Файл қосу
Толқындық функция және оның физикалық мағынасы
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИАСЫНЫҢ
БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
СЕМЕЙ КАЛАСЫНЫҢ ШӘКӘРІМ атындағы
МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ
3 деңгейлі СМЖ құжаты
ПОӘК
ПОӘК 042.18.38.102/02-2013
<<Кванттық механика>> пәнінің оқу-әдістемелік материалдары
№ 1 баспа
2013
5В072300- <<Техникалық физика>> мамандығы үшін
<<Кванттық механика>>
ПӘНІНІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ
ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК МАТЕРИАЛДАР
Семей
2013
Дәріс №1 Кіріспе. Кванттық механиканың қысқаша даму тарихы, негізгі ұғымдары мен математикалық аппараты.
Дәріс мазмұны
1.Кванттық механиканың қысқаша даму тарихы
2.Толқындық функция және оның физикалық мағынасы
3. Физикалық шамалардың операторлары, олардың сызықтылығы мен эрмиттілігі
4. Өзіне түйіндес операторлардың өзіндік функциялары мен өзіндік мәндері. Өзіндік функциялардың негізгі қасиеттері.
1. XIX ғасырдың аяғындағы физиктердің көпшілігі физика дамуы бітіп қалуы, оның ғимаратына бірнеше кірпіш салу ғана жеткілікті деп жүрді. Атақты ағылшын физигі Вильям Томсон (лорд Кельвин) физика аспанында екі ғана кішкентай бұлт бар деп айтқан: абсолютті қара дене сәулеленуінің тәжірибелік заңдылықтарын теориялық жағынан түсіндіруге болмайтындығы және Майкельсон-Морли тәжірибесінің теріс нәтижесі.Бірақ келешекте осы екі бұлттағы екі іргелі физикалық теория пайда болды: біріншісінен кванттық механика, ал екіншісінен арнайы салыстырмалылық теориясы.
Тарихи тұрғыдан қарастырсақ, кванттық теория жылулық сәулеленудің классикалық теориясының кемшілігін түсіндіруден басталды. Ішкі энергияның әсерінен заттың электромагниттік сәуле шығаруы жылулық сәулелену деп аталынады. Жылуылық сәулеленудің сәуле шығару процесінің басқа түрлерінен айырмашылығы- ол затпен термодинамикалық тепе-теңдікте болады және тепе-теңдік сәулелену деп аталады. 1859 жылы неміс физигі Г. Кирхгоф осы тепе-теңдік сәулеленудің (кейде қара сәуле шығару деп аталады) қасиеттері тек Т температураға тәуелді болатынын анықтды. Кирхгаф қара дененің тұжырымдамасын ұсынып, оның моделін жасады.
1893 жылы неміс физигі В.Вин температура мен энтрпия ұғымдарын жылулық сәулеленуге қолдана отырып, температура өскенде абсолютті қара дене спектріндегі сәулеленудің (Виннің ығысу заңы). 1896 жылы Вин классикалық көзқарастар негізінде қара дене спектріндегі энергия тарату заңын қорытты, бірақ бұл заң қысқа толқындар жағдайында ғана тәжірибемен сәйкестік көрсетті.
1990 ж. ағылшын физигі Дж. Рэлей және оған тәуелсіз 1905 ж. ағылшын физигі және астрофизигі Дж. Джин классикалық көзқарастар негізінде ұзын толқындар облысында ғана дұрыс болатын қара дене спектрінде энергия таралу заңын шығарды. (Рэлей-Джинс заңы).
1900 ж. желтоқсанында неміс физигі Макс Планк қара сәуле шығару қасиеттері заттын, қасиеттерін тәуелсіз болуын негізге ала отырып, сәуле шығаратын затты жиіліг ге тең атомдық осцилляторлардың жиынтығы ретінде қарастырады Тәжірибелерді қанағаттандыру үшін, Планк мүлде жаңа болжамды ұсынды: осциллятордың энергиясы минимальды энергиясы h -ге тең шамаға тең емес болу керек, яғни
(1)
Мұндағы 0,1,2,3..., 6,62*10Дж.с,- Планк тұрақтысы, кей жағдайда ол мына түрде өрнектеледі.h=h/2PI Планк тұрақтысының өлшемдігі әрекет өлшемдігімен сәкес келеді, сондықтан h-ты әрекет кванты деп атайды. (Планк бұл атауды 1906 ж. ұсынған.) Микро нысананы сипаттайтын кейбір физикалық шамалар квантталады, (үзіктіліктің) өлшемі қызметін атқарады.
Сонда осциляторлар бір күйден көршілес күйге ауысқанда, - ге тең энергияны шығарады немесе жұтады, яғни сәулелену және жұтылу процесстер дискретті өтеді.
(1)-ші өрнекті негізге ала отырып, Планк тепе-теңдік сәулеленудің спектрлік тығыздығын тапты:
(2)
Мұндағы k=1.38*10 Дж k- Больцман тұрақтысы.
Физиктердің көпшілігі алдымен Планк идеясына назар аударған жоқ. Бес жылдан кейін ғана 26 жастағы Альберт Эйнштейн Планк идеясын одан әрі дамыта отырып, фотоэффект теориясын құрды. 1907 ж. ол квант ұғымына негізделіп, қатты денелер жылушымдылығының бірінші теориясын құрды. Қатты денелер жылушымдылығының екінші, толық теориясын 1912 ж. неміс физигі Дебай құрды. Бұл кезенде Эйнштейн Планк идеясы негізінде бір қатар басқа құбылыстарды да түсіндірді. Ол электрмагниттік сәулеленуді кеңістікте таралатын жеке энергия порциялар - кванттар ретінде қарастырды. Бұл энергия кванттарың сонаң соң фотондар деп атады.
Кванттық механика дамуының екінші кезені 1913 ж. басталды. Бұл жылы дат физик-теоретигі Нильс Бор атом құрылысының өзінің жартылай классикалық - жартылай кванттық моделін ұсынды. 1911 ж. ағылшын физигі Э.Резерфорд ұсынған планетарлық моделі бойынша атомдағы электрондар өте кішкентай және ауыр ядро қасында шенбер орбитасы бойынша қозғалады. Бірақ бұл модель классикалық электродинамика көзқарасынан орнықсыз болу керек, себебі үдемелі қозғалысындағы электрон тоқтамай электрмагниттік толқындарды шығару керек және сондықтан ядроға тез құлау керек. Ал біз атом өте орнықты жүйе екендігін білеміз. Көрсетілген қайшылықтан құтылу үшін, Бор физикаға екі постулат енгізді. Біріншіден, электрондар атом ішіндегі стационарлық орбиталар бойынша қозғалғанда электрмагниттік толқындарды шығармайды және олардың импульс моменттері квантталған болады.
mzn = nh (3)
Екіншіден, электрмагниттік толқындар немесе фотондар электрондар бір стационарлық орбитадан екіншісіне ауысқанда ғана шығарылады немесе жұтылады.
Еn - Em = h ν (4)
1916 ж. А.Эйнштейн еріксіз сәулелену болатындығы туралы болжам айтты. Бұл болжам 40 жылдан кейін лазерлер жасалып, жүзеге асырылды.
Кванттық механика дамуының үшінші кезені 1923 ж. басталды деп есептеуге болады. Бұл жылы Комптон эффектісі ашылды және француз физик-теоретигі Луи де Бройль тыныштық массасы болатын бөлшектердің корпускулалық-толқындық дуализмі туралы болжам айтты. Оның пікірі бойынша қозғалыстағы әрбір микробөлшекпен толқындық процесс байланысқан. Бұл процесстің толқын ұзындығы былай анықталады.
λ = hp = hmν (5)
1925-26 жж. үш неміс физиктер В.Гейзенберг, М.Борн және П.Иордан кванттық механиканың бірінші, матрицалық түрін дамытты. 1926 ж. австриялық физик-теоретик Э.Шредингер де-брольдік толқын ұзындық ұғымын қолдана отырып, кванттық механиканың екінші түрін-толқындық механиканы құрды, ал М.Борн толқындық функцияның дұрыс физикалық мағынасын ашты. 1927 ж. В.Гейзенберг өзінің белгілі анықталмағандықтар принципін тұжырымдады. 1928 ж. бастап, ағылшын физигі П.Дирак релятивистік емес кванттық механиканы дамыта бастады. Ал ХХ ғасырдың 30-шы жылдарының басынан біріктірілген теориялар, мысалы кванттық электродинамика, өрістің кванттық теориясы және т.б. дамытыла бастады.
2. Классикалық механикада қолданатын ең қарапайым модель - ол материялық нүкте. Сонда классикалық механикада материялық нүктенің қозғалыс күйін анықтау үшін оның координаталары мен жылдамдығы белгілі бөлу керек. Жалпы жағдайда механикалық жүйенің күйі оның жалпыланған координаталары мен жалпыланған импульстер жиінтығымен анықталады.
Бірақ кванттық механикада микробөлшектің күйін олай анықтауға болмайды, себебі Гейзенбергтің анықталмағандықтар қатысы бойынша оның координатасын және импульсін бірмезгілде дәл өлшеуге болмайды, яғни кванттық механикада бөлшектің траекториясы деген ұғым мүлдем жоқ. Сондықтан кванттық механикада бөлшек күйі басқаша анықталады.
Де Бройль идеясы бойынша бөлшектердің толқындық қасиеттері болады. Осыған байланысты, кванттық механикада мынадай постулат енгізілген: бөлшектің күйі толқындық функция ψ (r, t) - мен сипатталады, оның модулінің квадраты t уақыт мезетінде координатасы r-ға тең нүктеде бөлшекті табу ықтималдығының тығыздығын береді. Жалпы айтқанда, толқындық функция ψ (r, t) (пси-функция) комплекс функция болып саналады. Ол бөлшектің қозғалысын анықтайтын белгілі бір дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады (Мысалы, Шредингер теңдеуді). Толқындық функция бөлшекті табу ықтималдығын анықтайтын комплекс шама, сондықтан оның физикалық мағынасы айқын білінбейді. Табу ықтималдығы нақты оң шама болу керек, пси-функцияның модулінің квадраты бұл шартты қанағаттандырады.
Ақырсыз кішкене аймақты х, х + dх, у, у + dх, z, z + dz қарастырайық, оның көлем элементін dV = dхdуdz деп белгілейік. Ықтималдық теориясы бойынша dV көлемдегі бөлшекті табу ықтималдығы мынаған тең:
dW = | ψ (х, у, z, t) |² dV = ρ (х, у, z, t) dV (6)
мұндағы ρ (х, у, z, t) = dWdV = | ψ (х, у, z, t) |² = ψ (х, у, z, t) ψ* (х, у, z, t) (7)
ықтималдық тығыздығы деп аталынады. Енді t уақыт мезетінде V көлемдегі бөлшекті табу ықтималдығын қарастырамыз.
W (V, t) = dW = ρdV = | ψ (х, у, z, t) |² dV (8)
Егер бөлшектің V көлемдегі шың орналасқандығын білсек, біз (8) 1-ге теңестіруіміз керек:
| ψ (х, у, z, t) |² dV = 1 (9)
Сонымен біз нормалау шартын алдық. Осы шартты қанағаттандыратын ψ функциясы нормаланған деп аталынады. Жалпы айтқанда, толқындық функцияның жарамдылық критериін мына түрде көрсетуге болады
-infinity+infinity|ψ|2 dV = С ,
мұндағы С - ақырлы сан. Сонымен, бұл шарт бойынша кез келген ψ функцияның модулінің квадраты интегралданатын болу керек. Егер бұл шарт орындалмаса, онда ықтималдықты нормалауға болмайды.
Толқындық функция материялық нысананың күйін сипаттайтың шама, сондықтан ол стандартты деп аталатын келесі шарттарды қанағаттандырады:
* ψ функция біртекті ортада өзінің бірінші туындыларымен бірге үзіліссіз болу керек;
* ψ функция кеңістіктің барлық нүктелерінде ақырлы және бірмәнді болу керек;
* ψ функция белгілі бір шекаралық шарттарды қанағаттандырады, себебі кванттық теңдеулердің шешімі математикалық физиканың кейбір есептерінің шешімін еске түсіреді. Егер осы үш шарт орындалса ғана толқындық функция кванттық теңдеудің жалғыз шешімі болып табылады.
3.Кванттық механиканың классикалық механика қарағанда бір негізгі айырмашылығы бар - ол физикалық шамаларды анықтауда. Кванттық механикада әрбір физикалық шамаға (бақыланатын шамаға) кейбір операторлар салыстырылады. Бұл қағида кванттық механиканың негізгі бір постулаты болып саналады. Классикалық механиканың математикалық аппараты дифференциалдық және интегралдық қисап екені белгілі. Кванттық механика дами бастағанда, оның математикалық аппараты дайын болды, ол - сызықтық операторлар теориясы.
Оператор - бір толқындық функцияны басқа функцияға ауыстыратын математикалық символ, яғни кез келген әрекет. Операторды бү ркеншігі бар әріппен белгілейді.
Мысалы:
F Ψ = φ (10)
Бұл теңдіктегі F оператор ретінде арифметикалық, дифференциалдық және т.б. операторларды қарастыруға болады.
* 2 · Ψ = 2Ψ ,
* √ · Ψ = Ψ ,
* ddх · Ψ = dΨdх .
Кванттық механикада пайдаланылатын операторлардың тобы шектелген, себебі, кванттық механика суперпозиция принципіне негізделген. Бұл принципті бұзбас үшін, операторлар сызықтық түрде болу керек. Сызықтық операторлардың математикалық анықтамасын келтіруге болады:
F (сΨ) = с F Ψ; F (Ψ1 + Ψ2) = F Ψ1 + F Ψ2 (11)
Бұл екі шартты біріктіруге болады:
F (с1 Ψ1 + с2 Ψ2) = с1 F Ψ1 + с2 F Ψ2 (12)
мұндағы с, с1, с2 - тұрақты сандар.
Физикалық шамалардың операторлары сызықтық ғана емес, өзіне түйіндес болу керек. (10) қатысты мына түрде жазуға болады:
F Ψ = F Ψ (13)
Бұл операторлық қатыстағы F тұрақты шама, оның кейбір мәндері (13) қанағаттандырады, олар F оператордың өзіндік мәндері деп аталынады. Өзіндік мәндерге сәйкес келетін толқындық функциялар өзіндік функциялар деп аталынады. Кванттық механикада өзіндік мәндер әрқашан бақыланатын физикалық шамалар болып табылады. Ал, бақыланатын физикалық шамалар нақты сандар болу керек, яғни F = F*. Мұндағы
F* -- F шаманың түйіндес мәні. Өзіндік мәндердің нақты шамалар болу шарты, операторлардың өзіне түйіндес болуына келтіреді. Өзіндік функция Ψ және оның түйіндесі Ψ*-ге арналған екі қатысты жазайық:
F Ψ = F Ψ (14)
F* Ψ* = F *Ψ* (15)
(14) қатысты сол жағынан Ψ* , (15)-ні Ψ-ге көбейтіп бір бірінен алайық:
Ψ* F Ψ -- Ψ F* Ψ* = (F -- F *) Ψ* Ψ
Бұл қатысты dν көлем бойынша интегралдайық
( Ψ* F Ψ -- Ψ F* Ψ* ) dν = (F -- F *) Ψ* Ψ dν
Нормалау шарты және F = F* екенін еске түсірейік. Нәтижесінде:
Ψ* F Ψ dν = ΨF* Ψ* dν (16)
Бұл теңдік келесі теңдіктің дербес жағдайы болады:
Ψ* F φ dν = φF* Ψ* dν (17)
Сонымен, біз операторлардың өзіне түйіндес шартын алдық. (17) теңдікті мына түрде жазуға болады:
Ψ* F φ dν = φ (F+ Ψ)* dν (18)
(17) және (18) салыстыра отырып, операторлардың өзіне түйіндес болу шартын қысқаша түрде көрсетейік:
F = F+ , (19)
мұндағы <<+>> символын эрмиттік түйіндес амалы ретінде түсіну керек, яғни оны (17) теңдіктің сол жағындағы интегралдың оң жағындағы интегралға ауысуы деп қарастырамыз. F+ - эрмиттік оператор деп аталынады.
Кванттық механикада операторлардың көбейтіндісі үлкен рөл атқарады, ол мына ретте орындалады:
А В Ψ = А (В Ψ) . (20)
Бұл қатыс бойынша, бастапқы В операторы Ψ-ге әрекет жасайды, содан кейін А оператор В Ψ - функциясына әрекет етеді. Осы сияқты, А В операторының орнына, В А операторын алайық. Осы екі оператордың Ψ функцияға әрекетінің нәтижесі бірдей болады. Бұл фактіні мына түрде көрсетуге болады:
А, В = А В - В А = 0 , (21)
мұндағы А, В - А және В операторларының коммутаторы, ал А, В операторлар коммутациялаушы операторлар деп аталынады. Егер А және В операторлар коммутацияланбаса, онда мынадай теңдік орындалады:
А, В = А В - В А = i С , (22)
мұндағы С операторы да эрмиттік болады, i - комплекс сан (дербес жағдайда С - сан болады). Сонымен, (22) теңдік орындалса, А және В операторлар коммутациялаушы емес операторлар деп аталынады.
(21) және (22) коммутациялаушы және коммутациялаушы емес қатыстардың физикалық мағынасына тоқталайық. Егер операторлар коммутациялаушы болса, онда бірмезетте бұл операторлар анықталған мәндерге ие болады. Егер операторлар коммутациялаушы емес болса, онда бірмезетте бұл операторлар анықталған мәндерге ие бола алмайды (мысал ретінде, Гейзенбергтің анықталмағандықтар қатыстары).
§ 4. Өзіне түйіндес операторлардың өзіндік функциялары мен өзіндік мәндері. Өзіндік функциялардың негізгі қасиеттері.
Алдыңғы параграфтағы толқындық функцияның көмегімен есептелген орта мәннен орташа квадраттық ауытқуды қарастырайық. Жалпы жағдайда < ∆ F2 > != 0 , бірақ, біз қарастырып отырған F шама бір ғана мәнге тең күйді қарастырсақ, онда < ∆ F2 > = 0 . Бұл күй үшін теңдікті келесі түрде жазамыз:
О = ∆F Ψ2 dν .
Интеграл астындағы шама - елеулі оң шама, сондықтан ол интеграл мына жағдайда ғана нөлге тең болады:
∆F Ψ2 = О .
Комплекс санның модулі нөлге тең болады, егер санның өзі нөлге тең болса. Сонымен
∆F Ψ = О ,
немесе Ψ функциямен сипатталатын күйде F бір ғана мәнге ие болатынын және 6 - параграфтағы орта мәннен ауытқуды ескере отырып, мынадай теңдеу жаза аламыз:
( F - < F > ) Ψ = ( F - F ) Ψ = О .
Осыдан
F Ψ = F Ψ (23)
Бұл теңдік белгісіз Ψ функцияға қатысты сызықтық теңдеу болып табылады, себебі анықтама бойынша F - оператор. Көп жағдайда F дифференциалдық оператор болады, сондықтан (23) теңдеу біртекті, сызықтық дифференциалдық теңдеу болады. Бұл теңдеудің мардымсыз емес шешімі болады, себебі нөлдік шешімнің физикалық мағынасы жоқ.
Үшінші параграфта қарастырылғандай, Ψ толқындық функция үзіліссіз, бірмәнді, ақырлы болу керек және белгілі бір шекаралық шарттарды қанағаттандыру керек. Бұл талаптарды орындау, (23) операторлық теңдеудің шешімі F физикалық шаманың тек белгілі бір мәндерінде болатындығына келтіреді. Осы белгілі бір мәндерді F оператордың өзіндік мәндері, ал оларға сәйкес келетін (23) теңдеудің шешімдерін оператордың өзіндік функциялары деп атайды.
Біз F шамаға мынадай талап қоя аламыз: тәжірибелерде F оператордың тек өзіндік мәндері бақыланады. Бұл постулат бойынша операторлардың өзіндік мәндері мен тәжірибенің арасындағы байланысты табуға болады.
Жоғарыда айтылғандай, операторлық теңдеудің шешімі F физикалық шаманың тек белгілі бір мәндерінде болады. Ол мәндер F1, F2, ..., Fn, ... үзікті қатар мәндерін немесе үзіліссіз қатар мәндерін құрайды. Оператордың өзіндік мәндер жиынтығы оның спектрі деп аталынады. Егер оператор үзікті өзіндік мәндерге ие болса, онда ол үзікті спектрге ие болады. Егер оператор біраз аралықта үзіліссіз өзіндік мәндерге ие болса, онда ол үзіліссіз (тұтас) спектрге ие болады.
Оператордың өзіндік функцияларын бір-бірінен айыру үшін, олардың индекстері ретінде өзіндік мәндердің нөмірлерін алады. Мысалы, оператор үзікті спектрге ие болса, онда өзіндік мәндер F1, F2, ..., Fn, ... қатар, ал өзіндік функциялар Ψ1, Ψ2, ..., Ψn, ... қатар түзеді. Кванттық механикада, өзіндік мәндер мен өзіндік функцияларды анықтайтын n бүтін сандарды кванттық сандар деп атайды.
Егер Fn өзіндік мәннің әрбіреуіне өзіндік функцияның бір ғана мәні сәйкес келсе, спектр тоғысқан емес болады. Егер өзіндік мәннің әрбіреуіне бірнеше өзіндік функциялар сәйкес келсе, онда спектр тоғысқан болады. Мысалы, Fn өзіндік мәнге Ψnα өзіндік функциялар сәйкес келсе, онда α тоғысудың еселігі деп аталынады. Егер α = 2 болса, онда екіеселі тоғысу болады, яғни өзіндік мәннің әрбіреуіне екі толқындық функция сәйкес келеді.
Оператордың өзіндік мәні әрқашан да нақты болады. Өзіндік мән оператордың өзіндік функциясы сипаттайтын күйді анықтайтын физикалық шаманың орта мәніне сәйкес келеді, ал орта мән әрқашан да нақты:
< F > = Ψ* F Ψ dν = | F Ψ = F Ψ | = Ψ* F Ψ dν = F Ψ* Ψ dν = F .
Теңдік бойынша < F > = < F > * , сондықтан F = F* .
Енді өзіндік функциялардың негізгі қасиеттеріне тоқталайық. Біз қарастыратын F оператор тоғысқан үзікті спектрге ие болсын, сонда мынадай операторлық теңдеуді жазуға болады:
F Ψn = Fn Ψn .
Бұл теңдеудің комплекс түйіндісі
F * Ψn * = Fn* Ψn* = Fn Ψn * . (24)
Басқа толқындық функцияға арналған, екінші бір операторлық теңдеуді жазайық:
F Ψm = Fm Ψm (25)
мұндағы m != n . Бесінші параграфтағы математикалық тәсілді пайдалана отырып, (24) теңдеуді сол жағынан Ψm , ал (25) теңдеуді Ψn * -ге көбейтіп, содан соң бір-бірінен алып, алынған қатысты көлем бойынша интегралдайық:
Ψn* F Ψm dν - Ψm F * Ψn * dν = (Fm - Fn) Ψn* Ψm dν .
Егер операторлардың өзіне түйіндес шартын еске түсірейік, бұл теңдеудің сол жағы нөлге тең, сондықтан:
(Fm - Fn) Ψn* Ψm dν = О (26)
Есептің шарты бойынша Fm != Fn , сондықтан
Ψn* Ψm dν = О (27)
Бұл теңдеуден әр түрлі өзіндік мәндерге қатысты өзіндік функциялардың ортогоналдығын алдық. Егер m = n болса, онда үзікті спектрдің өзіндік функцияларын бірлікке нормалауға болады:
Ψn* Ψn dν = 1 (28)
(27) және (28) формулаларды бір формулаға біріктірейік:
Ψn* Ψm dν = δ nm , (29)
мұндағы δ nm - Кронекер символы:
δ nm = 1,егер n=m,0,егер n!=m. (30)
(29) теңдікті өзіндік функциялардың ортонормаланған шарты деп атайды.
Кей жағдайда F оператордың Fn өзіндік мәніне бір ғана Ψn функциясы сәйкес келмейді, бірнеше функциялар Ψn1 , Ψn2 , ... , Ψnf сәйкес келеді. Бұл жағдай жоғарыда айтылғандай, тоғысу деп аталынады, мұндағы f - тоғысу еселігі. Тоғысуды еске алсақ,
F Ψn = Fn Ψn теңдеуінің шешімі ретінде осы функциялардың кез келген сызықтық комбинациясын алуға болады
Ψnk = r=1fαkr fnr . (31)
Мұндағы αkr тұрақты коэффициенттерді таңдай отырып, Ψnk өзіндік функциялардың өзара ортогоналдығын алуға болады:
Ψnk* Ψnl dν = δkl . (32)
Енді F оператор үзіліссіз өзіндік мәндерге ие болатын жағдайды қарастырайық. Тұтас спектрдің өзіндік функциялары (28) нормалау шартын қанағаттандырмайды, себебі ол функцияның модулінің квадраты интегралданбайды. Басқаша айтқанда, ΨF2dν интегралы жинақсыз болады (мұндағы ΨF тұтас спектрдің өзіндік функциялары). ΨF толқындық функцияларды Дирактың δ - функциясына нормалаған жөн болады:
ΨF* (х) ΨF' (х) dν = δ (F - F') . (33)
Дирактың δ - функциясы мынадай қасиеттерге ие болады:
авf (х) δ (х - х') dх = f(х'),егер в >х >а0, егер х >в, х <а . (34)
δ - функцияны (дельта-функцияны) анықтайтын формулаларды толығыра келтірейік:
δ (х - х') = 0 , егер х != х' ; δ (х - х') = infinity , егер х = х' ,
-infinityinfinityδ (х - х') dх= 1 , егер х = х' , (35)
-infinityinfinityδ (х - х') dх= 0 , егер х != х' ,
-infinityinfinityf х δ (х - х') dх= f (х') .
Сонымен (33) формуладағы δ (F - F') символы үзікті спектрдегі δ nm символының рөлін атқарады.
Жоғарыда кез келген өзіне түйіндес сызықтық оператордың өзіндік функцияларының жүйесі ортогоналдық функцияларының жүйесі болатынын дәлелдедік. Математикада осы функциялардың жүйесі толық жүйе болатындығы дәлелденді. Осыған байланысты, егер кез келген Ψ (х) функциясы Ψn (х) өзіндік функциялары қанағаттандыратын шарттарды қанағаттандырса, онда оны осы өзіндік функциялар бойынша қатарға жіктеуге болады:
Ψ (х) = nсn Ψn (х) (36)
Ψn функциялардың ортогоналдығын пайдалана отырып, сn коэффициентін табуға болады. Ол үшін (36) теңдікті Ψm* (х) функциясына көбейтіп тәуелсіз айнымалы шамалардың өзгеріс аймағы, яғни барлық кеңістік бойынша интегралдаймыз:
Ψm* (х) Ψ (х) dν = nсn Ψm* (х) Ψn (х) dν .
Бұл интегралды есептеуде Ψn функцияларының ортогоналдығын және нормалануын есепке аламыз:
Ψm* (х) Ψ(х) dV = nсn · δmn = сm .
Мұндағы m индексін n индексіне алмастыра отырып
сn = Ψn* (х) Ψ(х) dV (37 )
Коэффициентін табамыз.
Осы өрнекті кез келген Ψ(х) үзіліссіз функциясына жазу үшін мынадай теңдіктің орындалуы қажет
nΨn* (х') Ψn (х) = δ (х - х') ( 38 )
Бұл қатыс үзіліссіз функциялардың толық жүйе болу шартын береді. Егер F оператор үзіліссіз спектрге ие болса, Ψ(х) функциясының ΨF (х) өзіндік функциялары бойынша жіктелуі қосындымен емес, интегралмен беріледі
Ψ(х) = с (F) ΨF (х) dF ( 39 )
мұндағы с (F) коэффициентін табу үшін жоғарыдағы теңдікті ΨF'* (х) функциясына көбейтіп, барлық кеңістік бойынша интегралдаймыз:
ΨF'* (х) Ψ(х) dV = с (F) dF ΨF'* (х) ΨF (х) dV = с (F) dF δ (F- F') = с (F')
Мұндағы F' - ті F-ке алмастыра отырып
СF = ΨF* (х) Ψ(х) dV ( 40 )
коэффициентін табамыз. ( 38 ) толықтық шарты үзіліссіз спектрға арналып мына түрде жазылады
ΨF* (х') ΨF(х) dF = δ (х - х') ( 41 )
Оқу материалдың игеруін тексеруге арналған сұрақтар:
* Кванттық механиканың даму тарихының негізгі кезендерін қысқаша айтып шығындар
* Кванттық механиканың классикалық механикаға қарағанда қандай негізгі айырмашылығы бар?
* Оператор дегеніміз не?
* Оператордың сызықтылық шартын жазындар
* Оператордың эрмиттілік шартын жазындар
* Оператордың коммутаторы дегеніміз не?
* Қандай коммутаторды коммутациялаушы деп атайды?
* Оператордың өзіндік мәндері мен өзіндік функциялары дегеніміз не?
* Оператордың спектрі деп нені айтады?
* Қандай спектрлерді тоғысқан емес және тоғысқан деп атайды?
* Өзіндік функциялардың ортогоналдық шартын жазындар
* Өзіндік функциялардың ортонормаланған шартын жазындар
* Үзіліссіз спектр үшін нормалау шартын жазындар
* Дирактың δ - функциясы қандай қасиеттерге ие болады?
* Кез келген толқындық функция дискретті спектрдің өзіндік функциялары бойынша қалай анықталады?
* Бұл жіктеудегі коэффициентерін есептейтін, формуласын жазындар
* Кез келген толқындық функция үзіліссіз спектрдің өзіндік функциялары бойынша қалай анықталады?
* Бұл жіктеудегі коэффициенттері қалай анықталады?
* Кванттық механикада микробөлшектің күйі қалай анықталады?
* Толқындық функцияның физикалық мағынасын ашындар
* Нормалау шартын жазындар
Әдебиеттер.
* А.С.Давыдов Квантовая механика.‒М.: Наука, 1973, с.704, §§ 1-13
* Маусымбаев С.С. Кванттық механика. Оқулық. Алматы, 2007. ‒ 521 б., §§ 1-7.
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz