic]>0,
[pic]>0 болсын. Кері жағдайда х=х1+х2 қосындысын айырма ретінде қарастыруға
болады. Анықтама бойынша
[pic]
немесе
[pic]
болатыны белгілі.
Демек,
[pic]
Егер [pic] деп белгілесек, онда [pic] шектік салыстырмалы қателік былайша
бағаланады:
[pic]
Сонымен, қосындының шектік салыстырмалы қателігі қосылғыштардың ең үлкен
шектік салыстырмалы қателігінен аспайды. Математикалық индукция әдісін
қолданып,
[pic]
жуық сандарының [pic]
қосындысы үшін төмендегі қатынастардың орындалатынын дәлелдеу қиын емес:
[pic]
3 – мысал. [pic] және [pic] жуық сандар қосындысының қателіктерін табу
керек делік.
Шешуі. Шарт бойынша
[pic]
Олай болса,
[pic]
Бұдан
[pic]
е) Айырымның қателіктері:
Енді [pic] және [pic]сандарының х=х1-х2 айырымын қарастырайық. (1.8)
формула бойынша [pic] қателік мына түрде жазылады:
[pic] (1.10)
Бұдан, егер [pic]және [pic]аз шамалар болса, онда айырымның [pic]
қателігінде аз шама болатынын көреміз.
Бірақ
[pic]
түрінде анықталатын шектік салыстырмалы қателік үшін мұндай тұжырым
әрқашанда орындала бермейді. Мысалы, [pic] және [pic] бір-біріне өте жақын
сандар болса, онда [pic] өте үлкен шама болуы мүмкін. Мұндай жағдайда
есептеу дәлдігінің төмендейтіні анық. Сондықтан есептеу барысында бір-
біріне жақын сандардың айырымын есептеуден мүмкіндік болғанша құтылған жөн.
ж) Көбейтінді мен бөліндінің қателіктері.
Жоғарыда қосынды мен айырымның шектік абсолют қателіктерін оңай есептеуге
болатын (1.8)-(1.9) формулаларын шығарып алдық. Көбейту мен бөлу амалдары
үшін мұндай формулалар күрделі болады және есептеулерде сирек қолданылады.
Сондықтан есептеу барысында, Алдымен бұл амалдардың салыстырмалы
қателіктерін анықтап аламыз, содан кейін олардың абсолют қателіктерін
есептеу үшін мына формуланы пайдаланамыз:
[pic]
Айталық
[pic]
болсын. Енді осы екі санның көбейтіндісін қарастырайық:
[pic]
Анықтамаға сәйкес
[pic]
деп жазамыз. Мұндағы [pic]
Егер [pic] және [pic] қателіктері өте аз шамалар болса, онда [pic]
қатынасында [pic] көбейтіндісін ескермелеуге болады. Бұл жағдайда мынандай
жуық теңдік орындалады:
[pic]
Енді х=х1х2 көбейтіндісінің салыстырмалы қателігін есептейік:
[pic]
Бұдан
[pic]
яғни көбейтіндінің шектік салыстырмалы қателігі көбейткіштердің шектік
салыстырмалы қателіктерінің қосындысына тең екенін көреміз.
Егер [pic] болса, онда
[pic]
теңдігі орындалатынын дәлелдеу қиынға түспейді.
5-мысал. [pic] және [pic]
сандарының х=х1х2 көбейтіндісінің қателіктерін табу керек.
Шешуі. Мысалдың шартына сәйкес
[pic]
Осы мәндер арқылы х=х1х2 көбейтіндісінің қателіктерін төмендегіше
есептейміз:
[pic]
Айталық, [pic] дәл мәні көбейткіш болсын, яғни [pic]. Онда [pic] жуық
санның қателіктері мына түрде анықталады:
[pic]
Демек, жуық санды k тұрақты санға көбейткенде, салыстырмалы қателік
өзгермейді, ал абсолют қателік k есе өседі.
Енді [pic] бөліндісін қарастырайық. Мұндағы
[pic] және [pic]
делік және [pic] болсын. Бұл бөліндінің салыстырмалы қателігін есептеу
үшін (1.6) формуланы пайдаланамыз. Қарастырып отырған жағдайда [pic] деп
алуға болады.
Олай болса,
[pic]
3-ші дәріс: Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің сандық әдістері
Дәріс жоспары:
1. тура шешу
2. жуықтап шешу
3. Тура жол
4. Кері жол:
Сызықтық алгебраның есептерін сандық шешу
Белгісіздер саны n–ге тең n алгебралық сызықтық теңдеулер жүйесі
берілсін:
[pic] (1)
Келесі белгілеулер енгізейік:
[pic]
Онда (1) теңдеулер жүйесін матрицалық формада былай жазуға болады: [pic]
(1.1)
А матрицасына [pic] детерминантын, [pic][pic]транспонирленген матрицаны
және кері [pic][pic]матрицасын сәйкес қояйық. Егер [pic] болса, онда А
матрицасы ерекше емес деп аталады, ал (1) жүйенің жалғыз шешімі бар
болады:[pic]
Егер [pic] болса, (1) –біртекті жүйе. Біртекті жүйенің [pic] болғанда ғана
нольге тең емес шешімі болады. А матрицасының характеристикалық теңдеуі:
[pic]
Бұл теңдеудің түбірлері [pic] А матрицасының меншікті мәндері деп аталады.
Әрбір меншікті мән [pic]-де сәйкес меншікті вектор [pic] анықталады.
Меншікті вектор келесі жүйенің нольге тең емес шешуі:
[pic]
Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу.
Көптеген сандық есептерде А матрицасының өлшемі үлкен. Алгебра
курсынан (1) жүйені Крамер формулаларымен немесе белгісіздерді біртіндеп
жою (Гаусс тәсілі) тәсілімен шешуге болатыны белгілі. Бірінші әдіс
анықтауыштарды есептеуге негізделген. Сондықтан m! арифметикалық амал
қолдануды қажет етеді. Ал Гаусс тәсіліне O(m3) амал ғана қажет. Сондықтан
Гаусс тәсілінің әртүрлі варианттары ЭЕМ-де сызықтық алгебра есептерін
шығару үшін кең қолданылады. (1) жүйені сандық шешу тәсілдері екі топқа
бөлінеді:
1. Дәл (тура) тәсілдер
2. Итерациялық тәсілдер
4-ші дәріс: Дәл тәсілдер. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін Гаусс
тәсілімен шешу.
Дәріс жоспары:
Гаусс тәсілі
Гаусс тәсілінің компакт схемасы
Дәл тәсілдер.
Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін Гаусс тәсілімен шешу.
Бұл тәсіл белгісіздерді шығару тәсілі ретінде де белгілі. Себебі
тәсілдің бірінші бөлімінле (тура жүріс) теңдеулердің біреуінен басқаларынан
кезек-кезек бір белгісіз жойылады. Тура жүрістің нәтижесінде берілген
жүйенің коэффициенттер матрицасы жоғары үшбұрышты түрге келтіріледі. Екінші
бөлімінде (кері жүріс) тізбелеп орнына қою арқылы соңғы теңдеуден бастап
жоғары қарай белгісіздер табылады.
Бұл тәсілдің бірнеше модификациясы бар. Соның біреуін қарастырайық.
Бұл Гаусс тәсілі. Келесі түрдегі теңдеулер жүйесі берілсін.
[pic]
мұндағы [pic] . Егер [pic] болса,онда теңдеулерді жүйенің бірінші
теңдеуінде [pic]–дің коэффициенті нольге тең болмайтындай етіп орнын
ауыстырамыз.
Тура жүріс.
Белгісіздерді теңдеулерден тізбелеп жою арқылы жүйені үшбұрышты түрге
келтіреміз. Бірінші теңдеуді кезек-кезек[pic] және [pic] коэффициенттеріне
көбейтіп, алдымен екінші теңдеумен, сосын үшіншісімен қосу арқылы келесі
жүйеге келеміз:
[pic]
Мұндағы [pic]
Бұл жүйеде бірінші теңдеуден басқасынан x1 белгісізі жойылған.
Жоғарыдағыдай түрлендірулер тізбегінен соң бұл жүйе үшбұрышты түрге
келтіріледі:
[pic]
Мұндағы [pic]
Коэффициенттердің k-ші түрлендірілуі келесі формуламен жүргізіледі.
[pic]
Кері жүріс.
Белгісіздер келесі формуламен есептеледі.
[pic]
Гаусс тәсілінің компакт схемасы:
A матрицасы A=BC түріне келтіріледі. Мұндағы B-сол, C-оң үшбұрышты
матрицалар. Онда жүйенің шешуі матрицалары үшбұрышты екі жүйенің шешуінен
тұрады.
By=b, Cx=y,
Мұндағы [pic]
B, C матрицаларын анықтау формулалары:
[pic]
5-ші дәріс: Жордан – Гаусс әдісі.
Дәріс жоспары:
1. Тура жол алгоритмі
2. Кері жол алгоритмі
1. Гаусс әдісі.
[pic] (2.1.1)
(2.1.1) - квадрат матрицалы жүйе берілсін. Жүйенің матрицасы ерекше
емес немесе айқындалмаған болсын. Гаусс әдісін практикада белгісіздерді
біртіндеп жою әдісі деп те атайды.
Әдістің негізгі идеясы немесе мағынасы ([12],[13] қараңыз): берілген
жүйенің матрицасын үшбұрышты түрге келтіру, бұл – тура жол деп аталады,
сосын үшбұрышты матрицаны қолданып құрған жаңа жүйеден белгісіздерді
біртіндеп табу, бұл – кері жол деп аталады. Сонда Гаусс әдісі 2 этаптан
тұрады:
1. тура жол – матрицаны үшбұрышты түрге келтіру.
2. кері жол – белгісіздерді ең соңғысынан бастап кері қарай табу.
Бұл әдіс тура тәсілге жатады. Яғни белгісіздердің мәнін бастапқы
жүйеге қойғанда теңдіктің оң жағындағы мәндер мен сол жағындағы мәндер бір
біріне тең болады.
Матрицаны үшбұрышты түрге келтіру әр түрлі әдіспен орындалады,
қолданылатын әдіс теңдеулердің коэффициенттеріне байланысты.
1. Тура жол:
[pic] басшы элементі нөлден өзгеше деп есептеп (2.1.1)- жүйенің
бірінші теңдеуінің коэффициенттерін басшы элементке бөлу арқылы келесі
теңдеуді аламыз:
[pic] (2.1.2.)
мұндағы [pic], [pic] (2.1.3)
(2.1.2) - теңдеуді қолданып (2.1.1) - жүйенің 2-ші теңдеуінен, 3-ші
теңдеуінен және n-ші теңдеуінен х1 белгісізін жоюға болады. Ол үшін (2.1.2)-
ші теңдеуді а21, а31, ..., аn1 коэффициенттеріне көбейтіп шыққан
нәтижелерді сәйкесінше 2-ші теңдеуден, 3-ші теңдеуден, т.с.с. n-ші
теңдеуден азайтып aij1 деп белгілейміз:
[pic] (2.1.4)
Сонда келесідей жүйе аламыз:
[pic] (2.1.5)
Алынған (2.1.5) - жүйенің 1-ші теңдеуін а221 элементіне бөліп, теңдеу
аламыз:
[pic] (2.1.6)
мұндағы [pic], [pic] (2.1.7)
х1 белгісізін қалай жойсақ, тура сол сияқты х2 белгісізін (2.1.5) - жүйеден
жоямыз, сонда мынадай жүйе алынады:
[pic] (2.1.8)
мұндағы
[pic] (2.1.9)
(2.1.8) - жүйенің 1-ші теңдеуін [pic] элементіне бөліп
[pic] (2.1.10)
теңдеу аламыз. Мұндағы [pic], [pic] (2.1.11)
(2.1.10) - теңдеу көмегімен (2.1.8) - жүйеден х3 белгісізін жоямыз.
Осы әрекеттер тізімін матрица толық үшбұрышты түрге келгенше
жалғастырамыз да (2.1.2)-ші, (2.1.6)-шы, (2.1.10)-шы, т.с.с. алуға болатын
теңдеулерді жинақтап келесідей жүйе аламыз:
[pic] (2.1.12)
2. Кері жол:
(2.1.12) - жүйенің ең соңғы n-ші теңдеуінен [pic] белгісізін тауып
алып n-1 –ші теңдеуге қою арқылы xn-1 белгісізін табуға, сол сияқты кері
қарай барлық белгісіздерді табуға болады.
Ескерту: Бұл әдіс матрицаның басшы элементі нөлден өзгеше болған
жағдайда қолданылады. Егер берілген жүйе матрицасының басшы элементі нөлге
тең болса, жүйенің теңдеулерінің орындарын ауыстыру арқылы, арифметикалық
операциялар қолдану арқылы басшы элементтің нөлдігінен құтылуға болады.
2. Жордан – Гаусс әдісі.
Бұл әдісті қолдану үшін жүйенің матрицасының басшы элементтері немесе
диагональ элементтері нөлден өзгеше болуы керек ([11] қараңыз). Егер
матрицаның басшы элементтері нөлге тең болса, қандай да бір алмастырулар,
ауыстырулар қолдану арқылы нөлден құтылады. Жордан - Гаусс әдісін
сондықтан басшы элементті таңдау әдісі деп те атайды. Әдістің негізгі
идеясы модулі бойынша ең үлкен элементті басшы элемент деп алып, сол
элемент орналасқан жолдағы сәйкес белгісізді жою. Бұл әдіс те тура және
кері жолдан тұрады. Келесі жүйе берілсін.
[pic] (2.2.1)
1. Тура жол алгоритмі
1. (2.2.1) – жүйенің кеңейтілген матрицасын құрамыз.
2. [pic]элементтерінің арасынан модулі бойынша ең үлкен
элементті басшы элемент деп тағайындаймыз. Оны apq деп белгілейік.
3. Барлық [pic] мәндері үшін [pic] (2.2.2)
көбейткішін есептейміз.
4. Әрбір басшы емес жолдан [pic] көбейткішіне көбейтілген басшы жол
элементтерін мүшелеп шегереміз:
[pic] (2.2.3)
Сонда q-шы бағанның басшы элементтен басқа элементтері нөлге
айналады.
5. q-шы баған және басшы жолды тастап кетіп жаңа М1 матрица аласыз.
Бастапқы матрицаның бағаны мен жол саны азаяды.
6. М1 матрицасына 2-5-ші пункттерді қайталап қолдану арқылы М2 матрицасын
аламыз.
7. Осы процессті бір белгісізді бір жолдан тұратын теңдеу қалғанша
жалғастырамыз.
8. Тастап кеткен басшы жолдардан жаңа жүйе құрастырамыз.
2. Кері жол алгоритмі
Басшы жолдардан құралған матрицаны әлдебір ауыстырулар арқылы
үшбұрышты түрге келтіріп, ең соңғы теңдеуден ең соңғы белгісізді, оны
қолданып оның алдындағы белгісізді, т.с.с. барлық белгісіздерді кері
бағытта анықтаймыз.
[pic] сандары қаншалықты азайған сайын есептеу қателігі де азаяды.
Сондықтан ЭЕМ-ді қолданып есептеу уақытында осы әдіс тиімді деп есептеледі.
Ескерту. Егер жүйе өте көп белгісіздерден тұрып, оның барлық
элементтерінің арасынан модулі бойынша үлкен элементті табу қиынға соқса
басшы жол ретінде жүйенің бірінші жолын, ал басшы элемент ретінде осы
жолдың модулі бойынша ең үлкен элементін алуға болады.
6-шы дәріс: Квадрат түбір тәсілі.
Квадрат түбірлер әдісі.
[pic] (2.3.1)
Жүйенің матрицасы симметриялы элементтерден тұратын болса, онда мұндай
жүйеге квадрат түбірлер әдісі қолданылады. Әдістің мақсаты ([13] қараңыз)
берілген матрицаны бір-біріне түйіндес екі үшбұрыш матрицаның көбейтіндісі
түріне келтірейік.
A=S*DS (2.3.2)
мұндағы S*- төменгі үшбұрышты матрица, S- жоғарғы үшбұрышты матрица
.
[pic] [pic]
SS*D матрицасын бір-біріне көбейтіп элементтерін А матрицасының
элементтеріне теңестіреміз. Алынған матрицасының диоганалдық элементтері
мына формуламен есептелінеді.
[pic]
ал қалған элементтер үшін мына формула қолданылады:
[pic] [pic]
[pic] (2.3.3)
[pic] (2.3.4)
[pic] (2.3.5)
[pic] (2.3.6)
[pic] (2.3.7)
Егер берілген матрицаның коэффициенті нақты және бас минорлары оң болса,
онда d матрицасын бірлік матрица деп, есептеу мына фолмулалармен
жүргізіледі:
[pic] (2.3.3*)
[pic] (2.3.4*)
[pic] (2.3.5*)
[pic] (2.3.6*)
[pic] (2.3.7*)
Бұл формулаларды қолданғаннан кейін шыққан матрицаны мынадай үшбұрышты
жүйе құрамыз:
[pic] (2.3. 8)
[pic] (2.3.9)
[pic] (2.3.10)
[pic] (2.3.11)
[pic][pic] (2.3.12)
7-ші дәріс: Ортогонализация тәсілі
Дәріс жоспары:
1. Ортогонализация тәсілі
2. Түрлендіру негіздері
Ортогонализация тәсілі.
Бұл тәсіл бірнеше түрлендірулер арқылы берілген жүйені ортогональ теңдеулер
жүйесіне келтіруге мүмкіндік береді.
[pic]
Бұл жүйе матрицасының жолдары келесі шартты қанағаттандырады:[pic]
Түрлендірулер келесі формулалармен жүргізіледі.
[pic]
Мұндағы [pic]
Мұнан соң x1,x2 ,…,xn белгісіздер келесі формуламен есептеледі: [pic]
8-ші дәріс: Жай итерация тәсілі. Зейдель тәсілі.
Дәріс жоспары:
1. Қарапайым итерация әдісі.
2. Зейдель тәсілі.
Қарапайым итерация әдісі.
[pic] (1)
(1)- жүйені қандай да бір амалдар қолданып келесі түрге келтірейік,
[pic] (1.1)
немесе қысқаша жазсақ: [pic]
(1.1.) – жүйенің оң жағы n - өлшемді векторлық кеңістікте x(x1,x2,…,xn)
нүктесін осы кеңістіктің y(y1,y2,…,yn) нүктесіне айналдыратын бейнелеу
болып табылады:
[pic] (1.2.)
(1.1.) – жүйені қолданып, бастапқы [pic]нүктені таңдап алып n - өлшемді
векторлық кеңістікте нүктелердің итерациялық тізбегін құруға болады:
[pic] (1.3.)
(1.3.) – итерациялық тізбек жинақты болса, оның шегі (1.1.) итерациялық
жүйенің шешімі болады. Тізбектің жинақтылығын дәлелдеу үшін функционалдық
анализдің кейбір ұғымдары керек:
5. Зейдель әдісі.
1. – жүйе (1.1.) – итерациялық түрге келтірілсін. Бұл жүйені қарапайым
итерация әдісімен шешкенде итерациялық процесстің әр қадамы белгілі
бастапқы жуықтаудан белгісіздің жаңа жуықтауына көшуден тұратын еді.
Белгілі бастапқы жуықтаудың элементтерін x1, x2, … , xn деп, ал
есептелетін келесі жуықтауларды y1, y2, … , yn деп белгілейік. Сонда
есептеу формулалары келесі түрге көшеді:
[pic] (2.1.)
Зейдель әдісінің негізгі идеясы итерациялық процестің әр қадамында yi-дің
мәндерін есептеу барысында оның алдында есептелген y1, y2, … , yi-1 мәндері
қолданылады да (2.1.)– ді ашып жазсақ, Зейдель формуласы келесідей болады:
[pic] (2.2.)
(2.2.)– итерациялық процесінің жинақтылығы үш метрикалық кеңістікте мына
шарттардың бірі орындалуымен бекітіледі:
1. [pic] кеңістікте [pic] шарты (2.3.)
2. [pic] кеңістікте [pic] шарты (2.4.)
3. [pic]кеңістікте [pic]шарты. (2.5.)
Егер бұл шарттардың біреуі орындалса, (2.2.)– итерациялық процесс кез
келген бастапқы жуықтауда өзінің жалғыз шешіміне жинақталады.
Зейдель әдісін жүйенің матрицасы симметриялы элементтерден тұрған
жағдайда қолданады. Егер матрица симметриялы болмаса оны симметриялы түрге
келтіру үшін жүйенің матрицасын және векторларын транспонирленген матрицаға
көбейтеді:
АТ*А*х=AT*b (2.6.)
Белгілеулер енгіземіз:
AT*A=C
AT*b=D
Сонда
Cx=D (2.7.)
(2.7.) – жүйені қалыпты жүйе деп атайды. Қалыпты жүйенің элементтері
симметриялы және диагональды элементтері нөлден өзгеше болады. Қалыпты
жүйені алдында қарастырған амалдарды қолданып (2.2.)– итерациялық жүйеге
келтіруге болады.
(2.7.) – қалыпты жүйеге эквивалентті (2.2.)– келтірілген итерациялық
жүйе үшін Зейдельдің итерациялық процесі өзінің жалғыз шешіміне кез келген
бастапқы жуықтауларда жинақталады.
Егер е дәлдік берілсе, итерациялық әдіс [pic], i=0,1,2,… шарты
орындалғанға дейін жалғасады.
9-шы дәріс: Сызықты емес теңдеулерді. Түбір жатқан аралықты анықтау әдісі
Дәріс жоспары:
1. Сызықты емес теңдеулер түрі
2. Сызықты емес теңдеуді сандық шешу тәсілдері.
3. Бір өлшемді сызықты емес теңдеуді шешудің тәсілдері.
4. Түбір жатқан аралықты анықтау әдісі
Сызықты емес теңдеулерді және теңдеулер жүйесін шешудің сандық
әдістері
Дәріс тезисі:
Сандық әдістердің бір бөлімі «бір өлшемді сызықты емес теңдеулер»
болып табылады. Физикалық және басқа да құбылыстардың теңдеумен
сипатталатыны белгілі. Сол теңдеуді классикалық математикалық формуламен
шешу мүмкін емес жағдайлар бар. Бұл уақытта практикада сандық әдістерге
жататын әдістермен шешілетінін дәлелдеу керек. Әрине ең алдымен құрылған
теңдеудің қай аралықта анықталғандығын, үзіліссіздігін, түбірінің барлығын,
оның жалғыздығын дәлелдейтін аргументтерді бақылау керек. Осы этаптан
өткеннен кейін ғана есепті осы теңдеуге қолдануға келетін алгоритм
көмегімен шығаруға болады.
Сызықты емес теңдеулер екі түрлі:
1. алгебралық
2. трансцендентті.
Алгебралық теңдеулер деп алгебралық көпмүшеліктерден тұратын
теңдеулерді айтады. Олардың шешімдері көбіне нақты сан болады.
Трансцендентті теңдеу деп құрамында тригонометриялық немесе арнаулы
функцялары бар теңдеуді айтады.
Сызықты емес теңдеуді сандық шешу екі тәсілден ([1] қараңыз) тұрады.
1. Тура тәсіл - есепті математикалық дәлелденген бір формулаға қою арқылы
тікелей шығару.
2. Итерациялық тәсіл – есепті формула көмегімен бастапқы жуықтауды беру
арқылы жуықтап, біртіндеп шығару.
Тура тәсілмен шығарылған есептер дәл мәнді береді. Ал итерациялық
тәсілмен шешілген есептер есептің жуық мәнін береді .Мұның ішінде
итерациялық әдістер сандық әдіске жатады.
Бір өлшемді сызықты емес теңдеуді шешудің келесі әдістері бар.
1.Кесіндіні қақ бөлу - дихотомия әдісі деп аталады.
2.Хорда әдісі.
3. Жанама әдісі немесе Ньютон әдісі
4. Қарапайым итерациялық әдіс немесе жәй итерация әдісі т.б.
Түбір жатқан аралықты анықтау әдісі
F(x)=0 (1.1)
Бірөлшемді сызықты емес теңдеу берілген. Мұндағы F(x) функциясы [a,b]
кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болсын.
Теорема1.1: [а,в] аралығында анықталған, үзіліссіз F(x) функциясының
екі шеткі нүктелердегі мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, яғни мына
шарт орындалса f(a)*f(b)<0, онда осы аралықта (1.1)-теңдеудің түбірі
бар және жалғыз болады.
Практикада кейде теореманың орындалуын функцияның мәндер кестесін құру
арқылы да анықтайды. Функцияның анықталу облысы бойынша а нүктесін беріп,
ол нүктедегі функция мәнін анықтайды, сосын һ қадаммен келесі нүктеге
жылжып, сол нүктедегі функция мәнін анықтайды, сол сияқты бірнеше нүктедегі
функция мәндерін анықтап, таңбасын салыстырады. Егер көрші нүктелерде
функция әр түрлі таңба қабылдаса, сол аралықта жалғыз түбірі жатыр деп
айтады.
10-шы дәріс: Кесіндіні қақ бөлу әдісі. Жай итерация әдісі
Дәріс жоспары:
1. Теңдеуді кесіндіні қақ бөлу әдісімен шешу алгаритмі .
2. Жай итерация әдісі
Итерациялық тізбектің жинақтылығы теоремасы
Кесіндіні қақ бөлу әдісі
(1.1) - теңдеуді кесіндіні қақ бөлу әдісімен шешу алгаритмі келесі
қадамнан тұрады.
1. (1.1)-ші теңдеудің түбірі жатқан аралығын анықтау және осы аралықта
түбірдің жалғыздығын тексеру. Яғни x осі бойында бірдей қашықтықта
жатқан нүктелердегі функцияның мәндерін есептеміз, және егер екі шеткі
нүктеде немесе екі көрші нүктеде функция мәндерінің таңбалары әр түрлі
болса, онда сол аралықта түбір бар деп есептеу
2. Осы аралықты қаққа бөлу және ол нүктенің мәнін
Xорт=(Xn+1+Xn)\2. (1.2)
формуласымен анықтау.
3. Xn+1-Xn0, онда
f(x0)*f''(x0)>0 теңсіздігін қанағаттандыратын [pic] бастапқы
жуықтаудан бастап (1)-ші теңдеуді қанағаттандыратын [a,b] лығында
жататын жалғыз шешімге жинақталатын [pic]итерациялық тізбек құруға
болады.
Ньютон әдісінің геометриялық мағынасы: координаталары (xn;f(xn)) ,
болатын нүктеден қисыққа жанама жүргізсек, оның ох өсімен қиылысу нүктесі
теңдеудің түбіріне хn+1 – кезекті жуықтау болып табылады.
Түбірге n-ші жуықтаудың қателігін бағалау үшін келесі теңсіздіктің
орындалуын қадағалау керек:[pic]. Мұндағы М2 – функцияның екінші ретті
туындысының аралықтағы максимумы, m1- минимумы. Егер, [pic]болса, онда
[pic] болады, яғни түбірге дұрыс жуықталынса, әр итерациядан кейін кезекті
жуықтаудың ондық таңба саны екіге артады да процесс тез жинақталады. Егер
түбірді берілген е дәлдікпен табу керек болса, итерациялық процесті
[pic]шарты орындалғанша жалғастырамыз.
12-ші дәріс: Сызықты емес теңдеулер жүйесін шешудің сандық әдістері.
Ньютон әдісі
Дәріс жоспары:
1. Ньютон әдісі
2. Әдістің мақсаты, ерекшелігі.
Сызықты емес теңдеулер жүйесін шешудің сандық әдістері
Екі теңдеуден тұратын екі белгісізді сызықты емес теңдеулер жүйесін
қарастырайық: [pic] (1.5)
Бұл есептің мақсаты - екі теңдеудің графигінің қиылысу нүктелерін
анықтау.
Ньютон әдісі
Екі теңдеудің графигін сызып екеуінің қиылысу нүктелері жатқан облысты
белгілейміз де осы облыстан жуықтап бастапқы жуықтауларды (x0, y0) таңдап
аламыз ([3] қараңыз). Келесі жуықтауларды мына формулалармен есептейміз:
[pic]
Мұндағы [pic] якобиан деп аталады.
Бұл әдіс бастапқы жуықтаулар түбірге жақын алынған уақытта тиімді.
13-ші дәріс: Қарапайым итерация әдісі Жүйені итерациялық түрге
келтіру
Дәріс жоспары:
1. Қарапайым итерация әдісі. Бұл әдістің жинақтылығын теореманың
шарттарымен тексеру.
2. Жүйені итерациялық түрге келтіру тәсілдерді
Қарапайым итерация әдісі
(1.5)-ші жүйе берілсін. Бұл әдісті қолданбас бұрын жүйені итерациялық
түрге келтіріп алады: [pic] (1.6.)
Теңдеулердің графиктерін құру арқылы бастапқы жуықтауларды беріп, келесі
жуықтауларды мына формуламен есептейді:
[pic] n=0,1,2,... (1.7.)
Бұл әдістің жинақтылығын теореманың шарттарымен тексеру керек.
Теорема 1.4: Әлдебір тұйық [pic] облыста (1.5)-ші
жүйенің жалғыз шешімдері бар болсын: [pic]. Егер:
1) [pic] және [pic]функциялары [pic] облысында анықталған және
үзіліссіз болса,
2) бастапқы және келесі жуықтаулардың барлығы осы облыста жатса,
3) осы облыста мына теңсіздіктер орындалса:
[pic] (1.8)
онда (1.6)-ші итерациялық процесс өзінің жалғыз [pic] шешіміне
жинақталады, яғни [pic][pic], [pic].
Қателігін бағалау:
[pic]. M=max(q1;q2).
Кей жағдайда (1.6)-ші итерациялық процестің орнына Зейдель процесін
қолдануға болады:
[pic] n=0,1,2,... (1.9)
Жүйені итерациялық түрге келтіру
(1.5)-ші жүйені (1.6)-ші итерациялық түрге келтіру үшін келесі
тәсілдерді қолданған дұрыс.
[pic], [pic] болсын. (1.10)
Коэффициенттерді мына жүйеден табамыз:
[pic]
[pic] (1.11)
Параметрлерді осылай таңдап алу арқылы (1.8)-ші шарттың орындалуын талап
етуге болады.
14-ші дәріс: Функцияны интерполяциялау. Лагранждың интерполяциялық
көпмүшелігі.
Дәріс жоспары:
1. Функцияны интерполяциялау
2. F(x) интерполяиялаушы функцияны n дәрежелі көпмүшелік түрде қарастыру
Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігі
Функцияны интерполяциялау
Дәріс тезисі
F(x) функциясының белгілі мәндері келесі таблицаны құрсын.
|хi |X0 |X1 |… |xn |
|F(xi)|Y0 |Y1 |… |yn |
[x0, xn] аралығында жататын, бірақ xi-лердің ешқайсысымен сәйкес
келмейтін х-тегі функция мәнін табу керек болсын.
Әдетте функцияның аналитикалық өрнегі берілсе, онда х-тің орнына мәнін
қойып функция мәнін есептей салуға болатын. Кей жағдайда функцияның
аналитикалық өрнегі мүлде белгісіз болуы немесе есептеуге көп уақытты қажет
етуі мүмкін. Осындай жағдайларда берілген таблица бойынша f функциясына
жуық F жуықтаушы функцияны құрады:
f(x)=F(x) (2)
Құрылған жуықтаушы функция келесі шарттарды қанағаттандыруы керек:
F(x0)=y0, F(x1)=y1, F(x2)=y2, …. , F(xn)=yn (3)
Мұндай есепті функцияны интерполяциялау есебі деп атайды. Ал х0, x1,
x2, … , xn нүктелерін – интерполяциялау тораптары немесе түйіндері деп
атайды.
F(x) интерполяиялаушы функцияны n дәрежелі көпмүшелік түрінде іздейді:
Лагранж, Ньютон, Гаусс, Бессель, Стирлинг, т.б.
Егер интерполяциялық түйіндердің бір бірінен ара қашықтықтары тұрақты
емес болса, Лагранждың көпмүшелігі, тұрақты болса – Ньютоннның
көпмүшеліктері қолданылады.
1. Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігі.
[pic] (1)
Кей жағдайда есептеу процесін жеңілдету үшін x=at+b, xj=atj+b
j=0,1,…,n сызықты алмастыруын жасау арқылы Лагранж коэффициенттерінің
инварианттылығын қолдануға болады, онда (1)-формула келесі түрге келеді:
[pic]
(2)
15-ші дәріс: Ньютоннның интерполяциялық формулалары
Дәріс жоспары:
Ньютоннның интерполяциялық формулалары.Бұл формулалардың екіге бөлінуі.
Шектік айырымдар таблицасы.
. Ньютоннның интерполяциялық формулалары.
Егер интерполяциялық түйіндердің бір бірінен ара қашықтығы тұрақты
болса, практикада Ньютонның интерполяциялық формулалары қолданылады. Бұл
формулалар екіге бөлінеді:
1. Алдыға қарай интерполяциялау
2. Кері интерполяциялау
Егер берілген х нүктесінің мәні таблицаның бас жағында жатса, 1-
формуласы қолданылады:
[pic] .
Мұндағы [pic]
Егер берілген х нүктесінің мәні таблицаның соңғы жағянда жатса, 2-
формула қолданылады:
[pic]
[pic]
Формулалардағы [pic], [pic], т.с. сияқтылар шектік айырымдар деп аталады
және 3-таблицаны толтыру арқылы анықталады. Таблицада мысал үшін 6
интерполяциялық түйін және шектік айырымдардың 4-ші дәрежесіне дейінгі
мәндер қарастырылған. 1-формула үшін таблицаның бірінші жолындағы мәндер, 2-
формула үшін таблицаның соңғы жолындағы мәндер қолданылады.
3-таблица. Шектік айырымдар таблицасы.
|X |y |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|X0 |Y0 |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|X1 |Y1 |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|X2 |Y2 |[pic] |[pic] |[pic] | |
|X3 |Y3 |[pic] |[pic] | | |
|X4 |Y4 |[pic] | | | |
|X5 |Y5 | | | | |
Егер интерполяциялық түйіндер саны 1 немесе 2-ге тең болса сызықты
интерполяциялық формуланы қолдануға болады: [pic].
Қателіктерін бағалау:
1-формула үшін мына формула қолданылады:
[pic], [pic]
немесе[pic] [pic]
2-формула үшін мына формула қолданылады:
[pic], [pic]
3. Машықтану және зертханалық сабақтар:
Тапсырмалар
1. Берілген теңдеулердің түбір жатқан аралығын тауып, жоғарыда
келтірілген сандық әдістермен түбірлерін анықтау. Әр түрлі әдіспен
анықталған түбірлерді бір бірімен салыстырып қателіктерін көрсету. Дәлдікті
өздеріңіз таңдап алыңыздар.
|№ |Теңдеулер |
|1 |[pic] |
|2 |xsin(x)-1=0 |
|3 |8cos(x)-x=6 |
|4 |Sin(x)-0,2x=0 |
|5 |10cos(x)-0,1x2 |
|6 |2lg(x+7)-5sin(x)=0 |
|7 |4cos(x)+0,3x=0 |
|8 |5sin(2x)=[pic] |
|9 |1.2x4+2x3-24.1=13x2+14.2x |
|10 |2x2-5=2x |
1.1. Берілген сызықты емес теңдеулер жүйелерінің түбірлерін Ньютон,
Зейдель, қарапайым итерация әдістерімен анықтау.
|№ |Жүйелер |Қосымша шарт |
|1 |[pic] |x>0, y>0, [pic], k=0.1*m, |
| | |m=0,1,2,3,4. |
|2 |[pic] |x>0, y>0, [pic], k=0.6+0.1*m, |
| | |m=0,1,2,3,4. |
2. Гаусс, Жордан-Гаусс, квадрат түбірлер, Зейдель, қарапайым итерация
әдістерін қолданып төмендегі жүйелерді шешу.
1. [pic]
№2 №3
[pic] [pic]
№ 4 №5
[pic] [pic]
3. Функцияның мәндер таблицасы берілген:
1.y=sin(x) функциясының мәндері берілген. Ньютонның сәйкес формуласын
қолдану арқылы берілген нүктелердегі мәндерді және қателіктерін анықтау.
|X |1.1 |1.2 |1.3 |1.4 |1.5 |1.6 |1.7 |
|Sin(x|0.8912|0.9320|0.9635|0.9854|0.9974|0.99995|0.9916|
|) |1 |4 |6 |5 |9 |7 |6 |
|1.8 |1.9 |2.0 |2.1 |2.2 |2.3 |2.4 |2.5 |
|0.9738|0.9463|0.9093|0.8632|0.8085|0.7457|0.6754|0.5984|
|5 |0 |0 |1 |0 |1 |6 |7 |
2.f(x) функциясының мәндері таблицамен берілген. Көрсетілген нүктелердегі
функция мәндерін Ньютонның формулаларымен анықтау.
|X |1.50 |1.51 |
|1 |(0,2x)3=cos(x) | |
|2 |x-10sin(x)=0 | |
|3 |2-x=sin(x) |X<10 |
|4 |2x-2cos(x)=0 |x>-10 |
|5 |Lg(x+5)=cos(x) |X<5 |
1.1. Берілген сызықты емес теңдеулер жүйелерінің түбірлерін Ньютон,
Зейдель, қарапайым итерация әдістерімен анықтау.
|№ |Жүйелер |Қосымша шарт |
|1 |[pic] | |
|2 |[pic] |Y=0, y=x, x=0.5 түзулерімен шектелген|
| | |облыстағы түбірлерін табу. |
|3 |[pic] |[pic] |
| | |Y=0, y=x, x=0.5 түзулерімен шектелген|
| | |облыстағы түбірлерін табу. |
|4 |[pic] |Y=0, y=x, x=0.5 түзулерімен шектелген|
| | |облыстағы түбірлерін табу. |
|5 |[pic] |Y=0, y=x, x=0.5 түзулерімен шектелген|
| | |облыстағы түбірлерін табу. |
2. Гаусс, Жордан-Гаусс, квадрат түбірлер, Зейдель, қарапайым итерация
әдістерін қолданып төмендегі жүйелерді шешу.
№1 №2
[pic] [pic]
№3 №4
[pic] [pic]
№5
[pic]
3. Функцияның мәндер таблицасы берілген:
|Х |1,50 |1,54 |1,56 |1,60 |1,63 |1,70 |
|У |3,873 |3,924 |3,950 |4,000 |4,037 |4,123 |
Лагранж формуласын қолданып көрсетілген нүктелердегі функция
мәндерін анықтау:
a) 1,52 b) 1,55 c) 1,58 d) 1,61 e) 1,67.
1. Функцияның мәндер таблицасы берілген:
|Х |2,0 |2,3 |2,5 |3,0 |3,5 |3,8 |4,0 |
|У |5,848 |6,127 |6,300 |6,694 |7,047 |7,243 |7,368 |
Лагранж формуласын қолданып көрсетілген нүктелердегі функция мәндерін
анықтау:
a) 2,22 b) 2,41 c) 2,78 d) 3,34 e) 3,75, f) 3,88.
3. sin(x) функциясының x=0, [pic]/6, [pic]/4 [pic]/3 [pic]/2
нүктелеріндегі мәндерін біле отырып x=[pic]/12 нүктесіндегі мәнін және
қателігін анықтау.
4. Cos(x) функциясының x=0, [pic]/6, [pic]/4 [pic]/3 [pic]/2
нүктелеріндегі мәндерін біле отырып x=[pic]/5 нүктесіндегі мәнін және
қателігін анықтау.
5. y=ex функциясының мәндері таблицамен берілген. Сызықты интерполяциялау
формуласын қолданып функцияның берілген нүктелердегі мәндерін анықтау.
X0.500.510.520.530.540.550.560.570.580.590.60ex1.64871.66531.68201.69891.71601.73331.75071.76831.78601.80401.8221
4. студенттің өздік жұмысы
4.1.Өздік жұмысты ұйымдастыру бойынша әдістемелік нұсқаулар: студенттің өздік жұмысы (СӨЖ) реферат түрінде орындалады және студенттердің өздік жұмысын қойлатын талаптарға сәйкес тапсырылады.
Өздік жұмысты бақылау келесі формада өтуі мүмкін:
– жасалған жұмысты көрсету;
– өздік меңгерген тақырып бойынша баяндама;
– аудиториялық сабақтарды немесе ОБСӨЖ-де ауызша сұрау;
– жазбаша орындалған тапсырмаларды қорғау.
Өздік жұмысының нәтижелерін тапсырмаған студент қорытынды аттестацияға жіберілмейді.
Өз бетімен меңгерген материал оқытушумен бірге меңгерілген материалмен қоса қорытынды бақылауға шығарылады.
1. CӨЖ сұрақтары:
Бір өлшемді сызықты емес теңдеулерді шешудің сандық әдістері.
Кесіндіні қақ бөлу әдісі. Жинақтылығы.
Итерация әдісі. Жинақтылығы.
Сызықты емес теңдеулерді итерациялық түрге келтіру.
Сызықты емес теңдеулерді шешудің хорда және қиюшылар әдістері.
Жанамалар әдісі. Жинақтылығы.
Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесінің (САТЖ) шешімінің бар және жалғыздығы.
САТЖ шешімінің жалғыздығының теоремалары.
САТЖ шешімінің бар болу теоремалары
САТЖны шешудің тура немесе дәл әдістері
САТЖны шешудің итерациялық әдістері.
САТЖны итерациялық шешу әдістерінің жинақтылығы.
САТЖне итерациялық түрге келтіру.
Өзіндік бақылау үшін тест сұрақтары
$$$1.
Санның мәнді цифры дегеніміз - ...
санның сол жақтағы бірінші цифрынан бастағандағы нөлге тең барлық цифрлары
санның сол жақтағы бірінші цифрынан бастағандағы нөлден өзгеше барлық цифрлары
санның оң жақтағы бірінші цифрынан бастағандағы нөлден өзгеше барлық цифрлары
санның оң жақтағы бірінші цифрынан бастағандағы нөлге тең барлық цифрлары
санның оң жақтағы екінші цифрынан бастағандағы нөлге тең барлық цифрлары
$$$2.
Х=2,36029 санының неше цифры мәнді?
барлық цифрлары күмәнді
5 цифры мәнді
Барлық цифрлары мәнді
1 цифры мәнді
4 цифры мәнді
$$$3.
Санның мәнді цифры қалай аталады?
дұрыс цифр
дұрыс емес цифр
күмәнді цифр
нөлдік цифр
бірлік цифр
$$$4.
А=0,155 жуық санының абсолютті қателігін анықта. Санның дәл мәні а=0,1545.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
$$$5.
А=0,155 жуық санының салыстырмалы қателігін анықта. Санның дәл мәні а=0,1545.
0,3*10[pic]
0,32*10[pic]
0,5*10[pic]
0,1*10[pic]
1
$$$6.
Жуық сандардың алгебралық қосындысының абсолютті қателігі –
қосылғыштардың салыстырмалы қателігінің қосындысына
қосындының салыстырмалы қателігінің қосындысына
осы сандардың абсолютті қателіктерінің қосындысына
қосылғыштардың қосындысына
санның дұрыс цифрларының қосындысына
$$$ 7.
Жуық сандардың алгебралық қосындысының абсолютті қателігін анықтайтын формуланың дұрысын тап
A. [pic]
B. [pic]
C. [pic]
D. [pic]
E. [pic]
$$$8.
[pic] жуық сандары берілген. Сандардың барлық цифрлары дұрыс. [pic] -ны табу.
2.2748
2.27475
2.275
2.27
2.3
$$$12.
Гаусс әдісінің идеясы –
жүйені итерациялық түрге келтіру
жүйенің матрицасын үшбұрышты түрге келтіру
жүйенің матрицасын симметриялық түрге келтіру
жүйені біртіндеп жуықтап шешу
белгілілерді жою
$$$ 13.
Гаусс әдісі қай әдіс түріне жатады?
біртіндеп жуықтау әдісіне
итерациялық әдіске
тура немесе дәл әдіске
дәл емес әдіске
анықталмаған әдіске
$$$14.
Ах=b жүйесінің шешімі жалғыз болады, егер матрица...
үш диагональды болса
симметриялы болса
квадрат емес болса
ерекше емес болса
ерекше болса
$$$ 15.
Сызықты алгебралық жүйенің шешімі дегеніміз –
жүйенің барлық теңдіктерін дұрыс теңдікке айналдыратын [pic]реттелген сандар тізбегі
жүйенің тек қана бір теңдеуін дұрыс теңдікке айналдыратын [pic]реттелген сандар тізбегі
жүйенің барлық теңдіктерін теңсіздікке айналдыратын [pic]реттелген сандар тізбегі
анықталған функция
анықталмаған функция
$$$ 16.
Гаусс әдісінің тура жолында ...
жүйенің шешімдері табылады
жүйенің матрицасы үшбұрышты түрге келтіріледі
жүйенің матрицасы транспонирленеді
біртіндеп жуықтаулар орындалады
жуық шешімдер табылады
$$$17.
Гаусс әдісінің кері жолында …
жүйенің шешімдері табылады
жүйенің матрицасы үшбұрышты түрге келтіріледі
жүйенің матрицасы транспонирленеді
біртіндеп жуықтаулар орындалады
жуық шешімдер табылады
$$$18
САТЖ-ны шешудің біртіндеп жуықтау әдісін басқаша қалай атайды?
тура әдіс
дәл әдіс
итерациялық әдіс
белгісіздерді біртіндеп жою әдісі
кері әдіс
$$$19.
САТЖ-ны шешудің квадрат тұбірлер әдісі қандай жүйеге қолданылады?
Диагональдық элементтері басым жүйеге
Матрицасы квадрат емес жүйеге
Сызықты емес теңдеулер жүйесіне
Симметриялық матрицалы жүйеге
Дифференциалдық теңдеулер жүйесіне
$$$20.
Квадрат түбірлер әдісінің тура жолында не орындалады?
Жүйе матрицасы нөлдермен толтырылады
Жүйенің шешімдері табылады
Жүйе матриасы бірлермен толтырылады
Шешімге бастапқы жуықтаулар табылады
Жүйенің матрицасы өзара транспонирленген екі үшбұрышты матрицалардың көбейтіндісіне жіктеледі
$$$21.
Квадрат түбірлер әдісінің кері жолында не орындалады?
Жүйе матрицасы нөлдермен толтырылады
Жүйенің шешімдері табылады
Жүйе матриасы бірлермен толтырылады
Шешімге бастапқы жуықтаулар табылады
Жүйенің матрицасы өзара транспонирленген екі үшбұрышты матрицалардың көбейтіндісіне жіктеледі
$$$22.
Егер САТЖ-ның матрицасында диагональдық басымдылық бар болса қай әдіс қолданылады?
Жордан – Гаусс
Гаусс
Қарапайым итерация
Белгісіздерді біртіндеп жою
релаксация
$$$23.
САТЖ-ның матрицасы симметриялы болса қай әдіс қолданылады?
Жордан – Гаусс
Гаусс
Қарапайым итерация
Белгісіздерді біртіндеп жою
Зейдель
$$$24.
[pic] түріне келтірілген жүйе қалай аталады?
сызықты
дәл емес
дәл
итерациялық емес
итерациялық
$$$25.
САТЖ-ны жуықтап шешу уақытында не белгілі болуы керек?
Бьастапқы жуықтаулар
Белгісіздердің ең соңғы мәндері
Белгісіздер алдындағы коэффициенттер
Бос мүшелер
Барлық белгісіздердің мәндері
$$$26.
САТЖ-ны шешудің Зейдель әдісі қандай матрицалы жүйеге қолданылады?
Матрица элементтері үшін [pic], i=1,2,…n шарт орындалса
Ерекше матрицалы
Диагональды матрицалы
Симметриялы элементті матрицалы
А, B, D жауаптары дұрыс
$$$27.
САТЖ-ны шешудің қапарайым итерация әдісі қандай матрицалы жүйеге қолданылады?
Матрица элементтері үшін [pic], i=1,2,…n шарт орындалса
Ерекше матрицалы
Диагональды матрицалы
Симметриялық матрицалы
А, D жауаптары дұрыс
$$$ 28.
САТЖ-ның шешімі өзінің жалғыз шешіміне қай шарт орындалғанда жинақталады?
[pic]>1, [pic]>1, [pic]>1
[pic]<1, [pic]<1, [pic]<1
[pic]<[pic], [pic]<[pic], [pic]<[pic]
[pic]>[pic], [pic]>[pic], [pic]>[pic]
[pic]<2, [pic]<2, [pic]<2
$$$ 29.
САТЖ-ны шешудің итерациялық процесін құруда бастапқы жуықтаулар ретінде не алынады?
Белгісіздер алдындағы коэфициенттер
Белгісіздерден құралған вектор
Бос мүшелер
Коэффициенттер квадраты
Коэффициенттер кубы
$$$ 30.
Қай тұжырымдама дұрыс емес?
A. Қателік – функция мәндерін есептеуде жіберілетін қате
B. Қателік – сандарды мәнді цифрларын жоғалту арқылы дөңгелектеу
C. Қателік – нәтиженің дәлдігін бағалайтын шама
D. Қателік – ЭЕМ көмегімен есептеу уақытында жіберілетін қателіктер
E. Қателік – есептеудің дәл мәні
$$$ 31.
Есептеу қателігі неден тәуелді?
A. дұрыс цифрлардан
B. дөңгелектеу ережелері мен есепті сандық шешу алгоритмінен
C. берілген дәлдік дәрежесінен
D. қолданылатын алгоритм түрлерінен
E. Есеп коэффициенттерінен
$$$ 32.
Қосындының салыстырмалы қателігі
A. [pic]
B. [pic]
C. [pic]
D. [pic]
E. [pic]
$$$ 33.
Айырманың салыстырмалы қателігі:
A. [pic][pic]
B. [pic]
C. [pic]
D. [pic]
Е. [pic]
$$$34.
Көбейтіндінің абсолютті қателігі
A. [pic]
B. [pic]
C. [pic]
D. [pic]
E. [pic]
$$$35.
Көбейтіндінің салыстырмалы қателігі
A. [pic]
B. [pic]
C. [pic]
D. [pic]
E. [pic]
$$$36
Қателіктің қай түрі жоқ?
А. дөңгелектеу уақытында пайда болатын қателіктер, әдіс қателігі, бастапқы берілгендер қателігі
B. шеттетілмейтін қателік
C. абсолютті және салыстырмалы қателіктер
D. есептеу қателігі
E. туынды қателік
$$$37
Шеттетілмейтін қателік неден тәулді?
A. сандардың абсолютті және салыстырмалы қателіктерінен
B. әртүрлі әсерлер принципінен
C. оң, дұрыс мәнді цифрлардан
D. таңдалынған алгоритмнің орнықтылығы мен орнықсыздығынан
E. нәтиженің теріс таңбасынан
$$$38
Салыстырмалы қателік – бұл
A. [pic] шартын қанағаттандыратын [pic] шамасы
B. [pic] шартын қанағаттандыратын [pic] шамасы
C. [pic] шартын қанағаттандыратын [pic] шамасы
D. [pic] шартын қанағаттандыратын [pic] шамасы
E. [pic] шартын қанағаттандыратын [pic] шамасы
$$$39
Айырманың абсолютті қателігі
A. [pic]
B. [pic]
C. [pic]
D. [pic]
E. [pic]
$$$40
Бөлшектің абсолютті қателігі
A. [pic]
B. [pic]
C. [pic]
D. [pic]
E. [pic]
$$$45
Барлық сандық әдістердің негізгі идеясы
A. Берілген есепті ЭЕМ-нен шығаруға ыңғайлы болатындай жуықтау және алмастыру
B. Берілген есепті ЭЕМ-нен шығаруға ыңғайлы болатындай аппроксимациялау және дискреттеу
C. Кез келген есепті шешуді САТЖ-ны шешуге келтіру
D. Жауабы А және В.
E. Классикалық формулалар көмегімен дәл нәтиже алу
$$$46
Сандық интегралдау есебін келесі жағдайда қолданады
Интегралды аналитикалық түрде есептеу мүмкіндігі болмаса
Интеграл астындағы функция таблицалық түрде берілсе
Интегралдың аналитикалық түрі жеткілікті дәрежеде күрделі болса
Дұрыс жауап А, В және С
Интеграл астындағы функция дифференциалданбайтын болса
$$$47
Ньютонның I-ші интерполяциялық формуласы қолданылады:
Егер х аргументі [х0 хn ] интерполяциялау аралығының бастапқы нүктесіне жақын жатса, және оны алдыға қарай интерполяциялау деп атайды.
Егер х аргументі [х0 хn ] , интерполяциялау аралығының соңғы нүктесіне жақын орналасса, және оны кері интерполяциялау деп атайды.
Егер х аргументінің мәні [х0 хn ] , интерполяциялау аралығында жатпаса.
Жауабы В, С
Егер интерполяциялау түйіндері бірдей қашықтықта орналаспаса
$$$ 48
Бірінші ретті шекті айырым деп:
Көршілес интерполяциялау түйіндердегі функция мәндерінің айырымын айтады.
Көршілес интерполяциялау түйіндердегі функция мәндерінің шекті айырымдарының айырымы
[pic] формуласымен есептелінетін шама, мұндағы yi, yi+1 функцияның xi , i=0,1,2,… түйіндеріндегі мәндері
Жауабы: А және С;
[pic] формуласымен есептелінетін шама, мұндағы yi, yi+1 функцияның xi , i=0,1,2,… түйіндеріндегі мәндері
$$$49
Бірдей қашықтықта орналасқан [pic] i=0,1,2,… түйіндерде функцияны интерполяциялау үшін қолданылатын көпмүшелік:
Лагранж
Ньютон
Гаусс
Стирлинг
Эйткен
$$$62
Егер кесіндіні қақ бөлу әдісімен түбірді [pic][pic] дәлдікпен табу керек болса, онда кесіндіні қақ бөлу процесі жалғасады:
A. Кесінді ұзындығы [pic]-ден кіші болғанға дейін
В. Кесінді ұзындығы [pic]-ден кіші болғанға дейін
C. Кесінді ұзындығы [pic]-ден артық болғанға дейін
D. Кесінді ұзындығы [pic]-ден кіші болғанға дейін
E. Кесінді ұзындығы [pic]-ден кіші болғанға дейін
$$$63
Сызықты емес теңдеудің түбірінің [a,b] аралығында бар екендігін қай шартпен тексереді?
A. егер [pic] шарты орындалса
B. егер[pic] шарты орындалса
C. егер [pic] шарты орындалса
D. егер [pic] шарты орындалса
E. егер [pic] шарты орындалса
$$$64
Кесіндіні қақ бөлу әдісін берілген [pic] дәлдікпен қолданады
A. түбірдің мәнін дәл есептеп табу үшін
B. түбір жатқан аралықты анықтау үшін
C. интегралды есептеу үшін
D. функция таңбасын анықтау үшін
E. интегралдау аралығын анықтау үшін
$$$65
САТЖ- ны тура шешу әдістеріне тән қасиеттер
A. Жүйенің оң жағы және козффициенттері дәл анықталып берілген.
B. Жүйенің оң жағы және козффициенттері жуықтап берілген.
C. жүйенің белгісіздері дәл анықталып беріледі
D. жүйенің белгісіздері жуықтап беріледі
E. жүйенің матрицасы итерациялық түрге келтірілген болады
$$$66
Гаусс әдісінің негізгі идеясы
Белгісіздер алдындағы коэффиценттерден құралған матрицаны үшбұрышты түрге келтіріп, кері әдіспен белгісіздерді табу
Белгісіздер алдындағы коэфф-ден құралған матрицаны екі үшбұрышты матрицалар көбейтіндісіне жіктер, екі системаны шешу арқылы белгісіздерді табу.
Матрицада диагональды элементтердің басымдылығына жеткізіп, системаны итерациялық түрге келтіру және бастапқы жуықтаулар арқылы белгісіздерді табу
Бастапқы жуықтауларды анықтау
Итерация санын анықтау
$$$67
Итерациялық әдістердің жинақталу шарттары мен жылдамдығы неден тәуелді ?
Система матрицаның қасиеттерінен
Бастапқы жуықтауларды таңдаудан
Матрица нормасымен
Дұрыс жауаптар A, B, C
Коэффиценттердің мәндерінен
$$$68
Зейдель әдісінің қарапайым итерация әдісінен айырмашылығы немен түсіндіріледі?
Айырмашылығы итерациялық процестің әр қадамы бастапқы жуықтаулардан жаңа жуықтауларға көшу барысында алдыңғы жуықтауларды қолданудан тұратындығында
Итерациялық процестің әр қадамы бастапқы жуықтау арқылы табылып қойған белгісіздерді қолданбай келесі жуықтауларды табуда
Итерациялық Зейдель процесі өзінің жалғыз шешіміне кез-келген бастапқы жуықтауларда жинақталатынында
Итерациялық Зейдель процесі өзінің жалғыз шешіміне кез-келген бастапқы жуықтауларда жинақталмайтындығында
Зейдель әдісі дәл әдіске жататындығында
$$$69
А квадрат матрицасының меншікті векторы дегеніміз-
(х=( х теңдігін қанағаттандыратын кез-келген нольдік емес Х векторы;
(А-(Е)х = 0 теңдеулер жүйесінің түбірі болатын ( меншікті мәніне сәйкестендірілетін кез-келген х нөлдік емес векторы
(-1)n ((n- p1(n-1-p2(n-2-… pn) = 0 алгебралық теңдеудің түбірі;
Жауабы A,B
әлдебір х векторы үшін ((((( (( шартты қанағаттандыратын ( саны
$$$70
А квадрат матрицаның меншікті мәндері деп нені айтады?
(х=( х теңдігін қанағаттандыратын кез-келген нольдік емес Х векторы;
(А-(Е)х = 0 теңдеулер жүйесінің түбірі болатын ( меншікті мәніне сәйкестендірілетін кез-келген х нөлдік емес векторы
(-1)n ((n- p1(n-1-p2(n-2-… pn) = 0 алгебралық теңдеудің түбірі;
Жауабы A,B
әлдебір х векторы үшін ((((( (( шартты қанағаттандыратын ( саны
$$$71
Меншікті мән табу үшін Данилевский әдісінің негізгі идеясы:
Берілген матрицаны канондық Фробениус формасына келтіру арқылы характеристикалық көпмүшелігін құрып меншікті мәндерді табу
Кез-келген нольдік емес вектор көмегімен рекурентті векторлар тізбегін құру арқылы меншікті мәндерді табу
Матрицаның характеристикалық теңдеуін құрып, Ньютон әдісі арқылы шешу
Матрицаның характеристикалық теңдеуін құрып меншікті мәндерін табу
Матрица анықтауышын есептеу
$$$72
Түбірді ажырату әдісі қолданылады
A. түбірдің мәнін дәл есептеп табу үшін
B. түбір жатқан аралықты анықтау үшін
C. интегралды есептеу үшін
D. функция таңбасын анықтау үшін
E. интегралдау аралығын анықтау үшін
$$$73
Сызықты емес теңдеудің түбір жатқан аралығы қалай анықталады?
Егер f(a) f(b)<0 шарты орындалса
Егер қарастырылып отырған аралықтың екі шеткі нүктелерінде функция әртүрлі мәндер қабылдаса
Егер қарастырылып отырған аралықтың екі шеткі нүктелерінде функция таңбалары әртүрлі болса
Жауабы A,C
Егер функция осы аралықта анықталмаса
$$$74
Сызықты емес теңдеуді шешудің Ньютон әдісінің идеясы:
Ізделінді түбірге х[pic] бастапқы жуықтауды таңдап алып, келесі жуықтауларды х[pic] [pic] формуламен табу
Ғ(х) қисығына жанама жүргізіп, жанама мен ОХ осінің қиылысу нүктелерін түбірге жеткенше табу
х=[pic] түрге келтірілген теңдеу үшін х[pic], n=0,1,2, … тізбегін құру
Жауабы A,B
Функция мәндерін графиктік түрде табу
$$$75
Қиюшылар әдісінің идеясы
Функция туындысын [pic] және х нүктелеріндегі бөлінген айырыммен ауыстырып, мәндері [pic], n=0,1,2, … формуламен табу
[pic] және [pic]+h)) 2 нүкте арқылы қиюшы жүргізіп, оның абсцисса осімен қилысу нүктесінің мәнін табу
Белгілі бастапқы жуықтаулар үшін [pic] Ньютонның интерполяциялық формуласын құру
Жауабы A,B
а және b нүктелері арқылы хорда жүргізіп, ОХ осімен қиылысу нүктесін табу
$$$76
Қандай жағдайда хорда әдісі қиюшылар әдісіне айналады?
Һ қадамды [pic] түрде таңдап, ізделінді нүктелерді [pic] n=0,1,2,3,…. Формуласымен есептеу кезінде
[pic] нүктесі b нүктесіне жақын орналасса
Жауабы A,B
Функция графигі ОХ осімен қиылыспаса
[pic] нүктесі a нүктесіне жақын орналасса
$$$77
Сызықты емес теңдеулер жүйесін шешудің Ньютон әдісінде есеп ....
Якоби матрицасын енгізіп, бастапқы жуықтауларды беріп, сызықты F(Xº)+J(Xº)*(X-Xº)=0 теңдеуін шешуге келтіріледі.
Жүйеге байланысты теріс емес Ф(X1,X2,…..Xn) функциясын шешуге келтіріледі
m=0,1,2,… бастапқы жуықтауларды беріп, векторлық түрдегі [pic] жүйені шешуге келтіріледі
Жауабы B,C
Сызықты емес теңдеуді шешуге келтіріледі.
$$$78
Сызықты емес теңдеулер жуйесін шешудің Ньютон әдісі жинақталады
Егер бастапқы жуықтаулар дұрыс таңдап алынса
Якоби матрицасының анықтауышы нөлден өзгеше болмаса
Якоби матрицасы айқын емес болса
Жауабы A,C
Егер матрица квадратты емес болса.
$$$79
Функцияны интерполяциялау -
[pic] шартының орындалуын талап ете отырып таблицалық түрде берілген f[pic], i=0,1,2, ... мәндері үшін жуықтаушы функциясын құру және [pic] , i=0,1,2,3, … үшін f(x) мәнін табу есебі.
[pic] интерполяциялық түйіндердегі белгілі мәндері үшін f(x) мәнін табу есебі.
[pic] коэффициенттері интерполяциялау түйіндерінде жалпыланған көпмүшелік пен f(x) функциясының сол нүктелердегі мәндері сәйкес келетіндей [pic] түріндегі жалпыланған көпмүшелікті құру және шығару есебі.
Жауабы A,C
Таблицалық мәндердің интегралын анықтау есебі
$$$80
Бірдей қашықтықта орналасқан [pic] i=0,1,2,… түйіндерде функцияны интерполяциялау үшін қолданылатын полином:
Лагранж
Ньютон
Гаусс
Стирлинг
Эйткен
$$$82
Ньютонның II- интерполяциялық формуласы қай уақытта қолданылады?
Егер х аргументі [х0 хn ] интерполяциялау аралығының бастапқы нүктесіне жақын жатса, және оны алдыға қарай интерполяциялау деп атайды.
Егер х аргументі [х0 хn ] , интерполяциялау аралығының соңғы нүктесіне жақын орналасса, және оны кері интерполяциялау деп атайды.
Егер х аргументінің мәні [х0 хn ] , интерполяциялау аралығында жатпаса.
Жауабы В, С
Егер интерполяциялау түйіндері бірдей қашықтықта орналаспаса
$$$97
Барлық сандық әдістердің идеясы
Берілген есепті ЭЕМ көмегімен шешуге тиімді есеппен алмастыру
Берілген есепті дискреттеу және аппроксимациялау арқылы ЭЕМ-мен шешуге тиімді түрге келтіру
Кез келген есепті САТЖ-ны шешуге келтіру
Жауабы А және В
Классикалық формулалар көмегімен есептің дәл шешімін алу
$$$99
Сызықты емес теңдеуді шешудің қарапайым итерация әдісінің жинақтылық шарты:
A. [pic]
B. [pic]
C. [pic]
D. [pic]
E. [pic]
$$$100
Екі теңдеуден тұратын сызықты емес теңдеулер жүйесі үшін қарапайым итерация әдісінің жинақтылық шарты
A. [pic]
B. [pic]
C. [pic]
D. [pic]
E. [pic]
$$$103
Интерполяциялық Лагранж формуласы қолданылады...
A. егер интерполяциялық түйіндер бір бірінен бірдей қашықтықта орналасса
B. егер интерполяциялық түйіндер бір бірінен бірдей қашықтықта орналаспаса
C. егер интерполяциялық түйіндер бірқалыпты болса
D. егер түйіндер анықталмаса
E. егер барлық шектік айырымдар белгілі болса
$$$104
Интерполяциялық Ньютон әдісі қолданылады...
A. егер интерполяциялық түйіндер бір бірінен бірдей қашықтықта орналасса
B. егер интерполяциялық түйіндер бір бірінен бірдей қашықтықта орналаспаса
C. егер интерполяциялық түйіндер бірқалыпты болса
D. егер түйіндер анықталмаса
E. егер барлық шектік айырымдар белгілі болса
$$$105
Интерполяциялық Гаусс формуласын қолданады...
A. функцияны таблицаның ортасында [pic] нүктесіне жақын нүктеде интерполяциялау керек болса
B. функцияны таблицаның ортасында [pic] нүктесіне жақын нүктеде интерполяциялау керек болса
C. функцияны таблицаның ортасында q санына қатысты нүктеде интерполяциялау керек D. Функцияны таблица ортасында [pic]сандарына қатысты нүктелерде интерполяциялау керек болса
E. Функцияны таблица ортасында [pic]сандарына қатысты нүктелерде интерполяциялау керек болса
$$$106
Гаусстың бірінші интерполяциялық формуласы қолданылады
A. [pic] болғанда
B. [pic] болғанда
C. [pic] болғанда
D. х=0 болғанда
E. [pic] болғанда
$$$107
Гаусстың екінші интерполяциялық формуласы қолданылады
A. [pic] болғанда
B. [pic] болғанда
C. [pic] болғанда
D. х=0 болғанда
E. [pic] болғанда
$$$108
Интерполяциялық Стирлинг формуласы қолданылады...
A. функцияны таблицаның ортасында [pic] нүктесіне жақын нүктеде интерполяциялау керек болса
B. функцияны таблицаның ортасында [pic] нүктесіне жақын нүктеде интерполяциялау керек болса
C. функцияны таблицаның ортасында q санына қатысты нүктеде интерполяциялау керек D. Функцияны таблица ортасында [pic]сандарына қатысты нүктелерде интерполяциялау керек болса
E. Функцияны таблица ортасында [pic]сандарына қатысты нүктелерде интерполяциялау керек болса
$$$109
Интерполяциялық Бессель формуласын қолданады...
A. A. функцияны таблицаның ортасында [pic] нүктесіне жақын нүктеде интерполяциялау керек болса
B. функцияны таблицаның ортасында [pic] нүктесіне жақын нүктеде интерполяциялау керек болса
C. функцияны таблицаның ортасында q санына қатысты нүктеде интерполяциялау керек D. Функцияны таблица ортасында [pic]сандарына қатысты нүктелерде интерполяциялау керек болса
E. Функцияны таблица ортасында [pic]сандарына қатысты нүктелерде интерполяциялау керек болса
-----------------------
0,507; b) 0,512; c) 0,523; d) 0,535; e) 0,541;
f) 0,556; i) 0,568; j) 0,571; k) 0,589; l) 0,594.
0.01928; b) 0.01392; c) 0.02713; d) 0.47113; e) 0.47531; f) 0.48398; k) 0.48675
1.113; b) 1.219; c) 1.321; d) 1.428; e) 1.9592; f) 1.9675; i) 1.9728; j) 1.9819.
1.50911; b) 1.50820; c) 1.50253; d) 1.50192; e) 1.59513; f) 1.59575; i) 1.59614; j) 1.59728.
1,151; b)1,218; c)1,345; d)1,421; e)1,538; f)1,609; i)1,732; j) 1,849;
k) 1,929; l) 2,031; m) 2,173; n) 2,218; o) 2,313; p) 2,437; r) 2,478.
(2)
(1)
(1)
[pic]
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz