Файл қосу
Иррационал функцияларды интегралдау
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ
БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
ШӘКӘРІМ атындағы
СЕМЕЙ МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ | |
|3 деңгейлі СМЖ құжаты |ПОӘК | |
| | |ПОӘК 042-02.01.20.263/03-2010 |
|«Математикалық анализ» |28.12.09 №3 | |
|пәніне арналған |басылымның | |
|оқу-әдістемелік |орнына 27.08.10 | |
|материалдар ПОӘК |№4 басылым | |
ПӘНДЕРДІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ
«Математикалық анализ»
5В070300 – «Ақпараттық жүйелер» мамандығы үшін
ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК МАТЕРИАЛДАР
Семей
2010
Мазмұны
|1 |Глоссарийлар |3 |
| |.............................................................| |
| |........................ | |
|2 |Дәріс |24 |
| |оқулар.......................................................| |
| |................................ | |
|3 |Практикалық |94 |
| |сабақтар.....................................................| |
| |.................. | |
|4 |Студенттің өздік |114 |
| |жұмысы.......................................................| |
| |.......... | |
1 ГЛОССАРИЙЛАР
Осы ОӘК тиісті анықтамалармен келесі терминдер қолданылған:
ГЛОССАРИЙ - 1
Глоссарий -2
|№ |Жаңа ұғымдар |Мазмұны |
|1 |2 |3 |
| |Алғашқы функция |Егер [pic] [pic]аралығындағы |
| | |дифференциалданатын және[pic][pic][pic], |
| | |[pic] теңдігі орындалатын болса, онда ол |
| | |берілген аралықтағы [pic]функциясының алғашқы|
| | |функциясы деп аталады |
| |Анықталмаған интеграл |Егер [pic] функциясы [pic] функциясының |
| | |белгілі бір аралықтағы алғашқы функциясы |
| | |болса, онда [pic]функциялар жиынтығы |
| | |берілген[pic] функциясының анықталған |
| | |интегралы деп аталады да [pic] символымен |
| | |белгіленеді, мұндағы С-ерікті тұрақты |
| |Анықталмаған интегралдағы |Айталық [pic] мұндағы [pic] бірсарынды және |
| |айнымалыларды ауыстыру |дифференциалданатын функция. Онда [pic] |
| |Бөліктеп интегралдау |[pic] |
| |формуласы | |
| |[pic] интегралының |[pic] |
| |рекурентті формуласы | |
| |Мына төмендегі |Үшмүшеліктің |
| |интегралдарды есептеу |[pic] |
| |[pic] |толық квадратын бөліп алып, [pic] |
| |[pic][pic][pic] |ауыстыруын қолданамыз. |
| |[pic] | |
|7 |Рационал функцияларды |1) егер [pic] бөлшегі бұрыс болса, онда |
| |интегралдау [pic][pic] |[pic] көпмүшелігін [pic] көпмүшесіне бөлеміз,|
| |мұндағы [pic]көпмүшеліктер|сонда бөлінді [pic] бүтін бөлікке және дұрыс |
| | |бөлшекке жіктеледі ; |
| | |2) [pic] көпмүшені көбейткіштерге |
| | |жіктейміз; |
| | |3) дұрыс бөлшекті қарапайым бөлшектердің |
| | |қосындысына келтіреміз; |
| | |4) белгісіз коэффициенттерді жеке мәндер және|
| | |анықталмаған коэффициенттер әдісітерімен |
| | |табамыз. |
|7 | |5) қарапайым бөлшектердің интегралын |
| | |есептейміз. |
|8 |Мына түрдегі интеграл | [pic] алмастыруын жүргіземіз, мүндағы [pic]-|
| |[pic]мұндағы |саны [pic]бөлшектерінің ортақ бөлімі |
| |[pic]-рационал функция; | |
| |[pic]бүтін оң сандар. | |
|9 |Төмендегі интегралдарға |Келесі алмастырулар жүргізіледі: |
| |1) [pic] |1) [pic] |
| |2) [pic] |2) [pic] |
| |3) [pic] |3) [pic][pic] |
|10 |Мына түрдегі интегралдарға|Төмендегі формулаларды қолдану керек |
| |[pic] |[pic] |
| |[pic] |[pic] |
| |[pic] |[pic] |
|11 |Келесі интегралдарға |1) Егер [pic]- оң тақ сан болса, |
| |[pic] мұндағы |онда[pic]алмастыруын жүргіземіз. |
| |m,n-бүтін сандар |2) Егер [pic]- оң тақ сан болса, онда |
| | |[pic]алмастыруын жүргіземіз. |
| | |3) Егер [pic]- жұп оң сандар болса, онда мына|
| | |формулалар қолданылады: |
| | |[pic] [pic] |
| | |4) Егер [pic] жұп теріс сан болса, онда |
| | |[pic]алмастыруын жүргіземіз. |
|12 |Мына түрдегі интегралдарға|[pic]универсал ауыстыруын жүргіземіз. Сонда |
| |[pic] мұндағы[pic]- |[pic]болады. Дербес |
| |функциясы [pic] арқылы |жағдайлар: |
| |рационал функция. |1) Айталық [pic] онда [pic]ауыстыруын |
| | |жүргіземіз. |
| | |2) Айталық [pic], онда [pic]ауыстыруын |
| | |жүргіземіз. |
| | |3) Айталық [pic] онда [pic]ауыстыруын |
| | |жүргіземіз. |
| | | |
|13 | |Егер [pic] нөлге ұмтылғанда[pic] интегралдық|
| |Анықталған интегралдың |қосынды [pic] аралығын бөлу тәсіліне және |
| |анықтамасы |[pic] нүктелерін қалай сайлап алуға тәуелді |
| |[pic] |емес бір тиянақты шекке ұмтылса, онда осы |
| | |шекті [pic] функциясының [pic] аралығында |
| | |алынған анықталған интегралы деп атайды және |
| | |былай белгіленеді:[pic] |
|14 |Ньютон-Лейбниц формуласы |[pic], мұндағы[pic] функциясы [pic] |
| | |функциясының алғашқы функциясы |
|15 |Анықталған интегралды |Айталық, [pic] және олардың туындылары [pic] |
| |бөліктеп интегралдау |[pic]-аралығында үзіліссіз болса, онда |
| |формуласы |төмендегі формула [pic] орындалады. |
|16 | |Егер[pic] функциясы [pic] аралығында |
| | |үзіліссіз, ал өз кезегінде [pic] функциясы |
| | |[pic] кесіндісінде үзіліссіз |
| |Анықталған интегралда |дифференциалданатын функция және [pic] |
| |айнымалыны ауыстыру |болсын. Онда |
| | |[pic] |
|17 | |[pic] [pic] |
| | | |
| |Бірінші текті меншіксіз |[pic] |
| |интегралдар (өзіндік емес | |
| |интегралдар). Шектері | |
| |ақырсыз интегралдар | |
|18 |Екінші текті меншіксіз |Егер [pic] функциясы [pic] болғанда үзіліссіз|
| |интегралдар (өзіндік емес |және [pic] онда анықтама бойынша[pic] |
| |интегралдар). Шектелмеген |орындалады. |
| |функциялар интегралы | |
|19 |Жоғарғы жағынан[pic], | |
| |үзіліссіз қисықпен, | |
| |төменгі жағынан |[pic][pic] |
| |[pic]өсімен [pic], бүйір | |
| |жақтарынан [pic] | |
| |түзулермен қоршалған қисық| |
| |сызықты трапецияның ауданы| |
|20 | |[pic] |
| |[pic] | |
| |[pic] қисықтарымен | |
| |шектелген фигураның ауданы| |
|21 |Фигура[pic] параметрлік |[pic] |
| |теңдеулермен барілген | |
| |қисықтарымен шектелген. | |
| |Осы фигураның ауданы | |
|22 |[pic]сәулелерімен және |[pic] |
| |[pic] қисығымен шектелген | |
| |фигураның ауданы | |
|23 |[pic] теңдеуімен берілген |[pic] |
| |доғаның ұзындығы | |
|24 | [pic] [pic] |[pic] |
| |параметрлік теңдеулерімен | |
| |берілген кеңістіктегі | |
| |қисықтың доғасының | |
| |ұзындығы | |
|25 |[pic] параметрлік |[pic] |
| |теңдеулерімен берілген | |
| |кеңістіктегі қисықтың | |
| |доғасының ұзындығы | |
|26 |Қисықтың теңдеуі [pic] |[pic] |
| |поляр координаттарында | |
| |берілсе, онда қисықтың | |
| |доғасының ұзындығы | |
|27 |[pic] аралығында |[pic] |
| |орналасқан [pic] | |
| |теңдеуімен берілген қисық | |
| |доғасының [pic] өсі арқылы| |
| |айналғанда пайда болған | |
| |айналу бетінің ауданы | |
|28 |[pic]параметрлік |[pic] |
| |теңдеулермен берілген | |
| |қисық доғасының [pic] өсі | |
| |арқылы айналғанда пайда | |
| |болған айналу бетінің | |
| |ауданы | |
|29 |[pic] поляр |[pic] |
| |координаттарында берілген | |
| |қисық доғасының [pic] өсі| |
| |арқылы айналғанда пайда | |
| |болған айналу бетінің | |
| |ауданы | |
| |[pic] | |
|30 | |[pic] мұндағы[pic] [pic] өсіне перпендикуляр|
| |Денің көлемі |денеге жүргізілген қиманың аудуны [pic] |
|31 |[pic] функциясы графигі |[pic] |
| |арқылы алынған | |
| |қисықсызықты трапецияны | |
| |[pic] өсімен айналдырғанда| |
| |пайда болған айналу | |
| |бетінің көлемі | |
|32 |[pic] фигурасы графигі |[pic] |
| |арқылы алынған | |
| |қисықсызықты трапецияны | |
| |[pic]өсімен айналдырғанда | |
| |пайда болған дененің | |
| |көлемі | |
2 ДӘРІС ОҚУЛАР
Дәріс 1-2. Математикалық анализге кіріспе. Функцияның шегі. Функцияның
үзіліссіздігі. Шектер туралы теоремалар. Тамаша шектер.
Дәріс сабақтардың құрылымы:
1. Нақты сандар.
2. Элементар функциялар
3. Шенелген және шенелмеген тізбектер
4. Функция және оның шегі
5. Функцияның шегінің [pic] тіліндегі анықтамасы
6. Шексіз аз функция. Шенелген функциялар
7. Шексіз аз функция және оның құрдым аз функциямен байланысы
8. Үздіксіз функциялар
Дәріс сабақтардың мазмұны:
Нақта сандыр. Функция. Элементар функциялар.
Нәрселерді санау қажетінен тұған 1,2,3… натурал сандар ерте заманнан
белгілі. Натурал сандар жиынын әдетте N әріпімен белгілейді.
Анықтама. Функция деп кез келген х элементіне, бірінші элементі осы х
болатындай, біреуден артық емес (x,y) пары сәйкес келетін (x,y) парларының
f жиынын атайды. Y=f(x). Парлардың бірінші элементтер (x) жиыны анықталу
облысы деп, ал екінші элементтер жиыны (y) мәндер облысы деп аталады. Х
аргумент деп аталады.
Анықтама. Егер кез келген х[pic] мәніне сәйкес f(-x)= f(x) теңдігі
орындалса, онда оны жұп функция деп атайды. Егер f(-x)= - f(x) болса, огда
оны тақ функция деп атайды.
Мысалы, f(x)=[pic]. [pic]R (кез келген х) үшін
f(-x)=[pic]=[pic]= f(x) орындалады. F функциясы жұп болады.
f(x)=[pic]. [pic]R (кез келген х) үшін
f(-x)= [pic]=[pic]= -f(x) орындалады. F функциясы тақ болады.
Енді Y=f(x) функция үшін әр түрлі жағдайларды қарастырамыз.
1. f (x) орнегін алу үшін х аргументі мен тұрақты сандарға саны
шектеулі алгебралық амалдар (қосу, алу, көбейту, бөлу, түбір табу)
қолданылатын болса, онда өрнекті алгебралық өрнек деп атайды.
Мысалы у=[pic] формуласымен берілген функция алгебралық функция болады.
Алгебралық f(x) өрнегін құру үшін түбір табу амалы қолданылмаса, оны
рационал өрнек деп атайды
Мысалы, у=[pic] рационал функция болады.
1. Тұрақты функция. Бұл функция f(x)=C формуламен береді. Бұл
функциянын анықталу облысы бүкіл сандық өс (R жиыны), ал өзгеру
облысы тек бір ғана тұрақты С санынан тұрады. Графиктері:
2. Дәрежелік функция. Бүтін қөрсеткіш функция деп f(x)=хn функциясының
атайды. Графиктері:
3. Көрсеткіш функция. Көрсеткіш функция деп у=ax функциясын атайды.
Анықталу облысы бүкіл сандық өс (R жиыны). Ал мәндер облысы нақты оң
сандар жиыны болады. Графиктері:
4. Логарифмдік функция. Негізгі а (a[pic]) болатын логарифмдік функция
деп көрсеткіш функцияға кері функцияны атайды және оны былай
белгілейді y=logax Графиктері
5. Тригонометриялық функциялары. Y=cosx, y=sinx, y=tgx,y=ctgx.
Графиктері
6. Кері тригонометриялық функциялары. y=arccosx, y=arcsinx, y=arctgx,
y=arcctgx. Графиктері
Анықтама. Нақты санның модулі мына формуламен енгізіледі
[pic]
Функцияның үзіліссіздігі. Тамаша шектер
1-Анықтама. Тізбек деп барлық оң бүтін сандар жиынында анықталған f
функциясын айтады. f функциясының оң бүтін санына сәйкес мәнін [pic] деп
белгілейді, яғни [pic].
2-Анықтама. [pic] тізбегі берілсін. Егер кез келген [pic]оң саны арқылы
барлық [pic] үшін [pic]теңсіздігін қанағаттандыратын [pic] саны табылса,
онда [pic] тізбегінің нақты мәнді шегі бар және ол а санына тең деп атап,
оны былай белгілейді: [pic] немесе [pic] (1)
Осы жағдайда [pic] тізбегін «а санына жинақталатын тізбек», «а санына
ұмтылатын тізбек» деп те атайды.
Енді тізбектің қасиеттерін қарастырамыз.
1-Теорема. Жинақталатын тізбектің тек бір ғана шегі бола алады, яғни
[pic] болса, онда [pic].
2-Теорема. Егер [pic] болса, онда әрбір оң бүтін m үшін [pic] .
3-Теорема. [pic] болса, онда [pic].
4-Теорема. Шегі нөл емес нақты сан болатын тізбектің мүшелері белгілі
бір нөмірден бастап шегінің таңбасын сақтайды.
5-Теорема. [pic] және [pic] тізбектерінің шектері бар болсын. Егер
белгілі бір к нөмірінен бастап барлық n-дер үшін [pic] теңсіздігі
орындалса, онда сол теңсіздік шектер үшін де сақталады, яғни [pic]
6-Теорема. [pic] тізбектері үшін келесі шарттар орындалса; 1) әрбір оң
бүтін n үшін, [pic]; 2) [pic]; Онда [pic] тізбегінің де шегі бар және а-ға
тең.
Шенелген және шенелмеген тізбектер.
[pic] сандарынан құрылған сандар жиынын [pic] тізбегінің мәндерінің
жиыны дейді.
Анықтама. Белгілі бір С нақты саны және барлық нөмірлері үшін [pic]
теңсіздігі орындалатын [pic] тізбегін жоғарыдан шенелген тізбек деп атайды.
Анықтама. Белгілі бір С нақты саны және барлық нөмірлері үшін [pic]
теңсіздігі орындалатын [pic] тізбегін төменнен шенелген тізбек деп атайды.
Анықтама. Жоғарыдан да, төменнен де шенелген тізбекті шенелген тізбек
деп атайды.
Анықтама. [pic]тізбегі берілсін. Егер әрбір n (n=1,2,...) үшін [pic]
болса, онда оны кемімейтін тізбек деп, ал [pic] болса, онда оны өспелі
тізбек деп атайды.
Анықтама. [pic]тізбегі берілсін. Егер әрбір n (n=1,2,...) үшін [pic]
болса, онда оны өспейтін тізбек деп, ал [pic] болса, онда оны кемімелі
тізбек деп атайды.
Өспелі және кемімелі тізбектерді қатаң монотонды тізбек деп атайды.
Жинақталатын монотонды тізбектердің кейбір мысалдары.
е– саны. Бұл пункте анализдегі айрықша сандардың бірі е-санын
анықтаймыз. Әрбір оң бүтін n үшін [pic] болады.
[pic] -жоғарыдан шенелген тізбек. Сондықтан, монотонды тізбектің шегі
бапр болуы туралы теорема бойынша [pic]тізбегнің нақты мәнді шегі бар
болады. Ол санды Л.Эйлер белгілегендей әрдайым е әрпімен белгілейді.
Сонымен [pic]
Функция және оның шегі.
Е және Ғ жиындары берілсін. Е жиынының әрбір элементіне Ғ жиынының
элементін сәйкес қоятын ереже функция деп аталады. Функция көбінесе [pic]
символдарымен белгіленеді.Е-функцияның анықталу жиыны, Ғ – мәндерінің жиыны
деп аталады.
[pic][pic] ұмтылғандағы функцияның шегі.
Анықтама. Егер белгілі бір А нақты саны мен кез келген [pic] оң саны
үшін барлық x>N сандары үшін [pic] теңсіздігі орындалатын N саны табылса,
онда f(x) функциясының [pic] ұмтылғанда нақты мәнді шегі бар және ол А
санына тең дейді де [pic] символымен белгілейді.
Анықтама. Егер белгілі бір B нақты саны мен кез келген [pic] оң саны
үшін барлық xN сандары үшін [pic]
теңсіздігі орындалатын N саны табылса, онда f(x) функциясы [pic] ұмтылғанда
құрдым аз функция деп аталады да [pic] деп жазылады.
Теорема 1. Егер [pic] және [pic] функциялары құрдым аз функциялар
болса, онда олардың қолданулары [pic] -да құрдым аз функция болады.
Теорема 2. Егер y=f(x) функциясының [pic] ұмтылғанда шегі бар болса,
онда ол кез келген [pic] интервалында шенелген болады.
Теорема 3. Егер y=f(x) функциясының ([pic]) нөлге тең емес шегі болса,
онда [pic] функциясы шенелген болады.
Теорема 4. Құрдым аз функцияның шенелген функцияға көбейтіндісі құрдым
аз функция болады.
Салдар. Құрдым аз функцияның санға көбейтіндісі құрдым аз функция
болады.
Теорема 5. [pic]-да құрдым аз f(x) функциясын, шегі нөлге тең емес
[pic] функциясына ([pic]) бөлгенде шығатын функция құрдым аз функция
болады.
Шексіз аз функция және оның құрдым аз функциямен байланысы.
Анықтама. Кез келген L саны үшін х-тің x>N барлық мәндерінде [pic]
теңсіздігі орындалатындай бір N санын табуға болса, онда y=f(x) функциясы
[pic] шексіз үлкен функция деп аталады.
Теорема. Егер [pic] -да f(x) функциясы шексіз үлкен функция болса, онда
[pic] функциясы [pic] -да құрдым аз функция болады.
Теорема. Егер f(x) функциясы нөлге айналмайтын [pic] -да құрдым аз
функция болсын, онда [pic] функциясы [pic] -да шексіз үлкен функция болады.
Шектер туралы теоремалар.
Теорема 1. Егер [pic] -да f(x) функциясының А-ға тең шегі болса, онда
оны А саны мен [pic] -да құрдым аз функция қосындысы түрінде жазуға болады.
Теорема 2. Егер f(x) функциясын А саны мен кез келген бір [pic] -да
құрдым аз функцияның қосындысы түрінде жазуға болса, онда А саны f(x)
функциясының [pic] -дағы шегі болады.
Теорема 3. Егер [pic] және [pic] болса, онда [pic] және [pic]
функцияларының да [pic] да шегі бар, әрі [pic] болады.
Теорема 4. Егер [pic] және [pic] болса, онда [pic] функциясының
[pic] да шегі бар, әрі [pic] болады.
Салдар. Тұрақты санды шектің таңбасының алдына шығаруға болады, яғни
[pic]. Мұндағы к-тұрақты көбейткіш.
Теорема 5. Егер [pic] және [pic] және [pic] болса, онда [pic]
функциясының [pic] да шегі бар, әрі [pic] болады.
Теорема 6. х-тің өте үлкен мәндері үшін [pic] теңсіздігін
қанағаттандыратын [pic] және [pic] үш функциясы берілсін. Егер [pic]–да
[pic] және [pic]функцияларының бірдей шегі болса, онда олардың арасындағы
[pic] функциясынан да шегі болады және ол сол функциялардың шегіне тең
болады.
Салдар.[pic] функциясының [pic]. Яғни [pic]
Үздіксіз функциялар.
Анықтама. y=f(x) функциясы [pic][pic] нүктесінде үздіксіз деп аталады,
егер: 1) функция [pic] нүктесінде және сол нүктені қамтитын оның бір
аймағында анықталған болса; 2) функцияның [pic]-дағы шегі болса; 3)
функцияның [pic]-дағы шегі сол нүктедегі функцияның мәніне тең болса, яғни
[pic] болса.
Егер [pic][pic] нүктесінде функция үздіксіз болса, онда [pic][pic]
нүктесі берілген функцияның үздіксіздік нүктесі деп аталады.
Анықтама. Егер [pic][pic] нүктесі функцияның анықталу облысында не оның
шекарасында жатса және оның үздіксіздік нүктесі болмаса, онда ол f(x)
функциясының үзіліс нүктесі деп аталады. Ол жағдайда [pic] нүктесінде
функция үзілісті деп аталады. Үзіліс нүктелерін екі түрге бөлуге болады:
Егер екі біржақты шектері [pic] бар болса, онда f(x) функциясының
үзіліс нүктесі [pic] І-текті деп аталады. І-текті болмайтын үзіліс
нүктелері, ІІ-текті үзіліс нүктелері деп аталады.
Теорема. Егер [pic] нүктесінде f және g функциялары үздіксіз болса,
онда fc (с-тұрақты),f+g, fg, функциялары, ал егер [pic] болса, онда [pic]
функциясы да [pic] нүктесінде үздіксіз болады.
Өзін-өзі бақылауға арналған есептер:
1. [pic] функйиясының графигіндегінің абсцисс осімен қиылысу нүктені
табыңдар.
2. [pic] шегін есептеңдер.
3. [pic] шегін есептеңдер.
4. [pic] шегін есептеңдер.
5. [pic] шегін тап.
6. [pic] шегін тап.
Ұсынылған әдебиеттер:
1. Хасеинов К.А. Математика канондары. Алматы., 2004.
2. С. М. Никольский Курс математического анализа. Том 1. М. «Высшая школа»,
1978.
2. Фихтенгольц Математикалық анализ.
4. Темірғалиев Н. Математикалық анализ.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по математического анализа., М., «Наука», 1977
Дәріс 3-5. Туынды және дифференциал. Дифференциалдау ережелері,
таблица. Курделі функцияның, параметрлік және айқын емес функцияларының
туындылары
Дәріс сабақтардың құрылымы:
1. Кейбір жай функциялардың туындысы
2. Дифференциалдаудың негізгі ережелері
3. Күрделі функцияның туындысы
4. Жоғарғы ретті туындылар
5. Дифференциал
Дәріс сабақтың мазмұны:
f функциясы I аралығында анықталсын. Егер [pic]үшін [pic] нақты мәнді
шегі бар болса, онда f(x) функциясының [pic] нүктесіндегі туындысы дейді
де [pic] символымен белгілейді.Сонымен [pic].
Туындының анықтамасын берген соң, енді жанаманың анықтамасын қайта
береміз. у=f(x) функциясына [pic] нүктесінде жүргізілген жанама деп,
[pic] нүктесі арқылы жүргізілген бұрыштық коэффициенті [pic] болатын түзуді
айтады. Яғни [pic] теңдеуімен берілген түзуді айтады.Туынды табу операциясы
функцияны дифференциалдау деп аталады. Функция берілген нүктеде
дифференциалданады деп аталады, егер ол сол нүктеде туындысы болса, ол
аралықта дифференциалданады деп аталады, егер оның әрбір нүктесінде
дифференциалданатын болса.
Теорема. Егер функция нүктеде дифференциалданатын болса, онда ол сол
нүктеде үздіксіз болады.
1. Кейбір жай функциялардың туындысы.
1. Тұрақты санның туындысы нөлге тең. [pic]
2. Тәуелсіз айнымалының туындысы бірге тең. [pic]
3. [pic] (мұндағы n –бүтін оң сан).
2. Дифференциалдаудың негізгі ережелері.
1-Теорема. Егер [pic] функциялары [pic] нүктесінде дифференциалданатын
болса, онда сол нүктеде [pic] функциясы да дифференциалданады, әрі [pic]
болады.
2-Теорема. Егер [pic] функциялары [pic] нүктесінде дифференциалданатын
болса, онда сол нүктеде [pic] функциясы да дифференциалданады, әрі [pic]
болады.
1-Салдар. Тұрақты көбейткішті туындының таңбасының алдына шығаруға
болады.[pic]
3-Теорема. Егер [pic] функциялары [pic] нүктесінде дифференциалданатын
болса, және [pic]болса, онда сол нүктеде [pic] функциясы да
дифференциалданады, әрі [pic] болады.
3. Күрделі функцияның туындысы.
Теорема. У х-тің күрделі функциясы болса, яғни y=f(u), u=g(x) немесе
y(x)=f[g(x)] (*) болсын. Егер g(x) және f(x) сәйкес х және u=g(x)
нүктелерінде өз аргументтері бойынша дифференциалданатын болсын, онда (*)
күрделі функция да х нүктесінде дифференциалданады және оның туындысы [pic]
формуламен табылады.
Дифференциалдаудың негізгі формулаларының таблицасы.
1. [pic] 2. [pic]
3. [pic]
4. [pic] 5. [pic] 6. [pic]
7. [pic] 8. [pic] 9. [pic]
10. [pic] 11. [pic] 12. [pic]
13. [pic] 14. [pic] 15. [pic]
16. [pic] 17. [pic] 18. [pic]
19. [pic] 20. [pic] 21. [pic]
4. Жоғарғы ретті туындылар.
Y=f(x) дифференциалданатын функция, ал [pic] оның туындысы болсын,
ол да х-тің функциясы болады. Егер бар болса, бұл функцияның да туындысын
табуға болады. [pic] туындының туындысы [pic] деп белгіленеді де
екінші ретті туынды деп аталады. Осыған ұқсас, екінші ретті туындының
туындысы үшінші ретті туынды деп аталады т.с.с. Былай белгілейді: [pic]
немесе [pic]
5. Дифференциал.
Y=f(x) функцияның дифференциалы оның туындысы мен тәуелсіз
айнымалының өсімшесінің көбейтіндісіне тең болады. Егер f(x)=x болса,
[pic] мұндағы df(x)=dx. Олай болса [pic]. Онда [pic] немесе[pic]
Параметр түрде берілген функцияның туындысы.
[pic] функциясының туындысы: [pic] немесе [pic] болады.
6. Лопитал ережелері.
Лопитал ережелері деп туынды көмегімен анықталмағандықты ашу
тәсілдері аталады.
1-Теорема. Егер f және g функцияларының [pic] нүктесінде туындысы
бар болып, [pic], [pic] шарттары орындалса, онда [pic]
1. Егер [pic] болса, онда [pic]түріндегі анықталмағандық болатын
[pic] шегінің зерттеуі сәйкес [pic] түріндегі анықталмағандық
болатын[pic] шектерін зерттеуге келтіріледі.
2. Егер [pic] болса, онда [pic] түріндегі анықталмағандық болатын
[pic] шегінің зерттеуі[pic] түріндегі анықталмағандық болатын [pic]
шегін зерттеуге келтіріледі.
3. [pic] түріндегі анықталмағандықтар [pic] түрлендіруі арқылы [pic]
түріндегі анықталмағандыққа келтіріледі.
Өзін-өзі бақылауға арналған есептер:
1. [pic].[pic]-ті табыңдар.
2. [pic] функциясының туындысын табыңдар.
3. [pic] функциясының туындысын табыңдар.
4. [pic] функциясының кемитін интервалын табыңдар.
5. Лопиталь ережесін қолданып шекті есепте [pic]
6. Лопиталь ережесін қолданып шекті есепте [pic]
7. Лопиталь ережесін қолданып шекті есепте [pic]
8. Лопиталь ережесін қолданып шекті есепте [pic]
Ұсынылған әдебиеттер:
1. Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1,
2, м. «Высшая школа», 1978.
2. Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2.
м., «наука», 1986
Дәріс 6-8. Функцияны толық зерттеу
Дәріс сабақтың құрылымы:
1. Туындының көмегімен функцияны зерттеу және графигін салу
2. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерінің анықтамалары
3. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу.
4. Функцияның дөңестігі және майысу нүктесі.
5. Функцияның графигінің асимптоталары
Дәріс сабақтың мазмұны:
1. Туындының көмегімен функцияны зерттеу және графигін салу.
1-Анықтама. [a,b] сегментінде (немесе (а,в) интервалында )
анықталған y=f(x) функциясы сол сегментте өспелі деп аталады, егер сол
сегментте жатқан [pic] және [pic] нүктелері үшін, [pic] теңсіздігі үшін
[pic][pic] теңсіздігі орындалатын болса.
2-Анықтама. Егер [pic] нүктелері үшін [pic] болса, онда y=f(x)
функциясы кемімелі деп аталады.
1-Теорема. (Функцияның монотондылық белгісі).
f(x) функциясы (а,в) интервалында дифференциалданатын болсын. Егер
(а,в) интервалында [pic] болса, онда f(x) функциясы сол аралықта
бірқалыпты өседі. Ал егер [pic] , болса онда f(x) бірқалыпты кемиді.
2. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерінің анықтамалары.
1-Анықтама. f функциясы [pic] нүктесінің бір аймағында анықталсын.
Сонда [pic] нүктесі f функциясының максимум (сәйкес минимум нүктесі) деп
аталады, егер кез келген х үшін [pic] шартын қанағаттандыратын [pic] саны
табылып [pic] (сәйкес [pic] ) теңсіздігі орындалса. Онда [pic] нүктесі
қатаң максимум нүктесі деп (сәйкес қатаң минимум нүктесі) аталады.
Максимум және минимум нүктелері экстремум нүктелері деп аталады.
Теорема. (Экстремумның қажетті шарттары).
[pic] нүктесі сол нүктенің маңайында анықталған f функциясының
экстремум нүктесі болсын. Сонда туынды [pic] болмайды немесе [pic]
болады.
Теорема.(Экстремумның бар болуының жеткілікті белгісі).
f(x) функциясы кризистік [pic] нүктесінің [pic]маңайында үзіліссіз
болып, оның ойылған [pic]маңайында дифференциалдансын ([pic] нүктесінен
басқа нүктелерде) және аргумент кризистік [pic] нүктесінен солдан оңға
қарай өткенде туынды [pic]таңбасын «+» тан «-» қа ауыстырса онда
функция сол нүктеде максимумға жетеді, ал таңбасын «-» тан «-» қа
ауыстырса минимумға жетеді.
Теорема.(Экстремумның бар болуының жеткілікті белгісі).
f(x) функциясы кризистік [pic] нүктесінің [pic]маңайында үзіліссіз
болып, оның ойылған [pic]маңайында дифференциалдансын ([pic] нүктесінен
басқа нүктелерде) және аргумент кризистік [pic] нүктесінен солдан оңға
қарай өткенде туынды [pic]таңбасын «+» тан «-» қа ауыстырса онда
функция сол нүктеде максимумға жетеді, ал таңбасын «-» тан «-» қа
ауыстырса минимумға жетеді.
3. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу.
[a,b] сегментінде үздіксіз y=f(x) функциясын қарастырайық. Мұндай
функцияның өзінің ең үлкен және ең кіші мәніне сегменттен шеткі
нүктелерінде не ішкі нүктелерінде жететіні белгілі. Егер ең үлкен (ең кіші)
мәніне функция облыстың ішкі [pic] нүктесінде жетсе онда ол функцияның
максимумы (минимумы) болады. Сонымен [a,b] сегментінде функцияның ең үлкен
және ең кіші мәнін табудың төмендегідей ережесін аламыз.
1. [pic] интервалында функцияның барлық кризистік нүктелерін табамыз
және сол нүктелердегі функция мәндерін табамыз.
2. Сегменттің шеткі х=а және х=в нүктелеріндегі функцияның мәндерін
табамыз.
3. Барлық осы мәндердің ең үлкенін және ең кішісін аламыз.
4. Функцияның дөңестігі және майысу нүктесі.
1-Анықтама. Дифференциалданатын y=f(x) функциясының графигі [pic]
интервалында сол аралықтағы өзінің кез келген жанамасынан төмен жатса, онда
ол сол аралықта дөңес деп аталады.
2-Анықтама. Дифференциалданатын y=f(x) функциясының графигі [pic]
интервалында сол аралықтағы өзінің кез келген жанамасынан жоғары жатса,
онда ол сол аралықта ойыс деп аталады.
Теорема. (Дөңес және ойыстықтың жеткілікті белгісі).
Айталық y=f(x) функциясының [pic] интервалының барлық нүктесінде
екінші ретті туындысы [pic] бар болсын. Егер осы интервалдың барлық
нүктесінде [pic] болса, онда функцияның графигі осы интервалда дөңес
болады, ал [pic] болса, ойыс болады.
Анықтама. Үздіксіз функцияның графигінің дөңес бөлігін ойыс бөлігін
айыратын нүктені майысу нүктесі деп атайды.
Теорема. (Майысу нүктесінің бар болуының жеткілікті шарты).
Егер үздіксіз функцияның екінші ретті туындысы [pic] [pic] нүктесі
арқылы өткенде өзінің таңбасын өзгертетін болса, онда абсциссасы [pic]
нүктесі функцияның графигінің майысу нүктесі болады.
Теорема. (Майысу нүктесінің бар болуының қажетті шарты).
Айталық y=f(x) функциясының [pic] интервалында екінші ретті туындысы
[pic] бар болсын.Сонда, егер абсциссасы [pic] нүктесі берілген функцияның
графигінің майысу нүктесі болса, онда [pic] болады.
5. Функцияның графигінің асимптоталары.
Анықтама. Егер y=f(x) функциясының графигінің бойындағы нүкте
шектеусіз алыстағанда, ол нүкте мен қандай да белгілі бір түзудің ара
қашықтығы нөлге ұмтылса, онда бұл қисықтың асимптотасы деп аталады.
Оу осіне параллель асимптота.
[pic] сол жағынан ұмтылғанда y=f(x) функциясы абсолюттік шамасы бойынша
шексіз өссе, яғни [pic] болса онда анықтамадан [pic] түзуі асимптота
екендігі шығады. Сол сияқты [pic] болса [pic] түзуі асимптота болады.
Оу осіне параллель емес асимптота.
y=f(x) функциясының оу осіне параллель емес асимптотасы бар болсын.
Ондай асимптотаның теңдеуі y=kx+b болады. к және в ні төмендегіше
табамыз.[pic] [pic]
Функцияны зерттеудің жалпы схемасы және оның графигін салу.
Біз осыған дейін туынды көмегімен функцияның әртүрлі қасиеттерін
зерттеудің бірнеше тәсілдерін бердік. Енді соларды функцияның графигін салу
үшін пайдалануға кейбір нұсқаулар келтірейік. Сонымен, функцияның графигін
салу үшін келесі зерттеулерді жүргізген жөн.
1. Функцияның анықталу облысын, үздіксіздік интервалын және үзіліс
нүктелерін табу.
2. Функцияның графигінің асимптоталарын табу.
3. Графиктің координат остерімен қиылысу нүктесін және функцияның
таңбасының тұрақтылық интервалдарын табу.
4. Функцияның монотондылық интервалын және оның экстемумын (максимум және
минимумын) табу.
5. Функцияның графигінің дөңес және ойыс интервалдарын және майысу
нүктесін табу.
6. Функцияның графигін салу.
Өзін-өзі бақылауға арналған есептер:
1. [pic] функциясының туындысын табыңдар.
2. [pic] функциясының туындысын табыңдар
3. [pic] функциясының туындысын табыңдар
4. [pic] функциясының x=2 туындысын табыңдар
5. [pic] функциясының екінші ретті туындысын табыңдар
Ұсынылған әдебиеттер:
1. Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1,
2, м. «Высшая школа», 1978.
2. Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2.
м., «наука», 1986
Дәріс 9. Анықталмаған интеграл және қасиеттері. Айнымалыны ауыстыру
және бөлшектеп интегралдау.
Дәріс сабақтың құрылымы:
1. Алғашқы функция және анықталмаған интеграл
2. Интегалдаудың негізгі әдістері
3. Айнымалыны ауыстыру тәсілімен интегралдау
4. Бөлшектеп интегралдау
Дәріс сабақтың мазмұны:
1. Алғашқы функция және анықталмаған интеграл.
1-Анықтама. Егер [a,b] кесіндісінің кез келген нүктесінде [pic] болса,
онда F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы деп аталады.
Мысалы: [pic] функциясының алғашқы функциясы [pic] болады, өйткені
[pic] болады.
Теорема-1. Егер [pic] және [pic] функциялары f(x) функциясының [a,b]
кесіндісіндегі екі алғашқы функциялары болса, онда олардың айырмасы тұрақты
сан болады.
2-Анықтама. Егер [pic] функциясы f(x) тің алғашқы функциясы болса, онда
[pic] өрнегі f(x) функциясының анықталмаған интегралы деп аталады. және
[pic] деген белгімен белгіленеді. Сонымен [pic] болады. Мұндағы
f(x) интеграл астындағы функция деп, f(x)dx интеграл астындағы өрнек
деп аталады. х интегралдау айнымалысы деп, ал белгі [pic] -анықталмаған
интегралдың таңбасы деп аталады.
Теорема-2. Берілген сегментте үздіксіз кез келген функцияның осы
сегментте алғашқы функциясы болады. Берілген функцияның анықталмаған
интегралын табу амалы сол функцияны интегралдау деп аталады. 2-ші
анықтамадан мыналар шығады.
1. Анықталмаған интегралдың туындысы интеграл астындағы функцияға тең
болады, яғни, егер [pic] болса, онда [pic] болады.
2. Анықталмаған интегралдың дифференциалы интеграл астындағы өрнекке тең
болады. [pic]
3. Кез келген функцияның дифференциалының анықталмаған интегралы сол
функция мен тұрақты санның қосындысына тең болады. [pic]
Негізгі интегралдың таблицасы.
Интегралдауды жеңілдету үшін негізгі интегралдардың таблицасы
беріледі. Бұл таблицалардың дұрыстығын дифференциалдау арқылы жеңіл
тексеруге болады.
1. [pic] 2. [pic]
3. [pic] 4. [pic]
5. [pic] 6. [pic]
7. [pic] 8. [pic]
9. [pic] 10. [pic]
11. [pic] 11*. [pic]
12. [pic] 12*. [pic]
13. [pic] 13*. [pic]
14. [pic] 15. [pic]
16. [pic]
Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері.
Теорема-1. Екі және бірнеше функцияның алгебралық қосындысының
анықталмаған интегралы олардың интегралдарының қосындысына тең.
[pic].
Теорема-2. Тұрақты көбейткішті интеграл таңбасының алдына шығаруға
болады, яғни егер а – тұрақты сан болса, [pic] болады.
2. Интегалдаудың негізгі әдістері.
1. Жіктеу тәсілімен интегралдау.
Негізгі интегралдың табицасын пайдаланып және анықталған интегралдың
негізгі қасиеттерін қолданып және сол сияқты интеграл астындағы функцияны
жай тепе-тең түрлендіру арқылы интегралдауды тікелей интегралдау деп
аталады. Мысалы:
1)[pic]
2) [pic]
3) [pic]
3. Айнымалыны ауыстыру тәсілімен интегралдау.
[pic] интегралын есептегенде f(x) функциясының алғашқыфункциясы бар
болғанмен, оны тікелей табу қиын болуы мүмкін. Сондықтан интеграл
астындағы өрнекте [pic] деп айнымалыны ауыстырайық. Мұндағы [pic] кері
функциясы бар, туындысы үздіксіз болатын үздіксіз функция болсын. Сонда
[pic][pic] болады. Сонда мынадай теңдік орындалады. [pic]
Ескерту. Кей жағдайда айнымалыны [pic] деп алмастырудан, [pic] деп
алмастыру қолайлы болады. Мысалы: [pic]
Мысалы: [pic]
4. Бөлшектеп интегралдау.
u және v дифференциалданатын функция болсын. Сонда uv
көбейтіндісінің дифференциалы мына формуламен табылады. [pic]
Интегралдасақ, [pic]. Бірақ, [pic]. Болғандықтан [pic] болады. Бұл
бөлшектеп интегралдау формуласы деп аталады.
Мысалы. [pic]
Кейде бөлшектеп интегралдауды бірнеше рет қолдану керек болады.
Бөлшектеп интегралдау әдісімен есептелетін, жиі кездесетін кейбір
интегралдарды қарастырайық.
І. [pic] интегралдар. Мұндағы к-кез келген сан. Бұл интегралдарды
бөліктеп интегралдау үшін [pic] белгілеу керек.
ІІ. [pic] интегралдар. Мұндағы P(x) –көпмүшелік. Бұл интегралдарды
бөліктеп интегралдау үшін [pic] -ке көбейтілген функцияны u деп белгілеу
керек.
ІІІ. [pic] интегралдар. Мұндағы а және в сандар. Бұл интегралдарды
екі рет бөліктеп интегралдау арқылы табылады.
Өзін-өзі бақылауға арналған есептер:
1. [pic] интегралын тап.
2. [pic] интегралын тап.
3. [pic] интегралын тап.
4. [pic] интегралын тап.
5. [pic] Интегралын тап.
Ұсынылған әдебиеттер:
1. Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1,
2, м. «Высшая школа», 1978.
2. Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2.
м., «наука», 1986
Дәріс 10-11. Рационал функцияларды интегралдау. Иррационал
функцияларды интегралдау. Тригонометриялық функцияларды интегралдау.
Дәріс сабақтың құрылымы:
1. Қарапайым рационал бөлшектер және оларды интегралдау
2. Рационал бөлшектерді қарапайым рационал бөлшектеге жіктеу
3. Рационал бөлшектерді интегралдау
Дәріс сабақтың мазмұны:
1. Қарапайым рационал бөлшектер және оларды интегралдау.
Кез келген [pic] рационал бөлшекті төмендегідей төрт түрлі қарапайым
рационал бөлшектердің саны шекті болатын қосындысы түрінде жіктеуге
болады.
І. [pic];
ІІ. [pic];
ІІІ. [pic] (бөлімінің түбірлері комплекс сандар, яғни [pic]).
ІV. [pic] (бөлімінің түбірлері комплекс сандар, [pic] оң бүтін
сан).
2. Рационал бөлшектерді қарапайым рационал бөлшектеге жіктеу.
Кез келген дұрыс рационал бөлшекті қарапайым бөлшектердің қосындысы
түрінде жіктеуге болатынын көрсетейік. [pic] дұрыс рационал бөлшегі
берілсін. Бұл бөлшек қарапайм болсын және мұндағы көпмүшеліктердің
коэффициенттері нақты сан болсын.
Теорема 1. Егер х=а бөліміндегі көпмүшеліктің к еселі түбірі болсын,
яғни [pic] болсын. Онда берілген дұрыс бөлшек [pic] ті төмендегідей екі
дұрыс бөлшектің қосындысы түрінде жіктеуге болады. [pic] (*). Мұндағы
А-нөлге тең емес тұрақты сан, ал [pic] дәрежесі [pic] бөлімінің
дәрежесінен кіші болатын көпмүшелік.
Салдар. (*) –ші теңдікке кіретін [pic] дұрыс рационал бөлшекке
алдағыға ұқсас талқылауды қолдануға болады. Сондықтан, егер х=а
бөліміндегі көпмүшеліктің к еселі түбірі болса, онда оны былай жіктеп
жазуға болады. [pic]. Мұндағы [pic] - қысқармайтын дұрыс бөлшек. Бұл
бөлшекке де алдыңғы теореманы қолдануға болады, егер [pic] тің басқа
нақты түбірлері болса.
Енді бөліміндегі көпмүшеліктің комплекс түбірлері болғандағы
жағдайды қарастырайық. Нақты коэффициентті көпмүшеліктердің комплекс
түбірлері қос-қостан түйіндес болатынын еске салайық. Сонда көпмүшеліктің
нақты көбейткіштерге жіктегенде көпмүшеліктің әрбір түйіндес комплекс
түбіріне [pic] түріндегі өрнек сәйкес келеді.егер комплекс түбірінің
еселігі [pic] болса, оған өрнегі [pic] сәйкес келеді.
Теорема 2. Егер [pic] болсын, мұндағы [pic] көпмүшелігі [pic]-ға
бөлінбейді, онда дұрыс рационал бөлшек [pic]-ті төмендегідей екі дұрыс
бөлшектің қосындысы на жіктеуге болады.
[pic]. Мұндағы [pic] көпмүшелігінің дәрежесі [pic]-тің дәрежесінен
кем болады.
3. Рационал бөлшектерді интегралдау.
[pic]-рационал бөлшектің интегралын есептеу керек болсын яғни [pic]-
ті есептеу керек болсын. Егер берілген бөлшек бұрыс бөлшек болса, онда
оны М(х) көпмүшелігі мен дұрыс рационал бөлшек [pic] -тің қосындысы
түрінде жазамыз. Сонда [pic]болады. [pic]-ті қарапайм бөлшектердің
қосындысына жіктейміз.
1. Кейбір тригонометриялық функциялардың түрлерін интегралдау.
[pic]интегралын қарастырайық. Мына алмастыруларды қолданамыз: [pic]
Қарастырылған алмастыру [pic] түріндегі кез келген функцияны
интегралдауға мүмкіндік береді. Сондықтан оны «Универсалды
тригонометриялық ауыстыру» формуласы деп атайды. Бірақ практикада ол өте
қиын рационал функцияға келтіреді. Сондықтан кей жағдайда жылдамырақ
мақсатқа жеткізетін алмастырудың басқа түрлерін де білген жөн.
1) [pic] түріндегі интегралына [pic] алмастыруын қолдансақ [pic]
түріне келтіреді.
2) [pic]интегралына [pic] алмастыруын қолдансақ, ол интегралды
рационал функцияның интегралына алмастырады.
3) Егер интеграл астындағы өрнек [pic] түрінде болсын, бірақ Sinx
пен Cosx –тің тек қана жұп дәрежелері болса, онда tgx=t алмастыруы
қолданылады.
4) Егер интеграл астындағы өрнек tgx –ке ғана тәуелді болса, онда
[pic] алмастыруы мұндай интегралды рационал функцияның интегралына
алмастырады. [pic]
5) Интеграл астында [pic] түріндегі көбейтінді болып келген
[pic]интегралын қарастырайық. Мұнда үш жағдайды қарастырамыз:
а) [pic], мұндағы m және n сандарының ең болмағанда біреуі тақ сан
болсын. Айқындық үшін n- тақ сан болсын. n=2p+1 алайық және интегралды
түрлендірейік. [pic]Бұл t-ның рационал функциясының интегралы.
б) [pic], мұндағы m және n теріс емес жұп сандар. m=2p, n=2p –деп
алайық және интегралды түрлендірейік.
[pic] болады. Дәрежеге шығарып және жақшаны ашсақ, Cos2x-тің тақ
және жұп дәрежелері бар мүшелерді аламыз. Тақ дәрежесі көрсеткішті бар
мүшелер а) жағдайда көрсетілгендей интегралданады. Жұп дәреже көрсеткіші
бар дәрежелерді тағы да дәреже көрсеткіштерін түрлендіреміз. Осылай
жалғасып ең аяғында оңай интегралданатын [pic] сияқты мүшеге келеміз.
в) Егер екі көрсеткіште жұп болып, ең болмағанда біреуі теріс болса,
онда tgx=t, (Ctgx=t) деп айнымалыны ауыстыру керек.
Кейбір иррационал функцияларды тригонометриялық алмастырулардың көмегімен
интегралдау.[pic]
1. [pic] болсын. [pic] деп белгілейміз. Сонда [pic]. Яғни [pic]
2. [pic] болсын. [pic] деп белгілейміз. Сонда [pic]. Яғни [pic]
3. 1. [pic] болсын. [pic] деп белгілейміз. Сонда [pic]. Яғни [pic]
1. [pic] болсын. Бұл жағдайда [pic] х-тің кезкелген мәнінде комплекс
сан болады.
Өзін-өзі бақылауға арналған есептер:
1. [pic] Интегралын бөлшектеп интегралдау әдісімен табыңдар.
2. [pic] Интегралын табыңдар.
3. [pic] Интегралын бөлшектеп интегралдау әдісімен табыңдар.
4. [pic] Интегралын табыңдар.
5. [pic] Интегралын тап.
6. [pic] Интегралын тап.
7. [pic] Интегралын тап.
8. [pic] Интегралын тап.
9. [pic] Интегралын тап.
Ұсынылған әдебиеттер:
1. Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1,
2, м. «Высшая школа», 1978.
2. Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2.
м., «наука», 1986
Дәріс 12. Анықталған интеграл. Ньютон - Лейбниц формуласы. Есептеу
әдістері
Дәріс сабақтың құрылымы:
1. Анықталған интеграл және оның қасиеттері. Анықталған интегралдың
қолданылуы
2. Жоғары шегі айнымалы интегралдың туындысы
3. Ньютон-Лейбниц формуласы
4. Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру
5. Анықталған интегралда бөлшектеп интегралдау
Дәріс сабақтың мазмұны:
1. Анықталған интеграл және оның қасиеттері. 1-Анықтама. [a,b]
кесіндісінде f функциясы берілсін. [a,b] кесіндісін [pic] нүтелерімен
бөліктерге бөлейік. Әрбір дербес [pic] аралығынан кезкелген [pic]нүктесін
алайық. Және [pic] қосындысын құрайық. Бұл қосынды интегралдық қосыды деп
аталады. [pic] деп белгілейік.
Егер [pic] дағы интегралдық қосынды [pic]тің шегі (егер ол бар болса) f
функциясының [a,b] кесіндісіндегі анықталған интегралы деп аталады. және ол
былай белгіленеді. [pic]
а сан анықталған интегралдың төменгі шегі, ал в саны жоғары шегі деп
аталады.
Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері.
1-қасиет. Тұрақты көбейткішті анықталған интегралдың таңбасының алдына
шығаруға болады, яғни [pic].
2-қасиет. Бірнеше функциялардың алгебралық қосындысының анықталған
интегралы сол қосылғыштардың анықталған интегралдарының қосындысына тең
болады, яғни [pic].
3-қасиет. [a,b] кесіндісінде, мұндағы a2 болғанда осыған ұқсас болады.
6. Толық дифференциалдың жуықтап есептеуге қолданылуы.
Айталық (х,у) нүктесіндедифференциалданатын [pic] екі айнымалының функциясы
берілсін. Оның толық өсімшесі [pic]. Бұдан [pic] және [pic] болғандықтан
[pic] болады, мұндағы [pic]. Сонда [pic] болады.
Күрделі функцияның туындысы. Толық туынды. Күрлелі функцияның толық
дифференциалы.
[pic] теңдеуіндегі u және v тәуелсіз айнымалылары x пен y тің функциясы
болсын [pic]. Сонда z x пен y аргументтерінің күрделі функциясы болады.
[pic] күрделі функциясының дербес туындысы былай анықталады: [pic], [pic].
Егер [pic], мұндағы y=y(x), u=u(x), v=v(x), болса, онда z бір айнымалы х-
тің функциясы болады да [pic] туындыны табу туралы сұрақ қоюға болады.
Сонда [pic]
7. Скаляр өріс.
Анықтама. Әрбір Р нүктесіне кезкелген бір скаляр шама u-дің сан мәні
сәйкес келетін кеңістіктің бөлігін скаляр өріс деп аталады. Мысалы егер
u=F(x,y,z) Доблысында берілсін M(x,y,z) нүктесіндегі температураны
көрсетсе, онда скаляр температура өрісі берілген деп аталады. Егер Д облысы
сұйықпен немесе газбен толтырылса және u=F(x,y,z) қысымды көрсетсе, онда
қысымның скаляр өрісі т.с.с деп атаймыз.
Анықтама. Скаляр өрістің деігейлік беті деп (немесе эквипотенциалды беттер)
өріс функциясы u=F(x,y,z) С-ға тең бірдей мән қабылдайтын кеңістіктің
барлық нүктелерінің жиынтығын айтамыз. Сонымен беттің теңдеуі С=F(x,y,z)
болады.
8. Бағытталған туынды.
Д облысында дифференциалданатын скаляр өрістің функциясы u=u(x,y,z)
берілсін. Осы өрісте M(x,y,z) нүктесін қарастырайық. М нүктесінен
бағыттаушы косинустары [pic] болтын [pic] векторын жүргізейік. [pic]
векторының бойынан М нүктесінен қашықтығы [pic] болатын [pic] нүктесін
қарастырайық.
Анықтама. [pic] -дағы [pic] қатынасының шегі, u=u(x,y,z) функциясынан
(x,y,z) нүктесінде [pic] векторы бағытымен алынған туынды деп аталады да
[pic] деп белгіленеді. Сонымен [pic] болады. Яғни [pic] болады. Дербес
туындылардың өзі бағытталған туындының дербес жағдайы болып табылады.
9. Градиент.
U=u(x,y,z) функциясы берілген Д облысының әрбір нүктесінде координат
остеріндегі проекциялары дербес туындылардың сол нүктедегі мәндері болатын
векторды анықтайық. Ол вектор u(x,y,z) функциясының градиенті деп аталады.
және grad u деп белгіленеді. Сонда [pic]. Соған байланысты Д облысында
градиентердің векторлық өрісі анықталады деп атайды.
Ұсынылған әдебиеттер:
1. Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1,
2, м. «Высшая школа», 1978.
2. Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2.
м., «наука», 1986
ДӘРІС 19-20. САН ҚАТАРЛАРЫ ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ЖИНАҚТЫЛЫҚ БЕЛГІЛЕРІ
Дәріс сабақтың құрылымы:
1. Сандық қатар және оның жинақталу
2. Сандық қатарлардың жинақтылу белгілері.
3. Салыстыру белгісі
4. Коши белгісі
5. Даламбер белгісі
Дәріс сабақтың мазмұны:
1. Сандық қатар және оның жинақталу.
Анақтама. [pic] , n[pic] өрнегі ақырсыз сандық қатар деп аталады. Ал
[pic]сандары қатардың мүшелері, мұндағы [pic]- қатардың жалпы мүшесі деп
аталады.
Анақтама. Мына қосындыларды жазып алайық:
[pic]Бұл қосындылар қатардың дербес қосындылары деп аталады.
Анақтама. Егер қатардың n[pic] да S[pic]деребес қосыныдысының ақырлы
шегі S бар болса, онда қатар жинақталатын қатар деп аталып, былай жазылады
[pic]. S саны қатардың қосындысы деп аталады.
Мысал. Ақырсыз геометриялық прогрессия
[pic]=[pic]
Және гармониялық қатары [pic]=[pic]
Анықиама. Қатардың бірінші m мүшесін шығарып тастап, қалған мүшелерінен
құрылған
[pic][pic] қатарды, сол қатардың қалдық қатары немесе қалдығы деп
атайды.
2. Сандық қатарлардың жинақтылу белгілері.
Қажетті белгісі.
Теорема. Егер қатар жинақталалың болса, онда lim[pic],
Салдар. Егер қатардын lim[pic], онда қатар жинақсыз болады.
Мысал. [pic] қатары берілсін делік. Қажетті белгісі бойынша lim a[pic]=
lim[pic]= [pic] берілген қатар жинақталмайды.
Қатарлар қамиеттреі.
1[pic]. Егер [pic]және [pic]жинақталатын қатарлар болса, онда кез
келгентұрақты [pic] және [pic] сандары үшін [pic] қатары да жинақталатын
қатар болып мына теңдік орындалады: [pic].
2[pic] Егер [pic]қатар жинақталатын болса, онда оның кез келген қалдығы
да жинақталады.
3. Салыстыру белгісі. Егер кез келген n[pic]үшін [pic] нөмерлерінен
бастап [pic] теңсіздігі орындалса, онда [pic] қатардың жинақталатындығынан
[pic] қатарының жинақталатындығы шығады ды, немесе [pic]қатарының
жинақтылмайтындығынан [pic]қатардың жинақталмайтындығы шығады.
Мысал. [pic] қатары берілсін делік.[pic] және [pic]қатары жинақталатын
қатар болғандықтан, бастапқы қатар да жинақталады.
Шектік салыстыру белгісі. Егер мүшелері оң сандар болатын [pic]және
[pic]қатарлары үшін [pic] шегі бар болса, онда [pic]және [pic]қатарлары бір
уақытта жинақталады немесе жинақталмайды.
Мысал. [pic]қатарын қарастырайық. Бұл қатарды гармоникалық қатармен
салыстырамыз [pic]. Мұнда [pic] және [pic]. Сонда [pic], Демек,
гармоникалық қатар жинақталмайтын қатар болғандықтан берілген де қатар
жинаталады.
4. Коши белгісі. Мүшелері оң сандар болатын [pic] қатарын қарастырайық.
Егер [pic]шегі бар болып, q[pic]1 болса, онда қатар жинақталады, ал q[pic]1
болса, онда қатар жинақталмайды.
Мысал. [pic] бұл қатар жинақталады. Себебі Коши белгісі бойынша
[pic]
5. Даламбер белгісі. Мүшелері оң сандар болатын [pic] қатарын
қарастырайық. Егер [pic]шегі бар болып, q[pic]1 болса, онда қатар
жинақталады, ал q[pic]1 болса, онда қатар жинақталмайды.
Мысал. [pic] бұл қатар жинақталмайды. Себебі Даламбер белгісі бойынша
[pic]
Интегралдық белгісі. Мүшелері оң сандар болатын [pic] қатарын
қарастырайық. Егер меншіксіз интегралы [pic] жинақталатын интеграл болса,
онда [pic]қатар да жинақталады және керсінше.
Мысал. [pic] бұл қатар жинақталмайды. Себебі иньеграл белгісі бойынша
[pic][pic]Интеграл жиналмайтын болғандықтан, берілген қатар да
жинақталмайды.
Ұсынылған әдебиеттер:
1. Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1,
2, м. «Высшая школа», 1978.
2. Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2.
м., «наука», 1986
Дәріс 21-24. Ауыспалы таңбалы қатарлар. Лейбниц белгісі. Дәрежелік
қатарлар. Жинақталу аралығы. Функцияларды дәрежелік қатарларға жіктеу.
Дәріс сабақтың құрылымы:
1. Өзгермелі таңбалы қатарлар
2. Функционалдық тізбектер мен қатарлардың жинақталуы
3. Дәрежелік қатар. Жинақталу облысы
4. Кейбір қарапайым функцияларды дәрежелік қатарына жіктеу
Дәріс сабақтың мазмұны:
1. Өзгермелі таңбалы қатарлар.
Анықтама. [pic] (1)
қатары кезек ауыспалы таңбылы қатар деп аталады.
Оң танбалы қатарды қарастырайық [pic] (2)
Егер (2) қатары жинақталатын қатар болса, онда (1) қатар абсолютті
жинақталатын қатар деп аталады. Ал егер (2)қатары жинақталмайтын болса,
онда (1) қатарға Лейбниц белгісін пайдаланамыз.
Лейбниц белгісі. Егер кезек ауыспалы таңбалы (1) қатардың мүшелері
бірсарынды өспейтін [pic] және олар нөлге ұмтылатын болса, яғни [pic], онда
(1) қатар жинақталады, және оны шартты жинақталатын қатар деп атайды.
2. Функционалдық тізбектер мен қатарлардың жинақталуы. Х жиынының
элементі х айнымалысының кейбір функциялары болатын тізбектер мен қатарлар
[pic]
тізбегін алайық. Әрбір [pic] үшін тізбек жинақталады және оның ақырлы шегі
бар дейік. Бұл шек мәні х айнымалысы мәнімен анықталады. Сондықтан ол шек
те [pic] айнымалысы функциясыболады, оны f(x) арқылы белгілейік. Сонда
[pic]
f(x) функциясы тізбектің шектік функциясы деп аталады.
Мүшелері бір ғана [pic] аргументінің функциялары болатын ақырсыз
[pic]
қатарын қарастырайық. Егер әрбір [pic] үшін қатар жинақталатын қатар болса,
онда ол қатардың мүшелері қосындысы да бар болып , ол да х – тің функциясы
болып табылады. Қатардың бөлік қосындыларын [pic] арқылы белгілейік. Сонда
[pic][pic]
Анықтама. Егер кез келген [pic] саны үшін [pic]номірі табылып, барлық
n[pic][pic] номірлері мен кез келген [pic] үшін [pic] теңсіздігі орындалса,
онда функциялық қатар Х жиынында жинқталатын қатар деп аталады.
3. Дәрежелік қатар. Жинақталу облысы.
Анықтама.[pic] және [pic] функциялық қатары дәрежелік қатар деп
аталады. Мұндағы a[pic]белгілі нақты сандыр, ал х нақты айнымалы шама.
Теорема. (Абель теоремасы). Егер дәрежелік қатар х – тің х=х0 м2н3нде
жина0талатын 0атар болса6 онда ол [pic] теңсіздігін қанағаттандыратын х –
тің барлық мәндерінде абсолютті жинақталады.
Теорема. Егер дәрежелік қатар х=х0 мәнінде жинақталмайтын болса, онда
ол х – тің [pic] теңсіздігіе қанағаттандыратын барлық мәндерінде де
жинақталмайды.
Анықтама. Егер дәрежелік қатар [pic] болғанда жинақталатын қатар, ал
[pic]болғанда жинақталмайтын қатар болса, онда R саны дәрежелік қатардың
жинақталу радиусы деп аталады.
Сонымен [pic] қатардың жинақталу облысы
(-R,R) интервалы болып табылады, интервал ұштарында қатардың жинақталу
немесе жинақталмауы туралы мәселе x=-R және x=R мәндерін қатарға қойғанда
шығатын сәйкес сандық қатарларды зерттеу арқылы шешіледі, егер бұл сан
қатарлары жинақталатын қатарлар болса, онда олардың жинақталуы абсолютті де
немесе абсолютсіз де болуы мүмкін.
Дәрәжелік қатардың жинақталу радиусын табу үшін Даламбер белгісін
қолдану мумкіндігі туады. Онда [pic].
Немесе Коши белгісін пайдалансақ, онда [pic].
Теорема. [pic] дәрежелік қатарды [0,x] аралығында мүшелеп интегралдауға
болады, яғни егер S(x) арқылы қатар қосындысын белгілесек, онда
[pic]
Теорема. [pic][pic] дәрежелік қатарды өзінің жинақталу аралығы ішінде
мүшелеп дифференциялдауға болады, яғни мына теңдік орындалады
[pic]
Енді жалпы түрдегі дәрежелік қатарды қарастырамыз
[pic]
х – тің [pic] теңсіздігінқанағаттандыратын мәндері үшін қатар жинақталады,
ал [pic] болғанды жинақталмайды дейік. Бұл жағдайда R саны қатарының
жинақталу радиусы, ал (x0-R, x0+R) интервалы ө жинақталу интервалы деп
аталады.
Теорема. Егер f функциясы x=x0 нүктесі маңайында жинақталу радиусы
R[pic] санына тең болатын
f(x)=[pic]
қатары арқылы берілсе, онда бұл қатардың коэффициенттері
[pic]
теңдіктері бойынша анықталады. Сондықтан ол қатар былай жазылады
[pic]
Анықтама. f(x) функциясы x=x0 нүктесінің кейбір маңайында анықталған
болсын және осы нүктеде функцияның барлық ретті туындысы бар дейік. Сонда
[pic]
қатары f(x) функциясының х0 нүктесіндегі Тейлор қатары деп аталады. Х0=0
болғанда Тейлор қатарынан Маклорен қатары деп аталатын
[pic]
қатарын аламыз. Егер f(x) функциясы х0 нүктесінің кейбір маңайында
дәрежелік қатарға жіктелсе, онда [pic] қатар f(x) функциясының Тейлор
қатары болып табылады.
Теорема. Егер f(x) функциясының барлық ретті туындылары ([pic])
интервалында шенделген болса, яғни тұрақты М саны табылып, барлық
х[pic]([pic]) мәндері үшін [pic] теңсіздіктері орындалса, онда сол
интервалда f(x) функциясы Тейлор қатарына жіктеледі.
[pic]
4. Кейбір қарапайым функцияларды дәрежелік қатарына жіктеу.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ұсынылған әдебиеттер:
1. Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И. Краткий курс высшей математики, ч. 1,
2, м. «Высшая школа», 1978.
2. Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2.
м., «наука», 1986
ДӘРІС 25-26. ЕКІ ЕСЕЛІ ИНТЕГРАЛДАР.
Дәріс сабақтың құрылымы:
Дәріс сабақтың мазмұны:
Дәріс 27-28. Үш еселі интешгралдар
Дәріс сабақтың құрылымы:
Дәріс сабақтың мазмұны:
Дәріс 29-30. Бірінші типті қисық сызықты интегралдар. Екінші типті
қисық сызықты интегралдар.
Дәріс сабақтың құрылымы:
Дәріс сабақтың мазмұны:
3 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТАР
Математикалық талдау
Практикалық сабақ 1. Математикалық анализге кіріспе. Функцияның шегі.
Тамаша шектер. Функцияның үзіліссіздігі.
1. Тізбек және функцияның шектері.
2. 1-ші тамаша шекті есептеу.
Шектерді есепте.
1) [pic] 2) [pic]
3) [pic] 4) [pic]
5) [pic] 6) [pic]
7) [pic] 8) [pic]
9) [pic] 10) [pic]
11) [pic] 12) [pic]
13) [pic] 14) [pic] 15) [pic]
1. 2-ші тамаша шекті есептеу.
2. Функцияның үздіксіздігі.
1) [pic] 2) [pic] 3) [pic]
4) [pic] 5) [pic] 6) [pic]
7) [pic] 8) [pic] 9) [pic]
10) [pic]
11) [pic] функцияның [pic] оң жақты шегін тап
12) [pic] функциясының [pic] оң жақты шегін тап
13) [pic] 14) [pic] үзілу нүктесін тап
Практикалық сабақ 2-3. Туынды және диффер-енциал. Дифференциал-дау
ережелері, таблица. Күрделі фнукцияның параметрлік және айқын емес
функцияларының туындылары
1. Функцияның туындысын табу.
2. Күрделі функцияның туындысын табу.
3. Айқын емес және параметр түрде берілген функцияның туындысын табу.
4. Функцияның дифференциалын табу керек.,
1) [pic], [pic]-? 2) [pic], [pic]-?
3) [pic], [pic]-? 4) [pic]. [pic]-?
Функцияның туындысын тап
5) [pic] 6) [pic]
7) [pic] 8) [pic] 9) [pic]
10) [pic] 11) [pic]
12) Екінші ретті туындысын тап[pic]
13) [pic] айқындалмаған функцияның туындысын тап
14) Егер[pic], [pic]болса, [pic] тап.
15) [pic], [pic] функцияның [pic] нүктесіндегі туындысын тап
16) [pic], [pic] екінші ретті туындысын тап
17) Функцияның дифференциалын тап[pic]
18) Функцияның екінші ретті дифференциалын тап [pic]
Практикалық сабақ 4. Туындының қолданылуы
1. Функцияның өсу және кему аралықтары.
2. Максимум, минимум нүктелерін табу.
3. Дөңестігі мен ойыстығы. Иілу нүктелерін табу.
4. Функцияны толық зерттеп, графигін салу.
1) Есепте [pic]
2) Есепте [pic]
3) [pic] функциясының абцисса осімен қиылысу нүктесін тап
4) Анықталу облысын тап [pic]
5) Функцияның өсу аралығын тап[pic]
6) Функцияның кему аралығын тап [pic]
7) Функцияның экстремумын тап [pic]
8) Функцияның экстремумын тап [pic]
9) Функцияның максимумын тап [pic]
10) Функцияның ең үлкен мәнін тап [pic] [pic]
11) Функцияның иілу нүктесін тап [pic]
12) Функцияның дөңес аралығын тап [pic]
13) Функцияның ойыс аралығын тап [pic]
14) Кисықтың вертикаль асимптотасын тап [pic]
15) Кисықтың көлбеу асимптотасын тап [pic]
16) Кисықтың горизонталь асимптотасын тап у=[pic]
Практикалық сабақ 5. Анықталмаған интеграл және интегралдаудың негізгі
әдістері
1. Анықталмаған интегралды тікелей есептеу.
2. Бөліктеп интегралдау. Айнымалыны ауыстыру әдісі.
Интегралды есепте
1) [pic] 2) [pic] 3) [pic]
4) [pic] 5) [pic] 6) [pic]
7) [pic] 8) [pic] 9) [pic]
10[pic] 11)[pic] 12) [pic]
13) [pic] 14) [pic] 15) [pic]
16) [pic] 17) [pic] 18)[pic]
Практикалық сабақ 6. Рационал функцияларды интегралдау
1. Рационал және иррационал функцияларды интегралдау.
2. Тригонометриялық функцияларды интегралдау.
Интегралды есепте
1) [pic] 2) [pic] 3) [pic]
4) [pic] 5) [pic] 6) [pic]
7) [pic] 8) [pic] 9) [pic]
10) [pic] 12) [pic] 13) [pic]
13) [pic] 14) [pic] 15) [pic]
16) [pic] 17) [pic] 18) [pic]
Практикалық сабақ 7. Анықталған интеграл. Ньютон - Лейбниц формуласы.
Есептеу әдістері
1. Ньютон-Лейбниц формуласы.
2. Бөліктеп интегралдау. Айнымалыны ауыстыру әдісі.
Есепте
1) [pic] 2) [pic] 3) [pic]
4) [pic] 5) [pic] 6) [pic].
7) [pic] 8) [pic] 9) [pic].
10) [pic] 11) [pic] 12)[pic]
13) [pic] 14)[pic] 15)[pic]
1. Жазық фигураның ауданын табу.
2. Доганың ұзындығын есептеу.
3. Айналу денесінің көлемін табу.
1) [pic] қисығымен және x=0, x=ln2 түзулерімен, ал төменгі жағынан Ох
осімен шенелген дененің ауданын есепте
2) [pic] қисығымен [pic] аралығында және Ох осімен шенелген дененің ауданын
есепте
3) [pic] қисығымен және x=1, x=l түзулерімен, ал төменнен Ох осімен
шенелген қисық сызықты трапецияның ауданын тап
4) [pic] қисығымен және Ох осімен шенелген дененің ауданын тап
5) [pic] қисығымен және x=1, x=l түзулерімен, ал төменнен Ох осімен
шенелген дененің ауданын тап
6) [pic] параболасымен Оу осімен шенелген дененің Оу осін айналғаннан пайда
болған фигурасының көлемін табыңыз
7) [pic] және [pic] қисықтарының доғалары мен дененің Ох осін айналғаннан
пайда болған фигурасының көлемін табыңыз
8) [pic] аралығында [pic] функциясымен берілген қисықтың айналуынан пайда
болған фигураның бетінің ауданын тап
9) [pic] қисығының доғасының ұзындығын табыңыз
10) [pic] қисығының [pic] аралығындағы доғасының ұзындығын табыңыз
Практикалық сабақ 8. Екі айнымалы функциялар. Олардың негізгі ұғымдары.
1. Екі айнымалы функцияның анықталу облысын табу.
2. Дербес туынды мен толық туындыны табу.
3. Толық дифференциалдың жуық есептеулерге қолданылуы.
Функцияның анықталу облысын тап
1) [pic] 2) [pic] 3) [pic]
4) [pic] 5) [pic]
6) Егер [pic] болса [pic] неге тең?
7) Егер [pic] болса [pic] функциясының мәнін анықта
8) [pic] функциясының [pic] нүктесіндегі мәнін тап
9) [pic] болса, [pic] неге тең?
10) [pic]-ті тап
11) [pic] функциясының х айнымалысы бойынша дербес туындысын тап
12) [pic] функциясының х айнымалысы бойынша дербес туындысын тап
13) Егер [pic] болса [pic]–ті тап
14) [pic]-ті тап
15) Егер [pic]
16) Егер [pic]
17) Егер [pic]
18) [pic]-ті [pic] нүктесіндегі мәнін тап
20) [pic] 21) [pic]
22) [pic]
23) [pic]
24) [pic] 25) [pic]
26) Жуықтап есепте [pic]
27) [pic] функциясынан x=0,y=1 болғандағы [pic] нің жуық мәнін есепте.
28) [pic] функциясынан x=1,y=0 болғандағы [pic] нің жуық мәнін есепте.
Практикалық сабақ 9. Екі айнымалы функцияның дербес туындысының
қолданулары.
1. Бағытталған туындыны табу.
2. Градиентті есептеу.
[2.2]. 1-бөлім. 8-тарау. №1264-1273
Практикалық сабақ 10-11. Сан қатарлары және олардың жинақтылық
белгілері
1. Салыстыру белгісі.
2.Қатар жинақтылығының Даламбер белгісі.
3. Қатар жинақтылығының Коши белгісі
4. Лейбниц белгісі.
1) Жалпы мүшесінің формуласын жаз[pic]
2) Жалпы мүшесінің формуласын жаз [pic]
3) Жалпы мүшесі берілген 5-ші мүшесін жаз. [pic]
4) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
5) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
6) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
7) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
8) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
9) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
10) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
11) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
12) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
13) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
14) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
15) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
Практикалық сабақ 12. Функционалдық қатар. Дәрежелік қатар.
1. Функционалдық қатардың жинақтылық облысын анықтау.
1) [pic] қатардың жинақтылық обысын тап
2) [pic] қатардың жинақтылық обысын тап
3) [pic] қатардың жинақтылық обысын тап
4) [pic] қатардың жинақтылық обысын тап
5) [pic] қатардың жинақтылық обысын тап
6) [pic] қатардың жинақтылық обысын тап
7) [pic] қатардың жинақтылық обысын тап
8) [pic] қатардың жинақтылық обысын тап
1. Дәрежелік қатарлар.
1) [pic] функциясын х дәрежесі бойынша қатарға жікте
2) [pic] . функциясын х дәрежесі бойынша қатарға жікте
3) [pic]. функциясын х дәрежесі бойынша қатарға жікте
4) [pic]. функциясын х дәрежесі бойынша қатарға жікте
5) [pic] интегралды 0,0001 дәлдікпен есепте
6) [pic] интегралды 0,0001 дәлдікпен есепте
7) [pic] функцияны дәрежелік қатарға жікте
8) [pic] функцияны дәрежелік қатарға жікте
Практикалық сабақ 12. Екі еселі интегралдар.
Практикалық сабақ 14. Үш еселі интегралдар.
Практикалық сабақ 15. Бірінші типті және екінші типті қисық сызықты
интегралдар.
4 СТУДЕНТТІҢ ӨЗДІК ЖҰМЫСЫ
4.1 Студенттің өздік жұмысын ұймдастыру жөніндегі әдістемелік
ұсынымдар
№1 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. ІV- тарау. №387-390.
№2 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. ІV- тарау. №390-394.
№3 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. ІV- тарау. №403, №415-417, 435, 436.
№4 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. ІV- тарау. № 434, 435, 436, 437.
№5 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. ІІ- тарау. №251, 252, 268-270.
№6 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. ІІ- тарау. №280-285.
№7 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. ІІІ- тарау. №296-300.
№8 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. ІІІ- тарау. №300-310.
№9 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. ІІІ- тарау. №327-334.
№10 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. ІІІ- тарау. №335-341.
№11 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. VІ- тарау. №657-660, 667-671.
№12 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. VІ- тарау. №685-702
№13 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. VІІ- тарау. №775-777, 822-827, 900, 919, 992, 982-985.
№14 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. VІІ- тарау. №1024, 1030, 1035, 1040, 1043, 1057, 1084,
1102.
№15 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. ІХ- тарау. №1345-1347, 1374-1378, 1410-1415,
№16 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. ІХ- тарау. №1430-1434, 1453-1456, 1493-1497.
№17 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. Х- тарау. №1552-1560, 1596-1599.,
№18 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. Х- тарау. №1615-1617, 1636-1638
№19 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. VІІІ- тарау. №1174-1179, 1202-1206.
№20 СӨЖ.
[8.2] , 1-бөлім. VІІІ- тарау. №1214, 12151278-1280, 1291-1294.
№21 СӨЖ.
[8.2]. 2-бөлім. 9-тарау. №1.17, 1.26-1.29, 1.40-1.44, 1.50-1.52, 1.64
№22 СӨЖ.
[8.2]. 2-бөлім. 9-тарау. №1.18, 1.30-1.32, 1.45-1.46, 1.53-1.55, 1.66,
№23 СӨЖ.
[8.2]. 2-бөлім. 9-тарау. №2.140-2.170(жұп нөмірлер).
№24 СӨЖ.
[8.2]. 2-бөлім. 9-тарау. №2.140-2.170(жұп нөмірлер).
№25 СӨЖ.
[8.2]. 2-бөлім. 12-тарау. №1.2, 1.6, 1.20-1.22, 1.25,1.27, 1.29, 1.33,
1.35, 1.37, 1.56, 2.11,2.1.54 2.27.
№26 СӨЖ.
[8.2]. 2-бөлім. 12-тарау. №1.3-1.7, 1.9, 1.31, 1.32, 1.39, 1.55, 1.71-1.75,
2.13,2.15, 2.24-2.26.
№27 СӨЖ.
[8.2]. 2-бөлім. 12-тарау. №7.5, 8.1, 8.6-8.9,
№28 СӨЖ.
[8.2]. 2-бөлім. 12-тарау. №7.4, 7.4, 8.2-8.5,
№29 СӨЖ.
[8.2]. 2-бөлім. 5-тарау. №812, 823, 828, 844, 851, 858, 869, 873, 875.
№30 СӨЖ.
[8.2]. 2-бөлім. 5-тарау. №813, 824, 827, 845, 855, 857, 874, 877, 878.
4.2 Студенттердің білімін ағымдағы және кіріс бақылауға арналған
бақылау тапсырмаларының немесе рефераттар тақырыптарының тізімі (тесттер,
сұрақтар, коллоквиумдар және т.б.) және т.б.
№1-ші аралық бақылау тапсырмалары.
1) Есепте [pic]
А) [pic] В) –1 С) 0 D) ( Е) болмайды
2) Есепте [pic]
А) 1 В) 0 С) ( D) –1 Е) болмайды
3) Есепте [pic]
А) 0 В) 4 С) [pic] D) [pic] Е) болмайды
4) Есепте [pic]
А) 0 В) [pic] С) 2 D) 1 Е) болмайды
5) Есепте [pic]
А) 1 В) –1 С) –2 D) 2 Е) 0
6) Есепте [pic]
А) –4 В) –2 С) 4 D) 2 Е) 0
7) Есепте [pic]
А) -3 В) е3 С) е-3 D) е Е) 1
8) Есепте [pic]
А) 1 В) е С) е-3 D) –3 Е) 0
9) Есепте [pic]
А) 1 В) 0 С) ( D) е Е) е2
10) Есепте [pic]
А) е В) [pic] С) 1 D) 0 Е) [pic]
11) [pic], [pic]-?
А) [pic] В) [pic] С) 0 D) -2 Е) -1
12) [pic]Функцияның туындысын тап
А) [pic] В) [pic] С) [pic] D) [pic] Е) [pic]
13) Функцияның туындысын тап[pic]
А) [pic] В) [pic] С) [pic] D) [pic] Е) [pic]
14) Екінші ретті туындысын тап[pic]
А)[pic] В)[pic] С)[pic] D)[pic] Е)[pic]
15) [pic] айқындалмаған функцияның туындысын тап
А) [pic] В) [pic] С) [pic] D) [pic] Е) [pic]
16) Егер[pic], [pic]болса, [pic] тап.
А) [pic] В) [pic] С) [pic] D) [pic] Е) [pic]
17) [pic], [pic] функцияның [pic] нүктесіндегі туындысын тап
А) [pic] В) [pic] С) [pic] D) [pic] Е) [pic]
18) [pic], [pic] екінші ретті туындысын тап
А) [pic] В) [pic] С) [pic] D) [pic] Е) [pic]
19) Функцияның дифференциалын тап[pic]
А) [pic] В) [pic] С) [pic] D) [pic] Е) [pic]
20) Функцияның екінші ретті дифференциалын тап [pic]
А) [pic] В)[pic] С)[pic]
D)[pic] Е)[pic]
21) Есепте [pic]
А) 0,535 В) 0,315 С) 0,127 D) 0,091 Е) 0,028
22) Анықталу облысын тап [pic]
А) [pic] В) [pic] С) [pic] D) [pic]
E) [pic].
23) Функцияның өсу аралығын тап[pic]
А)[pic] В)[pic] С)[pic] D) [pic] Е) функция кемиді
24) Функцияның кему аралығын тап [pic]
А) [pic] В) [pic] С) [pic] D) [pic] Е) функция өседі
25) Функцияның экстремумын тап [pic]
А) min y=2, max y=-2 В) min y=0, max y=2 С) min y=0, max y=-2
D) min y=1, max у=1 Е) экстремум жоқ
26) Функцияның максимумын тап[pic]
A) [pic] B) [pic] C) [pic] D) максимума жоқ E) [pic]
27) Функцияның ең үлкен мәнін тап [pic] [pic]
A) [pic] B) [pic] C) [pic] D) [pic] E) [pic]
28) Функцияның иілу нүктесін тап [pic]
А) [pic] B) [pic], [pic] C) [pic] D) [pic][pic] E) [pic].[pic]
29) Функцияның дөңес аралығын тап [pic]
А) [pic] B) [pic] C) [pic] D) [pic] E) [pic]
30) Функцияның ойыс аралығын тап [pic]
А)[pic] B) жоқ C) [pic] D) [pic] E) [pic]
31) Кисықтың вертикаль асимптотасын тап [pic]
А) [pic] B) [pic] C) [pic] D) [pic] E) асимптота жоқ
32) Кисықтың көлбеу асимптотасын тап [pic]
А) [pic] B) [pic] C) [pic] D) [pic] E) [pic]
№2-ші аралық бақылау тапсырмалары.
1) Интегралды есепте[pic]
А) [pic] B) [pic] C) [pic] D) [pic]
E) [pic]
2) Есепте [pic]
А) [pic] В) [pic] С) [pic]
D) [pic]
E) [pic]
3) Есепте [pic]
A)[pic] B)[pic] C)[pic] D)[pic] E)[pic]
4) Есепте [pic].,
A)[pic] B)[pic] C)[pic] D)[pic] E)[pic]
5) Есепте [pic]
A)[pic] B)[pic] C)[pic] D)[pic] E)[pic]
6) Есепте [pic]
A)[pic] B)[pic] C)[pic] D)[pic] E)[pic]
7) Есепте [pic]
A)[pic] B)[pic] C)[pic] D)[pic] E)[pic]
8) Есепте [pic]
A)[pic] B)[pic] C)[pic] D)[pic] E)[pic]
9) Есепте [pic]
A)[pic] B)[pic] C)[pic] D)[pic] E)[pic]
10) Есепте [pic]
A)[pic] B)[pic] C)[pic] D)[pic] E)[pic]
11)[pic] Есепте
А) [pic]. B) [pic]. C)[pic]. D) [pic]. E) [pic].
12) [pic]. Есепте
А) [pic]. B) [pic]. C) [pic]. D) [pic]. E) [pic].
13) [pic]. Есепте
А) [pic]. B) [pic]. C) [pic]. D) [pic]. E) [pic].
14) Сызықтармен шенелген фигураның ауданын тап у=0, у=1, у=х3
A. 1. B. [pic]. C. [pic]. D.[pic]. E. [pic].
15) Сызықтармен шенелген фигураның ауданын тап: х=0, х=2, у=0, у=ех
A. [pic]. B. [pic]. C. [pic]. D. [pic]. E. [pic].
16) Сызықтармен шенелген фигураның ауданын тап[pic]
A. 13. B. [pic]. C. [pic]. D. [pic]. E. [pic].
17) Жалпы мүшесі берілген 4-ші мүшесін жаз. [pic]
A)[pic]. B) [pic] . C) [pic]. D) [pic]. E) [pic].
18) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
A) жинақты
B) жинақсыз
C) абсолют жинақты
D) шартты жинақты
E) дұрыс жауабы жоқ
19) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
A) жинақты
B) жинақсыз
C) абсолют жинақты
D) шартты жинақты
E) дұрыс жауабы жоқ
20) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
A) жинақты
B) жинақсыз
C) абсолют жинақты
D) шартты жинақты
E) дұрыс жауабы жоқ
21) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
A) жинақты
B) жинақсыз
C) абсолют жинақты
D) шартты жинақты
E) дұрыс жауабы жоқ
22) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
A) жинақты
B) жинақсыз
C) абсолют жинақты
D) шартты жинақты
E) дұрыс жауабы жоқ
23) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
A) жинақты
B) жинақсыз
C) абсолют жинақты
D) шартты жинақты
E) дұрыс жауабы жоқ
25) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
A) жинақты
B) жинақсыз
C) абсолют жинақты
D) шартты жинақты
E) дұрыс жауабы жоқ
26) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
A) жинақты
B) жинақсыз
C) абсолют жинақты
D) шартты жинақты
E) дұрыс жауабы жоқ
27) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
A) жинақты
B) жинақсыз
C) абсолют жинақты
D) шартты жинақты
E) дұрыс жауабы жоқ
28) [pic] Қатарды жинақтылыққа зертте
A) жинақты
B) жинақсыз
C) абсолют жинақты
D) шартты жинақты
E) дұрыс жауабы жоқ
E) дұрыс жауабы жоқ
29) [pic] қатардың жинақтылық обысын тап
A)[pic]. B) [pic] . C) [pic]. D)[pic]. E) [pic].
30) [pic] қатардың жинақтылық обысын тап
A)[pic]. B) [pic]. C) [pic]. D)[pic]. E) [-2; 2).
31) [pic] қатардың жинақтылық обысын тап
A)[pic]. B) [pic]. C) [pic]. D)[pic]. E) [pic].
32) [pic] қатардың жинақтылық обысын тап
A)[pic]. B) [pic]. C) [pic] . D) [pic] . E) [pic].
33) [pic] қатардың жинақтылық обысын тап
A)[pic]. B) [pic]. C) [-4;4). D)[pic]. E) [pic].
34) [pic] қатардың жинақтылық обысын тап
A)[pic]. B) [pic]. C) [pic]. D)[pic]. E)(-[pic];0) [pic] [pic].
35) [pic] функциясын х дәрежесі бойынша қатарға жікте
А)[pic]. В)[pic].
С)[pic]. D) [pic].
E) [pic].
36) [pic] . функциясын х дәрежесі бойынша қатарға жікте
A)[pic].
B) [pic].
C)[pic].
D) [pic].
E) [pic].
37) [pic]. функциясын х дәрежесі бойынша қатарға жікте
A)[pic].
B) [pic].
C)[pic].
D) [pic].
E) [pic].
8. ӘДЕБИЕТТЕР
Негізгі әдебиеттер
8.1.1 Хасеинов К.А. Математика канондары. Алматы., 2004.
8.1.2. Берман Г.Н. Сборник задач по математического анализа., М., «Наука»,
1977
8.1.3. Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч.
1, 2. М., «Наука», 1986
8.1.4. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике, М. «Высшая
школа», 1984.
«Высшая математика».
Қосымша әдебиеттер
8.2.1. Данко Л. Е., Попов Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.
Часть 2., М.,
8.2.2. Запорожец А. Т. Задачи по математическому анализу.
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz