Матрицаларды көбейту

               ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ
             БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
СЕМЕЙ ҚАЛАСЫНЫҢ ШӘКӘРІМ АТЫНДАҒЫ МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ
                    3 деңгейлі СМЖ құжаты
                                   ПОӘК

ПОӘК 042-14.01.20.169/03-2013
<<Матрицалар теориясы>> пәніне арналған оқу-әдістемелік материалдар ПОӘК
29.08.2013 ж. №1басылым









            ПӘННІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ
                                       
                   <<Матрицалар теориясы>>
                                       
      5В060100  -  <<Математика>> мамандығы үшін
                                       
             ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК МАТЕРИАЛДАР
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                  Семей
                                     2013
                                       
                                Мазмұны 
                                       
                                       1
Глоссарийлар .............................................................................................
                                       3
                                       2
Дәріс оқулар ..............................................................................................
                                      10
                                       3
Практикалық сабақтар ..............................................................................
                                      78
                                       4
Ұсынылған әдебиеттер






































1 ГЛОССАРИЙЛАР
Осы ОӘК тиісті анықтамалармен келесі терминдер қолданылған:

* 
                         Жаңа түсініктер
                               Мағынасы
                                       
* 
 өлшемді матрица
* жолдан және  бағаннан тұратын тік бұрышты сандар кестесі.

* 
Квадрат матрица.
Жол саны мен баған саны тең болса.

* 
Матрица реті
Квадрат матрицаның жол (баған) саны тең болса

* 
Матрица анықтауышы
Әрбір квадрат матрицаға белгілі бір ереже бойынша қойылған сан. Анықтауыш тік жақшамен белгіленеді:


* 
2-ші ретті анықтауышты есептеу.


* 
3-ші ретті анықтауышты есептеу



* 
Транспонерленген матрица
* матрицасына  матрицасы транспонерленген деп аталады, егер де  бағаны  жолы болып табылса.

* 
 элемент мипоры.
Деп  жолы мен бағаның сызып тастағандағы анықтауыш

* 
Алгебралық толықтауыш


* 
Жоғарғы және төменгі үшбұрышты матрица.





Деп матрицаның бас диагоналінің жоғарғы немесе төменгі элементтері нөлдік элементтері болса


* 
Диагональді матрица
Деп бас диагональдан басқа бәрі элементтері нөлдік элемент болса.

* 
Бірлік матрица


* 
Матрицаны санға көбейту
 матрицасын айтады  өлшемді әрбір  элементі -не тең.

* 
Матрицаларды қосу
,    

* 
Матрицаларды көбейту.
* өлшемді матрицасын  өлшемді матрицаларды көбейту деп өлшемді  матрицасын айтады. 

* 
Кері матрица
Мына теңдік орындалатын   матрицасын айтады

* 
Нұқсанды және нұқсансыз матрица.
Деп анықтауышы нөлге тең квадрат матрицасын нұқсанды, ал нөлге тең емес болмаса нұқсансыз.

* 
матрица рангі
Деп минорларының ең үлкен нөлден өзгеше ретін айтады.  немесе  арқылы белгіленеді.

* 
Базистік минор
-ға тең нөлден өзгеше ретін.

* 
Жолдың сызықты комбинациясы

- кезкелген сандар.

* 
Жолдардың сызықты тәуелділігі
 , мұндағы  Егер   бір мезгілде нөлден өзгеше болса  жолдарын айтады.

* 
Жүйенің матрицалық түрі



	

2 ДӘРІС ОҚУЛАР

Дәріс сабақтардың құрылымы:
                                       
                     Матрицалар теориясы

                                ДӘРІС 1,2
     СЫЗЫҚТЫҚ БЕЙНЕЛЕУЛЕР ЖӘНЕ МАТРИЦАЛАР
Математикада және басқа да ғылым салаларында бір шаманың басқа шамаларға тәуелділігі зерттеледі(жиі қарастырылады). Әдетте тәуелділік әр түрлі түрдегі функциялармен (бейнелеулермен, операторлармен) сипатталады.  Қарапайым жағдай  -  сызықтық  бейнелеулер болып табылады. 
Айталық y1,...,ym айнымалыларын x1,...,xn айнымалылары арқылы төмендегідей берілсін:
                                                              (1)
мұндағы коэффициенттер берілген тұрақты шамалар деп есептеледі. Барлық тұрақты коэффициенттерді тік бұрышты кестеге жинап, оны А  әрпімен белгілейік; сондай  - ақ , x1,...,xn және y1,...,ym шамаларынан баған  -  кестелерін құрайық:
                                       
Мұндай кестелер матрица  деп  аталады. Бұл жерде біз үш түрлі матрицаны көре аламыз: mxn,   nx1,   mx1 өлшемді. y-тің x-ке тәуелділігін  сипаттайтын (1) қатынасын символдық түрде төмендегідей жазамыз:
                     y=Аx.                                                      (2)
Егер m=n болса, онда матрица квадратты матрица деп аталады. nxn өлшемді квадрат матрицаны сондай  - ақ, n -ретті матрица деп аталады. 
                  1.2	Матрицаларды көбейту
Айталық y1,...,ym айнымалылары  x1,...,xn арқылы өрнектелсін және сонымен қатар, x1,...,xn айнымалылары z1,...,zk  арқылы былай өрнектелсін:
                                       
y1,...,ym айнымалылары   z1,...,zk арқылы дәл осылайша анықталады. Осы тәуелділіктің тұрақты коэффициенттерінен құралған матрицаны  С  арқылы белгілейік. Сонда 
y=Аx,     x=Bz    және  y=Cz.
С  матрицасының коэффициенттерін алу үшін  z1,...,zk арқылы өрнектелген  x1,...,xn өрнегін x1,...,xn айнымалылары арқылы өрнектелген y1,...,ym анықтайтын формулаға  қою керек. Сонда мынаны аламыз:
 С=cij,     мұндағы  cij=l=1nailblj                                (3)
Анықтама: (3) түрдегі С матрицасын А және B матрицаларының көбейтіндісі деп атайды және С=АB деп белгілейді.
Салдар.  y=АBz=(АB)z.
Әдетте матрицаларды көбейту  <<жолды бағанға>> көбейту ережесімен анықталады деп айтылады. Бірінші көбейткіштегі бағандардың саны екіншінің жол санымен сәйкес келуі керек. Егер біз С=АB деп жазатын болсақ, онда біз бірден А және B матрицалары кез келген емес деп ұғуымыз керек.
1.3	Матрицаларды көбейтудің ассоциативтілігі
Теорема.  (АB)С=А(BС).
Дәлелдеуі. Айталық  А - mxn, B -  nxk, С -  kxl өлшемді матрицалар болсын.  Онда 
                                       
1.4	Матрицаларды көбейтудің коммутативті еместілігі
Жалпы жағдайда АB!=BА, - тіпті квадрат матрицалар үшін де. Мысалы,
                                       
   1.5	Матрицаларды қосу және санға көбейту
А=aij  және В=bij матрицаларының қосындысы деп  С=cij матрицасын айтады, егер барлық i,j үшін
cij=aij+bij
болса. 
            А, В және С=А+В матрицаларының өлшемдері бірдей болады. Матрицаларды қосу амалы үшін төмендегі қасиеттер орындалады:
            А+B+С=А+B+С      (ассоциативтілік),
    А+В=В+А                          (коммутативтілік).
Егер α  -  қандай да бір сан  болса, онда  С=αА матрицасы cij=αaij элементтері бар осындай өлшемді матрица түрінде анықталады.
           1.6	Блокты матрицаларды көбейту
Айталық  А  және  В матрицалары Аij және Вij блоктарынан құралсын:
                                       
мұндағы    Аij  -  mixnj,  Вij  -  nixkj өлшемді. Онда С=АВ көбейтіндісі бар  және оны блокты-матрицаларды қосу және көбейту амалдарын қолданып есептеуге болады:
                                       
мұндағы
                                       
Блокты матрицаларды көбейту <<блокты жолды блокты бағанға >> көбейту ережесі бойынша анықталады деп айтуға болады. блокты көбейтудің қандай пайдасы болатындығын төменде көреміз.
1.7	Матрицаларды көбейтудің есептеуіш  аспектісі
Айталық   nxn- өлшемді А және В матрицалары берілсін және олардың С=АВ көбейтіндісін есептеу керек болсын. Бұны есептеудің классикалық  алгоритмі мынадай (программа  алгоритмдік Фортран тіліне ұқсас): 
                                       
Алайда алдымен cij элементтерін нөлге айналдырып алу керек. 
<<Бұл бағдарламаның жақсы жағы неде?>>,-  деген сұрақ туындайды.  Бұл сұраққа жауап беру оңай емес. Алдымен  бізге қандай да бір критерий қажет  -  айталық осы бағдарламаны орындау уақыты болсын. Алайда уақыт тек компьютердің түріне ғана тәуелді емес. 
Бұл жерде бірдене түсіну үшін көптеген бөлшектерді алып тастап, ең негізгісін қалтыру керек. Егер де барлық амалдар тізбектей орындалса, онда жұмыстың орындалу уақытын амалдар санына пропорционал деп есептеуімізге болады. біз қарай жүрейік және тек арифметикалық амалдарды есептейміз.  Олардың жалпы санын алгоритмнің  арифметикалық күрделілігі деп атаймыз.
Алгоритм  - бұл элементар амалдардың соңғы бекітілген  жиынтығынан  алынған элементар амалдардың тізбегі деп есептейік. Анықтық үшін, айталық бұл төрт арифметикалық амал болсын. 
Сонымен, математикалық есеп қойылды. Бұрындары классикалық алгоритм ең жақсы деп есептелген. Қазір байқайтынымыздай ол бұлай емес.
                        1.8	Виноград әдісі
Классикалық алгоритмді қолданбай матрицаларды көбейткен алғашқылардың бірі (60 жылдардың басында) Виноград болды. Ол келесі тепе  -  теңдікті қолдануға болатынын көрсетті:

Айталық n=2m болсын. Барлық 1<=i,   j<=n  үшін екінші және үшінші қосындыны 2nm=n2 көбейту және 2nm=n2 қосу амалы арқылы табуға болады. Бірінші қосынды үшін n2m=12n3 көбейту және 3n2m=32n3 қосу амалы қажет. 
Нәтижесінде  -  бұрынғыдай, 2n3 амал орындалады, бірақ мұнда енді 12n3 көбейту және 32n3 қосу амалы болады. көбейту амалы қосуға қарағанда күрделі амал болғандықтан Виноград әдісінің практикалық маңызы бар.
                        1.9	Штрассен әдісі
1965 жылы Штрассен 2x2- өлшемді матрицаны тек қана 7 көбейтіндінің көмегімен көбейтуді анықтады (классикалық әдісте  -  8 көбейтінді қолданылады).  Штрассеннің ойлап тапқаны <<көп өлшемді матрицалардың>> тензорлық рангын есептеу көмегімен алынады. 

1.10	nxn- өлшемді матрицалар үшін рекурсия
7 көбейтіндінің көмегімен есептелетін 2x2- өлшемді матрицаларды көбейтуден 7nlog27 аспайтын  амлады қажет ететін nxn- өлшемді матрицаларды көбейту әдісіне көшу оңай.  n-->infinity ұмтылғанда  7nlog27n3-->0  ұмтылғандықтан, Штрассен әдісі классикалық әдістен асимптотикалық жақсырақ болып табылады.
Айталық  n=2L болсын және А мен  В матрицаларын 2x2- өлшемді блокты матрица түрінде қарастырайық:

Штрассен әдісінде 2x2- өлшемді матрицаларды көбейткенде коммутативтілік қолданылмайды. Сондықтан да бұл әдіс 2x2- өлшемді блокты матрицаларды көбейту үшін де қолданылады.
Сонымен, n өлшемді есеп дәл осындай жеті   n2   өлшемді есепке келтіріледі. Бұл 7 есепті құру үшін және осы 7 есепті шешкеннен кейін қорытынды нәтижені алу үшін n2 ретті блоктарды 18 рет қосу қажет. 
Көрсетілген рекурсияны аяғына дейін <<бұрмаласақ>>,  соңғы кезеңде 7log2n=nlog27 көбейтуді аламыз. Барлық кезеңдегі қосудың жалпы саны 


құрайды. (мұнда 4L=n2 және  7L=nlog27 екендігін ескеру қажет).
Қазіргі кезде Штрассен әдісінен де аса жылдам әдістер ойлап табылған. 

                                ДӘРІС 3,4
ЕРЕКШЕ ЕМЕС ДИАГОНАЛЬДЫҚ, ҮШБҰРЫШТЫ МАТРИЦАЛАР ГРУППАСЫ
   3.1	Бейнелеулер, функциялар, операторлар.
Бейнелеу, функция, оператор сөздерінің бәрінің мағынасы бір  -  яғни X жиынының әрбір x элементіне оған бірмәнді анықталған Y жиынына тиісті y=f(x) элементі сәйкес қойылады.  Бұл ереженің берілуі f  бейнелеудің (функцияның, оператордың) графигі деп аталатын 
Г=x,fx:xϵX⊂XxY
ішкі жиынын таңдап алуға тепе-тең. 
y=f(x) элементі x элементінің бейнесі деп, ал x  -  y элементінің f бейнелеуіндегі түп бейнесі деп аталады. f  -  X-ті Y-ке  бейнелейді дегенді былай жазады: f:X-->Y .
f(X)≡y:y=fx  қандай да бір xϵX  үшін жиыны f бейнелеуінің бейнесі (мәндер жиыны) деп аталады. 
Егер M⊂Y болса, онда f-1(M)≡x: fxϵM жиыны M жиынынң толық түп бейнесі деп аталады. Егер M=yболса, онда f-1(y)=f-1(M). 
f:X-->Y бейнелеуі қайтымды деп аталады, егер fgy=y,   ∀y∈Y және gfx=x,   ∀x∈X болатындай g:Y-->X бейнелеуі бар болатын болса. Сонымен қатар, g-ді f-ке кері бейнелеу деп атайды және оны g=f-1 деп жазады. 
Егер кез келген y∈Y үшін f-1(y) толық түп бейне тек бір ғана элементтен құралса, онда f бейнелеуі өзара  -  бірмәнді деп аталады.
                    2.2	Алгебралық амалдар
f:XxX-->X бейнелеуі X-қа алгебралық амал деп аталады. Айталық мұндай амалды белгілеу үшін * символы қолданылсын. Онда c=a*b жазбасы (a,b)∈XxX және c=fa,bдегенді білдіреді. 
Егер M⊂XxX құр емес ішкі жиында  f:M-->X бейнелеуі берілсе, онда f -ті  X-ке бөліктей алгебралық амалдар деп аталады. Дербес жағдайда мұндай амалдарға матрицаларды барлық матрицалар жиынына көбейту амалы жатады. 
         2.3	Ассоциативтілік және жақшалар
Егер кез келген  a,b,с∈X үшін ab және bс көбейтінділерінің бар болуынан abс,  (ab)с көбейтінділері және abс=(ab)с теңдігінің бар болатындығы шығатын болса, онда X-ке бөліктей алгебралық амалдар ассоциативті деп аталады. Бұл жағдайда жақшаларды алып тастап, былай жазуға болады: abс≡abс=(ab)с.
Теорема. Айталық X- та ассоциативті бөліктей алгебралық амалдар берілсін және кез келген  (x1,...,xn)∈X элементтері үшін x1x2,x2x3,...,xn-1xn көбейтінділері бар болсын. Онда 
x=x1x2...xn
элементін анықтайтын жақшалардың қойылуы бар болады, сонымен қатар жақшаларды кез келген етіп қойған жағдайда сол бір ғана x элементін береді. 
Дәлелдеуі. n бойынша индукцияны қолданайық. Алдымен x-ті анықтайтын қандай да бір жақшаның қойылуының бар болатындығын дәлелдейік. Индуктивті ұйғарым бойынша, (x1...xn-2)xn-1 көбейтінді бар болады. теореманың шарты бойынша, сондай-ақ, xn-1xn көбейтіндісі де бар болады. Осылайша, a=x1...xn-2,  b=xn-1,  с=xn элементтеріне қатысты ассоциативтіліктің анықтамасын қолдануға болады. 
Айталық a  және  b элементтері жақшалар әр түрлі қойылған жағдайда алынсын. Сонда да мынаны аламыз:
                                       
Айталық kj болғанда aij=0 болса. Егер барлық 1<=i<=n үшін aii!=0 болса, онда үшбұрышты матрица ерекше емес деп аталады.
Элементтері нақты сандар болатын және матрицаларды көбейту амалы анықталған  ерекше емес төменгі (жоғары) үшбұрышты матрицалар группа (коммутативті емес) болып табылады.
                        2.8	Ішкі группалар
H⊂G ішкі жиыны G группасының ішкі группасы деп аталады, егер ол G-да әрекет ететін амалға қатысты группа болып табылса. Ол үшін 
* Кез келген a,b∈H элементтері үшін ab∈H;
* Кез келген a∈H элементі үшін a-1∈H болуы қажетті және жеткілікті. 
Мысалы, ерекше емес диагональды матрицалардың группасы nx n өлшемді ерекше емес төменгі (жоғары) үшбұрышты матрицалар группасының ішкі группасы болады.
                                ДӘРІС 5,6
          СЫЗЫҚТЫҚ ТӘУЕЛДІЛІК ИНДИКАТОРЫ
a1,...,an∈Rn векторлар жүйесін қарастырайық және сызықтық тәуелділік индикаторын құрайық, яғни берілген жүйе сызықты тәуелді болса, онда  fa1,...,an функциясы нөлге тең болады. Сонымен қатар, айталық  f функциясы әрбір аргумент бойынша қалған аргументтердің бекітілген мәнінде сызықты болсын. 
f функциясына қойылатын негізгі талаптарды қарастырйық:
(А) кез келген 1<=i<=n үшін функция i -ші аргумент бойынша сызықты (функция <<қарапайым түрге>> ие болу керек): 

кез келген a,b∈Rn векторлары және α,β∈R сандары үшін;
(В) егер a1,...,an векторлар жүйесі сызықты тәуелді болса, онда fa1,...,an=0 болады;
(С) функция берілген сызықты тәуелсіз  жүйеде берілген нөлдік емес мән қабылдайды (қалыптылық шарты):
fe1,...,en=1
мұндағы e1,...,en - nx n өлшемді бірлік матрицаның бағаны. 
Жоғарыдағы қасиеттерді қанағаттандыратын f функциясын сызықтық тәуелділік индикаторы деп атайды. Оны құру үшін біз ауыстыру түсінігін еңгізейік.
               3.2	Ауыстыру және алмастыру
σ:N-->N, мұндағы N=1,...,n ,  қайтымды бейнелеуі n дәрежелі ауыстыру (кейде сондай-ақ алмастыру)  деп аталады.  σ ауыстыруын бегілеу үшін көбінесе
                              σ=1...nσ1...σ(n)
кестесі қолданылады, мұнда σ1,σ2,...,σ(n) сандары 1,...,n сандарының ауыстыруын құрады (бұл σ бейнелеуінің қайтымдылығымен пара-пар). 
a және b ауыстыруының көбейтіндісін  b және a бейнелеулерінің тізбектей орындалуымен (композициямен) алынатын бейнелеу ретінде анықтайық:
abi=abi,   i∈N.
Бұл барлық n дәрежелі ауыстырулар жиынындағы алгебралық амал болып табылады, осыған қатысты ол группа құрайды. Ассоциативтілігі айқын (бейнелеудің композициясы бұл қасиетке  әрқашанда ие болады). Мұнда бірлік элементтің рөлін
e=1...n1...n
теңбе-тең бейнелеуі атқарады, ал σ элементіне кері элемент σ-1 кері бейнелеуі болады.
n дәрежелі ауыстырулар группасы n дәрежелі симметриялық группа деп аталады және Sn деп белгіленеді. Бұл ақырлы группалардың (элементтер саны ақырлы болатын группалар; сонымен қатар элементтер саны группаның реті деп аталады) ең маңызды мысалдарының бірі. Sn группасының реті n!=1∙2∙...∙n тең болады. 
Симметриялық группа түсінігі симметриялық функциялар түсінігінің анықтамасынан шыққан. Симметриялық функция деп өзінің аргументінің кез келген ауыстыруына қатысты инвариантты болатын Fx1,...,xn функциясын айтады: 
Fx1,...,xn=Fxσ1,...,xσn      ∀σ∈Sn.
Симметриялық функцияға мысалы мынадай (k сандық параметрімен анықталатын) функция жатады:
Fkx1,...,xn=i=1nxki.
3.3	Циклдар және транспозициялар (орын ауыстырулар)
Егер
* ai1=i2,  ai2=i3, ..., aik-1=ik,  aik=i1.
* ai=i,  ∀i∈N∖i1,...,ik
болатындай k қос-қостан әр түрлі  i1,...,ik∈N нөмірлері бар болса, онда  a∈Sn ауыстыруы ұзындығы k-ға тең цикл деп аталады.
a циклын a=i1,...,ik деп белгілейді. Ұзындығы 2-ге тең цикл транспозиция (орын ауыстыру) деп аталады.
a=i1,...,ik және b=j1,...,jm циклдары тәуелсіз деп аталады, егер i1,...,ik⋂j1,...,jm=∅ болса. 
Қасиеттері. 
* Кез келген тәуелсіз a және b циклдары коммутативті: ab=ba;
*  Кез келген σ∈Sn ауыстыруы  тәуелсіз циклдардың көбейтіндісі түріне көбейткіштердің ретіне дейінгі дәлдікпен бірмәнді келтірімді. 
*  Ұзындығы k-ға тең кез келген  цикл k-1 транспозиция түріне келтірімді.
* Кез келген ауыстыру транспозициялардың көбейтіндісі түріне келтірімді. 
Дәлелдеу. (1) тұжырымды дәлелдеу үшін  a=i1,...,ik және                       b=j1,...,jm тәуелсіз циклдар жағдайында мынаны табамыз:
                 abi=bai=ai,   i∈i1,...,ik болғанда,
                 abi=bai=bi,   i∈j1,...,jm болғанда,
           abi=bai=i,   i∉i1,...,ik⋃ j1,...,jm болғанда.
(2)-ні дәлелдеу үшін кез келген j нөмірін алып, j, σj,σ2j,... нөмірлер тізбегін қарастырайық. Тек қана n әр түрлі мәндер бар,  сондықтан да қандай да бір  kσ1j1-->σ12j1-->...
түріндегі түрлендіру орындалатын b циклын құрамыз. Осылай жалғастыра берсек, нәтижесінде мынадай теңбе-тең ауыстыруға келеміз:
σa-1b-1...с-1=е,
бұдан
σ=с...ba.
a,b,...,с циклдары құрылуы бойынша тәуелсіз.
(3)-ші тұжырым тексеру арқылы дәлелденеді, мысалы
                       i1,...,ik=i1,i2i2,i3... ik-1,ik.
(4)-ші тұжырым (2) мен (3)-тен  шығады.
                   3.4	Ауыстырудың жұптығы
Ауыстыру транспозиияның көбейтіндісіне әр түрлі әдіспен жіктелінуі мүмкін. Мысалы, 
                                       
Алайда, бір ауыстырудың кез келген жіктеуіндегі транспозиция саны төмендегі маңызды қасиетке ие болады.
Лемма (транспозиция саны жайлы). Транспозиция санының жұптығы ауыстырудың транспозицияның көбейтіндісі түрінде  берілу әдісіне тәуелді емес. 
Дәлелдеуі.  Берілген
                         σ=1...nσ1...σ(n),  σ∈Sn
ауыстыруы үшін i,j жұбын инверсия деп атаймыз, егер iσj болатын болса. Айталық δσ  -  σ үшін инверсияның жалпы саны болсын. Кез келген τ транспозициясы үшін δστ-δσ айырымы тақ сан болатындығын дәлелдейік. Айталық τ=i,j, iσi сәйкестігінің көрсетілуімен анықталатындықтан, бұл кестедегі бағандардың ретінің еш маңызы жоқ. Басқаша айтар болсақ, кез келген PI∈Sn ауыстыруы үшін 
σ=PI1...PInσPI1...σPI(n)
кестесі дәл сол  ауыстыруды бірмәнді анықтайды: σ=σ. 
Сонымен қатар, σ үшін инверсия санының жұптылығы  PI және σPI ауыстырулары үшін инверсия санының қосындысының жұптылығымен сәйкес келеді (себебі σPI көбейтіндісі үшін  инверсия санының жұптылығы σ және PI үшін инверсия санының қосындысының жұптылығымен сәйкес келгендігінен). Бұдан, егер ауыстыру 
s1...snt1...tn,       s,t∈Sn
Кестесі түрінде берілсе, онда оның таңбасы s және t ауыстыруларының таңбаларының көбейтіндісіне тең болады.
* Ауыстырулар жиынын ішкі жиындарға бөліктеу
Айталық J=j1,...,jk  -  бекітілген нөмірлер жүйесі және j1',...,jm'  - қосымша нөмірлер жүйесі болсын.  Демек, m=n-k. i1',...,im' қосымша нөмірлер жүйесі бар кез келген  I=i1,...,ik∈Nk нөмірлер жүйесін алайық және төмендегідей n дәрежелі ауыстыруларды қарастырамыз:

Барлық осындай бекітілген I,J ауыстырулар жиынын 
                    Sn(I,J)=σI,JPI,τ: PI∈Sk,  τ∈Sm 
деп белгілейік. Кез келген I=i1,...,ik∈Nk нөмірлер жүйесіне 
νI=i1+...+ik
санын сәйкес қояйық. 
Лемма 1. Бекітілген J  жүйесінде Sn(I,J) ішкі жиыны әр түрлі  I∈Nk  үшін қиылыспайды және олардың бірігуі  барлық n дәрежелі ауыстырулар жиынын береді. Егер σ=σI,J(PI,τ)∈Sn(I,J)  болса, онда 
sgn σI,J(PI,τ)=sgn (PI)sgn(τ)(-1)νI+ν(J)
болады.
Лаплас теоремасы.  Айталық А  -  n өлшемді квадрат матрица болсын. J∈Nk деп алып, кез келген k бағандардың жүйесін бекітейік. Онда А матрицасының анықтауышын есептеу бекітілген k бағанның минорын және оның қосымша минорын есептеуге әкеледі:
detA=J∈NkdetA(I,J)detA(I',J')(-1)νI+ν(J)
Дәлелдеуі. 1-лемманың негізінде мынаны аламыз:

                                       
Бірінші және екінші жақша сәйкесінше detA(I,J) және detA(I',J') береді. 
(detA(I',J')(-1)νI+ν(J) шамасын detA(I,J) минорының алгебралық толықтауышы деп атайды. Осылайша, Лаплас теоремасы былай тұжырымдалады, кез келген бағандар жүйесін таңдап алғанда матрицаның анықтауышы, берілген бағандарда орналасқан барлық мүмкін минорлардың, олардың алгебралық толықтауышына көбейтілген қосындысына тең. 
detA=detAТ  болғандықтан, онда Лаплас теоремасын былай да тұжырымдауға болады: кез келген жолдар жүйесін таңдап алғанда матрицаның анықтауышы, берілген жолда орналасқан, барлық мүмкін минорлардың, олардың алгебралық толықтауышына көбейтілген қосындысына тең.
     * Блокты-үшбұрышты матрица анықтауышы
n ретті блокты-үшбұрышты матрицаны қарастырайық:
                                       
Алғашқы k бағанның (немесе жолдың)  жүйесі үшін Лаплас теоремасының қолданылуы келесі маңызды формуланы береді:
detA=detPdetQ.
                                       
                               ДӘРІС 9, 10
                        СКЕЛЕТТІК ЖІКТЕУ
   * Айнымалыларды ажырату және матрицалар
Екі айнымалының функциясын оқыған кезде айнымалысы ажыратылған fx,y=uxvy
функциясының немесе мынадай функциялардың қосындысы түріндегі
fx,y=u1xv1y+...+urxvry
айнымалысы ажыратылған функциялардың маңызы зор. 
Айталық mx n өлшемді матрица берілсін. Оның aij элементтерін i∈1,...,m,  j∈1,...,n дискретті айнымалыларынан алынған функция ретінде қарастыруға болады.  Бұл жағдайда айнымалыларды ажырату дегеніміз,  aij=uivj,       1<=i<= m,  1<=j<=n  білдіреді.
Бұдан A жол мен бағанның көбейтіндісі болатындығы шығады:
                   A=uvТ,         u=u1...un,    v=v1...vn .
                       * Скелеттік жіктеу
	Айталық, aij=ui1vj1+...+uirvjr,       1<=i<= m,  1<=j<=n   болсын. Бұл жерде A  -  <<бағанды жолға>> түріндегі r матрицалардың қосындысы:
A=k=1rukvkТ,   uk=u1k...umk,    vk=v1k...vnk .
Ал бұл екі матрицаның көбейтіндісі түріндегі теңдікті береді:
A=UVT=u11...u1r.........um1...umrv11...un1.........v1r...unr,
                    U=u1,...,ur,     V=v1,...,vr                              (*)
бұны A матрицасының скелеттік жіктелуі деп атайды. Яғни  A матрицасының әрбір бағаны U матрицасының бағанының сызықты комбинациясын, ал A матрицасының әрбір жолы VT матрицасының жолының сызықты комбинациясын құрайды дегенді білдірерді. Бұдан келесі теорема шығады.
Теорема. A матрицасының бағанына созылған сызықты қабықшаның өлшемі оның жолына созылған сызықтық қабықшаның өлшемімен сәйкес келеді:
dimLa1,...,an=dimLa1,...,am,      A=a1,...,an=a1T...amT.
             * Матрицаны скелеттік жіктеу
	Анықтама 1. Айталық A∈Сmx n ,      rank A=r>0 болсын.  A матрицасының скелеттік жіктелуі деп
                                    A=ВС                                                                  (1)
көрінісін айтады, мұндағы В∈Сmx r ,  С∈Сrxn  . 
Лемма 1. (1) скелеттік жіктеуде 
                                   rank В=rank С=rank A=r                            (2)
болады.
Дәлелдеуі. Расында да сызықты алгебрадан білетініміздей, екі матрицаның көбейтіндісінің рангы көбейткіштердің рангынан артпайды. Сондықтан да,
                r=rank A=rank ВС<=minrank В, rank C .                  (3)
Алайда, rank В<=r,    rank С<=r болады, себебі r  -  В  және С матрицаларының өлшемдерінің бірі болып табылады. Бұдан (3)-тен (2) шығады. 
Лемма 2. Кез келген A∈Сmx n  матрицасы үшін скелеттік жіктеу бар болады. 
Дәлелдеуі. (1) жіктеуді алу үшін В=b1,..., br матрцасының бағаны ретінде A матрицасының  кез келген r сызықты  - тәуелсіз бағанын, немесе A матрицасының  бағаны өрнектелетін  кез келген  r сызықты  - тәуелсіз бағанды алу жеткілікті болып табылады. Онда A матрицасының  кез келген aj, j=1,...,n    j  - шы бағаны коэффициенттері с1j,...,сrj болатын В матрицасының бағандарының сызықтық комбинациясын құрайды. Осы коэффициенттер С матрицасының  j  - шы бағанын 
сj=с1j...сrj
құрайды:  
aj=Всj,    j=1,...,n  ⇔ A=ВС.
Ескерту.  Егер A∈Сmx n  матрицасы баған бойынша толық рангы болса (rank A=n) (немесе жол бойынша толық рангы болса: (rank A=m), онда В матрицасы ретінде A матрицасының өзін (Em матрицасын) алу, ал С матрицасы ретінде En матрицасын (A матрицасын) алу ыңғайлы. 
Мысалы 1. (Скелеттік жіктеу).
                                       
матрицасын қарастырайық, оның рангы rank A=2 және бұның (1) түріндегі скелеттік жіктеуін құрайық. (1) сәйкес В матрицасының өлшемі 3x 2 , ал  С матрицасының  өлшемі 2x4 болады. A, В, С  матрицаларының бағанын сәйкесінше былай белгілейік:
                                       
В=b1,b2 матрицасын A матрицасының алғашқы екі сызықты-тәуелсіз бағанынан құрауға болады: 
                                       
С матрицасын табайық. Ол үшін ВС=A теңдеуін С-ға қатысты шешейік:
                                       
Нәтижесінде мынаны аламыз:
                                       
Сонымен A матрицасы үшін мынадай скелеттік жіктеу аламыз
                                       
Ескере кететін бір жайт, В матрицасы A матрицасының алғашқы екі бағанынан құралғандықтан, онда С матрицасының  алғашқы екі бағаны бірлік болады: 
                                       
Лемма 3.  A матрицасының скелеттік жіктелуі жалғыз емес.
Дәлелдеуі.  Егер В және С  матрицаларының орнына
B1=BS,    C1=S-1C
деп алсақ, мұндағы S - кез келген rxr өлшемді ерекше емес матрица, онда A=B1C1  - (1) түріндегі көрініс секілді болады. 
Лемма 4.  Егер В және С  - (1) скелеттік жіктеудің компоненттері болса, онда В*В және СС* матрицалары  -  ерекше емес болады. 
Дәлелдеуі. Айталық x - 
В*Вx=0                                                    (4)
теңдеуінің кез келген шешімі болсын. Ол тек нөлдік болатындығын көрсетейік.  (4) теңдеудің сол жағын x* көбейтейік:

ал бұл мынаған тепе  -  тең: 
Вx=0                                                            (5)
1-лемманың негізінде (5)  -  бұл матрицасы баған бойынша толық рангқа ие болатын біртекті жүйе, сондықтан да (5)-тен 
x=0
болатындығы шығады. 
(4)-шінің тек x=0 нөлдік шешімі ғана болғандықтан, det В*В!=0 болатындығы шығады. С*С ерекше емес болатындығы дәл осылай дәлелденеді. 
* Псевдокері Мур  -  Пенроуз  матрицасының бар болуы және жалғыздығы
      AХA=A                                                          (6)
матрицалық теңдеуді қарастырайық. 
Егер A ерекше емес квадрат матрица болса, онда бұл теңдеудің жалғыз шешімі болады:  Х=A-1.  Егер де A кез келген  mx n-өлшемді  тікбұрышты матрица болса, онда ізделінді Х шешімінің өлшемі nxm  болады, алайда бірмәнді анықталмайды. Жалпы жағдайда (6) теңдеудің  шектеусіз шешімдер жиыны болады. 
Анықтама 2. A+∈Сnxm матрицасы псевдокері немесе A∈Сmx n матрицасы үшін Мур-Пенроуздың жалпыланған кері матрицасы деп аталады, егер төмендегі шарттар орындалса:
          AA+A=A                                                 (7)
                                   A+=UA*=A*V                                      (8)
Мұндағы U∈Сnxn, V∈Сmxm -қандай да бір матрицалар. 
(8) шарт A+ матрицасының жолы (бағаны) A* матрицаның жолының (бағанының) сызықты комбинациясы болатындығын білдіреді. 
Лемма 5. Кез келген A∈Сmx n матрицасы үшін келесі теңдік орындалады:
                               tr AA*=tr A*A=i=1mj=1naij2                            (9)
Дәлелдеуі. Біріншіден, A*=AТ  болғандықтан, онда матрицаларды көбейту ережесі бойынша AA* мен A*A матрицаларының диагональдық элементтері тең болатындығын оңай тексеруге болады. 
                                     (10)
Онда матрицаның ізінің анықтамасынан (10) ескеріп мынаны аламыз:
                                       
Бұдан (9) дұрыс болатындығы шығады. 
Салдар 1. A∈Сmx n матрицасы үшін кез келген AA*=0 немесе  A*A=0 теңдіктерінен  A=0 болатындығы шығады.
Теорема 1. Кез келген  A матрицасы үшін Мур  -  Пенроуздың псевдокері матрицасы бар, жалғыз болады және келесі формуламен өрнектеледі:
            A+=С+В+=С*СС*-1(В*В)-1В*                  (12)
мұндағы В және С - A  матрицасының (1) скелеттік жіктелуінің компоненттері. 
Дәлелдеуі. A+ матрицасының бар болуын дәлелдейік. Егер A=0 болса, онда A+=0 деп қояйық. Айталық, A!=0 болсын. (1) жіктеуді қарастырайық және алдымен  В+, С+ іздейік. Псевдокері матрицаның анықтамасынан мынаны аламыз:
                   ВВ+В=В,  В+=UВ*   ⇒ ВUВ*В=В.
Соңғы теңдікті сол жағынан В* -ға көбейтіп, мынаны аламыз:
                                       
Енді соңғы теңдікті оң жағынан В* -ға көбейтіп, мынаны аламыз:
В+=В*В-1В*.
Дәл осылай 
С+=С*СС*-1
аламыз. 
(12) матрицаны қарастырайық және ол (7), (8) шарттарды қанағаттандыратындығын көрсетейік, яғни псевдокері болатыдығын.
Белгілеу енгізейік:
К=СС*-1В*В-1
Онда (1) және (12) қолданып мынаны аламыз:
                                       
Мұндағы  
                   U=С*КСС*-1С,      V= ВВ*В-1КВ*.
Енді берілген A матрицасы үшін екі әртүрлі A1+ және A2+ псевдокері матрицаның болмайтындығын дәлелдейік. Расында да:
               AA1+A=AA2+A=A,  A1+=U1A*=A*V1,      A2+=U2A*=A*V2
бұдан 
                 A(A1+-A2+)A=0,  (A1+-A2+)=(U1-U2)A*=A*V1-V2.
Белгілеу еңгізейік
       D=A1+-A2+,  U=U1-U2,     V=V1-V2                             (13)
Онда келесі теңдіктер орындалады:
                              ADA=0,  D=UA*=A*V.
Ал бұдан 
DA*DA=A*D*DA=A*V*ADA=0,
бұл (13) сәйкес мынаған тепе  -  тең
                                   A1+=A2+.
Осылайша, псевдокері матрицаның жалғыз болатындығы, және 1-теорема да дәлелденді.
1-теорема A+ псевдокері матрицаны  A матрицасын скелеттік жіктеу бойынша есептеу әдісін береді. 
Мысалы 2. (Псевдокері матрица). 1-мысалдағы  A матрицасы  үшін оның 1-мысалда қолданылған скелеттік жіктеуін және (12) қолданып, A+ псевдокері матрицасын табайық.
                                       
Біз әрбір A матрицасы  үшін жалғыз ғана Мур-Пенроуздың псевдокері матрицасы болатындығын дәлелдедік, және де егер A матрицасы  өзінің (1) скелеттік жіктелуімен берілсе , онда A+ (6) түрге ие болады.
A+ матрицасының кейбір қасиеттерін қарастырайық:
Теорема 2. (Мур-Пенроуздың  псевдокері матрицасының қасиеттері). Келесі қасиеттер орынды:
* A+*=A*+
* A++=A
* AA+*=АА+, яғни АА+  матрицасы  -  эрмитті.
* A+A*=А+А, яғни А+А  матрицасы  -  эрмитті.
* A+АA+=А+.
* А, A+, АA+ және A+А матрицалардың рангтары бірдей болады.
* A+=A*AA*-1 болады, егер A жол бойынша толық рангқа ие болса.
* A+=A*A-1A* болады, егер A баған бойынша толық рангқа ие болса.
* A=0 ⇔ A+=0 .

                               ДӘРІС 11, 12
Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу үшін Мур  - Пенроуздың матрицасын қолдану
Мур  -  Пенроуз түрлендіруінің ең негізгі қасиеттерінің бірі бұл сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің нақты шешімін табу мүмкіндігі болып табылады. 
Теорема 1.   
        Ax=0                                                        (1)
біртекті жүйенің жалпы шешімі 
             x=Е-A+Aq                                         (2)
теңдігімен беріледі, мұндағы q - белгілі өлшемді кез келген вектор.
Дәлелдеу. Біріншіден, кез келген q векторы үшін
                  AЕ-A+Aq=Aq-AA+Aq==Aq-Aq=0              (3)
теңдігі орынды. Бұл x - (1) жүйенің шешімі дегенді  білдіреді. Екіншіден, (1) жүйенің кез келген x шешімі үшін q векторы табылады, мұнда x (2) түрге ие болады. Расында да,  q=x деп қоюға болады, себебі 
                Е-A+Ax=x-A+Ax==x                          (4)
Осымен дәлелдеу аяқталды. 
Салдар 1.  (1) жүйенің шешімі жалғыз болады сонда тек сонда ғана, егер A матрицасы баған бойынша толық рангқа ие болса.
Дәлелдеу. Расында да, бұл жағдайда алдыңғы дәрістегі 8-қасиет бойынша A+A=Е және (2)-ден x=0 болатындығы шығады.
Мысал 1. (сызықтық алгебралық біртекті теңдеулерді шешу).  
                                       
матрицасы бар Ax=0 теңдеуінің шешімін табайық. Шешімді (2) түрінде құрамыз.  Алдыңғы дәрісте псевдокері матрицаны табу мысалында анықталған A+ матрицасын қолданайық. Сонда мынаны аламыз:
                                       
мұндағы q1,q2,q3,q4 - кез келген парметрлер.
Енді 
        Ax=b                                                       (5)
біртексіз жүйесін қарастырайық. 
Теорема 2. Айталық mx n өлшемді A матрицасы және m өлшемді b векторы берілсін. Келесі тұжырымдар эквивалентті:
* Ax=b векторлық теңдеуінің x шешімі бар болады,
* Rang A,b≡rang [A]
* AA+b=b.
Дәлелдеу. 1) мен 2) тұжырымның эквиваленттілігі бұл Кронекер  - Капелли теоремасының тұжырымына сәйкес келеді. 1) мен 3) тұжырымның эквиваленттілігін дәлелдейік. Айталық  Ax=b теңдеуі үйлесімді болсын делік.  Бұл дегеніміз Ax=b болатындай x векторы бар болады. Бұдан 
                                       
Яғни 3) дұрыс.  Айталық енді AA+b=b болсын. x=A+b деп алайық. Онда 
                                  Ax=AA+b=b.
Теорема 3. (5) векторлық теңдеудің шешім бар болу үшін 
                     AA+b=b                            (6)
болуы қажетті және жеткілікті. Бұл жағдайда жалпы шешім 
                       x=A+b+Е-A+Aq                (7)
түрінде берілуі мүмкін, мұндағы q - белгілі өлшемді кез келген вектор. 
Дәлелдеу. (6) теңдіктің орындалуының қажеттілігі мен жеткіліктілігі 2-теоремадан шығады. Енді жалпы шешімі (7) теңдікпен берілетіндігін көрсетейік. (7) теңдік орындалсын делік және 
                               x0=x-A+b                                                            (8)
векторын анықтайық. 
Онда келесі тепе-теңдіктер тізбегі орындалады:
                                       
1-теореманың негізінде 
x0=Е-A+Aq
теңдігі орындалады, ал бұл (8) ескеретін болсақ 
x=A+b+Е-A+Aq
теңдігіне эквивалентті. 
(7) теңдіктің бірінші қосылғышы (5) біртексіз  теңдеудің дербес шешімі, ал екінші қосылғышы (1) біртекті теңдеудің жалпы шешімі болады. 
Мысал 2. (біртексіз теңдеудің жалпы шешімі). Келесі біртексіз теңдеудің жалпы шешімін табайық:
                                                        (9)
Алдымен (9) теңдеудің үйлесімділігін тексерейік. Ол үшін 3-теоремадағы (6) шартты қолданайық. Алдыңғы дәрісте псевдокері матрицаны табу мысалында анықталған нәтижені пайдаланайық, сонда мынаны аламыз:
                                       
Демек (9) жүйе үйлесімді. Оның шешімін (7) түрінде құрайық. (7)  - ң бірінші қосылғышын табайық:
                                       
(7)-ң екінші қосылғышы бұл зерттеліп отырған біртексіз жүйеге сәйкес келетін біртекті жүйенің жалпы шешімі болады. онда біртексіз жүйенің жалпы шешімі келесі түрге ие болады:
                                       
мұндағы q1,q2,q3,q4 - кез келген парметрлер. 
(5)-ші жүйе кез келген b үшін үйлесімді болады, егер A матрицасы жол бойынша  толық рангке ие болса. Егер жүйе үйлесімді болса, онда оның шешімі жалғыз болады, егер A матрицасы баған бойынша толық ранке ие болса. Егер A матрицасы жол бойынша толық ранке және баған бойынша толық рангке ие болса, онда ол ерекше емес матрица болады және бұл жағдайда жалғыз ғана A-1b шешімі бар. 
Сызықтық теңдеулер жүйесінің қалыпты псевдошешімі
Векторлық түрде берілген сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін қарастырайық:
      Ax=b                                                          (10)
Анықтама 1. r=b-Ax векторы x векторының байламсыздық векторы деп аталады.
Байламсыздықтың r ұзындығы x векторы жүйенің шешіміне қаншалықты жақын болатындығын сипаттайды. Егер x жүйенің шешімі болса, онда байламсыздық нөлге тең. Егер жүйе үйлесімсіз болса, онда байламсыздық әр уақытта нөлдік емес болады. Бұл жағдайда мынадай есепті қоюға болады: r2=b-Ax02 шамасы ең кіші мән қабылдайтындай x0 векторын табу керек. Мұндай ұсынысты (подход) еің кіші квадраттар әдісі деп атайды. 
Анықтама 2. Байламсыздық ұзындығы минималды болатын x0 векторы (10) жүйенің псевдошешімі деп аталады. Минималды ұзындықты псевдошешімді (10) жүйенің қалыпты псевдошешімі деп атайды. 
Басқаша айтқанда, (10) жүйенің x0 қалыпты псевдошешімі, байламсыздықтың ұзындығын минимумға әкелетін барлық векторлардың арасында ең кіші ұзындыққа ие болатыны. 
Теорема 4. (10) жүйенің псевдошешімі әрқашанда бар болады және ол жалғыз, сонымен қатар ол келесі формуламен анықталады:
                                    x0=A+b.
Дәлелдеу. Кез келген x бағанын қарастырайық және b-Ax айырымын келесі түрде келтірейік:
                                       
мұндағы 
                                       
Онда 
                                                     (11)
Мұндағы x-   векторының евклид ұзындығы. Алайда, 
                                                        (12)
9-дәрістегі (1) скелеттік жіктеуден және (12) псевдокері матрицаның негізінде мынаны аламыз:
                                       
Сондықтан да (12)  - ден 
                                       
Алайда, онда 
                                       
Сондықтан да (11) теңдіктен мынаны аламыз:
                                                               (13)
Бұдан кез келген x үшін 
                                       
Ендеше x0 - (10) жүйенің псевдошешімі болады. 
Псевдошешім қалыпты болатындығын дәлелдейік. Айталық x 
                                       
болатындай болсын. Онда (13) теңдікке сәйкес 
                                     (14)
Басқа жағынан 
                                                     (15)
Енді A+=A*V екнін ескерсек (14) негізінде мынаны аламыз:
                                       
Бірақ онда 
                                       
Сондықтан да (15) теңдіктен мынаны аламыз:
                                       
Ендеше бұдан 
                                       
сонымен қатар, теңдік  z=θ болғанда ғана орындалады, яғни x=x0, мұндағы x0=A+b. 
Мысал  3. (Қалыпты псевдошешім). 
                                                     (16)
теңдеудің қалыпты шешімін және оның байламсыздығының ұзындығын табу керек.
Алдымен (16) теңдеудің үйлесімділігін  тексерейік. Ол үшін 3-теоремадағы (6) шартты қолданайық. Алдыңғы дәрісте псевдокері матрицаны табу мысалында анықталған нәтижені пайдаланайық, сонда мынаны аламыз:
                                       
Демек (16) жүйе үйлесімсіз. 
Енді (16) жүйенің қалыпты псевдошешімін табайық. 4-теоремаға сәйкес мынаны аламыз:
                                       
(16) үйлесімсіз жүйенің минималды байламсыздығының r2=b-Ax02 ұзындығы мынаған тең
                                       
және осындай байламсыздық шамасын беретін x векторларының арасында x0 векторының ұзындығы минималды және ол мынаған тең:
                                       



                               Дәріс 13,14
                    Матрицалық теңдеулер
                 * AX=XB түріндегі теңдеулер
          AX=XB                                                  (1)
 түріндегі матрицалық теңдеуді қарастырайық, мұндағы A, B берілген квадрат матрицалар (әр түрлі өлшемді), X  -  ізделінді тік бұрышты матрица:              A∈Сmxm,  B∈Сnxn,  X∈Сmxn.
С өрісінде А матрицасының элементар бөлгіштерін:
                                       
және осы өрісте В матрицасының элементар бөлгіштерін  қарастырайық:
                                       
A, B деп A және  B матрицаларының қалыпты Жордан формасын, ал U және V деп сәйкес көшу матрицаларын белгілейік:
          A=UAU-1,  B=VBV-1                                      (2)
Онда 
                                       
Мұнда 
                                       
-А матрицасының  Жордан торы;
                                       
-бірлік матрица;

                                                     (3)
- l-ші ретті нильпотентті Жордан торы. 
(1)	теңдіктегі A және  B матрицаларының орнына (2) өрнекті қойсақ, мынаны аламыз:
                            UAU-1Х=ХVBV-1                                       (4)
(4)-ші теңдіктің екі жағында сол  жағынан U-1-ге, ал оң жағынан V-ға көбейтейік:
             AU-1ХV=U-1ХVBV-1                                (5)
Жаңа белгілеулер еңгізіп:
        X≜U-1ХV, X∈Сmxn                                      (6)
(5)-ші теңдеуді былай жазайық:
                                                                   (7)
Егер біз (7) теңдеуді X-қа қатысты шеше алатын болсақ, онда (1) теңдеудің де шешімі X-ке қатысты оңай табылады, себебі (6)-дан 
                                                                         (8)
болатындығы шығады.
Ізделінді X матрицасының құрылымын зерттейік. A және  B матрицаларының блокты  -  диагоналды түріне сәйкес X матрицасы блоктарға бөлінеді:
                                       
мұндағы    
Блокты-диагональды матрицаларға көбейту ережесін қолданып, (7) көбейтуді орындайық:

ал бұл мынаған тепе-тең:
                                      (9)
(9) теңдеудің әр қайсысы үшін төмендегі екі жағдайдың бірі орындалуы мүмкін. 
                                     1.  
Теңдіктің екі жағын  көбейтіп және (9)-ға сәйкес  -ны  -мен алмастырып мынаны аламыз:
                                       
                                       .
мұндағы 
Осы амалды r-1 рет қайталап, мынаны аламыз:
                                     (10)
Мынаны ескерейік:
                                     (11)
Егер  болса, онда 
                                       
қатынастарының ең болмағанда біреуі орындалады, сондықтан да (11) теңдіктің негізінде не ,  не  және (10) теңдік мына түрге ие болады:
                                     (12)
Қарастырылып отырған жағдайда  болғандықтан, онда (11) теңдіктен 
                                     (13)
болатындығы шығады. 
* 
Бұл жағдайда (9) теңдеу мына түрге ие болады:
                                     (14)
Мұндағы  матрицалары арнайы құрылымға ие болады: яғни, бірінші диагональ астындағы элементтер бірге, ал қалғандары нөлге тең. Осыны ескере отырып,  және  мәндеріне сәйкес мынаны аламыз:
  +   Онда 
                                     (15)
Яғни теңдеудің шешімі квадрат матрица болады, оның бас диагональінің астындағы барлық элементтер нөлге, бас диагональінің элементтері  -  қандай да бір a1 параметріне, бірінші диагональ астындағы элементтер  -  қандай да бір a2 параметріне  және  т.с.с. тең болады. 
  +  Онда
                                     (16)
     2.3.     Бұл жағдайда
                                     (17)
(15)-(17)  матрицалары дұрыс жоғары үшбұрышты формаға ие болады деп атайды. Олардағы кез келген параметрлердің саны  тең. 
Мысал 1.  (Дұрыс жоғары үшбұрышты формадағы матрица). 


Сонымен, (14) теңдеудің шешімі ретінде кез келген дұрыс жоғары үшбұрышты  матрицаны аламыз. 
Мынадай белгілеу еңгізейік:
                  dαβλ=ЕҮОБ{λ-λαpα,(λ-μβ)qβ},
σαβ=degdαβλ.
Мұндағы 

Ендеше X-ғы кез келген параметрлер саны (онда X-ғы да) 
                                       
тең. 
(7) теңдеудің шешімін XAB деп белгілейік. Онда алынған нәтижені былай тұжырымдауға болады.
Теорема 1.  AX=XB     (1) , мұндағы  
A∈Сmxm,  B∈Сnxn
                               A=UAU-1,  B=VBV-1
                                       
түріндегі теңдеудің жалпы шешімі  формуласымен табылуы мүмкін. 
Мұндағы  XAB  - 
AX=XB
теңдеуінің жалпы шешімі 
                                       .
Егер  болса, онда Xαβ=0 болады, егер   болса, онда Xαβ - кез келген дұрыс жоғары үшбұрышты матрица болады.
X матрицасы N кез келген ci  параметрлеріне тәуелді:
                                       
мұндағы 
                                       

σαβ=degЕҮОБλ-λαpα,λ-μβqβ,  α=1,..., u,  β=1,...,v
Xi- X-тен алынады, егер ci  параметріне 1 мәнін , ал қалғандарына нөл мәнін берсек, онда ол (1) теңдеудің дербес шешімі болады. Нөлдік емес X шешімі үшін X1,...,XN дербес шешімдері сызықтық тәуелсіз болады және фундаментальді шешімдер жүйесін құрады. Расында да, егер бұлай болмаса, онда тривиалды емес, яғни  X матрицасының қандай да бір ci  параметрінің нөлдік емес мәнінде,  сызықтық комбинациясы бар болады, ендеше XAB нөлге тең болады, ал бұлай болу мүмкін емес. 
Салдар 1. Егер  A және  B матрицаларының меншікті мәндері бірдей болмаса, онда AX=XB     (1) теңдеудің тек нөлдік шешімдері ғана боладлы, яғни X=0.
Мысал 2. (AX=XB  теңдеуінің шешімі). 
Теңдеудің жалпы шешімін табу керек:
                                       
А матрицасы үшін жорданның қалыпты формасын және U көшу(көшіру) матрицасын табайық. Матрицаның сипаттауыш теңдеуі мынаған тең:
                                       
Ендеше, еселігі 3-ке тең жалғыз ғана λ=-1 меншікті мәні болады. 
Меншікті мәнді сипаттауыш матрицаға қояйық:
                                       
Демек, λ=-1 меншікті мәніне сәйкес келетін меншікті векторлар кеңістігінің базисін құрайтын векторлардың саны n-1=3-1=2 тең. 
λ=-1 меншікті мәніне сәйкес келетін меншікті векторлар кеңістігі мына түрге ие болады:
                                       
Меншікті векторға қосылған вектор болатындай шартты іздейік:
                                       
Бұдан, егер α=β болса, онда жүйенің шешімі болады.
α=1  деп алайық, онда меншікті вектор e1=[3,1,1] болады, ал оған қосылған вектор  ретінде v1=[1,0,0] векторын, екінші меншікті вектор ретінде v2=[-2,1,0] векторын аламыз. Осылайша жордан базисін аламыз:
e1=[3,1,1]
v2=[1,0,0]
v3=[-2,1,0]
Бұдан 
                                       
А матрицасының элементар бөлгіштер жүйесі: 
B және V табамыз:
                                       
Бұдан μ1=-1,  μ2=-4.
Демек 

Жордан базисі ретінде e1=1,1,  e2=[-2,1]  меншікті векторларын алуға болады.
В матрицасының элементар бөлгіштер жүйесі: 
                                  μ+1, μ+4,
жорданның қалыпты формасына көшу матрицасы 
                                       
XAB табайық:
                                       
бұдан, 
                                       
Енді X-ті табатын болсақ: 
                                     (18)
Шешімдер кеңістігінің базисі ретінде 
                                       
матрицаларын алуға болады.
                  AX=XA түріндегі теңдеулер
(1)-ші теңдеудің B=A болғанда  дербес жағдайын қарастырайық: 
AX=XA,  A∈Cmxm                                                (19)
(19) теңдеудің X∈Cmxm жалпы шешімін табу есебі А матрицасымен ауыстырымды  барлық матрицаларды табумен тепе  -  тең. 
1-теореманы дербес түрдегі (19) теңдеу үшін тұжырымдайық. 
Теорема 2.  AX=XA (19), мұндағы
                            A∈Cmxm,    A=UAU-1,

теңдеудің жалпы шешімі  X=UXAU-1  формуласымен табылуы мүмкін. 
Мұндағы XA  - AX=XA теңдеуінің жалпы шешімі, 
XA=Xαβ,α,β=1,...,u.
Егер λα!=λβ болса, онда Xαβ=0, егер λα=λβ болса, онда Xαβ  -  кез келген дұрыс жоғары үшбұрышты матрица. X матрицасы N кез келген параметрге тәуелді,  , мұндағы 
σαβ=degЕҮОБλ-λαpα,λ-μβqβ,  α,β=1,..., u
Мысал 3. (AX=XA теңдеуінің шешімі). A матрицасы келесі элементар бөлгіштерден тұрады:
                                       
Онда AX=XA теңдеуінің шешімі мына түрге ие болады: 
                                       
А матрицасының инвариантты көбейткіштерін қарастырайық:
                                       
Айталық, nj=degfj(λ) болсын, онда 
                                       
Әрбір тривиальды емес инвариантты көбейткіш бірнеше қос-қостан өзара жай элементар бөлгіштердің көбейтіндісі болып табылады, онда AX=XA (19) теңдеудің шешімі келесі формуламен анықталуы мүмкін:
                                       
мұндағы  εjk=degЕҮОБf1λ,fkλ=min{nj,nk} .
Бұдан мынаны аламыз:
                                       
Осылайша төмендегі теорема дәлелденді.
Теорема 3. A∈Cmxm матрицасымен ауыстырымды сызықтық тәуелсіз матрицалардың саны 
                                       
формуласымен анықталады, мұндағы f1λ,...,ftλ-  A матрицасының тұрақты емес инвариантты көбейткіші, 
Ескерту 1.  болатындығы түсінікті. Бұдан N>=m болады, сонымен қатар N=m теңдігі t=1 тепе-тең, яғни A матрицасының барлық элементар бөлгіштері өзара жай болады. 
Мысал 4.  (ауыстырымды матрицалар саны). Айталық матрица келесі элементар бөлгіштерден тұрсын:
                                       
Ендеше A матрицасының тривиалды емес  инвариантты көбейткіштері  мына түрге ие болады:
                                       
Онда 3-теоремаға сәйкес A матрицасымен ауыстырымды сызықтық тәуелсіз матрицалардың саны 


                * AX-XB=C түріндегі теңдеулер
Айталық, AX-XB=C түріндегі теңдеу берілсін, мұндағы 
               A∈Cmxm,  В∈Cnxn,  С∈Cmxn,  Х∈Cmxn.
Бұл X матрицасының элементтеріне қатысты m∙n сызықтық теңдеулер жүйесіне эквивалентті матрицалық теңдеу. 
Сәйкес біртекті теңдеуді қарастырайық:
                                   AX-XB=0.
1-теоремаға сәйкес, егер A және B матрицаларының біріңғай меншікті мәндері болмаса, онда  AX-XB=0 теңдеуінің жалғыз ғана шешімі болады. егер де A және B матрицалары біріңғай меншікті мәнге ие болса, онда C -ға қатысты екі жағдай болуы мүмкін
* Теңдеудің шешімі жоқ.
* X=X0+XАВ , мұндағы X0 - AX-XB=C теңдеуінің  кез келген дербес шешімі, ал XАВ -  AX-XB=0 теңдеуінің жалпы шешімі.


                         4.Канондау әдісі
Бұл бөлімде матрицалық коэффициенттерді канондық базиске келтіруге негізделген матрицалық теңдеуді шешу әдісі қарастырылады.
Нөлдің бөлгіштері
Анықтама 1. Айталық A - mxn өлшемді матрица болсын. nxq өлшемді RA  матрицасы  -  оның оң жақ бөлгіші деп аталады, егер 
      ARA=0mxq                                                     (20)
теңдігі орындалса. 
Егер  (20) теңдік RA=0 нөлдік матрица болғанда ғана орындалса, онда A матрицасының оң жақ нөлдік бөлгіші жоқ деп айтады.
Мысал 5. (матрицалық нөлдік бөлгіштер). Тік бұрышты 
                                     (21)
матрицасы үшін оң жақ нөлдік бөлгіш 
                                       
нөлдік бағанның бар болуынан шығады. 
Анықтама 2. Рангы r-ға тең  A∈Cmxn  матрицасы үшін максималды рангты оң жақ нөлдік бөлгіш деп рангы n-r тең болатын, төмендегі теңдікті қанағаттандыратын    матрицасын айтады:
                                     (22)
Анықтама 3. Рангы r-ға тең  A∈Cmxn  матрицасы үшін максималды рангты сол жақ нөлдік бөлгіш деп рангы m-r тең болатын, төмендегі теңдікті қанағаттандыратын    матрицасын айтады:
                                                                              (23)
Сол жақ нөлдік бөлгіштер жолдың барлық сызықты тәуелсіз комбинациясын, ал оң жағы  -  бағандардың барлық сызықты тәуелсіз комбинациясын  сипаттайды. 
Кез келген Π, Υ матрицалары үшін 
                                     (24)
теңдіктері орындалады, онда нөлді бөлгіштердің барлық жиыны кез келген нөлдің бөлгішін сәйкес өлшемді кез келген матрицаға көбейту арқылы алынады (дұрыс жағынан): 
                                     (25)
мұндағы Π және Υ берілген өлшемді кез келген матрицалар.
            Нөлдің бөлгіштерін құрастыру
Берілген А матрицасы үшін нөлдің бөлгішінің анықтамасы жалпы жағдайда оңай есеп болмайды. Алайда канондық базистағы матрицалар үшін нөлдің бөлгіштерінің құрылымы айқын. 
mxn өлшемді рангы r-ға тең кез келген А матрицасы үшін Tx∈Cnxn,  Ty∈Cmxm ерекше емес матрицалары бар болады, олар  А матрицасы канондық  базисте келтірілетіндей мына түрде болады:
                                     (26)
Мысал 6.  (матрицаны канондық базиске келтіру). 
(21) түрдегі матрица канондық базисқа түрлендіру нәтижесінде келтіріледі:
                                     (27)
А матрицасы тік бұрышты немесе ерекше болған жағдайда Ty және Тx-1 түрлендіру матрицалары жалғыз емес болады.
(26) теңдікте квадрат жақшаның ішінде тұрған 
                                     (28)
матрицасының 
                                     (29)
түріндегі айқын максималды рангты нөлдік бөлгіші болады, яғни 
                                     (30)
бұлар канондық деп аталады.
Тікелей есептеулер жүргізу арқылы (26) матрицаның оң жақ нөлдік бөлгіші мына түрге ие болады:
                                     (31)
ал (26) А матрицасының  сол жақ нөлдік бөлгіші 
                                     (32)
түріне ие болады. 
Осылайша берілген тік бұрышты матрицаның нөлдік бөлгіштерін табу үшін (26) бойынша Tx∈Cnxn,  Ty∈Cmxm базистерді түрлендіру матрицасын құрса жеткілікті, ал содан кейін (31) және/немесе (32) формулалар бойынша нөлдік бөлгіштерді құру керек.
Мысал 7. (канондық матрицаның нөлдік бөлгіштері). 6-мысалдағы   матрицасының құрылымына сәйкес (27) теңдіктің оң жағында (бір нөлдік жол және екі нөлдік баған) 5-мысалдағы  А матрицасы екі нөлдік бөлгіші болады. Олардың канондық түрі мынадай:
                                       
Бұдан әрі (31) және (32) формулалары бойынша  оң жақ және сол жақ нөлдік бөлгіштерді аламыз:
                                     (33)
                                       
* нөлдік бөлгіші алдында көрсетілген бағаннан тұратынын ескере кетейік. (5 мысал)
(25) түріндегі формулалар бойынша алынған матрицаларды кез келген матрицаға көбейтіндісі эквивалентті нөлдік бөлгіштер жиынын құрады:
                                       
Ty және Тx-1 түрлендіру  базистерінің матрицаларын құру үшін матрицаларды элементар түрлендіруге негізделген екі әдісті қолдануға болады.
Матрицаның жолына (бағанына) кез келген элементар түрлендіру жүргізу бұл матрицаны сол жағынан (оң жағынан) элементар деп аталатын қандай да бір P(Q) матрицасына көбейтумен тепе  -  тең.
Элементар түрлендіру матрицалары бірлік матрицадан алынады, егер оған сәйкес элементар түрлендіру жүргізсе. 
Сол жақ және оң жақ элементар амалдарды және сәйкес матрицаларды символдық белгілейік:
сол жақ  амалдар: 
* матрицаның i-ші жолын нөлден өзгеше c  санына көбейту: ;
* матрицаның i-ші жолына  нөлден өзгеше c  санына көбейтілген j -шы жолын қосу: ;
* i-ші және  j -шы жолдарының орнын ауыстыру: ;
оң жақ амалдар:
* Матрицаның i-ші бағанын нөлден өзгеше c  санына көбейту: ;
* Матрицаның матрицаның i-ші бағанына нөлден өзгеше c  санына көбейтілген j -шы бағанына қосу: ;
* Матрицаның i-ші және  j -шы бағандарының орнын ауыстыру: .
Бірінші әдіс Pi, Qj элементар матрицалар арқылы эквивалентті түрлендіру матрицаларын құрастыру. 
А матрицасының жол және бағандарына элементар түрлендіру жүргізгенде матрицалық жазылуы мына түрге ие болады:
                           (34)
Мысал 8. (нөлдік бөлгіштерді құрастырудың бірінші әдісі). (21) матрицаға кез келген дұрыс элементар түрлендіру тізбегін қолданып канондық базиске келтіреміз (сонымен қатар элементар амалдарға символдық белгілеулерді қолданамыз)
                                       
                                       
Қолданылған элементар түрлендірудің нақты варианттары мен тізбегі соңғы нәтижеге еш әсер етпейді.
Әрбір элементар түрлендіруге сәйкес элементар түрлендіру матрицасын сәйкес қойып, жолдарға орындалған элементар амалдарды олардың ретін сақтай отырып, матрицалық түрде жазып және оларды бір  -  біріне көбейтеміз. Нәтижесінде Ty координатының түрлендіру матрицасын аламыз: 
                                       
Матрицаның бағандарына да осындай элементар түрлендіру жүргізіп, Тx-1 координатының түрлендіру  матрицасын аламыз:
                                       
                                       
Координаттарды түрлендіру матрицасының екеуі де жалғыз еместік қасиетінің негізінде алдыңғы жазылған варианттардан өзгеше болады. (6-мысал). Сонымен қоса, оларды  (31) және (32) формулаларда қолдану (33) нөлдік бөлгіштердің сол мәнін береді. 
Әрбір элементар матрица элементар  түрлендірулер жүргізгеннен кейін бірлік матрицадан алынғандықтан, онда Ty, Тx-1 түрлендіру матрицаларын сондай-ақ келесі түрде құруға болады: А матрицасын  түріне келтіретін бірнеше элементар түрлендірулерді тауып, Em бірлік марицаның жолдарына элементар түрлендіруді сол ретпен жүргізіп, ал бағандарға жүргізілетін барлық элементар түрлендірулерді дәл сол ретпен En  бірлік матрицасына қолдану. Бұл түрлендірулерді келесі схемаларды қолданып жүргізу ыңғайлы.
Екінші әдіс. Нөлдің бөлгіші анықталатын матрица сол жағынан және астынан бірлік матрицамен толырылады, сонда мынадай конструкция алынады: 
                                     (35)
Бұл формальді түрде матрица болып табылмайды, ал оның түрі ашылған планшетке  ұқсас.
Енді А матрицасының жолдары мен бағандарына, сонымен қатар оған қосылған бірлік матрицаларға элементар түрлендіру қолданайық. Түрлендірудің мақсаты  А матрицасын канондық базис түрінде жазылуға әкелу. Түрлендірудің нәтижесінде  мынадай конструкция алынады:
                                     (36)
мұндағы 
                                     (37)
Сонымен қатар,  матрицасының нөлдік блоктарына қарсы алғашқы бірлік матрицаның блоктары максималды рангты нөлдік бөлгіштен тұрады.  матрицасының сол жағында сол жақ бөлгіш ал асында  -  оң жақ бөлгіш орналасқан:
                                     (38)
(38) оң жақ жоғары бұрышында тұрған  матрицасында нөлдік жолдың немесе нөлдік бағанның болмауы, А матрицасында сол немесе оң жақ нөлдік бөлгіш жоқ дегенді білдіреді. 
Мысал 9. (Нөлдік бөлгішті құрудың екінші әдісі (планшет)). Қарасырылған (21) мысал үшін (35) конструкция мына түрге ие болады:
                                       
Бұл планшеттің жолдары мен бағандарына элементар түрлендіру жүргізу нәтижесінде мынаны аламыз:
                                     (39)
Мұнда алдында (21) матрица үшін анықталған максималды рангты нөлдік бөлгішке тең блоктар белгіленген. 
                   Матрицаларды канондау
(28) теңдікті (37) ескері	п блоктар бойынша жазайық:
                                       
Анықтама 4. Рангы r  - ға тең оң жағынан және сол жағынан төмендегі формула бойынша  біруақытта көбейтілген, рангы r  - ға тең А матрицасын Er бірлік матрицасына әкелетін ,   және   тік бұрышты матрицаларын сәйкесінше сол жақ және оң жақ канонизаторы деп атаймыз:
                                     (40)
Сол жақ және оң жақ канонизаторлар жол және бағанның сәйкесінше барлық сызықты тәуелсіз комбинациясын сипаттайды.
(24) қасиетке сәйкес нөлдік бөлгіштерді тапқанда канонизаорлардың әрқайсысы сәйкес канонизаторлар жиынының элементі болып табылады, яғни 
                                       
мұндағы Π және Υ -  кез келген элементтері бар қажетті өлшемді матрицалар.
Мысал 10. (сан матрицасының канонизаторы).   (39) қолданып және сәйкес есептеулерді орындап, қарастырылып отырған (21) марица үшін (40) теңдікті қанағаттандыратындығына көз жеткізуге болады, яғни 
                                       
Анықтама 5. mxn өлшемді және рангы r  - ға тең тік бұрышты А матрицасының  жинақтылық канонизаторы деп А матрицасының оң жақ және сол жақ канонизаторының көбейтіндісіне тең n xm өлшемді матрицаны айтады: 
                                     (42)
Жинақтылық канонизатор жолдар мен бағандар жиынтығының барлық сызықық тәуелсіз комбинациясын сипаттайды.
Мысал 11. (Сандық матрицаның сводный канонизаторы). 5-мысалдағы (21) матрица үшін сводный канонизатор (39), (42)  - ге сәйкес мына түрге ие болады:
                                       .
Осылайша,  кез келген А матрицасына жалпы жағдайда, құрамында максималды рангты  сол жақ және  оң жақ нөлдік бөлгіштер және сондай-ақ  сводный канонизатор болатын, жалғыз емес матрицалар үштігін, яғни
                                     (43)
және (қажет  болған жағдайда) матрицалар төрттігін 
                                     (44)
сәйкес қоюға болады. 
Кез келген матрицаның бұлай берілуін матрицаны канондау деп атаймыз.


                               Дәріс 15,16
                       ТҮЙІНДЕС БЕЙНЕЛЕУ
                       * Түйіндес кеңісік
Айталық,  Vn -  R өрісіндегі сызықтық векторлық кеңістік болсын және  dimVn=n. 
Анықтама 1. Аргументтері Vn -ға  және мәндері R өрісінен алынған  y=f(u) сандық функциясы Vn кеңістігіндегі сызықтық функция деп аталады, егер:
                                      (1)
Айталық Vn кеңістігінде  базисі берілсін. Онда кез келген  векторы осы базис бойынша жіктелуі мүмкін:
                                      (2)
ал f сызықтық функционалдың u векторындағы мәні (1) сәйкес мынадай жіктелу түрінде беріледі:
                                      (3)
(3)	байқайтынымыздай, бекітілген Е базисінде кез келген  - n сандар жиынтығына жалғыз ғана f сызықтық функциясы сәйкес келеді. Егер u векторының координаттық бағанын Е базисінде 
                                       
деп белгілесек, ал   -  f функциясының вектор-жолы болса, онда (3)  - ден мына өрнекті аламыз:
                                              (4)
Сызықтық функциялар жиынында функцияларды қосу және функцияны санға көбейту амалдарын  анықтайық:
                                       
Егер f функциясы Е базисінде a1,...,an сандарымен, ал g функциясы Е базисінде b1,...,bn сандарымен анықталса, онда f+g функциясы a1+b1,...,an+bn сандарымен, ал αf функциясы  -  сол базистағы αa1,...,αan сандарымен анықталады.
Vn векторлық кеңістігінде анықталған сызықтық функциялар кеңістігі Vn кеңісігіне түйіндес кеңістік деп аталады және Vn* деп белгіленеді.
Vn және Vn* кеңістікерінің изоморфтылығынан 
                               dimVn*=n, Vn*=Vn
болатындығы шығады. 
Vn және Vn* кеңістіктерінде қосу және санға көбейту алгебралық амалдары төмендегі қатынастармен байланысады:
                                      (5)
f(u) жазылуында функционал функция рөлін, ал вектор  -  аргументтің рөлін атқарып тұрғандығының еш маңызы жоқ. Сондықтан да f функциясының u векторындағы мәнін жазу үшін кейде мынадай белгілеуді қолданады:
                                      (6)
Vn* кеңістігінен алынған функцияларды ковекторлар деп, ал  векторының өзін вектордың ковектормен скаляр көбейтіндісі деп атайды. 
(6)-шы скаляр көбейтінді бисызықтылық қасиетіне ие болады: яғни ол бірінші аргумент бойынша сызықты және екінші аргумент бойынша да сызықты. Бұл (5) қатынастан шығады, оны енді мына түрде жазамыз:
                                      (7)
Геометриялық кеңістіктегі векторлардың скаляр көбейтіндісімен салыстырғанда (6) түрдегі скаляр көбейтінді симметриялы болмайды: мұнда аргументтер әр түрлі кеңістіктерге тиісті және олардың орындарын ауыстыруға болмайды. (6) скаляр көбейтіндіде ковекторлар ылғи сол жақта, ал векторлар оң жақта жазылады. 
            * Түйіндес кеңістіктің базисі
Анықтама 3. u векторы және f ковекторы бір-біріне ортогональ деп аталады, егер  болса.
Айталық, Vn кеңістігінде Е=е1,...,еn базисі берілсін. u∈Vn  векторының Е базисі бойынша (2)  -  жіктелуіндегі u векторының i-шы координатын қарастырайық. (2) жіктелудің бірмәнділігінен Vn кеңістігінен бір бекітілген базисті таңдап алғанда αi координаты  -  бұл сан, u векторымен бірмәнді анықталады. 
                                      (8)
формуласымен анықталатын  бейнелеуін қарастырайық. 
Векторларды қосқанда олардың координаты Е базисінде қосылады, ал векторды санға көбейткенде, оның координаттары осы санға көбейтіледі. Бұдан жоғарыда анықталған бейнелеу сызықты болады:  Ендеше, Vn кеңістігінде әрбір Е=е1,...,еn базисін таңдау  Vn*  кеңістігінен алынған қандай да бір n функционалдар жиынтығымен байланысады. fl,...,fn функционалдары е1,...,еn базисінің координаттық функционалдары деп атайды. Олар үшін 
                                      (9)
(9) қатынасты биортогональдық қатынасы деп, ал (9) қатынасты қанағатандыратын  Е=е1,...,еn және F=fl,...,fn векторлар жүйесі биортогональды деп аталады, және Е⊥F деп белгіленеді. 
Теорема 1. fl,...,fn координаттық функционалдары  сызықтық тәуелсіз және Vn*  кеңістігінде базис құрайды.
Дәлелдеу. е1,...,еn базисінде нөлге тең координаттық функционалдардың сызықтық комбинациясын қарастырайық:
                                       (10)
(10) сол жақ бөлігі нөлдік функционал болып табылады. Ендеше, оның мәні еj базистік векторында нөлге тең:
                                     (11)
n  қосылғыштан тұратын (9) биортогональдық қатынастың негізінде (11) сол жақ бөлігінде тек қана j-ші қосылғыш қана қалады, сонымен қатар fjеj=1. Сондықтан да, (11)-ден αj=0 болады. j  кез келген болғандықтан, енді (10) сызықтық комбинацияның тривиальдығы және  f1,...,fn координаттық функционалдардың сызықтық тәуелсіздігі шығады. 
Теореманы дәлелдеуді аяқтау үшін кез келген   f∈Vn* функционалы f1,...,fn координаттық функционалдың сызықтық комбинациясына жіктелуі мүмкін. 
Vn кеңістігінен кез келген u векторын қарастырайық. Онда (3) жіктеуден u векторында f функционалының мәні үшін (8) ескеріп мынаны аламыз:
                                     (12)
Мұнда fе1,...,fеn  -  F тан алынған сандар жиынтығы. u∈Vn векторы кез келген болғандықтан алынған теңдікті функционалдар теңдігі ретінде жазуға болады:
                                     (13)
(13) формула кез келген  f функционалын fi координаттық функционалдардың сызықтық комбинациясына жіктелуі болып табылады. Мұндай сызықтық комбинацияның коэффициенттері Е=е1,...,еn базистік векторында f функционалының мәніне тең болады.
Салдар 1. Vn кеңістігінің кез келген Е базисі үшін Vn* кеңістігіне тиісті, Е⊥F  болатындай жалғыз ғана  F  базисі бар болады. 
Анықтама 4. Vn кеңістігінде е1,...,еn базисінің координаттық функционалдарынан құралған F=f1,...,fn базисі Е үшін түйіндес  базис деп аталады. 
Мысал 1. (Биортогональды базистер).  кеңістігін және оның базисін қарастырайық:
                                       
* болатындай  базисін табайық. 
Кез келген f∈Vn* сызықтық функциясы 
                                       
ережесі бойынша  векторына әрекет етеді. (9) биортогональдық қатынасын қолданып, f1,f2 ізделінді функциялар үшін белгісіз  a,b параметрлерін анықтайық. f1 функциясы үшін бұл шарт мына түрге ие болады:
                                       
Дәл осылай f2 функциясы үшін бұл шарт мына түрге ие болады:
                                       
Бұл теңдеулер жүйесін шешейік:
                                       
Табылған парметрлермен ізделінді функцияларды жазайық:
                                       
Осылайша, ізделінді базис 
 скаляр көбейтіндінің мәні биортогональды базисте басқа базистерге қарағанда жеңіл есептелетіндігін көрсетейік.
Айталық  Е=е1,...,еn және F=f1,...,fn  -  сәйкесінше  Vn және Vn* кеңістіктеріндегі екі кез келген базис болсын. Е базисіндегі жіктелуі (2) түрге ие болатын u∈Vn векторының скаляр көбейтіндісін және F базисі бойынша жіктелген  f∈Vn* ковекторын қарастырайық:
                                     (14)
  скаляр көбейтіндіні F базисіндегі ковектордың және Е базисінде u векторының координаты арқылы өрнектейік:
                                     (15)
Егер Е және F базистері биортогональ болса, яғни Е⊥F , онда (9) биортогональдық қатынасының негізінде (15) теңдік ықшамдалып мына түрге ие болады:
                                       
Осылайша,биортогональ базисте    скаляр көбейтіндінің мәні оңай есептеледі. 
Биортогональ базисте вектордың және ковектордың координаттарын анықтайтын өрнекті табайық. Ол үшін мынаны есептейік:
                                       
Ендеше, 
                                     (16)
Ары қарай мынадай есептеу жүргізейік:
                                       
Онда, 
                                     (17)
Мысал 2. (вектордың және ковектордың координаттары). Е базисінде 1-мысалдағы  векторының координатын  F биортогональ базисін қолданып  анықтайық. (16) сәйкес мынаны аламыз:
                                       
1-мысалдағы F базисінде  ковектордың координатын   Е биортогональ базисін қолданып анықтайық. (17) сәйкес мынаны аламыз:
                                       

* Түйіндес кеңістіктегі ортогональ толықтауыш
Анықтама 5. Айталық Vk - Vn векторлық кеңістіктің кез келген ішкі кеңістігі болсын. Vk-ға тиісті барлық векторларға ортогональ  Vn* -ға тиісті ковекторлардың жиынын Vk кеңістігіне ортогональ толықтауыш деп атайды және оны Vk⊥ деп белгілейді:

Басқаша айтқанда, Vk кеңістігіне ортогональ толықтауыш  - бұл , Vk -ға тиісті векторларда нөлге айналатын, Vn*-ға тиісті барлық сызықтық функциялардың жиыны.
Vk ішкі кеңістігінің ортогональ толықтауышы басқа Vn* кеңістігінде жатады. 
Теорема 2. Vk ішкі кеңістігінің ортогональ толықтауышы Vn*  кеңістігінің ішкі кеңістігі болып табылады, сонымен қатар 
Мысал 3.  (Ішкі кеңістікке ортогонал толықтауыш). V2 -де векторлар жүйесін қарастырайық, олар е1=1,0,0, е2=0,1,0: V2=L(е1,е2) векторларына созылған сызықтық қабықша болып табылады. V2 - R3 -те Е=е1,е2 базисі бар ішкі кеңістік. V2-ге V⊥2  ортогональ толықтауыш 
                                     (18)
түріндегі сызықтық функциялар жиыны болатындығын көрсетейік. 
Расында да, кез келген  векторы  түріне келтірімді. (18) түрдегі f  функциясы үшін  есептейік:
                                       
Осылайша, (18) түрдегі кез келген функция V2 ішкі кеңістігінің базисіне ортогональді, ендеше осы ішкі кеңістіктің кез келген векторына да ортогональ болады, дәлелдеу керегі де осы еді.
Мысал 4. (ортогональ толықтауыш және оның өлшемі). Берілген W=L(е1,е2,е3) ішкі кеңістігі үшін R5векторлық кеңістігінің е1=3,-1,2,0,-1, е2=2,1,-3,1,3,е3=7,1,-4,2,5 векторларына созылған  сызықтық қабықшаның W⊥ ортогональ толықтауышын құрайық. е3=е1+2е2 болғандықтан, онда W базисі ретінде е1және е2 векторларын алуға болады. Бұдан dimW=2, ендеше dimW⊥=5-2=3.
 функциясының түрін анықтау үшін 
                                       
тепе-теңдігін қолданайық.
Айталық  - R5-те әрекет ететін кез келген сызықтық функция болсын.  параметрлерінің қандай мәнінде f  функциясы е1және е2 векторларына ортогонал болатындығын анықтайық.  жүйесін шешейік:
                                       
бұдан 
                                       
аламыз. Осылайша,
                                       
Базис ретінде келесі функцияларды алуға болады:
                                       

                      * Түйіндес бейнелеу
Vn  және Vmекі сызықтық кеңістігін, сонымен қатар оған түйіндес Vn* және Vm* кеңістіктерін қарастырайық. Енді  Vn  және Vm кеңістіктерінің, сонымен қатар Vn* және Vm* кеңістіктерінің бейнелеуін қарастырып, осы бейнелеулер арасында өзара бірмәнді сәйкестік болатындығын орнатайық. 
Айталық қандай да бір    сызықтық бейнелеуі берілсін. 
Анықтама 6.  бейнелеуі  үшін түйіндес бейнелеу деп аталады, егер кез келген  және кез келген  үшін төмендегі қатынас орындалса:
                                     (19)
Теорема 3. Кез келген берілген  сызықтық бейнелеуі үшін  түйіндес бейнелеуі бар, сызықты және жалғыз болады.
Мысал 5. (Түйіндес бейнелеу). 
                                       
болатындай  бейнелеуі және  ковекторы үшін 
                                       
* түйіндес бейнелеуі кезіндегі оның  бейнесін табайық:
                                       
Айталық, Vnжәне Vm кеңістіктерінен  және  базистері таңдап алынсын. Бұл базистарға Vn* және Vm* түйіндес кеңістіктердің  және   биортогональды базистері сәйкес келеді.
Айталық  сызықтық бейнелеуі және оған түйіндес A*:Vm*-->Vn* бейнелеуі берілсін. 
Vn   сызықтық кеңістіктің әрбір Е, Н базистер жұбы және  сызықтық бейнелеуі осы бейнелеудің матрицасымен  байланысты. Берілген базистегі сызықтық бейнелеудің матрицасы деп  матрицасын айтады, мұнда j-шы баған  векторының координатынан құралған, яғни Н базисінде j-шы базистік вектордың бейнесінің координаты болып табылады:
                                       
Берілген матрица мен түйіндес бейнелеудің арасындағы байланысты зерттейік.
Айталық, Е,Н базисіндегі  бейнелеуі   матрицасына ие болсын.   биортогональ базистеріндегі A* түйіндес бейнелеудің   матрицасының құрылымын анықтайық. 
Теорема 4. Айталық  сызықтық бейнелеу, Е және Н  -  сәйкесінше Vnжәне Vm кеңістіктерінің базистері,  - Vn*және Vm*  кеңістіктерінің биортогональ базистері болсын. Онда егер  бейнелеуі Е және Н базистерінде А матрицасына ие болса, онда Vn*және Vm* биортогональ базистерінде A* түйіндес бейнелеуі АТ матрицасына ие болады.
Дәлелдеуі. А және A* бейнелеулерінің матрицасының анықтама бойынша келесі жіктелуден анықталады:
                                     (20)
(19) түйіндес бейнелеудің анықталатын қатынасынан мынаны аламыз:
                                     (21)
Бұл теңдіктің оң жақ және сол жақ бөліктерін жеке  -  жеке (20) қолданып есептейік:
                                       
Алынған өрнектерді (21) қойып,  болатындығын аламыз, ал бұл   дегенді білдіреді.
Мысал 6. (Түйіндес бейнелеудің матрицасы).
                                     (22)
                                       
базистерімен берілген  және  екі сызықтық кеңістікті және  сызықтық бейнелеуін қарастырайық:
                                       
 түйіндес бейнелеудің  биортогональ базистегі матрицасын табайық.
  биортогональ базисін 1-мысалға сәйкес анықтайық.  биортогональ базисін анықтау үшін жүйені шешеміз:
.
Бұдан  мынадай ковекторлардан тұрады:
                                     (23)
* табу үшін жүйені шешеміз:
                                       
Бұдан   төмендегідей ковекторлардан құралады:
                                     (24)
Е және Н базисіндегі  бейнелеуінің   матрицасын табайық. Ол үшін Е базисінің  бейнелеуіндегі базистік векторларының бейнесін есептейік:
                                       
Н базисіндегі ізделінді   векторының координаттық бағанын  деп белгілейік:
                                     (25)
 координатын табайық. Ол үшін (25) теңдікті  қатысты шешеміз:
                                       
Осылайша, Е және Н базисіндегі  бейнелеуінің матрицасы мына түрге ие болады:
                                       
Ендеше  базистеріндегі A* түйіндес бейнелеудің  матрицасы мына түрге ие болады:
                                       
         Түйіндес бейнелеудің қасиеттері.
Теорема 5. Егер  немесе  бейнелеуі анықталса, онда келесі теңдіктер орынды болады:
                                     (26)
                                     (27)
                                     (28)
                                     (29)

 * Евклид кеңістігіндегі түйіндес бейнелеу
Айталық  және  - евклид кеңістіктері болсын.  сызықтық бейнелеуін және A* түйіндес бейнелеуін қарастырайық. Евклид кеңістігінің маңызды ерекше белгісі, бұл  -  оны оған түйіндес кеңістікпен теңестіруге болады. Мұндай теңестіру базистің таңдауына тәуелсіз  және  кеңістіктерінің изоморфизмі болатындығынан шығады. 
Теорема 6. Евклид кеңістігі өзінің түйіндес кеңістігіне эквивалентті. Яғни  изоморфизмі бар болады, ол әрбір  функциясына  векторын сәйкес қояды, сонымен қатар
                                     (30)
Дәлелдеу. Айталық  -  кеңістігінің берілген базисі болсын. Кез келген  векторы үшін оның Е базисі бойынша жіктелуі :
                                     (31)
 векторының Е базисіндегі координат бағанын анықтайды:
                                       .
 сызықтық функциясын қарастырайық және айталық a  - Е базисіндегі осы функцияның вектор-жолы болсын, ол (4)  формулаға сәйкес  болады.
Е базисіндегі  векторының координаттық бағанын 
                                       
деп белгілейік. 
  скаляр көбейтіндіні координаттық формада жазайық:
                                     (32)
мұндағы  - Е базисіндегі Грам матрицасы. 
Ары қарай, (4) сәйкес  болады. (30)-ды координаттық формада жазайық:
                                       
Е базисіндегі  Грам матрицасы ерекше емес болғандықтан, онда соңғы теңдікті -ға қатысты шешуге болады.  Грам матрицасының симметриялылығынан мынаны аламыз:
                                     (33)
Мұнда  - Е базисіне ортогональ  түйіндес кеңістіктің   базисіндегі f  функциясының координаттық бағаны. Сонымен, (33)-тен  және  кеңістіктері изоморфты болатындығы шығады. 
Осылайша, евклид кеңістігі өзінің түйіндес кеңістігіне изоморфты. Сондықтан да,  евклид кеңістігін  оған түйіндес   кеңістігіне теңестіруге болады. 
Анықтама 7. 
                                     (34)
теңдігімен анықталатын  бейнелеуі   бейнелеуіне түйіндес деп аталады.
Теорема 7. Егер  бейнелеуі ортонормаланған базисте А матрицасына ие болса, онда сол базистегі оның   түйіндес бейнелеуі  матрицасына ие болады. 
Мысал 7. (Евклид кеңістігінің түйіндес бейнелеуінің матрицасы).  және  екі евклид кеңістіктерін және олардың  және  ,  және базистерін қарастырайық, сонымен қатар,  және  - ортонормаланған, ал  және   базистері  және  базистерімен төмендегі қатынастар арқылы байланысқан:
                                       
Бұдан   базисінен   базисіне көшу  матрицасы мына түрге ие болады:
                                       
ал   базисінен  базисіне көшу  матрицасы былай болады:
                                       
Айталық   сызықтық бейнелеуі  және   базистерінде 
                                       
түріне ие болсын. 
  және   базистерінде  түйіндес бейнелеудің матрицасын табайық.
Алдымен  және  базистеріндегі  бейнелеуінің матрицасын табайық: 
                                       .
 және  базистері ортонормаланған болғандықтан, онда 7-теоремаға сәйкес  осы базистегі түйіндес бейнелеудің  матрицасы мына түрге ие болады:
                                       .
Онда   және   базистерінде  түйіндес бейнелеудің  матрицасы келесі түрге ие болады:
                                       

                               Дәріс 17,18
           УНИТАР ЖӘНЕ ҚАЛЫПТЫ МАТРИЦАЛАР
* Унитар матрицалардың анықтамасы және қасиеттері
 векторлар жүйесі ортогональ деп аталады, егер 
                                       
Егер де бұл векторлар нормаланған болса, яғни 

онда мұндай жүйені ортонормаланған деп атайды.
Теорема 1. Кез келген ортонормаланған жүйе сызықты тәуелсіз болып табылады.
Дәлелдеуі.  ортонормаланған векторлар жүйесі үшін 
                                       
теңдігін қарастырайық және ол  болған кезде ғана орындалатындығын көрсетейік. Теңдікті оң жағынан 
                                       
түйіндесіне көбейтіп, мынаны аламыз:
                                       

ал бұл  болғанда ғана мүмкін, бұдан  жүйесінің сызықтық тәуелсіздігі шығады. 
Кез келген сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесін берілген жүйенің сызықтық қабықшасындай  болатын ортонормаланған жүйеге түрлендіруге болады. Мұндай түрлендіруді  Грам-Шмидтің ортогоналдау процессін қолданып жүргізуге болады. 
Айталық  - комплексті векторлық кеңістіктегі n  сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесі және  - ізделінді ортонормаланған жүйе болсын.  векторлары төмендегі формулалар бойынша рекуррентті есептеледі:
                                      (1)
мұндағы  -  векторының евклид ұзындығы. 
Мысал 1. (Грам-Шмидтің ортогоналдау процессі). 
                                       
Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесін ортонормалайық.
                                       
                                       
                                       
Грам-Шмидт процессінің әрбір k-шы қадамында  векторлары тек қана алғашқы k  сызықтық тәуелсіз векторлардың  сызықтық комбинациясы түрінде өрнектеледі, яғни 
                                      (2)
болатындай  сандары бар болады. 
Грам-Шмидт процессін кез келген ақырлы немесе саналымды (сызықтық тәуелсіз болуы міндетті емес) векторлар жүйесіне қолдануға болады. 
Анықтама 1.  матрицасы унитар деп аталады, егер  болса. Егер сонымен қатар  болса, онда  ортогональды деп аталады.
Мысал 2. (Унитар матрица). Айталық  мына түрге ие болсын:
                                       
мұнда θ  -  нақты параметр. Бұл матрица бірлік матрицадан  және  позицияларындағы  элементтерімен ғана ерекшеленеді, мұнда олар сәйкесінше  және  алмастырылады.  матрицасы  -ға тисті кез келген  индекстер жұбы және кез келген θ бұрышының шамасы үшін унитар (ортогональді) болып табылады. Мысалы,  болғанда мынаны аламыз:
                                       .
Теорема 2. (унитарлылық критерийі жайлы). Төмедегі тұжырымдар  матрицасы үшін эквивалентті болады:
*  унитарлы;
*  ерекше емес және ;
* 
*  унитарлы;
* -ң бағандары ортонормаланған жүйе құрайды;
* -ң жолдары ортонормаланған жүйе құрайды;
* Кез келген  векторы үшін  теңдігі орындалады (яғни унитарлы матрицалар изометриялы).

Теорема 3(QR-жіктелу жайлы). Егер  болса, онда ортонормаланған бағандары бар  матрицасы және 
 
болатындай  жоғары үшбұрышты матрица бар болады. Егер  болса, онда Q унитарлы.
Дәлелдеуі. Егер  және  болса, онда А матрицасының  QR-жіктелуі  А матрицасының бағандарына Грам-Шмидтің процессін қолданғанда  -де сызықтық тәуелсіз жүйені құрайтын нәтиженің матрицалық жазылуын аламыз.
Айталық,  матрицаның бағандары сызықтық тәуелсіз болсын. Грам-Шмидтің алгоритмін осы жағдай үшін жалпылайық. Грам-Шмидтің ортогоналдау процессінің нәтижесінде  болатындай -лар үшін (яғни  бұл сызықтық комбинация болып табылады),   болсын делік. Керісінше жағдайда,  (қарапайым Грам-Шмидт процессіндегідей).
 векторлары ортогональ жүйені құрайды, оның әрбір элементі нормаланған немес нөлдік. 
Әрбір  векторы  -  бұл  векторларының сызықтық комбинациясы және керісінше. Бұдан, 
                                      (3)
болатындай  сандары табылады.

, егер  болса.                          (4)
Осылайша, -нан жоғарыда сипатталған процедураның көмегімен жоғары үшбұрышты матрицаны
                                       
және  векторларын табайық. 
                                       
Матрицасы ортогонал бағандардан тұрады (кейбіреулері нөлдік болуы мүмкін) және (3)-ң негізінде  болады.
Егер  және  (яғни А ерекше емес) болса, онда Q  -  2-теореманың (5-қасиеті бойынша) унитарлы және  матрицасының барлық диагональды элементтері нөлден өзгеше. Бұл жағдайда  матрицасы  -  жоғары үшбұрышты болғандықтан,  векторы  векторының еселігі болады және  болғанда  векторы бірөлшемді кеңістікте жатады, ол  векторларының сызықтық қабықшасындағы  векторларының сызықтық қабықшасының ортогональ толықтауышы болып табылады. Бұдан, әрбір   векторы модулі бойынша 1-ге тең  скаляр көбейткішке дейінгі дәлдікпен бірмәнді анықталады. Сондықтан да -ды -қа ауыстырып:
                                       
және -ды -қа ауыстырып:
                                       
теореманың тұжырымында айтылған сол жалғыз жіктеуді аламыз. 
Егер А матрицасының бағандары тәуелді болса, онда Q-дан нөлдік емес бағандар жиынын (ортонормаланған) алып және оны -гі ортонормаланған базиске дейін толықтырамыз. Мұндай әдіспен алынған жаңа векторларды  деп белгілейміз. Енді Q-дағы бірінші нөолдік бағанды  менғ ал екіншіні -мен және т.с.с. ауыстырамыз. Алынған матрицаны  деп белгілейік. Ол ортонормаланған бағандардан тұрады және , себебі -ғы жаңа бағандар -ғы нөлдік жолдарға сәйкес келеді. Осылайша,  - қажетті түрдегі жіктеу.
Мысал 3. (QR-жіктеу). 
                                       
матрицасы үшін QR-жіктеуін құрайық. Ол үшін Грам-Шмидтің ортогоналдау процессін қолданайық. А матрицасының бағандарын 

деп белгілейік. 1-мысалда көрсетілгендей Грам-Шмидтің ортогоналдау процессінің нәтижесінде  векторлар жүйесі  ортонормаланған векторлар жүйесіне түрленеді, мұнда 
                                       
сонымен қатар, 
                                       
 векторларынан матрица құрамыз
                                       
Онда  және    байланыстыратын теңдіктерден мынаны аламыз:
, мұндағы .
                        * Унитар ұқсастық
Унитар матрица үшін  болса, онда  анықталған  түрлендіруі ұқсас болып табылады, ол унитар ұқсастық деп аталады. 
Анықтама 2.  матрицасы  матрицасына унитар ұқсас деп аталады, егер  болатындай  унитар матрицасы бар болса. Егер - ды нақты етіп таңдап алуға болса(ендеше ортогоналды болатындай), онда  матрицасы А матрицасына ортогональ ұқсас деп аталады. 
Унитар матрицалардың екі арнайы түрін қарастырайық, олар унитар ұқсастық түрлендіруін жүзеге асырады, бұл меншікті мәндерді есептеу үшін маңызды. 
Мысал 4. (Жалпақ (тегіс) айналу). 2-мысалдағы  матрицасы жазықтықта  координатының ( бұрышқа) айналуын жүзеге асырады. Егер матрица сол жағынан -ға көбейтілсе, ендеше мұнда тек қана i-ші және j-ші жол өзгереді, ал егер матрица оң жағынан көбейтілсе, онда тек қана i-ші және j-ші баған өзгереді. Осылайша,  көмегімен жүзеге асырылатын унитар ұқсас матрицаға көшкенде тек қана  i және j нөмірлі жол және бағандар өзгереді. Тегіс айналу көмегімен алынатын унитар ұқсастық меншікті мәндерді есептеген кезде қолданылады.
Мысал 5. (Хаусхолдер түрлендіруі).  Кез келген нөлдік емес  векторын алайық және матрица құрайық
                                       
мұндағы .   -бұл оң скаляр,  - матрица екендігін ескерейік. Егер  векторы нормаланған   болса, онда t 2-ге тең болуы керек, ал  матрицасы мына түрге ие болу керек:
                                       .
Әдетте  матрицасын алдын ала  нормаланған векторын таңдап алу арқылы құрады.
Кез келген  матрицасы Хаусхолдер түрлендіруі деп аталады. 
Теорема 4.  -ға тиісті А және В унитарлы ұқсас матрицалары үшін келесі теңдік орындалады:
                                       
Дәлелдеуі ұқсас үрлендіруге қатысты матрица ізінің инварианттылығының негізінде алынатын төмендегі теңдіктер тізбегінен алынады:
                                       
Теорема 5. (Унитар триангулярлау жайлы Шур теоремасы). Айталық  матрицасы берілсін және оның қандай да бір  меншікті мәндерінің реті бекітілсін. Онда 
                                       
диагоналында  элементі тұратын жоғары үшбұрышты матрица болатындай  унитар матрицасы бар болады. сонымен қатар, егер  және оның барлық меншікті мәндері нақты болса, онда -ды ортогонал етіп таңдап алуға болады.
басқаша айтқанда, кез келген комплексті матрица ұқсас үшбұрышты матрицаға унитарлы болады. 
Мысалы, төмендегі  және  матрицалары  түрлендіруінің унитар матрицасымен унитар ұқсас:
                                       
Салдар 1. Айталық  болсын.  үшін n  әр түрл меншікті мәні бар (ендеше, диагоналданатын) және 
                                       
болатындай  матрицасы бар болады. 
Басқаша айтқанда, кез келген матрица үшін оған соншалықты жақын диагональданатын матрица бар болады. 
Салдар 2. Айталық  болсын.  үшін 
                                       
жоғары үшбұрышты матрица және  үшін  болатындай, ерекше емес  матрицасы бар болады. 
Басқаша айтқанда, кез келген матрица кез келген кішкентай диагональдан тыс элементтері бар жоғары үшбұрышты матрицаға ұқсас болады. 
Теорема 6. Егер  матрицасы  меншікті мәндеріне (еселігін ескергенде) ие болса, онда 
                                       
Дәлелдеуі. Шур теоремасын қолданып  деп  жазамыз. Онда іздің және матрицаның анықтауышының ұқсас түрлендіруге қатысты инварианттылығын ескерсек мынаны аламыз:
                                      (5)
                                      (6)
ал бұл  дәлелдеуді аяқтайды. 
         Унитар матрицалардың қасиеттері.
* Кез келген унитар (ортогональды)  матрицалары үшін  көбейтіндісі сондай-ақ унитар (ортогональды) болады. 
* Унитар матрицалардың барлық меншікті мәндері модулі бойынша 1-ге тең. 
Анықтама 3. Алмастыру матрицасы деп әрбір жолында және әрбір бағанында тек қана нөлден өзгеше және 1-ге тең болатын бір ған элементі бар квадрат матрицаны айтамыз. 
Мысалы, берілген А матрицасын 
                                       
Алмастыру матрицасына сол жағынан көбейткенде бірінші және екінші жол орнымен ауысады, ал оң жағынан көбейткенде  -  бірінші және екінші баған орнымен ауысады.
* Кез келген ауыстыру матрицасы  -  унитарлы.
* Унитар матрицаның анықтауышы модуль бойынша 1-ге тең
* Біріңғай ретті унитар матрицалар көбейту бойынша группа құрайды.


                     * Қалыпты матрицалар
Анықтама 4.  матрицасы қалыпты деп аталады, егер ол өзінің түйіндес матрицасымен ауыстырымды болса:
                                       
Мысал 6. (Қалыпты матрицалар). 
* Егер  матрицасы унитар болса, онда ; сондықтан да барлық унитар матрицалар қалыпты болады.
* Егер  ( матрицасы эрмиттік) болса, онда  болады. сондықтан да барлық эрмиттік матрицалар қалыпты болады.
* Егер (матрица косоэрмитті) болса, онда . Сондықтан да барлық косоэрмиттік матрицалар да қалыпты болады.
* Симметриялы және кососимметриялы матрицалар қалыпты болып табылады.
*   матрицасы қалыпты және ол жоғарыда айтылған бірде  -  бір классқа жатпайды. 

        Қалыпты матрицалардың қасиеттері
* Қалыпты блокты-үшбұрышты Т матрицасы блокты-диагональды болып табылады.
* Диагональды матрица қалыпты болып табылады.
* Айталық  - кез келген матрица,   болсын. онда  матрицасы қалыпты болып табылады.
* Айталық А  - қалыпты матрица болсын. Кез келген  полиномы үшін  матрицасы қалыпты болады.
* Егер А  - қалыпты ерекше емес матрица болса, онда  -да қалыпты болады.
Анықтама 5.  матрицасы унитарлы диагональданатын деп аталады, егер ол қандай да бір диагональды матрицаға унитарлы ұқсас болса. Дәл осылай ортогональды диагональданатын матрица түсінігі еңгізіледі. 
Осылайша, унитарлы диагональданатын матрица үшін 
                                                                                           (7)
қатынасы орындалады, мұндағы  -диагональды, ал  - унитар матрица, сонымен қатар  марицасының диагональды элементтері А матрицасының спектрін құрайды.
Анықтама 6. (7) түріндегі өрнекті А матрицасының спектральді жіктелуі деп атайды. 
 Теорема 7. (Қалыпты матрицалар үшін спектральді теорема).   меншікті мәндері бар матрицасы үшін төмендегі тұжырымдар тепе-тең:
* А матрицасы қалыпты;
* А матрицасы унитарлы диагональданатын;
* 
* А матрицасы үшін меншікті векторлардан құралған ортонормаланған жүйе бар болады.
Салдар 3. Қалыпты матрицаның (7) спектральді жіктелудегі  - унитар матрицаның бағандары А матрицасының ортонормаланған меншікті векторы болып табылады. 
Мысал 7. (Қалыпты матрицаның спектральді жіктелуі). 6-мысалдағы А матрицасы е)  -  қалыпты, ендеше унитарлы диагональданатын. 3-салдарды қолданып, А матрицасының (7) спектральді жіктелуін құрайық. 
А матрицасы  меншікті векторларына ие болады және оларға сәйкес келетін нормаланған  меншікті векторлары
                                       
болады. Диагоналында А матрицасының меншікті мәндері тұратын (7)-гі   диагональды матрицасы мына түрге ие болады:
                                       .
ал  А матрицасын  матрицасына ұқсас түрлендіруді жүзеге асыратын  - унитар матрица А матрицасының нормаланған меншікті векторларынан тұрады және мына түрге ие болады:
                                       
 болатындығы тікелей тексеріледі.
Мысал 8 (Диагоналдандыру). 
                                       
Матрицасы  минималды полиномға ие боладығ ол сызықтық көбейткіштерге жіктеледі. Бұдан А матрицасы диагональданатын болатындығы шығады. А матрицасын диагональдауды жүзеге асыратын ұқсас түрлендіру  ерекше емес матрицаның көмегімен орындалады:
                                       
А матрицасы қалыпты емес, себебі 
                                       
Ендеше қалыпты матрицалар үшін спектральді теоремаға сәйкес А матрицасы унитарлы диагональданбайтын болып табылады.
Анықтама 7.  тік бұрышты матрицаның  сингулярлы саны  -  бұл  немесе  матрицасының меншікті мәндерінен алынған теріс емес квадрат түбірлер:
                                       
Теорема 8. Қалыпты матрицаның сингулярлы сандары модулі бойынша сәйкес сипаттауыш сандарға тең:
                                       
Дәлелдеуі. А матрицасы қалыпты, ендеше, унитарлы диагональдандырылады:  , мұндағы ,  - унитарлы матрица. Онда 
                                       

 
Ұсынылған әдебиеттер:
     
      - Тыртышников Е.Е. Матричный анализ и линейная алгебра, М., 2004-2005
      - Ланкастер П., Теория матриц, М., 1973
      - Беллман Р. Введение в теорию матриц
      - Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 1967
      - Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ 
      - Цехан О.Б. Матричный анализ, 2010


                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       

                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс