Файл қосу
Термодинамикалық функциялар
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
СемЕЙ қаласының ШӘКӘРІМ атындағы МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ
3 деңгейлі СМК құжаты
ПОӘК
ПОӘК 042-18-38.1.64
/03-2014
ПОӘК
<<Статистикалық физика және физикалық кинетика негіздері>> пәнінің оқу-әдістемелік материалдары
№2 басылым
25.06.2014ж.
ПӘННІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ
<<Статистикалық физика және физикалық кинетика негіздері>>
<<5В011000 - Физика>> мамандығы үшін
ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК МАТЕРИАЛДАРЫ
Семей
2014
Мазмұны
1
Глоссарий
3
2
Дәрістер
5
3
Практикалық сабақтар
73
4
Студенттердің өздік жұмыстары
81
1 ГЛОССАРИЙ
азғындалған газ - температурасы азғындау температурасынан төмен болган жағдайдағы кванттық газ
бозе-газ - спиндері нөлге немесе бүтін санға тең. Бозе - Эйнштейн статистикасына бағынатын бөлшектерден тұратын кванттық газ
бозе-эйнштейн статистикасы - бозондардан тұратын жүйеге қолданылатын кванттық статистика
бозе-эйнштейн конденсациясы - азғындау температурасынан төмен температурада көптеген бозондар ең төмен энергияға ие болатын күйді толтыратын құбылыс. Кез келен басқа күйде бозондар саны аз болады
бозе-эйнштейн үлестірілуі - өзара әрекеттеспейтін энергиясы болатын күйде орналасатын бозондар санының орташа мәні
,
мұндағы - химиялық потенциал, k - Больцман тұрақтысы
бозон - нөлдік немесе бүтін спинге ие болатын бөлшек немесе квазибөлшек. Бозон Бозе-Эйнштейн статистикасына бағынады
Больцман статистикасы - классикалық механика заңдары бойынша қозғалатын, көп өзара әрекеттеспейтін бөлшектердің физикалық қасиеттерін статистикалық түрде сипаттау
борндық жуықтау - микробөлшектердің шашырау теориясындағы, бөлшектердің шашырау амплитудасын бірінші жуықтауда есептеу әдісі
Больцман үлестірілуі - идеал газ бөлшектерінің р импульстер және координаталар бойынша тепе-тең үлестірілу функциясы
Больцманның кинетикалық теңдеуі - молекулалар өзара соқтығысуы нәтижесінде пайда болатын тепе-теңдікті сипаттайды
идеал газ - бөлшектредің өзара әрекеттесуі есептке алынбайтын газдың теориялық моделі
Гиббстің каноникалық үлестірілуі - ортамен жылулық тепе-теңдікте орналасқан және көлемі мен бөлшектер саны тұрақты жүйелердің статистикалық ансамблі күйлерінің ықттмалдықтарының үлестірілуі
кванттық статистика - көп бөлшектерден тұратын кванттық жүйелердің статистикалық физикасы
кинетикалық теңдеу - тепе-тең емес процестерді сипаттайды, ол үлестірілу функциясына арналған интегродифференциалды теңдеу
нақты газ - қасиеттері молекулалардан өзара әрекеттесуіне тәуелді газ
тепе-тең емес процестер - термодинамика және статфизикадағы тепе-тең емес күйлерді қамтитын физикалық процестер
тепе-тең емес күйлер - термодинамикадағы термодинамикалық тепе-теңдіктен, статфизикадағы статистикалық тепе-теңдіктен шығарылған жүйенің күйі
тасымалдау құбылысы - қайтымсыз процестер, олардың нәтижесінде физикалық жүйеде электр заряды, масса, импульс, энергия, энтропия және т.б. физикалық шамалар кеңістікте тасымалданады
тепе-тең күйлер - үлкен уақыт аралығында тұйықталған жүйенің тепе-тең күйге көшкен күйі. Бұл уақыт релаксация уақыты деп аталады
термодинамиканың бірінші бастамасы - жылулық құбылыстарға арналған энергияның сақталу заңы
Резерфорд формуласы - Кулон заңымен әрекеттесетін, релятивистік емес зарядталған нүктелік бөлшектердің шашырау қимасын анықтайды
релаксация - макроскопиялық физикалық жүйелерде тепе-теңдіктің пайда болу процесі
статистикалық салмақ - кванттық статистикадағы берілген энергияны кванттық күйлердің әр түрлі сандары. Статистикалық саламақ күй азғындауының еселігі деп те атайды
статистикалық механика - макроскопиялық денелердің қасиеттерін өте көптеген бөлшектерден (молекулалардан, атомдардан, электрондардан) тұратын жүйелер ретінде қарастыратын физиканың бөлімі. Статистикалық физикада ықтималдықтар теориясына негізделген статистикалық әдістер қолданылады
статистикалық қосынды - Z шама, ол , мұнда - n кванттық күйдегі энергия үлестірілу функциясы - ол
статистикалық физика - макроскопиялық денелердің қасиеттерін өте көптеген бөлшектерден (молекулалардан, атомдардан, электрондардан) тұратын жүйелер ретінде қарастыратын физиканың бөлімі. Статистикалық физикада ықтималдықтар теориясына негізделген статистикалық әдістер қолданылады
статистикалық ансамбль - дегеніміз бір-біріне тең емес күйлерде орналасқан көп нақты жүйелердің қосындысы деп атауға болады
статистикалық термодинамика - физикалық жүйелердің тепетеңдік күйлерін сақта-ғандағы жалпы физикалық қасиеттерін зертейтін теоретикалық физиканың бөлімі. Термодинамика екі бөлімнен құралады феноменологиылық және статистикалық термодинамикадан. Феноменологиялық термодинамикада өтіп жатқан жүйелердегі процесстерді қарастырғанда молекулалрдың ішкі құрамдары және молекулярлық процесстерінің механизмдары есептелмейді. Термодинамика мен статискалық физика материяның жылулық қозғалыстарын зерттейді. Сондай теоретикалық зерттеуде заттарда өтіп жатқан физикалық процесстерді анықтау үшін көп модельдік ұғымдар пайдаланды
термодинамика - жылулық қозғалыстың заңдылықтарын және оның заттың физикалық қасиеттеріне тигізетін ықпалын энергетикалық тұрғыдан қарастыратын ғылым
термостат - тұрақты температураны ұстайтын прибор
термодинамиканың екінші бастамасы - өздігінен температурасы төмен денеден температурасы жоғары денеге жылудың ауыса алмауы
термодинамикалық жүйе - көп материалдық нүктелердің қосындысы деп саналады. Материалдық нүктелер ылғи хаотикалық қозғалысқа қатнасадыда, бір- бірімен кинетикалық энергиямен, жылдам-дықпен, импульспен алмасады, бірақ олардың ішкі күй жағдайы өзгерілмейді
термодинамиканың үшінші бастамасы - абсолют нөлге ұмтылғанда тепе-тең күйде дененің энтропиясының нөлге ұмтылуы
ферми-газ - жартылай бүтін санды спинге ие болатын бөлшектреден тұратын кванттық газ. Ферми-газ ретінде металдағы электрондық газды алуға болдаы
ферми-деңгей - Ферми энергиясына сәйкес, фермиондар жүйесінің кейбір шартты энрегия деңгейі
ферми-энергиясы - абсолют нөл температурада, өзінен төмен орналасқан барлық деңгейлер фермиондармен толтырылатын энергияның мәні
Ферми-Дирак үлестірілуі - өзара әрекеттестігін есепке алмауға болатын теңбе-тең фермиондардың энергетикалық деңгейлер бойынша үлестірілуін сипаттайтын өрнек. Бұл күйге сәйкес келетін осындай бөлшектердің орта саны Ферми-Дирак үлестірілуімен анықталады:
фермион - жартылай бүтін спинге ие болатын бөлшек немесе квазибөлшек. Фермиондарға электрон, протон, нейтрон, кварктар және т.б. жатады
флуктуация - көп бөлшектерден тұратын жүйені сипаттайтын физикалық шамалардың орта мәндерінен кездейсоқ ауытқулары
Ферми-Дирак статистикасы - теңбе-тең фермиондар жүйелеріне арналған кванттық статистика
ферми беті - квазиимпульстер кеңістігінде өткізгіштік электрондары бар облысты, Т=0К температурада электрондары жоқ облыстан бөлетін изоэнергетикалық бет. Мұндағы - Ферми энергиясы
I ретті фазалық ауысу - ауысу жылуы бөлінетін және көлем секірмелі түрде өзгеретін ауысу
II ретті фазалық ауысу - бұл жағдайда ауысу жылуы болмайды және көлем секірмелі түрде өзгермейді
үлестірілу функциясы - ол - нормалау шартын қанағаттандырады:
үлкен каноникалық үлестірілу - мұнда - химиялық потенциал, - бөлшектер саны, - нормалау шартынан табылады
физика - материяның жалпы формалары және өзара түрленуі туралы ғылым, ол дәл ғылымдарға жатады және айналамыздағы процестермен құбылыстардың сандық заңдылықтарын зерттейді
физикалық заңдар - табиғатта болатын тұрақты қайталанатын объективті заңдылықтар
2. ДӘРІСТІҢ ҚЫСҚАША КОНСПЕКТІЛЕРІ
Кіріспе
Статискалық физиканы термодинамика мен салыстырғанда айтылғанымыз материяның жылулық қозғалысының модельдік немесе атомдык теориясы деп саналады. Статистиқалық теорияның негізіне заттың динамикалық моделін пайдаланып, сол моделдің микроскопиялық күйлерінің априорлық ыктималдығын болжайды. Әрі қарай белгілленген теория динамикалық микрожүйенің статискалық теориясы боп белгіленеді, яғни оның карастыратыны динамикалық шамалар мен микрокүйлер емес, тек қана олардың ыктималдығы және орташа мәндері.
Статистакалық физика екі үлкен бөлімдерден құралады: жүйелердің тепе-теңдік күйінің теориясы және тепе-теңдік емес процестердің теориясы. Бірінші жағдайда, термодинамикалық жүйелердің тепетеңдік күйін карастырғанда, статистиқалық физиканың пайдаланатын ықтималдыктар және арташа шамалар уақытқа тәуелсіз болады, ал екінші жағдайда ықтималдық және орташа шамалардың мәндері уақытқа тәуелді болады. Тағыда статистиқалық физиканың басқа екі бөлімін қарастыруға болады. Ол - классикалық және кванттық статистикалық физика.
Классикалық статистикалық физикада термодинамикалық жүйені кұрастыратын атомдар мен молекулалар тек қана механиқалық касиеттерге ие болдыда, яғни тек қана механикалық заңдарына бағынады деп саналады. Бұл жағдайда заттың классикалық мөделі құрастырладыда, соның статистикалық каситеттерін зерттейтін теория классикалық статистика деп аталады. Егерде термодинамикалық жүйені кұрастыратын бөлшектер кванттық касиеттерге ие болса, онда сол жүйенің статистикалық касиет-тернін қарастыратын теория кванттық статистика деп саналады. Термодинамикалық жүйлерде тепетеңдік емес процесстерін зерттеу үшін кинетикалық теорияны пайдаланады. Оларды классикалық немесе кванттық кинетика деп атайды.
Сондықтан, айтылғаннан қортындыны алсақ, статистиқалық физика төрт бөлімнен құралады:
* классикалық статистика
* классикалық кинетика
* кванттық статистика
4. кванттық кинетика
Жалпылай, cтатискалық физиканың негізі американ физигі ДЖ. Гиббстің әдістемесіне орналасқан.
Тақырып: Физикадағы 2 әдіс. Лиувилл теоремасы. Статистикалық ансамбль, үлестірілу функциясы.
Көп бөлшектерден құралатын заттардың қасиеттерін зерттеуеге механикалық көзқарас пайдаланды. 18 ғасырда механика ғылыми түрінде ең жоғары деңгейіне жетті. Жалпы, барлық табиғатта өтетін құбылыстарды, бір біріне себепті салдары байланыс арқылы қарастырылды. Ондай көзқарас механикалық детерменизм деп аталды. Механикалық детерменизм бойынша барлық табиғатта өтетін құбылыстар бір- біріне себепті салдар боп саналды. Барлық Ньтонның механикасы механикалық детерменизм тұжырымынан құралада. Табиғатта кездесетін құбылыстардың себепті пікірліктен шыққан қатаң бірізділігі олардың әрқашан міндетті орындалатынын тағдырын белгілейді. Бұл жағдайларда кездейсоқ құбылыстар кездеспейтін боп саналады.Механикалық детерменизмның философтарына құбылыс әрқашанда салдар мен себептің қосындысы боп саналады. Әрине механикалаық детерменизм принципы біріншіден физикалық жүйенің күйін зерртеуге пайдаланды. Егер макроскопиялық көзқарасты алсақ, онда бір белгіленген физикалық жүйенің күйі анықталған болып шығда, егер сол жүйені құрайтын бөлшектердің мекен жайлары мен және олардың қозғалыстары белгілі болса, механикалық заңдары арқылы бөлшектердің, яғни физикалық жүйенің, болашақ жағдайларын анықтауға болады.
Онда детерменизм принцип бойынша физикалық жүйенің қазырғы қүйін біле тұрып, физикалық жүйенің күйлерінің уақыт бойынша өзгерісін анықтауға болады. Осы келтірілген детермениз принципы физикалық жүйенің күйін зерттеуге пайдаланатын нақты механикалық әдіс бөп саналады. Көп болшектерден құралатын физикалық жүйенің күйін механикалық қөзқарас арқылы шешілмейтін тұжырым мұндай қойылған мақсатты басқаша қарастыруға жол салады. Ондай, басқаша көзқарас ─ статистикалық тәсілі деп аталады. Осы жаңа белгіленген статистикалық тәсіл біріншіден көп бөлшектерден құралатын физикалық жүйенің өзінің меншікті статистикалық қасиеттері мен байланысты деп білу керек.
Сондықтан, физикалық көп бөлшектерден құралатын жүйлердің өзгешілік қаситеттерін анықтауға жәңа тәсілдерді қолдану керек. Ендігі қойылытын мақсат статистикалық тәсілдерді көп бөлщектерден құралатын физикалық жүйелердің қасиеттерін және оларда өтетін құбылыстарды зерттеуге пайдалану.
Мехниқалық заңдары бойынша кез келген жүйелердің физикалық қасиеттерін микроскопиялық түрінде анықтау үшін өте көп параметрлерінің мәндері белгілі болу керек екенін мен таныстық. Бірақ термодинамикалық тұжырымдыры бойынша физикалық жүйелердің(мыслы газдарды, сұйқтарды немесе сәулелену құбылыстары және т.б.) қасиеттерін макроскопиялық зерттеуге шектелген параметрлердің мәндерін білу керек. Егер белгіленген физикалық жүйе тепе-теңдік күйін сақтаса, онда олардың қасиеттерерін зерттеуге көбірек оңайлыққа түседі деп санауға болады. Мұндай жағдайда термодинамикалық жүйелердің физикалық жағдайлары қарапайымдай болады да, соны мен қоса оларға сәкес жүйенің параметрлері уақытқа тәуелді болмайды. Расында, егер бір моль газ тепе теңдік күйде болса, онда оның көлемі V, қысымы P және температурасы T оның толық күйін белегілейді. Егер белегіленген физикалық жүйе бұдан да бір аз күрделі болса да бәрі бір оның тепе-теңдік күйінде касиеттерін анықтауға онша көп парметрлердің мәндерін табуға қажетті емес.Көбінесе физикалық жүйелердің қаситтерін зерттегенде олардың макропара-метрлерінің мәндері өзгерілмейді деп саналады, яғни олар өздерінің тепе-теңдік күйін сақтайды. Мұндай жағдайда жүйенің қысымы, көлемі және температрурасы тұрақты болады да, ол термостатта орналсқан боп саналады
Тұрақты температурада және қысымда орналасқан газдың кез-келген тепе-теңдік күйіне өте көп молекулалрдың қозғалысы және мекен жайы сәйкес келеді. Расында, газ өз тепе-теңдік жағдайын сақтасада молекулалары тоқтамайтын хаотикалық, жылыулық (броундық) қозғалысқа қатынасып жатады. Өзара газ молекулалары бір-бірімен әрқашанда кинетикалық энергия, импульстер мен алмасып жатады. Сондықтан, физикалық жүйенің бір күйіне макроскопиялық көзқарасында өте көп (мыңдаған) микроскопиялық күйлері сәйкес келеді. Яғни микроскопиялық күйлері тоқтамайтын өзгерісте болады да, ал термодинамикалық жүйенің макроскопиялық күйі тұрақты боп саналады.
Басқаша, тепе-теңдік физикалық күйін сақтайтын термодинамикалық жүйенің макроскопиялық параметрлері микроскопиялық параметрлерінің функциясы боп саналады. Мысалы, газдың қысымы макроскопиялық параметр түрінде молекулалрдың құйылған ыдыстың қабырғасына микроскпиялық соқтығыстарының қосындысына тәуелді (микроскопиялық параметрлеріне).
Осыдан статистикалық ансамбль дегеніміз бір-біріне тең емес күйлерде орналасқан көп нақты жүйелердің қосындысы деп атауға болады.
Олар жүйенің бір күйіне сәйкес боп саналады. Бірақ бір-біріне тең емес жүйенің макрокүйлерінің сандары бір біріне тең емес микрокүйлер арқылы анықталады. Сонда қандай макрокүйлерге сәкес келетін микрокүйлердің саны жоғары болса, соншама сол микрокүйдің жағдайы орнықты болады. Осы белгіленген түсініктілер арқылы жүйенің термодинамикалық ықтималдығы деген ұғымы еңгізіледі.
Кез-келген жүйенің күйінің термодинамикалық ықтималдығы дегеніміз сол жүйенің күйіне сәйкес келетін микроскопиялық күйлерінің саны боп саналады. Сондықтан жүйенің термодинамикалық ықтималдығы дегеніміз сол жүйенің күйін белгілейтін микроскопиялық күйлерінің саны арқылы анықталатын болады. Осы анықтамадан жүйенің термодинамикалық ықтималдығының мәні әрқашанда бірден көп деп белгілеуге болады.
Белгіленген термодинамикалық ықтималдық ұғымы және математикалық статистиқалық заңдары көп бөлшектерден құралатын жүйелердің қасиеттерін зерттеуге статистиқалық физикада пайдаланады.
Ендігі қойылытан мақсат өткенде ең біріңші американ физигі Дж. Гиббс орнаған статистиқалық физиканың жалпы әдісіменен танысамыз.
Егер қарстырылатын термодинамикалық жүйе N материалдық нүктелерден құралатын болса, онда ол жүйеге арналған (5.2) Гамильтон өрнектерін шығарсақ десек, онда олардың шешімін 6N бірінші интеграл түрінде келтіруге болады:
p1c1,c2,...,c6N,t=0p2c1,c2,...,c6N,t=0.................................p3Nc1,c2,...,c6N,t=0q1c1,c2,...,c6N,t=0...................................q3N(c1,c2,...,c6N,t)=0 (5.3)
Алынған 6N теңдеулер жүйенің фазалық кеңістігінде қозғалыс теңдеуі деп санауға ыңғайлы. Фазалық кеңістік деп 6N көпөлшемді жалпыланған координаталар мен импульстердің арқылы ойда елестетін кеңістік белгіленеді.
Статистикалық физикада фазалық кеңістіктің екі түрін қарастырады. Бірінші μ - кеңістік және екіншісі Γ - кеңістік. μ - кеңістік ол бір бөлшекке қатанасты фазалық қеңістік боп саналады. Бір бөлшектің еркін дәреже саны 3 тең болса, онда фазалық μ-кеңістікке 6 өлшемді кеңістік сәйкес келеді (3 жалпылыған координаталарды және 3 жалпыланған импульстерді есептегенде). Екіншісі Γ - кеңістік деп аталатын фазалық кеңістіктің, көп болшектерден құралатын физикалық жүйелерге еңгізледі. Осыдан, әрқашанда μ - кеңістік Γ - кеңістіктіктің бір бөлшекке арналған қарапайым түрі деп санауға болады.
Кез келген физикалық жүйенің микрокүйі(фазасы) ондай 6N көпөлшемді кеңістікте бір нүкте мен бейнеленеді. Онда барлық қеңістіктің көлемін жүйенің микрокүйлері толтырады да сондықтан ол фазалық қеңістік деп аталады. Егер карастырылатын жүйе байланысқан болса немесе бөлшектерінің ішкі еркін дәрежелік саны 3N емес f тең болса, онда жүйенің фазалық кеңістігі 2f -өлшемді болады. Яғни кез-келген термодинамикалық жүйеге меншікті қаситеттеріне сәйкес фазалық кеңістікті белгілеуге болады.
Нақты физикалық жұйе бір белгіленген уақытта бір күйінде болу керек. Ол күйі әрқашанда фазалық кеңістігінде белгілі нүктемен бейленеледі. Бірақ физикалық жүйені құрайтын бөлшектер тоқталмайтын қозғалысқа қатнасады, яғни жүйенің күйі ылғи өзгеріп отырады. Термодинамикалық жүйенің күйінің өзгерісі фазалық кеңістікте кей бір сызық пен белгіленеді ол фазалық траектория деп аталады. Алдында көрсетілген (5.3) 6N теңдеулер фазалық траекторяның параметрлік теңдеулері боп саналады.
Енді физикалық жүйенің фазалық траекториясынң қаситтерін анықтауға болады. Жүйенің кез-келген траекториясы фазалық қеңістікте 6N бастапқы шарттарымен анықталады (бір бастапқы нүкте мен), яғни жүйенің бөлшектерінің берілген бастапқы уақыт t = 0 болғанда 3N жалпыланған координаттардың мәндері мен және 3N жалпыланған импульстердің мәндері мен. Фазалық кеңістікте жүйенің траекториялары тұйық болсада, бір бірі мен ешқашанда қиылыспайды. Басқаша айтқанда фазалық кеңістіктің әр нүктесінен тек қана бір фазалық траектория өтеді. Бұл тұжырым механиқалық жүйеге арналған (5.2) теңдеулердің шешімдері бірдей бастапқы шарттарда бірмәнділік болу тиісті қасиеттерінен алынады.
Егер шектелген термодинамикалық жүйені қарастырсақ, онда оның толық энергиясы тұрақты болу керек, яғни:
E=Eq1,q2,...p1,p2,...= const (5.4)
Осы алынған өрнек жүйенің барлық параметрлерін бір-бірімен байланыстырады оны басқаша энергияның жүйенің фазалық кеңістегіндегі гипербет теңдеуі боп саналады. Оны жайында фазалық кеністіктегі энергияның беті деп атауға болады. Шектелген жүйенің қандай өзгерістері боласада оның фазалық траекторяисының барлық нүктелері жүйенің энергиясының гипербетінде орналасады. Бірақ жалпы түрінде бір ғана жүйенің өзгерісін зертемейді, соны мен қоса көп жүйелердің (ансамбілдердің) қосындысын қарастыру керек болады. Бұл жағдайларда ондай күрделі жүйе (ансамбль) фазалық көлемінде таралатылған боп саналады. Ондай күрделі фазалық көлем 2fN өлшемді болады. Зерттеуге ыңғайлы болу үшін элементарлық фазалық көлем деген ұғымын пайдаланады. Элементарлық фазалық көлем дегеніміз:
dΩ=dq1,dq2,...,dq3N,dp1,dp2, ...,dp3N (5.5)
Егер элементарлық фазалық көлемді барлық фазалық кеңістігіндегі қосындысын алсақ, онда шектелген жүйенің толық фазалық көлемі мынандай интегрлаға тең болады:
Ω=...dq1,dq2,...dp1,dp2... (5.6)
Мында фазалық кеңістіктің көлемі жалпыланған кооринаталар мен импульстерге тәуелді. Соны мен қоса ол жүйенің толық энергиясына тәуелді боп саналады. Әрине мұндай тұжырым жүйенің энегргиясының жалпыланған импульстерге және координаталарға тәелділіктен алынады. Яғни E=Eq1,q2,...p1,p2,..., сондықтан:
Ω=Ω(E) (5.7)
Егер энергияның E, E +dE интервалындағы өзгерісін алсақ, онда сол микроинтервалға сәйкес келетін фазалық кеңістіктіктің элементарлық көлемінің мөлшері тең болады:
dΩ= dΩdEdE (5.8)
Ендігі қойылытын мақсат статистикалық әдісті көп бөлшектерден құралатын термодинамикада танысқан ұғымдар арқылы жүйелердің қасиеттерін зерттеуге пайдалану.
Алдына Гиббс әдісін көп бөлшектерден құрлатын термодинамикалық жұйелердің қасиеттерін анықтауға пайдаланады деп белгіледік.
Біріншіден, физикалық жүйенің күйін фазалық қеңістік арқылы қарастырылса онда барлық жүйенің микрокүйлерінің геометриялық көрінісі қосындысы жүйенің толық макрокүйін белгілейді. Соны мен қоса көп фазалық нүктелердің қосындысын бір термодинамиқалық күйде орналасқан көп нақты жүйелердің қосындысы деп санауға болады. Онда көп физикалық жүйелердің, бір белгілеген күйіне сәйкес жиынтығын, статистикалық немесе фазалық ансамбль деп аталады. Яғни бір белгіленген фазалық ансамбльге жүйенің фазалық кеңістігінде белгіленген фазалаық нүктелердің тобы сәйкес келу керек. Егер, кез-келген фазалық кеңістігінің нүктесіне (жүйенің микрокүйіне) ықтималдық үлестірім функциясы арқылы сәйкес келетін ықтималдықты тағайындасақ, онда фазалық ансамбль ұғымы (елесі) арқылы термодинамикалық жүйенің күйінің термодинамикалық ықтымалдығын анықтауға болады. Басқаша айтқанда физикалық жүйенің фазалық кеңістігі және фазалық ансамбль ұғымдары математикалық ститстикалық заңдарын пайдалануға жол салады.
Стаистикалық ансамбльді құрайтын жұйелер кез-келегн түрінде фазалық кеңістігінде таралуы мүмкін. Жалпы тұрінде ол өзіне сәйкес фазалық кеңістігін көлем бойынша орналасады. Онда бір белгіленген dΩ элементарлық фазалық көлемінде орналасқан стаистикалық жүйенің саны dN сол көлемнің мәніне тура пропорционал болады:
dN=f(q1,q2,...p1,p2,...)dΩ (5.11)
Ақырғы теңдеуде орналасқан f(q1,q2,...p1,p2,...) функция жүйенің үлестірім функциясы Оны ρ= f(q1,q2,...p1,p2,...) деп белгілесек, онда элементарлық фазалық көлеміндегі жүйелердің саны:
dN=ρdΩ (5.12)
Мындағы үлестірім тығыздық функциясы ρ= f(q1,q2,...p1,p2,...) бірлік элементар-лық фазалық көлемінде орналасақан жүйелердің санын анықтайды.
Ал енді кез-келген жүйенің элементарлық фазалық көлеміне орналасуының ықтималдығын алсақ, онда
dw=dNN=ρNdΩ= χdΩ (5.12)
Осында χ= ρN дегеніміз ықтималдықтың тығыздық функциясы. Егер нормалау шартын пайдалансақ, онда:
dw= χdΩ= 1 (5.13)
Енді мынандай тұжырым бекітуге болады. Кез келген фазалық ансабільдің әр нүктесіне (күйіне) үлестірім функциясы тәуелді болады деп белгілінеді (немесе ықтималдық). Осыдан термодинамикалық жүйенің күйін dw ықтималдық пен және үлестірім функциясының χ тығыздығы мен сипаттауға болады.Яғни термодинами-калық жүйені фазалық қеңістігінде бір анықталмайтын нүктемен сиппаталмайды, соны мен қоса оның күйін белгілейтін ықтималдық және үлестірім функцияся тағайындалды.
Шектелген термодинамикалық физикалық жүйенің бөлшектерінің қозғалысы Гамильтон теңдеуіне бағынады. Физикалық жүйенің күйі өзгерседе бірақ фазалық кеңістіктің бір-біріне тең қөлемінде бөлшектердің саны бірдей болады. Ендігі мақсат осы теорема Лиувилля деп аталатын заң мен танысу.
Біріншіден көлем бойынша таратылған статистикалық ансамблдің - кеңістіктегі қозғалысы сұйықтың ағсындай өтеді деп санауға болады. Біздің статистикалық ансамбльдің күйі уақыт бойынша бір dΩ1 фазалық кеңістіктен екінші dΩ2 фазалық кеңістікте ауысады деп санайық. Онда бірінші фазалық кеңістікте статистикалық жүйелердің саны dN1= ρ1dΩ2 тең болады, ал екіншіде dN2= ρ2dΩ2 болады. Енді қарастырып отырған статистикалық ансамбль шектелген болса, онда бір фазалық кеңістіктен екінші фазалық кеңістікке тең фазалық стаистикалық ансамбльдің сандары ауысу керек. Яғни dN1= dN2, сондықтан:
ρ1dΩ2=ρ2dΩ2 (5.14)
Сурет188 18 сусурет18 18
Осындай көзқарас статистикалық ансамбльдердің фазалық нүктелерінің бір фазалық көлемнен екінші фазалық кеңістікке құйылу процесстерін гидродинамикадағы сұйықтардың құйылу процесстермен бірдей деп санауға мүмкіншілік береді.
Әрі қарай жалғастыру үшін, біз Эйлердің гидрдинамикадағы сұйықтардың ағынына арналған үздіксіз теңдеуімен танысуымыз керек. Ол үшін сұйықтың ағысында қабырғалары dx, dy ,dz тең паралелипипед белгілейік. (Сурет 18)
Аққан сұйық координаталар бағыты мен ағынынң X,Y,Z осьтеріне u,v,w сәйкес жылдамдықтарының проекциялары мен құйылады да, сол бағыт пен белгіленген паралелипипед көлемінен шығады деп санайық. Онда Х осі бағытымен dt уақытында құйылатын сұйықтың мөлшері тең болады:
ρudtdydz,
Мында ρ - сұйықтың тығыздығы, ол сұйықтың ағынының жылдамдығының Х осінің проекциясына, координаталарға және уаықытқа тәуелді. Белгіленген паралелипипед көлемінен Х осі бойынша екінші қырынан ағылғын сұйықтың мөлшері тең болады:
(ρu+ d(ρu)dxdx)dtdydz
Мында Х осі бағыты бойыншы сұйықтың тығыздығы ρ және жылдамдығы u өзгеріп отырады. Осыдан Х осі бағыты бойынша пайда болатын сұйықтың артығы тең:
- d(ρu)dxdx)dtdydz
Осылайша басқа Y, Z осьтердің бағыты бойынша сұйықтың ағысын алсақ, онда жалпы белгіленген көлемдегі сұйықтың ағысының айырмасы тең болады:
d(ρu)dx+ d(ρv)dy+ d(ρw)dz dxdydzdt (5.15)
Осы алынған сұйықтың ағысының айырмасы сол белгілінген көлемдегі сұйықтың мәнінің dt уақытындағы өсімшесіне тең:
dρdtdtdxdydz (5.16)
сондықтан (5.15) және (5.16) бір-біріне теңестірсек,онда:
dρdt +d(ρu)dx+ d(ρv)dy+ d(ρw)dz =0 (5.17)
Осы алынған өрнек гидродинамикадағы Эйлердің үздіксіз теңдеуі деп аталады.
Оны жүйелердің фазалық кеңістігіндегі қозғалысын қарастыруға пайдалануға болады. Ол үшін стаистикалық ансамбльдың Γ - кеңістігінде fN - өлшемді жылдамдықтың векторын белгілеу кререк. Оның проекцияляры q1',q2',... p1',p2', ... тең болады. Статистикалық анасамбльдың бір еркін дәрежесіне qk',pk' проекциялардың мәндері сәйкес келеді деп, Эйлердің үздіксіз теңдеуін пайдалануға болады онда :
dρdt +d(ρqk')dqk+ d(ρpk')dpk = 0 (5.18)
Егер барлық еркін дәреже санана алынғанды пайдалансақ, онда:
dρdt +kd(ρqk')dqk+ d(ρpk')dpk=0
Жақшадағы көбейтінділердің туындыларын алсақ, онда:
dρdt +kqk'dρdqk+ pk'dρdpk+ρkdqk')dqk+ dpk'dpk = 0 (5.19)
Ақырғы өрнектегі бірінші және екінші косындылар ρ функцияның толық туындысы боп табылады. Оны былай белгілеп жазуға болады:
DρDt= dρdt +kqk'dρdqk+ pk'dρdpk (5.20)
Cондықтан (5.19) былай алуға болады:
DρDt+ ρkdqk')dqk+ dpk'dpk=0 (5.21)
Қарастырылған жүйе шектелген болса, онда (5.21) екінші қосындысы нольге тең болады. Расында шектелген жүйелердің жалпыланған координаталары мен импульстері әрқашанда Гамильтон теңдеуіне бағыныды. Яғни жалпыланған координаталардың бір :еркін дәреже санына арналған проекцияларын алсақ, онда:
dpkdt= -dHdqk және dqkdt= dHdpk (5.22)
Егер (5.22) жалпыланған координаталр pk, qk бойынша меншік туынды алсақ, онда:
dpk'dpk= -d2Hdqkdpk; dqk'dqk= d2Hdqkdpk (5.23)
Осыдан (5.21) екінші қосындысы нольге тең болады, яғни:
kdqk')dqk+ dpk'dpk = 0 (5.24)
Сондықтан (5.21) өрнек мынандай түріне келеді:
DρDt = 0 (5.25)
Осы өрнектен қарастырылып отырған статистикалық ансамбльге қатнасты екі өте маңызды екі тұжырым белгілей аламыз.
Біріншіден, (5.23) өрнек гидродинамикада белгілі сұйықтың қысылмайтын шартына сәйкес келеді. Ол:
dudx+dvdy+dwdz=0 (5.26)
Эйлер теңдеуінен аланады, егер сұйықтың тығыздығы тұрақты болады деп саналса және сұйықтың тығыздығы координаталрға тәуелді болмау керек. Яғни (5.18) dρdt =0 болу керек. Сондықтан жоғарғы көрсетілгеннен мынандай шешім тағайындалады: фазалық кеңістіктегі Гамильтон теңдеуіне бағынытын фазалық нүктелердің немесе жүйелердің жиынтығы фазалық кеңістікте қысылмайтын сұйық боп саналады.
Екіншіден (5.25) өрнек фазалық кеңістіктегі өзгерістегі статистикалық ансамбльге қатнасты ρ функциясы тұрақты боп дәлелденді. Сондықтан белгіленген шешімдерге қатнасты:
ρ1= ρ2 (5.26)
Яғни одан:
dΩ2= dΩ2 (5.27)
Осы алынған ақырғы тұжырымды элентарлық фазалық көлемінің сақталу шарты деп белгілеуге болады. ( Дж. Гиббс бойынша)
Статистикалық ансамбльдың күйі фазалық кеңістігінде қарастырылса онда оның элементарлық фазалық көлемі әрқашан тұрақты болады, бірақ оның түрі өзгеру мүмкін. Бұл белгілінген шарт Лиувилл теоремасы деп аталады. Бұл тұжырым статистикалық механианың ең маңызды нәтижесі деп саналады.
Ақыры Лиувилл теоремасы тағы бір үлкен маңызды тұжырым алынады. Оны анықтау үшін ρ функцияның дербес туындысының нольге теңдігін міндетті түрде белгілейік:
dρdt =0 (5.28)
Онда (5.25) теңдеуінен:
kqk'dρdqk+ pk'dρdpk=0 (5.29)
Осы алынған теңдік статистикалық ансамбльдың фазалық нүктелерінің кеңістіктегі қозғалысын стационарлық түріне сәйкес деп белгілейді. Соны мен қоса ρ үлестірім тығыздық функциясы фазалық кеңістігінде өзгермейтін болады. Яғни статистикалық ансамбльдың фазалық фазалық нүктелерінің стационарлық қозғалысында үлестірім тығыздық функцияның мәні фазалық кеңістігінің көлемінде тұрақты боп табылады. Басқаша: статистикалық ансамбль өзінің термодинамикалық тепе-теңдік күйін сақтайды. Онда (5.28) шарт статистикалық жүйенің термодинамикалық тепе-теңдік күйін сақталатынын белгілейтін ең жалпы шарт боп табылды. Яғни термодинамкалық жүйе немесе статистикалық ансамбль өзінің тепе-теңдік күйін сақтаса, онда үлестірім тығыздық функциясы уақытқа тәелді емес текқана жалпылынған координаталар мен импульстерге тәуелді болады:
ρ= f(q1,q2,...p1,p2,...)
Егер термодинамикалық жүйе өзінің тепе-теңдік күйін сақтаса, онда сол жүйені сипаттайтын шамалардың мәндері тұрақты деп саналатын. Бірақ кез келген термодинамикалық жүйе өзінің тепе-теңдік күйін мүлде өзгерілмейтін, тұрақты түрінде сақтай алмайды. Термодинамикалық жүйенің тұрақты күйінен әрқашанда ауытқуы байкалады. Ондай термодинамикалық жүйелердің өзінің тепе-теңдік күйінін ауытқу-лары флуктуация құбылысы деп аталады. Ондай құбылыстар көптеген тәжірибе арқы-лы анықталған. Мысалы, газдардағы, сұйықтардағы және қатты денелердегі тығыздарының жергілікті өзгерістері жарықтың молекулырлық шашырауына себеп болады. Жарықтың өте үлке шашылуы сұйықтардың сындық нүктесінде байқалады.Бұл құбылыс сындық опалисценция деп аталады. Сындық опалисценция және соны мен қоса барлық флуктуация құбылыстары (ток тізбегіндегі э.қ.к. өзбеті мен өзгерістірі, броундық қозғалыс және т.б.) өте көп мезгіл түсініксіз деп саналған. Флуктауция құбылыстарын толық теоретикалық зерттеуін тек қана статистикалық қөзқарасы мүмкіншшілік берді.
Флуктуация құбылысыпайда болуы және оны сипаттайтын физикалық шамалардың орташа мәндерінен ауытқуы пайда болуының ықтималдығы көрсетіп табу флуктуация теориясының негізгі мақсаты боп табылады.
Енді флуктуация құбылысының математикалық сипптамасын анықтайық:
* F(x) - физикалық шаманың лездік мәні
* F - физикалық шаманың орташа мәні
* F- F - физикалық шаманың орташа мәнінен ауытқуы, соны мен қоса (F- ¯F) =F- F =0
* F- F2 - физикалық шаманың орташа мәнінен квадраттық ауыткуы
* F- F2 - физикалық шаманың орташа мәнінен квадраттық ауытқұының орташа мәні
* F- F2 - физикалық шаманың орташа мәнінен ауыткуының орташа квадраттық
ауыткуы. Бұл сиппатамалар флуктауцияқұбылысының қарапайым жағдайны сәйкес келеді.
Флуктуация құбылысын сипаттау үшін көбінесе орташа квадраттық ауыткудың абсолюттік мәнін пайдаланады.Оны физиктер <<флуктуация>> деп атайды. Ол қарапайым түрінде тең болды:
∆=+-F- F2 (9.3)
Соны мен қоса физикада флуктуация құбылыстарын сипаттайтын <<қатнасты флуктуа-ция>> деген физикалық шама еңгізілген:
δ =F- F2 F2 (9.4)
Тақырып: Микроканоникалық үлестірілу. Энтропия.
Кез-келген термодинамикалық жүйе сыртқы заттардан мүлде шектелген боп саналсын. Онда оның толық энергиясы барлық процестерде тұрақты боп саналады. Ондай мүлде шектелген термодинамикалық жүйеге сәйкес келетін каноникалық үлестірім микроканоникалық үлестірімі деп аталады. Онда термодинамикалық жүйенің энергиясы:
E=const (6.4)
тұрақты болғандықтын, фазалық кеңістікте жүйенің фазалық треакториясының
барлық нүктелері энергияның гипербетінде орналасады. Мұндай жүйелерінің күйле-рінің өзгерісі Лиувилл теоремасына бағынбауы мүмкін, бірақ сондада жұйенің көп бөлшектерден құралғандықтын микроканоникалық үлестірімінің шарттарын бұзбай оны келесі талаптарға бағынатын көлемдік үлестірімімен ауыстыруға болады.
Белгіленген жүйені өте жіңішке фазалық кеңістіктің көлемінде орналассын деп санайық. Фазалық кеңістіктің қалыңдығының ауытқуы өзінің тұрақты мәнінен өте аз деп белгілейік. Мұндай қабатты үлестірімге келесі шарттар орындалады деп санауға болады:
* Егер E < E0 онда үлестірім функциясының фазалық тығыздығы ρ =0
* Егер E0<=E<= E0+ dE0 онда ρ !=0
* Егер E> E0+ dE0 онда ρ =0
Осы көрсетілген шектіктерден үлестірім фүнкцияның тығыздығы тек қана өте жіңішке
энергияның интервалында E0+ dE0 нольдік мәнәнен жоғары боп табылады, ал сол көрсетілген энерияның интервалының сыртында нольге тең. dE0 энергияның қалың-дығында жүйенің үлестірім функцияның тығыздығы тұрақты боп саналады. Онда мұндай жіңішке қабат боойыншы таралған жүйенің күйлеріне Лиувилл теоремасын пайдалануға болады. Жүйенің жіңішке қабатта таратылған күйлереінң саны тең болады:
N= E0E0+dE0ρ0dΩ = ρ0ΩE0 (6.5)
Бұл секірмелі жіңішке қабатты жүйенің күйінің энергиясының өзгерісіне (N,E) диаграммада өте созылған үздіксіз кисық сәкес келеді. Яғни микроканоникалық үлустірімді ∆E0-->0 каноникалық үлустірімінің шегі деп санауға болады. Бірақ мұндай ұлестірім функцияның түрінің ерекшілігінен оны жиі пайдалануға өте қийын. Кей бір жағдайларда изотермалық жүйелердің үлістірім функциясы пайдланады.Сурет 19
Қарстырылған үлестірім функцияның қасиетіне бағынатын Дирак өзінің кванттық механикасында пайдаланған δ - функциясын еске алуымыз керек. Біздің жағдайда ол келесі түрінде белгіленеді:
CδEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0=w(q1,q2...p1,p2 ...) (6.6)
Мындағы С тұрақты шаманың мәнін нормалау шартынан анықтыуға болады. Осыдан белгіленген жүйенің күйің жіңішке фазалық кеңістігінде орналасатын ықтималдығы тең болады:
wq1,q2...p1,p2 ...dΩ=1.
немесе:
CδEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0 dΩ=1
Арқарай δ функцияның қасиетін еске алсақ:
δEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0 =0 егер E < E0, және E> E0+ dE0
δEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0=const eгер E0<=E<= E0+ dE0
онда:
C= 1Ω(E,a) (6.7)
Яғни: ΩE,a= δEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0 dΩ (6.8)
Осы алынған (6.15) микроканоникалық үлестірім функциясы арқылы термодинамикалық жүйенің кез келген физикалық шамалардың фазалық оташа мәндерін шығаруға болады:
F=ΩFq1,q2...p1,p2 ...1Ω(E,a)δEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0 dΩ (6.9)
Ендігі қойылытын мақсат Ω(E,a) шаманың физиқалық мағнасын анықтау. Ол үшін энергияның E0<=E<= E0+ dE0 интервалында Ω(E,a) интегралын шығарайық:
ΓE,a= E0E0+ dE0Ω(E,a)dE =
ΩE0E0+ dE0δEq1,q2...p1,p2 ...,a- E0dEdΩ (6.10)
Интегралдың ішіндегі шама δ функцияның қасиеті арқылы бірге немесе нольге теңб яғни:
ΓE,a= ΩdΩ (6.11)
Сондықтан ΓE,a мәні көрсетілген энергияның интервалындағы фазалық кеңістіктің
көлеміне тең. Осыдын Ω(E,a) физикалық мағнасы көрсетілген энергияның интервалындағы фазалық кеңістіктің көлемі боп табылады.
Каноникалық үлестірім функциясының параметлерінің қасиеттері мен танысып енді олар мен байланысты басқа термодинамикалық потенциалдардың қасиеттерін анықтауға болады. Солардың арсында әрқашанда зор маңызды боп энтропия функциясы табылады. (6.59) өрнектен:
S=E- ψT=E- ψθk (6.69)
Бұл өрнекті басқаша алуға болады:
S= -kΓψ-Eθeψ-EθdΩ (6.70)
Каноникалық үлестірім функциясы берілген түрі арқылы:
ψ-Eθ=lnχ (6.71)
Онда (6.71) өрнекті басқаша жазуға болады:
S= -kΓlnχ∙χdΩ (6.72)
Егер шаманың орташа мәнінің анықтамасын еске алсақ, онда:
S= -klnχ (6.73)
Осыдан термодинамикалық жүйенің энтропиясын үлестірім функциясының тығыз-дығының логарифм функциясының орташасына тең деп анықтадық. Яғни термо-днимикалық жүйенің энтропиясы ешқандай механикалық параметрлер арқылы табыл-майды, ол тек қана жүйенің статистикалық қасиетіне тәуелді боп анықталды. Кезкелген термодинамикалық жүйенің энтропиясын механикалық аспаптар арқылы өлшеуге болмайды деп тұжырымдауға болады. Энтропияның қасиеттерін толықтау анықтау үшін кванттық механика көзқарасын пайдалану керек.
Термодинамикалық жүйелердің үздікті күйлерін қарастыруға болады. (6.73) өрнек арқылы үздікті күйлердің ықтималдығын еске алсақ, ондай жүйенің энтропиясы тең болады:
S= -klnχ=-ki=1NWiknWi (6.74)
Мында N дегеніміз жүйенің барлық мүмкіншілік болатын күйлерінің саны, Wi - i деп
белгіленгін жүйенің ықтималдығы. Бұл жағдайда жүйенің барлық күйлерінің ықтималдықтары бір-біріне тең деп сануға болады. Онда нормалау шартын пайдала-нып жалғастыруға болады:
Wi=1N
яғни:
S=-ki=1N1Nln1N=klnN (6.75)
Осы алынған өрнек бойынша термодинамикалық жүйенің энтропиясы жүйеның бар-лық мүмкін болатын күйлерінің санына пропорционал боп табылды. Термодина-микалық жүйенің барлық мүмкін болатын күйлерінің санын WT термодинамикалық ықтималдығы деп белгілегінбіз. Егер N орнына WT қойсақ, онда:
S=klnWT (6.76)
Өсы алынған теңдеу белгілі Больцманның пікірі деп атлады. Больцман бойынша жүйенің энтропиясы термодинамикалық ықтималдығының логарифымына пропорционал.
Кванттық механиканың қөзқарасы бойынша термодинамикалық жүйенің бөлшек-терінің еркін дәрәже саны 3N тең болса, онда бір кванттық күйіне сәйкес келетін минималдық көлемі h3N (h-Планк тұрықтысы). Онда N жүйенің күйлерінің саныны сәкес келетін фазалық кеңістіктің көлемі ∆Γ=Nh3N. Фазалық көлемді N арқылы ақырғы өрнекке еңгізсек, онда кваннтық термодинамикалық жүйенің энтропиясы тең болады:
S=klnN=kln ∆Γ-3kNlnh (6.77)
Көбінесе кездесетін процесстерде энтропияның текқана өзгерісіне мән беріледі, сондықтан термодинамикалық жүйенің энтропиясын кез-келген тұрақтысына дейін
қарастырады, сондықтан энтропияны фазалық кеңістіктің көлемінің логарифына тең деп санауға болады:
S=kln ∆Γ (6.74)
Осылай белгіленген энтропия термодинамикалық жүйенің күй функциясы боп саналады және ол әддитивтік шартына бағынады.
Термодинамикалық жүйе бір қалпынан өз беті мен екінші қалпына келуі күйінің ықтымалдығы мен байланысты. Ол үшін екінші күй қалпының ықтималдығы жоғары болу керек, немесе екінші жүйенің күй қалпының саны неғұрым көбірек болу керек. Яғни жүйенің екінші күй қалпының термодинамикаллық ықтималдығы жоғары боп табылды. Онда оған неғұрым үлкен фазалық кіңістік сәйкес болу керек, яғни неғұрым үлкен жүйенің энтропиясы. Бірақ термодинамикалық жүйе өз бетімен тек қана тепетеңдік емес қалпынан тепе-теңдік қалпына көшеді. Яғни термодинамикалық жүйенің энтропиясы тепе-теңдік емес процесстерде тек қана ұлғаяды. Бұл тұжырым белгілі термодинамиканың екінші бастамасына сәйкес келеді. Термодинамиканың екінші бастамасы бойынша егер термодинамикалық жүйе тепе-тенңдік емес процесстерге қатнасса оның энтропиясы әрқашанда ұлғаяды.
Егер жүйе термодинамикалық тепе-теңдікте орналасса, онда:
Мұнда Т - абсолют температура немесе температура деп аталады және Т1 =Т2 (тепе-теңдік күйі). Т - статистикалық сипатта болады.
Тақырып: Термодинамикалық параметрлер. Термодинамика заңдары.
Термодинамика дегеніміз физикалық жүйелердің тепетеңдік күйлерін сақта-ғандағы жалпы физикалық қасиеттерін зертейтін теоретикалық физиканың бөлімі. Термодинамика екі бөлімнен құралады феноменологиылық және статистикалық термодинамикадан. Феноменологиялық термодинамикада өтіп жатқан жүйелердегі процесстерді қарастырғанда молекулалрдың ішкі құрамдары және молекулярлық процесстерінің механизмдары есептелмейді. Термодинамика мен статискалық физика материяның жылулық қозғалыстарын зерттейді. Сондай теоретикалық зерттеуде заттарда өтіп жатқан физикалық процесстерді анықтау үшін көп модельдік ұғымдар пайдаланды. Соның бірі термодинамикалық жүйе. Термодинамиқалық жүй көп материалдық нүктелердің қосындысы деп саналады. Материалдық нүктелер ылғи хаотикалық қозғалысқа қатнасадыда, бір- бірімен кинетикалық энергиямен, жылдам-дықпен, импульспен алмасады, бірақ олардың ішкі күй жағдайы өзгерілмейді.
Кез келген термодинамикалық жүйенің касиеттері масса,химикалық косын-дысылар мен және басқа параметрлер мен сыртқы материалдық заттардан жекешен-дірлетін ыдыстың қабырғалары, сыртқы өрістер мен сипатталады. Яғни, термодимами-калық жүйенің сыртқы немесе ішкі параметрлері болуы мүмкін. Егер де термадинами-калық жүйенің күйі, сыртқы денелердің өзгерістеріне байланыс параметрлер мен белгі-лесек, ондай параметр сыртқы бөп аталады. Ал ішкі параметрлер, егер сыртқы денелер-дің күйі өзгермейтін болғанда, әрқашанда белегіленген термодинамикалық жүйенің меншікті күй жағдайы мен байланысты.
Мысалдар
1. Газ гравитациалық өрісінде. Газдың күйі тек қана құйылған ыдыстың қабырға-ларынан, температурадан тәелді емес, сонымен қоса газдың күйі сыртқы параметлерге тәелді ауырлық қүштің өрісіне. Ауырлық күштің өрісі сыртқы параметр боп табылады.
2.Газ электр өрісінде. Электр өрісінің кернеуі сыртқы параметр. Электр өрісінің кернеуінің мәні жүйеге қатнасы жоқ зарядтар мен байланысты. Ал газдың электри-калық күйі поляризациясы ішкі параметр болып табылады: ол малекулалардағы зарядтардың орналасуына тәуелді.
Ал қандай параметрлер сыртқы, кайсыс ішкі болуы сол термадинамикалық жүйені сыртқы ортадан жіктелуіне байланысты. Айтылғанымыз мына сурететте (сурет №1,а) көрсетілген. Егер газ көлемі V өзгермейтін цилиндірде орналасса, онда газдың көлемі V сыртқы, ал оған сәйкес газдың қысымы P ішкі параметр боп саналады. Екіншіде, (сурет 1,б) газдың көлемі жылжымалы поршень арқылы өзгеретін болса онда қысым Р сыртқы; ал көлем V ішкі параметр болып саналады.
AA
а) б)
Сурет 1
Термодинамикалық параметрлер интенсивтік пен экстенсивтік түрінде болуы мүмкін.Интенсивтік параметрлер термодинами-ка лық жүйенің бөлшектері-нің саныныан тәуелсіз бөла-ды олар тек қана жұйенің жалпы жылулық өзгерісіне тәуелді. Оларға кысым Р, көлем V, химикалық потенциал u жатады. Ал экстенсивтік параметлер, немесе аддитивтік пара-метрлер, интесивтік параметрлер тұрақты болғанда термадинамикалық жүйелерді құ-растыратын материалдық бөлшектерінің жалпы саныны пропорционал болады. Мыса-лы жүйенің энергиясы Е, энтропия S және т. б.
Егер термодинамикалық жүйені сыртқы денелермен немесе сыртқы термо-динамикалық жүйелермен байланысын қарастырсақ онда оларды екі түріне бөлуге болады:
* Адиабаталы жіктелген термодинамикалық жүйелер. Адиабаталы жіктелген термадинамикалық жүйенің энергиясы Е( сыртқы парметрлер a тұрақты болғанда) ешқашанда өзгеррілмейтін болады. Бірақ сыртқы денелердің күй жағдайлары өзгеріле беруі мүмкін
* Сыртқы жүйелермен жылулық байланысқа қатнасатын термодинамикалық жүйе.
Ондай термодинамикалық жүйе сыртқы денелерден немесе жүйелерден атермалдық кабырғалармен жіктеледі. Ондай термодинамикалық жүйенің энергиясы сыртқы денелердің молекулалары мен соқтығысқанда өзгерілуі мүмкін.
Енді біз термодинамиканың негізгі жалпыланған аксиомаларын қарастырайық.
1.Термодинамикалық жүйенің тұрақты қүйі сақталу пастулаты. Кез келеген термодинамикалық жүйе өзгерілмейтін сыртқы параметрлермен жіктелсе, әрқашан өзінің тепе теңдік күйін өзгерілмейтін түрінде сақтайды, жәнеде сол қалпынан өз бетімен шыға алмайды.
1.Аддитивтік пастулаты.Осы пастулат бойынша термодинамикалық жүйенің жалпы энергиясы сол жүйенің (бөлшектерінің) энергияларының қосындысына тең боп саналады.
3.Температура болуы пастулаты. Осы пастулат бойынша температура арқы-лы термодинамикалық жүйелердің күйлерінің бір біріне тепе-теңдік қалпы белгіленеді. Бұл пастулат басқадай термодинамиканың нольдік бастамасы деп аталады. Осы пастулат бойынша екі термодинамикалық жүйені бірін біріне қосқанда олар тек қана температурасы бірдей тепе-теңдік күйін сақтайтын жаңа термодинамикалық жүйені құрастырады. Осы пастулат бойынша температура барлық термодинамикалық жүйелердің тепе-теңдік күйін белгілейтін жалпыланған интенсивтік параметр түрінде тағайындалады. Әрқашанда тепе-теңдік күйін сақтайтын термодинамикалық жүйенің ішкі парметрлері сыртқы парметрлермен температураның функциясы боп саналады.
4.Энергияның сақталу заңы. Бұл заң заттың барлық макроскопиялық өзгеріс-теріне таратылады. Осы заң бойынша термодинамикалық жүйенің энергиясы кездесетін процесстерде өзгерілмейтін боп саналады. Осы заң бойынша жылулық мөлшері деген ұғым еңгізіледі. Ол бір денеден екінші денеге таратылатын энергия боп саналады. Жылулықты мөлшері басқа денелерге текқана жылулық қатысу арқылы таратылады. Егер dE жүйенің энергиясының өзгерісі болса, ал dW= kAkda (akжәне Ak жалпыланған координаттармен күштер ) сыртқы денелердің жасаған елементарлық жұмысы болса, ал dQ сыртқы денелерден термодинамикалық жүйеге берілген жылу мөлшері болса, онда энергия сақталу заңы бойынша:
dQ = dE +dW (1.1)
Бұл заң термодинамиланың бірінші бастамасы деп аталады.
5. Термодинамиканың екінші бастамасы. Термодинамиканың екінші заңның ғылыми зерттегіштер бірнеше түрінде дәлелдеп кеткен. Неміс физигі Клаузиус бойынша жылулық мөлшері, яғни жылулық энергия, өз бетімен температурасы неғұрым төмен денеден температурасы жоғары денеге ешқашанда ауыспайтын боп саналады. Ал ағылшын физигі Томпсон бойынша ешқашанда мәңгілік жылулық қозғалтқыштың екінші түрін жасап шығаруға болмайды. Термодинамиканың екінші заңының белгілі нәтижесінде энтропия S деген кез келген термодинамикалық жүйенің күйі функциясы белгіленеді. Ол квазистатикалық процесстерде осылай алынады:
dQ = TdS (1.2)
Мында Т дегеніміз жүйенің абсолюттік температурасы. Онда барлық квазистатикалық процесстерге термодинамиканың бірінші және екінші заңдарын осылай біріктіруге болады:
TdS = dE + kAkdak (1.3) Егер кез келген жалпылай процесстерді екі заңдармен қарастырсақ (тепетеңдік емес процесстерді қосқанда ) онда:
TdS >= dE + kAkdak (1.4) мында тең емес белгісі тепе- теңдік емес процесстерге жатады.
Термодинамиканың екінші заңы келесі түрі бойынша кез келген адиабаталық процесстерде энтропияның өсімшесі ∆S нольден кем болмау керек, яғни:
∆S >= 0 (1.5)
Ақырғы тұжырым энтропияның өсу заңы деп белгіленеді. Адиабаталық процесстерде әрқашанда:
dSdt >=0 (1.6)
Сонымен, термодинамиканың екінші заңы бойынша біріншіден термодинамикалық жүйенің күй функциясы S белгіленді, екіншіден энтропияның осу заңы тағайындалды.
Тақырып: Термодинамиканың III заңы. Термодинамикалық функциялар.
Нернст постулаты бойынша барлық затттардың ортасында температурасы абсолюттік нольге тең болса, онда сол ортаның энтропиясының функциясының мәні нольге тең болады.
S = 0 егер T = 0 (1.7)
Осыдан термадинамиканың үшінші заңы тұжырымдалады: <<Кез келген ортанының абсолюттік температтурасы ешқандай процесстерде нольге жетпейді, оған тек қана шексіз бағытталады>>
Классикалық термодинамиканың аппараты термиялық және калориялық күй теңдектерінің арасындағы байланыстарын белгілейді. Жүйелердің теримиялық күй теңдеуі деп жалпыланған координаттар, күштер және абсолюттік температура араларында байланыстарын көрсететін теңдеуді атайды. Мысалы, термиялық күй теңдігі деп жүйенің Клайперон теңдеуін айтуға болады:
PV=RT (1.8) немесе нақты газдарға арналған Ван дер Ваальс теңдеуі:
P+av2v-b=k (1.9)
Мында Nk =R, N - бөлшектердің саны, ал v=VN меншікті көлем. Бұл термиялық теңдіктер эмпириялық түрінде тәжірибе арқылы табылады.
Калориялық күй теңдуелері калориялық шамаларды температурамен және жалпыланған механикалық шамамлармен байланысын көрсетеді. Мысалы тұрде газдың күй немесе газдың жылу сыйымдылығының теңдеулерін алуға болады:
E=32RT және CV= 32R (1.10)
Бірақ термодинамиканың апаратынан негізгі теңдеу (1.3) арқылы калориялық пен термиялық теңдеулердің белгіленген байланыстары тәжіриби теңдеулердің санын азайтады. Сол термодинамикада айтылыған калориялық және термиялық теңдеулердің байланысын көрсететін әдісті термодинамикалық потенциялдар немесе мінездемелік күй функциялар әдісі деп аталады. Ол әдісті Гиббс бірінші шығарған сондықтан оны басқаша Гиббс әдісі деп атауға болады. Ең карапайым термодинамикалық потенциял - термодинамикалық жүйенің ішкі энергиясы Е (егер ол энтропиямен S және сыртқы параметрлер ak арқылы анықталатын болса). Бұл жағдайда (1.3) өрнекті жүйенің ішкі энергиясының дифференциалын анықтамасы түрінде қарастыруға болады:
dE=TdS-kAkdak =dEdSdS+kdEdakdak (1.11)
мында:
T=dEdSa, Ak=-dEdakS (1.12)
Бірінші теңдеу колoриялық боладыда, ал қалғандары термиялық күй теңдеуілері болады. Осы көрсетілген (1.12) олардың байланысы былай алынады:
dTdakS=-dAkdSa (1.13)
Басқа термодинамикалық потенциал бос энергия:
ψ=E-ST (1.14)
Бос энергияның толық дифференциалын қарастырсақ:
dψ= -SdT-kAkdak = dψdTdT+kdψdakdak (1.15)
осыдан:
S=-dψdTa , Ak=dψdakS (1.16)
ақырғы теңдіктеді салыстырсақ:
dSdakT=dAkdTS (1.17)
Осы алынған (1.16) және (1.17) теңдуелерден белгілі ГиббсГельмгольц теңдеуі шығады:
ψ=E-ST=E+TdψdTa немесе E= ψ-TdψdTa (1.18)
Қарапайым жағдайларда, егер жалпыланған координата жалғыз көлем V болса, ал жалпыланған күш тек қана қысым Р болса, онда төрт термодинамикалық потенциал-дар пайдаланады. Олар: ішкі энергия E=E(S,V), бос энергия ψ(T,V)=E-ST термодинамикалық потенциал ΦN,P=ψ+PV және энтальпия H(S,P)=E+PV Егер ішкі энергия көлем мен энтропияға тәуелді болса, яғни E = E(S,V) онда:
dE=TdS-PdV (1.19)
сондықтан:
T=dEdsV және P=-dEdVS (1.20)
Бос энергияны ψ=E-ST қарастырсақ
dψ=dE-ST=dE-SdT-TdS=-SdT-PdV (1.21)
Яғни, S=-dψdTV сонымен қоса P=-dψdVT
Термодинамикалық потенциал ΦN,P=ψ+PV
dΦ=dψ+PV=dψ+PdV+VdP= -SdT+VdP,
енді салыстырсақ dΦ=dΦdTPdT+dΦdPTdP
онда
S=-dΦdTP және V=dΦdPT (1.22)
Енді энтальпия қарастырамыз: H(S,P)=E+PV
dH=dHdSPdS+dHdPSdP=dE+PdV+VdP=TdS+VdP (1.23)
ақырғы (1.23) алуға болады:
T=dHdSP, V=dHdPS (1.24)
Осы қарастырылған теңдеулерді 1.19 1.21 саны және химикалық құрамы біртекті емес термодинамикалық жүйелерге пайдалануға болады. Егер құрамы біртекті емес термодинамикалық жүйенің N1,N2,...Nm молекулалрдың сандарын белгілесек, онда сол жүйенің толық энергиясының дифференциалы тең болады
dE=TdS-kAkdak +iμidNi 1.25
мында μi- қосындылардың химиялық потенциалдары, сонымен бірге бос энергияның толық дифференциалы тең болады
dψ= -SdT-kAkdak +iμidNi 1.24
Енді саны тұрақты емес термодинамикалық жүйенің құрамы бір текті болса, онда сипаттамалық термодинамикалық потенциал тең болады
dΦ=-SdT-VdP+μdN 1.25
Егер аддитивтік шартты пайдалансақ, онда Т,Р const
1.26
Яғни химикалық потенциал меншікті бір молекулаға қатнасты термодинамикалық потенциал боп табылады.
Тақырып: Гиббс үлестірілуі.
Көп төмен жүйелерден (бөлімшектерден) құралатын үлкен жүйені қарастырайық. Төмен жүйелердің бір-бірімен байланыстары немесе әрекеттері аз, және олардың әрқайыссы термостатта орналасады деп белгіленіді. Онда элементар фазалық кеңістікте төмен жүйелердің саны тең болады:
dN= ρdΩ (6.12)
Мында ρ дегеніміз жүйенің тепе-теңдік күйіне сәйкес келетін жалпыланған коор-динаталарға тәуелді кейбір үлестірім функциясы. Егер меншікті фазалық көлемде χ =ρN үлестірім функцияның тығыздығын алсақ, онда:
dw= dNN= χdΩ (6.13)
Үлестірім функциясының тығыздығы әрқашанда нормалау шартына бағынады, сондықтан:
χdΩ=1 (6.14)
Алдында біз төменгі жүйелердің бір-бірі мен байланыстары аз деп белгіледік, сондықтан үлкен жүйенің толық энергиясы төменге жүйелердің энергияларының қосындысына (6.1) бойынша тең болады:
E= E1+E2+ ...=kEk (6.15)
Үлкен жүйенің күйін қарастырғанда, оны көп қарапайым оқиғалардан құралатын қүрделі оқиға деп санауға болады. Онда үлкен жүйенің кей бір термодинамикалық күйде орналасатын ықтималдығы төменгі жүйелердің термодинамикалық күйлерінде орналасатын қарапайым ықтималдықтардың көбейтіндісіне тәуелді болады. Яғни ықтималдықтың көбейтінді теоремасы бойынша:
dw=dw1dw2...dwk (6.16)
Осы ақырғы екі өрнектердің орныдалуы үшін әр бір төменгі жүйелердің кей бір күйінде болатын ықтималдығын ең жалпы түрінде тең болу керек:
dwk=const∙eaEkdΩk (6.17)
Мындағы экспонентаның алдынғы және a тұрақтылар барлық төменгі жүйе-лерге бірдей боп алынады. Онда (6.7) ,(6.8) және (6.9) өрнектерден алуға болады:
dw=dw1,dw2,...dwk, ...=consteE1eE2...eEkdΩ1dΩ2... dΩk... (6.18)
ал үлкен жүйенің dΩ элементарлық фазалық көлемі:
dΩ=dΩ1dΩ2... dΩk... (6.19)
Сонда (6.10) өрнекті былай келтіруге болады:
dw =consteakEkdΩ=consteaEdΩ (6.20)
(6.12) өрнектегі а тұрақты шама әрқашан да нольден кем болу керек, егер оң шама болса онда ондай функцияғя (6.6) нормалау шарты орындалмайды. Сондықтан:
a= -1θ (6.21)
деп белгілеуге болады. Мындағы θ - оң шама, оны Гиббс каноникалық үлестірімнің модулі деп атап кеткен. Оның өлшемдігі энергияның өлшемігі боп саналады, ал физикалық мағнасын кешірік анықталады. Осыдан (6.12) өрнекті мынандай түріне келтіруге болады:
dw=conste-EθdΩ (6.22)
Ақырғы өрнектегі тұрақты шама нормалау шартынан анықталады:
dw=conste-EθdΩ=1 (6.23)
осыдан:
const=1e-EθdΩ (6.24)
Демек:
dw= e-EθdΩ e-EθdΩ (6.25)
(6.32) өрнектің оң бөлімінің шамасы күй интегралы деп аталады:
Z= e-EθdΩ (6.26)
Ол статистиқалық физиканың көп күрделі мәселелрді шешуге пайдаланады. Ақырғы өрнекте интегралды барлық фазалар бойынша алынады екенін белгілеуміз керек, яғни:
Z= e-EθdΩ= ...e-Eθdq1dq2... dp1,dp2... (6.27)
Сондықтын Z барлық жүйенің күйлеріне қатнасты анықталған интеграл және ол шек-телген шама боп табылады. Оны осылай белгілеуге ыңғайлы:
Z= e-ψθ (6.28)
Мында ψ -тұрақта шама оның өлшемділігі (6.35) өрнектен энергия бөп табылады. Физикалық мағнасы кешірек анықталады. Сондықтан (6.35) және (6.32) өрнектеналуға болады:
dw=eψ -EθdΩ (6.29)
Ақырғы өрнекті (6.5) өрнекпен салыстырсақ, онда χ үлестірім функциясының тығыз-дығы тең болады:
χ = eψ -Eθ (6.30)
Бұл Дж. Гиббстың термадинамикалық жүйенің бөлешктерінің энергия бойынша каноникалық үлестіріміне арналған өрнегі. Егер (6,12) өрнекті еске алсақ, онда фазалық кеңістіктің меншікті көлеміндегі жүйенің санын анықтау-ға болады:
ρ =Neψ -Eθ (6.31)
Осы алынған өрнектер арқылы статистикалық физиканың ең маңызды мәселері шешіледі: соның ішінде жүйенің энергиясының тепе-теңдіктігі бөлшектерінің арасындығы бөлінуі. Расында, бесінші бөлімде фазалық кеңістіктің жүйенің энергиясына тәуелділігі анықтылған:
dΩ=dΩdEdE
Егер осы өрнекті (6.19) теңдеуге еңгізсек, онда жүйенің бөлшегінің күйінің энергиясы
[E, E+dE ] энергия интервалында болатын ықтималдығы тең болады:
dw=eψ -EθdΩ =eψ -EθdΩdEdE (6.32)
Осыдан статистикалық ансамблдегі энергияныңмикроканоникалық үлестірім функциясы анықталады:
Ψ= eψ - EθdΩdE (6.33)
Сурет 20
Функцияның грифигі 20 суретте көрсетілген. Егер оған назарымызды аударсақ оның ең жоғары функцияның мәні Em сәйкес келеді. Яғни үлкен жүйенің бөлшектерінің көбнеісі сол энергияға жақындаған мәндерене ие болатынын белгілейді.
Каноникалық үлестірім функциясының қасиеттрін қарастырайық. Ол үшін бірінше қойылытын мақсат каноникалық үлестірім функциясының түрақтыларының қасиеттерін анықтаумыз керек. Егер каноникалық үлітірімінің нормалау шартын алсақ, онда:
Γeψ-EθdΩ=1 (6.34)
Мында интеграл барлық фазалық кеңістік бойынша алынады, яғни барлық статистикалық ансамбльдің микрокүйлері бойынша. E=E(q1,q2...p1,p2,a) жүйенің, немесе белгіліенген статистикалық ансамбльдың толық энергиясы. Ол жалпыланған координаталар мен сыртқы ak параметрлерге тәуелді. Барлық жалпыланған коор-динаталарды x деп белгілесек онда E=E(x,a). θ - тұрақты шама, ол каноникалық үлестірімінің модулі деп аталады ψ= ψ(a,θ) каноникалық үлестірімінің нормалау шартынан алынатын тұрақты. Жалпыланған координаталар х 6N өлшемді фазалық кеңістігі бойынша өзгереді. Каноникалық үлестірімінің тұрақтыларың арасында қатнастар бар. Оларды анықтау үшін (6.34) өрнектен ak бойынша туындыны алайық:
ddakΓeψ-EθdΩ=Γddakeψ(a,θ)-E(x,a)θdΩ= 1θΓdψdakeψ-EθdΩ- 1θΓdEdakeψ-EθdΩ=0
немесе:
Γdψdakeψ-EθdΩ = ΓdEdakeψ-EθdΩ (6.35)
Осыдан, шамалардың орташа мәні берілетін (4.5) өрнек бойынша:
dψdakθ =dEdakθ (6.36)
Жүйенің энергиясының сыртқы параметр бойынша алынған туындысы жалпыланған күштің теріс белгісі болады:
dEdakθ= ─Ak (6.37),
яғни:
dψdakθ =dEdakθ= -Ak (6.38)
Осыдын біз жылпылынған күштің орташа мәнін каноникалық үлестірімінің параметрлері арқылы анықтадық.
Енді (6.34) өрнекті θ арқылы туындысын алсақ, онда:
ddθΓeψ-EθdΩ=Γddθeψ-EθdΩ=Γθdψdθ-(ψ-E)θ2eψ-EθdΩ=0 (6.39)
Немесе θ, ψ тұрақтылардың жалпыланған координаталарға тәсілді емесін еске алып, жалғастыруға болады:
(θdψdθ-ψ)Γeψ-EθdΩ + ΓEeψ-EθdΩ =0 (6.40)
Осыдан:
E = ΓEeψ-EθdΩ =0 (6.41)
Өте маңызды өрнекті аламыз:
θdψdθa =ψ ─E (6.42)
Мындағы E жүйенің толық энергиясы, сондықтан E =U болады да:
U= ψ- dψdθa (6.43)
Осы тәсіл бойынша каноникалық үлестірім функциясы арқылы кез келген физикалық шамаларға қатнасты өрнектерді алуға болады.
Мысалы, кез-келегн физикалық шаманың өрташа мәні тең болады:
F = ΓFq1,q2...p1,p2...eψ-EθdΩ (6.44)
Мында интеграл барлық фазалық кеңістіктің көлемі бойынша алынады. Егер термодинамикалық жүйенің ішкі энергиясын алсақ, онда:
U=ΓEeψ-EθdΩ= E
Ішкі энергия θ және а параметрлергі тәуелді:
Uθ,a = Eθ,a
Кез-келеген физикалық шамаға (6.44) өрнек арқылы дәлелдеуге болады:
dF dθ=1θ2F-FE- E (6.45)
Расында:
dF dθ= ΓFq1,q2...p1,p2...E-ψθ2+ 1θdψdθaeψ-EθdΩ
Егер (6.42) өрнек бойынша dψdθa мәнін алсақ, онда:
dF dθ=ΓFq1,q2...p1,p2...E-Eθ2eψ-EθdΩ =1θ2Γ(FEeψ-EθdΩ - EΓFeψ-EθdΩ
Осыдан:
θ2dF dθa=FE-FE (6.46)
Ал басқаша қарастырғанда:
F-FE- E = FE-FE (6.47)
Яғни (6.45) дәлелденді деп санауға болады. (6.45) өрнек Гиббстың бірінші леммасы деп аталады.
Таға керек болатын өрнектер мен танысуға болады. Ол үшін (6.44) а параматр арқылы туындыны қарастырайық:
dFda = ddaΓFq1,q2...p1,p2...eψ-EθdΩ=
ΓdFda+Fq1,q2...p1,p2...1θdψda- dEdaeψ-EθdΩ = dFda+1θdψdaF - FdEda
(6.36) өрнек бойынша:
dFdaθ= dFdaθ+1θdψdaF - FdEda (6.48)
Сондықтан (6.47), бойынша:
dFdaθ=dFdaθ- 1θF- FdEda- dEda (6.49)
Бұл аланған тұжырым Гиббстың екінші леммасы дап аталады.
Ендігі мақсат каноникалық үлестірімінің θ параметірінің абсолюттік температураға сәйкес келетеінін дәләлдейік.
Ол үшін каноникалық үлестірімінің θ параметірінің келесі қасиеттері бар екенін анықтайық:
* Термодинамикалық жүйелер тең θ - параметірлер мен бір бірі мен термодинамикалық тепе-теңдік күйін сақтайды.
* θ параметірге кері пропорпорциялық шама δQ жылу мөлшеріне интегралдау көбейтінді боп саналады
θ параметірінің біршнші қасиеттін дәлелдеу үшін екі термодинамикалық жүйелерді қарастырайық. Оларға сәкес келетін каноникалық үлестірім функциялардың тығыздықтарын белгілйік:
wx1=eψ1-E1(x1,a1)θ1 және wx2=eψ2-E1(x2,a2)θ2 (6.57)
Егер термодинамикалық жүйелер бір-біріне қосылса, онда олар жаңа тепе-теңдік күйін сақтайтын термодинамикалық жүйе құрастырады. Олардың жалпы энергиясы:
E=E1+ E2
тұрақты болады. Ал жаңа термодинамикалық жүйенің каноникалық үлестірім функциясының тығыздығы екі жүйелер қосылғанда тең болады:
wx1,x2=wx1wx2=eψ1-E1(x1,a1)θ1 eψ2-E1(x2,a2)θ2 =eψ1θ1+ψ2θ2-E1θ1+E2θ2(6.58)
Егер термодинамикалық жүйе тепе-теңдік күйін сақтаса, онда E1θ1+E2θ2 шама
тұрақты болу керек. Ол үщін E=E1+ E2 тұрақты түрінде θ1 = θ2 болу керек.
Екінші теореманы делелдеу үшін термодинамиканың бірінші бастамасын еске
алуымыз керек:
δE= dU+ kAkdak
Мында Ak жалпыланған күштер, ал ak- жалпыланған координаталар. Қойылған мәсәле бойынша келесі шама:
δQθ= dU+ kAkdakθ (6.59)
бір кез келген функция бойынша толық дифференциал болу керек. Ол үшін (6.43) және (6.38) еске алып жалғастыруға болады:
δQθ= d ψ- θdψdθa-kdψdakθdakθ (6.60)
Ақырғы өрнектен туындылырды аласақ:
δQθ= dψdθdθ+kdψdakθdak-dψdθdθ - θddψdθa-kdψdakθdakθ
Осыдан:
δQθ= - ddψdθa (6.61)
Яғни расында 1θ шама жылу мөлшерінің өсімшесіне интегралдау көбейтіндісі боп табылды. Онда кононикалық тұрақтының модулі абсолюттік температураның нақты қасиеттеріне ие болады деп саналады. Оны әрқашанда оң шама деп белгілігенбіз. Сондықтан абсолюттік темепартураның статистикалық сәйкесі (іспеттесі) немесе термодинамикалық жүйенің статистикалық температурасы деп саналады.
Келесіде:
θ=kT (6.62)
деп дәлелденеді, мында k - Болцман тұрақтысы, ал - абсолюттік температура.
Ендігі қойылатын мақсат каноникалық үлестірім функциясының ψ параметірінің физикалық мағнасын анықтау. Расында, термодинамикада жалпыланған күштер бос энергияның жалпыланған координаталар бойынша теріс белгімен туындылары боп анықталады.Ал (6.43) өрнекте:
U= ψ- dψdθa
θ=kT, a=V болса, онда оны осылай жазуға болады:
U= ψ- TdψdTV
Бұл алынған өрнек термодинамикада Гиббс-Гельмгольц өрнегі деп аталады.
Тағыда ψ параметірінің бос энергия мен байланысын (6.61) өрнектен анықтауға болады:
δQ= - θddψdθa=Td-dψdTV (6.63)
Ол термодинамикада TdS боп белгілі, яғни:
S= -dψdTV (6.64)
Енді бос энергияның жұйенің басқа термодинамикалық функциялары мен байланысын анықтайық. Ол үшін (6.57) өрнекті Т көбейтейік:
ST= -TdψdTV= - θddψdθa (6.65)
Cосын (6.43) өрнекті ескертсек, онда:
ψ=U-TS=E-TS (6.66)
ψ параметірінің термодинамикалық потенциал түрін анықтадық. Егер (6.28) өрнекті еске алсақ, онда термодинамикалық жүйенің бос энергиясының статистикалық анық-тамасын табамыз:
ψ=-θlnZ=-kTlnZ (6.67)
Мында Z термодинамикалық жүйенің күй интегралы боп белгіленген:
Z= e-EθdΩ (6.68)
Статистикалық физикада күй интегралы өте зор маңызы бар. Ол арқылы термодинами-калық жүйенің барлық термодинамикалық функцияларын есептуеге болады.
Тақырып: Гиббс үлестірілуінің негізгі қолданулары.
Классикалық статистиканың термодинамикалық жүйенің тепе-теңдік күйінің теориясының көп есептері Гиббстың статистикалық аппартының жалпы теоремалар арқылы өте жеңіл шығарылады. Олар - кинетикалық энергияның жүйенің еркін дәреже саны бойынша тең бөліну теоремасы және вириал теремасы. Оларды қарастыру үшін каноникалық статистикалық ансамбль бойынша келесі көбейтіндінің орташа мәнін алайық:
qkdHdql =q1...q6NqkdHdqle-ψ-Hθdq1...dqk...dql...dq6N = -θq1...q6Nqkddqle-ψ-Hθdq1...dqk...dql...dq6N (8.1)
енді тек қана q1 бойынша интегралды қарастырайық:
qlqkddqle-ψ-Hθdql =qke-ψ-Hθql=-infinityql=+infinity-qle-ψ-Hθdqkdqldql (8.2)
ақырғы өрнектегі бірінші қосымшасы нольге тең болады: H-->infinity, егер ql-->infinity. Ал екінші :қосындысы:
qle-ψ-Hθdqkdqldql = δklqle-ψ-Hθdql (8.3)
мында δkl - дельта функция. Оның қасиеті бойынша δkl =1, егер k=l, δkl =0, егер kl сондықтан:
qkdHdql =θδkl (8.4)
Осыдан екі өте маңызды нәтиже алынады. Егер жалпыланған координаталар импульстер болса, онда алынған бірінші тұжырым кинетикалық энергияның еркін дәреже саны бойынша тең бөліну теоремасы деп аталады:
pkdHdpk =θ (8.5)
Егер жалпыланған координаталар координаталар болса, онда:
qkdHdqk =θ (8.6)
Екінші координаталар туралы алынған тұжырым вириал теоремасы деп аталады. Расында (8.5) өрнектегі сол жағындағы бөлігі бір еркін дәреже санның кинетикалық энергиясы деп дәлелдуеге болады. Классикалық механикадан белгілі:
L =K - U, H=K +U, H=k pkqk-L=kpkdHdpk - L (8.7)
мында K және U статистикалық ансамблдің бөлшектерінің кинетикалық және потенциалдық энергиясы. Осыдан:
2K = kpkdHdpk (8.8)
Яғни:
Kk = 12pkdHdpk = θ2 =kT2 (8.9)
яғни бір еркін дәреже санға сәйкес келетін кинетикалық энергия мәні kT2 тең боп табылды.
Енді біз классикалық стаистикалық теориясы арқылы қатты денелерді жылу сыйымдылығын қарастырайық. Эмпириқалық тұрінде ертеден белгілі заңдар табылған еңбіріншіден ол Дюлонг және Пти заңы. Дюлонг және Пти заңы бойынша көптеген қатты денелердің бір мөліне келтірілген жылу сыйымдылығы (бөлімше температурада) тұрақты боп саналады: Cv =6 кал/(моль∙K). Соны мен қоса Нейман-Ренье заңын еске алу керек: қатты дененің мольдік жылу сыйымдылығы сол қатты дененің қосындыларының мольдік жылу сыйымдылақтарынң қосындысына тең. Классикалық статистикалы заңдары арқылы осы екі белгіленгген заңдарды дәлелдеуге болады. Бір атомдық криситалдық қатты денені көп кристалдық торладың түйініндерінде орналасқан атомдар немесе иондар деп сануға болады. Атомдар немесе иондар өзде-рінің тепе - теңдік жайыны байланысты тербемелі қозғалыстарға қатнасады деп санауға болады. Әр-бір кез-келген өзінің түйінінде орналасқан атомды немесе ионды материалдық нүкте деп сануға болады. Олардың мекенжайын анықтайтын әрқашанда координаталарды белгілуеге болады. Егер кристалдық тордың темепратурасы онша үлкен болмаса, атомдардың онда тербемелі қозғалысының ығысуының амплитудасы кішкентай балады да соны мен қоса тербемелі қозғалыстың потенциалдық энергиясының ығысуының квадраттық мүшелері арқылы көрсетуге болады. Сондықтан кристалдық тордың Гамильтон функциясын оcылай алуға болады:
H=k=13Npk22mk+12i!=kαikqi-qioqk-qko (8.22)
мында qio, qko - атомдардың тепе-теңдік күйіне сәйкес келетін координаталар, ал αik - тұрақты шама. Егер механикадан белгілі калыпталған координаталар мен импульстерді пайдалансақ:
Qk=l=13Naklql+bl, Pk=dLdQk (8.23)
онда кристалдық тордың Гамильтон функциясын мына түрінде пайдалануға болады:
H=12k=13NPk2+wk2Qk2 (8.24)
Яғни кристалдық торды немесе қатты денені көп осцилляторлардың жиынтығы деп санауға болады. Соны мен қоса бір-бірі мен байланысты сызықтық осцилляторлардың жиынтығын бір-бірі мен байланысы жоқ қалыпталған осцилляторлардың жиынтығы деп санауға болады. Сондықтан қарастырып отырған қатты дененің немесе кристалдық тордың энергиясы қалыпталған осцияллторлярдың энергияларының қосындысы боп саналады. Кез-келегн қалыпталған осциллятордың энергиясының орташа мәні тең болады:
Hk=12Pk2+wk2Qk2 =θ=kT (8.25)
Сондықтан қатты дененің энергиясының орташа мәні тең болады:
E=3NHk=3NkT=3RT
ал қатты дененің жылу сыйымдылығы тең болады:
Cv=dEdT=3R (8.26)
Бұл алынған тұжырым Дюлонг жәни Пти заңы деп аталады. Ол 300 К темпе-ратураға жуық төңірегінде көбінесе қатты денелерге орындалады. Эксперименттер түрінде тексеріп келгенде Дюлонг жәни Пти заңы тек қана температураның аз интервалында дұрыс боп шықты. Келесі суретте қатты дененің жылу сыйымдылығының температураға тәуелділігі көрсетілген. Жоғары температураларда Дюлонг және Пти заңы орындалмайтыны осцилляторлардың тербелістерінің ангорманиялығы мен байланысты деп саналады. Ал төмен температураларда жылыу сыйымдылықтың тәуелділігі карастырылып өтырған теория қолдалынбайтын боп шықты.
Сурет 26
Осы алынған нәтижелер Нейман-Ренью заңынада қатнасты. Расында, бар келтірілген нұсқаулар, соны мен қоса энергия және жылу сыйымділікқа қатысты өрнектер егер қатты дене атомдардың көп түрлерінен қосынды боп саналсада, өзгерілмейтін боп қалады. Сондықтан қатты дененің жылу сыйымдылығы оны құрайтын қоспалардың жылу сыйымдылықтардың қосындысына тең боп саналады.
Келесі қойылатын мақсат идеалдық газдың статистикалық тәсілдері арқылы термодинамикалық функцияларын есептеп шығару. Бір кез-келген V көлемінде орналасқан идеалдық газды қарастырайық. Егер идеалдық газ тепе-теңдік күйін сақтаса, онда оның Гамильтон функциясы газдың молекулалрының энергияларының қосындысы боп табылады:
Hо=k=1Npk22m+ Uk(xk,yk,zk) (7.14)
Мында Uk(xk,yk,zk) k - деп белгіленген бөлшектің потенциалдық энергиясы. Идеалдық газдың молекулалары белгіліенген көлемінде емін-еркін козғалады бірақ көлемның сыртына шыға алмайды. Оны басқаша көлемнің ішінде молекулалрдың потенциалдық энергияляры нольге тең, ал сыртында шексіз жағары мендеріне ие деп санауға болады (Сурет 21). Яғни идеалдық газдың әр бір молекуласының потенциялдық энергиясы тең болады:
Ux,y,z= 0, егер көлемнің ішінде болсаinfinity, егер көлемнің сыртында болса (7.15)
0
Сурет 21
Осы берілген шарттарды пайдаланып идеалдық Z0 газдың күй интегралын алуға болады:
Z0= e- HθdΩ=
= -infinity+infinitye- k=1Npk22m+ Uk(xk,yk,zk)θdx1,dy1,dz1...,dxN,dyNdzNdpx1,dpy1, ...,dpzN =
= -infinity+infinitye-px2+ py2+pz2+ U(x,y,z) 2mθdx,dy,dz,dpx,dpydpzN=ZkN (7.16)
мында Zk k - деп белгіленген бөлшектің күй интегралы. Енді Zk жеке қарстырайық:
Zk= -infinity+infinitye-pxk2+ pyk2+pzk2+Uk(xk,yk,zk) 2mθdxk,dyk,dzk,dpxk,dpykdpzk (7.17)
Егер координаталар иен импульстардің бір-біріне тәуелді емес екендігін пайдалансақ,
онда (7.17) өрнек тең болады:
Zk= -infinity+infinitye-pxk2 2mθdpxk-infinity+infinitye-+ pyk2 2mθdpyk-infinity+infinitye-+pzk22mθdpzk-infinity+infinitye-Ukxk,yk,zk2mθdxk,dyk,dzk
ақырғы интегралды есептеу үшін математикада белгілі Пуассон интегралын еске алайық онда:
-infinity+infinitye-pxk2 2mθdpxk= 2PIθT (7.18)
Соны мен қоса:
-infinity+infinitye-Ukxk,yk,zk2mθdxk,dyk,dzk=V (7.19)
яғни:
Zk=2PImθ3V (7.20)
Осыдан идеалдық газдың күй интегралы тең болады:
Z0=2PImθ3NVN (7.21)
Идеалдық газдың бос энергиясын (7.1) өрнек арқылы алуға болады:
ψ0= -θlnZ0 (7.22)
Яғни:
ψ0=-θln2PImθ3NVN=-3Nθ2ln2PImθ-θNlnV (7.23)
Осыдан идеалдық газдың 7.2 арқылы күй өрнегін табуға болады:
p= - dψdVT= θNV (7.24)
Енді осы өрнекті жалпы физикадан белгілі идеалдық газдың бір мөліне арналған күй теңдеуімен салыстырсақ:
p= kNTV (7.25)
Онда каноникалық үлестірімінің θ параметірі абсолюттік температура мен байланысы анықталады :
θ = kT (7.26)
Мында k дегеніміз Больцманн тұрақтысы, k=RN0 =1,37.∙10-23дж/град . Яғни, осыдан каноникалық үлестірімінің модулі статистикалық температур боп анықтыалды. Идеал-дық газдың бос эгергиясының теңдеуін пайдалансақ, онда идеалдық газдың 7.5 өрнек арқылы энтропиясын шығаруға болады:
S0= -dψ0dTV=kNlnV+ 32kNlnT+S'0 (7.27)
Мында S'0= 32 kNln2PImk- 32kN-kNlnN (7.28)
Идеалдық газдың ішкі энергиясын U және жылу сыйымдылығын Cv есептеп шығаруға болады:
U= ψ0+ TS0 = -kTN32ln2PImkT+lnV-lnN+ kNTlnV+ 32kNTlnT+TS'0
Осыдан:
U= 32kNT+const (7.29)
Ал идеалдық газдың тұрақты көлемде жылу сыйымдылығы тең болады:
CV = 32kN=32R (7.30)
Яғни, каноникалық үлестірімі арқылы идеалдық газдың түгел нақты термодинами-калық фүнкциялары және күй өрнегі есептеп шығарылды. Идеалдық газына есептеп шығарылған бос энегриясы дәлдігі тұрақты қосылмасына дейін термодинамикадағы белгіллі теңдеулерге тең боп шықты. Бірақ терең анықталған түрінде бос энергияның және энтропияға арналған өрнектер бір келкі жүйелерді қосқанда аддитивтік заңына бағынбайтын боп анықталды. Расынды, термодинамикалық жүйенің молекулуларының саны N және көлемі V α рет ұлғайса, онда жүйенің бос энергиясы алғашқы термоди-намикалық жүйенің бос энергиясы арқылы (7.23) өрнек бойынша тең болу керек:
ψ'= αψ- αθNlnα (7.31)
Соныме қоса энтропия:
S'=S+αkNlnα (7.32)
Екі ақырғы өрнектердегі lnα бар қосындылар жүйенің бос энергиясына және энтропия-сына өздерінің физикалық мағнасына тәуелдді аддитивтік заңын бұзады. Бұл жағдай Гиббс парадоксы деп аталып кеткен. Егер термодинамикалық жүйенің бос энергиясы-на тағы мынадай қосымша:
ψ= θNlnN (7.33)
мүшел болса, онда Гиббса парадоксы жойылатын болады. Онда:
ψ'= αψ+ αθNlnα (7.34)
Боладада, яғни Гиббс парадоксы жойылыу үшін ψ функциясы (7.23) және (7.32) қо-сындысны тең болу керек. Соны мен қоса жүйенің күй интегралының 1N! көбейтіндісі болу керек. Ал Стрирлинг өрнегі бойынша:
N!≈NlnN (7.35)
Яғни (7.21) өрнектің орнына:
Z0=1N!2PImθ3NVN (7.36)
алуымыз керек. Онда идеалдық күй интегралын есептегенде ол тең болу керек:
Z0= 1N!e- Hθd (7.37)
Ал Гиббстың каноникалық ұлестірім функциясы тең тығыздығы болу керек:
χΩ= 1N!eψΩ,a-HΩ,aKT (7.37)
Сірә, ақырғы алынған үлестірім функциясының тығыздығына алынған өрнекпен (6.30) салыстырғанда неғұрым дұрыстау боп саналады. Бұл жағдай не мен байла-нысты? Егер жүйеде N бөлшектер болса, онда олардың арасындағы орыналмас-тыруы N! тең болады. Онда барлық орыналмастыру жағдайларға қатнасатын жүйенің күйлері бір-біріне тең болғандықтан үлестірім функцияның тығыздығы N! есе азаю керек. Яғни термодинамикалық жүйенің орыналмастыруға қатнасқан күйлері бір-бірінен ажыратылмайтын болады. Ал біз оларды бір-біріне тең емес кұйлер деп санаймыз. Сондықтан, каноникалық үлестірім функциясының тығыздығын N! бөлінгені бөлшектердің ажыратылмаушылық принципін есептелген боп саналады. Басқаша айтқанда термодинамикалық жүйенің фазалық кеңістігінің көлемі N! рет азаю керек. Осы мен бастапқы термодинамикалық жүйенің онша дұрыс емес ықтымалдықтың анықтамасы реттелді. Осыдан, N тепе-теңдіктегі бөлшектерге (7.37) каноникалық үлестурімі (6.30) үлестірімінен дұрыстау боп анықталды. Көбінесе жағдайларда бір белгілегін термодинамикалық қүйлерін қарастырғанда 1N! көбейтінді есептелген функцияларға онша көп айырмашылық кіргізбейді яғни алынған күй өрнектері оған тәуелді болмайды.
Яғни, бір белгіленген бөлшектерінің саны тұрақты, термодинамикалық жүйенің күйлерін анықтығанда Гиббс үлестірім функциясының тығыздығын (6.30) тұрінде пайдалануға болады. Ал Гиббстың каноникалық ұлестірімінің (7.37) түрінде тек өте қажетті кезде пайдаланады.
Егер идеалдық газдың күйін тепе-теңдік қарастырсақ, онда оның dΩ фазалық кеңістікте Е энергиясымын орналасатын ықтималдығы тең болады:
dWΩ= eψ-EθdΩ=conste-EkTdΩ (6.75)
Идеалдық газдың молекулаларын бір-бірімен өзара әсерлес етпейді деп санасақ, онда
Идеалдық газдың толық энергиясы молекулалрдың қосындысы деп саналады, яғни:
E= i=1NEi
dWΩ=conste-i=1NEikTdΩ =conste- E1kTdx1dy1dz1 ,dpx1dpy1dpz1, ...
...e- ENkTdxNdyNdzN ,dpxNdpyNdpzN (6.76)
Онда і деп белгіленген жүйенің күйіне жазуға болады:
dWxi,yi,zi,pxipyipzi=conste- EikTdxi,dyi,dzi,dpxidpyidpzi
Мында Ei дегеніміз иедалдық газдың і деп белгіленген бөлшегінің толық энергиясы. Ол кинетикалық және потенциалдық энергияларының қосындысы боп табылады, яғни импульстар мен координатларын тәуелді болады. Кез - келген бөлшекті алғандықтан і белгісіне мән бермей жазуға болады:
E= Ek+ Ep= px2+ py2+pz22m+ U(x,y,z) (6.77)
(6.77) өрнекті (6.36) қоссақ, онда:
dW(x,y,z,px,pypz) = conste-px2+ py2+pz2+ U(x,y,z) 2mkTdx,dy,dz,dpx,dpydpz (6.78)
Осы алынған өрнек Максвелл-Больцман үлестірім функциясы арқылы бір кез-келген интервалдарында координаталар мен ипульстарын орналастыратын ықтамалдығын анықтайды.
Тақырып: Үлкен каноникалық үлестірілу.
Гиббстың каноникалық үлестірімі тепе-теңдің күйін сақтайтайтын термодинами-калық жүйелерге алынған. Бірақ көбінесе табиғатта кездесетін жүйелердің энергиясы, жүйені құрастыратын бөлшектердің саны тұрақты болмауы мүмкін. Мысалы түрінде ыдысқа құйылған сұйықтың үстіндегі бұын қарастыруға болады. Сұйықтың молекулалары өз бетіміен сұйықтан буға ұшып жәні кері қайтады. Сондақтан ондай жүйені бөлшектерінің саны тұрақты емес жұйе деп сануға болады. Ондай жүйелердің қасиеттерін анықтау үшін термодимикада химиялық потенциал деп аталатын термодинаимкалық потенциал пайдаланады. Ол жүйенің бос энергиясы арқылы осылай алынады:
μ= dψdNV,T (6.86)
Осы анықтамадан химиялық потенциал тең болады:
ψ = μN+ Ψоμ,V,T
Мында Ψоμ,V,T жаңа термодинамикалық потенциал.Уақыт сайын термодинамикалық жүйенің бөлшектерінің саны өзгеріп отырады, бірақ бір белгілеген мезгілде белгіленген жүйеде бөлшектердің саны тұрақты болады. Онда бөлшектердің саны тұрақты жүйеге фазалық кеңістігінде Гиббстың каноникалық осы түрінде алынады:
dWΩ= 1N!eψ-EKTdΩ= 1N!eμN+ Ψоμ,V,T-EKTdΩ (6.87)
Егер термодинамикалық жүйенің саны N' болса онда оның Гиббстың үлестірім функциясы тең болады:
dWΩ= 1N'!eψ-EKTdΩ= 1N'!eμN+ Ψоμ,V,T-EKTdΩ (6.88)
Оған сәйкес келетін фазалық кеңістіктің көлемі N' өлшемді болады, оған басқа каноникалық статистикалық ансамбль сәкес келеді. О<=N<=infinity шаманың мәні болғандықтан ондай жүйелердің саны өте көп болыу мүмкін. Бір, әрқашанды саны өзгеріп отыратын термодинамикалық жүйеге, сәйкес келетін каноникалық ансамбль үлкен каноникалық ансамбль деп аталады. Ал оның Гиббс үлестірім функциясы тең болады:
χΩ= 1N!eμN+ Ψоμ,V,T-EKT (6.89)
Мында N әрқашанда өзгеріп отырытын шама, үлестірім функция χΩ Гиббстың үлекен каноникалық үлестірімі деп аталады. Осы үлестірім функциясыны енетін термодинамикалық потенциал Ψоμ,V,T үлкен каноникалық термодинамикалық потенциал деп аталады. Оның мәні үлкен каноникалық термодинамикалық потенциалдың нормалау шартынан алынады. Нормалау шартын белгілеу үшін біз барлық статистикалық ансамбльдің жалпыланған координаталар бойынша интеграл алуымыз керек, және барлық каноникалық ансамльдер бойынша қасындыларын алуымыз керек яғни:
N=0infinity1N!ΓeμN+ Ψоμ,V,T-EKT dΩ=1 (6.90)
Бөлшектерінің саны тұрақты емес термодинамикалық жүйені сипаттайтын кезкелген физикалық шаманың орташа мәні тең болады:
F= N=0infinity1N!ΓF(N,Ω)eμN+ Ψоμ,V,T-EKT dΩ (6.91)
Ал басқа термодинмикалық жүйеге қатнасты шамалар тең болады:
N= N=0infinity1N!ΓNeμN+ Ψоμ,V,T-EKT dΩ (6.92)
U= E= N=0infinity1N!ΓEeμN+ Ψоμ,V,T-EKT dΩ (6.93)
Мында үлкен термодинамикалық потенциал Ψоμ,V,T интеграға және жүйенің бөлшектерінің сандарына тәуелді емес, сондықтан (6.49) алуға болады:
eΨоμ,V,TkTN=0infinityeμNkTN!Γe-EKT dΩ=1 (6.94)
немесе:
Ψоμ,V,T= -kTlnN=0infinityeμNkTN!Γe-EKT dΩ (6.95)
Осыдан келесі өрнектер арқылы үлкен термодинамикалық потенциалдың физикалық мағнасын анықтауға болады:
dΨdTV,μ= 1TΨ+ μN-E= 1Tψ-E=dψdTV= -S (6.96)
dΨdVT,μ= dψdVT=-p; dΨdμV,T= -N (6.97)
Гиббстың үлкен каноникалық үлестірімінің күй интегралы тең болады:
Z = N=0infinityeμNkTN!Γe-EKT dΩ (6.98)
Тақырып: Гиббс үлестірілуінің идеал газға қолдану. Реалды газдар.
Кинетикалық және потенциалдық энергиялар бір-біріне тәуелді емес болғандықтан осы белгіленген Максвелл-Больцман үлестірім функциясын екі тәуелсіз үлестірімдерге бөлуге болады:
dWpx,py,pz=Ae- px2+py2+pz22mkT dpx,dpydpz (6.79)
және:
dWx,y,z=Be- U(x,y,z)kT dx,dy,dz (6.80)
Мында А,В тұрақты шамалар, олардың мәндері үлестірім функциялардың нормалау шарттарынан табылады. (6.79) өрнектегі үлестірім функция белгілі газдардың моле-кулаларының жылдамдықтарына арналған Маквеллдің үлестірім функциясы мен түйеседі. Бірақ осы түрінде Максвелл үлестірімі молекулалрдың өзарасындағы әрекеттеріне тәуелді емес боп саналады. Молекулалрдың арасындағы өзара әсерлері потенциалдық функциясы арқылы анықталады.
Максвеел үлестірім функциясы классикалық түрінде газдардағы, сұйықтардығы және металлдардыға молекулалар мен атомдардың қасиеттерін анықтауға пайдаланады. Ал бірақ қарсатырылатын бөлшектер кваннтық қасиеттеріне ие болса, онда оны пайдалануға болмайды. (6.80) өрнектегі потенциалдық өрістегі координаталар бойынша үлестірім функциясы Больцман үлестірімі деп аталады. Оны ол 1877 жылы ашқан.
Егер потенциалдық өріс текқана бір айнымалы шамаға тәуелді болса, онда:
dWz=Be- U(z)kT (6.81)
Идеалдық газ біртекті гравитациалық өрісінде орналасса онда (6.81) өрнек
арқылы белгілі барометрлік теңдеуін алуға болады. Онда Uz=mgz, z өсі бойынша үлестірім функциясы тең болады:
fz= dW(z)dz=Be- mgzkT (6.82)
Ауаның молекулаларының концентрациясын жердің үстіне қатнасты биіктігіне пропорционал деп есептеп молекулалрдың коннцентрациясына қатнасты келесі өрнекті алуға болады:
nz= conste- mgzkT (6.83)
Егер z=0, n=n0 тең болса, онда:
nz= n0e- mgzkT (6.84)
Газдағы қысым молекулалрдың әрқашанда концентрациясына пропорционал екенін есептесек онда белгілі барометрлік теңдуін аламыз:
pz= p0e- mgzkT (6.85)
Ауаның қысымын барометрлік теңдеу жерге қатнасты бийіктік бойынша азаятынын көрсетеді.
Бірақ қарастырылған барометрлік теңдеу тек қана шамалы дұрыстығын көрсетеді. Ол ауанының атмосферасы өзінің тепе-теңдік күін сақталмайтындығы мен байланысты боп тәжіриби арқылы дәлелденді. Жоғары биіктікті ауаның атмосферасы біртекті емес екен, соны мен қоса бийіктік бойынша атмосфераның темпаратурасы төмендейді. Сондада барометрлік теңдеудің өте зор маңызы бар боп табылды. Барометрлік теңдеу арқылы (мысалы атмосфераның қысымы арқылы) ұшқыштың бийіктігін табуға пайдаланады. Перрен барометрлік теңдеу арқылы Больцман тұрақтысынының мәнін есептуеге пайдалануын ұсынды.
Нақты газдың қасиеттері әрине идеалдық газдың касиеттерінен айырмашылығы бар екенін көптеген өткізілген эксперименталдық тәжирибелер көрсеткен. Ондай мәселе біріншіден нақты газдарды құрайтын молекулалрдың қасиеттері мен байланысты.
Идеалдық газдың бөлшектері материалдық нүктелер болса, олардың меншікті өлшемдері тұрақты боп саналады. Ал нақты газдардың молекулалрының меншікті өлшемдері тұрақты деп белгіленбейді. Олардың өзара әсерлері арасындағы пайда болатын тартылыс және итеріс күштері мен байланысты. Егер екі молекулалардың қарастырсақ, онда олардың өзара әсерлер энергиялары олардың арасындағы қашықтыққа және олардың өзара бағдарларына тәуелді болады.
Тәжірибе арқылы белгілі нақты газдың қысым мен көлемінің өзгерістері Клапейрон күй өрнегніне бағынбайды. Оларардың күй орнегі өте күрделі түрінде анықталған. Ең бірінші тәжірибе арқылы алынған Ван-дер-Ваальс теңдеуін көрсетуге болады:
P + aN2V2V-bN=RT (7.38)
немесе оны басқаша жазуға болады:
P + av2v-b=θ (7.39)
мында v=V/N меншікті көлем, ал θ=kT. Бірақ Ван-дер-Ваальс теңдеуі текқана шамалы дұрыс. Ван-дер-Ваальс теңдеуінен неғұрым дәлдіректеу келесі 1/v дәрежелі қатары боп саналады:
P=θv1+ k=1infinityBk1vk (7.41)
мында Bk вириалдық коэффициент деп аталады, ол θ тәуелді. Онда Ван-дер-Ваальс теңдеуін 7.40 қатары арқылы көрсетуге болады. Расында:
1v -b= 1+ bv+ bv2+ bv3+ ... (7.42)
(7.41) өрнек бойынша:
P=θv1+ 1vb- aθ+bv2+ bv3 + ... (7.43)
Басқаша айтқанда, күй өрнегіндегі вириалдық коэффицинттер тең болады:
B1=b- aθ , B2=b2, B3=b3... (7.44)
Қарастырылатын нақты газды сиректелген болса, онда қысқартылған 7.43
өрнекті пайдалануға болады:
P=θv1+ 1vb- aθ (7.45)
Яғни нақты газдың статистикалық теориясында біз 7.40 сияқты күй теңдеуін алуымыз керек. Нақты газ сиретилген болса, онда күй теңдеуі қысқартылған 7.43 түрінде шығуы керек. Нақты газды құрайтын молекулаларының өзара әсерлерінің энергиясы белгілі болса, онда оның статистикалық теориясын құрастыруға болады. Ол үшін ең бірінші нақты газың күй интегралын есептеуіміз керек:
Z = Γe-HθdΩ (7.46)
Мында нақты газдың Гамильтон функциясы H мына тұрінде берілген:
H=Ho+ Uөа (7.47)
Мында Ho идеалдың газдың Гамильтон функциясы немесе толық энергиясы:
Hо=k=1Npk22m+ Uk(xk,yk,zk) (7.48)
ал Uөа нақты газдың молекулалрының өзара әсерінің потенциалдық энегриясы.
Қарапайымда нақты газдың молекулаларының өзара әсерелері текқа жұпты деп саналса, онда нақты газдың молекулалрының өзара әсерінің потенциалдық энегриясы тең болады:
Uөа =k=2Ni=1k-1Φik=12i!=kΦik (7.49)
Мында:
Φik = Φri- rk (7.50)
дегеніміз екі молекулалардық өза ара әсерінің потенциалдық энергиясы. Φr функциясының түрі 22 - суретте көрсетілген. Оны аналетик түрінде Леонард - Джонс потенциалы жаксы сипаттайды:
Φr=a1r12- a2r6 (7.51)
Сурет 22
Осы өрнектегі екінші қосындыны Ван-дер-Ваальс күштерінің потенциалы деп атала-ды. Ол теоретикалық тұрінде екі молекулаларға арналған квантты-механикалық есепті шығарғанда алынады.
Нақты газдың күй интегралын 7.46, 7.47 өрнектер арқылы тең болады:
Z = Γe-HθdΩ = Γe-Ho+ Uөа θdΩ=
=-infinity+infinity...-infinity+infinitye- 12mθk=1Npk22m dp1...dpN-infinity+infinity...-infinity+infinitye-Uоә+k=1N Uk(xk,yk,zk)θdr1...drN (7.52)
Идеалдық газдың күй интегралы:
Z0=-infinity+infinity...-infinity+infinitye- 12mθk=1Npk22m dp1...dpN=2PImθ3NVN 7.53
тең болғанынан, нақты газдың күй интегралы:
Z= Z0∙Zөа (7.54)
Мында:
Zөа =1VN-infinity+infinity...-infinity+infinitye-i!=kΦik θdr1...drN (7.55)
Осы алынған өрнекті өзара әсерінің күй интегралы деп атауға болады. Сондықтан,
нақты газдың бос энергиясы тең болады:
Ψ= -θlnZ=-θlnZ0-lnZөа =Ψo+Ψөа (7.56)Яғни нақты газдың күй теңдеуін анықтау үшін Zөа ингралды есептеуміз керек.
7.53 ингралды тура есптеуі өте күрделі мәселе, сондықтан оны шығару үшін 7.53 интегралға дәрежелік жіктеу пайдаланады. 7.53 өрнектегі көрсеткіштік функцияны осылай алуға болады:
e- k=2Ni=1k-1Φi,kθ=1<=i<=k<=Ne-Φi,kθ=1<=i<=k<=N1+ fi,k 7.54
мында:
fi,k= e-Φi,kθ- 1 (7.55)
Егер нақты газды сиретілген деп санасақ, онда Φо ≪θ Мында Φо дегеніміз Φr функцияның минималдық мәні. Сондықтан жуықтап : fi,k= -Φi,kθ өте аз шама деп санауға болады. Онда 7.54 көбейтіндіні мынадай қатар түрінде алуға болады:
1<=i<=k<=N1+ fi,k =1+fi,k+fi,kfl,m+ ... (7.56)
Онда анықталатын күй интегралы тең болады:
Zөа =1+1V2VVfri- rkdridrk+ 1V4VVVVfri- rkfrl- rmdridrkdrldrm+... 7.57
яғни, 7.57 өрнек 1V дәрежелерінің қатары боп табылды. Мында бірінші қосындысы 12N(N-1) бір-біріне тең шамалар, сондықтан:
Vfri- rkdridrk= V0infinityfr4PIr2dr (7.58)
Егер енді текқана бірінші қосындымен шектелсек, яғни нақты газдың сиретілген күйіне сәйкес келетін күй интегралын табамыз:
Zөа =1+N(N-1)2V0infinityfr4PIr2dr (7.59)
Сонымен қоса, егер α≪1 ln(1 + α)≈α екенін еске алсақ, ал N ─ 1~ N, онда:
Ψөа= -θlnZоә≈2PIθN2V0infinityfrr2dr (7.60)
-1
Сурет 23
fr функциясы келтірілген 23 сурет бойынша, және fi,k= -Φi,kθ , Φо ≪θ түрін 23 сурет арқылы анықтауға болады, яғни егер r<= σ ─1 тең, ал r>1, онда -Φi,kθ
тең болады. Яғни 7.60 өрнектегі интегралды мына түріне келтіруге болады:
0infinityfrr2dr ≅ -0σr2dr+ σinfinity-Φ(r)θr2dr=-σ33 -1θσinfinityΦ(r)r2dr 7.61
Енді
b =2PI3 және a =-2PIσinfinityΦ(r)r2dr (7.62)
белгілеп жазуға болады:
Ψөа= N2Vθb -a (7.63)
Осыдан сиретілген нақты газдың күй теңдуеін табуға болады:
P =-ddVΨo+Ψоә=θNV + N2V2θb -a (7.64)
Немесе:
P =θv1+ 1vb- aθ (7.65)
алынған өрнек алдында белгіленген сиретілген нақты газдың кұй теңдуеіне дәл сәйкес келді. Ақырғы 7.65 өрнектегі a және b коэффициенттердің механикалық мағнасын белгілеуге болады. 7.62 бойынша b нақты газдың молекуласының төрттік ішкі көлемі деп санауға болады, ал a молекулалрдың арасындағы Ван-дер- Ваальс күштерінің тартылыс сипаты боп саналады. Енді сиретілген нақты газдың ішкі энергиясын анықтауға болады. Ол үшін Гиббс-Гельмгольц өрнегін пайдалануға болады:
Uөа=Ψөа - θdΨөаdθ ≅-aN2V (7.66)
Осыдан сиретілген нақты газдың толық ішкі энергиясы тең болады:
U= Uo + Uөа=N32kT -aNV (7.67)
Яғни бір молекулаға сәйкес келетін Ван-дер- Ваальс тартылыс күштерінің энергиясы молеклалрдың санына N және a тұрақтысына пропорционал боп табылды. Егер 7.57? өрнектегі басқа қосындылары есептелсе, онда келесі вириалдық коэффициентер B2,B3,... табылады. Бірақ ол өте күрделі мәселе.
Тақырып: Екі фазаның тепе-теңдігі
Термодинамикада фаза деп өздерінің қасиеттері жөнінен системаның біртекті бірдей бөліктерінің жинағын айтады. Фаза ұғымын мынадай мысалдар арқылы түсіндірейік. Жабық ыдыста су және оның үстінде ауа мен су буының қоспасы тұр. Бұл жағдайда біз екі фазадан тұратын системамен істес боламыз: бір фазаны су, ал екіншісі - ауа мен су буының қоспасы құрайды. Егер суға бірнеше кесек мұз тастасақ, онда мұздың бұл кесектерінің бәрі үшінші фазаны құрайтын болады. Қандай да бір заттың түрліше кристалдық модификациясы түрліше фаза болып табылады. Атап айтқанда, мысалы, алмас пен графит көміртегінің түрліше қатты фазаларына жатады.
Белгілі бір жаңдайларда бір заттың түрліше фазалары бірімен-бірі өз ара жанаса отырып, тепе-теңдікте бола алады. Екі фазаның тепе-теңдігі температураның тек белгілі бір интервалында жүзеге аса алады, онда да температураның әрбір мәніне тепе-теңдік орнайтын р қысымының белгілі бір мәні сәйкес келеді. Сөйтіп, екі фазаның тепе-теңдік күйлері диаграммада мына сызықпен кескінделеді:
. (147.1)
Атап айтқанда, мысалы, сұйық пен оның қаныққан буының тепе-теңдігі, үштік нүкте температурасы мен кризистік температураның арасындағы температуралық интервалда байқалуы мүмкін. Бұл жағдайда қаныққан бу серпімділігінің қисығы (147.1) функцияның графигі болып табылады.
Бір заттың үш фазасы (қатты, сұйық және газ тәрізді фаза, немесе екі қатты және бір сұйық фаза) температура мен қысымының бір жалғыз - ақ мәнінде тепе-теңдікте тұра алады, бұларға диаграммасында үштік нүкте деп аталатын сәйкес келеді. Бұл нүкте жұбымен алынған фазалардың тепе-теңдік қисықтарының қиылысында жатады.
Термодинамикада тәжірибелерге сәйкес тепе-теңдік күйде бір заттың көп болғанда үш-ақ фазасы болатындығы дәлелденді.
Бір фазадан екінші фазаға ауысу әдетте жасырын жылу, яғни жай жылу деп аталатын қайсібір жылу мөлшерінің жұтылуына немесе бөлініп шығуына байланысты болады. Біз тек бірінші текті фазалық ауысуларды қарастыратын боламыз.
Өткен параграфтардан біз заттың кез келген екі фазасының тепе-теңдік күйде шамасы температураға тәуелді болатын тек белгілі бір қысым кезінде ғана бола алатынын көрдік. Бұл тәуелділіктің жалпы түрін термодинамиканың екінші бастамасының көмегімен шығарып алуға болады. Ол үшін берілген заттың өз ара тепе-теңдіктегі екі фазасынан тұратын системаға қатысты Карно циклін қарастыраыйық.
Екі фазалық система үшін диаграммасындағы Карно циклі 330-суретте көрсетілгендей болады (қыздырғыш пен суытқыш температураларының айырмасы қте аз шамасы деп ұйғарылып отыр). Температурасы Т изотерманың горизинталь учаскесінің шеткі нүктелері 1 және 2 цифрларымен белгіленген. 1 және 2 күйлер бір фазалы күйлер болып табылады. 1-2 кесіндісінің аралық нүктелерінің бәрі бір-бірінен зат массасының бірінші және екінші фаза арасында бқліну арқылы айырылатын екі фазалық күйлерді кескіндейді.
Изотермиялық процесс заттың қайсыбір массасының фазалық ауысуымен байланысты болады. Сол кезде заттың көлемі -ға тең өсімше алады, мұндағы пен - бірінші және екінші фазалардың меншікті көлемдері. Мұндай ауысу жүзеге аса алатын болу үшін, затқа -ге тең жылу мөлшерін беруге тиіспіз, мұндағы температура жағдайында 1 күйден 2 күйге ауысқан кезде жұтылатын меншікті жылу. жылу системаның циклдің барысында қыздырғыштан алатын жылуын білдіреді. Суытқышқа жылу изотермиялық процестің барысында беріледі. Берілген жылудың мөлшері мынаған тең: мұндағы - температура жағдайында 1-2 ауысу жылуы, ал процестің барысында фазалық ауысуға ұшыраған зат мөлшері. Заттың бұл мөлшерінің -нен аз ғана айырмашылығы бар, өткені заттың қайсыбір мөлшері адиабаталық процестің барысында фазалық ауысуға ұшырайды.
Цикл ішінде орындалатын жұмыс А сан жағынан, цикл ауданына тең. Сондықтан мынаны жаза аламыз:
(150.1)
Бұл (150.1) теңдеуі жуықтап алынған. нольке ұмтылған кездегі (ол үшін нольге ұмтылуы керек) шекте (150.1) өрнегі дәл теңдеуге айналады.
Циклдің п.ә. коэффициенті анықтама бойынша мынаған тең:
. (150.2)
Сонымен қатар (129.7) бойынша мынаны жазуға болады:
(150.3)
(150.2) және (150.3) өрнектерді бірімен-бірін теңестіре отырып, үшін мынаны аламыз:
.
Бұдан
(150.4)
нолге ұмтылғандағы шекте (150.4) жуық теңдеу мынадай дәл теңдеуге айналады:
(150.5)
Соңғы (150.5) қатысты Клапейрон - Клазуиус формуласы (немесе теңдеуі) деп аталады. Клапйерон - Клаузиус теңдеуі температура бойынша тепе-теңдік қысымнан алынған туындыны жылуға ауысымен, теңбе-теңдіктегі фазалардың температурасы және меншікті көлемдерінің айырымымен байланыстырады.
(150.5) бойынша туындының таңбасы, жылудың жұтылыуы кезінде болатын фазалық өтумен қоса жүретін көлемнің өзгерісіне - атруына немесе кемуіне тәуелді болады. Сұйық не қатты дене буланған кезде көлем әрқашан артады, сондықтан булану қисығы үшін, сондай-ақ сублимация қисығы үшін тек оң таңбалы болуы мүмкін: температураның артуы тепе-теңдік қысымының артуына әкеп соғады.
Балқыған кезде көлем әрқашан артады, демек, : қысымының ұлғаюы балқу температурасының артуына әкеп соғады. Алайда, кейбір заттарда, мәселен, суда сұйық фазаның көлемі қатты фазаның көлемінің кем болады (). Бұл жағдайда - қысымның артуы балқу температурасының төмендеуімен қосарлана жүреді. Мұзды күшті қысымға ала отырып, оның балқу температурасын -тан арттырмай-ақ, ерітуге болады.
Бір кристалдық модификациядан екіншісіне ауысу температурасы, қысым артқанда қатты фазаның қайсысының меншікті көлемі артық болатынына қарай жоғарлауы да, төмендеуі де мүмкін. Су қатқан кезде көлемін ұлғайтатыны белгілі. Осы себепті де суға қарағанда мұздың тығыздығы аз болады.
Тақырып: Үш фазаның тепе-теңдігі. Екінші ретті фазалық ауысулар.
Затты сұйық күйінде алып онымен тепе-теңдікте тұрған қаныққан буды қарастырайық та, көлемін өзгертпей одан біртіндеп жылу алатын болайық. Бұл процесс заттың температурасының төмендеуімен және соған сәйкес қысымының төмендеуімен байланысты болады. Сондықтан (р,Т) диаграммада зат күйін суреттейтін нүкте төмен қарай булану қисығының бойымен қозғалатын болады (331 сурет).
Бұл қысымның тепе-теңдік мәніне жауап беретін заттың кристалдану температурасына жеткенге дейін созылады. Бұл температураны Түш арқылы белгілейік. Кристалдану жүріп жатқан уақыт бойы, температура мен қысым ұдайы тұрақты болып қала береді. Сол кезде сыртқа әкетіліп жатқан жылу, кристалдану кезінде бөлініп жатқан жылу болып табылады. Температураны Түш және соған сәйкес тепе-теңдік қысым рүш - қатты, сұйық және газ тәрізді фаза сияқты заттың үш фазасының үшеуі де тепе-теңдікте тұратын температура мен қысымның жалғыз мәні. Диаграммада (р,Т) соған сәйкес нүкте үштік нүкте деп аталады. Сөйтіп, үштік нүкте заттың үш вазасының үшеуі бірдей тепе - теңдікте тұра алатын шарттарды анықтайды. Кристалдану процесі аяқталғаннан кейін тепе - теңдік күйде қатты фазамен газ тәрізді фаза қалады. Егер заттан жылу алуды одан әрі соза берсек, температура тағы төмендей бастайды.Соған сәйкес кристалдық фазамен тепе-тендік тұрған будың қысымы да азая бастайды. Зат күйін көрсететін нүкте сублимация қисығының бойымен төмендей бастайды.
Үштік нүкте темперетурасы, рүш қысымда тұрып заттың балқитын температурасы болады. Бұдан басқа қысымдарда заттың балқу температурасы басқаша болады. Заттың балқу қысымы мен балқу температурасының арасындағы байланыс үштік нүктеден басталатын балқу қисығы арқылы кескінделеді. Сөйтіп, үштік нүкте қатты және сұйық, сұйық және газ, ақырында, қатты және газ күйлерінің тепе-теңдік жағдайларын анықтайтын үш қисықтың қиылысқан нүктесі болады екен. Қатты және сұйық фазасының меншікті көлемдерінің қатысында байланысты, балқу қисығының барысы не 331-суретте көрсетілгендей () болады, не 332-суретте көрсетілгендей () болады.
Балқу, булану және сублимация қисықтары, координата жазықтығын үш облысқа бөледі. Сублимация және балқу қисықтарының сол жағында қатты фаза облысы, балқу және булану қисықтарының арасында сұйық күйлер облысы, оң жағында заттың газ күйлерінің облысы жатыр. Бұл сәйкес бір фазалы күйін көрсетеді (біз ұдайы тек тепе-теңдік күйді, яғни заттың сыртқы жағдайлар тұрақты болғанда, қанша ұзақ болса да тұра алатын күйін сөз нтіп отырмыз).Бұл облыстарды шектейтін қисықтардың біреуінде жатқан кез келген нүкте, заттың тиісті екі фазасының тепе-теңдік күйін көрсетеді. Үштік нүкте үш фазаның барлығының тепе - теңдік күйін кескіндейді.
Сөйтіп, диаграммадағы әрбір нүкте заттың белгілі бір тепе-теңдік күйін кескіндейді.Сондықтан да оны күй диаграммасы деп атайды.
Бірнеше кристалдық модификациясы бар зат жағдайында күй диаграммасы бұдан күрделірек боп келеді. 333-суретте түрліше кристаллдық модификацияның саны екіге тең болатын жағдайдағы диаграмма кескінделген. Бұл жағдайда үштік нүкте екеу болады. Үш, нүктеде сұйық, газ және заттың бірінші кристалдық модификациясындағы күйлер тепе-теңдікте тұрады, ал үш нүктеде сұйық және екі кристалдық модификация тепе - теңдікте тұрады.
Әрбір нақтылы затқа арналған күй диаграммасы эксперименттік мәліметтер негізінде салынады. Күй диаграммасын біле отырып, заттың түрліше жағдайларда (р мен Т-нің түрліше мәндерінде) қандай күйде болатынын және түрліше процестерде зат қандай айналыстарға ұшырайтынын алдын ала болжап айтуымызға болады. Бұл айтылғанды мысалдар арқылы түсіндірелік. Егер затты 1 нүкте сәйкес келетін күйде алсақ (331-суретті қараңыз) және оны изобаралық қыздыратын болсақ, онда зат 1-2 пунктир түзумен көрсетілілген күйлер тізбегінен: кристалл - сұйық-газ күйлерден өтеді. Егер сол затты 3 нүктемен кескінделген күйде алсақ және тағы да изобаралық қыздыратын болсақ, онда күйлер тізбегі (3-4 пунктир түзу) өзгеше боп кетеді: кристалдар сұйық фазаға соқпай, бірден газға айналады.
Диаграммадан, сұйық фаза тепе-теңдік күйде тек үштік нүкте қысымынан жоғары қысымдарда ғана тұра алатыны (333- суреттегі II қатты фазаға қатысты да осыны айтуымыз керек) байқалады. рүш қысымнан төменгі қысымдарда тек асыра суытылған сұйықтар байқалады.
Дағдылы заттардың көпшілігінде үштік нүкте атмосфералық қысымнан едәуір төмен жатады, сондықтан бұл заттардың қатты күйден газ тәрізді күйге өтуі екі арадағы сұйық фаза арқылы жүзеге асады. Атап айтқанда, мысалы, судың үштік нүктесіне 4,58 мм. сын. бағанасындағы қысым және 0,00750 С температура сәйкес келеді.
Көмір қышқылы үшін үштік нүкте қысымы 5,11 ат-ға тең (үштік нүкте температурасы-56,6 0 С). Сондықтан көмір қышқылы атмосфера қысымында тек қатты және газ тәрізді күйлерде ғана болады. Қатты көмір қышқылы (құрғақ мұз) тікелей газға айналады. Көмір қышқылының атмосфералық қысымдағы сублимация температурасы - 780 С қа тең.
Егер кристалдың меншікті көлемі оның сұйық фазасының меншікті көлемінен артық болса, онда кейбір процестердегі заттың айналуы өте ерекше боп шығуы мүмкін. Осындай затты, мысалы, 1 нүктемен көрсетілген (332- сурет) күйде алайық та, оны изотермалық сығалық. Бұлай сыққанда қысым өседі де, диаграммада процесс вертикаль түзумен көрсетіледі (1-2 пунктир түзуді қараңыз). 332 - суретте көрсетілгендей, зат қысымды арттырған кезде күйлердің мынадай тізбегінен өтеді: газ - кристалл - сұйық күйі. Бұл сияқты тізбек, сөз жоқ, тек үштік нүкте температурасынан төмен температураларда байқалады.
Қорыта келіп, күй диаграммасының тағы бір ерекшелігін атап өтейік. Булану қисығы кризистік К нүктесімен аяқталады. Сондықтан сұйық күйлер облысының газ тәрізді күйлер облысына кризистік нүктені айналып, булану қисығын қимай-ақ ауысуға мүмкіншілік туады (332-суретте пунктирмен көрсетілген 3-4 ауысыуды қараңыз). Мұндай ауысудың (p,V) диаграммада қандай болып келетіні 276 - суретте көрсетілген. Бұл жағдайда сұйық күйден газ тәрізді күйге ауысу (және керісінше) бір фазалық күйлердің тізбегі арқылы үздік жүзеге асады.
Сұйық және газ күйлердің арасында үздіксіз ауысудың мүмкін болатыны оларды айырмашылық сапалық жағынан гөрі тек сандық сипатты айырмашылықтың болуында екен, атап айтқанда, бұл күйлердің екеуінде де анизотропия болмайды. Кристалдық күйден сұйық немесе газ тәрізді күйге үздіксіз ауысу мүмкін емес, өйткені кристалдық күйдің басты ерекшелгіне, өзімізге белгілі, оның анизотропиясы жатады.Ал, анизотропиясы бар күйден, анизотропиясы жоқ күйге өту тек секірмелі жүзеге асуы мүмкін- анизотропияның жарым- жартылай пайда болуы мүмкін емес, анизотропиясы не бар, не жоқ болуы мүмкін, үшінші мүмкіншілікке жол жоқ. Осы себепті сублимация қисығымен балқу қисығы, булану қисығынығ кризистік нүктеде үзілетіні сияқты, үзіліп қала алмайды. Сублимация қисығы p=0 және T=0 нүктесіне барады да, ал балқу қисығы шексіздікке кетеді.
Тап солай, бір кристалдық модификациядан екіншіге үздіксіз ауысу мүмкін емес. Түрліше кристалдық модификациялар бір - бірінен өздерін тән симметрия элементтері арқылы өзгеше болып келеді. Кез келген элемент симметриясы не бар, не жоқ болып келетіндіктен, бір қатты фазадан екіншіге ауысу тек секірмелі өтуі мүмкін. Сол себепті, екі қатты фазаның теңбе- теңдік қисықтары, булану қисығы сияқты, шексіздікке кетеді.
Кристалды модификациялардың бір түрінен екінші түріне ауысуы кейде жылу мөлшерін жұтуға немес бөліп шығаруға байланысты болмайды. Мұндай ауысулар, кәдімгі бірінші текті фазалық ауысулардан бөлек, екінші текті фазалық ауысулар деп аталады.
Тақырып: Кванттық статистикадағы үлестірулер.
Көп бөлшектерден құралатын жүйлердің қасиетін зерттеуге Гибббс әдістемесінің орнына Больцманның ұяшық әдістемесін пайдалануға болады. Бұл әдістемесі бойынша термодинамикалық жүйенің тепе-теңдік күйіне жүйенің энтропиясының максималдық мәні сәйкес келеді.
Көлемі V, температурасы Т тең N бөлшектерден құралған, толық энергиясы U тер-модинамикалық жүйені қарасырайық. Осы жүйеге сәйкес келетін фазалық кеңістікті m (m≪N) ұяшыққа бөлінген деп санайық. Әр ұяшықтың энергиялары ε1,ε2, ... εm тең болсын, мында ұяшықтың энергиясы εi, онда орналасқан бөлшектедің саны ni-ге тең.Термодинамикалық жүйенің толық микрокүйлерінің саны, яғни N - бөлщектердің m - ұяшақтан таралуы тең болады:
W=N!n1!n2!... nm! (10.25)
ақырғы өрнектің логарифымын алсақ:
lnW=lnN!-i=1mlnni! (10.26)
cонан соң Стирлинг теңңдігін пайдалансақ: lnN!≈NlnN,онда:
lnW=NlnN- i=1mnilnni (10.27)
Егер термодинамикалық жүйе озінің тепе-теңдік күйін сақтаса, онда оның Толық энергиясы және бөлшектерінің саны тұрақты болу керек, яғни:
N=i=1mni=const, U=i=1mniεi (10.28)
(10.27) және (10.28) өрнектердің вариациясын алсақ, онда:
δlnW=-i=1m(lnni+1)δni≈-i=1mlnniδni (10.29)
i=1mδni=0 және i=1mniδεi =0 (10.30)
ақырғы өрнекті анықталмаған α,β тұрақтыларға көбейтіп (10.29) қоссақ, онда:
i=1m(ni+α+βεi)δni=0 (10.31)
барлық ni шамалар бір-біріне тәуелді емес болғандықтан (10.31) орындалу үшін кей-бір ni бөлшекке келесі теңдік орындалу керек:
ni=e-α-βεi (10.32)
Осы алынған теңдік ni бөлщектердің энергия εi бойынша таралуын көрсетеді, оны үлестірім функция деп қарастыруға болады. Мындағы α,β тұрақтылар барлық жүйеге бірдей боп саналады. (10.28) нормалау шартынан α тұрақтының мәнін табуға болады:
N=i=1mni=e-αi=1me-βεi=const (10.33)
егер i=1me-βεi=Z деп белгілесек, ол күй қосындысы деп аталады, онда:
α=lnZN (10.33а)
Термодинамикалық жүйенің энергиясы тең болады:
U=I=1mniεi=e-αi=1mεie-βεi
β тұрақтының мәнін анықтау үшін статистикалық және термодинамикалық шамалыар-ды салыстыру керек. Ол үшін Больцман пікірін пайдалануымыз керек. Егер жүйенің күйі тепе-теңдік болса, онда:
Sk=lnWmax (10.34)
(10.27) өрнекті пайдаланып, ni-дың максималдық шартынан алуға болады:
lnWmax=NlnN +βU+αN=NlnZ +βU (10.35)
(10.34) өрнектен энтропияның S дифферециалын алып жазуға болады:
∆Sk=Ndα +Udβ+βdU (10.36)
(10.33а) пайдаланып, (10.35) теңдуедің дифференциалын алып жазуға болады:
dα=-UNdβ (10.37)
онда (10.36) тең болады:
dSk=βdU (10.38)
Ақырғы өрнеті энтропияның термодинамикалық дифференциалымен салыстырсақ:
dS=dQT=dUT (10.39)
онда β тұрақтының мәні табылады:
β=1kT (10.40)
Осыдан Больцман әдістемесе бойынша бөлшектердің ұяшық бойынша үлестірімі тең болады:
ni=e-αe-εikT=conste-εikT (10.41)
Бірақ ұящықтың әрбір εi энергиясына фазалық кеңістіктің әртүрлі ∆Γ көлемі сәйкес келуі мүмкін, яғни мүмкіншілік микрокүлерінің әртүрлі саны. Сол бір энергиялық деңгейіне сәйкес келетін мүмкіншілік күйлерінің саны і - лік энергиялық күйдің ста-тистикалық салмағы деп аталады. Оны gεi деп белгіленеді.
Енді кез келген бөлшектің εi энергияға ие болатын ықтималдығын анықтасақ, онда (10.41) шаманы статистикалық салмағына көбейтуіміз керек. Яғни кез-келген бөлщек-тің εi энергияға ие болатын ықтималдығы тең болады:
Wεi=gεini=gεie-εikTZ (10.42)
Статистикалық физикада қойылатын көп мәселелердің шешімі көбінесі термодина-микалық жүйені құрайтын бөлшектердің мүмкін болатын энергиялық күйлері бойынша таралу заңымен байланысты. Классикалық статистикада олар Гиббстың каноникалық және Максвелл-Больцманның үлестірімдері.
Кванттық статистикақаға толық көшу үшін біріншіден жүйелердің фазалық ұяшақтар бойынша таралуын жүйелердің кванттық күйлері бойынша таралуымен ауыстырыумыз керек. Екіншіден Больцманның фазалық ұяшақтар бойынша күйлердің таралуының теңықтималдығын кванттық күйлерінің теңықтималдық тұжырыммен ауыстырамыз. Гиббстың үлестірімі кванттық термодинамикалық жүйелерге жалпыланады, бірақ жүйенің бір күйіне минималдық фазалық кеңістік h3N сәйкес болады. Ал кванттық бөлшектердің энергия бойынша үлестірім заңын анықтауға Больцманның ұяшақ әдістемесін падалануға болады. Соны мен қоса кванттық үлестірім заңын анықтағанда әрқашанда кванттық бөлшектердің келесі қасиеттерін есептеуміз керек:
1) тепе-теңдік бөлшектердің ажыратылмаушылық принципы
2) Бозе және Ферми бөлшектерді сипаттайтын толқындық функциялардың екі түрін
Яғни кванттық стистикаға көшкенде бөлшектердің ажыртылмайтын тәсілге бағынады деп, олардың екі түрі кездесетінін ескерту керек. Олардың бағынатын үлестірім функциясын табу үшін күйлерінің ықтималдығын анықтаумыз керек. Осылай қойылған мәселе математикада комбинаторика есептері боп саналады, ал статистикалық мәселе бұл жағдайда жүйенің күйлерінің санын есептелуден құралатын болады.
Мысалы түрінде екі кванттық бөлшектердің екі ұяшыққа орнасатын мүмкіншілігін қарастырайық. Бастапқыда екі бөлщектерді бір-бірінен ажыратылады деп санайық. Онда екі ұяшақта орналасатын төрт мүмкіншілік бар:
І
a,b
-
ІІ
-
a,b
ІІІ
a
b
ІV
b
a
Бірінші, екінші жағдайларда екі бөлшектер бір ұяшақта орналасады қалған ұящақ бос болады, үшінші, төртінші жағдайларда әрбір ұяшақта бір бөлшек орналасады(бірақ олар орныдарын ауыстыра алады).
Енді бөлшектер бір-біріненен ажыратылмайтын болса, онда олардың екі ұяшақта орналасудың үш мүмкіншілік бар: Бірінші, екінші жағдайларда әрбір ұяшақта екі бөлшек орналасады, ал екінші ұяшақ бос түрін сақтайды. Үшінші жағдайда әрбір ұяшақта бір бөлшек орналасады.
Ақырғыда ажыратылмушылық бөлшектер соны мен қоса Паулидың принципына бағынса, онда әрбір кванттық күйде тек қана бір бөлшек орналасуға мүмкіншілік болады. Сондықтан ондай қасиетке еи болған екі бөлшектердің еік ұяшақта орналасатын тек қана бір мүмкіншілік болады, яғни:
a
a
Осы келтірілген қарапайым мысал жүйенің микрокүйлерінің қасиеттері кванттық бөлщектің меншікті қасиеттеріне тәуелді екенін көрсетеді. Сондықтан осы келтірілген кванттық бөлшектірдің қасиеттеріне қатнасты екі кванттық үлестірімі бары тұжырымдалады:
1) Бозе - Энштейн стаистикасы мұнда кванттық бөлшектер ажыратылмаушылық принципына бағынады (симметриялық толқындық функциялармен сипатталады),
2) Ферми-Дирак статистикасы кванттық бөлшектер ажыратылмашылық принципына бағына тұрып, соны мен қоса Паулидың тийым салу принципын бағынады (антисим-метриялық толқындық функциялармен сипатталады).
Ендігі қойылытын мақсат кванттық үлестірім функциясян есептеп шығару. кванттық статистикалық үлестірім функцияларымен танысардың алданда әрқашанда үлестірімдердің келесі қасиеттері есептеулі болу керек. Максвелл-Больцман стаистикасында бөлшектердің энергиялары үздікті немесе үздіксіз болуы мүмкін, ал бөлшектер бір-бірінен ажыратылатын боып саналады. Бозе-Энштейн статистикасында бөлшекте ажырытлымаушылық принципына бағынады, энергиялары үздікті боп саналады. Ферми-Дирак статистикасында ажыратылмайтын бөлшектер Паулидың тыйым салынатын принципына бағынады, ал энергиялары әрине үздікті болады.
Бозе-Эйнштейн статистикасы. Ендігі қойылатын мақсат ажыратылмаушылық принципаны бағынатын, симметриялық функциялармен сипатталытын бөлшектердің энергия бойынша үлестірім функциясын есептеп шығару. Ондай бөлшектер бозондар деп аталады. Бозондардың спині әрқашанда Планк тұрақтсының бүтін немесе нөлге тең санымен өлшенеді. Бозондардан құралатын кванттық термодинамикалық жүйені қарастырайық. Егер ол өзінің тепе-теңдік күйін сақтаса, онда оның етеипературасы қысымы тұрақты болу керек, сонымен қоса жүйені құрастыратын бөлшектердеің саны және энергиясы тұрақты болу керек:
N=ini=const (10.43)
E=iniεi=const (10.43а)
Мында энергиясы εi тең ni бөлшектер zi күйлерінде орналасуы мүмкін. Сол орналасу мүмкіншіліктің саны тең болады:
Wi=ni +zi-1!nizi-1! (10.44)
Жүйеің барлық мүмкін болатын күйлерінің саны тең болады:
W=iWi=ini +zi-1!ni!zi-1! (10.45)
Ақырғы өрнектен логариф функциясын алайық:
lnW=ilnni +zi-1!-ilnni!-ilnzi-1! (10.46)
Егер Стирлинг теңдігін пайдалансақ, онда:
lnW=ini +zi-1lnni +zi-1-inilnni-izi-1lnzi-1(10.47)
Енді алдында қарастырылған Больцманның әдістемесін пайдаланып (10.47) өрнектің вариацясын алып және α,β тұрақтыларға көбейтілген (10.43), (10.43a) өрнектердің вариацияларын алып қосындысын нөлге теңдуіміз керек:
δlnW=ilnni +zini+α+βεiδni=0 (10.48)
Егер кванттық жүйенің күйі тепе-теңдігі сақталса, онда S=klnW энтропиясы максималдық мәніне ие болады. Осы қойылған шарт орындалу үшін үлкен жақшадағы қосынды нөлге тең болы керек, яғни:
lnni +zini+α+βεi=0 (10.49)
Осыдан zi ұяшақта энергиясы εi тең бөлшектердің саны тең болады:
ni=zie-α-βεi-1 (10.50)
Бөлшектердің энергия бойынша үлестірім функциясы келесі түрінде жазуға болады:
fε=nizi=1e-α-βεi-1 (10.51)
Ақырғы алынған өрнек Бозе - Энштейннің бозондарға арналған үлестірім функциясы боп саналады. Мында α тұрақтысы функцияның нормалау шартынан табылады, ал
β=-1kT (кешірек дәлелденеді) .
Ферми-Дирак статистикасы. Ендігі қойылатын мақсат Ферми тыйым салынатын шартына бағынатын кванттық бөлшектердің үлестірім функциясын есептеп шығару. Ондай бөлшектердің спины Планк тұрақтысы санымен өлшеленгенде жартылай бүтін болады, ал сонымен қоса антисимметриялық функциялармен сипатталады. Олар фермиондар деп аталады. Кванттық фермиондардан құралған термодинамикалық жүйні қарастырайық. Тағыда сол жүйе өзінің тепе-теңдік күйін сақтайды деп есептелсін. Онда оның энергиясы және жүйені құрастыратын бөлшектердің саны тұрақты болады. Ондай жүйенің бір кванттық күйінде тек қана бір фермион орналаса алады, яғны әрқашанда zi>ni. Онда алдынғыда белгіліенген ni бөлшектердің zi ұяшақтар бойынша орналасуының мүмкіншілігінің саны тең:
Wi=zi!zi-ni!ni! (10.52)
Ондай кванттық жүйенің күйлерінің мүмкіншілік санының не бары тең болады:
W=iWi=izi!zi-ni!ni! (10.53)
Тағыда күйлерінің мүмкіншілік болатынын санының логарифымының вариациясы тең:
δW=ilnzi-ni+1δni-ilnniδni
Енді алғашқыдағыдай α,β тұрақтыларға көбейтілген (10.43,(10.43a) өрнектердің вариацияларын алып қосындысын нөлге теңдуіміз керек:
ilnzi-nini+α+βεiδni=0 (10.54)
Тағыда фермиондардан құралған кванттық жүйенің тепе-теңдік күйі сақталсын десек, онда оның энтропиясы максималдық мәніне ие болу керек, яғни:
lnzi-nini+α+βεi=0 (10.55)
Осыдан жүйенің ni бөлшектердің zi ұяшақтар бойынша тепе-теңдік күйінде таралуы тең болады:
ni=zie-α-βεi+1 (10.56)
Осыдан Ферми бөлшектердің энергия бойынша үлестірімі тең болады:
f(εi)= 1e-α-βεi+1 (10.57)
мында α тұрақтысы үлестірімнің нормалау шартынан табылады, ал β=-1kT.
Осы алынған функция Ферми-Дирак үлестірімі деп аталады.
Кваннтық жүйелерді сипаттайтын біз үш түрлі үлестірім функцияларын есептеп шығардық:
fMε=e-α-εikT (10.58) - Максвелл - Больцман үлестірім функциясы
fБε=1e-α+εikT-1 (10.59) - Бозе - Энштейн үлестірім функциясы
f(εi)= 1e-α+εikT+1 (10.60) - Ферми-Дирак үлестірім функциясы.
Сурет 32
Сурет 33
Олардың графиктері келесі 32-суретте келтірілген. Кванттық бөлшектердің меншікті қасиеттері осы үлестірім функциялардың айырмашылығын анықтайды.
Бірақ мынадай шарт орындалса:
e-α+εikT≫1 (10.61)
онда Бозе - Энштейн және Ферми-Дирак статистикалар Максвелл - Больцман статистикасына ауысады. ( 33 сурет). Осыдан классикалық және кванттық көзқарастардан алынған Максвелл - Больцман үлестірімі екі кванттық үлестірімдердің шегі боп табылады.
Максвелл - Больцман статистикасын есептеп шығарғанда біз классикалық бөлшек-терді бір-бірінен ажыратылады деп санағанбыз. Сондықтан, жалпы жағдайларда, үздікті энергияның деңгейлерінде нақты бір-бірінен ажыратылмайтын бөлшектердің таралуы үнемсіз болады. Бірақ кванттық жүйелердің көп шектелген деп аталатын қатары кездеседі. Ондай жүйелердің кванттық күйлері кеңістікті бір белгіліенген нектесінде орналасады. Яғни ондай жүйелерге оларды құрайтын бөлшектерің ажыратылмаушулық қасиеті әсер етпейді.
Шектелген жүйелерде кванттық бөлшектеріне қатнасты толқындық функцияларының симметриялық қасиеттері жүйенің күйлерінің мүмкінші болатын сандарына тәуелді емес боп табылады. Ондай жүйелерге меншікті мекенжайы шектелген бөлшектерден құралатын жүйелер жатады. Мысалы гармоникалы осциялляторлардың жиынтығынан құралатын жүй шектелген боп саналады. Осындай жүйелерге қатты дененің кристалдық торын санауға болады. Немесе газдардың жылу сыйымдылығын қарастырғанда молекулалардың тек қана жеке молекулалардың ішкі энергиясын есепке аламыз, ал олардың кеңістіктегі өзгерістері есептелмейді. Егре газдағы молекулалрдың толық саны белгілі болса, онда газдың энергиясын, жылусыйымдылығын анықтауға болады. Бұл жағдайда молекулалрдың кванттық ажыратылмаушылық қасиеті есептелмейді. Осындай кванттық шектелген, жүйелерге үздікті энергияларяның деңгейлеріне қатанасты Максвелл - Больцман үлестірімі апйдаланады.
Басқа жағдайларда Бозе-Энштейн немесе Ферми-Дирак үлестірім функциялары пайдаланады. Сондықтан, Бозе-Энштейн үлестірім функцияларымен сипатталатын бөлшектер бозондар деп аталады, ал Ферми - Дирак үлестірім функцияларымен сипат-талтын кванттық бөлшектер фермиондар деп аталады. Егер (10.61) шарт орындалса, онда үш көрсетілген үлестірімдер бір-біріне түйіседі. Ол шартты басқаша көрсетуге болады:
VN2PImkTh232≫1 (10.62)
Егер (10.62) шарт орындалса онда кез-келеген кванттық жүйенің қасиеті Максвелл-Больцман үлестірімімен сипатталады. Керсінші жағдайларда жүйенің айныған күйлері пайда боладыда Максвелл - Больцман үлестірімін қолдануға болмайды. Осы келтіріл-ген (10.62) өрнек жүйенің айныған жағдайдың шарты деп аталады. Осы шартқа бір неше параметрлер кіреді. Соный ішінде жүйенің тығыздығы (V/N), массасы m және температурасы T. Жоғары темепратураларда жүйнің қасиет-терін сипаттауға Максвелл-Больцман үлестірім қолданады, ал жүйенің температурасы төмендесе онда жүйеде кванттық эффектер көріне бастайды, яғни жүйеде айныған жағдай туады.
Мысалы металдардағы электрондық газдардың айныған жағдайының температурасы 2000/3000 K тең. Су тегінің айнымалы температурасы басқа газдармен салыстыр-ғанда төмендеу боп табылады. Бірақ қалыпты жағдайларда көбінесе газдарға класси-калық және кванттық қасиеттерінің айырмашылығы өте аз боп табылды. Сондықтан қалыпты жағдайлардағы газдардың статистикалық қасиеттерін анықтауға екі кванттық үлестірімдердің орнына классикалық максвелл-Больцман үлестірімі пайдаланады.
Тақырып: Ферми-газ. Бозе-газ. Тепе-тең сәулелену.
Бозе-Эйнштейн статистикасы жартылай немесе толық спинге ие болатын кванттық бөлшектерден құралатын термодинамикалық жүйелердің қасиеттерін бейнелуеге пайдалнады. Ондай бөлшектерге мысалы фотондар, PI- мезондар, атомдар, нуклондар жатуы мүмкін. Осындай бөлшектерден құралатын жұйені бозондар газы деп атайады.
Бозон газ жұйесінің бөлшектерінің энергиялық деңгейіне таралуы Бозе-Эйнш- тейн үлестірім функциясымен сипатталады:
n=1eε-μkT-1=fε (12.1)
мында n - бір энергиялық деңгейдің бөлшектерінің санының орташа мәні. μ тұрақты коэффициентының мәні келесі нормалау шартынан алынады. Жалпы жағдайда оны осылай жазуға болады:
0infinitygεfεdε =N (12.2)
ақырғы өрнекте gε - кванттық жүйенің күйлерінің статистикалық салмағы.
Ертеректе кванттық осциллятордың статистикалық салмағы gε=1, ал кванттық ротартордың gε=2l+1 деп анықталған. (11.70) үлестрім функциясын нормалау шартын орындау үшін бозе бөлшектердің статистикалық салмағын табуымыз керек. Ол үшін еркін бөлшектің энергиясын импульсы арқылы байланысын еске алуы-мыз керек:
ε=px2+py2+pz22m=p22m (12.3)
Егер импульстың px,py,pz проекцияларын декарт санақ жүйесінің x,y,z осьте-рінің бағыттарына сәйкес келесе, онда импульстың p,p+dp мәндерінің интервалына сәйкес келетін кеңістігінің көлемі 4PIp2dp болады.
Қарастырылып отрыған кванттық жүйенің көлемі V болғандықтан, энергиясы ε бір кванттық бөлшектің фазалық кеңістігін 4PIVp2dp деп алуға болады. Соны мен қоса Гейзенбергтің анықтамаушылық принципын еске алып:∆p∆q>=2PIℏ сол фазалық кеңіс-тіктегі кванттық бөлшектің күйлерінің санын dnp табуға болады:
dnp=4PIVp2dp2PIℏ3 (12.4)
Ақырғы өрнектен (12.3) пайдаланып бозе бөлшектердің статистикалық салмығын анықтауға болады:
dnε=gεdε=Vm32ε2PI2ℏ3dε (12.5)
Енді ақырғы өрнекті нормалау (12.2) шартына қондырсақ, онда:
Vm322PI2ℏ30infinityεdεeε-μkT-1=N (12.6)
Осы алынған нормалау шартынан μ тұрақты коэффициентының мәні алынады.
(12.66) нормалау шарты тек қана μ<0 болғанда орындалады. Бұл жағдай алынатын интегралдың eε-μkT функциясымен байланысты: егер μ>0 болса, μ>ε болғанда eε-μkT-1<0 болуы мүмкін. Онда интеграл алынбайтын болады. Сондықтын әрқашанда μ<0 болу керек.
Әрқашанда темепратура бойынша туындының dμdT<0 болатынын дәлелдеуге болады. Онда кванттық жүйенің температурасы төмендесе μ-ның мәні ұлғаю керек.
μ тұрақтысы бір, жүйенің нөлге тең емес температурасында T0 нөлге тең болады.
μ тұрақтысы T0 температурасында нөлге теңейіп оданда кем температураларда нөлге тең боп сақталады. Бұл жағдай μ тұрақтысының нөлден кем болғандықтан және dμdT туындының белгісі ауыстырылмайтынынан. Ал μ тұрақтысы жүйенің температу-расы төмендей бергенде нөлге тең болу үшін (12.6) теңдік орындылу керек және өрнектегі бөлщектердің саны азаю керек. Сондықтан (12.6) теңдік орындылу үшін жүйенің бөлшектері энергияның нөлдік деңгейіне көшу керек. Яғни осындай кванттық жүйенің температурасы T0 температурадан кем болса, онда бозе бөлшектердің бір бөлімі энергияның нөлдік деңгейінде орналасады, ал қалғанддары жүйенің энергиялық деңгейлерінде
1eε-μkT-1=fε
үлестірім заңымен орналасады.
Осы қарастырылған бөзе бөлшектерінің жүйенің энергиялық нөлдік деңгейіне
көшу құбылысы бозе конденсациясы деп аталады. Абсолюттік ноль тепературасында бөзе бөлшектерінің түгелі жүйенің нөлдік энергиялық деңгейінде орналасады.
Енді бөзе бөлшектердің басқа қасиеттерін қарастырайық. Ол үшін бөзе бөлшек-терден құралған газдың энергиясын анықтайық:
E=0infinityεdNε=Vm322PI2ℏ30infinityε32dεeε-μkT-1 (12.7)
Бозе газдың қысымы тең болады
p=2E3V=2m323PI2ℏ30infinityε32dεeε-μkT-1 (12.8)
Ақырғы өрнекті бозе газдың күй өрнегі дем санауға болады.
Егер eμkT≪1 және ε≫μ болса, онда (12.8) өрнек Клапейрон-Мендделеев заңына ауысады. Оны дәлелдеу үшін eμkT≪1 есепке алып, εkT=x белгілеп жазуға болады:
p=2m32kT523PI2ℏ30infinityx32dxex-μkT-1 =2m32kT523PI2ℏ30infinityx32eμkTe-xdx1-eμkTe-x≅2m32kT523PI2ℏ3eμkT0infinityx32e-xdx
Енді (12.6) өрнекті есептеп отырып және қосымшадағы 0infinityx32e-xdx=34PI пайдаланып дәләелдеуге болады:
p=2m32kT523PI2ℏ3eμkT34PI=kTNV
Енді бозе газдың қысымын T≪T0 алсақ онда μ=0 боладыда:
p=2m32kT523PI2ℏ30infinityx32dxex-1 =1,18m32kT522PI2ℏ3 (12.9)
Яғни бозе газдың қысымы T≪T0 температураларда тек қана температураға тәуелді. Көлеміне тәуелді емес. Осындай газ қысылса немесе көлемі ұлғайса, онда оның бөлщектері энергияның нөлдік деңгейіне орналасады немес нөлдік энергиялық деңгейден тұрақты температурада шығады.
Жоғары температураларда бозе газдың қасиеттері жай газдардың қасиеттеріне ұқсайтыны ешқандай дәлелдік сұрамайды. Бірақ төмен темепературалардағы бозе кон-денсация құбылысы өте еркше боп табылады.
Бозе газдың T0 конденсация температурасында көптеген заттар текқана қатты немесе сұйық қалпын сақтайды. Бірақ сұйық гелийдың He24 температурасы 2,19 K температурадан төмен болғанда оның ерекше күйінің өзгерісі байқалады. Оны бозе газдың конденсациясы деп санауға болады. Осы көрсетілген 2,19 K төмен темпера-тураларда сұйық гелий екі сыңардан құралады деп санауға болады: әлі конденсациялмаған құрамасынан және жоғары аққыштық құрамасынан. Ақырғыны энергияның нөлдік деңгейіне орналасқан конденсияланған бозе газ деп саналады. Энергияның нөлдік деңгейінде орналасқан жоғары аққыштық гелйдің құрамасы ешқандай жылу сыйымдылығына қатыспайдыда және солыстырмалық қозғалыстарға қатысқанда ешқанадай энергияларлармен басқа денелермен беріспейлі. Басқаша жоғары аққыштық сұйық гелийде ішкі үйкеліс қасиеті болмайды.
Осымен сұйық гелийдің жоғары аққыштық күйіне өтуі (екінші тектік фазалық өту) бозе конденсациясы құбылысының дәлелі боп саналады.
Ферми - Дирак статистикасы Планк тұрақтысының жартылай бұтін санымен өлшенетін кванттық бөлшектердің қасиеттерін сипаттайды. Ондай бөлщектерга электрондар, нуклондар, μ - мезондар сонымен қоса элетрондардың және нуклон-дардың сандары тақ атомдар жатады. Мысалы, Не3 атомы спины Планк тұрақтысының жартылай бүтін санды белгілі бөлшек боп саналады. Ферми - Дирак статистикасына бағынатын кванттық бөлшектер фермиондар деп аталады. Сондықтан Ферми бөлшектерден құралатын жиынтығы ферми газы деп аталады.
Егер кванттық бөлшектің энергиясы ε тең болса онда Ферми - Дирак үлестірім функциясы:
fε=1eε-μkT+1 (12.27)
Алдында егер:
NV≪mkT2PIℏ232
орындалса онда Ферми-Дирак үлестірім функциясы Больцман үлестіріміне айналады деп келтірілген. Сондықтан кері:
NV≫mkT2PIℏ232 (12.28)
жағдайды қарастыруға өте қажетті болуы мүмкін. Осы келтірілген өрнек μkT≫1 шартына сәйкес келеді. Мындағы μ шаманы келесі нормалау шартынан табуға болады:
20infinityfεdε=N (12.29)
осындағы екіге көбейткені ферми бөлшектердің меншікті касиетінен алынған: әрбір энергиялық күйінде спиндері 12ℏ немесе -12ℏ тең тек қана екі бөлшектер орналаса алады.
Алдынғыда қарастырылған сияқты тәсілді пайдаланып, яғни бөлшектердің күйлерін p имульстерінің кеңістігінде қарастырып, бөлшектердің ε,ε+dε энергиялық интервалындағы лүйлерінің санын алсақ онда (12.4) өрнек бойынша алынады:
dnε=2Vm32εdε2PI2ℏ3 (12.30)
Енді Ферми-Дирак үлестірім функциясының қасиетін қарастырсақ μkT≫1 шар-тын белгілеп алайық. Біріншіден, ε=0 болса, онда eε-μkT≪0, fε=1eε-μkT+1≈1. Яғни ε<μ болса fε≈1. Егер ε=μ онда:
fε=μ=1e0+1=12
Бөлшектердің энергиясы көбейе берісімен fε үлестірім функциясы азая береді, ал ε≫μ≫kT үлестірім функциясы экпонента заңымен азаяды:
fε=1eε-μkT+1≈eμ-εkT
яғни ферми-Дирак үлестірімі Больцман үлестіріміне айналады. Кисықтардың өзгеріс графиктері келесі 42 (69*Ноздрев бойынша)суретте көрсетілген.
Сурет 42
Үлестірім функцисының өте тез азаю энергия бойынша маңайын Ферми - Дирак үлестірімінің шайылатын аймағы деп аталады. Кванттық жүйенің темепературасы азаю бойынша Ферми-Дирак үлестірімінің шайылатын аймаға Т-->0 нөлге дейін тарылады.
Кванттық бөлшектерінің энергиянсынының ε0=μ Ферми-Дирак үлестірім функциясының үзілуіне сәкес мәні (Т=0) ферми бөлшектерінің кейбір шекаралық энергиясын сипаттайды.
Егер кванттық жүйенің температурасы нөлге тең болса(Т=0), онда жүйенің барлық ε<=ε0 кем энергиялық деңгейлер толтырылған болады, ал ε>ε0 энергиялық деңгейлері бос болады.
Кванттық ферми бөлшектердің энергиясының шекаралық мәні ε0=μ жүйенің температурасы Т=0 болғанда келесі шарт бойынша есептеп шығарылады: жүйенің абсолюттік ноль температурасында толық бөлшектерінің саны барлық энергиялық дең-гейлерінің санына тең боп саналады, яғни:
N=Vgm322PI2ℏ30ε0εdεeε-μkT+1≈Vgm322PI2ℏ30ε0εdε=2Vgm3232PI2ℏ3ε032 (12.31)
Осыдан ферми бөлшектерінің энергиясының шекаралық мәні тең:
ε0=6PI2п23ℏ22mNV23 (12.32)
Осы ε0 шекаралық энергияға кванттық жүйенің фазалық кеңістігінде сфералық көлемді шектейтін шекаралық p0=2mε0 cәйкес келеді.
Яғни ферми газдың күйі кванттық жүйенің нөлдік температурасында толық анықталды. Кванттық бөлшектер кезектеп барлық төмен энергиялық деңгейлеріне ор-наласады. Егер кванттық жүйе тек қана екі бөлшектен құралатын болса, онда олар ең төменгі энергиялық деңгейде орналасар еді. Ал кез-келген үшінші бөлшек кезекті келесі жоғарғы энергиялық деңгейге орналауға мәжбүр болады. Паулидың тыйым салу шарты бойынша үшінші бөлшек ең томенгі энергиялық деңгейге орналаса алмайды. Төртінші ферми бөлшегі егер оның спины үшінші бөлшекктің спинына қарама қарсы болса онда екінші энергиялық деңгейде орналасады. Осындай келтірілген энергиялық деңгейлерді толтыру заңы ферми бөлшектерге әрқашанда орындалады. Абсолюттік нөлдік температурада бозондардың бары нөлдік энергиялық деңгейінде орналасады.
Егер кванттық жүйенің температурасы жоғарлай бастаса, онда жоғарғы энергиялық деңгейлерге көшуі мүмкін. Ол үшін олардың энергиясының айырмашылығы ε-ε0~kT болу керек. Яғни Ферми- Эйнштэйн үлестірімінің энергялық шайылатын аймағы kT боп саналады.
Ферми- Эйнштэйн үлестірімінің графигі тек қана нөлдік температурада емес сонымен қоса кез-келген температурада <<тікбұрыш>> түрін сақтауы мүмкін. Ол келесі шарт орындалу керек: μ=ε0≫kT.
Осындай Ферми-Эйнштейн үлестірімінің <<тікбұрыш>> түрінде бағынатын фермиондарды айныған ферми газы деп атайды. Ферми газдың айнығатын кретерийін келесі T0 айныған температурасы арқылы анықталады:
kT0=ε0
Егер термодинамикалық кванттық жүйенің темепратурасы T≫T0 болса, онда ферми газы классикалық касиетіне ие болады, яғни белгілі классикалық больцманның газына ауысады.
Айныған ферми газдың ішкі энергиясын анықтауға болады. Ол үшін бір фермионның энергиясын p22m жүйенің күйлерінің санына V4PIp2dp2PIℏ3g көбейту керек сосын импульстері бойынша 0,p0 интервалында интеграл алу керек:
E=Vg4mPI2ℏ30p0p4dp=Vgp0520mPI2ℏ3 (12.33)
Ақырғы өрнекке импульстың шекаралақ мәнін енгізсек, онда:
E=3106PI2п23ℏ2mNV23N (12.34)
Ферми газдың қысымын келесі түрінде алып: p=2E3V күй теңдеуін жазуға болады:
p=156PI2п23ℏ2mNV53 (12.35)
Яғни ферми газдың қысымы тығыздығының NVдәрежесінің 53 пропорционал ал температурасына тәуелді емес.
Электрондардың спины Планк тұрақтысының жартылай бүтін санды болғандықтан фермиондарға жататынын белгілеп кеткенбіз. Фермион бөлшектерінің қасиетін мысалы түрінде металдардағы электрондар арқылы қарастыруға болады. Қатты денелердің электрондық теориясында белгілі екі көзқарас бар: электрондардың күшті байланысқан(адиабаталық жуықтау) жуықтауы және әлсіз байланыс жуықтауы. Бірінші теорияның нәтижелері жартылай өткізгіштіктердің электрондық қасиеттерін сипаттайды, ал екінші теорияда металлдардағы электрондардың қасиеттері анықталады. Металдардағы электрондардың арасындағы кулондық тебіліс күштері иондардың электрондарға әсер ететін тартылыс күштерімен басылады. Сондықтан металлдардағы өткізгіштік электрондарды бос бөлшектер түрінде қарастыруға болады.
Егер металлдардағы әрбір атом бір электрон босатады деп санасақ, онда (12.28) өрнек арқылы фермиондардың (өткізгіштік электрондардың) T0 айныған температура-сын келесі түрінде табуға болады:
NV≪2mkT2PIℏ232 (12.36)
Металдардардың көбінесіне бұл бағалау бір неше мыңнан жүздік мыңнан тем-пературасының мәнін береді. Яғни көбінесе металдардағы электрондар айныған күйінде кездеседі. Сондықтан оларға (металлдардағы электрондарға) өткен параграфтадағы алынған нәтижелерді пайдалануға болады. Элетрондардың статистикалық салмағын g(ε) екіге тең деп санаймыз.
Сурет 43
Ферми
Металлдардағы электрондар ең төменгі энергиялық деңгейінен бастап барлық кез-келген энергиялық күйлеріне орналасады. Электрондардың күйлері айныған болғандықтан әрқашанда ең жоғарғы, ақырғы электрондармен толтырылған, энергиялық деңгей болу керек. (43 сурет) Металлдағы ең ақырғы электрондар орналасқан энергиялық деңгей Ферми деңгейі деп аталады.
Жылу сыйымдылыққа классикалық көзқарас бойынша металдардағы электрон-дардың үлесі өте жоғары болу керек: еркін дәрже саны бойынша кинетикалық энер-гияның тең бөліну заңы бойынша үлесі 3kN2 тең болу керек. Ал негізінде металдардың жылу сыйымдылығына электрондардың үлесі мәнінің тек қана ~1%. Соны мен қоса металлдың температурасы өзгерсе металдың жылу сыйымдылығы абсолюттік температурасына тура пропорционал болып өзгереді. Сондықтан қазырғы ең маңызды меселе металдың жылу сыйымдылығының температура бойынше ерекше өзгерісін Ферми газ қасиеттері арқылы түсіндіру.
Ол үшін металдың темепратурасы нөлден бір кез-келген Т температураға дейін көтерілде деп электрондардың өзінің энергиясын өзгерткен сандарының бөлігін анықтайық. Бұл жағдайда электрондарды сипаттайтын Ферми үлестірімі шекаралық энер-гияға қатанасты kT мөлшеріне шайылған деп саналады (Ферми деңгейіне).
Сол электрондардың санын жуық бағалау үшін электрондардың металлдағы то-лық саны (12.31) өрнекке бағынады деп белгілейік. Энергияның ∆ε=kT интервалына сәйкес келелтін электрондардың саны тең:
∆Nε=Vgm32ε12∆ε32PI2ℏ31eε-μkT+1 (12.37)
Энергияның ε0=kT0 және ∆ε=kT деп санапб сонымен қоса шекаралық энергияның мәнінің қасында Ферми-Дирак үлестірімі fε=12 еске алып, энергиялық ауысуунда қатнасатын электрондардың салыстырмақ санын табамыз:
∆NN=3∆ε2ε0∙12=34∆TT0 (12.38)
Сондықтан металлдағы электрондық газдың температурасы нөлден кез-келген Т температураға дейін өзгергенде ішкі энергиясының өскуі тең болады:
∆E=∆N∙kT≈3NkT24T0 (12.39)
Осыдан металдың жылу сыйымдылығына электрондық газдың қосымшасы тең:
CVel=dEdT≈32NkTT0 (12.40)
Яғни металдардың жылу сыйымдылығының температураға сызықтық тәуелділігі тұсіндірілді. Алынған нәтижеден электрондарды металлдардың жылу сыйымдылығына қосындысы өте аз боп табылды. Расында, металлдың айнығу температураcы T0=105K болса, ал T=300K онда:
CVel≈10-2Nk=10-2R (12.41)
Метеллдардың жылу сыйымдылығының температура бойынша өзгерісі кванттық статистика арқылы толық түсіндірілді. Егер тағы металдардың жылу сыйымдылығы оданда толықтыра қарастырылса онда металдардағы электрондардың ішіке энергиясы өте кұрделі түрінде алынады:
Eel=35Nμ1+5PI2k2T2μ2+... (12.42)
Осыған сәйкес металлдағы электрондардың жылу сыйымдылығына қосындысы тең:
CVel=PI22Nk2Tμ=PI22RTT0 (12.43)
Бозе-Эйнштейн үлестірімін тепе-теңдік сәулеленудің қасиеттерін қарастыруға пайдалануға болады. Ол үшін тепе-теңдік сәулеленуді бір- бірімен әрекет етпейтін фотондардың жиынтығы деп саналады. Фотондардың спиндері нөлге тең болғандықтан ондай газ Бозе-Эйнштейн үлестірімін бағанады:
nε=1eε-μkT-1 (12.10)
Фотондық газдағы бөлшектердің саны айнамалы болуы мумкін. Ол температураға және көлемге тәуелді. Сондықтан фотондық газдың бос энергиясы температураға, көлемге және жүйедегі бөлшектердің санына тәуелді болады. Онда жүйедегі бөлшектердің саны бос энергиясының мәні минимумға тең болу керек деп анықтау керек:
dψV,T,NdN=0 (12.11)
Ақырғы өрнек бойынша фотондық газдың химиялық потенциалы
μ=dψV,T,NdN=0 (12.12)
Сондықтан фотондық газдың бөлшектердің саны тең болады:
nε=1eεkT-1 (12.13)
Фотондардың энергиясы ε=hν болғандықтан фотондық газдың бөлшектерінің орташа мәні келесі түрінде алынады:
nε=1ehνkT-1 (12.14)
Осы алынған өрнек Планктың кванттарға арналған үлестірім функциясы деп аталады. Тағыда фотонның импульсын еске алсақ: p=hk=hνc, онда кез-келген V көлемде фотондардың саны p,p+dp импульсының мәндерінің интервалында тең: V4PIp2dp. Енді фотондардың статистикалық салмағын жиіліктеріне қатанасты есептесек, онда:
gνdν=V4PIν2dνc3 (12.15)
Осыдан жиіліктің ν,ν+dν интервалына, поляризациясы есептелген, сәйкес келетін фотондардың саны:
dN=V8PIν2dνc3ehνkT-1=gνnνdν (12.16)
Осыдан тепе-теңдік сәулеленудің көрсетілген жиіліктің мәндерінің интервалына сәйкес келетін энергиясы тең:
dEν=hνdNν=V8PIν3dνc3ehνkT-1 (12.17)
Ақырғы өрнектегі шамалар фотондардың барлық көлеміне қатнасты деп саналады. Сондықтан ол фотондық газдың кейбір термодинамикалық функцияларын есептеуге мүмкіншілік береді.
Енді фотондардың жиілігі үздіксіз өзгереді деп санасақ, онда фотондық газдың толық энергиясын есептеп шығаруға мүмкінщілік бар:
U=0infinitydEν (12.18)
Бүрынғадай келесі айнымалы шаманы еңгізсек: x=hνkT және кестелік интегралдың мәнін пайдаланып 0infinityx3dxex-1=PI415 алуға болады:
U=0infinityV8PIν3dνc3ehνkT-1=V8PIT4k4c3h30infinityx3dxex-1=VσT4 (12.19)
мында σ=8PI5k415c3h3. Фотондық газдың толық энергиясы белгілі болғандықтан фотондық газдың бос энергиясын табуға болады. Ол үшін Гиббс-Гельмгольц теңдігін еске алуымыз керек:
U=ψ-TdψdT
Осыдан:
dψTdT=-UT2 (12.20)
болғандықтан фотондық газдың бос энергиясы:
ψ=-TUdTT2=-VσT43 (12.21)
Фотондық газдың бос энергиясы белгілі болғадықтан оның энтропиясын және қысымын анықтауға болады:
S=-dψdT=43σVT3 (12.22)
және фотондық газдың қысымы:
p=-dUdV=σT43=U3V=u3 (12.23)
яғни фотондық газдың қысымы тепе теңдік сәлеленудің энергиясының тығыздығна u=Uv тәуелді боп табылды.
Осыдан: фотондық газдың қысымы тек қана температурасына тәуелді болғандықтан ол изотермиялық кеңейсе онда фотондарды шығарады, ал изотермиялық қысылса онда онық қабырғалары фотондарды жұтатын болады
Фотондық газдың ішкі энергиясы арқылы оның жылу сыйымдылығын анықтауға болады:
CV=dUdTV=4σVT3 (12.24)
Фотондық газдың көлеміндегі толық саны тең:
N=0infinitydNν= 0infinityV8PIν2dνc3ehνkT-1=V8PIkT3c3h30infinityx2dxex-1=0,244VkTℏc3 (12.25)
Егер фотондық газ адиабаталық кысылса немесе кеңейсе фотондық газдың бөлшектерінің саны N тұрақты болғандықтан оның температурасы және көлемінің байланысы тең:
VN3=const немесе pV43=const (12.26)
Осы алынған фотондық газға арналған өрнектер жұлдыздардың ішкі құрылысын зерттеуге пайдаланады.
Тақырып: Физикалық кинетика элементтері.
Егер термодинамикалық жүйе өзінің тепе-теңдік күйін сақтаса, онда жүйенің макропараметрлері күй теңдеуіне бағынады:
Fp,V.T= 0 (4.1)
Бірақ табиғатта кездесесетін процесстер көбінесе тепе-теңдіктегі емес болады, немесе белгіленген жүйе бірнеше, бір -бірі мен жалғасқан тепе-теңдіктегі емес күйлерден өтеді. Онда тепе-теңдіктегі емес процесстерді сипаттайтын күй теңдеуі айтылған p,V.T парамертлер мен қоса және уақытқа тәуелді болу керек, яғни:
Fp,V.T,t= 0 (4.2)
Тепе-теңдіктегі емес күйлердің ерекшесі - олардың тепе-теңдік күйіне ұмтылысы.
Егер жүйені тепе-теңдікте сақтайтын сыртқы денелердің әсері жоғалса, онда белгіленген жүйе өз беті мен өзінің тепе-теңдік қалпына қайтуға ұмтылады. Осындай жұйенің тепе-теңдікте емес күйінен тепе-теңдік күйіне қайтуы релаксация процессі деп аталады.
Жүйенің тепе-теңдік қалпына келуі әрқашанда қалыптасқан физикалық заңдарға бағынады. Мысалы, кез-келген термодинамикалық параматрдың тепе-теңдік күйіне ұмтылғандағы өзгеру жылдамдығы сол парметрдың лездік және тепе-теңдік мәндерінің айырмашылығына пропорционал деп санауға болады:
β = - 1τ(β- β0) (4.3)
Егер осы дифференцилдық теңдеуді шығарсақ, онда:
βt = β0+ C e-tτ (4.4)
Мында t = уақытында параметрдың мәні е рет азаяды. Ол релаксация уақыты деп аталады. Егер термодинамикалық жүйенің күйі тепе-теңдіктегі емес болса, онда кей бір физикалық шамалардың градиенты болуға тиісті. Сол физикалық шамалардың градиенті сыртқы шарттар мен қосталмаса, онда термодинамикалық жүйе молекулалардың жылулық хаотикалық қозғалысы арқылы өзінің тепе-теңдік күйіне әрқашанда қайта оралады. Ондай процесске сәкес релаксация уақыттың мәні молекулалрдың бір-бірі мен соқтығыстарына және молекулалардың бір-бірі мен импульстер немесе энергиялар мен ауысыуны тәуелді болады. Кейбір жағдайларда термодинамикалық жүйедегі физикалық шамалардың градиенттері сыртқы жағдайлар мен қосталуы мүмкін (мысалы, температурың немесе концентрациялардың айырмашылықтары және т.б.) Онда жүйенің молекулалық қозғалысы ортада үздіксіз жылулық энергияның немесе заттың массасының сәйкес физикалық шаманың градиентіне карама-қарсы тасымалдауына келтіреді.
Сонымен, термодинамикалық жүйеде кей бір физикалық шаманың градиенті сақталса, онда сол физикалық шаманың градиентіне қарама-қарсы физикалық шама тасымалданады. Онша үлкен емес физикалық шаманың градиентіннің мәндеріне сәйкес келетін физикалық шаманың ағыны сол шаманың градиентіне пропорционал, ал пропорционалдық коэффициенті тасымалдау құбылыстың коэффициенті боп саналады.
Егер қарастырылып отырған ортады температураның градиенті сақталса, онда тасымалданатын физикалық шама молекулардың жылулық энергиясы пайда, ал болатын тасымалдану құбылыс жылу өткізгішілік деп аталады. Кей бір жағдайларда физикалық жүйеде заттың концентрациясының градиенті сақталуы мүмкін, онда тасымалданатын физикалық шама заттың массасы, ал мұндай жағдайда өтетін тасымалдау құбылыс-диффузия. Келесе белгіленетін тасымалдыу құбылыс ол газдардағы ішкі үйкеліс. Мұнда ортада газдың молекулаларының бағытталған жылдамдықтарының градиенті болуы керек, онда тасымалданатын физикалық шама-молекулалрының импульстары. Жалпы тасымалданатын құбылыстар тек қана осы белгіленген үш құбылыстар мен аяқталмайды. Мысалы, ортада потенциалдың градиенті сақталса онда электр өткізгішілік құбылысы орындалады да, тасымалданатын физикалық шама электр заряды.
Тепе-тең емес процестерді сипаттау үшін Фоккер - Планк теңдеуін пайдаланады:
Мұнда:
.
- ықтималдық тығыздығы, - кез келген параметр.
W - ықтималдық.
Бөлшектредің өзара соқтығысуын есепке алатын идеал газға арналған Больцманның кинетикалық теңдеуін жазайық:
мұнда - үлестірілу функциясы.
Тақырып: Тасымалдау құбылысы.
Газдағы молекулалрдың арасындағы жылулық хаотиқалық қозғалысы өтетін тасымалдану құбылыстарына әрқашанда әсер етеді. Тасымалдану құбылыстарына диффузия, жылу өткізгіштік және ішкі үйкеліс жатады.
Бірінші құбылыста тасымалданатын физикалық шама заттың массасы, екіншіде жылу мөлшері, ал үшіншіде тасымалданытын физикалық шама молекулалрдың импульсы. Тасымалдану құбылыстары көптен белгілі болатын, бастапқыда олардың текқана феноменологиялық теориясы жіктелген. Заттың молекула-кинетикалық теориясы ашылғаннан кейін сол процесстердің физикалық қасиеттерін толықтара түсінуге мүмкіншілік пайда болды. Ендігі қойылытын мақсат газадағы тасымалдану құбылыстарын қарапайым молекулалрдың арасындығы өтетін соқтығысулары арқылы анықтау.
Тасымалдау құбылыстарын қарстырудың алдынан кей бір керекті нәтежелерді белгілеп алайық. Мейлі газ көлемде өзінің тепе-теңдік күйін сақтасын. Газдың көлемінде dS ауданды бөліп шығарайық (Сурет 15). Газдың молекулалрының жылулық хаотикалық қозғалысыны қатысқандықтан сол ауданға бір жағынан уақыт бірлігінде барлық молекулалрдың санынан 1/6 бөлігі өтеді. Егер газ өзінің тепе-теңдік күйін сақтаса, онда Сол ауданды ары-бері dt уақытында кесіп өтетін молекулалардың саны тең болады. Егер сол белгілеген ауданды dt уақытында сол жағынан кезіп өтетін dn молекула-лардың санын алсақ, ол тең болады:
dn= 16vn0dSdt (4.24)
Мында белгілеген көлемді биіктігі vdt тең цилиндр түрінде алынған, n0 газ молекулаларының концентрациясы. Тағада сол ауданды оң жағынан кезіп өтетін молекулалрдың санын тапсақ ол тағыда (4.24) тең болады. Сондықтан жалпы белгіленген ауданнан өтетін молекулалрдың ағыны:
dΦ = 16vn0dSdt - 16vn0dSdt = 0 (4.25)
Алынған тұжырым тепе-теңдік күйін сақтайтын газдың көлемінде молекулалрдың бағытталған ағынының жоқтығын көрсетеді, соны мен қоса тасымалдау құбылыстарын.
Егер жалпы жағдайда белгіленген газ көлемінде тепе-теңдік күй сақталмаса мысалы жекеленген макроскопиялық көлемнің бөлшегінде газдың тығыздығы және температурасы өзерген болса, онда пайда болған қысымның айырмашылығы арқылы газдың көрінетін жекленген бөлшектерінің қозғалысы байқалады. Яғни бұл жағдайда кей бір физикалық шаманың тасымалдауы байқалады. Оны әзірше Ү деп белгілейік. Газдың концентрациясы көлемі бойынша бір қалыпты болмаса, онда диффузия құбылысы байқалады: молекулалр өз бетімен концентрациясы жоғары көлемнен концентрациясы аз көлемге ұмтылады. Мұнда тасымалдану құбылысқа сәйкес келетін физикалық шама Y = n0. Газдың кез келген қабатында температурасы бірдей болмаса онда осы жағдайға кез-келген қабаттарда молекулалардың кинетикалық энергиясы бірдей емес болады, яғни тасымалданатын физикалық шама энергия болады, байқалатын құбылыс жылу өткізгіштік. Ал егерде газдың көлемінің әр қабаттарында молекулалрдың қозғалыс мөлшері бірдей болмаса, онда газда ішкі үйкеліс құбылысы пайда болады. Тасымалданатын физикалық шама Y =mv қозғалыс мөлшері.
Градиенті бар физикалық шаманы Ү деп белгілесек, онда оның өзгерісін бір кез- келген оське ( мысалы Х деп белгіленген) қатнасты қарастыруға болады (Сурет 15)
Сурет 15
Мейлі осьтің А нүктесінде тасымалы физикалық шаманың мәні Ү тең болсын. А нүктеден солға қарай λ қашықтықта физикалық шаманың мәні Ү1, ал А нүктенің оңға қарай λ қашықтықта физикалық шаманың мәні Ү2 тең болсын. Физикалық шама Х осі бағыты бойынша бірқалыпты үздіксіз өзгереді деп физикалық шаманың өзгерісін сипаттайтын градиенттің модулін алайық:
g= dYdx (4.26)
Онда Ү1 және Ү2 тең болады
Ү1 =Ү - λdYdx (4.27)
Ү2 =Ү + λdYdx (4.28)
Егер Ү1< Ү < Ү2 деп санасақ Ү физикалық шаманың 2 қашықтағы мәнінің өзгересі:
∆Ү = Ү2- Ү1 =2λdYdx (4.29)
Яғни тасымалданатын ∆Ү физикалық шаманың ағыны λ қашықтыққа, градиенттің мәніне және қатнасатын молекулалрдың санына прорпорционал.
а) Диффузия. Бұл құбылыста газдың бір қабатынан екінші қабатына молекулаларының концентрациясы өзгереді, сондықтан Ү = n. Осы құбылысты қарстыру үшін белгіленген dS ауданда сол жақ тан келетін dt уақытында молекулалрдың ағынын алайық:
dn1= 16vn1dSdt (4.30)
Молекулалрдың дәл сол уақытта оң жақтан кесіп өтеті ағыны тең болады:
dn2 = 16vn2dSdt (4.31)
Егер n2> n1 деп санасақ, онда ауданнан кезіп өтетін молекулалрдың қортынды ағыны:
dn = dn2- dn1= 16(n2 - n1) dSdt (4.32)
Мында Ү = n. Оның (4.19) бойынша өзгерісі тең:
n2 - n1 = 2 dndxλ (4.33)
Cонда ізделген молекулалрдың ағыны тең болады:
dn = 13vλdndx dSdt (4.34)
Молекулалрдың ағыны әрқашада концентрациясы жоғары жақтан концентрациясы төмен жаққа бағытталанады. Ақырғы теңдеудің екі жағын молекуланың массасына m көбейтіп, және nm=M, ρ=mn болатынын еске алып жазуға болады:
dM= 13vλdρdx dSdt (4.35)
Осы алынған теңдеудегі туынды dρdx х осі бағытымен молекулалардың тығыз градиентінің проекциясы. Әдетте сол вектордың бағытын тасымалдау құбылыстың бағыты мен бірдей деп санайды, яғни молекулалардың концентрациясы бірлік жүрген жолдың қашықтығында төмендейтін бағыт пен бірдей. Сондықтан (4.25)былай аламыз:
dM=- 13vλdρdx dSdt (4.36)
Мындағы шаманың сол таңбасы х бағыты бойынша dρdx туындының азаятынын көрсетеді.
Осы алынған теңдік толық түрінде белгілі диффузияға арналған Фик заңымен түйеседі:
dM=- Ddρdx dSdt (4.37)
Мында D дегеніміз диффузия коэффициенті. Ол молекулалрдың орташа v абсолюттік жылдамдығына, λ еркін жүгіру жолының ұзындығына тура пропрционал:
D = 13vλ (4.38)
Осы алынған тұжырым өтежоғары боп саналады, ол диффузия коэффициентінің молекула-кинетикалық маңызын анықтайды.
б) Жылу өткізгіштік. Мейлі газдың тығыздығы көлемінде тұрақты болсын,бірақ оның температурасы бір қабаттан екінші қабатқа өзгеріп отырсын. Онда молекулалрдың орташа жылулық кинетикалық энергиясы газдың кабаттарына қатнасты өзгеріп отырады. Бұл жағдайда бір қабаттан екінші қабатқа тасымалданатын физикалық шама орташа энергия. Егер белгіленген х осіндегі А нүктеден сол жағынан қашықтықта кинетикалық энегргиясы ε1тең болса, ал қашықтықта оң жағында ε2 болса, онда (4.19) арқылы молекулалрдың кинетикалық энергиясының өзгерісі тең болады:
ε2 - ε1 =2λdεdx (4.39)
Белгіленген dS аудандағы энергияның ағыны тең бола
dQ= 16vε2n dSdt - 16vε1ndSdt = 16v ndS( ε2 - ε1) (4.40)
мында ε = 32kT, және T2 > T1
ε2 - ε1 = 3kdTdxλ (4.41)
Сондықтан (4.30) жылулықтың ағыны тең болады:
dQ = 16v ndS3kdTdxλ dt= 12v nkdTdxλdSdt (4.42)
Енді осы алынған (4.32) теңдікті жылу сиымдылығы ұғымы арқылы өзгертуге болады.
Мындағы 32kTn газдың 1 см3 көлемінің энергиясы, онда тұрақты көлемде бір градуске жылытатын жылу молшері 32kn болады.Ал бірлік көлемнің массасы тең. Сондықтан газдың тұрақты көлемде меншікті жылу сиымдылығы тең болады:
cv = 32knρ (4.43)
Осы алынған теңдікті (4.32) өрнекке орналастырсақ, онда:
dQ = 12v nkdTdxλdSdt =13 vλcvρ dTdxdSdt (4.44)
Ақырғы өрнектегі туынды температураны градиенті. Жылулықтың ағынының оң бағыты температураның темендеген бағытына сәйкес, сондықтан сол өрнекте оң таңбасын сол таңбасына өзгертіп аламыз:
dQ = - 13 vλcvρ dTdxdSdt (4.45)
Осы алынған орнек Фурьенің жылу откізкілікке арналған эмпирикалы заңы мен түйеседі:
dQ = -ηdTdxdSdt (4.46)
Мында: жылу откізгішкілік коэффициенті. Екі ақырғыөонектерді салыстырсақ:
η = 13 vλcvρ (4.47)
Осы молекула-кинетикалық қөзқарасынан алынған ақырғы өрнек газдың жылу өткізгішілік коэффициентінің газдың қандай қасиеттеріне тәуелділігін көрсетеді.
Соны мен қоса кинетикалық теория әр тасымалдау құбылыстарының коэффициент-терінің арасындағы байланысын көрсетеді, яғни:
η = Dcvρ (4.48)
в) Ішкі үйкеліс. Газ тепе-теңдік күйін сақтаса онда молекулалрдың қозғалыс мөлшері векторлары олардың хаотикалық қозғалысына қатынасқаныдықтан жанжаққа бағытталатын болады. Кейбір сырткы күштерінің әсерінен газдың молекулалар қабатына бағатталған қозғалыс пайда болуы мүмкін.Онда газдың молекулалары бағытталған қозғалыс векторыны ие болады. Бұл жағдайда газдың қабаттары бір біріне қатнасты жылжи байстайды, ал газ қабаттары бір бірімен үйкеліседі. Мұндай құбылыс ішкі үйкеліс деп аталады.(Сурет 16)
Сурет16 16
Екі горизонатль табақшалардың арасында газ орналасса, ал жоғарғы табақша екінші табақшаға қатынасты тұрақты v0 жылдамдық пен қозғалса, онда жоғарғы табақшаға жабысқан газдардың молекулалары сол v0 жылжамдық пен қозғалады. Яғни сол молекулалар қосымша mv0 қозғалым мөлшеріне ие болады, соны мен қоса жылулық хаотиқалық қозғалысқа қатнасады. Газдың жоғарғы қабатының молекулалары кездейсоқ түрінде төменгі қабытына шығып қалуы мүмкін. Онда олар соқтығысуының себебінде сол барлық қабаттағы молекулаларға өздерінің артық қозғалыс мөлшерін береді. Астыңғы қабаттағы газдың молекулалары бағытталған қозғалысқа қатнаса бастайды. Стационарлық түрінде ең жоғарғы қабаттың молекулалрың жылдамдықтары v0 тең болса, төменге қарай газдың жылдамдықтары азая бастайды. Ең төменгі газдың қабатының молекулалрының жылдамдықтары v = 0. (15 суретте көрсетілген). Осы молекулалардың арасындағы қозғалыс мөлшерімен айырбас табақшыға перепендикуляр бағыты бойынша қозғалыс мөлшерінің тасымалдау құбылысына келтіреді. Яғни мұнда Y=mv. (4.19) пайдаланып:
Ү2- Ү1 =mv2-v1=2mλdvdx (4.49)
Егер тағыда табақшағаларға паралель dS ауданды белгілеп, сол ауданнан қозғалыс мөлшерінің ағынын табсақ, онда:
d(nmv) = 16vn mv2-v1dSdt = 13vnmλdvdx dSdt (4.50)
Мында ρ =mn газдың тығыздығы, ал механикадан белгілі:
df = d(nmv)dt =13vρλdvdx dSdt (4.51)
Осы алынған қүшті газдың қабаттарының арасындағы ішкі үйкеліс күші деп санауға болады. Ақырғы өрнекте белгіленген бағыт бойынша азаятын жылдамдықтың градиентінің сандық мәні еңгізілген, сондықта
df = d(nmv)dt = − 13vρλdvdx dSdt (4.52)
Осы аланған өрнекті белгілі тәжірибе арқылы жіктелген Фик заңы мен салыстырсақ:
df= - μdvdxdS (4.53)
Онда ішкі үйкеліс коэффициенті тең болады:
μ=13vρλ (4.54)
Осы алынған өрнектен мынадай тұжырым белгілеуге болады: ішкі үйкеліс коэффициенті газдың тығыздығына тәелсіз. Расында ρλ көбейтіндісі бір бірінің газдың қысымынан әсерін жояды: егер қысым ұлғайса газдың тығыздығы ұлғаяды, ал молекулалардың еркін жүгіру жолының ұзындығы азаяды. Максвеллдің және басқа зерттеушілірдің эксперименттік жұмыстары осы тұжырмның соны мен қоса молекула-кинетикалық теорияның дұрыстығын дәлелдеді. Егер (4.28) және (4.45) салыстырсақ, онда:
μ = ρD (4.55)
Яғни диффузия және ішкі үйкеліс коэффициенттері бір бірімен қарпайым түрінде байланысады.
* Практикалық сабақтар
Машықтану сабақтарын жүргізудің мақсаты теориялық материалды меңгеру және есептерді шығаруда белгілі бір дағдылар мен іскерліктерді игеру болып табылады.
Есептерді шығару кезінде анықталған жалғасымдылық ұсынылады.
Қажет:
- тақырып бойынша теориялық материалды меңгеру;
- есепті шығаруды бастағанда, оның мағынасын түсіну. Сөз болып отырған физикалық құбылысты ғана емес, есепті шығару барысында жасауға қажетті қысқарулар мен ескермеуге қажетті шарттарды да еске түсіру керек;
- егер есептің сипаты қажет етсе, есептің мазмұныны түсіндіретін және оны шығаруға мүмкіндік беретін суреттерді салу. Сурет түсінікті болуы керек (мысалға модулі бойынша бірдей күштерді бірдей ұзындықтағы векторлармен-түзулермен және т.б. салу керек);
- есептің шарты қысқаша жазылады, оған енетін барлық шамаларды бір ХБЖ жазу керек;
- шартына қажетті жетіспеген мәліметтерді кестелерден алу қажет;
- есептің шешуін түсіндірме жазбамен көрсету керек;
-есепті жалпы түрде шешіп, жауапты формуланың жекелеген мүшелерінің өлшемдерінің теңдігі бойынша тексеру керек;
-сандық есептеулерді орындау керек;
- сандық жауапты алып, шындыққа жақындығын бағалау керек.
Тақырып: Термодинамикалық параметрлер. Термодинамика заңдары.
Сабақтың мақсаты: термодинамикалық параметрлерді анықтау керек, ішкі энергияның өзгеруін, жасалған жұмысты және бөлінген жылуды, Карно циклінің п.ә.к. анықтау керек. Адиабаталық қайтымды ұлғаю кезіндегі температураның өзгерісін және Карно теоремасының негізінде абсолют нөл температурадағы максималды жұмысты табу керек.
Есеп шығару мысалдары:
1 есеп. қысым мен температурада газбен толтырылған көлемі баллонды өлшегенде, оның салмағы болып шықты. Баллоннан аздап газды сорып алғаннан кейін, ондағы қысым сол температура кезінде болады. Осы кезде баллонның салмағы болып шықты. Газдың қалыпты жағдайлардағы тығыздығын табу керек.
Шешуі
Менделеев-Клапейрон теңдеуін газдың үш күйі үшін жазамыз:
; (1) ; (2) (3)
Баллондағы газдың сорылғанға дейінгі массасы
,
мұндағы - бос баллонның салмағы.
Дәл осылай сорып алынғаннан кейін ; (4)
. (5)
(3)-тен
(6)
деп табамыз. (4)-тен (5)-ті шегеріп және (6)-ны пайдаланып, былай табамыз:
;
;
.
2 есеп. Бу машинасына берілетін будың температурасы ; конденсатордың температурасы . кДж жылу мөлшері жұмсалатын болса, теориялық максимал жұмысты анықтау керек.
Шешуі
Максимал жұмыс атқарылу үшін жұмыс циклі қайтымды болу керек. Тек екі термостаты - температурасы қыздырғышы мен температурасы суытқышы бар кезде тек бір ғана қайтымды цикл - екі изотерма мен екі адиабатадан тұратын карно циклі ғана мүмкін болады.
Бұл циклдің п.ә.к.-і
. (1)
Кезкелген жылу двигателінің п.ә.к.-і
, (2)
мұндағы А - двигательдің атқаратын пайдалы жұмысы, - жұмысшы дененің қыздырғыштан алатын жылу мөлшері.
* және (2) теңдеулердің оң жақтарын теңестіріп,
деп аламыз, осыдан
кДж.
3 есеп. Массасы г оттегінің температурадан температураға дейін қыздырады. Егер бастапқы және ақырғы қысымдардың бірдей екендігі және қысымның атмосфералық жуық екендігі белгілі болса, энтропияның өзгерісін табу керек.
Шешуі
Қыздыру процесі белгісіз, бірақ энтропияның бір күйден екінші күйге өткен кездегі өзгерісі тек газдың осы күйлерінің параметрлерімен ғана анықталады, ал процестің сипатына тәуелсіз болады.
Энтропияның өзгерісін нәтижесінде жүйені 1 күйден 2 күйге өткізуге болатын кезкелген қайтымды процесті қарастыру арқылы табуға болады (30е-сурет).
Суретте осындай мүмкін екі квазистатикалық процестер өрнектелген: біріншісі - 12 изобаралық ұлғаю; екіншісі - 13 изотермиялық ұлғаю және одан арғы 32 изохоралық қыздырылу.
12 процесс үшін:
, (1)
мұндағы .
132 процесс үшін
, (2)
мұндағы , .
Изобаралық процесс үшін . өрнегін (1) интервал астына енгізіп және шамасының тұрақты екендігін ескеріп
деп табамыз. Оттегі екі атомдық газ () және температуралардың берілген интервалы үшін Дж/К. 132 өтуі үшін де осы нәтиже өзгеріссіз қалады, соны көрсетейік.
және қрнектерін (2)-ге қойып, изотермиялық процесс кезінде екендігін ескеріп,
деп аламыз. , , сонымен қатар екендіктерін ескере отырып,
деп табамыз.
4 есеп. Материалдық нүкте потенциалдық шұңқырда орналасқан. Қабырғасы мен серпімді соқтығысады деп фазалық траекториясын анықтыңдар.
Шешуі:
Потенциалдық шұңқырдың ішінде материалдық нүкте инерциалық қозғалысқа қатнасады, сондықтан оған сәкес оның фазалық траекториясы q өсіне паралель түзу сызық болады. Потенциалдық шұңқырдың қабырғасы мен соқтығысқанда оның импульсы p мәнінен -p мәніне ауысады, сосын тағыда оған сәкес келетін фазалық траекториясының бөлімі q өсіне паралель түзу сызық болады. Олардың арасындағы р осі бойыншы қашықтық 2р тең. Соны мен қосаматериалдық нүктенің кинетикалық энергиясы p22m оның потенциалдық энергиясына q22 ауысады. Сондықтан оған сәйкес фазалық траекториясы эллипстың доғалары болады.
Тағы бір екі есеп қосу керек.
Өзбеттерімен шығаруға арналған есептер
* Көлемі ыдыс жартылай өткізбейтін тосқауылмен екіге бөлінген. Бірінші жартысында сутегі, екінші жартысында гелий бар. Тосқауыл арқылы тек сутегі өтеді. Температура 1000С. Ыдыстың екі жартысындағы қалыптасқан қысымды табу керек.
* Егер Ү жалпылама күш болса, онда сыртқы параметр х-ке мынадай теңдік орындалатынын көрсету керек:
Тақырып: Термодинамикалық функциялар.
Сабақтың мақсаты: ішкі энергияның, еркін энергияның, энтальпияның және термодинамикалық потенциалдық дифференциалдарын есептеу керек.
Есеп шығару мысалдары
1 есеп. Ішкі энергияның өзгерісін табу керек.
Шешуі
Термодинамиканың бірінші бастамасының қрнегін қайтымды процесс үшін
(3.18)
деп жазуға болады. Мұнда U потенциалы үшін айнымалылар S және V болып табылады. Олай болса:
.
Осы теңдікті (3.18) өрнекпен салыстырып, мынаған келеміз:
(3.19)
қатынасынан дене сыртқы ортамен жылу алмаспайтын кезде оның атқаратын жұмысының ішкі энергияның кемуіне тең болатындығы шығады:
,
немесе интегралдық түрде
(жылу алмасу жоқ) (3.20)
Тұрақты көлем кезінде жылу сиымдылық онда былай анықталады:
. (3.21)
2 есеп. Энтальпияны табу керек.
Шешуі
Егер процесс тұрақты қысым кезінде өтетін болса, онда дененің алатын жылуын мына түрде жазуға болады:
. (3.27)
(3.28)
күй функциясын энтальпия немесе жылу функциясы деп атайды. (3.27) және (3.28) өрнектерден дененің изохоралық процесс кезінде алатын жылу мөлшерінің , (3.29)
немесе интегралдық түрде
(3.30)
болатындығын көреміз. Демек, қысым тұрақты болып қалатын кезде, дененің алатын жылуы энтальпияның өсімшесіне тең болады екен.
Тұрақты қысым кезінде энтальпия тұрақты көлем кезіндегі ішкі энергия тәрізді рөл атқарады.
3 есеп. Гиббстің термодинамикалық потенциалын табу керек.
Шешуі
Гиббстің термодинамикалық потенциалы
(3.31)
болып анықталатын күй функциясы Гиббстің термодинамикалық функциясы деп аталады. Бұл функцияның дербес туындылары
, (3.32)
Егер температура мен қысым тұрақты болып қалатын болса, онда
(3.33)
деп жазуға болады. Осы өрнектен, тұрақты температура мен тұрақты қысым кезіндегі қайтымсыз процесс Гиббстің термодинамикалық потенциалының кемуі кезінде өтеді екен. Тепе-теңдік кезінде уақыт бойынша өзгермейді. Сонымен, тұрақты Т және р кезінде Гиббстің термодинамикалық потенциалы минималь болатын күй тепе-теңдікте болады екен.
Өзбеттерімен шығаруға арналған есептер
* F-еркін энергияны, Ф-термодинамикалық потенциалды, I - энтальпияны идеал газ үшін табу керек (Сv=const).
* Джоуль-Томсонның изоэнтальпиялы дифференциалды эффектісі үшін өрнекті табу керек.
Тақырып: Гиббстің каноникалық үлестірілуі.
Сабақтың мақсаты: жүйенің орта энергиясын, статистикалық қосындыны және т.б. шамаларды Гиббс үлестірілуінің көмегімен табу.
Есеп шығару мысалдары:
1 есеп. Гиббстың көп бөлшектерден құралатын термодинамикал жүйелерге арналған ұлестірім функциясын N-->infinity микроканоникалық ұлестіріміне ауысатынын көрсетіңдер.
Шешуі
Микроканоникалық үлестірім функциясы ∆EE -->0 қасиеті мен сипатталады. Оны дәлелдеу үшін каноникалық үлестірімінің (6.45) еске алайық:
dF dθ=1θ2F-FE- E
Кез келген F физикалық шамасын жүйенің энергиясын ауыстырсақ, онда:
E - E2=kT2dEdT
Осыдан жүйенң қатнасты флуктуациясы тең болады:
∆E2E2= 1E2kT2dEdT=kT2CVE2
Мында E мен CV жүйенің бөлшектерінің санына пропорционал, сондықтан:
∆EE ~ 1N
Яғни жүйенің бөлшектерінің саны шексіздікке ұмытлса N-->infinity жүйенің энергиясының флуктуациясы нольге ұмтылады:
limN-->infinity∆EE= limN-->infinity1N= 0
2 есеп. Tермодинамикалық жүйенің энергиясыны арналған Больцман үлестірім функциясының мультипикативтік қасиетін дәлелдеңдер.
Шешуі
Жүйенің энергиясын бөлшектерінің энергияларының қосындысын E= E1+ E2+ ....+Ei Больцман үлестіріміне салсақ, онда мультипикативтік қасиеті дәлелденеді: WE=conste- EkT = conste- E1kTe- E2kT...e- EikT
3 есеп. Жер үстіндегі ауаның атмосферасы 78% азттан және 22% оттегі ден құралады(көлем бойынша). Осы газдардың процеттік қосындыларын атмосфераның эффективктік бийіктігінде анықтаңдар.
Шешуі Егер барометрлік өрнекті алсақ: pz= p0e- mgzkT оны келтірілген эффективтік биіктік аркылы жазуға болады pz= p0e- zHi, мында Hi= kTmg=RTμg=8,75 км. Эффективтік бийіктігі атмосфера молекулаларының концентрациялары тең болады: no2=no2(0)e-μo2gHiRT, nN2=nN2(0)e-μN2gHiRT. Осыдан газдардың процеттік қосындыларын тең болады:
αo2=100 no2no2+ nN2 % =100no20no20+nN20e(μo2-μN2)gHiRT,=20%
αN2=1- αo2=80%
Өзбеттерімен шығаруға арналған есептер
* Классикалық жуықтауда сызықтық гармониялық осциллятор үшін энергия бойынша Гиббс үлестірілуін және оның энергиясының орта мәнін табу керек.
* Гиббс үлестірілуінің негізінде қатты дененің ішкі энергиясын табыңыз. Осы энергияны 1 кг көміртегі үшін 12000К - де есептеңіз. Салыстырмалы атомдық масса АС=12,01.
Тақырып:Ферми-Дирак және Бозе-Эйнштейн үлестірілулері.
Сабақтың мақсаты: фермиондар және бозондар үшін Ферми-Дирак, Бозе-Эйнштейн үлестірулерін пайдаланып, әртүрлі физикалық шамаларды анықтаңыз.
Есеп шығару мысалдары
1 есеп. Ұяшықтардың саны m тең. N бөлшектердің ұяшақтарда орналасатын сандарының қатары n1,n2, ... nm тең деп, олардың жалпы орналасатын сандарын анықтыңдар.
Шешуі
Классикалық статистикада жұйенің микрокүйлері тек қана орналасатын бөл-шектердің санына тәуелді. N бөлшектерден N! орыналмастыру алуға болады, соны мен қоса әр бір ұяшақтардағы алмастыруларды есептеу керек: n1!,n2!, ... nm!. Осыдан m ұяшақтарда мүмкін болатын бөлшектердің алмастырудың сандары солардың қатнасына тең болады α=N!n1!,n2!, ... nm!..
2 есеп. Екі кванттық үлестірім функциялардың түйесетін (10.61) шартын дәллелдеңдер.
Шешуі
Максвелл-Больцман, Бозе-Энштейн және Ферми-Дирак үлестірімдер бір-бірі мен түйесу үшін фазалық кеңістіктегі жүйенің мүмкін болатын күйлерінің саны жүйенің бөлшектерінің санынан неғұрым жоғары болу керек. Бұл жағдайда кванттық жүйенің фазалық кеңістігінің көлемін Γ=i=13Npiqi=p3VNN егер бөлшектердің импульсін p=2PIkTm деп алсақ, онда оны келесі түрінде алуға болады:
Γ=2PIkTm32VNN
Осыдан Γ≫Γmin=h3N қатнасынан іздеген (10.61) шарт алынады.
3 есеп. 1000K тепе-теңдік сәулеленудің 1 см3 көлеміндегі фотондардың толық санын табыңдар.
Шешуі
Фотондардың толық саны тең болады:
N=k3PI2∙T3ℏ3c30infinityx2dxex-1
Мұндағы интегралдың мәне 2,404 тең. Сондықтан ақырғы өрнекті шамалап еспетеп алуға болады:
N=2,404k3PI2∙T3ℏ3c3≈2∙1010
Өзбеттерімен шығаруға арналған есептер
* Энергия бойынша үлестірілу функциясынын релятивтік емес фермиондар үшін жылдамдықтар бойынша үлестірілуді табу керек.
* Абсолюттік нөл температурада орналасқан электрондық газдың бөлшектерінің ыдыстың қабырғасымен соқтығысу санын анықтаңдар.
Тақырып: Физикалық кинетика элементтері
Сабақтың мақсаты: әртүрлі физикалық құбылыстар үшін тасымалдау коэффициенттерін есептеу керек, Больцман теңдеуіне мысалдар келтіру керек, диффузияны және термодиффузияны қарастыру керек.
Есеп шығару мысалдары
1 есеп. Азот молекуласының диаметрі 3,1::10-10м тең деп,қалыпты шарттарда молекулалардың 1 секундта орындалатын орташа соқтығысу санын табыңдар.
Шешуі
Қалыпты шарттарда азот газының 1 м3 n0 =2,69::1025 молекулалары бар, ал орташа абсолюттік жылдамдығы v = 454мс сондықтан (4.6) арқылы:
z = nV=nPId02g = 2::3,14(3,1::10-10)2::2,691025454 =5,2109
2 есеп. Молекуланың радиусы r қатты шар деп санап бірлік уақытта басқа молекулалар мен соқтығысу санынының қысымға тәуелділігін анықтыңыз.
Шешуі
Молекулардың бір бірімен соқтығысу тиымды қимасы σ = PId02 =4PIr2. (4.6) өрнекті пайлаланып және күй теңдігін еске алып табамыз:
z =16pr2PImkT
3 есеп. Идеалдық газ адиабаталы қысылыды. Орташа еркін жүгірідің және орташа соқтығысу санының қысымға тәуелділігін анықтаңдар.
Шешуі
Молекулалардың еркін жүгірі жолын және 1 секундта орындалатын соқтығысу санын қарастырсақ, онда:
l= kT2PId0p , z = 4PId02kTmp
Адиабаталық процессте қысым және температура байланыстары
Пуассон өрнегі мен көрсетіледі:
pγT = const
Осыдан температураны қысқартып табамыз:
l~p-lγ , z ~ pγ+12γ
Өзбеттерімен шығаруға арналған есептер
* Онзагердің симметриялық принципін пайдалана отырып, изотропты кристалдық кинетикалық коэффициенттерін σ - электрөткізгіштік, α - дифференциалды термо-ЭДС, χ - жылуөткізгіштік коэффициенті арқылы өрнектеу керек.
* τ - жуықтаудағы металдағы өткізу электрондар үшін Больцманның кинетикалық теңдеуін пайдалана отырып, және τ - релаксация уақыты тек энергияға байланысты дей отыра, жылуөткізгіштік теңдеуді және χ - жылуөткізгіштік коэффициентті табу керек.
4.СТУДЕНТТЕРДІҢ ӨЗДІК ЖҰМЫСТАРЫ
СОӨЖ дайындалу барысында пән бойынша оқу әдебиетін пайдаланып, мәселені алдын-ала меңгеру ұсынылады. Теориялық материалды меңгеру барысында күдік келтіретін немесе толық түсінбеген сұрақтарды көрсете отырып, оқығандары бойынша қысқаша конспект құру керек.
1-тақырып: Феноменологиялық термодинамика және статистикалық физика. Флуктуация жөнінде ұғым. Тепе-тең және тепе-тең емес макрокүйлер.
Термодинамика мен статистикалық физикадағы 2 әдіс бар екеніне назар аудару керек. Флуктуацияның пайда болуын түсіндіру керек және тепе-тең, тепе-тең емес күйлерге анықтама беру керек.
2-тақырып: Термодинамикалық параметрлер. Температура, оның энтропия арқылы өрнектеу. Абсолюттік нөл. Теріс температуралар.
Макрожүйенің күйі термодинамикалық параметрлермен сипатталатын көрсету керек және температура ұғымын нақтырақ қарастыру керек.
3-тақырып: Қысым. Негізгі термодинамикалық процестерге I заңды қолдану. Жылу машиналарының ПӘК-і.
Термодинамикалық процестерді талдауда термодинамиканың I заңын қолдану керек.
4-тақырып: Нернст теоремасы. Термодинамикалық функциялар: ішкі энергия, еркін энергия, энтальпия, Гиббстің термодинамикалық потенциалы.
Төменгі температуралар облысында Нернст теоремасы қолданылатынын көрсету керек. Термодинамикалық функциялар аналитикалық әдіс екеніне назар аудару керек.
5-тақырып: Гиббстің каноникалық үлестірілуі.
Гиббс үлестірілуі статистикалық физикалық негізін қалайтынына назар аудару керек.
6-тақырып: Гиббс үлестірілуін қолдану.
Гиббс үлестірілуін практикалық есептерге қолдану керек және жүйедегі бөлшектер санының өзгеруін ескеру керек.
7-тақырып: Заттың екі фазасының тепе-теңдігінің және оның орнықтылығы. Бірінші ретті фазалық ауысулар.
Екі және үш фазалардың тепе- теңдігін және I, II ретті фазалық ауысуларда қарастыру керек.
8-тақырып: Ферми-Дирак және Бозе-Эйнштейн үлестірулері.
Кванттық статистикалық екі түрін әртүрлі практикалық есептерге қолдану керек.
9-тақырып: Флуктуация ықтималдығына арналған Эйнштейн формуласы. Ықтималдықтар теориясының элементтерін және оларда қолдануда қарастыру керек.
10-тақырып: Фоккер-Планк теңдеуі. Больцманның кинетикалық теңдеуі. Физикалық кинетиканың негіздерін және оларда қолдануда қарастыру керек.
СӨЖ ОРЫНДАУҒА ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУ
СӨЖ тапсырмаларын орындауға кірісерде қажет:
- тақырып бойынша теориялық материалды меңгеру;
- есеп шығара бастағанда оның мәнін түсіну. Сөз болып отырған физикалық құбылысты тек елестетіп қана қоймай, сондай-ақ есеп шығара отырып жасалуы қажет қысқартуларды, ұйғарымдарды еске түсіру керек;
- егер есептің сипаты мүмкіндік берсе есептің мазмұныны және мағынасын, есепті шығаруға көмектесетін суреттерді салу ұсынылады;
- есептің шартына енетін барлық шамаларды қамти отырып, есептің шартын қысқаша жазу, ХБЖ жүйесінде өрнектеу;
- есептің шартында жетіспейтін мәліметтерді кестелерден жазу;
- есептің шешімін түсіндірме жазбамен келтіру;
- жалпы түрде есепті шығарып, формуланың жекелеген мүшелерінің өлшемдерінің теңдігі бойынша жауапты тексеру;
- сандық есептеулерді орындау;
- сандық жауапты алып, оның шындыққа жанасатынын бағалау.
СӨЖ тапсырмаларын орындау бойынша графикке сәйкес келесі тапсырмаларды шығарып, тексеруге тапсыру керек:
- Статистикалық термодинамика - 11.1, 11.30, 11.101, 11.226, 11.328 (Серова Ф.Г., Янкина А.А. Сборник задач по термодинамике. М., Просвещение, 1976.)
- Термостаттағы жүйенің статистикалық үлестірілуі - 12.321, 12.326 (Серова Ф.Г., Янкина А.А. Сборник задач по теоретической физике. М., Просвещение, 1979.), 13.2.1 (99 бет) ( Шиллинг Г., Статистическая физика в примерах. М., Мир, 1976.)
- Идеалды және нақты газдардың қасиеттері - 12.342, 12.362 (Серова Ф.Г., Янкина А.А. Сборник задач по теоретической физике. М., Просвещение, 1979.), 13.1.6 (87 бет) ( Шиллинг Г., Статистическая физика в примерах. М., Мир, 1976.)
- Фазалардың тепе-теңдігі және фазалық ауысулары - 11.269, 11.273 (Серова Ф.Г., Янкина А.А. Сборник задач по термодинамике. М., Просвещение, 1976.), 13.3.2 (195 бет) ( Шиллинг Г., Статистическая физика в примерах. М., Мир, 1976.)
- Флуктуация теориясының элементтері - 12.477 (Серова Ф.Г., Янкина А.А. Сборник задач по теоретической физике. М., Просвещение, 1979.), 13.4.1 (140 бет), 13.4.2 (143 бет) ( Шиллинг Г., Статистическая физика в примерах. М., Мир, 1976.)
- Физикалық кинетиканың элементтері - 12.503, 12.187 (Серова Ф.Г., Янкина А.А. Сборник задач по теоретической физике. М., Просвещение, 1979.), 13.4.7 (215 бет), 13.4.8 (217 бет) ( Шиллинг Г., Статистическая физика в примерах. М., Мир, 1976.)
БАҚЫЛАУ-ӨЛШЕУ ҚҰРАЛДАРЫ
Статистикалық физика және физикалық кинетика негіздері бойынша тестік тапсырмалар
1.Термодинамикалық жүйелердi зерттейтiн және қарастыратын
екі әдiс бар:
А) классикалық және кванттық әдiстер
В) термодинамикалық және классикалық әдiстер
С) кванттық және статистикалық әдiстер
Д) термодинамикалық және статистикалық әдiстер
Е) термодинамикалық және кванттық әдiстерi
2.Жүйе күйлерiн микроскопиялық түрде сипаттау,жуйенi соған сәйкес мынадай теориялармен сипаттауға келiп соғады:
А) кванттық және классикалық теориялар
В) кванттық теория және салыстырмалық теориясы
С) классикалық теория және электродинамика
Д) классикалық теория және статистикалық физика
Е) термодинамикалық және кванттық әдістер
3.Фазалық кеңiстiктiң екi түрi болады:
А) кеңiстiгiн ( 3 бөлшек кеңiстiгi) және Г кеңiстiк (N -бөлшек кеңiстiгi)
В) кеңiстiк (1бөлшек кеңiстiгi) және Г -кеңiстiк ( N- бөлшек кеiстiгi)
С) кеңiстiк ( N-бөлшек кеңiстiгi) және Г кеңiстiк ( 1-бөлшек кеңiстiгi)
Д) кеңiстiк ( 2 бөлшек кеңiстiгi) және Г кеңiстiк (N- бөлшек кеңiстiгi)
Е) кеңiстiк ( 6 бөшектiң кеңiстiгi) және Г кенiстiк (2 бөлшектiң кеңiстiгi)
4.Фазалық кеңiстiкгi үлестiру функциясының мынадай физикалық мағынасы бар:
А) көлем элементiнде жүйенi табу ықтималдығының тығыздығы
В) көлемде жүйенi табу ықтималдығы
С) көлемде жүйенi табу ықтималдығының тығыздығы
Д) көлем элементiнде жүйенi табу ықтималдығы
Е) элементiнде болудың ықтималдығы
5. Әр түрлi шамалардың орта мәндерi олардың нақты мәндерiмен бiрдей болады,егер кез келген L аддитивтi күй функциясының салыстырмалы флуктуациясы:
А) L = В) L = N С) L =N[2] Д) L= Е)
6. Фазалық кеңiстiктегi статистикалық ансамбльдiң қозғалысы Лиувилл теңдеуiмен сипатталады:
А) В) С)
Д) Е)
7.Гиббстiң каноникалық үлестiрiлуi статистикалық физиканың негiзгi қағидасы болып келедi және оның түрi былай болады:
А) В) Z= С) Д) Е)
8. Гиббстiң микроканоникалық үлестiрiлуi мына түрде болады:
А) f(q,p)=f(E) В) С) Д)
Е)
9.Күйдiң статистикалық салмағы мына анықтамамен берiледi:
А) энергияны бiр деңгейiне g бiрдей күйлер сәйкес келедi
В) энергияның бiр деңгейiне g әртүрлi күйлер сәйкес келедi
С) энергияның бiр деңгейiне бiр күй сәйкес келедi
Д) энергияның бiр деңгейiне бір күй сәйкес келмейдi
Е) энергияның бiр күйiне екi күй сәйкес болады
10.Кванттық микроканоникалық үлестiру мына түрге ие болады:
А) В) С)
Д) Е)
11 Статистикалық қосынды еркiн энергиямен мына түрде байланысады:
А) U = F + S T В) P = - С) = - k T L n Z Д) S = - Е)
* Кванттық статистикада Гиббс үлестiрiлуi мына түрде болады: А) В) С) Z= Д) Е)
* Гиббс үлестiрiлуiнiң көмегiмен алынған термодинамиканық негiзгi теңдеуi былай жазылады:
А)TdS=dU+AKdaK В)TdS=dU+pdV С)TdS=dU+Ada
Д) - Е)
* Гиббс үлестiрiлуiнiң көмегiмен алынған энергия мына түрде болады: А) В) С) F=E-TS Д) Е)
* Гибсс үлестiрiлуiнiң көмегiмен алынған энтропия былай жазылады: А)S=k lnW В)S=- С) Д) F=U-ST Е)
* Кванттық жүйе үшiн элементар фазалық көлем мынаған тең ( f еркiндiк дәрежелер саны) А) В) С) Д) Е)dV=dxdydz
* Тепе-тең және тепе-тең емес процестер мынадай формулалармен берiледi: (пр = - процесс жылдамдығы, рел = - релаксация жылдамдығы):
А)Vпр>>Vрел и Vпр<>Vрел С) VпрVрел и Vпр>>Vрел
Д) VпрVрел и Vпр< Q С) T d S > d U + W
Д) Q = U2 - U1 + W Е) d Q = d U + d W
* Термодинамиканың үшiншi заңы математикалық түрде былай болады: ( мұнда x = a немесе X = A )
А) S=klnW В) С) Д) S=0 Е) dS
25. Жылу сыйымдылық См абсолютттiк нөл маңында мынаған тең :
А) В) С) Д) Е)
* Энтропия, күй функциясы ретiнде былай жазылады : А) В) С) Д) Е)
27.Термодинамикалық температура
А)жүйе көлемiнiң өзгерiсiне тәуелдi
В)заттың қасиетiне тәуелсiз болады
С)эмпирикалық температураға тәуелдi қысымның өзгерiсiне байланысты
Д)жүйенiң нақты қасиеттерiне тәуелi
Е) жұмыстың өзгерісіне тәуелді
28.Статистикалық физиканың негiзi қатысы ,яғни Больцман- Планк теоремасы бойынша:
А) энтропия термодинамикалық ықтималдықтың өлшемi болады В)энтропия математикалық ықтималдықтың өлшемi болады
С)жүйе ықтималдығы төмен бағытқа көшедi
Д)энтропия термодинамикалық ықтималдықтың логарифмiне керi пропорционал болады
Е)энтропия жылу болады.
29.Термодинамикалық функциялар U ( iшкiэнергия ) , Z (термодинамикалық потенциал ), Н (энтальпия ) және F (еркiн энергия ) мына ретпен көрсетiледi:
А)U=F+TS,Z=H-TS,H=U+PV,F=TS-U
В) U=F+TS,Z=H-TS,H=U+PV,F=U-TS
С) U=F-TS,Z=H-TS,H=U+PV,F=U-TS
Д) U=F+TS,Z=H+TS,H=U+PV,F=U-TS
Е)U=F-TS,Z=H-TS,H=U-PV,F=TS+U
30. Химиялық потенциал :
А)1 мольге қатысты еркiн энергия болады
В) 1 мольге қатысты энтальпия болады
С)молярлы iшкi энергия болады
Д) молярлы термодинамикалық потенциал болады
Е) молярлық энтрпия болады
31. Ұлғаюдың термодинамикалық коэффициентi ( = ) және қысымның термиялық коэффициентi абсолюттi нөлде :
А) нөлден өзгеше В)
С) Д) Е) ,
* Импульсті кеңiстiктегi Максвелл үлестiрiлуi мынаған тең: А) В)d С) d Д)
Е)
* Координаттық кеңістiкте Больцман үлестiрiлуi мына түрде болады А) d В)
С) Д)d Е)d
* Барометрлiк формула былай жазылады:
А) В) С) Д) Е)
* Идеал газдың еркiн энергиясы және энтропиясы былай жазылады: А)S =- В)S
С) =- S =- Д)U= Е) ,
36. Гиббс үлестiрiлуiнiң көмегiмен алынған күй теңдеуi мына түрде болады : А) PV=RT В)PV= С)P0V5/3=const Д)PV= Е)
* Бiр еркiндiк дережеге сәйкес келетiн орта энергия мынаған тең: А) В) С) Д) Е)
* Жылу сыйымдылықтың классикалық заңы мына түрде болады : А) Cv=25Дж/моль*град В) Cv= Cv(T) С) Cv=fR/2 Д) Cv=R/2 Е)
* Өте жоғары температуралар облысында Эйнштейн бойынша жылу сыйымдылығы мынаған тең : А) Cv=3R(Tc/T)2/ В) Cv=3R С) Cv=0 Д) Cv~ Е)
* Төмендегi темературалар облысында Дебай бойынша қатты дененiң жылу сыйымдылығы мына түрде болады : А) Cv=25Дж/моль*град В)Cv=0 С) Cv=3R Д) Cv=4(=const) Е)
* Бозе - Эйнштейннiң үлестiрiлу функциясы былай жазылады : А) В) Ni=Zi-1/-1 С) =1/-1
Д) =1/+1 Е) Ni=Zi+1/+1
* Ферми - Дирактың үлестiрiлу функциясы мына түрде болады :
А) =1/+1 В) =1/-1 С) =1/) Д) =Zi/+1 Е) =Zi/+1
43. Ферми энергиясы,белгiлi бiр энергияның мәнi,ол кезде
А) абсолюттiк нөл температурасында фермиондардың барлық күйлерi бос болады фермиондар энергиясы Ферми энергиясынан кiшi болады
В) абсолюттық нөл температурасында фермиондардың барлық күйлерi толтырылады фермиондар энергиясы Ферми энергиясынан кiшi болады
С) абсолюттық нөл температурасында фермиондардың барлық күйлерi толтырылады фермиондар энергиясы Ферми энергиясынан үлкен болады
Д) абсолюттық нөл температурасында бозондардың барлық күйлерi толтырылады бозондар энергиясы Ферми энергиясынан кiшi болады
Е) абсолют нөл маңында бозондар күйі бос болатын энергияның мәні
44. Идеал ферми-газ күйiнiң теңдеуi Т=0 болған кезде былай жазылады:
А) pV=RT В) pV =2/3E0 С) pV=N Д) =const Е)
45.Бозе - конденсация деп мына құбылысты айтады :
А)Т0 критикалық температурадан төмен температурада бозондар ең төменгi энергияға ие болатын күйдi ғана толтырады
В) Т0 -ден жоғары температурада бозондар ең төменгi энергияға ие болатын күйдi ғана толтырады
С) Т0 -ден төмен температурада бозондар ең жоѕары энергияға ие болатын күйдi ғана толтырады
Д) Т0 -ден төмен температурада бозондар кез келген энергиядағы бiр ғана күйдi толтырады
Е) Т0 -ден төмен температурада бозондар барлық күйді толтырады
46. Тепе-тең сәулелену мына формуламен түсiндiрiледi:
А) В) С) U= Д) -1 Е)
47.Термодинамикалық тепе-тең және орнықтылық былай көрсетiледi:
А)S=0, 2S=0 В) Z=0, 2Z=0 С) H=0, 2H=0 Д) F=0, 2F=0 Е) ,
48.Екi фазаның тепе-теңдiк шарты мына түрде болады:
А) В) С) Д) Е)
49. 1 реттi фазалық көшу мына теңдеумен сипатталады:
А) I(T,P)= II(T,P) В) С)= Д) Е) =
50.II реттi фазалық көшуде:
А) энтропия және көлем секiрмелi түрде өзгередi
В) көшу жылуы болады С) энтропия және көлем үздiктi түрде өзгередi
Д) жылусыйымдық ( Сp ) секiрмелi түрде өзгермейдi
Е) ( Сv ) жылусыйымдылық секiрмелi түрде өзгермейдi
51. Үш фаза тепе-тең күйде болады,егер мына қатыстар орындалса: А) 1(P,T)= 2(P,T) В) 1(P,T)= 2(P,T)= 3(P,T) С) 2(P,T)= 3(P,T) Д) 1(P,T) 2(P,T) 3(P,T) Е)
52. Флуктуация пайда болады,егер
А) жүйе ықтималы төмен күйден ықтималдығы жоғары күйге ауысса В)энтропиямен кризистік өзгерсе
С)көшу жылуы болса
Д) жүйе өздiгiнен ықтималдығы жоғары күйден ықтималдығы төмен күйге көшсе
Е) көлем өзгерісі болса
53. Термодинамикалық шаманың флуктуациясының ытималдығы мына формуламен сипатталады:
А) Эйнштейннiң ()
В) Планктың
С) Эйнштейннiң
Д) Стефана-Больцманның
Е) Планктың
54. Қайтымсыз процесстердiң теориясы мынаны зерттейдi:
А)Термодинамикалық шамалардың флуктуациясын
В)тепе-тең сәулеленулердi
С)фазалық көшулердi
Д) макрожүйелерде уақыт бойынша өзгеретiн әртүрлi процестердiң ағысын
Е) қатты денелердің жылу сыйымдылығын
55. Онзагердің өзара қатысы мына түрде берiледi:
А)Lii= В) Lik= С) Д) Ii= Е) LikLki
56. Тепе-тең емес күйлер мен процесстердi
А) кинетикалың әдiстiң көмегiмен зерттеуге болады
В) Ньютонның классикалық теориясының көмегiмен зерттеуге болады
С) Шредингердiң кванттық теориясының көмегiмен зерттеуге болады
Д) флуктуация теориясының көмегiмен зерттеуге болады
Е) жылу сыйымдылығы
57. Кинетикалық теңдеу
А) термодинамикалық шамалардың өзгерiсiнiң заңы болады
В) толқындық функция өзгерiсiнiң заңы болады
С) үлестiрiлу функцияның өзгересiнiң заңы болады
Д) кванттық шамалардың өзгерiсiнiң заңы болады
Е) бөлшектер саны өзгерісінің заңы болады
59.Соқтығысу интегралын еске алатын үзiлiссiз теңдеуi мына түрде жазылады:
А)I= gradT В) С) Д) Е)
12. Өзгертулер енгізу парағы
Өзгертудің реттік саны
Құжат тарауы пункті
Өзгерту түрі (ауыстыру, жою, қосу)
Өзгерту реті және күні
Өзгерту енгізу
күні
Аты-жөні қолы, лауазымы
13. Қызметкерлерді таныстыру
№ р/с
Лауазымы
Аты-жөні
Күні
Қолы
Өзг.№_
Күні
Қолы
Өзг.№_
Күні
Қолы
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz