Файл қосу
Тәуелсіз оқиғалардың ықтималдықтарын көбейту
Кіріспе.
Күнделікті өмірде бізге кездесетін оқиғаларды мынадай үш түрге бөлуге
болады: ақиқат оқиғалар, мүмкін емес оқиғалар және кездейсоқ оқиғалар.
Ақиқат оқиғалар деп, белгілі бір Т шарттар жиынтығы орындалғанда
міндетті түрде ордалатын оқиғаны айтады.
Мысалы: Ыдыстағы судың температурасы +200, атмосфералық қысымы
қалыпты жағдайда болатын болса «ыдыстағы су сұйық қалпында» оқиғасы ақиқат
болады. Мұндағы берілген атмосфералық қысым мен судың температурасы Т
шарттар жиынтығын құрайды.
Кездейсоқ оқиға деп, Т шарттар жиынтығы орындалғанда, орындалуы да
орындалмауы да мүмкін оқиғаны айтамыз.
Мысалы: Тиынды лақтырғанда «елтаңба» немесе «сан» түсуі кездейсоқ
оқиғалар. Бұл оқиғалардың қайсысы орындалатынын алдын ала айта алмаймыз,
екеуінің кезкелгені орыналуы мүмкін.
Мүмкін емес оқиға деп Т шарттар жиынтығы орындалса да, орындалуы мүмкін
болмайтын оқиғаны айтады.
Мысалы: Т шарттар жиынтығы орындалса да «ыдыстағы су мұз болып қатты»
деген оқиға мүмкін емес, яғни орындалмайды, су қатпайды, себебі Т шарты
бойынша температура +200.
Оқиғаның нәтижесіне ықпал ететін себептер көп, және оларға әсер ететін
заңдылықтар белгісіз болғандықтан, оның бәрін ескеру мүмкін емес. Бірақта,
біртекті кездейсоқ оқиғаларды өте көп бақылау арқылы олардың белгілі бір
заңдылыққа бағынатындығы байқалады. Осы заңдылықтарды тұжырымдаумен
айналысатын пәнді ықтималдық теориясы дейміз. Сонымен ықтималдық
теориясы дегеніміз, көптеген біртекті кездейсоқ оқиғалардың ықтималдық
заңдылықтарын оқытатын пән.
Ықтималдық теориясының тәсілдері техника мен жаратылыстанудың әртүрлі
салаларында қолданылады, мысалы жаппай қызмет көрсету теориясында,
теоретикалық физикада, геодезияда, астрономияда, ату теориясында, автоматты
басқару теориясында және көптеген теориялық және қолданбалы ғылымдарда.
Ықтималдық теориясының алғашқы ұғымдары құмар ойындардың теориясын
жасауға талаптанған Кардано (итальяндық), Гюгенс (нидерландық), Паскаль,
Ферма (француздар) т.б. ХУІ-ХУІІ-ғасырдың ғалымдарының еңбектерінде
кездеседі. Ықтималдық теориясының дамуының келесі кезеңі Якоб Бернулли
(швейцар), Муавр (ағылшын), Лаплас, Пуассон (француздар), Гаусс (неміс)
т.б. ғалымдармен дамыды.
Ал кейінгі дамуы орыс ғалымдары: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов және бұрынғы
совет математиктері : Бернштейн С.Н., Колмогоров А.Н., Гнеденко Б. В.,
Смирнов Н.В. т.б. ғалымдарға байланысты болды.
І бөлім
Кездейсоқ оқиғалар.
І тарау. Кездейсоқ оқиғалар және олардың ықтималдықтары
§ 1 Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымы және кездейсоқ оқиғалардың
түрлері.
Бұдан былай Т шарттар жиынтығы деп айтудың орнына «әрекет жасалды» деп
қысқа ғана айтатын боламыз. Сонымен оқиғаны жасалған әрекеттің нәтижесі
деп қараймыз.
Мысалы: Әр түсті асықтар бар дорбадан кезкелген бір асық аламыз.
Асықты алғанымыз – жасалған әрекет, ал белгілі бір түсті асықтың шығуы –
оқиға.
Анықтама. Жалғыз рет жасалған әрекетте, бір оқиғаның орындалуы басқа
оқиғалардың орындалуын жоққа шығаратын болса (болдырмай тастаса) онда,
ондай оқиғаларды үйлесімсіз оқиғалар дейміз.
Мысалы. Тиынды лақтырғанда «елтаңба» шықса «сан» шықпады дегенді
ұғамыз. Сондықтан «елтаңба шықты» және «сан шықты» деген екі оқиға
үйлесімсіз оқиғалар.
Анықтама. Жасалған әрекеттің нәтижесінде бірнеше оқиғалардың ең болмағанда
біреуі міндетті түрде орындалса, ондай оқиғаларды толық топ құрайтын
оқиғалар дейміз.
Кей жағдайда, толық топтың оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз болса, онда
әрекеттің нәтижесінде тек қана бір-ақ оқиға орындалады.
Мысалы. Мерген көздеп мылтық атсын. Бұл арада мына екі оқиғаның: «дәл тиді»
, «тимеді» қайтсе де біреуі орындалады. Бұл екі үйлесімсіз оқиғалар толық
топ құрайды.
Мысалы. Екі лотерея билетін алған адамға мына оқиғалардың тек қана біреуі
орындалады.
1) ұтыс 1-ші билетке шықты да, 2-ші билетке шықпады;
2) ұтыс 1-ші билетке шықпады да, 2-ші билетке шықты;
3) ұтыс 1-ші билетке және 2-ші билетке де шықты;
4) ұтыс 1-ші билетке және 2-ші билетке де шықпады;
Бұл оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз толық топты құрайды.
Анықтама. Орындалу мүмкіндіктері бірдей оқиғаларды тең мүмкіндікті
оқиғалар деп атаймыз.
Мысал Тиынды лақтырғанда «елтаңба» немесе «сан» түсті оқиғаларының
мүмкіндіктері бірдей. Сол сияқты ойын кубын лақтырғанда да, 1-ден 6-ға
дейінгі ұпайлардың түсуі мүмкіндіктері бірдей, сондықтан ол оқиғалар тең
мүмкіндікті болады.
§ 2 Ықтималдықтың классикалық анықтамасы.
Кезкелген математикалық теория белгілі бір ұғымдар негізінде құрылатын
болғандықтан, біз ықтималдықтар теориясын құруда ықтималдықтың классикалық
анықтамасына сүйенеміз.
Жалпы, ықтималдықтың классикалық анықтамасынан басқа да геометриялық,
статистикалық, аксиоматикалық анықтамалары да бар.Олардың әрқайсысының
қолданатын орны, ерекшеліктері, бір-бірінен артықшылықтары мен кемшіліктері
бар. Мысалы, геометриялық ықтималдықтар астрономия, биология, атомдық
физика т.с.с. салаларында жиі қолданылғанымен ол классикалық анықтама
сияқты айқын емес.
Ал статистикалық анықтаманың іс жүзінде орындалатын түрлі зерттеулерде
ерекше мәні бар, мысалы, үлкен жиынды зерттеу керек болғанда, ол қиын
болғандықтан оның бәлігін (таңдаманы) зерттейміз, сөйтіп, таңдаманы зерттеу
нәтижесінде кездейсоқ оқиғаның салыстырмалы жиілігін анықтаймыз. Осы арқылы
ықтималдықтың сандық мәнін бағалаймыз, яғни қарастырып отырған құбылыстың
сандық сипаттамасы негізделеді. Сонымен, ықтималдықтар теориясымен
статистиканы (тәжірибені) байланыстыратын маңызды дәнекер модель–үлкен
сандар заңына алып келеді (ол туралы алдағы бөлімдерде айтылады).
Осы анықтамалардың бәрінің негізі болатын ықтималдықтың классикалық
анықтамасын алғаш рет француз ғалымы Лаплас (1794-1827) берген еді.
Бұл анықтама саны шекті болатын тең мүмкіндікті элементар оқиғалар
туралы қысқаша түсінік берейік.
Жасалған әрекетке (сынақ, тәжірибе) қойылатын негізгі шарт оның мүмкін
болатын нәтижесін көрсете білуіміз керек. Ал әрекет жасалғанда тек бірінің
ғана орындалуын талап ете отырып, жасалған әрекеттің нәтижелерінің мүмкін
мәндерін бұдан былай элементар оқиғалар деп атаймыз да, оны ti арқылы
белгілейміз . Элементар оқиғалар – әрі қарай жіктелмейтін оқиғалар. Ал
әрекеттің нәтижесі тек бір ғана элементар оқиғамен көрсетіледі. Әрекеттің
барлық мүмкін болатын нәтижелері жиынын элементар оқиғалар жиыны дейміз.
Мұны {ω} арқылы белгілейік. Элементар оқиғалар {ω} жиынының әрбір ішкі
элементі оқиға деп аталады. Оларды А,В,С,.... әріптерімен белгілейміз.
Мысалы, асықты үйіргенде барлық мүмкін нәтижелер жиыны [pic]t1, t2, t3 ,
t4} – элементар оқиғалар жиыны. Мұндағы t1 – асық алшы түсті, t2 – тәйке
түсті, t3 – бүк түсті, t4 – шік түсті оқиғалар.
Енді мысалмен негіздей отырып, ықтималдықтың классикалық анықтамасын
берейік.
Жәшікте мұқият араластырған 2-жасыл, 3-көк, 1-ақ барлығы 6 асық болсын.
Егер біз кезкелген бір асықты алатын болсақ, онда боялған (көк не қызыл)
асықтың шығу мүмкіндігі ақ асыққа қарағанда көп. Осы мүмкіндікті санмен
көрсетуге бола ма екен?
Соны көрсетейік: боялған асықтың шығуын А – оқиғасы деп белгілейік.
Әрбір әрекеттің мүмкін болатын нәтижесін элементар оқиғалар деп атайық та
t1, t2,.... т.с.с. белгілейік. Біздің жағдайда мынадай 6 элементар оқиғаның
болуы мүмкін: t1 – ақ асық шықты, t2, t3 – қызыл асық шықты, t4, t5,t6 –
көк асық шықты.
Бұл оқиғалар өзара үйлесімсіз, мүмкіндіктері бірдей болатын толық топты
құрайды. Бұл жерде әрбір элементарлық оқиға бір-ақ мәнге ие болатынын атап
айтуымыз керек. Біз қажет етіп отырған А оқиғасы орындалатын элементарлық
оқиғаларды, біз үшін ыңғайлы элементарлық оқиғалар деп атаймыз. Біздің
мысалда А оқиғасына ыңғайлы, яғни оның орындалуына ықпал етуші мынадай 5
элементарлық оқиғалар бар: t2, t3, t4, t5, t6
Анықтама. А оқиғасының ықтималдығы деп, осы оқиғаның орындалуына
ыңғайлы болатын, яғни ықпал ететін элементарлық оқиғалардың санын,
мүкіндіктері бірдей, өзара үйлесімсіз, толық топ құрайтын, барлық
элементарлық оқиғалардың санына қатынасын айтамыз да, былайша белгілейміз:
[pic] (1)
мұндағы m – оқиғаның орындалуына ыңғайлы, яғни ықпал етуші элементарлық
оқиғалардың саны. n – барлық мүмкін болатын элементарлық оқиғалардың
саны. Сонда біздің мысал [pic][pic][pic]болып шешіледі.
Ықтималдықтың анықтамасынан оның мынадай қасиеттері шығады:
І қасиет. Ақиқат оқиғаның ықтималдығы 1-ге тең, яғни [pic] болады
да [pic]
2-қасиет. Мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы 0-ге тең, яғни [pic]
болады да [pic]
3-қасиет. Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы 0 мен 1-дің арасында жататын
оң сан, яғни [pic] болғандықтан [pic]демек [pic][pic]
Сонымен кезкелген оқиғаның ықтималдығы мына теңсіздікті
қанағаттандырады [pic].
§ 3 Комбинаториканың негізгі формулалары.
Ықтималдықтар теориясының есебін шығарғанда, бізге көп жағдайларда
комбинаторикалық формулаларды қолдануға тура келеді.
Мысалы. Аян, Бек, Сағи, Берік, Болат атты бес жігіттің кезкелген үшеуі
әскерге алынады. Қай үшеуінің алынуы мүмкін ? (Аян, Бек, Сағи ма), жоқ
(Аян, Бек, Берік пе) т.с.с. Бұл үштіктердің санын есептеу үшін,
комбинаторикадағы терудің формуласын қолдануға тура келетіндігін байқауға
болады. Сондықтан сол формулалар туралы түсінік бере кетейік:
І. Берілген әртүрлі n элементтен, n элементтің барлығының
қатысуымен жасалған, бір-бірінен айырмашылығы тек орналасу ретінде ғана
болатын топты алмастыру деп атаймыз. Барлық алмастырудың саны
[pic] (2)
формуласымен есептеледі.
Мысалы. Мына 2,4,5 цифрлары әр санда бір-ақ рет қайталануға тиіс
болса, осы ифрлардан неше үш орынды сан құрауға болады?
Шешуі. Үш орынды сан жазу үшін берілген үш цифрдың үшеуі де қатысуға
тиіс, және олардың орындарын ауыстырып отырсақ әртүрлі сандар шығып отырады
демек, бұл үш орынды сандардың барлық саны үш цифрдан жасалған алмастыруға
тең болатындығын байқаймыз. (2) формуланы қолданып:
[pic] 2 4 5 4 5 2 5 2 4
5 4 2 4 2 5
2 5 4
2. Орналастыру деп, бір-бірінен айырмашылығы элементтерінің құрамында,
немесе элементтерінің орналасу ретінде болатын әртүрлі [pic] элементтен
[pic]нен жасалған топты айтамыз (мұндағы [pic]) . Барлық орналастырудың
саны мына формуламен есептеледі:
[pic] (3)
Мысалы. Түстері әртүрлі 6 жалаушадан екі-екіден қойып қанша белгі
жасауға болады?
Шешуі. Мысалға үш жалаушаның: ақ (а), қызыл (қ), сары (с) -- өзінен
мынадай белгілер жасауға болады: а қ, қ а, а с, с а, қ с, с қ – демек, бұл
белгілердің бір-бірінен айырмашылығы, не жалаушаның түсінде, немесе
орналасу ретінде, олай болса біздің іздеп отырған белгілеріміздің саны, 6-
дан 2-ден жасалған орналастыру болады. Оны есептеу үшін (3) формуланы
қолданамыз:
[pic]
3.Теру – деп, бір-бірінен айырмашылығы ең болмағанда бір элементтінде
болатын әртүрлі n элементтен m-нен жасалған топты айтады. Барлық терудің
санын мына формуламен есептейді:
[pic]
Мысалы. Дорбадағы 10 түске боялған асықты қанша тәсілмен 2-ден алуға
болады?
Шешуі. Екіден алынған асықтың бір-бірінен айырмашылығы ең болмағанда
бір асықтың түсінде болуға тиіс, олай болса іздеп отырған, асықты екіден
алудың тәсілдер саны – 10-нан 2-ден жасалған терудің санына тең болады,
демек (4) – формуланы қолдансақ:
[pic]
Ескерту. Бұл есепті терудің шартына байланысты, (ақ-көк) немесе (көк-
ақ) сияқты жағдайлардың тек біреуі ғана есепке алынады, үйткені ондағы
асықтың түрлері қайталанып тұр.
§ 4 Ықтималдықты есептеудің мысалдары.
1-мысал. Хабарласушы адам телефон нөмірінің соңғы екі цифрын ұмытып
қалды, бірақ олардың әртүрлі цифрлар екендігі ойына түсіп кездейсоқ екі
цифрды ала салды. Осы алынған цифрлар керекті цифрлар екендігінің
ықтималдығын тап? (мысалы 2 мен 3-ті яғни 23-ті немесе 3 пен 2-ні яғни 32-
ні ала салуы мүмкін, т.с.с.)
Шешуі. Есепті шешу үшін, әртүрлі цифрлардан жасалған екі орынды
сандарды (23,32,43,34,....) яғни орналастыруларды табу керек екендігін
байқауға болады. Телефонның цифрлары: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 болғандықтан,
барлық екі орынды цифрлар саны 10 цифрдан екіден жасалған орналастырумен
есептеледі, яғни
[pic]
Осы 90 түрлі екі орынды санның тек біреуі ғана ұмытылған сан, олай
болса, бізге керекті оқиғалар саны біреу-ақ, яғни [pic] ал барлық мүмкін
оқиғалар саны 90, яғни [pic]. Енді В-деп «керекті екі цифр алынды» –
оқиғасын белгілейік. Осыларды (1) – формулаға (§ 2 ) қойсақ:
[pic]
2-мысал. Екі ойын сүйегі лақтырылды. Түскен ұпайлардың санының
қосындысы 4-ке тең екндігінің ықтималдығын тап?
Шешуі.
а) (Екі оқиға болуы мүмкін: 1) ұпайлардың саны 4-ке тең, 2)
ұпайлардың саны 4-ке тең емес, олай болса [pic], [pic] болады да [pic] бұл
шешім дұрыс емес, үйткені қарастырып отырған екі оқиғалар бірдей
мүмкіндікті емес.
б) Бірдей мүмкіндікті барлық оқиғалар саны [pic] яғни [pic], ал [pic]
яғни: (1;3), (3;1), (2;2) олай болса
[pic]
3-мысал. Жәшіктегі 10 балғаның 7-уі бір үлгідегі балғалар. Кездейсоқ
алынған алты балғаның тура 4-уі бір үлгіде болатындығының ықтималдығын тап?
Шешуі. А деп «алынған 6 балғаның 4-уі бір үлгіде» – оқиғасын
белгілейік. Мүмкін болатын элементарлық оқиғалардың саны [pic] -ға тең, ал
А оқиғасына ықпал етушілердің саны [pic]-ге тең (бұл m ), сонда
[pic][pic]
§ 5 Салыстырмалы жиілік.
Анықтама. Оқиғаның жиілігі деп, жасалған әрекеттің нәтижесінде,
орындалған оқиғаның санын, жасалған әрекеттің жалпы санына қатынасын айтады
да, мына формуламен есептейді:
[pic]
мұндағы m-орындалған оқиғаның саны да, [pic]-жасалған әрекеттің саны.
Ықтималдықтың анықтамасы мен салыстырмалы жиіліктің анықтамасын
салыстыра отырып ықтималдықтың анықтамасы, әрекеттің жасалуын қажет
етпейтіндігін, ал салыстырмалы жиіліктің анықтамасы оның міндетті түрде
жасалуын талап ететіндігін көруге болады. Яғни ықтималдықты әрекетке дейін
есептейді де, салыстырмалы жиілікті әрекеттен кейін есептейді.
Мысал. Мылтықтан 24 рет көздеп атқанда 19 рет дәл тиді, олай болса
мақсатқа жетудің салыстырмалы жиілігі
[pic]
Егер әрекеттің нәтижесінде салыстырмалы жиілікті тапқан болсақ онда ол
санды жуық мөлшермен оқиғаның ықтималдығы деп те қабылдауға болады.
§ 6
Үйлесімсіз оқиғалардың ықтималдығын
қосу теоремасы
Анықтама. А және В оқиғаларының қосындысы [pic] деп, А оқиғасының, не
В оқиғасының, немесе екеуінің де орындалатындығын айтамыз.
Мысал. Мылтықтан екі рет оқ атылды. А-деп, «бірінші атқанда тиді» –
оқиғасын, В-деп, «екінші атқанда тиді» -– оқиғасын белгілесек, онда [pic]
дегеніміз: «бірінші атқанда тиді», немесе екінші атқанда тиді», немесе
«екеуінде де тиді», – деген оқиғаларды қамтиды. Егерде А және В оқиғалары
үйлесімсіз оқиғалар болатын болса, онда [pic] дегеніміз, не А, не В
оқиғасының (қайсысы болса да) орындалғанын білдіреді.
Бірнеше оқиғаның қосындысы деп, ең болмағанда біреуі орындалатын
оқиғаны айтады.
Мысал. [pic] оқиғасы деп, мыналардың: А,В,С; А және В, А мен С, В мен
С, А әрі В әрі С оқиғаларының әйтеуір біреуінің орындалатындығын айтады.
Егер де А және В үйлесімсіз екі оқиға өздерінің орындалу ықтималдығымен
берілсе, онда А оқиғасы орындала ма, жоқ В оқиғасы орындала ма, деген
ықтималдықты табу үшін мына теореманы дәлелдейік:
Теорема. Екі үйлесімсіз оқиғаның қайсысы болса да, әйтеуір біреуінің
орындалу ықтималдығы, осы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысына тең.
[pic]
Дәлелдеу: тәжірибе кезінде мүмкін болатын элементар оқиғалардың жалпы
саны болсын, [pic] – А оқиғасының орындалуына ықпал ететін жағдайлардың
саны; [pic] – В оқиғасының орындалуына ықпал ететін жағдайлардың саны. Онда
не А оқиғасының, не В оқиғасының орындалуына ықпал ететін элементар
оқиғалардың саны [pic] болады, олай болса
[pic]
мұндағы
[pic], [pic][pic]
болғандықтан
[pic]
дәлелденді.
Салдар. Жұптары өзара қос-қостан үйлесімсіз болып келетін бірнеше
оқиғалардың қайсысы болса да, әйтеуір біреуінің орындалатындығының
ықтималдығы, сол оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысына тең:
[pic]
Мысал. Қобдишада 15 ақ, 10 қызыл, 5 көк шарлар бар. Боялған шардың шығу
ықтималдығын тап ?
Шешуі. Боялған шардың шығуы деп, не қызыл, не көк шардың шығуын
айтамыз, яғни, А-қызыл, В-көк шар шықты оқиғасы болса, онда
[pic] [pic] [pic]
Мысал. Үш бөлікке бөлінген нысананы көздеп мерген мылтық атты. Оның
бірінші бөлікке тигізу ықтималдығы -0,45, екіншіге -0,35 болса, мерген бір-
ақ рет атқанда, оның не бірінші, не екінші бөлікке тигізетіндігінің
ықтималдығын тап ?
Шешуі. А – «мерген бірінші бөлікке тигізді» және В – «мерген екінші
бөлікке тигізді» оқиғалары өзара үйлесімсіз, сондықтан қосу теоремасын
қолдануымызға болады, яғни:
[pic] [pic]
[pic]
§ 7 Оқиғаның толық топтары
Анықтама. Оқиғаның толық тобы деп, әрекет кезінде біреуінің ғана
орындалуы мүмкін оқиғалар тобын айтамыз.
Мысал. Мерген нысананы көздеп екі рет атты. Сонда мына оқиғалар: А1 –
«бір ретінде тиді», А2 – «екеуінде де тиді», А3 – «мүлдем тиген жоқ» –
толық топ құрайды. Басқа оқиға болуы мүмкін емес.
Теорема. Толық топ құрайтын А1, А2, .......,[pic] оқиғаларының
ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең, яғни
[pic] (1)
Дәлелдеу. Толық топтың әйтеуір бір оқиғасының орындалатыны ақиқат, ал
оқиғаның ықтималдығы 1-ге тең болғандықтан
[pic] (2)
Енді толық топтың кез-келген екі оқиғасы өзара үйлесімсіз болғандықтан
(2)-теңдікке қосу теоремасын қолдануға болады демек ,
[pic] (3)
2) мен (3)-ті салыстырсақ (1) шығады. Дәлелденді.
Мысал. Институттың кеңес беретін бөліміне А, В және С қалаларынан
бақылау жұмысы жазылған хаттар келуге тиіс. Хаттардың А қаласынан келу
ықтималдығы – 0,7-ге тең ([pic] ), В қаласынан – 0,2-ге тең ( [pic])
болса, таяу арада (кезекті) келетін хаттың С қаласына болатындығының
ықтималдығын тап ?
Шешуі. «Хат А қаласынан келді», «Хат В қаласынан келді» және «Хат С
қаласынан келді» –оқиғалары толық топ құрайды, олай болса
[pic] [pic]
§ 8 Қарама-қарсы оқиғалар
Анықтама. Толық топ құрайтын, бір-ақ мүмкіндікті екі оқиғаны қарама-
қарсы оқиғалар дейміз. Егер оның біреуін А деп белгілесек екіншісін [pic]
деп белгілеу шарт.
Мысал. Көздеп мылтық атқанда «тиеді» және «тимейді» деген екі оқиға,
қарама-қарсы оқиғалар. А – «тиеді» болса, [pic] –«тимейді» оқиғасы.
Теорема. Қарама-қарсы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең,
яғни
[pic] немесе [pic]
Дәлелдеу. Қарама-қарсы оқиғалар толық топ құрайтындықтан
[pic]
Мысал. Күннің жауынды болатындығының ықтималдығы [pic] болса күннің
ашық болатындығының ықтималдығы [pic] тап ?
Шешуі. «Күн жауынды» және «күн ашық» оқиғалары қарама-қарсы оқиғалар
болғандықтан [pic] бұдан [pic]
Мысал. Жәшіктегі [pic]бөлшектің [pic]-і бір үлгідегі бөлшектер.
Кездейсоқ алынған «К» бөлшектің ішінде ең болмағанда бір үлгілі бөлшек
болатындығының ықтималдығын тап ? ([pic] ?)
Шешуі. «Алынған бөлшектердің ішінде ең болмағанда бір үлгілі бөлшек
бар» және «алынған бөлшектердің ішінде бір де бір үлгілі бөлшек жоқ» –
оқиғалары қарама-қарсы. Олай болса оларға келісілгендей А және [pic]
деп белгілеу енгізсек
[pic] [pic]
Енді [pic]-ны табайық. [pic]бөлшектен К бөлшекті алудың жалпы саны
[pic] –ға тең. Үлгілі емес бөлшектің саны [pic]-ға тең. Бұдан үлгілі емес К
бөлшекті алудың саны [pic]-ға тең. Олай болса «алынған К бөлшектің ішінде
бір де бір үлгілі бөлшек жоқ» оқиғасының [pic]ықтималдығы [pic] -ға тең,
олай болса іздеп отырған ықтималдығымыз
[pic]
Тәуелді және тәуелсіз оқиғалар.
Анықтама. Екі оқиғаның біреуінің ықтималдығы екіншісінің орындалған
орындалмағанына тәуелсіз болса, ондай оқиғаларды тәуелсіз оқиғалар дейді.
Мысал. Тиынды екі рет лақтырайық. Бірінші лақтырғанда елтаңба
түсетіндігінің (А – оқиғасы) ықтималдығы, екінші лақтырғандағы елтаңбаның
түсу түспеуіне (В – оқиғасы) тәуелсіз, керісінше, екінші лақтырғанда
елтаңба түсетіндігі, бірінші лақтырғанның нәтижесіне де тәуелсіз, олай
болса А және В оқиғалары тәуелсіз оқиғалар.
Мысал. Қобдишада 5 ақ, 3 қара шар бар. Одан кез-келген бір шар алайық.
Алған шарымыздың ақ болу (А – оқиғасы) ықтималдығы [pic] -ке тең. Алынған
шарды қайтадан қобдишаға салайық та қайталап тағы шар алайық. Екінші рет
алынған шарымыздың (В – оқиғасы) ықтималдығы бұрынғыша [pic] -ке тең, яғни
екінші реткі әрекеттің нәтижесі тәуелсіз. Олай болса А мен В тәуелсіз
оқиғалар.
Анықтама. Әрбір екі оқиғасы өзара тәуелсіз болатын бірнеше оқиғаларды
қос-қостан тәуелсіз оқиғалар дейміз.
Мысал. Тиынды үш рет лақтырайық. А,В,С – оқиғалары: 1-ші, 2-ші, және
3-ші ретте сәйкес түрде елтаңба түскендігін көрсететін оқиғалар. Мұндағы
қарастырылатын әрбір екі оқиға: А мен В, А мен С, В мен С – тәуелсіз.
Анықтама. Екі оқиғаның біреуінің ықтималдығы екіншісінің орындалу-
орындалмауына байланысты болса, ондай оқиғаларды тәуелді оқиғалар дейді.
Мысал.Дорбадағы 100 асықтың 80-і ақ та 20-ы қызыл. Дорбадан кезкелген
бір асықты аламызда аулаққа қоямыз. Алған асығымыз ақ (А – оқиғасы) болса,
екінші рет тағы да ақ асық (В – оқиғасы) алудың ықтималдығы [pic] болады.
Ал егер алғашқы алғанымыз қызыл асық болса, онда [pic] болар еді. Сонымен В
оқиғасының орындалу-орындалмауына байланысты, олай болса А мен В – тәуелді
оқиғалар.
§ 10 Тәуелсіз оқиғалардың ықтималдықтарын
көбейту
Анықтама. А және В оқиғаларының көбейтіндісі деп, екеуі де бір сәтте
орындалатын АВ оқиғасын айтамыз.
Мысал. Жәшікте №1 және №2 дайындаған бөлшектер бар. Егер: А – «үлгілі
бөлшек алынды» оқиғасы, В – «бөлшекті №1-зауыт дайындаған» оқиғасы болса,
онда АВ «№1-ші зауыт дайындаған үлгілі бөлшек алынды» –оқиғасы болады.
Анықтама. Бірнеше оқиғалардың көбейтіндісі деп, үйлесімді түрде олардың
бәрінің бір сәтте орындалуын айтады.
Теорема. Өзара тәуелсіз екі оқиғаның бір сәтте орындалу ықтималдығы осы
оқиғалардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең:
[pic]
Дәлелдеу. А – оқиғасының оындалуы да орындалмауы да мүмкін болатын
барлық әрекеттердің санын [pic]-деп белгілейік. [pic]-деп А – оқиғасына
ықпал етуші жағдайлардың санын ([pic]) белгілейік. [pic]деп В оқиғасының
орындалуы да орындалмауы да мүмкін болатын барлық әрекеттердің санын
белгілейік. [pic]деп В оқиғасына ықпал етуші жағдайлардың саны ([pic])
белгілейік. Сонда [pic]дегеніміз: А және В, немесе А және [pic], немесе
[pic] және В, немесе [pic] және [pic] оқиғалары орындалатын барлық
элементар оқиғалардың санын береді. Ал мұның ішінде [pic] – А және В
оқиғаларының бір сәтте орындалуына ықпал етуші жағдайлардың саны. Олай
болса оның ықтималдығы
[pic] ; [pic]; [pic]
болғандықтан
[pic]
дәлелденді.
Анықтама. Біренеше оқиғалардың әрбір екі оқиғасы өзара тәуелсіз болса,
және олардың әрбір оқиғасымен қалғандарының кез-келген комбинациясы
тәуелсіз оқиғалар болатын болса, бұл оқиғаларды тобымен тәуелсіз оқиғалар
дейміз.
Мысал. А1, А2 және А3 оқиғалары тобымен тәуелсіз болса, онда мына: А1
мен А2, А1 мен А3, А2 мен А3, А1А2 мен А3, А1А3 пен А2, А2А3 пен А1
оқиғалары да тәуелсіз болады.
Ескерту. Егер бірнеше оқиғалар қос-қостан тәуелсіз болса, бұдан бұл
оқиғалардың бәрі тобымен тәуелсіз деген ұғым тумайды. Яғни тобымен
тәуелсіздіктің талабы, қос-қостан иәуелсіздіктің талабына қарағанда
қатаңырақ.
Мысал. Қобдишада 1 қызыл түске (А – оқиғасы), 1 көк түске (В –
оқиғасы), 1 қара түске (С – оқиғасы), 1 осы үш түске де (АВС – оқиғасы)
боялған төрт шар бар.
Сонда [pic] , [pic], [pic] болатындығын байқауға болады. Егер бұларды
қос-қостан қарастырсақ, мысалы А мен С-ны, В мен С-ны т.с.с. , бәрібір
олардың ықтималдығы [pic]ге тең болады да, олар қос-қостан тәуелсіз болады.
Бірақ бұл оқиғалар тобымен тәелсіз бола алмайды. Шынында да алынған шар
көк қара екі түстес болсын. Осы шардың қызыл түске де боялғандығының
ықтималдығы неге тең ? Ол былай, жалғыз ғана үш түске де боялғандықтан
алынған шар қызыл түске де боялған болып шығады. Сонымен В мен С оқиғалары
орындалды деп есептесек А оқиғасының міндетті түрде орындалатындығына көз
жеткіздік. Яғни бұлар тобымен тәуелсіз емес, тәуелді. Және де (А) соңғы
ақиқат болғандықтан оның ықтималдығы 1-ге тең ([pic]ге емес).
Салдар. Тобымен тәуелсіз болып келген бірнеше оқиғаның бір сәтте
орындалу ықтималдығы, осы оқиғалардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең.
[pic]
Дәлелдеу. Біз салдарды А, В, С үш оқиғаға дәлелдесек, [pic]оқиғаға да
солайша дәлелденеді. Сонымен А, В және С үш оқиғасын қарастырайық. А, В
және С оқиғасының бір сәтте орындалуы АВ мен С оқиғасының бір сәтте
орындалуына пара-пар , сондықтан [pic]. А,В және С оқиғалары тобымен
тәуелсіз болғандықтан АВ мен С да, сол сияқты А және В да өзара тәуелсіз
оқиғалар. Олай болса екі тәуелсіз оқиғаларды көбейту теоремасы бойынша
[pic] [pic]
Мысал. Өзара тәуелсіз А1, А2, А3 оқиғаларының орындалу ықтималдықтары
Р1, Р2, Р3 болса, осы үшеуінің тек біреуі ғана орындалатындығының
ықтималдығын тап ?
Шешуі.[pic]Тек А1 оқиғасы орындалады десек, бұл мына оқиғаның [pic]
[pic] орындалатындығымен пара-пар (бірінші оқиға орындалды да екінші мен
үшінші орындалған жоқ). Мынадай белгілеулер енгізейік:
В1 – тек А1 оқиғасы орындалды, яғни [pic] [pic]
В2 – тек А2 оқиғасы орындалады, яғни [pic] [pic]
В3 – тек А3 оқиғасы орындалады, яғни [pic] [pic]
Енді А1, А2, А3 оқиғаларының тек біреуі ғана орындалатындығының
ықтималдығын табу үшін мына [pic] ықтималдықты, яғни В1, В2, В3
оқиғаларының қайсысы болсада біреуінің орындаатындығының ықтималдығын
табамыз. Ал В1, В2, В3 оқиғалары үйлесімсіз оқиғаларды қосу теоремасын
қолданамыз:
[pic] (1)
Енді А1, А2, А3 тәуелсіз оқиғалар болғандықтан А1, [pic] оқиғалары да
тәуелсіз, олай болса көбейту теоремасын қолданып:
[pic]
сол сияқты
[pic]
[pic] Осыларды (1)-ге қойсақ, А1, А2, А3 оқиғаларының тек біреуі ғана
орындалатындығының ықтималдығын табамыз, яғни
[pic][pic][pic]
§ 11 Ең болмағанда бір оқиғаның орындалу
ықтималдығы
Кейде істелген әрекеттің нәтижесінде тобымен тәуелсіз болып келетін
[pic] оқиғалардың бәрі де орындалуы мүмкін, немесе олардың кейбіреулері
ғана, яғни біреуі ғана, немесе екеуі ғана орындалуы мүмкін, немесе бірде-
біреуі орындалмауы да мүмкін. Оның үстіне әрбір оқиғаның орындалу
ықтималдығы берілген болсын. Сонда: «Осы оқиғалардың ең болмағанда біреуі
орындалатындығының ықтималдығын қалай табуға болады ?» – деген сұрақ туады.
Мысалы, егер әрекеттің нәтижесінде үш оқиғаның орындалуы мүмкін болса,
онда ең болмағанда біреуі орындалады деп мына жағдайларды айтамыз: біреуі
орындалса, немесе екеуі орындалса, немесе үшеуі орындалса дегендей. Ол үшін
мына теореманы дәледейік.
Теоерема. Тобымен тәуелсіз А1, А2, ....... , [pic] оқиғаларының ең
болмағанда біреуінің орындалатындығының ықтималдығы, қарама-қарсы
[pic][pic]1, [pic]2, ....... , [pic] оқиғаларының ықтималдықтарының
көбейтіндісін 1-ден алып тастағанға тең.
[pic] (1)
Дәлелдеу. А – деп, А1, А2, ........ , [pic] оқиғаларының ең болмағанда
біреуі орындалатын оқиғаны белгілейік. А оқиғасымен [pic] (бірде-бір оқиға
орындалмайды) оқиғасы қарама-қарсы оқиғалар, олай болса олардың
ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең:
[pic]
көбейту теоремасын қолдансақ
[pic]
яғни [pic]
Ескерту. Егер А1, А2, ....... , [pic] оқиғаларының ықтималдықтары
бірдей Р-ға тең болса, онда осы оқиғалардың ең болмағанда біреуінің
орындалатындығының ықтималдығы
[pic] (2)
формуласымен есептеледі.
Мысал. Үш мылтықтан атқанда олардың дәл тию ықтималдықтары мынадай:
[pic]. Үш мылтықтан бір сәтте атсақ ең болмағанда біреуінің дәл
тиетіндігінің (А) ықтималдығын тап.
Шешуі. Әр мылтықтың дәл тию ықтималдығы, олардың бір-бірінің
нәтижесіне тәуелсіз, сондықтан А1 (1-мылтықтың дәл тиюі), А2, А3 оқиғалары
тобымен тәуелсіз. Енді А1, А2, А3 оқиғаларына қарама-қарсы оқиғаларды
(тимей кетеді) ықтималдықтары:
[pic] [pic] [pic]
Сонымен іздеп отырған ықтималдығымыз
[pic]
§ 12 Шартты ықтималдық
А және В тәуелді оқиғалар делік. Онда анықтама бойынша біреуінің
ықтималдығы екінші оқиғаның орындалу орындалмауына байланысты. Сондықтан,
бізді В оқиғасының ықтималдығы қызықтыратын болса, онда бізге А оқиғасының
орындалған орындалмағанын білудің маңызы зор.
Анықтама. А оқиғасы орындалды деп есептеп, одан кейін есептелетін В
оқиғасының ықтималдығын шартты ықтималдық деп атаймыз да [pic] деп
белгілейміз.
Мысал. Қобдида 5 ақ және 4 қара шар бар. Қобдидан қайтармай екі рет
бір-бірлеп шар алайық . Егер, бірінші рет қара шар алынған (А оқиғасы)
болса, екінші рет ақ шар алынатындығының (В оқиғасы) ықтималдығын тап.
Шешуі. Бірінші әрекеттен кейін қобдида 8 шар қалды, оның 5-уі ақ. Олай
болса шартты ықтималдық
[pic]
Ескерту. Тәуелсіз оқиғалар бір-бірінің орындалу ықтималдықтарын
өзгертпейтін болғандықтан, тәуелсіз оқиғалардың шартты ықтималдықтары
олардың шартсыз ықтималдықтарына тең, яғни
[pic] және [pic]
§ 13 Тәуелді оқиғалардың ықтималдықтарын
көбейту теоремасы
А және В оқиғалары тәуелді болсын, оның үстіне Р(А) және РА(В)
ықтималдықтары белгілі болсын. Осы оқиғалардың бір сәтте орындалу
ықтималдығын табу үшін мына теореманы пайдаланамыз.
Теорема. Екі тәуелді оқиғаның бір сәтте орындалу ықтималдығы олардың
біреуінің ықтималдығын екіншісінің, бірінші оқиға орындалды деп
есептегендегі шартты ықтималдығына көбейткенге тең.
[pic]
(1)
Дәлелдеу. [pic]-деп әрекет кезінде А оқиғасының орындалуы да,
орындалмауы да мүмкін болатын элементар жағдайлардың санын белгілейік.
[pic]-деп А оқиғасының орындалуына ықпал ететін жағдайлардың санын
белгілейік [А ([pic]].
[pic]деп А оқиғасы орындалды деп жорығаннан кейінгі В оқиғасының
орындалуы үшін жасалатын әрекет кезіндегі элементар жағдайлардың саны, яғни
АВ оқиғасының орындалуына ықпал етуші [pic] жағдайлардың саны.
Сонда
[pic]
яғни
[pic]
Дәлелденді.
1-Ескерту. (1)-формуланы ВА оқиғасына қолдансақ
[pic]
Енді ВА мен АВ оқиғалары бір-ақ екендігін ескерсек, онда [pic] (2)
(1) мен (2)-ні салыстырып
[pic]
Салдар. Бірнеше тәуелді оқиғалардың бір сәтте орындалу ықтималдығы,
олардың біреуінің ықтималдығын қалғандарының шартты ықтималдықтарына
көбейткенге тең, бірақ бір ескеретін жағдай, әрбір келесі оқиғаның
ықтималдығы, оның алдындағы барлық оқиғалар орындалды деген жорамалмен
есептеледі. Яғни
[pic] (2)
мұндағы
[pic] [pic] оқиғалары орындалды деген жорамалдан кейінгі
есептелген [pic] оқиғасының ықтималдығы.
Тәуелді үш оқиға үшін былай болады:
[pic]
Мысал. Сауытшада 7 ақ, 5 қара, 3 көк шар бар. Бір-бірлеп қайтармай 3
рет шар аламыз. Бірінші рет ақ шар (А-оқиғасы), екінші рет қара шар (В-
оқиғасы), үшінші рет көк шар (С-оқиғасы) шығатындығының ықтималдығын тап.
Шешуі. [pic] онда [pic]
Енді бірінші рет ақ шар, екінші рет қара шар шықты десек, үшінші рет
көк шар шығатындығының ықтималдығы [pic] болады да іздеп отырған
ықтималдығымыз
[pic]
2-Ескерту. (1)-ші формуладан шартты ықтималдықтың формуласын аламыз,
яғни
[pic]
(3)
§ 14 Үйлесімді оқиғалардың ықтималдықтарын
қосу теоремасы
Анықтама. Бір-ақ рет жасалатын әрекет кезінде біреуінің орындалуы,
екіншісінің орындалуын жоққа шығармайтын екі оқиғаны үйлесімді оқиғалар деп
атаймыз.
Мысал. А-деп, ойын сүйегін лақтырғанда 4 ұпайдың түсуін белгілесек,
онда А мен В оқиғалары үйлесімді оқиғалар.
А мен В оқиғалары үйлесімді болсын, және олардың жеке-жеке, және бірге
орындалу ықтималдықтары: Р(А), Р(В), Р(АВ) берілсін. Сонда А мен В
оқиғаларының ең болмағанда біреуінің орындалуының яғни А+В оқиғасының
орындалу ықтималдығын табу үшін, мына теореманы дәлелдейік.
Теорема: Екі үйлесімді оқиғалардың ең болмағанда біреуінің
орындалатындығының ықтималдығы, осы оқиғалардың ықтималдықтарының
қосындысы, сол екеуінің бір сәтте орындалатындығының ықтималдығын алып
тастағанға тең. Яғни
Р (А+В) = Р (В)-Р(АВ)
(*)
Дәлелдеу. Теореманың шарты бойынша А мен В оқиғалары үйлесімді
болғандықтан А+В оқиғасы, мына үш үйлесімсіз оқиғаның: А[pic], [pic]В, АВ
біреуі орындалғанда орындалады. Үйлесімсіз оқиғалардың ықтималдықтарын қосу
теоремасы бойынша
Р (А+В) = Р
(А[pic])+Р([pic]В)+Р(АВ) (I)
Үйлесімсіз екі оқиғаның: [pic] немесе АВ біреуі орындалса А оқиғасы
орындалады. Үйлесімсіз оқиғалардың ықтималдықтарын қосу теоремасын қолданып
[pic]
бұдан [pic] (2)
осы сияқты [pic]
бұдан [pic]
(3)
(2) мен (3)-ті (1)-ге қойсақ (*) шығады.
1-ші Ескерту. Дәлелденген (*) формуласын А мен В оқиғалары тәуелсіз
болса да, тәуелді болса да қолдануға болады. А мен В тәуелсіз боған
жағдайда мына түрде:
[pic]
Тәуелді болған жағдайда мына түрде:
[pic]
пайдаланамыз.
2-Ескерту. Егер А мен В үйлесімсіз болса, онда олардың бір сәтте
орындалуы мүмкін емес, яғни [pic], онда бұлар үшін (*) формуласы мынадай
болады
[pic]
Мысал. Атқан кезде бірінші және екінші мылтықтың дәл тию ықтималдығы
[pic]; [pic]. Екі мылтықты бір сәтте қатар атсақ, ең болмағанда біреуінің
тиетіндігінің ықтималдығын тап.
Шешуі. А – бірінші мылтықтың дәл тию оқиғасы, В – екінші мылтықтың дәл
тию оқиғасы, АВ – екеуінің де тию оқиғасы. Әр мылтықтың дәл тию ықтималдығы
олардың әр қайсысының тиген тимегеніне тәуелді емес, олай болса А мен В
тәуелсіз.
Ендеше [pic]
(*) формуласы бойынша мынау шығады
[pic]
§ 15 Толық ықтималдықтың формуласы
В1,В2,........, [pic] оқиғалары толық топ құрайды, және осылардың
біреуі орындалғанда ғана А оқиғасы да орындалады. Егер осы оқиғалардың
[pic] ықтималдықтары мен [pic] шартты ықтималдықтары берілген болса А
оқиғасының ықтималдығын қалай табамыз ? Ол үшін мына теореманы қолданамыз.
Теорема. Толық топ құрайтын [pic] үйлесімсіз оқиғалардың біреуі
орындалғанда ғана орындалатын А оқиғасының ықтималдығы, осы оқиғалардың
әрқайсысының ықтималдығын, соған сәйкес А оқиғасының шартты ықтималдығына
көбейтіп, оларды қосқанға тең яғни [pic] (1)
Бұл формуланы «толық ықтималдықтың» формуласы деп атайды.
Дәлелдеу. Теореманың шарты бойынша А оқиғасы [pic] оқиғаларының
біреуі орындалғанда ғана орындалуы мүмкін, яғни А оқиғасының орындалуы мына
оқиғалардың [pic] біреуінің орындалуын қамтамасыз етеді. Онда А оқиғасының
ықтималдығын есептеу үшін қосу теоремасын қолданамыз, сонда
[pic] (2)
енді тәуелді оқиғалардың көбейту теоремасы бойынша
[pic]
Осыларда (2)-ге қойсақ (1) шығады. Дәлелденді.
Мысал. Спортшылар тобында 20 шаңғышы, 6 велосипедші және 4 жүргізуші
бар. Квалификациялық норманы орындау ықтималдығы мынадай: шаңғышы үшін –
0,9; велосипедші үшін – 0,8; жүргізуші үшін – 0,75. Кезкелген, кездейсоқ
алынған спортшының норманы орындайтындығының ықтималдығын тап.
Шешуі. А – «таңдап алынған спортшы норманы орындайды» – оқиғасы. В1 –
«спортшы шаңғышылардың ішінен таңдап алынды» – оқиғасы, В2 – «спортшы
велосипедшілердің ішінен таңдап алынды» – оқиғасы, В3 – «спортшы
жүргізушілердің ішінен таңдап алынды» – оқиғасы. Барлық спортшы саны [pic]
демек [pic] онда
[pic]
[pic]; [pic]; [pic]
Енді толық ықтималдықтың формуласы бойынша (1)
[pic]
Жауабы: 0,86
Мысал. Бірінші қораптағы 20 радиолампаның 18-і үлгілі, екіншідегі 10
лампаның 9-ы үлгілі. Екінші қораптан кезкелген бір лампа алайық та,
біріншіге салайық. Енді бірінші қораптан еркімізше алған лампының үлгілі
болатындығының ықтималдығын тап.
Шешуі. А – «бірінші қораптан үлгілі лампа алынды» – оқиғасы. Екінші
қораптан не үлгілі лампа – В1 оқиғасы, не үлгісіз лампа – В2 оқиғасы,
алынуы мүмкін, онда [pic]. Екінші қораптан біріншіге үлгілі лампа
салынды деген жағдайда, бірінші қораптан алынған лампа үлгілі
болатындығының шартты ықтималдығы [pic]. Осылайша, екінші қораптан бірінші
қорапқа үлгісіз лампа салынды десек, [pic]. Енді іздеп отырған ықтималдықты
(1)-формула бойынша тапсақ:
[pic]
§ 16 Болжамның ықтималдығы. Бейес формуласы.
(Ағылшын математигі 18-ғ.)
Анықтама. Толық топ құрайтын, үйлесімсіз оқиғалар тобы [pic]-ді, егер
олардың біреуінің орындалуы (қайсысы болса да) А оқиғасының да орындалуын
мәжбүр ететін болса, онда оларды болжамдар деп атаймыз.
Біз А оқиғасының орындалу ықтималдығы толық ықтималдықтың формуласымен
(1) анықталатынын көрсеттік, яғни
[pic] (1)
Енді А оқиғасы орындалды деп есептейік те, бұл жағдайда болжамдардың
ықтималдығы қалай өзгеретінін көрсетелік, яғни мына шартты ықтималдықтарды
іздейміз: [pic]. Алдымен шартты [pic] ықтималдығын табалық . Көбейту
теоремасын қолдансақ
[pic] [pic] (2)
Р(А)-ны (1)-ші формула арқылы айырбастасақ (2)-ден мынау шығады:
[pic] (3)
сонда кезкелген болжамның [pic] шартты ықтималдығы мына формуламен
есептеледі:
[pic] (3і)
Алынған (3) және (3і) формулаларын Бейес формулалары дейміз.
Мысал. Зауыттың цехтары жасалған бөлшектерді үлгісін тексеру үшін екі
бақылаушының біреуіне беруге тиіс. Тексеру үшін бөлшектердің бірінші
бақылаушыға берілетіндігінің ықтималдығы 0,6-ға ал екіншіге
берілетіндігінің ықтималдығы 0,4-ке тең. Бөлшектің үлгілі екендігін бірінші
бақылаушының мойындау ықтималдығы 0,94-ке тең, ал екіншінікі 0,98-ге тең.
Жарамды бөлшек тексеру кезінде үлгілі деп табылды. Бұл бөлшекті тексерген
бірінші бақылаушы екендігінің ықтималдығын тап.
Шешуі. А – «жарамды бөлшек үлгілі деп табылды» оқиғасы. Екі түрлі
болжам жасауға болады: 1) В1 – бөлшекті бірінші бақылаушы тексерді – деген
болжам, 2) В2 – бөлшекті екінші бақылаушы тексерді – деген болжам.
Бөлшекті бірінші бақылаушы тексергендігінң ықтималдығын Бейес формуласы
бойынша табамыз:
[pic]
Есептің шарты бойынша: [pic] (тексерілетін бөлшектің 1-ші бақылаушыға
түсетіндігінің ықтималдығы), [pic] (бөлшектің 2-ші бақылаушыға
түсетіндігінің ықтималдығы), [pic] (жарамды бөлшектің 1-ші бақылаушыға
тексеріп, үлгілі болатындығының ықтималдығы), [pic] (2-ші бақылаушы
тексеріп, үлгілі болатындығының ықтималдығы). Сонда іздеп отырған
ықтималдығымыз:
[pic]
Әрекетке дейін В болжамның ықтималдығы – 0,6 еді, ал әрекеттің нәтижесі
белгілі болғаннан кейін, бұл болжамның ықтималдығы өзгеріп 0,59 болғандығын
байқауға болады. Сонымен Бейес формуласын қолдану арқылы қарастырып отырған
болжамның ықтималдығын қайта бағаладық.
Есептер
1. Дорбадағы 40 асықтың 4-уі сақа. Дорбадан кездейсоқ алған асықтың сақа
болатындығының ықтималдығын тап. ( Жауабы: р=0,1)
2. Бәйгеге шабатын аттың үстіндегі балаларға нөмір тағу үшін 1-ден 60-қа
дейінгі нөмір жазылған қағазды алу керек болды. Бірінші бала алған
нөмірде 8 цифры болатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: р=0,1)
3. Ойын кубы лақтырылды.Тақ санды ұпай түсетіндігінің ықтималдығын тап.
(Жауабы: [pic])
4. Бір асықты үйірдік. Алшы мен тәйке түсетіндігінің ықтималдығын тап.
(Жауабы: [pic][pic])
5. Дорбада 3 ақ , 21 қара түсті дойбы тасы бар. Дорбадан кездейсоқ алған
дойбының ақ түті болатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: [pic])
6. Дорбада бірдей 5 кубик бар. Әр кубиктің барлық жағына мына әріптердің
біреуі жазылғн: А, З, С, Т, Ұ. Дорбадан бір-бірлеп кубиктерді алып,
және бір қатарға тізіп қойған кубиктерден «ҰСТАЗ» деген сөзді оқуға
болатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: [pic])
7. Бәрі бірдей алты карточкаға мына әріптердің біреуі жазылған: А, Б, Н,
Р, Т, Ы. Карточкалар жақсылап араластырылды. Бір-бірден кездейсоқ
алып, бір қатарға тізіп қойған төрт карточкадан «ТАРЫ» деген сөзді
оқуға болатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: [pic])
8. Барлық жақтары боялған кубикті бірдей етіп аралап кесіп, мың
кубиктерге бөлейік те жақсылап араластырайық . Кездейсоқ алынған
кубикшенің боялған жақтары: а) біреу, б) екеу, В) үшеу болатындығының
ықтималдығын тап. (Жауабы: а) 0,384, б)0,96, в)0,008 )
9. Әртүрлі сегіз кітапты кездейсоқ түрде бір сөреге қояйық . Белгілі екі
кітаптың қатар орналасқандығының ықтималдығын тап. (Жауабы: [pic])
10. Дүкенде әрқайсысы 4 теңгелік 5 қалам, 3 қалам – бір теңгеден және 2
қалам – үш теңгеден сатылмақ . Кездейсоқ алынған екі қаламның 5 теңге
тұратындығының ықтималдығын тап. (Жауабы:[pic])
11. Әкелінген 100 қарбыздың 5-уі шикі болып шықты. Шикі қарбыздың
болатындығының салыстырмалы жиілігін тап. (Жауабы: [pic])
12. Садақтан атқанда нысанаға дәл тиетіндігінің салыстырмалы жиілігі 0,75-
ке тең болды. Барлығы 80 рет атқан болса, неше рет нысанаға дәл тиді ?
(Жауабы: 60 рет)
13. Тігін цехынан шыққан 120 қалпақты тексергенде 6-уының жарамсыз
екендігі белгілі болды. Жарамсыз қалпақтың бар екендігінің
салыстырмалы жиілігін тап. (Жауабы: [pic])
14. Футбол ойынындағы 11 метрлік айып добын соққанда, торға дәл
түсетіндігінің салыстырмалы жиілігі 0,85-ке тең болды. Бір маусымда
120 айып добы соғылған болса, соның нешеуі торға түсті ? (Жауабы: 102
рет түсті)
15. Ақшалай-заттай лотореясында әр 10000 билетке ақшадай 50 және заттай
150 ұтыс шығады. Бір билет алған адамның ақшалай ма , заттай ма,
әйтеуір ұтатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: р=0,02 )
16. Мерген бір атқанда 10 ұпай алатындығының ықтималдығы 0,1-ге тең; 9
ұпай алатындығы 0,3-ке тең; ал 8 ұпай, немесе одан аз ұпай
алатындығының ықтималдығы 0,6-ға тең. Мерген бір атқанда 9-дан кем
емес ұпай алатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: р=0,4)
17. 10 дойбы тасының 8-і қара түсті. Кездейсоқ алған 2 тастың ең
болмағанда біреуі қара тас екендігінің ықтималдығын тап. (Жауабы:
[pic])
18. Жәшіктегі 10 балапанның екеуі тауықтыкі емес. Кездейсоқ алған 6
балапанның ішінде бөтен балапанның саны біреуден көп емес екендігінің
ықтималдығын тап. (Жауабы: [pic])
Сілтеме. Егер А – бір де бір бөтен балапан жоқ , В – бөтен балапан
біреу, оқиғасы болса, онда [pic]
19. А, В, С, Д оқиғасы толық топ құрайды. Бұл оқиғалардың ықтималдықтары
[pic]; [pic]; [pic]-ке тең болса Д оқиғасының ықтималдығы неге тең ?
(Жауабы: [pic])
20. Статистикалық мәліметке қарағанда науқан кезінде автомашинаның орташа
есеппен 20 рет тоқтап тұруына себеп: 10-ы бензин алуға, 3-уі балон
ауыстыруға, 2-уі жүк уағында тиелмегендіктен екен. Ал басқалары әртүрлі
басқа себептерге байланысты болса керек. Автомашинаның басқа себептерге
байланысты тоқтайтындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: [pic] )
21. Асықты бір рет үйіргенде бүк түсетіндігінің ықтималдығы р=0,8-ге
тең. Асықты үш рет үйірдік. Үшеуінде де бүк түсетіндігінің ықтималдығын
тап. (Жауабы: Р=0,512 )
22. Садақтан бір рет атқанда мерген нысанаға дәл тиетіндігінің
ықтималдығы 0,7-ге тең. Мерген үш рет атты. Үшеуінде де нысанаға дәл
тиетіндігінің ықтималдығын тап. (Жауабы: р=0,343 )
23. Тиын мен ойын кубы лақтырылды. «Елтаңба түсті» және «5 ұпай түсті»
оқиғаларының қабат орындалатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: [pic])
24. Екі дорбада дойбы тастары бар: біріншісінде – 10 (оның 3-уі ақ тас),
екіншісінде – 15 (оның 6-уы ақ тас). Әр бір дорбадан кездейсоқ бір-бір
тас алдық. Екеуінің де ақ тас болатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы:
р=0,12)
25. Телевидения студиясында 3 телевизорлық камера бар. Олардың
әрқайсысының қажетті уақыт сәтіндегі іске қосылу ықтималдығы р=0,7. Қажет
сәтте осылардың ең болмағанда біреуінің іске қосылатындығының
ықтималдығын тап. (Жауабы: р=0,973)
26. Үш ойын кубын лақтырғанда, ең болмағанда біреуінде 4 ұпай
түсетіндігінің ықтималдығын тап. (Жауабы: [pic])
27. Мекеме 95% үлгілі бұйым дайындайды, оның 86 %-ы бірінші сортты. Осы
мекемеде дайындалған, кездейсоқ алынған бұйымның бірінші сортты
болатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: р=0,817 )
28. Тиынды лақтырғанда, қатарынан екі рет бір жағы ғана түскенше лақтыра
берейік. Мына оқиғалардың ықтималдығын тап: а) алтыншы рет лақтырғанға
дейін талап орындалады, б) жұп сан рет лақтырғанда талап орындалады.
( Жауабы: [pic]; б) [pic] )
29. 1,2,3,4,5 цифрларының алдымен біреуін таңдап аламыз, одан соң
қалған төртеуінен екінші цифрды таңдап аламыз. Барлық 20 мүмкін
жағдайларды тең ықтималдықты деп есептеп, таңдап алынған тақ цифр
екендігінің ықтималдығын тап. а) бірінші ретте, б) екінші ретте, в)
екеуінде де. ( Жауабы: а) [pic]; б) [pic]; в) 0,3
30. Бір атқанда мергеннің ондыққа тигізетіндігінң ықтималдығы 0,6-ға
тең. Тигізу ықтималдығы 0,8-ден кем болмаса, ол ең болмағанда бір рет
ондыққа тигізу үшін неше рет атуға тиіс. ( Жауабы: [pic])
31. Үш электр лампочкалары тоққа тізбектей жалғастырылған. Егер
тізбектегі тоқтың қуаты тиісті қалыптан артып кетсе, кезкелген
лампочканың жанып кету ықтималдығы 0,6-ға тең. Тоқтың қуаты тым жоғары
болса, тізбекте тоқ болмайтындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: р=0,936 )
32. Тәуелсіз екі рет әрекет жасағанда А оқиғасының ең болмағанда бір рет
орындалатындығының ықтималдығы 0,75-ке тең. Екі реткі әрекет кезінде де
оқиғаның орындалу ықтималдығы бірдей деп есептеп, оқиғаның бір әрекет
кезінде орындалатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: 0,5 )
33. А спорт ұйымының А1, А2, А3 үш командасы В спорт ұйымының В1, В2, В3
үш командасымен сайысқа түседі. А ұйымының командалары В ұйымының
командаларынан ұтатындығының ықтималдықтары мынандай: А1 командасы В1
командасын ұтатындығы – 0,8; А2 – В2-ні ұтатындығы – 0,4; А3 – В3-ті
ұтатындығы – 0,4. Жеңіс үшін, үш сайыста екіден кем емес ұту керек. (тең
ойын есепке алынбайды) Қай ұйымның ұтуы ықтималдырақ ? ( Жауабы: А
ұйымы, р=0,544 ; [pic] )
34. Бір рет атқанда тигізу ықтималдығы, бірінші атқыш үшін 0,8 , ал
екінші үшін 0,6-ға тең болса, тек бір ғана атқыштың тигізетіндігінің
ықтималдығын тап. ( Жауабы: 0,44 )
35. Асықтың боялғандығы тексерілуде. Оның боялмағандығының ықтималдығы
0,1-ге тең болса: а) тексерілген үш асықтың тек біреуі ғана боялмаған, б)
қатарынан тексерілгендегі төртіншісі ғана боялмаған, болатындығының
ықтималдығын тап. ( Жауабы: а) 0,243 б) 0,0729 )
36. Екі мерген бір-бірден оқ атты. Бірінші мергеннің тигізу ықтималдығы
0,7-ге тең, ал екіншінікі 0,6-ға тең болса, ең болмағанда біреуінің
нысанаға дәл тиетіндігінің ықтималдығын тап. ( Жауабы: 0,88 )
37. Сауытта №1 шебер жасаған 16 және №2 шебер жасаған 4 жүзік бар.
Кездейсоқ екі жүзікті алдық . Солардың ең болмағанда біреуін №1 шебер
жасағандығының ықтималдығын тап. (Жауабы: [pic] )
38. Топта 4 желаяқ, 6 палуан және 20 гимнаст бар. Бұлардың спорттық
норманы орындау ықтималдықтары мынадай: желаяқ – 0,75; палуан – 0,8 және
гимнаст үшін – 0,9. Кездейсоқ таңдап алынған спортшының норманы
орындайтындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: 0,86 )
39. Үш қоржында №1-ші өрімші өрген және екі қоржында №2 –ші өрімші өрген
қамшылар бар. №1-ші өрімшінің қамшысы тобылғы сапты екендігінің
ықтималдығы – 0,8-ге, ал №2-шінікі – 0,9-ға тең. Кезкелген қоржыннан
кездейсоқ қамшы алдық . Алынған қамшының тобылғы сапты болатындығының
ықтималдығын тап. (Жауабы: 0,84 )
40. Бірінші дорбадағы 20 асықтың 15-і боялған, екінші дорбадағы 30
асықтың 24-і боялған, үшінші дорбадағы 10 асықтың 6-уы боялған. Кезкелген
дорбадан кездейсоқ алынған асық боялған болатындығының ықтималдығын тап.
(Жауабы: [pic] )
41. Қоймада 4 киноскоп бар. Бұлардың межелі мерзімге дейін бұзылмай
жұмыс істеу ықтималдықтары: 0,8; 0,85; 0,9; 0,95- ке тең. Кездейсоқ
алынған киноскоптың межелі мерзімге дейін бұзылмайтындығының
ықтималдығын тап. (Жауабы: 0,875 )
42. Екі жәшікте радиолампылар бар. Бірінші жәшіктегі 12 лампының 1-уі
жарамсыз, екінші жәшіктегі 10 лампының да 1-уі жарамсыз. Бірінші жәшіктен
кездейсоқ бір лампа алайық та екіншіге салайық . Екінші жәшіктен
кездейсоқ алынған лампаның жарамсыз болатындығының ықтималдығын тап.
(Жауабы: [pic] )
43. Толық 28 тасы бар доминоның кездейсоқ бір тасын алдық . Екінші рет
кездейсоқ алынған тастың алдыңғы тасқа жалғастырып қоюға болатындығының
ықтималдығын тап. (Жауабы: [pic])
44. Емтихан билеттерінің кейбіреулерін білмейтін студент үшін, білмейтін
билетті алудың ықтималдығы қандай жағдайда мейлінше аз болады: билетті
бірінші болып алса ма, немесе соңынан алса ма ? (Жауабы: Екеуінде де
бірдей )
45. Ішінде бірдей үш дойбы бар қобдишаға боялған дойбы салайық-
та,[pic]одан соң кездейсоқ бір дойбы алайық қобдишадағы бұрынғы
дойбылардың боялғандығы туралы барлық мүмкін болжамдар тең ықтималды
болатын болса, кейінгі алған дойбының боялған болатындығының ықтималдығын
тап. (Жауабы: 0,625 )
46. Олимпиадаға қатысу үшін бірінші топтан – 4, екіншіден – 6, үшіншіден
– 5 студент бөлінді. Олардың институттың құрамасына кіру ықтималдықтары
мынадай: бірінші топ үшін – 0,9; екінші топ үшін – 0,7; үшінші топ үшін –
0,8. Кездейсоқ алынған студент жарыс қортындысында институттың
құрамасына кірді. Бұл студенттің қай топқа жататындығы ықтималдырақ ? (
Жауабы: Құрамаға кірген студент 1-ші, 2-ші, 3-ші топтан болатындығының
сәйкес ықтималдықтары: [pic] )
47. Әлдеқандай өндіріс өнімінің талапқа сай болатындығының
ықтималдықтары – 0,96-ға тең. Талапқа сай өнімнің оң бағасын 0,98-ге тең
ықтималдықпен, ал талапқа сай емес өнімдікін 0,05-ке тең ықтималдықпен
қарапайым құрылым тексеретін болды. Тексеру нәтижесінде талапқа сай деп
бағаланған өнімнің шынында да талапқа сай екендігінің ықтималдығын тап.
(Жауабы: 0,998)
ІІ тарау. Тәуелсіз тәжірибелердің тізбегі.
§ 1 Бернулли формуласы.
( Швейцар математигі )
Егер бірнеше әрекеттер жасасақ, және де А оқиғасының ықтималдығы
әрбір әрекет кезінде басқа әрекеттердің нәтижесіне байланыссыз болса,
онда ондай әрекеттерді А оқиғасына байланысты айтқанда тәуелсіз әрекеттер
деп атайды.
Әртүрлі тәуелсіз әрекеттер кезінде А оқиғасының ықтималдығы әртүрлі
де, немесе бәрінде бірдей де болуы мүмкін. Бұдан былай біз А оқиғасының
ықтималдығы ылғи да бірдей болатын тәуелсіз әрекеттерді қарастырайық. А
оқиғасының орындалуы да, орындалмауы да мүмкін, саны [pic] әрекеттер
жасалсын. Және де әрбір әрекет кезінде А оқиғасының ықтималдығы ылғи да Р-
ға тең болсын. Олай болса А оқиғасының орындалмау ықтималдығы [pic]
болады.
Саны [pic] рет әрекет жасағанда А оқиғасының тура К рет
орындалатындығының, яғни [pic] рет орындалмайтындығының ықтималдығын
табу керек. Мұны былай түсінеміз: Төрт рет әрекет жасағанда А оқиғасы үш
рет орындалуға тиіс болса, ол дегеніміз мынадай күрделі оқиғалар болуға
тиіс деген сөз: [pic] және [pic]. Сонымен [pic] әрекет жасағанда К рет
орындалатындықтың ықтималдығын есептеу кезінде былайша белгілейміз
[pic].
Біздің мысалымыз да [pic] – дегеніміз, төрт әрекет жасағанда, оқиға
тұп-тура үш рет орындалады, демек бір рет орындалмайтын болып шығады.
Мұндай мазмұндағы есепті шығару үшін Бернулли формуласын қорытып
шығарайық .
А – дегеніміз [pic]әрекет жасағанда К рет орындалатын оқиға болса,
онда ол [pic] рет орындалмайтын оқиға болады, олай болса бұл жағдайда,
тәуелсіз оқиғалардың ықтималдықтарын көбейту теоремасы бойынша бір
күрделі оқиғаның ықтималдығы [pic]-ға тең болады. Мұндай күрделі
оқиғалардың саны [pic]элементтен [pic]-ден жасалған терудің санына, яғни
[pic]-ға тең болады. Бұл күрделі оқиғалар үйлесімсіз болғандықтан,
үйлесімсіз оқиғалардың қосу теоремасы бойынша, керекті ықтималдық барлық
мүмкін болатын күрделі оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысына тең. Бұл
дегеніміз барлық күрделі оқиғалардың ықтималдықтары бірдей болғандықтан
іздеп отырған [pic] ықтималдығымыз бір күрделі оқиғаның ықтималдығын,
солардың барлық санына көбейткенге тең:
[pic] немесе [pic]
Бұл формула Бернулли формуласы деп аталады.
Мысал. Бір сөткедегі электр энергиясының жұмсалуы белгіленген
шамадан аспайтындығының ықтималдығы р=0,75. Таяу арадағы 6 сөткенің 4
сөткесінде энергияның жұмсалуы белгіленген шамадан аспайтындығының
ықтималдығын тап.
Шешуі. Алты сөткенің әрбір сөткесінде электр энергиясының белгіленген
шамада жұмсалу ықтималдығы тұрақты, және р=0,75-ке тең. Олай болса әр
сөткедегі электр энергиясының шамадан тыс ысырап болу ықтималдығы да
тұрақты және [pic] -ке тең. Олай болса іздеп отырған ықтималдығымыз
Бернулли формуласы бойынша [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. [pic]
§ 2 Лапластың локальдық теоремасы
( француз математигі )
Жоғарыда алынған Бернулли формуласы [pic]-нің мәні үлкен сан болғанда
қолдануға қолайсыз да қиын, үйткені үлкен сандармен амалдар орындалады.
Мысалы, егер [pic] болғанда [pic] ықтималдығын есептеу үшін мынадай
өрнекті есептеуіміз керек:
[pic] мұндағы
[pic], [pic]
Осындай, біз есептеуге тиіс ықтималдықты Бернуллиден басқа формуламен
есептеуге болмас па екен деген сұрақ туады. Ол болады екен. Әрекет саны
үлкен болғанда, [pic] реттің к ретінде оқиға орындалатындығының
ықтималдығын жуықтап есептейтін асимптоталық формуланы Лапластың
локальдық теоремасы береді. Сол теореманы дәлелдеусіз келтірейік.
Лапластың локальдық теоремасы. ( [pic] болғанда 1730-шы жылы Муавр
ағылшын дәлелдеген, 1783-шы жылы [pic] жағдайына Лаплас дамытты ).
Егер А оқиғасының орындалу ықтималдығы әрбір әрекет кезінде тұрақты,
және 0 мен 1-ге тең болмаса, онда А оқиғасының [pic] рет әрекет жасағанда
к рет орындалатындығының ықтималдығы [pic] жуық шамамен мына функцияның
мәніне тең болады:
[pic] мұндағы [pic]
Оқулықтың соңында [pic] функциясының мәні үшін таблица бар.
[pic] функциясы жұп болғандықтан [pic]-тің теріс мәндеріне де ол
таблицаны қолданамыз.
Сонымен А оқиғасы [pic] тәуелсіз әрекет жасалғанда [pic] ретте
орындалатындығының ықтималдығы жуық шамамен
[pic] мұндағы [pic]
Мысал. Егер А оқиғасының әрбір әрекет кезіндегі орындалу ықтималдығы
р=0,2-ге тең болса, 400 рет әрекет жасалғанда 80 рет А оқиғасының
орындалатындығының ықтималдығын тап.
Шешуі. [pic]
[pic] [pic]
Таблицадан [pic] тауып [pic].
§ 3 Лапластың интегралдық теоремасы
А оқиғасының әрбір әрекет кезіндегі орындалу ықтималдығы тұрақты және
Р-ға [pic]тең болатын [pic] рет әрекет жасалсын. Осы [pic] рет жасалған
әрекет кезінде А оқиғасы [pic]-ден кем емес, және [pic]-ден артық емес
(яғни [pic]-ден [pic] ретке дейін) рет орындалатындығының ықтималдығы
[pic]-ні қалай есептейміз? Бұған төмендегі Лапластың интегралдық
теоремасы жауап береді. (дәлелдеуді келтірмейміз)
Теорема. Әрбір әрекет кезіндегі А оқиғасының орындалу ықтималдығы Р
тұрақты, және 0 мен 1-ден өзге сан болса, онда [pic] рет әрекет
жасағанда А оқиғасы [pic]-ден [pic] ретке дейін орындалатындығының
ықтималдығы [pic] жуық шамамен мына анықталған интегралға тең
[pic] (1)
мұндағы [pic] және [pic] (2)
Лапластың интегралдық теоремасын қолданып есеп шығарғанда [pic]
анықталмаған интегралы элементар функциялар арқылы өрнектелмейтін
болғандықтан арнайы таблицаны қолданамыз.
[pic] фунуциясы үшін таблица оқулықтың соңындағы 2-ші қосымшада
берілген. Таблицада [pic] функциясының [pic][pic] оң және [pic] болғандағы
мәндері берілген, ал [pic]болғанда да сол таблицаны қолданамыз, үйткені
[pic] тақ функция, яғни [pic] Ф. Таблицада интегралдың [pic]-ке дейінгі
ғана мәндері келтірілген, ал [pic] мәндері үшін [pic] деп алуға болады.
[pic] функциясын көп жағдайда Лаплас функциясы деп атайды. Лаплас
функциясының таблицасын қолдану үшін (1) өрнекті былай түрлендіреміз:
[pic]
Сонымен [pic] рет тәуелсіз әрекет жасалғанда А оқиғасының [pic]-ден
[pic] ретке дейін орындалатындығының ықтималдығы
[pic] (3)
мұндағы [pic] және [pic] (2)-ші формуламен анықталады.
Мысал. Бақылау жұмысының тексерілмегендігінің ықтималдығы [pic]
болса, кездейсоқ алынған 400 жұмыстың тексерілмегенінің санын 70 пен 100-
дің арасында болатындығының ықтималдығын тап.
Шешуі. Есептің шарты бойынша [pic]
Лапластың интегралдық теоремасын (3) қолдансақ:
[pic]
енді [pic] мен [pic]-ті (2)-ші формула бойынша тапсақ:
[pic]
Демек, [pic] 2-ші қосымшадағы таблицаны пайдаланып, [pic] екендігін
көреміз, ендеше [pic]
Есептер.
1. Асханада 6 желдеткіш бар. Әр желдеткіштің осы сәттегі іске қосылу
ықтималдығы 0,8-ге тең. Осы сәтте: а) 4 желдеткіш қосылды; б) барлығы да
қосылды; в) барлығы да қосылған жоқ, оқиғалардың ықтималдығын тап.
Жауабы: а)[pic] б) [pic] в) [pic]
2. Әрбір әрекет кезіндегі А оқиғасының орындалу ықтималдығы 0,3-ке тең
болса, 5 рет тәуелсіз әрекет жасағанда А оқиғасының екіден кем емес рет
орындалатындығының ықтималдығын тап. Жауабы: [pic]
3. В оқиғасы, тек қана А оқиғасы екіден кем емес рет орындалғанда ғана
орындалады. Әрбір әрекет кезіндегі А оқиғасының орындалу ықтималдығы 0,4-ке
тең болатын тәуелсіз 6 әрекет жасалғанда В оқиғасының орындалу ықтималдығын
тап. Жауабы: [pic]
4. Әр әрекет кезіндегі А оқиғасының орындалу ықтималдығы 0,1-ге тең
сегіз рет әрекет жасалды (тәуелсіз). А оқиғасының ең болмағанда екі рет
орындалатындығының ықтималдығын тап.
Жауабы: [pic]
5. Тиынды 6 рет лақтырғанда: а) елтаңба 2-ден кем рет, б) 2-ден кем
емес рет түсетіндігінің ықтималдығын тап.
Жауабы: а) [pic]; б) [pic].
6. Мылтықтан бір атқандағы дәл тию ықтималдығы [pic]-ға тең. [pic]
рет ([pic]) дәл тигендегі мақсатқа жетудің ықтималдығы [pic]-ға тең. Екі
рет атқанда мақсатқа жететіндігінің ықтималдығын тап.
Жауабы: 0,9639
Сілтеме. Толық ықтималдықтың және Бернулли формуласын қолдану керек.
7. Оқиғаның әрбір әрекет кезіндегі орындалу ықтималдығы 0,2-ге тең
болса, 400 рет әрекет жасағанда, оқиғаның тура 104 рет орындалатындығының
ықтималдығын тап.
Жауабы: [pic]
8. Бір атқанда мергеннің нысанаға дәл тигізу ықтималдығы 0,75-ке тең.
100 рет атқанда нысанаға: а) 70-тен кем емес, 80-нен көп емес, б) 70-тен
көп емес тигізетіндігінің ықтималдығын тап.
Жауабы: а)[pic]
9. Тәуелсіз 10000 әрекеттің әрқайсысында оқиғаның орындалу ықтималдығы
[pic]-ке тең. Оқиғаның орындалу жиілігінің, оның ықтималдығынан ауытқуы
абсолют шамасы бойынша 0,001-ден аспайтындығының ықтималдығын тап.
Жауабы: [pic]
10. Әрбір тәуелсіз әрекет кезіндегі оқиғаның орындалу ықтималдығы 0,2-
ге тең. 5000 әрекет жасағанда, 0,9128-ге тең ықтималдықпен күтуге болатын,
оқиғаның ықтималдығынан оның жиілігінің ауытқуын тап.
Жауабы: [pic]
11. Елтаңбаның түсу жиілігінің, [pic] ықтималдығынан ауытқуы абсолют
шамасы бойынша 0,01-ден аспайтындығын 0,6-ға тең ықтималдықпен күту үшін
тиынды неше рет лақтыру керек ?
Жауабы: [pic]
Екінші бөлім. Кездейсоқ шамалар.
ІІІ тарау. Кездейсоқ шамалар және олардың
сипаттамалары.
Ойын сүйегін лақтырғанда 1,2,3,4,5,6 сандары шығуы мүмкін еді, бұлар
кездейсоқ шамалар, ал 1,2,3,4,5,6 сандары осы шамалардың мүмкін мәндері.
Жасалған әрекеттің нәтижесінде алдын ала белгісіз және алдын ала
ескеруге болмайтын кездейсоқ себептарге тәуелді, нәтижесінде жалғыз ғана
мүмкін мән қабылдайтын шаманы кездейсоқ шама деп атаймыз.
1-мысал. Жаңа туған 100 нәрестенің ішіндегі ұлдардың саны, мынадай
мүмкін мәндерге: 0,1,2,3,.......,100 ие болатын кездейсоқ шама.
2-мысал. Садақтан атылған жебенің ұшып барып түсетін қашықтығы
кездейсоқ шама. Және де бұл қашықтық кездесу мәндеріне ғана емес, басқа да
(желдің күші мен бағыты, ауаның температурасы т.б....) көптеген толық
ескеруге болмайтын себептерге байланысты. Бұл шаманың мүмкін мәндері
әлдеқандай [pic] аралығында жатады.
Кездейсоқ шамаларды [pic] сияқты бас әріптермен, ал оның мүмкін мәндерін
[pic] кіші әріптермен белгілейміз.
Мысалы, [pic] шамасының үш мүмкін мәндері болса, оларды [pic] деп
белгілейміз.
§ 1 Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар.
Жоғарыда қарастырылған екі мысалға қайтып оралайық:
№1-ші мысалда [pic] шамасының мүмкін мәндері 0,1,2,......,100 болатын.
Бұл мәндерден, қатар тұрған екеуінің арасында ешқандай басқа мәннің жоқ
екенін көреміз, яғни бұл жағдайда, кездейсоқ шама жеке-жеке, бір-бірінен
жекеленген мүмкін мәндер қабылдайды.
№2-ші мысалда [pic] кездейсоқ шамасы [pic] аралығында жатқан кезкелген
мәнді қабылдауы мүмкін. Және де бұл мәндерді бір-бірінен арасында мән жоқ
болатындай аралықпен бөлуге болмайды.
Анықтама. Дискретті (үзілісті) кездейсоқ шама деп, мүмкін мәндері бір-
бірінен жекеленген, өзіне тиісті ықтималдығы анықталатын кездейсоқ
шамаларды айтады.
Дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері шекті немесе шексіз бола
алады.
Анықтама. Үзіліссіз кездейсоқ шама деп, шекті немесе шексіз аралықтағы
барлық мәндерді қабылдай алатын кездейсоқ шаманы айтады.
Үзіліссіз кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің саны шексіз.
§ 2 Дискретті кездейсоқ шаманың ықтималдығын
үлестіру заңы.
Кейде кездейсоқ шамалардың мүмкін мәндерінің саны бірдей, ал
ықтималдықтары әртүрлі болуы мүмкін (мысалы, әрқайсысында 20 студенттен бар
2 топтың емтихан тапсыру нәтижесі).
Сондықтан да дискретті кездейсоқ шамалардың берілуі деп, оның мүмкін
мәндерімен қоса, олардың ықтималдықтарын да көрсетуіміз керек.
Сонымен дискретті кездейсоқ шамалардың үлестіру заңы деп, оның мүмкін
мәндері мен олардың ықтималдықтарының сәйкес келуін айтамыз, және бұл
таблицалық, аналитикалық немесе графиктік түрде беріледі.
Таблицалық түрде былай беріледі:
[pic]
[pic]
мұндағы, таблицаның бірінші жолы мүмкін мәндер, ал екінші жолы олардың
ықтималдықтары.
Бір әрекет кезінде кездейсоқ шама бір-ақ мәнге ие болатындықтан, мына
[pic] оқиғалар толық топ құрайды, яғни олардың ықтималдықтарының қосындысы
1-ге тең:
[pic]
Мысал. Заттай лотереяға 100 билет шығарылды. Оның ішінде 50 теңгелік
бір ұтыс, және бір теңгелік он ұтыс бар. Бір билет алған адамның ұту
мүмкіндігінің яғни, кездейсоқ [pic] шамасының үлестіру заңын тап.
Шешуі. [pic]-тің мүмкін мәндері:
[pic]
Бұлардың ықтималдықтары мынадай:
[pic]
Сонда іздеп отырған үлестіру заңы:
[pic]
Тексеру: 0,0,1+0,1+0,89=1
Таблицалық түрде берілген дискретті кездейсоқ шаманың мәндерін [pic]
мен [pic] осьтеріне салып, содан шыққан нүктелерді түзумен қоссақ, онда
оның графиктік кескіні шығады (1-сурет).
Ал егерде [pic] мүмкін мәндерінің сәйкес ықтималдықтарын белгілі бір
формуламен (мысалы, [pic]) есептейтін болсақ, онда дискретті кездейсоқ шама
аналитикалық түрде берілген деп аталады.
§3 Биномиалдық үлестіру.
Әрбір әрекет кезінде А оқиғасының орындалуы да, орындалмауы да мүмкін
болатын [pic]рет тәуелсіз әрекет жасалсын. Барлық әрекет кезінде оқиғаның
орындалу ықтималдығы тұрақты, және [pic]-ға тең болсын. (Демек оқиғаның
орындалмау ықтималдығы [pic].)
Дискретті кездейсоқ шамасы ретінде, осы жасалған әрекеттер кезіндегі
А оқиғасының орындалу санын қарастырайық. Демек [pic] шамасының үлестіру
заңын табу керек, яғни [pic]-тің мүмкін мәндері мен олардың сәйкес
ықтималдықтарын табу керек.
[pic]рет әрекет жасағанда А оқиғасы 1 рет, не 2 рет, ...... , не [pic]
рет орындалуы, немесе мүлдем орындалмауы мүмкін; яғни [pic]-тің мүмкін
мәндері мыналар болады:
[pic]
Осы мүмкін мәндердің ықтималдықтарын табу үшін Бернулли формуласын
қолданамыз, яғни
[pic] (1)
мұндағы к=0,1,2,......,
(1) формула іздеп отырған үлестіру заңының аналитикалық өрнегі болып
табылады. Бернулли формуласымен анықталатын ықтималдықтың үлестірілуін
Биномиалдық үлестіру деп атаймыз. Биномиалдық үлестіру деп атайтын
себебіміз (1) формуладағы теңдіктің оң жағын Ньютон биномының жалпы
мүшесінің жіктелуі сияқты қарастыруға болады:
[pic]
Мұндағы [pic] бірінші мүше қарастырып отырған оқиғаның [pic]тәуелсіз
әрекет жасағанда [pic] рет орындалатындығының ықтималдығын анықтайды,
екінші [pic] мүшесі оқиғаның [pic] рет орындалатындығының ықтималдығын
анықтайды,........, соңғы [pic]мүшесі оқиғаның бір де бір рет
орындалмағанын анықтайды. Енді осы биномиалдық заңды таблица түрінде
жазайық:
|[pic] |[pic] |[pic] | . . . . |к | . . . . . |0 |
| | | |. | | | |
|[pic] |[pic] |[pic] |. . . . . |[pic] |. . . . . |0 |
Мысал. Тиынды екі рет лақтырайық. Елтаңбаның түсу саны [pic] –
кездейсоқ шамасын үлестіру заңы арқылы таблица түрінде жаз.
Яғни [pic] оқиғасының елтаңбаның түсу санының мүмкін мәндері мен
олардың сәйкес ықтималдықтарын табу керек.
Шешуі.Тиынды лақтырғанда елтаңбаның түсу ықтималдығы [pic]-ке,
демек түспеу ықтималдығы [pic]-ке тең.
Тиынды екі рет лақтырғанда елтаңба: не 2 рет, не 1, не мүлдем түспеуі
мүмкін. Сонымен [pic]-тің мүмкін мәндері мыналар:
[pic]
Енді осылардың ықтималдықтарын Бернулли формуласы бойынша табайық:
[pic]
Енді іздеп отырған үлестіру заңын жазайық:
[pic]
Тексеру: 0,25+0,5+0,25=1
§4 Пуассондық үлестіру
(француз ғалымы)
Тәуелсіз [pic] рет әрекет жасағанда оқиғаның [pic] рет орындалуын
есептеу үшін Бернулли формуласын, ал [pic] мен [pic] үлкен сандар
болғанда Лапластың асимптоталық формуласын қолданатынымызды жоғарыда
айттық. Бірақ та бұл формулалар ықтималдық өте аз сан [pic] болғанда
жарамайды. Мұндай жағдайда Пуассонның асимптоталық формуласын пайдаланамыз.
Сонымен әр әрекет кезінде оқиғаның орындалу ықтималдығы өте аз, ал
әрекет саны [pic]өте үлкен болсын да, оқиға тура [pic] рет орындалсын, және
де [pic] көбейтіндісі тұрақты сан болсын, яғни
[pic]
(1)
Бұл дегеніміз [pic]-нің әртүрлі мәнінде оқиғаның орындалуының орташа
саны өзгермейді деген сөз.
Бернулли формуласы бойынша [pic]рет әрекет жасағанда оқиғаның [pic] рет
орындалатындығының ықтималдығын есептейік:
[pic] (2) [pic] болғандықтан [pic]
олай болса,
[pic] (3)
[pic]өте үлкен сан болғандықтан (3)-ші формуладағы өрнекте [pic]
ұмтылдырып шекке көшсек
[pic]
Сонымен [pic]
(4)
Бұл формула ([pic]аз сан, ал [pic]үлкен сан, оның үстіне сирек)
оқиғалардың ықтималдықтарын Пуассондық үлестіру заңы деп аталады. (Тегінде
бұл формула жуық шамамен есептейді,үлкен сан болғанымен шектеулі сан, ал
біз [pic] ұмтылдырып шек алдық қой).
Мысал. Зауыт базға 5000 жарамды заттар жөнелтті. Жолда заттың бұзылу
ықтималдығы 0,0002 болса, базға 3 жарамсыз заттың келетіндігінің
ықтималдығын тап.
Шешуі. Есептің шарты бойынша [pic] сонда [pic] Іздеп отырған
ықтималдық Пуассонның формуласы бойынша
[pic]
§5 Қарапайым оқиғалар ағыны
Анықтама. Кездейсоқ уақыт мезгілінде орындалатын оқиғалар тізбегін –
ағыны дейміз.
Мысал. 1) АТС-қа түсетін шақырулар (қоңыраулар), 2) Әуежайға келіп
қонатын ұшақтар, 3) Жедел жәрдем станциясына түсетін шақырулар т.с.с.
Оқиғалар ағыны мынадай қасиеттермен сипатталады:
1. Тұрақты қасиет, 2. Жалғасудың (үзбей) жоқтығы қасиеті,
3. Қарапайымдылық қасиеті.
Тұрақтылық қасиетін былайша түсінеміз: саны [pic]оқиғалардың кезкелген
уақыт аралығындағы орындалу ықтималдығы [pic] саны мен[pic]уақыт аралығының
ұзақтығына ғана тәуелді болады, яғни әрбір уақыт аралығында [pic] түсетін
шақырулар (қоңыраулар) санының ықтималдықтары өзара тең болады.
Яғни, тұрақтылық қасиеті орындалатын ағында, ұзақтығы [pic]уақыт
аралығында оқиғасының орындалу ықтималдығы [pic] мен [pic]-ға тәуелді
функция болады. [pic] – десе түсінікті.
Жалғасудың жоқтығы қасиетін былайша түсінеміз: [pic] оқиғалардың
ықтималдықтары, өткен уақыттағы алдыңғы оқиғалардың орындалу-орындалмауына
тәуелді емес.
Қарапайымдылық қасиетін былайша түсінеміз: Аз уақыт аралығында 1-ақ
оқиға, 1-еуден саны аспайтын оқиғалар орындалса, оны қарапайымдылық қасиеті
бар дейміз.
Осындай қасиеттері бар ағынды қарапайым немесе Пуассондық оқиғалар
ағыны дейміз. Ағынның қарқыны деп, бірлік уақыт аралығында орындалатын
оқиғалардың орташа саны А-ны айтамыз. Егер ағынның қарқыны белгілі болса,
онда [pic]уақыт аралығындағы қарапайым оқиғалардың орындалу ықтималдығын
мына түрдегі Пуассон формуласымен есептеуге болады:
[pic]
Бұл формула үшін, қарапайым ағынның жоғарыда айтылған үш қасиеті де
орындалады. Шынында да:
1. Формуладан көрініп тұрғандай, берілген А қарқыны бойынша [pic]
ықтималдығын тек [pic]мен [pic]-ға тәуелді, олай болса тұрақтылық
қасиеті орындалады.
2. Формулада [pic]-ға дейінгі уақыт аралығында орындалатын оқиға туралы
шартты ықтималдық хабар жоқ, олай болса, жалғасудың жоқтығы қасиеті
де орындалып тұр.
3. Енді қарапайымдылық қасиеттің орындалатындығын көрсетейік. Егер
[pic], [pic] деп формулаға қойсақ, оқиғаның орындалмайтындығының,
және бір рет те орндалатындығынң ықтималдығын табамыз:
[pic] [pic], [pic]
Енді оқиғаның 1-ден көп рет орындалатындығының ықтималдығы былайша
есептеледі:
[pic]
[pic] болғандықтан
[pic]
Енді [pic] мен [pic]-ді салыстырсақ, [pic]-ның аз мәнінде [pic]-дің
мәні жоқ десе де болғандай.
Сонымен Пуассонның формуласы қарапайым оқиғалар ағынының
математикалық моделі болып саналады.
Мысал. АТС-қа 1 минутта түсетін шақырулардың орташа саны 2-ге тең
болса, 5 минутта: а) 2 шақыру ([pic]), б)шақыру саны 2-еуден аз ([pic]),
в) шақыру саны екеуден кем емес ([pic])болатындығының ықтималдығын тап ?
(Шақырулар қарапайым деп есептелсін).
Шешуі. а)Есептің шарты бойынша [pic]
[pic] формуласы бойынша Р5(2)-ні есептейік:
[pic]
бұл оқиға орындалмайды десе де болады.
б) [pic]
в) «Шақыру саны екеуден аз» оқиғасы мен «Шақыру саны екеуден кем
емес» оқиғасы қарама-қарсы оқиға болғандықтан, 5 минутта «екеуден кем
емес» шақыру болатындығының ықтималдығы былайша есептеледі:
[pic]
Бұл жауап оқиғаның ақиқаттығын көрсетеді.
§6 Дискретті кездейсоқ шаманың
математикалық үміті
Өткенде байқағанымызда, үлестірім заңы кездейсоқ шаманы толық
сипаттай алады. Бірақ, көбінесе кездейсоқ шаманың үлестірім заңы белгісіз
болады да, ол туралы аздаған мағлұмат қана белгілі болады. Онда не
істейміз соған тоқталайық.
Көптеген тәжірибелік мәселелерді шешкенде, үлестіру заңын анықтау
кейде қиынға соғатындықтан, сол кездейсоқ шаманың маңызды ерекшеліктерін
қамтитын кейбір сандық сипаттамалармен қанағаттануға болады. Бұл сандық
сипаттамалар мен оларға қолданылатын амалдардың ықтималдықтар теориясында
маңызы өте зор. Осы сандық сипаттамаларды біліп қолдану нәтижесінде
ықтималдықтың көптеген есептерін шешу жеңілденеді. Мұндай сандық есептер
көп болғандықтан, біз тек математикалық үміт, дисперсия, орташа
квадраттық ауытқу және әртүрлі реттік моменттерді қарастырамыз.
Алдымен математикалық үміт ұғымына тоқталу үшін мына мысалды
қарастырайық.
Мысал. Дүкендегі кітапты тезірек сату мақсатымен ұтыс лотереясы
ұйымдастырылған. Таратылған 500 лотерея белетінің бәрі де ұтады,
бірақ ұтыс мөлшері әртүрлі. Белеттің 250-і 10 тиыннан, 150-і 20 тиыннан,
50-і 30 тиыннан, қалған 50-уі 60 тиыннан ұтады. Сатып алынған лотерея
белетінің орташа ұтыс мөлшері, яғни ұтысқа берілген кітаптың орташа
бағасы неге тең ?
Шешуі. Үміттеніп отырған орташа ұтысты анықтау үшін ұтысқа берілген
кітаптардың жалпы құнын анықтап, оны барлық белеттер санына бөлеміз, яғни
[pic]
теңге болады.Үмітеніп отырған бұл ұтысты анықтау үшін әр мөлшерлі ұтысқа
сәйкес келетін белет санын барлық белет санына бөліп сәйкес ұтыс мөлшерін
көбейтіп те табуға болады, яғни
[pic] теңге= 0,2 теңге.
Осы жазылғандарды ықтималдықтар теориясы тілімен айтсақ, онда ұтыс
мөлшері болып тұрған [pic] шамасы: 0,1; 0,2; 0,3; 0,6; мәндерін, соларға
сәйкес: [pic] ықтималдықтарымен салыстырмалы жиілікпен қабылдайды дейміз.
Осы айтылғандарға сәйкес таблица мынадай болады:
|Ұтыс мөлшері [pic] |0,1 |0,2 |0,3 |0,6 |
|Ықтималдығы [pic] |0,5 |0,3 |0,1 |0,1 |
Бұл таблицадағы [pic] мәндерін [pic] сәйкес мәндеріне көбейтіп қоссақ,
онда әрбір белетке сәйкес келетін орташа ұтыс мөлшері 0,2 екенін аламыз.
Осы қарастырылған мысалға ұқсас орташа мәні орнына математикалық үміт
ұғымын енгізейік.
Анықтама. Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық үміті деп, оның
барлық мүмкін мәндерін сәйкес ықтималдықтарына көтейтіп қосқандағы
қосындыны айтамыз.
[pic] кездейсоқ шамасының мүмкін мәндері [pic] болсын да олардың
сәйкес ықтималдықтары [pic] болсын. Содан математикалық үміт мына
теңдікпен анықталады:
[pic] (1)
Ескерту. Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық үміті тұрақты шама
болады.
1-мысал. [pic] кездейсоқ шамасының берілген үлестірім заңы бойынша
математикалық үмітін тап:
Х 3 5 2
Р 0,1 0,6 0,3
1-формуланы қолдансақ [pic]
2-мысал. А оқиғасының ықтималдығы [pic]-ға тең болса, бір реткі
әрекет кезіндегі А оқиғасының орындалу санының математикалық үмітін тап.
Шешуі. Бір реткі әрекет кезінде [pic]-тің мынадай екі мәні болуы
мүмкін: [pic]( А оқиғасы орындалды), [pic] (А оқиғасы орындалмады). Бұл
екеуінің сәйкес ықтималдықтары [pic] және [pic]-ға тең. Олай болса [pic]
яғни, бір рет әрекет жасағанда оқиғаның орындалу санының математикалық
үміті, осы оқиғаның ықтималдығына тең.
§7 Математикалық үміттің қасиеттері
1. Тұрақты шаманың математикалық үміті, тұрақты шаманың өзіне тең.
[pic]
(2)
Дәлелдеу. «С» тұрақтысын, бір мүмкін мәні (С) бар, және оны [pic]
ықтималдығымен қабылдайтын дискретті кезднйсоқ шама деп қарастырамыз.
Демек, (1) формула бойынша [pic] дәлелденді.
1-Ескерту. Тұрақты С шамасын, дискретті кездейсоқ [pic] шамасына
көбейтуді, дискретті [pic] кездейсоқ шамасы деп ұғамыз. Мұның мүмкін
мәндері, [pic]-тің мәндерін тұрақты [pic]-ға көбейту арқылы анықталады.
[pic] -тің мүмкін мәндерінің ықтималдықтары [pic]-тің сәйкес мүмкін
мәндерінің ықтималдықтарына тең болады. Мысалы, егер [pic] мүмкін мәнінің
ықтималдығы [pic]-ге тең болса, онда [pic] шамасының [pic] мәнін
қабылдайтындығының ықтималдығы да [pic]-ге тең.
2. Тұрақты көбейткішті математикалық үміт белгісінің сыртына шығаруға
болады
[pic] (3)
Дәлелдеу. [pic] кездейсоқ шамасы, ықтималдықтарының үлестірім заңымен
берілсін
[pic] [pic]
[pic] [pic]
1-ескертуді ескеріп [pic] кездейсоқ шамасының үлестірім заңын жазамыз:
[pic] [pic] [pic]..... [pic]
[pic] [pic]
Онда [pic] кездейсоқ шамасының математикалық үміті:
[pic]
Сонымен, [pic]
2-Ескерту. Егер екі кездейсоқ шаманың біреуінің үлестірім заңы,
екіншісінің қандай мүмкін мән қабылдайтындығына тәуелді болмас, онда, ондай
екі кездейсоқ шамаларды тәуелсіз кездейсоқ шамалар деп атаймыз. Кері
жағдайларда оларды тәуелді кездейсоқ шамалар деп атаймыз.
3-Ескерту. Тәуелсіз кездейсоқ [pic] және [pic] шамаларының
көбейтіндісін [pic] кездейсоқ шамасы ретінде анықтаймыз. Мұның мүмкін
мәндерін, [pic]-тің әрбір мүмкін мәнін [pic]-тің әрбір мүмкін мәніне
көбейтіп табамыз. [pic] көбейтіндісінің мүмкін мәндерінің ықтималдықтары
олардың көбейткіштерінің мүмкін мәндерінің ықтималдықтарының [pic]
көбейтіндісіне тең. Мысалы, егер [pic] мүмкін мәнінің ықтималдығы [pic]-ге,
[pic] –дікі, [pic]-ге тең болса, онда [pic] мүмкін мәнінің ықтималдығы
[pic]-ге тең болады.
Кейбір [pic]көбейтінділері өзара тең болуы мүмкін. Бұл жағдайда
көбейтіндінің мүмкін мәнінің ықтималдығы сәйкес ықтималдықтардың
қосындысына тең болады. Мысалы, егер [pic] болса, онда [pic]нің
ықтималдығы (немесе [pic]-тікі) [pic]ке тең болады.
3. Тәуелсіз екі кездейсоқ шаманың көбейтіндісінің математикалық үміті,
олардың математикалық үміттерінің көбейтіндісіне тең.
[pic]
(4)
Дәлелдеу. Тәуелсіз кездейсоқ [pic] және [pic] шамалары өздерінің
үлестірім заңымен берілген:
[pic] [pic]
[pic] кездейсоқ шамасы қабылдай алатын барлық мәндерді құрайық. Ол үшін
[pic]-тің барлық мүмкін мәндерін [pic]-тің әрбір мүмкін мәніне көбейтеміз,
нәтижесінде [pic] және [pic] шығады. 3-ші ескертуді ескеріп, және
көбейтіндінің барлық мүмкін мәндері әртүрлі деп ұйғарып (қарапайым жағдай
үшін) [pic]-тің үлестірім заңын жазайық:
[pic]
мұның математикалық үміті (1)-формула бойынша:
[pic]
немесе
[pic]
Сонымен, [pic] дәлелденді.
Салдар. Өзара тәуелсіз бірнеше кездейсоқ шамалардың көбейтіндісінің
математикалық үміті, олардың әрқайсысының математикалық үміттерінің
көбейтіндісіне тең. Мысалы, үш кездейсоқ шама үшін былай болады:
[pic]
Мысал. және У тәуелсіз кездейсоқ шамалары мынадай үлестірім
заңдарымен берілген:
Х 5 2 4 у 7 9
Р 0,6 0,1 0,3 Р 0,8 0,2
[pic]-ті тап.
Шешуі. [pic]
Енді Х және У кездейсоқ шамалары тәуелсіз болғандықтан
[pic]
4-Ескерту. [pic] және [pic] кездейсоқ шамаларының қосындысын [pic]
кездейсоқ шамасы ретінде анықтаймыз. Мұның мүмкін мәндері, [pic]-тің әрбір
мүмкін мәніне [pic]-тің әрбір мүмкін мәнін қосқанға тең. Ал [pic]-тің
мүмкін мәндерінің ықтималдықтары, тәуелсіз [pic] және [pic] шамалары үшін,
қосылғыштардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең, ал тәуелді шамалардікі
– біреуінің ықтималдығын екіншісінің шартты ықтималдығына көбейткенге тең.
Кейде [pic] қосылғыштарының кейбіреулері өзара тең болуы мүмкін. Бұл
жағдайда қосындының мүмкін мәнінің ықтималдығы, сәйкес ықтималдықтарының
қосындысына тең. Мысалы, егер [pic] болса, және бұл мүмкін мәндердің
сәйкес ықтималдықтары [pic] және [pic] болса, онда [pic]-нің (немесе [pic]
-тің) ықтималдығы [pic]-ке тең болады.
4. Екі кездейсоқ шама қосындысының математикалық үміті, қосылғыштардың
математикалық үміттерінің қосындысына тең.
[pic]
(5)
Дәлелдеу. [pic] және [pic] кездейсоқ шамалары мынадай үлестірім заңдарымен
берілсін:
[pic] [pic]
[pic] шамасының барлық мүмкін мәндерін құрайық. Ол үшін [pic]-тің
әрбір мүмкін мәніне [pic]-тің әрбір мүмкін мәнін қосамыз, сонда [pic] және
[pic] болады. Қарапайым жағдайда, бұлар әртүрлі деп ұйғарайық та, олардың
сәйкес ықтималдықтарын [pic] және [pic] деп белгілейік.
[pic] шамасының математикалық үмітін тапсақ:
[pic]
немесе
[pic] (*)
Енді [pic] екендігін дәлелдейік. «[pic] шамасы [pic] мәнін
қабылдайық» – оқиғасы (мұның ықтималдығы [pic]-ге тең) мына [pic] оқиғасын
да өзімен ала келеді, яғни бұл оқиға [pic] немесе [pic] мәнін қабылдайды.
Мұның ықтималдығы, қосу теоремасы бойынша [pic]-ге тең, және керісінше
болады. Бұдан [pic] екендігі шығады. Осы жолмен [pic] және [pic] теңдіктері
де шығады, яғни дәлелденеді. Осы теңдіктердің оң жақтарын (*) өрнегіне
қойсақ:
[pic] демек, [pic] дәлелденді.
Үш қосылғыш үшін былай болады:
[pic]
Мысал. Нысанаға дәл тию ықтималдықтары [pic]ға тең үш рет оқ атылды.
Нысанаға, жалпы тию санының математикалық үмітін тап ?
Шешуі. Бірінші атқанда [pic]-дің екі мүмкін мәндері болады: 1 (дәл
тию ықтималдығы) [pic]-ке тең және 0(тимей кету ықтималдығы) [pic] Сонда
[pic]. Осы сиқты екінші және үшінші атқанда тиетіндігінің ықтималдығын
есептесек: [pic]; [pic] болады. Нысанаға тигізудің жалпы саны, үш рет
атқандағы әр тигізудің қосындысынан тұратын кездейсоқ шама болады:
[pic]
Енді (5) формула бойынша:
[pic]
Теорема. Өзара тәуелсіз [pic] әрекет жасағанда А оқиғасының орындалу
санының математикалық үміті [pic], әрекеттің санын әрбір әрекет кезіндегі
оқиғаның орындалу ықтималдығына көбейткенге тең.
[pic]
(6)
Дәлелдеу. [pic] рет тәуелсіз әрекет жасағандағы А оқиғасының орындалу
санын кездейсоқ [pic] шамасы деп қарастырайық. [pic] – бірінші әрекет
кезіндегі оқиғаның орындалу саны, [pic] – екінші әрекет кезіндегі оқиғаның
орындалу саны, ....... , [pic] – [pic]-ші әрекет кезіндегі оқиғаның
орындалу саны. Сонда оқиғаның орындалуының жалпы саны:
[pic]
4-қасиет бойынша
[pic] (7)
теңдіктің оң жағындағы әр мүше, бір реткі әрекет кезіндегі оқиғаның
орындалу санының математикалық үміті, яғни [pic] – бірінші реттегі, [pic] –
екінші реттегі, т.с.с. Бір реткі әрекет кезіндегі оқиғаның орындалу санының
математикалық үміті оқиғаның ықтималдығына тең болғандықтан [pic] мұны (7)-
ге қойсақ
[pic]
дәлелденді.
Мысал. Мылтықтан атқанда нысанаға тию ықтималдығы [pic]-ға тең. Егер
10 рет ататын болсақ, нысанаға тиюінің жалпы санының математикалық үмітін
тап ?
Шешуі. Әр атқан кездегі тию-тимеуі бір-біріне байланысты емес, олай
болса бұл оқиғалар тәуелсіз, демек іздеп отырған математикалық үміт
[pic] (6 рет тиді.)
§8 Дискретті кезлейсоқ шаманың
дисперсиясы.
Мынадай мысал қарастырайық. [pic] және [pic] дискретті кездейсоқ
шамалар мынадай үлестірімділік заңымен берілсін:
[pic][pic] [pic]
Онда олардың математикалық үміттері:
[pic] [pic]
Бұдан байқауға болатыны, кездейсоқ шамалардың мүмкін мәндері әртүрлі
болғанымен олардың математикалық үміттері бірдей, яғни кей жағдайда біз
кездейсоқ шаманың тек математикалық үмітін біліп қана, оның қандай мүмкін
мәндер қабылдайтынын тиянақты түрде айта аламыз. Сондықтан дисперсия деп
аталатын басқа сандық сипаттама енгіземіз.
Анықтама. [pic] – кездейсоқ шамасы және оның математикалық үміті
[pic] берілсін. Мынадай [pic] айырманы, кездейсоқ шама мен оның
математикалық үмітінің арасындағы ауытқу деп атаймыз. Ауытқудың үлестірім
заңын жазу үшін [pic] кездейсоқ шамасының үлестірімділік заңы белгілі деп
есептейік, яғни:
[pic] [pic]
[pic] [pic]
Ауытқу [pic] мәніне ие болу үшін [pic] кездейсоқ шамасы [pic] мәнін
қабылдауға тиіс, ал оның ықтималдығы [pic]болғандықтан, ауытқудың да [pic]
мәнін қабылдау ықтималдығы [pic] болады. Осылайша ауытқудың басқа да
мәндерін заңдастырсақ оның үлестірім заңы былайша жазылады:
|[pic] |[pic] |[pic] |......... |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |......... |[pic] |
Кездейсоқ шаманың математикалық үміті, сол шаманың жалпы алғанда
негізгі бір сипаттамасы екендігін көрдік. Енді өзіне-өзі келіп, кездейсоқ
шаманың мәні есебінде математикалық үмітті қабылдағанда жіберетін қатені
бағалау мәселесі шығады. Физикада математикалық үміттің аналогиясы –
дененің ауырлық центрінің координаталары, ал ауырлық центрден ауытқу
мәселелері инерция моменттері арқылы шешіледі. Кездейсоқ шаманың мәндері
оның математикалық үмітінен ауытқитындығы түсінікті. Міне осы ауытқуды
бағалау үшін дисперсия ұғымы енгізіледі. [pic] кездейсоқ шамасының
дисперсиясын [pic] таңбасымен белгілейік.
Анықтама. Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы (шашырауы) деп,
кездейсоқ шамамен оның математикалық үміті айырымының квадратының
математикалық үмітін айтамыз:
[pic]
(*)
[pic] мынадай үлестірімділік заңымен берілсін:
[pic] [pic]
[pic] [pic]
сонда ауытқудың квадратының үлестірімділік заңы мынадй болады:
|[pic] |[pic] |[pic] |......... |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |......... |[pic] |
[pic] Сонда анықтама бойынша дисперсия былай болады:
[pic]Сонымен дисперсияны есептеу үшін, ауытқудың мүмкін мәндерінің
квадратын олардың сәйкес ықтималдығына көбейтіп қосса болғаны.
Ескерту. Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалардың дисперсиялары
тұрақты сандар болады.
Мысал. Мына үлестірімділік заңымен берілген кездейсоқ [pic] шамасының
дисперсиясын тап.
[pic]
Шешуі. Алдымен математикалық үмітті табамыз:
[pic]
Енді ауытқудың квадратының үлестрімділік заңын жазу үшін алдымен оның
барлық мүмкін мәндерін табамыз:
[pic]
Енді ауытқудың квадратының үлестірімділік заңын жазайық:
[pic]
Дисперсияның анықтамасы бойынша:
[pic]
§9 Дисперсияны есептеудің формуласы
Өткен мысалдан байқағанымыз дисперсияны есептеудің жолы ұзақ та
ыңғайсыздау, сондықтан дисперсияны есептеу үшін мына теореманы қолданған
тиімдірек.
Теорема. Дисперсия, кездейсоқ шама [pic]-тің квадратының математикалық
үмітінен оның математикалық үмітінің квадратын алып тастағанға тең.
[pic][pic]
Дәлелдеу. [pic] – тұрақты шама болғандықтан 2[pic] және [pic]
тұрақты шамалар, олай болса дисперсияның (*) формуласынан:
[pic]
яғни, [pic]
Мысал. Мынадай үлестірімділік заңымен берілген кездейсоқ [pic]
шамасының дисперсиясын тап:
[pic]
Шешуі. Алдымен [pic]-ті табамыз:
[pic]
Енді [pic] кездейсоқ шамасының үлестірімділік заңын жазайық:
[pic] сонда [pic]
яғни, [pic]
§10 Дисперсияның қасиеттері
1. Тұрақты С санының дисперсиясы нольге тең [pic]
Дәлелдеу. Дисперсиясының анықтамасы бойынша
[pic]
2. Тұрақты көбейткішті дисперсия таңбасының алдына квадрат дәрежелеп
шығаруға болады, яғни
[pic]
Дәлелдеу. Дисперсиясының анықтамасы бойынша
[pic]
яғни [pic]
3. Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың қосындысының дисперсиясы, олардың
дисперсияларының қосындысына тең, яғни
[pic]
Дәлелдеу. Дисперсияны есептейтін формула бойынша:
[pic]
Теңдіктің оң жағындағы жақшаны ашып, математикалық үміттің қасиеттерін
пайдалансақ:
[pic]
дәлелденді.
1-салдар. [pic]
2-салдар. Тұрақты шама мен кездейсоқ шаманың қосындысының дисперсиясы,
кездейсоқ шаманың дисперсиясына тең:
[pic] себебі [pic]
4. Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың айырмасының дисперсиясы, олардың
дисперсияларының қосындысына тең, яғни
[pic]
Дәлелдеу. Үшінші қасиетті пайдалансақ
[pic][pic]
дәлелденді.
Теорема. Әрбір әрекет кезінде, оқиғаның орындалу ықтималдығы
[pic][pic]-ға тең болатын А оқиғасының [pic] рет тәуелсіз әрекет
жасағандағы орындалу санының дисперсиясы, жасалынатын әркеттің санын
оқиғаның бір әрекеттегі орындалу және орындалмау ықтималдықтарына
көбейткенге тең:
[pic]
(1)
Дәлелдеу. Кездейсоқ шама [pic] деп, [pic] рет тәуелсіз әрекет
жасағандағы А оқиғасының орындалатын санын белгілейік.
[pic] – деп бірінші әрекет кезіндегі оқиғаның орындалу санын белгілейік,
[pic] – деп екінші, ...... , [pic] – деп [pic]-ші әрекет кезіндегі
оқиғаның орындалу санын белгілейік.
Сонда А оқиғасының жалпы орындалу саны, әрбір әрекет кезіндегі орындалу
сандарының қосындысына тең болады, яғни
[pic]
(2)
[pic] өзара тәуелсіз болғандықтан
[pic] (3)
енді
[pic]
(4)
[pic] яғни [pic]
бұдан [pic] екендігін ескерсек
[pic]
мұндай бізде [pic] рет болады [(3)-тен көрініп тұр] , сонда
[pic]
дәлелденді.
Мысал. Әр жолы оқиғаның орындалу ықтималдығы 0,6-ға тең, 10 тәуелсіз
әрекет жасайық. Осы әркеттер кезіндегі кездейсоқ шама [pic] үшін оқиғаның
орындалу санының дисперсиясын тап.
Шешуі. Есептің шарты бойынша [pic] сонда [pic] демек [pic]
§11 Орташа квадраттық ауытқу
Кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің, оның орташа мәнінің маңайында
шашырауын, яғни топтасуын бағалайтын сипаттамасының бірі орташа квадраттық
ауытқу болып табылады. Соған тоқталайық.
Анықтама. Кездейсоқ шама [pic]-тің орташа квадраттық ауытқуы деп,
дисперсиядан алынған квадрат түбірді айтады, яғни
[pic]
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz