Файл қосу
Оқиғалар классификациясы
Кіріспе
Ықтималдылықтар теориясы кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ғылым болып табылады. Қазіргі уақытта ықтималдылықтар теориясы ғылым мен техниканың алуан түрлі салаларында қолданылып отыр, математиканың көптеген салаларына қарағанда, ерекше орын алып отыр. Ықтималдылықтар теориясының ә
дістері, оның апараты барлық жаратылыс тану және техникалық ғылымдар ғана емес, тіпті математикадан алшақ деп ұғынылатын тіл ғылымына, педагогика мен психологияға, сондай-ақ архелогияға да еніп, олардың ішкі құрлыс заңдарын ашып көрсететін пәрменді құралға айналып отыр.
Кибернетиканың негізгі салалары- информациялық теория, ойын теориясы, операция теориясы, сенімділік теориясы т.б. математикалық аппараттары ықтималдылық теориясы негізінде құрылған.
Бұл теория - кездейсоқ құбылыстарды бақылау нәтижесінде пайда болған математикалық ғылым. Бұл ғылым XVII ғасырда пайда болған делінеді. Ал ықтималдықтың бастапқы ұғымдары өте ертедегі заманда - вқ кездеседі. Мәселен, біздің жыл санауымыздан 2238 жыл бұрын Қытайда өткізілген санаққа қарағанда, жаңа туға ұл балалардың санына қатынасы тұрақты және ол сан (1/2) -ге теғң( яғни ықтималдығы (1/2)) делінген .
Ықтималдылықтар теориясының ғылым ретінде қалыптасуына оның дамуына көптеген шет ел ғалымдары: Б.Паскаль (1623-1662), П.Ферма (1601-1665), Х.Гюйгенс (1629-1695), Я.Бернулли (1654-1705), А.Муавр (1667-1754), Т.Байес (1702-1763), П.Лаплас (1749-1827), Ф.Гаусс (1777-1855), С.Пуассон (1781-1840) орасан зор үлес қосты.Ұлы орыс математигі Пафнутий Львович Чебышевтың (1821-1894) XIX ғасырдың орта кезінде жарық көрген іргелі зерттеулерінен бастап Россияда ықтималдылықтар теориясы пәрменді дамыды. Аса ірі еңбектер сіңіріп, жаңа әрі құнды нәтижеге қол жеткен Россия-Совет ықтималдық теориясын дамытқан Совет ғалымдары: А.АМарков (1856-1922), А.М.Ляпунов (1857-1918), А.Я.Хинчин (1894-1959), А.Н.Колмогоров (1903 жылы туған), С.Н.Бернштейн (<<1880-1968), В.И.Романовский (1879-1954), В.И.Слуцкий (1880-1948), Б.В.Гнеденко (1912 жылы туған) есімдері жұртшылыққа кеңінен мәлім.
Ықтималдылықтар теориясы мен математикалық статистиканы дамытып, ірі жетістіктерге ие болған ғалымдардың бірі- Ташкент математика мектебінің негізін қалаушы В.И.Романовский. Көрнекті ғалымдар Т.А.Сарымсақов (1915 жылы туған), С.Х.Сираждинов (1920 жылы туған) сияқты, В.И.Романовскийдің басқа да шәкірттері бұл ғылымның өркендеуіне елеулі үлес қосып келеді.
§1. Комплексті шарт, сынау, оқиға, жағдайлар.
Бұл ұғымдарды түсіндіру үшін мысалдарға жүгінейік.
1-мысал. Басбармағымыздың үстіне монетті қойып, оны қаттырақ ыршытып жіберейік. Монет жоғары ыршып, бетті тегіс еденге түседі де, дөңгелеп барып бір жағымен жатады.Сайып келгенде монеттің жерге жалпағынан түсуі үшін, көптеген қимыл-әрекеттер жасалынды, бұлардың жиынын комплексті шарт деп атайды. Ал лақтырылған монеттің тиын (не герб) жағымен жоғар қарап түсуі осы комплексті шарттың орындалуының нәтижесі болады. Мұны оқиға деп атайды.
2-мысал.Бір тектес материалдан жасалған симетриялы дұрыс кубтың әрбір жағын 1-ден 6-ға дейінгі цифрлармен нөмірлейік. Оны бір рет лақтырғанда (комплексті шарт орындалғанда) 6 жағының бірі жоғары қарап түседі, қай жағы (нөмірі) түссе де мұнымыз оқиға болады.
3-мысал. Сынап бағанасының 760мм қысымда суды 100[0]С дейін қайнатсақ, ол буға айнала бастайды. Судың буға айналуы оқиға болады да, ал сол бу пайда болғанға дейінгі барлық әрекеттер жиыны комплексті шарт болып табылады.
Комплексті шарт деген терминнің орнына сынау, тәжірибе, эксперимент терминдерін де пайдаланады. Біз көбінесе сынау терминін қолданатын боламыз. Бұдан былай сынау нәтижесін оқиға деп түсінетін боламыз. Әдетте оқиғаларды А,В,С, ... бас әріптермен белгілейді.
Бұл мысалдардан біз сынау жүргізілгенде монет (куб) жерге бір бетімен түскенде, оның екінші бетінің жоғары қарап түспейтінін байқап отырмыз. Мұндай рқиғаларды, яғни сынау жүргізген кезде бірі пайда болғанда, екіншісі пайда болмайтын нәтйжелерді (оқиғаларды)жағдайлар дейміз. Оларды А1,А2, ...,Аn әріптерімен белгілейміз. Осы сыналынатын жағдайлардың барлық (жалпы) санын n-мен белгілейміз. Мысалы, моменті лақтырғандағы жағдайлар саны n=6 болады.
§2. Оқиғалар классификациясы
Сынау жүргізгенде А оқиғасы пайда болуы да, пайда болмауы да мүмкін болса, ондай оқиғаны кездейсоқ оқиға дейді.
Мұндай оқиғаларға моентті лақтырғанда тиын жағымен жоғар қарап түсуі (А оқиғасы), кубты лақтырғанда алты жағының бірінің жоғары қарап түсуі (А оқиғасы) т.т. мысал бола алады. Өйткені қай жағдайдың шығатынын алдын ала айта алмаймыз.
Сынау нәтижесінде оқиға (А оқиғасы) сөзсіз пайда болатын (пайда болмайтын) болса, ондай оқиғаны ақиқат (мүмкін емес) оқиға дейді. Кубты лақтырғанда алты нөмірінің бірі (7-ші нөмірлі жағы) үстіне қарап түсуі (А оқиғасы)- ақиқат (мүмкін емес) оқиға. Ақиқат оқиғаларды U әрпімен, мүмкін емес оқиғаларды V әрпімен белгілеу қабылданған.
Сынау жүргізгенде оқиғаның бірі пайда болғанда, екіншісі пайда болмайтын екі оқиғаны үйлесімсіз оқиғалар дейді. Мәселен, 1-параграфтағы екінші мысалда А1, А2 (бірінші және екінші нөмірлі жақтар) оқиғалары- үйлесімсіз оқиғалар. Бұл мысалдағы кез келген екі-екіден алынған оқиғалар да үйлесімсіз.
Кез келген екі-екіден алынған оқиғалар үйлесімсіз болса, ондай оқиғаларды қос-қостан үйлесімсіз дейді.
Сынау жүргізгенде оқиғаның бірі пайда болғанда екіншісінің де пайда болуы мүмкін болатын екі оқиғаны үйлесімді оқиғалар деп атайды. Мысалы, кубтың жұп нөмірінің шығуы (А оқиғасы) және үш санына еселік нөмірдің шығуы (В оқиғасы) үйлесімді. Өйткені кубтың 6-нөмірінің шығуын көрсететін А6 оқиғасы А оқиғасы пайда болғанда да, В оқиғасы пайда болғанда да пайда болуы мүмкін.
Сынау нәтижесінде оқиғалардың тек әйтеуір біреуінің сөзсіз пайда болуы ақиқат болса, ондай оқиғаларды жалғыз ғана мүмкіндікті оқиғалар дейді. Мысалы, сынау нәтижесінде кубтың алты жағының біреуі (А оқиғасы) шығуы сөзсіз, сондықтан А1, А2, А3, А4, А5,А6 оқиғалары жалғыз ғана мүмкіндікті оқиғалар, бұлар оқиғалардың толық тобын (системасын) құрайды деп атайды. Сондықтан бұл оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық системасын құрайды.
Жаттығулар
* Екі жақ болып дойбы ойыны өткізілді. Бір жағының ұтуы, ұтылуы немесе екі жақтың тең түсуі- кездейсоқ оқиға.
* Мұғалімнің белгілі бір оқушыдан сұрауы-сынау. Оқушының5,4,3,2 баға алуы- кездейсоқ оқиға.
* Ауа райын бақылау - сынау. Бүгін қар, жаңбыр жаууы- кездейсоқ оқиға.
* Оқушының тәртібін бақылау сынау. Оның сабаққа кешігіп келуі - кездейсоқ оқиға .
* Нысананы көздеп ату- сынау. Нысанаға тию (А оқиғасы) не тимеу (В оқиғасы)- кездейсоқ оқиға. Осы мысалдағы мәлімет бойынша оқиғалардың толық тобын сипаттап беріңіз.
* 4-класс математика кітабының кез-келген бетін ашу - сынау. Осы бетте <<жиын>> сөзінің кездесуі-кездейсоқ оқиға. Бұл беттегі сөздер қай жағдайда оқиғалардың толық тобын құрайды?
* Мына төмендегі оқиғалардың қайсысы кездейсоқ, ақиқат, мүмкін емес болады: 1) бірінші кездескен автомашина нөмірінің жұп болып келуі қандай оқиға? 2) жәшіктің ішінде ылғи ақ шарлар бар. Кез келген бір шар алынды, оның түсі: а) қызыл болуы, б) ақ болуы қандай оқиға болады?
* 1-ден 20-ға дейінгі сандарды 20 карточкаға жазып алып , оларды әбден араласьырып барып, ішінен 2 карточканы алғанда төмендегі қос сандар (оқиғалар) шықты; олар үйлесімді ме әлде үйлесімсіз бе:
1)4және7 сандары;
2) жұп және 15 сандары;
3) тақ және 3-ке еселік сандар;
4) жай сан және 5-ке еселік сандар?
§3. Ықтималдылықтың классикалық анықтамасы
Өткен параграфта біз оқиға түрлерін келтірдік, енді оқиғаның пайда болу мүмкіндігінің сандық өлшеуішін көрсетеміз. Жалпы айтқанда, А оқиғасының пайда болу мүмкіндігінің сандық мөлшері үшін р(А) функциясының мәні алынады. Мұны осы А оқиғасының ықтималдылығы деп атайды. Осы қалпында р(А)-ның ешқандай мәні жоқ. Ал ықтималдылық ұғымы да, кездейсоқ оқиғалар сияқты, ықтималдылықтар теориясының негізгі ұғымдарының бірі. Сондықтан ықтималдылық ұғымын осы кездейсоқ оқиғамен байланыстыра қарастырып, ықтималдылықтың нақты сандық мөлшерін көрсетеміз.
Қандай болмасын математикалық теория белгілі бір ұғымдар негізінде құрылатын болғандықтан, біз ықтималдылықтар теориясының құрылуын ықтималдылықтың классикалық анықтамасына негіздеиміз. Ілгеріде ықтималдылықтар теориясын бұдан да басқа анықтама негізінде құруға болатынын көреміз.
Ықтималдылықтың классикалық анықтамасын алғаш рет берген Лаплас еді. Ықтималдылықтың бұл анықтамасы өте қарапайым, оны түсіну үшін жоғары математиканы білу қажет емес. Сондықтан да біз ықтималдық теориясын баяндауды осы анықтамадан бастаймыз.
Ықтималдылықтың классикалық анықтамасы оқиғалардың тең мүмкіндігіне (тең ықтималдылығына) сүйенеді. Тең мүмкіндік немесе тең ықтималдық ұғымдары алғашқы ұғымдарға жатады, олар логикалық (формальды) анықтама беруді қажет етпейді. Жалпы сынау нәтижесінде бірнеше оқиғалар пайда болуы мүмкін болса және олардың біреуінің пайда болу мүмкіндігінің, екіншісіне қарағанда, артықшылығы бар деп айта алмайтын болсақ, яғни сынаулар нәтижесінің симметриялы қасиеті болса, мұндай оқиғалар тең мүмкіндікті делінеді. Бұған 1-параграфта келтірілген 2-мысал айғақ. Өйткені кубтың әрбір жағының пайда болу мүмкіндігі бірдей.Сондықтан бұлар тең мүмкіндікті (яғни тең ықтималдылықты) оқиғалар болады.
Бірнеше оқиғалар тең мүмкіндікті қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын (системасын) құраса, онда ол оқиғаларды сынаудың мүмкін (мүмкін болатын) нәтижелерінің толық тобы деп атайды. Бұл терминнің орнына тең мүмкіндікті барлық жағдайлар немесе жалпы жағдайлар саны не, қысқаша, жағдайлар деп атайды. Ал тең мүмкіндікті үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын оқиғалардың (жағдайдың) бірнешеуі бір А оқиғасының пайда болуын тудыруы мүмкін, яғни екінші сөзбен айтқанда, А оқиғасы тең мүмкіндікті бірнеше оқиғаларға бөлінеді және олардың кез келген біреуінің пайда болуынан А оқиғасының пайда болуы шығатын болады. Мысалы, кубты бір рет лақтырғанда оның кез келген тақ нөмірі А1 ,А3 ,А5 пайда болуынан, А оқиғасының пайда болуын байқаймыз. Былайша айтқанда, А оқиғасы тақ нөмірлі А1 ,А3 ,А5 үш оқиғаға (жағдайға) бөлініп отыр. Бұл тақ нөмірлі оқиғалар саны (ол 3-ке тең) осы А оқиғасына қолайлы жағдайлар болып табылады. Сонымен, сынау нәтижесінде А оқиғасы бөлінетін мүмкін мәндерді осы оқиғаға (А-ға) қолайлы жағдайлар деп атайды.
1-мысал. Жәшікте 10 шар бар. Олардың 4-еуі ақ, 6-уы қызыл шар. Жәшіктегі шарларды араластырып жіберіп, қарамай тұрып бір шарды алайық. Алынған шар ақ шар болып шығуының (А оқиғасы) сандық мөлшерін (ықтималдығын) анықтау керек.
Шешуі. Әрбір шардың пайда болу мүмкіндігі бірдей (яғни бұлар тең мүмкіндікті оқиғалар) және оның шығу мүмкіндігінің сандық мөлшері (ықтималдығы) 1/10-ге тең А оқиғасы үшін барлық мүмкіндікті 10 жағдайдың тек 4-уі ғана қолайлы.А оқиғасы қолайлы жағдайлар санын (олар 4) барлық жағдайлар санына (олар 10)қатынасы,осы оқиғаның пайда болуының мүмкіндік дарежесін белгілейтін қандай да бір сан ƿ(А) болмақ,бұны ƿ(А)=4/10 ықтималдық мәні деп қабылдаймыз.
Анықтама.А оқиғасына қолайлы жағдайлар санының (m) сынаудың тең мүмкіндікті барлық жағдайлар санына (n) қатынасын А оқиғасының ықтималдығы деп атайды және былай жазады:
Р(А)=m/n
Ықтималдықтың бұл анықтамасын классикалық анықтама дейміз. Бұдан төмендегі салдарлар шығады.
* Ақиқат оқиға ықтималдығы бірге тең. Шынында, оқиға ақиқат болу үшін А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m сынаудағы барлық тең мүмкіндікті жағдайлар саны n-ге тең, яғни m=n болады. Онда (1) бойынша
Р(U)=m/n=1
* Мүмкін емес оқиға ықтималдығы нольге тең. Шынында да, егер оқиға мүмкін емес болса, онда А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны mнольге тең болады. Олай болса, ықтималдықтың анықтамасынан
Р(V)=0/n=0
* А оқиғасының ықтималдығы р(А( ноль мен бір аралығындағы оң таңбалы сан. Шынында, А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m нольден n-ге дейінгі өздерін қоса алғандағы, мәндерді қабылдайды, яғни
0< болу ықтималдығын анықтаңыз.
15.Бірдей 20 карточканың әрбіреуі 1-ден 20-ға дейінгі сандарға сәйкес түрде үштік санау системасындағы сандармен нөмірленген.Алынған бір карточкаға жазылған санның кемінде екі цифры <1> болу ықтималдығын анықтаңыз.
§5.КОМБИНАТОРИКА ТУРАЛЫ ТҮСІНІК
Классикалық анықтамаға негізделген ықтималдықтарды,есептеу - А оқиғасының пайда болуына қолайлы жағдайлар саны m-ді және сынаудың барлық жағдайлар саны n-ді табуға келіп тіреледі.Ықтималдықтар теориясында m мен n мәндері,ілгеріде көрсетілгендей,оп - оңай анықтала бермейді.Бұларды табу үшін қайсы бір жиын элеменнтерін түрліше алу тәсілдерін қарастыруға тура келеді.Мысалы келтірейік.Жәшіктегі әріптер жиыны a,b,c элементтерден құралған десек,онда бұл жиыннан әріптерді:
1)бір-бірден 3 тәсілмен аламыз,олар;a,b,c:
2) екі - екіден 6 тәсілмен аламыз,олар:
Ab,ba,ca
Ac,bc,cb
3)үш-үштен 6 тәсілмен аламыз,олар:
Abc,bac,cab
Acb,bca,cba
Мұндағы алынған әріп тіркестерінің бір-бірінен айырмасы не элементтерінде,не элементтерінің орналасу ретінде болып отыр.Мұндай тіркестер - жиын элементтерінің комбинациясы болады.
Сонымен,шешуі <<нешеу>>,<<неше тәсілмен>> деген сұрауларды қажет ететін есептер комбинаторикалық есептер делінеді.Мұндай есептерді шешумен айналысатын математика саласы комбинаторика немесе комбинаторикалық математика деп аталады.
Математиканың бұл саласы соңғы жылдары жедел қарқынмен дамып келеді.Кейіңгі жылдары комбинаториканың практикада кең қолданыс табуына электрондық есептегіш техниканың дамуы,шектеулі математика ролінің артуы,ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистиканың практикалық маңызының кунннен-кунге артуы негізгі себеп болып отыр.
Комбинаторика есептерін екі әдіспен шешуге болады.Біріншісінде ,шешудің барлық мүмкін варианттарын бір-бірінен есептейді,екіншісінде-қорытылған формуланы пайдаланып шешеді.Әрине,бірінші әдіс түсінуге жеңіл болғанымен,күрделі математикалық есептерді шешуге келгенде пәрменсіз.Сондықтан,екінші әдісті ,яғни комбинаториканың қарапайым формулаларын негіздеп,оларды ықтималдықтарды есептеуге пайдаланатын боламыз.Бұл айтылғандарды мысалмен түсіндірейік.
1-мысал.Жаздыгүні автоматтан газды су ішу үшін бір тиындық немесе үш тиындық монет керек.Ал автомат-телефонды пайдалану үшін екі тиындық монет керек.10 тиыны бар адам су ішіп,автомат-телефон арқылы сөлесу үшін оны 1,2,3 тиындықтарға майдалаудың бірнеше тәсілін ойластырды.Сонымен, 10 тиынды 1,2,3 тиындықтарға неше тәсілмен майдалауға болады?
Шешуі.10 тиынды майдалаудың барлық тәсілдерін келтірейік:10 тиынды ылғи 3 тиындыққа майдалауға болмайды.Алайда 3 үш тиындық және 1 тиындыққа,2 үш тиындық және 2 екі тиындыққа т.т майдалауға болады.Бұл айтылғандар ықшам болу үшін 10 тиынды майдалаудың барлық мүмкін варианттары төмендегі 3-таблицада келтірілді.
3-табдица
Рет саны
3 тиынды монет саны
2 тиынды монет саны
1 тиынды монет саны
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
2
2
2
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
2
1
0
3
2
1
0
5
4
3
2
1
0
1
0
2
4
1
3
5
7
0
2
4
6
8
10
Бұл таблицада кқрсетілген майдалау тәсілі әр түрлі және бұдан басқа тәсіл жоқ.Сондықтан 10 тиынды 1,2,3 тиындықтарға 14 тәсілмен ғана майдалауға болады екен.Сөйтіп,бұл есептің шешуін табу үшін мүмкін жағдайлардың бәрін бір - бірлеп есептедік.
2-мысал.Елімізде автомашиналардың серияларын анықтау ісімен мемлекеттік автоинспекция шұғылданады.Олар екі, үш әріптен неше комбинация (қосылыс,тіркес) жасайтынын білу керек.Бұл фактіні байланыс қызметкері де ,кодалау мамандары да білуге тиісті.Сонымен, орыс алфавитіндегі 32 әріптен үш әріптен құрылатын комбинациясын (тіркес,қосылыс) неше тәсілмен жасауға болады.
Шешуі.Бұл есепті шешу әріптер жиынынан үш әріп комбинациясына қойылатын талапқа байланысты.Түсінікті болу үшін бұл әріптердің әрбіреуін формасы бірдей жеке карточкаларға жазайық.Сөйтіп,оларды топтастырайық,яғни бір колода етейік.Сонда колодадағы карточкалар жиын болады.Әріптерді колодадан екі түрлі жолмен іріктеп влуға болады.
Біріншісі (қайталанбайтын іріктеме.).Бірінші алынатын әріп колодадағы 32 әріптің бірі болпды,яғни оны 32 тәсілмен алуға болады.Ал,екінші әріп колодада қалған 31 әріптен алынады.Сонда шығатын әр түрлі екі әріпті тіркестер(комбинациялар) саны - 32x31=992 болады.Бұл екі әріпті тіркестердің әрқайсысы үшінші алынатын әріппен тіркесіп ,үш әріпті тіркес құрайды,сонда олар 32x31x30=29760 тәсілмен алынады.Бұл жағдайда әрбір үш әріпті тіркестегі әріптер түрліше болып кездеседі.
Екіншісі (қайталанатын іріктеме).Бірінші алынған әріп таңбасы белгіленген соң,ол колодаға қайыра салынады.Сонда екінші алынатын әріп те колодадағы 32 әріптің бірі болады. Олай болса ,екі әріпті тіркестерді
32x32=32[2]=1024
Тәсілмен алуға болады .Осы сияқты үш әріпті тіркес 32x32x32=32[2]x32=32768
Тәсілмен жасалады.Бұл жағдайда үш әріпті тіркестердің жасалуына ешқандай шек қойылмайды ,яғни мұнда әрбір әріп бір тіркестің ішінде екі,үш рет қайталанып келуі мүмкін.
Сонымен,32 әріптен үш - үштен алу іріктеме (выборка) болып табылады.Бірінші жолы колодадан қай әріп алынатыны белгіленгеннен кейін,колодаға ол қайта салынған жоқ.Сондықтан мұндай іріктемені қайталанбайтын іріктеме деп атаймыз. k=3 саны іріктеме көлемі болады.
Екінші жолы колодадан алынған әріп белгілеп алынғаннан кейін,ол қайтадан колодаға салынады.Сонда екінші әріп колодадаға 32 әріптің ішінен алынады.Үшінші әріпті алғанда да өзгермейді.Сондықьан бұлайша іріктеуді қайталанатын іріктеме деп атайды.Мұнда да іріктеме көлемі k=3.Ал,элементтері алынып отырған жиын ,яғни 32 әріп жиыны,бас жиын болады.Әдетте ,бас жиындағы әріптер сол жиын элементтері болады.
Бұл мысалдардың екеуінде де комбинация санын анықтағанда көбейту амалын пайдаландық.Енді көбейтудің мынадай ережесін байқау қиын емес.
Көбейту ережесі. Егер A жиыны a1,a2,...am,яғни m элементтен ,ал B жиыны b1,b2,...bk ,яғни к элементтен құралатын болса (бұл екі жиын бір жиыннан алынуы да мүмкін ),онда әрқайсысынан бір-бір элементтен алынған әр түрлі (ai,bj) комбинация саны mxk болады (i=1,2,...m: j=1,2,...,k).
Шынында,бұларды (аi,bj) түрінде m горизонталь және k вертикаль жолдардан тұратын мына таблицаға орналастыруға болады:
4-таблица
В
А
b1
b2
...
bk
a1
a2
...
...
am
(a1,b1)
(a2,b1)
...
...
(am,b1)
(a1,b2)
(a1,b2)
...
...
(am,b2)
...
...
...
...
...
(a1,bk)
(a2,bk)
...
...
(am,bk)
Бұл таблицадағы әрбір (ai,bj) тек бір реттен ғана кездеседі.Олардың (ұялардың) барлық саны -mxk.Бұл ереже жиын саны екіден артық болғанда да орындалады .Мысалы,элементтер саны сәйкес m,k,h сандарына тең болатын A{a1,a2,...,am},B{b1,b2,...,bk},C{c1,c2,...,ch} үш жиын берілсін .Әр жиынннан тек бір элементтен ғана алынған әр түрлі (ai,bj,ch) үш элемент комбинациясын жасауға болады,мұндағы i=1,2,...,m, j=1,2,...,k және l=1,2,...,h .Олардың саны -mxkxh өйткені A және B жиындарынан алынған әрбір (ai,bj) пары үшініші жиынның әрбір элементімен комбинацияланады.Бұл комбинация саны,әрине, (mxk)xh=mkh санына тең.Енді комбинаторикалық есептерді шешуге және ықтималдықтар теориясының есептерін шешуге қажетті бірнеше формулаларды қорытып,оларға мысалдар келтірейік.Мұны қайталанбайтын іріктемеге тиісті формулаларды қорытудан бастайық.
§6.ОРНАЛАСТЫРУЛАР
Алдыңғы параграфтағы 2-мысалдың бірінші шешуінде орыс алфавитінен үш әріп комбинациялары
32x31x30=29760
еді.Алфавит N әріптен тұрса, онда әрқайсысы үш әріптен тұратын комбинациялар саны
N(N-1)(N-2)
Болар еді.Ал енді 3әріп орнына әрқайсынының К әріптен тұратын комбинация құрсақ, олар
N(N-1)(N-2)...[N-(K-1)]/
Тәсілмен табылады.Бұл өрнек N элементтен әрқайсысы К-дан жасалған орналастырулар делінеді.Бұл орналастырулардың әрқайсысына N элементтің ішіне К элемент еніп, олардың айырмашылықтары не элементтеріне (мысалы, аb,ас т.т),не элементтерінің орналасу ретінде (мысалы, аb және bа,bс жіне сb т.т.)болады.Мұны АKN символымен белгілейік.Сонда
AkN=N(N-1)(N-2)...[N-(K-1)]
Өрнекті ықшамдаған қолайлы.Ол үшін (1)өрнектің алымын да бөлімін де 1,2,3...(N-k) сандарына көбейтеміз.Сонда
AKN , яғни
Мұнда N!факториал деп оқылады, ол 1-ден N-ге дейінгі натурал сандардың көбейтіндісіне тең, яғни
N!=1x2x3...N,
Немесе
N!=N(N-1)(N-2)...3x2x1.
1-мысал.а,b,с,d әріптерінен екі әріптен алынған орналастырулар жасап және олардың комбинацияларын жазу керек.
Шешуі. Бір әріпті 4тәсілмен аламыз.Екінші әріпті тәсілмен аламыз.Екінші әріпті тәсілмен аламыз.Бірінші алынған әріп екінші алынған әрбір әріппен комбинация құрайды,сондықтан екі-екіден алынатын әріптер комбинациясы 4x3=12 тәсілмен жасалады,(I) формула бойынша
A24=4x3=12
Алынған әріптер тіркестері мынадай:
Ab ba ca da
Ac bc cd db
Ad bd cd dc
2-мысал.А,В,К,М,О,С әріптері бірдей карточкаларға жазылып, бір колодаға салынған. Оларды әбден араластырып, бір-бірден (не бірден) төрт карточка аламыз.Сонда: а)6 әріптен төрт-төрттен неше тәсілмен алуға болады,ә)алынған 4 әріпті қатарынан тізіп қойғанда <<КВАС>> сөзінің пайда болу ықтималдығын есептеу керек.
Шешуі.а)Колодадан алынған бірінші карточка сондағы 6карточканың бірі,яғни бірінші карточканы 6 тәсілмен алуға болады. Екі карточканы 6x5 тәсілмен алуға болады,өйткені бірінші карточка алынғаннан кейін екіншісін колодада қалған 5т карточканың ішінен алады.Оның үстіне, әрбір бірінші әріпәрбір екінші әріппен 6x5x4 тәсілмен, 4 әріптен алынатын комбинация 6x5x4x3 тәсілмен құралады. Есеп шарты бойынша N=6,K=4, ді (1) формуланы пайдалансақ,
А[4]6=6x5x4x3=360
Немесе
Ә)Алдымен n-ді анықтайық. Берілген 6 әріптен әрқайсысы 4 әріптен тұратын комбинация А[4]6=360 тәсілмен табылады.Мұнымыз барлық тең мүмкіндікті нәтижелер саны. Бұл нәтижелер қос-қостан үйлесімсіз және олар оқиғалардың толық тобын құрайды.Демек,n=360.Енді аталған сөздің пайда болуына қолайлы жағдайлар саны m-ді табамыз.
4 әріпті тіркес ішіндегі бізге қолайлысы тек бірінші орында <> әріпті,екінші орында <> әріпті,үшінші орында <> әріпі,ақырында,төртінші орында <> әрпі тұратын <<КВАС>> сөзі болмақ.Бұл сөз тек бір-ақ рет кездеседі.Сондықтан іздеген ықтималдық мынаған тең:
§7.АЛМАСТЫРУЛАР
N элементтен N-нен алынған орналастыруларды алмастырулар деп атайды.
Алмастырулардың бір-бірінен айырмашылығы тек элементтерінің орналасу ретінде ғана ,өйткені әрбір алмастырудағы элементтердің саны бірдей.Сонда (1) формулада N=k десек,
AN[N]=1x2x3...N=N! (1)
1-мысал.6-параграфтың 2-мысалында келтірілген А,В,К,М,О,С әріптерінен;а)неше алмастырулар жасауға болады?ә)карточкаларды қатарынан қойғанда <<МОСКВА>> өзінің шығу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі.а)Айырмасы тек элементтерінің орналасу ретінде ғана болатын 6! алмастырулар жасауға болады.
Ә)Бұл алмастырудың әрқайсысының шығу мүмкіндігі бірдей.Сонда тең мүмкіндікті,қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын элементар нәтижелердің барлық саны n=6 болады.Бұлардың ішінде <<МОСКВА>> сөзінің шығу мүмкіндігі біреу-ақ демек,оның ықтималдығы
§8 Элементтері қайталанатын алмастырулар
Жоғарыда қарастырылған алмастыруда элементтің барлығы да әр түрлі еді. Бірақ алмастырулар жасалатын Ν элементтің кейбіреуі (бірнешеуі) қайталанып отыруы мүмкін.
1- мысал. Бірдей карточкаларға жазылған А, А, А, Б, Р, С, Т әріптерінен: а)7 әріптен алғанда неше алмастырулар шығады? ә) <<АТБАСАР>> сөзінің шығу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. а) Іріктемегенде әріптер әр түрлі болса, <<жеті>> әріппен жазылатын сөздер саны 7! болар еді. Ал биздің мысалымызда үш әріп бірдей. Сондықтан 7 әріпті әр түрлі сөздер (оның басым көпшілігі мағынасыз тіркестер) саны 7!- дан кемид. Өйткені <<А>> әріптері өз ара орындарын ауыстырғанда жаңа сөз шықпайды. Сондықтан есепті шешу үшін алдымен бірдей сөз құрайтын алмастырулар санын анықтап аламыз. <<А>> әрпінің өз ара орын ауыстырулар саны3!. Бұл әр типтегі сөздердің қайталану саны болмақ.
Бұл жағдайда 7 әріпті сөздердің бір типі <<АТБАСАР>> деген сөзбен көрсетейік. Түсіну оңай болу үшін алдымен әріптерді 1-ден 7-ге дейінгі цифрлармен нөмірлейік. Осы сөз құралатын алмастырулардың түрлері төменде цифрлармен келтірілді:
1
2
3
4
5
6
7
А
А
А
Б
Р
С
Т
А
Т
Б
А
С
А
Р
1
7
4
2
6
3
5
1
7
4
3
6
2
5
2
7
4
1
6
3
5
2
7
4
3
6
1
5
3
7
4
2
6
1
5
3
7
4
1
6
2
5
Содан жеті әріптен тұратын әр түрлі <<сөздер>> бұл жағдайда
тәсілмен шығады екен.
а) Бұл алмастырулардың әрқайсысының шығу мүміндігі бірдей. Сонда тең мүмкіндікті, қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын жағдайлардың барлық саны n=840. Бұлардың ішінде <<АТБАСАР>> сөзінің шығу мүмкіндігі біреуақ: Олай болса,
Р(А)==
Осы ықтималдықты басқа тәсілмен табайық. Әріптер әр түрлі болғанда, тең мүмкіндікті нәтижелер саны n=7! болады.
Бұлардың ішінде <<АТБАСАР>> сөзінің пайда болуына қолайлы жағдайлар саны m=3!. Демек, оның ықтималдығы
Тағыда да бір мысал келтірейік.
2-мысал. Бірдей карточкаларға А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т әріптері жазылған. а) Олардан 10әріптен құралатын сөздерді неше тәсілмен құрауға болады? ә) <<МАТЕМАТИКА>> сөзінің шығу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. а) алмастыруларға енетін әріптер саны N=10. бұл әріптердің барлығы да әр түрлі десек, онда небары алмастырулар жасауға болады. Бірақ біздің мысалымызда А әрпі үш рет қайталанып отыр. Егер А-дан өзге қалған әріптер әр түрлі десек, онда, өткен мысалға сәйкес, алмастырулар саны
болар еді. Бірақ А-дан басқа М әрпі екі рет және Т әрпі де екі рет қайталанып отыр. Сондықтан алмастырулардың жалпы саны мынаған тең болады:
ә) 10 әріпті тіркестер тең мүмкіндікті, қос-қостан үйлесімсіз, оұиғалардың толық тобын құрайтын элементар нәтижелердің жалпы саны -- 151200. бұлардың ішінде аталған сөзіміздің шығуына қолайлы жағдайлар саны біреу-ақ. Олай болса, мұның ықтималдығы
Мұны бірден
Жазуға да болады. Сонымен барлық тең мүмкіндікті жағдайлар саны 10!. Ал аталған сөздің пайда болуына қолайлысы m=3!·2!·2! болады.
Бұл мысалдардың шыққан нәтижелерді пайдаланып мынадай қорытынды жасайық:
М жиыны элементтерінен құралын. Мұнда элементі рет, элементі рет, ....., элементі рет қайталанатын болсын . Сонда N элементтен берілген дан алынған алмастырулар саны мына формуламен анықталады:
(1)
3-мысал. Алдыңғы мысалдағы <<МАТЕМАТИКА>> сөзінің әріптерінен неше алмастыру жасауға болады?
Шешуі. Бұған жауап беру үшін (1)формуланы пайдаланамыз, сонда N=10, М әрпінің қайталану саны А әрпінің қайталану саны Т әрпінің қайталану саны қалған әріптер бір реттен енеді.
Демек,
§9 Қайталамалы орналастырулар
Осы уақытқа дейін элементтер жиынынан орналастырулар жасағанда одан алынған элемент жиынға қайыра енбейтін еді, ондай орналастырулар болады. Біз енді қайталамалы орналастыруларда, яғни жиыннан алынған элемент сол жиынға қайыра енетінін қарастырамыз, мысалдар келтірейік.
1-мысал. 1,2,3 цифрларынан екі таңбалы неше сан жазуға болады?
Шешуі. Бұл есепті екі тәсілмен шешуге болады.
Бірінші тәсіл: цифрлары қайталанбайтын әр түрлі екі таңбалы сандарды тәсілмен жасаймыз, олар:
1 2 2 1 3 1
13 2 3 3 2
Екінші тәсіл: цифрлары қайталанып отыратын әр түрлі екі таңбалы сандарды біртіндеп жазсақ, мыналар шығады:
1 1 2 1 3 1
1 2 2 2 3 2
1 3 2 3 3 3
Яғни олардың барлық саны 3*3=9 болады. Басқаша аитқанда цифрлардың әрқайсысы да 3 тәсілмен алынады, сонда бірінші алынған цифр әр жолы екінші цифрмен комбинацияланады, сөйтіп, екі цифр комбинациясын
тәсілмен аламыз. Бұл мысалды әрі қарай да кеңете беруге болады.
2-мысал. Осы 1, 2, 3 цифрларын қайталамалы орналастырулар тәсілімен үш таңбалы, төрт таңбалы, k таңбалы неше сан құруға болады?
Шешуі. Үш таңбалы санның бірінші цифрын 3 тәсілмен, екіншісін де 3 тәсілмен алуға болады. Сонда алдыңғы екі цифрлы санды тәсілмен аламыз. Бұлардың әрқайсысы үшінші цифрмен комбинацияланады. Сонда үш цифрлы санды тәсілмен құруға болады. Осылайша талқыласақ, осы үш цифрдан 4 цифрлы сандарды тәсілмен, ал k цифрлы сандарды 3 тәсілмен құруға болатынын байқау қиын емес.
Енді есептің шартын өзгертіп, яғни берілген 1, 2, 3, цифр орнына 1, 2, 3,...., N цифрды алайық. Сонда N цифрдан әр түрлі екі цифрлы сандарды тәсілмен, әр түрлі үш цифрлы сандарды тәсілмен, ал k цифрлы әр түрлі сандарды тәсілмен құруға болады. Сонымен, мынадай қорытындыға келеміз:
Элементтері қайталанып келетін N элементтен k дан алынған орналастырулар
(1)
Формуласымен өрнектеледі. Мұны қайталамалы орналастыру немесе қайталамалы іріктеме формуласы деп айтады.
Қайталанбайтын орналастырулар мен алмастыруларды айтқанда іріктеме көлемі k<=N болатын. Ал, элементтері қайталанатын орналастырулар мен алмастырулар үшін k˂N, k=N және k˃N болуы мүмкін. Бұл факт жоғарыда келтірілген мысалдан айқын көрініп тұр.
§10 Терулер
N элементтен әрқайсысы k дан алынған орналастыруларды бір-бірінен айырмашылығы не элементінде, не элементтің орналасу ретінде ғана болатын дербес түрін алмастырулар дедік. Енді элементтерінің орналасу ретіне көңіл аудармай (яғни мұндай орналастыруларды бірдей деп), айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастыруларды қарастырайық. Мұны сысалдан бастайық.
1- мысал. а,b,c әріптерінен элементтерінің орналасу ретін ескермей, айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын:
а) екі-екі элементтен неше комбинация жасауға болады;
ә) үш-үш элементтен неше комбинация жасауға болады?
Шешуі. а) a,b,c элементтерден екі-екіден жасалған орналастырулар саны Оларды түгел жазайық:
аb, ba, ca
ас, bc, сb
Бұлардан мынадай үш топқа бөлеміз: ab мен ba, ас мен са, bc мен сb. Әр топқа енетін орналастырулардың айырмашылығы тек элементтерінің тұрған орнында. Мысалы, бірінші топта ab мен ba, екіншісінде ас мен са, үшіншісінде bc мен cb. Әр топтағы орналастырулар саны екі элементтен жасалған алмастыру саны тең. Сонда орналастыруды есе кемітсек , айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастырулар саны шығады, олар
аb, ac, bc
б) Үш элементтен үш-үштен жасалған орналастырулар саны
,
олар:
abc, bac, cab,
acb, bca, cba.
Бұлардың барлығы бір ғана топ құрайды, өйткені мұндағы орналастырулардың айырмашылығы тек элементтерінің орналасу ретінде ғана. Осы бір топтың ішіндегі орналастырулар саны үш-үштен жасалған алмастыру саны ! ға тең, сонда орналастыруды есе кемітсек, айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастырулар саны болып шығады. Ол- abc тіркесі.
2-мысал. а, b, c, d төрт элементтен орналасу ретін ескермей-ақ, үш элементтен алынған неше комбинация жасауға болады?
Шешуі. 4 элементтен 3 тен алынған орналастырулар саны
Бұлар әр түрлі 4топқа бөлінген, олар мыналар:
1-топ
2-топ
3-топ
4-топ
abc
acb
bac
bca
cab
cba
abd
adb
bad
bda
dab
dba
acd
adc
cad
cda
dac
dca
bcd
bdc
cbd
cdb
dbc
dcb
Мұндай жеке бір топ ішіндегі орналастырулар тек элементінің орналасу ретімен ғана айрылады. Ал осы 4 топтың бір-бірінен айырмашылығы кемінде бір элементінде, олар:
abc, abd, acd, bcd.
Әр топтың ішіндегі орналастырулардың саны 3 элементтен жасалған алмастырулар саны ! ға тең. Сонда орналастыруларды есе кемітсе, айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастырулар саны
болып шығады.
Бұл мысалдардағы 3,4 элемент орнына N элемент алынса, онда орналасу ретін ескермей-ақ, одан k дан алынған
орналастырулар жасаймыз.
Сонымен, N элементтен k дан алынған теру деп, айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастыруларды айтамыз. Оны символымен белгілейміз. Сонда
(1)
болады.
Қорыта келгенде, айырмашылығы элементтерінің тек орналасу ретінде болатын орналастыруларды алмастырулар деп, ал айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастыруларды терулер дейміз. Орналастыруларда алмастырулар мен терулерде болатын қасиеттер қамтылғандықтан,
(2)
, мәндерін (1) формулаға қойсақ, шығатыны:
(3)
Бұл өрнектің оң жақ бөлігіндегі бөлшектің алымын да, бөлімін де 1*2*3....(N-k) санына көбейтсек,
Яғни
(4)
Формуласы шығады. Бұл формуланы мұнан былай жиі қолданамы, (4) формула N=0 және k=0 мәндерінде де дұрыс болуы үшін 0!=1 деу керектігі естеріңізде болсын. N мен k мәндері үлкен болғанда мәнін (4) формуламен есептеу аса қиынға соғады. Сондықтан факториалдар логарифмдерін паидалану қолайлы. Осы себепті кітаптың соңында 100 факториалға дейінгі сандар логарифмдерінің таблицасын келтірдік(кітап соңындағы 1-таблицаны қара).
3-мысал: N=100, k=50 болғанда мәні неге тең?
Шешуі: енді мұның екі жағын да логарифмдейміз, сонда
lg
1-таблицадан:
lg100! = 157,9700,
lg50! = 64,4831.
Демек,
Бұдан өте үлкен сан шығады. Ал ықтималдықтарды есептегенде көп жағдайда N мен k үлкен болып келгенімен, факториалдар логарифмдерін пайдаланып есептеу жеңілге соғады(20-параграфтағы 4- мысалды қара).
Терудің негізгі екі қасиетін келтірейік.
1- қасиеті. (5)
Мұны дәлелдеу үшін (4) формуладағы k орнына N - k қоямыз.
Сонда
(6)
Шығады. (4) және (6) өрнектердің оң жақ бөліктері тең болғандықтан, бұлардың сол жақ бөліктері де тең болады, яғни
(7)
2- қасиеті.
(8)
Мұны дәлелдеу үшін орындарында бұлардың (4) формуладағы мәндерін қойып жазсақ, шығатыны:
Терулердің екінші қасиетін пайдаланып Паскаль үшбұрышы деп аталатын төмендегі схеманы келтіру қолайлы.
Паскаль үшбұрышы
N
k
n=0
k=0
1
n=1
k=1
1 1
n=2
k=2
1 2 1
n=3
k=3
1 3 3 1
n=4
k=4
1 4 6 4 1
n=5
k=5
1 5 10 10 5 1
n=6
k=6
1 6 15 20 15 6 1
Бұл үшбұрыштың құрылысымен танысқанда мынадай ережені байқау қиын емес: төменгі қатардағы әрбір сан (екі шеткісін қоспағанда) оның үштіңгі қатарындағы (сол цифрдың үстіндегі) оң жақ және сол жақ екі санның қосындысына тең, яғни мәні N- қатар үстіндегі N -- 1 қатарындағы теру мәндеріне сәйкес (7)-ші формула негізінде табылған. Сонымен, мәні N қатары мен k диагональдың қиылысуындағы санға тең. Мысалы, N=8, k=3 болғанда, мәні 8- қатар мен k=3-ке сәйкес диагональдағы 56 санына тең.
Әрбір қатардағы сандар қосындысы санына тең. Мысалы, N=3 болғанда
1+3+3+1=8=,
N=7 болғанда 1+7+21+35+35+21+7+1=128=т.с.с
Ескерту. Жоғарыда келтірілген алмастыру, орналастыру және теру формулаларын математикалық индукция тәсілімен дәлелдеуді И. С. Соминский кітапшасынан қараңыздар.
$ 11.КОМБИНАТОРИКА ФОРМУЛАЛАРЫН ЫҚТИМАЛДЫҚТАРДЫ ТІКЕЛЕЙ ЕСЕПТЕУГЕ ПАЙДАЛАНУ
1-МЫСАЛ.Жәшікте бірдей он шар бар.Олардың 4-уі ақ түсті, 6-уы қызыл түсті.Екі шар алынды.Екеуінің қызыл түсті болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі.Есеп шешуінің екі вариантын көрсетейік.
Бірінші вариант.Бірінші алынған шар жәшікке қайта салынбайды,демек,екі шарды А[2]10=10*9=90 тәсілмен ала аламыз.Қолайлы жағдайлар саны m=6*5=30
демек,
р(A)=6*5/10*9=30/90=1/3=0,33
Екінші вариант .Жәшіктен алынған шардың түсін көргеннен кейін,ол - жәшікке қайта салынады.Бұл жағдайда екі шарды 10[2]=100 тәсілмен ала аламыз .Мұның ішінде бізге қолайлысы екеуі де қызыл түсті шар болуы түсінікті ,оны 6[2]=36 тәсілмен ала аламыз.Сондықтан мұның ықтималдығы
р(A)=36/100=0,36.
2-мысал.Соғылатын телефонның номері 4 цифрдан (орыннан) құралған .Ол номердің :a)барлық цифрлары әр түрлі болу келу ықтималдығын,ә)барлық цифрлардың жұп болып келу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі.а)4 таңбалы номердің әр цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 цифрларының кез келгені болуы мүмкін.Олай болса ,әр түрлі төрт таңбалы номерлердің барлық саны 104 болады.Олар 0000-ден 9999-ға дейінгі номерлер саны.Бұлардың ішінде бізге қажеттісі -цифрлары әр түрлі төрт таңбалы сандар,олар 10 цифрдан 4-тен алынған орналастырудың санына тең ,яғни
А10[4]=10*9*8*7
саны.Оқиғалардың барлық тең мүмкіндікті,қос қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын нәтижелердің жалпы саны
n=10[4]
демек,оның ықтималдығы
p(A)=10*9*8*7/10[4]=5040/10[4]=0,504
ә)2,4,6,8 төрт жұп нөмірден әр түрлі 4[4] төрт таңбалы нөмір құрастыруға болады,бұл оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайлар саны m-ге тең.Олай болса, оның ықтималдығы
p(A)=4[4]/10[4]=256/10[4]=0,0256.
3-мысал.Дөңгелек үстел басында отырған 12 адамның туған жылдары қазақша бір мүшел деп аталатын 12 жыл ішінде болсын дейік.Осы 12 адамның әрқайсысының туған жылы 12 жылдың әрбір жылына келу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі.12 адамның әрқайсысынан сұрадық дейік.Сонда бірінші отырған адамның туған жылы 12 жылдың бірі болуы мүмкін ,яғни бірінші сұралған адамның туған жылы туралы 12 түрлі тең мүмкіндікті нәтижелер шығады.Екінші адамның да туған жылы сол 12 жылдың бірі.Бірінші адамның туған жылы жайлы табылған нәтижелер екінші адмның әрбір мүмкін болтын туған жылымен комбинацияланып келеді.Сонда екі адамнан сұрай келе туған жылдар туралы
12*12=12[2]
тең мүмкіндікті нәтижелер шығарып аламыз.Ал үш адамнан сұрасақ 12[2]*12=12[3] тең мүмкіндікті нәтижелер т.т табамыз.Ал 12 адамнан түгел сұрағанда барлық тең мүмкіндікті нәтижелер саны
n=12[12]
болады.
Енді осылардың ішінде туған жылдары әртүрлі болуға қолайлы жағдайлар саны m-ді есептейік.
Бірінші адамның туған жылы сол 12жылдың кез келген бірі ,ал екінші адамның туған жылы болса ,бос 11 жылдың бірі болады ,үшінші адамның туған жылы қалған 10 жылдың бірі болады т.т Ең соңғы адамның туған жылы қалған жылға келеді.Бұлар бір бірімен комбинацияланып келетіндіктен ,қолайлы жағдайлар саны мынаған тең :
m=12*11*10...2*1=12!
демек ықтималдығы
p(A)=12!/12[12]=0,000054.
4-мысал.9 этажда <<Алматы >> қонақ үйінің бірінші этажынан лифтіге 3 адам мінді.Бұлардың әрқайсысының кез келген этажда түсу мүмкіндіктері бірдей деп алып ,мына ықтималдықтарды анықтау керек:
а)Үшеуінің де 5-этажда түсу ықтималдығы неге тең?
ә)үшеуінің кез келген бір этажда түсу ықтималдығы неге тең?
б)екеуі бірге кез келген бір этажда,ал үшіншісі кез келген өзге этажда түсу ықтималдығы неге тең?
Шешуі.Адам саны 3,эхтаж саны -8 (өйткені бірінші этаж есепке алынбайды )... 2-мысалдағыдай талқыласақ,барлық тең мүмкіндікті жағдайлар саны n=8[3] болады.а)5-этаж біреу-ақ.Демек,мұның ықтималдығы
р(A)=1/8[3]=1/512
a)3 адамды лифтімен 8 этаждың әрқайсысына С[3]8 тәсілмен шығаруға болады,яғни m=C[3]8.Олай болса,
р(A)=C[3]8/8[3]=8!/3!*5!/512=7/64
б)Екі адамды 8 этаждың әрқайсысына С[3]8 тәсілмен шығаруға болады,ал бір адам С81 тәсілмен шығарылады.Бұлардың комбинациясы С8[2]*C[1]8=m.Демек ,іздеген ықтималдық мәні
р(A)=C[2]8*C[1]8/8[3]=7/16
5-мысал.Жәшікте бірдей N нәрсе бар .Олардың M нәрсесі жарамды да ,N-M=D нәрсесі жарамсыз .Жәшіктен кез келген S нәрсе іріктелінеді.Іріктеменің m-і жарамды,d-сі жарамысыз нәрсе болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі:N нәрседен S іріктемені СN[S] т2с3лмен алу5а болады.Бұл нәтижелер барлық тең мүмкіндікті оқиғалар .Қолайлы жағдайлар санын анықтайық.Жарамдыны тек жарамды нәрселерден С[m]M тәсілмен аламыз,ал жарамысызды тек жарамсыз нәрселерден С[d]D немесе С[s-m]N-M тәсілмен аламыз.Алынған S іріктемеде жарамды да ,жарамсыз да нәрселер болуы мүмкін.Олардың шығу комбинациясы СM[m]*C[s-m]N-M тең.
Демек мұның ықтималдығы
р(A)=CM[m]*C[s-m]N-M/CN[S]
6-мысал.преферанс ойынында 32 картаны он оннан үш адамға таратып ,екеуін төңкеріп қояды.Осы төңкеріп қойған карталардың:а)екеуі де тұз болу ықтималдығы неге тең?ә)біреуі тұз, біреуі дама болу ықтималдығы неге тең?
шешуі.32 картадан 2 картаны
С[2]32=32!/2!*30!=496 тәсілмен алуға болады .
Бұл n-ге тең.а)Қолайлы жағдайлар санын тек тұздардың ішінен анықтаға болады.Колододағы тұздар саны -4, бұлардан екі екіден тұздард С[2]4 тәсілмен ала аламыз,олай болса,
m=C4[2]=4!/2!2!=6
Демек,іздеген ықтималдық
р(A)=6/496=0.012
ә)1 тұзды 4 тұздан С4[1] тәсілмен ,1 даманы 4 дамадан С[1]4 тәсілмен аламыз.Бұл екеуінің комбинациясы-С4[1]*С[1]4
демек,
р(А)=С4[1]*С[1]4/С32[2]=16/496.
Жаттығулар
1.Магазинде 5 сорттан тұратын конфет және 4 сорттан тұратын печенье бер .Бір сорттан тұратын конфет пен бір сорттан тұратын печеньені неше тәсілмен сатып алуға болады ?
2.Кітапхананың сөресінде математикадан 20 кітап, физикадан 12 кітап ,биологиядан 10 кітап бар.Әр түрінен бір бір кітаптан үш кітапты неше тәсілмен алуға болады?
3.0,1,2,3,4,5,6,,7,8,9, цифрларынан , бірінші орында 2 цифры тұратын ,ал келесі орындарда 2-ден өзге кез келген цифр тұратындай етіп, 5 таңбалы телефон нөмірлерін неше тәсілмен құрастыруға болады?
4.Жатақханада 20 оқушы тұрады.Күніне екі оқушыны кезекші етіп неше тәсілмен қоюға болады?
5.Колхоз басқармасына сайланған 11 адамнан колхоз бастығы мен екі орынбасарын және хатшысын (басқарма мүшелерінің әрқайсысының сайлану мүмкіндігі бірдей деп) неше тәсілмен сайлауға болады?
6.Қазақ алфавитінен 42 әріп бар:а)екі әріптен неше түрлі сөз құрауға болады,ә) мағыналы екі сөздердің кездесу ықтималдығы неге теңт болатынын есептеңіз (мағыналы екі әріпті сөздер санын Қ.Б.Бектаевтің <<Қазақ тілінің кері алфавитті сөздігі >> Алматы ,1971,кітабынан алуға болады.)
7.е,к,м,н,т,ш,ы кеспе әріптерін әбден араластырып алып:а)қатарынан тізіп қойғанда шымкент сөзінің шығу ықтималдығын анықтаңыз ,ә)үш әріптен алып тізгенде кент сөзінің шығу ықтималдығы неге тең?
8.а,а,а,а,ғ,д,қ,н,р кеспе әріптерін әбден араластырып алып ,қатарынан тізгенде қарағанда сөзінің шығу ықтималдығын анықтаңыз?
9.Класта 20оқушы бар,оның 5-еуі шахматшы.Мектепте оұу ісін меңгеруші кез келген 4 оқушыны шақырады.Келген оқушылардың:)дәл 2нің шахматшы болуы;ә)дәл 3-уінің шахматшы болуы; б)бірде біреуінің шахматшы болмау ықтималдығын анықтаңыз.
10.Дөңгелек үстелді айнала 6 адам (N адам) отырды.Белгілі бір екі адамның қатар отыру ықтималдығын анықтаңыз.
11.Цифрлы құлыптың ортақ осьті 4 дискісі бар, әрбір диск 6 бөлікке бөлінген.Бұлардың әрқайсысы бір цифрмен номерленген. Дисклер құлып корпусына қатысты белгілі бір орында тұрғанда ғана құлыптың ашылуы мүмкін,демек, цифрлар құлып `құпиясын `көрсетнтін қандай бір комбинациялар құрайды екен? Мұндағы цифрлар комбинациясын пайдаланып,құлыпты ашу ықтималдығын анықтаңыз.
12.Магазиндерге үш ревизор келген.Олардың әрқайсысы екі магазиннен тексеруге тиіс.Магазиндер ревизорларға кездейсоқ бөлінсе, бірінші ревизорға бқлінген екі магазиннің тию ықтималдығы неге тең?
13.Футбол кубогына қатынасатын 20 команда (2N команда) он-оннан (N-нан) кез келген екі топқа бөлінеді.Мынадай ықтималдықтарды есептеңіз: а)Ең күшті ең екі команда әр топқа ойнайды;ә)Ең күшті төрт команда әр топта ойнайды;б)Ең күшті екі команда бір топта ойнайды.
14.Театр залында N+R орын бар.N адам залдағы кез келген орынға отырады.Белгіленген М (М> ( А не В, А+В, АUВ), <<және>> (А және В, АВ, АВ), емес (А емес, А) операциялары орындалғанда шыққан нәтижелерінің де оқиға болатынын көрдік.
Бұлар оқиғаның нақты бір системасы S-пен байланысты болады.
Бұл S системасы жөнінде мынадай ұйғарымдар жасаймыз:
1.Егер S системасына А және В оқиғалары енсе, оған АВ, А+В, А-В оқиғаларыда енеді.
2. S системасына ақиқат (U) және мүмкін емес (V) оқиғалары енеді.
Осы айтылған ұйғарымдарды қанағаттандыратын оқиғалардың системасын оқиғалар өрісі деп атайды.
Жалпы айтқанда, былай: А,В,С ... оқиғаларын және жоғарыда көрсетілген амалдарды шектеулі рет қолданғанда пайда болған оқиғаларды оқиғалар өрісі деп атайды.
10-мысал. Кластан шақырылған кез келген бір оқушының белгілі бір пәнен алған бағасы жақсы болуы А оқиғасы, орташа болуы В оқиғасы, нашар (екі) болуы С оқиғасы болсын.
А+В, А+В, А+С, АВ ,АС, АС+В, А, В
оқиғаларын сипаттап беру керек.
Шешуі: А+В оқиғасы А не В оқиғалар
ының кемінде біреуінің пайда болатының көрсетеді. Сондықтан А+В оқиғасы деп оқушының жақсы немесе орташа оқитының түсінеміз. А+В оқиғасы А+В оқиғасына кері (қарама-қарсы) оқиға, ол - баланың нашар оқитындығын көрсететін С оқиғасы, яғни А+В=С. Осы сияқты, А+С=В болады. АВ оқиғасы - мүмкін емес оқиға, өйткені оқушының алған бағасы бірден жақсы да, қанағаттанарлық та болуы мүмкін емес. Осы сияқты, АС да мүмкін емес оқиға. Ал АС+В=В болатының байқау оңай.
А оқиғасына кері оқиға (А) оқушының орташа (В) не нашар (С) оқуын сипаттайды, демек, А=В+С. Ал А=В+С және В+С=А болатындығынаң А=А болатыны түсінікті. Осы сияқты, В=В болатынын сипаттап беру қиын емес.
Жаттығулар
1. А+А және А*А оқиғалары нені көрсетеді? Сипаттамасын келтіріндер.
2. АВ=А, АВС=А теңдік иері қай жағдайда орындалады? Сипаттамасын келтіріңіз.
3.Жәшіктегі 5 детельдың кемінде біреуінің жарамды болуы А оқиғасы болса, олардың кемінде үшеуінің жарамсыз болуы В оқиғасы болса, онда А,В, А-В оқиғалары нені көрсетеді? Сипаттамысын келтіріңіз.
4. А+В=U, А*В = V теңдіктері В-нің қандай мәндерінде орындалатынын көрсетіңіз.
5. Екі ойын кубы лақтырылған. Ұпайлардың қосындысы тақ сан болуы А оқиғасы болсын, жай сан болуы (2-ден өзге) В оұиғасы болсын. АВ, А+В, АВ, АВ, АВ оқиғаларының сипаттамасын келтіріңіз.
6. Ерлі-зайыптылар жиынына кез келген бір жұбы алынады. Ерінің жасы 25-тен үлкен болуы А оқиғасы болсын, ері әйелінен үлкен болуы В оқиғасы болсын, әйелінің жасы 25-тен үлкен болуы С оқиғасы болсын. АВ,АВС,А-АВ,АВС оқиғаларының сипаттамасын беріңіз.
7. А және АUВ оқиғалары үйлесімді ме әлде үйлесімсіз бе?
8. а) А+В=АВ, ә) А+В=АВС, б) А+А+...+А=А,А...А болатының дәлелдеңіз.
9. А,В - кез келген оқиғалар болсын. а) А*В=А+В, б) А+В=АВ теңдіктердің дұрыстығын дәлелдеп, сипаттамасын жазыңыз.
§13. Қосу теоремасы
Ықтималдықтарды есептеу сынаудың жалпы саны мен оқиғаның пайда болуына қолайлы нәтижелер санын анықтауға келіп тіреледі. Бұларды тікелей есептеу көп жағдайда үлкен қиындыққа ұшыратады. Сондықтан да камбинаторика формулаларын пайдалануға мәжбүр болдық. Оның үстіне, практикада кездесетін оқиғалар күрделі болып келеді де, олардың ықтималдылығын табу үшін, ол оқиғаларды бірнеше қарапайым оқиғалардың қосындысы не көбейтіндісі түрінде жазып, солардың ықтималдығын анықтайды. Сондықтан да қарастырып отырған оқиға ықтималдығын екінші ықтималдылық арқылы табудың маңызы өте-мөте зор. Ол үшін негізінен ықтималдылықтарды қосу және көбейту теоремаларын пайдаланады. Енді алдымен қосу теоремасын, одан шығатын бірнеше салдарды қарастырайық.
Қосу теоремасы. Үйлесімсіз А және В оқиғаларының қосындысының ықтималдылығы олардың ықтималдылықтарының қосындысына тең, яғни
р(А+В) =р(А)+р(В) (1)
Дәлелдеу: теореманы дәлелдеу үшін (1) теңдіктегі үш ықтималдылықты есептеп, ол мәндерді (1) теңдікке қойып , оның дұрыстығына көз жеткізу жеткілікті.
Айталық, тең мүмкіндікті, үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын жағдайлар саны n болсын. Олардың ішінде А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m болсын (бұлар В үшін қолайсыз). В оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m болсын ( бұлар үшін қолайсыз). Демек, бұлардың ықтималдылықтары
А+В оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m+ m- ге тең, өйткені А және В үйлесімсіз. Сондықтан бір сынуда екеуіне де бірдей қолайлы нәтижелер болмайды. Демек,
р(А+В)
Осымен теорема дәлелденді.
1-мысал. Жәшікте бірдей 20 шар бар. Оның 7-уі қызыл түсті, 8-і көк түсті, 5-уі ақ түсті. Жәшіктен қалаған бір шар алынады. Оның түсті ( не қызыл түсті, не көк түсті) шар болу ықтималдылығын анықтау керек.
Шешуі. Тең мүмкіндікті, үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын жағдайлар саны n =20. Қызыл түсті шар шығуын В оқиғасы, түсті шар шығуын С оқиғасы десек, онда А үшін қолайлы жағдайлар m = 7, В үшін қолайлы жағдайлар m =8 болады. Сонда С оқиғасының болу ықтималдылығы
р(С) = р(А+В)=p(A)+p(A)= не 75%
2-мысал.Жәшікте бірдей 50 деталь (нәрсе) бар, оның 45-і жарамды, 5-уі жарамсыз. Контролер жәшіктен кез келген 10 детальды (іріктеме) алып тексереді. Егер осы алынған іріктеме ішінде жарамсыз деталь саны біреуден артық болмаса, онда жәшіктегі қалған детельдарды тексерместен жарамды деп қабылдайды. Бұлайша қабылдау ықтималдылығы неге тең?
Шешуі: Алынған 10 детальдың ішінде бірде-бір жарамсыз детель болмауы А оқиғасы болсын, тек бір жарамсыз деталь болуы В оқиғасы болсын. А және В оқиғалары үйлесімсіз. Олай болса,
р(А+В) =р(А)+р(В)
50 детельдан 10 детальды С тәсілмен аламыз, бұл сынаулар саны n болады, яғни . Енді р(А) мен р(В) анықтайық. А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m = өйткені алынған 10 детальдың ішінде бірде-бір жарамсыз деталь жоқ. Олай болса, бұл 10 детальды ылғи жарамды детальдардан тәсілмен аламыз. Бұдан
р(А)=немесе 31%
В оқиғасына қолайлы жағдайлар саны өйткені алынған 10 детальдың біреуі жарамсыз да, қалған тоғыз жарамды. Жарамдысын барлық жарамдыдан тәсілмен алсақ, жарамсызды ылғи жарамсыздан тәсілмен аламыз.Оның әрбір жарамсызы қалған жарамды детальдармен комбинацияланып келеді, яғни болады. Демек,
р(В)=
Ақырында,
р(А+В) =немесе 74%
Қосудың кеңейтілген теоремасы
Егер А,А,....А қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар болса, онда бұлардың қосындысының ықтималдылығы олардың әрқайсысының ықтималдылықтарының қосындысына тең болады, яғни
р (2)
Дәлелдеу: Мұны толық математикалық индукция әдісімен дәлелдейік. n =2 болғанда теореманың дұрыстығы өткен теоремада дәлелденді. Бұл теорема n= k үйлесімсіз А,А,...А оқиғалары үшін дұрыс болады дейік, яғни
р (3)
Енді n= k+1 болғанда да теореманың дұрыстығын дәлелдейміз.
Берілгені бойынша оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз, олай болса, мен оқиғалары да үйлесімсіз, сонда
р
(3) теңдікті ескерсек, теореманың n= k+1 үшін де дұрыс екендігін көреміз. Олай болса, теорема n-нің кез келген мәні үшін де дұрыс.
Егер n = 3 болса, онда бұл теорема былай жазылады:
р(А+В+С) =р(А)+р(В)+р(С), (4)
мұнда А=
3-мысал. 4.5 - мысал шартын пайдаланып, куб ұпайларының қосындысы кемінде 9-ға тең болу ықтималдылығын анықтау керек.
Шешуі: А оқиғасының пайда болуына ұпайларының қосындысы не 9 ( оқиға), не 10 ( оқиға), не 11 ( оқиға), не 12 ( оқиға) болған жағдайлар ғана қолайлы болып табылады. Сонымен, есептің шешуі қосындысы 9-дан 12-ге дейін сан болатын жағдайлар саны m-ді табуға келіп тіреледі. Өйткені барлық тең мүмкіндікті, қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын жағдайлар (элементтар оқиғалар) саны n =36 болатыны өткендегі 4-параграфтағы 5-мысалдан мәлім. 4-параграфтағы 1-таблица бойынша нөмеллерінің қосындысы 9 болатын нәтижелер (ұялар) саны =4. Бұлар - оқиға қолайлы жағдайлар, сол сияқты, қосындысы 10 болатын -ге қолайлы жағдайлар саны =3, сондай-ақ, =2, =1. Олай болса,
рне 27.8
1-салдар. Оқиғалардың толық тобын құрайтын қос-қостан үйлесімсіз сынау нәтижелері ықтималдылықтарының қосындысы бірге тең.
Дәлелдеуі: оқиғалары оқиғалардың толық тобын құрайды. Олай болса, бұлардың қосындысының ықтималдылығы бірге тең, өйткені сынау нәтижесінде бұл оқиғалардың әйтеуір біреуінің пайда болуы ақиқат. Сонымен,
р
Екінші жағынан, қосудың кеңейтілген теоремасы бойынша
1 = р (5)
Сонымен салдар дәлелденді.
2-салдар. Қарама-қарсы екі оқиға ықтималдылықтарының қосындысы бірге тең, яғни
р(А)+р(А) =1 (6)
Дәлелдеуі. Мұнын дәлелдемесі бірінші салдардан айқын көрініп тұр.Өйткені А+А оқиғасы ақиқат, сондықтан
р(А+А) =1
Екінші жағынан, А мен А оқиғалары үйлесімсіз болғандықтан,
1 = р(А+А) =р(А)+р(А)
Бұдан А оқиғасына қарама-қарсы А оқиғасының ықтималдылығы бір санынан А оқиғасының ықтималдылығын шегергенге тең, яғни
р(А)=1-р(А).
Мұны бұдан былай
р(А) =р, р(А) =q деп белгілеген қолайлы. Сонда (6) бойынша
р+ q =1 (6)
түрінде жазылады. Бұдан р =1- q не q =1- р шығады.
4-мысал. Класта 20 бала бар. Олардың 4-уі үздік оқушы. Класс жетекшісі бір жұмысқа кез-келген 3 оқушыны шақырады. Сол шақырылған оқушылардың кемінде біреуінің үздік болу ықтималдылығын анықтау керек.
Шешуі: Шақырылған оқушылардың дәл үшеуі де үздік болмауы А оқиғасы болсын, сонда оған қарама-қарсы оқиға шақырылған оқушылардың кемінде біреуінің үздік болатының көрсетеді. 3 оқушыны 20 оқушының ішінен С тәсілмен шақыруға болады, яғни n =С тәсілмен шақырамыз. Сонда
р(А) =
Ал ізделінген ықтималдылық мәні
р(А) =1-р(А)=1-
Бұл мысалды екінші тәсілмен былай шешуге болады. Кемінде бір оқушының үздік болуы (А оқиға) дегенде не біреуі (А оқиға), не екеуі (А оқиға), не үшеуі (А оқиға) үздік деп түсінеміз. Бұл А,А,А, оқиғалар үйлесімсіз, сондықтан
р(А) =Р
Теңдәктін оң жақ бөлігіндегі ықтималдылықтарды есептеу үшін оқиғаларға сәйкес қолайлы жағдайлар саны табу керек. Алдымен оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m-ді есептейік.Бұл жағдайда шақырылған үш оқушының біреуі үздік те, қалған екуі нашар оқитындар. Ал үздік оқушыны ылғи үздік оқушылар арасынан С тәсілімен шақыра аламыз, ал қалған екеуін қалған 16 оқушыдан С тәсілімен шақыра аламыз. Бірақ әрбір үздік оқушыға сәйкес сан қалған оқушылар санымен комбиницияланып келеді, сондықтан
m= C*C
Олай болса,
р(А)=С*С/С=480/1140
Қалғандарын да осылай талдасақ, былай басталады:
р(А)=С*С/С=480/1140,
р(А)=С*С/С=4/1140.
Демек, іздеген ықтималдылық мынау:
р(А)=480+96+4/1140=580/1140=29/57~0,51
Жаттығулар
1. Ақшалай-заттай лотореяның 1000 билеттен тұратын сериясына 120 ақшалай және 80 заттай ұтыстан келеді. Қолында бір лотореясы бар адамның заттай не ақшалай ұтыс ұту ықтималдылығы неге тең?
2. Кластағы 40 оқушының фамилияларының бас әріптері мынай болған: 5-уі Б-дан, 8-і К-дан, 4-уі М-нен және 6-уы С-дан басталған. Оқушылардың фамилияларының дауыссыз дыбыстан басталу ықтималдығын анықтаңыз.
3.Кластағы 40 оқушының фамилияларының 10-ы ашық дауысты дыбыстан, қалғандары дауыссыз дыбыстан басталған. Кез келген 4 оқушы шақырылады. Осы оқушылардың кемінде екеуінің фамилиясы ашық дауысты дыбыс болу ықтималдылығын анықтаңыз.
4.Колодада 36 карта бар. Одан кез келген 3 карта суырып алынды. Ол карталардың кемінде біреуінің тұз болу ықтималдылығын анықтаңыз.
5. Нысана бір центрлік дөңгелектен және оны қоршай сызылған концентрлі үш шеңберден (сақинадан) құралған. Атылған оқтың центрлік дөңгелекке тию ықтималдылығы - 0,10, оны қоршаған сақиналарға тигізу ықтималдылығы сәйкес түрде: 0,12; 0,16; 0,20 сандарына тең. Атқыш бір рет оқ атқанда тимеу ықтималдылығын анықтаңыз.
6. Класта 25 оқушы бар. Олардың 15-і қыз балалар да, 10-ы ер балалар. Ата-аналар комитеті осы класқа театрдың 3 билетін бөлді. Театрға кемінде екі қыз баланың бару ықтималдылығы кемінде екі ер баланың бару ықтималдылығынан артық не кем болатынын анықтаңыз.
7. Кластағы оқушылар аттарының соңғы әріптерін жеке-жеке карточкаларға түсіргенде, 10-ы жіңішке дауыстыларға, 5- і ауыз жолды үнді дыбыстарға аяқталған болып шықты. Бұл карточкаларды әбден араластырып, ішінен үшеуін алғанда, кемінде екеуінің біркелкі дыбыстар: а) мұрын жолды үнді, ә) ауыз жолды үнді, б) жіңішке дауысты болу ықтималдылығын анықтаңыз.
§14. Тәуелсіз және тәуелді оқиғалар. Шартты ықтималдық.
Ықтималдылықтар теориясында оқиғаларды майда оқиғаларға жіктеп қана қоймай, оқиғалардың тәуелді және тәуелсіздігінің де жігін айырып қарастырады.
Егер екі оқиғаның бірінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдылығын өзгертпесе, ондай екі оқиғаны тәуелсіз деп атайды.
1-мысал. А,А,М,М,М әріптері жеке-жеке берілген шардың бетіне жазылып, жәшікке салынған. Жәшіктен кез келген бір шарды алып, әріп таңбасын белгілеп алғаннан кейін, ол шарды жәшікке қайтадан салады. Одан соң екіншісін алып, сынауларды жүргізе береміз.
Жәшіктен бірінші алынған шардан М әрпі болуы В оқиғасы болсын (онда В оқиғасы жәшіктен М емес әріптің, яғни А әрпінің шығуы болады), екінші рет алынған шардағы әріптің А болуы А оқиғасы болсын (онда А оқиғасы А емес әріптің, яғни М әрпінің шығуы болады). Бірінші алынған әріп таңбасы белгіленгенен кейін, ол әріп жәшікке қайта салынған себепті, әріп екінші рет алынғанда да жәшіктегі әріптер (шарлар) саны бастапқыдай болады. Сондықтан А оқиғасының ықтималдығы оған дейін жәшіктен М әрпі (В оқиғасы) әлде А әріпі алынса да (В оқиғасы) өзгермейді және ол 2/5 - ге тең. Бұдан В оқиғасының пайда болуының А оқиғасының ықтималдығына әсері болмайтынын байқаймыз. Демек, А және В оқиғалары бір-біріне тәуелсіз.
Егер екі оқиғаның біреуінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдығы өзгеретін болса, ондай екі оқиғаны тәуелді оқиғалар деп атайды.
2-мысал. Тәжірибе шарты 1-мысалдағыдай, бірақ бірінші алынған әріп жәшікке қайта салынбайды. Бұл жағдайда екінші ретте А әрпінің (А оқиғасы) пайда болу ықтималдығы оның алдында М әрпінің (В оқиғасы) не А әрпінің (В оқиғасы) шығуына байланысты. Егер бірінші сынауда М әрпі шықса, онда екінші сынауда А әрпінің шығу ықтималдығы 2/4 болады. Егер бірінші сынауда В оқиғасы пайда болса (А әрпі шықса), онда екінші ретте де А әрпінің шығу (А оқиға) ықтималдығы 1/4 - ге тең. Осы сияқты, істі бірінші сынауда М әрпі (В оқиғасы) не А әрпі (В оқиғасы) шықты десек, онда екінші сынауда М әрпінің (А оқиғасы) пайда болу ықтималдығы сәйкес 2/4 және (3/4) сандарына тең. Екінші сөзбен айтқанда, А және В оқиғалары - тәуелді оқиғалар, өйткені В оқиғасының пайда болуы келесі сынауда А оқиғасының пайда болу ықтималдығын өзгертіп отыр.
Егер А оқиғасының ықтималдығын есептегенде оның пайда болуына комплекс шарттан өзге ешқандай шек қойылмаса, яғни тәуелсіз оқиғалар қарастырылатын болса, онда р(А) ықтималдығын шартсыз ықтималдық деп атайды.Алайда А оқиғасының ықтималдығын есептегенде комплекс шарттан басқа да қосымша шек қойылуы мүмкін, ол шек: А оқиғасының пайда болуы В оқиғасының пайда болуына байланысты, яғни А оқиғасының пайда болу ықтималдығы В оқиғасының пайда болуына не пайда болмауына байланысты өзгеріп отырады. Мұндай ықтималдықты шартты ықтималдық деп атайды.
Шартты ықтималдықты былай белгілейді:
(A)-B оқиғасы орындалғанда А оқиғасының пайда болу ықтималдығы. оқиғалары орындалғанда А оқиғасының пайда болу ықтималдығы.
Жоғарыдағыларда айтылғандарға сүйене отырып, А және В оқиғаларының тәуелсіздігін
(А)= p(A) (1)
түрінде жазуға болады.
1-мысалдан
p(A)=(А)=.2/5
p(A)=(А)=2/5
p()=()=3/5
p(=()=3/5
Егер А және В оқиғалары бір біріне тәуелді болса, онда
(А)!= p(A).
2-мысалдын
(А)=2/4=1/ 2=p(A).=2/5
Сондай-ақ
(А)=1/4!= p(A) =2/5
()=!= р() =,
()=.
Шартты ықтималдықтардың қасиеттерін анықтайық:
* Шартты ықтималдық мәні де, шартсыз ықтималдық мәні сияқты, ноль мен бір аралығында болады, яғни 0<=(А)<=1.
* (U)=1.
* (V)=0.
* ⊂ болса, онда .
* Егер = болса, онда .
* Егер ,,..., оқиғалары қос қостан үйлесімсіз болса, яғни және ...+ болса, онда (А)=....
* A мен қарама-қарсы оқиғалар болса, онда
()=1- (А).
Бұлардың дәлелдеуі 13-параграфта көрсетілгенге ұқсас. Сондықтан оны дәлелдеуді оқырмандарың өздеріне тапсырамыз.
3-мысал. Екі ойын кубы лақтырылған (§4.5-мысалды қара). Егер ұпайлардың қосындысы тақ сан екені белгілі болса, келесі сынауда ұпайлардың қосындысы 7 болу ықтималдығы неге тең болмақ?[1]
Шешуі. Екі ойын клубын лақтырғанда үстіне қарай түсетін ұпай сандарының қалай комбинацияланатыны туралы 1-табицадан қараңыз. Ұпайлардың қосындысы 7 болатын А оқиғасы десек, ұпайлардың қосындысы тақ сан болатынын В оқиғасы дейік. Есеп шарты бойынша В оқиғасы орындалған, яғни тақ санды ұпайлардың бірі пайда болған. Бұлардың саны 18-ге тең болатын таблицадан байқау қиын емес, ал бұл сан тәжірибе шартындағы талапқа сай барлық тең мүмкіндікті жағдайлар санына тең. Бұлардың ішінде А оқиғасына қолайлы жағдайлар санына тең. Бұлардың ішінде А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны 6-ға тең. Сондықтан
(А)=
_________________
[1]Осы уақытқа дейін оқиға ықтималдығын есептегенде ол оқиға туралы ешқандай қосымша мәліметтерді пайдаланғанымыз жоқ. Алайда теориялық және практикалық мақсатты көздеген ықтималдықтарды табуда оқиға туралы қосымша мәліметтерді пайдаланудың маңызы зор. Бұл мәселе өткен мысалдардан ай аңғарылса, кейінгі мысалдардан анығырақ байқалады. Өйткені екі кубты лақтырғанда ұпайлардың қосындысы тақ сан болуы туралы айтылған, ал мұның орнына басқа шарт қойылса, мысалы, ұпайларының қосындысы жұп сан бодсын десе, екінші ықтималдық шығады, ал ешқандай шеек қойылмаса, үшінші ықтималдық т.т.шығады.
Ал, шартсыз ықтималдық мәні
р(А)=
4-мысалы. Кластағы 25 оқушының 5-уі үздік оқиды, 15-і спортшы. Үздік оқушылардың бәрі де спортшылар. Мектепке оқу ісін меңгеруші бір жолы спортшылардың ішінен кез келген біреуін шақырады. Келген оқушының үздік болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Оқушылардың үздік болуы А оқиғасы, спортшы болуы В оқиғасы болсын. В оқиғасының барлық тең мүмкіндік жағдайлар саны-15, мұның ішінде А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны-5. Өйткені үздік оқушы тек спортшылардың арасынан шақырылады. Олай болса, іздеген шартты ықтималдық мынаған тең:
рВ (А)=
Бұл келтірілген мысалдардан А және В оқиғаларының бірден пайда болатынын байқаймыз, мәселен үшінші мысалда 7 саны әрі тақ (АВ оқиғасы), төртінші мысалда үздік оқушы әрі спортшы (АВ оқиғасы) болып отыр. Содан бірден пайда болған АВ оқиғасына қолайлы жағдайлар саны үшінші мысалда 7-ге, төртінші мысалда 5-ке тең, осыларға сәйкес шартсыз ықтималдық р(АВ) сәйкес сандарына тең. Ал В оқиғасының шартсыз ықтималдығы үшінші мысалда -ке тең.
Сонымен, бұл мысалдардан жалпы қортынды жасасақ, онда
р(А)=
Бұдан
р(АВ)=p(B) pB (A)
шығады. Енді көбейту теоремасын келтіріп, дәлелдемесін берейік.
§15. Ықтималдықтарды көбейту теоремасы
Бұл теорема тәуелді немесе тәуелсіз бірнеше оқиғалардың бірден пайда болу ықтималдығын есептеуге мүмкіндік береді.
Теорема. Екі тәуелді оқиға көбейтіндісінің ықтималдығы біреуінің шартсыз ықтималдығын сол оқиға пайда болды деп алынғандағы екінші оқиғаның шартты ықтималдығын көбейткенге тең:
р(АВ)=р(А)рА(В) (1)
немесе
р(АВ)=р(B)рB(A) (1')
Дәлелдеу. Тең мүмкіндікті, үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын n жағдайлардың А оқиғасына қолайлысы m болсын.Онда оның ықтималығы мынаған тең:
р(А)= (2)
Сондай-ақ В оқиғасына қолайлы жағдайлар саны k болсын, онда оның ықтималдығы мынаған тең:
р(B)= (3)
AB (А және В) оқиғасына қолайлы жағдайлар саны r болсын, онда мұның ықтималдығы мынау:
р(АВ)= (4)
Әрине
r <= m, r <= k.
Шартты ықтималдық мәні
Рв(А)= (5)
Өйткені В оқиғасына қолайлы k жағдайлардың ( бұл жерде оқиғалар тең мүмкіндікті, үйлесімсіз оқиғалар деп түсінеміз) тек r жағдайы ғана А оқиғасына тиісті. Осы сияқты,
РА(В)= (6)
орындалатынын көрсетуге болады. Енді (4) бөлшектің алымын да, бөлімін де m санына көбейтеміз, сонда
Р(АВ)=
ал, егер оның алымын да, бөлімінде k санына көбейтсек, мынау шығады:
Р(АВ)=
Теорема дәлелденді деп есептейміз. (1) және (1') тендіктерінің сол жақ бөліктері боліктері тең болғандықтан, оның оң жақ бөліктері өзара тең болады:
(7)
Теорема оқиғалар саны екіден артық болғанда да орындалады.
1-салдар. А,В,С тәуелді оқиғалар көбейтіндісінің ықтималдығы бірінің шартсыз ықтимадығына, алдыңғы екі оқиа орындалғандағы үшінші шартты ықтималдықты көбейткенге тең, яғни
Мұны басқаша түрде былай жазуға болады:
Жоғардағы үш оқиғаның орнына n тәуелді А1,A2,...,An оқиғаларын алғанда
p(А1,A2,...,An)= p (A1)p(A2)...
теңдігі орындалады.
1-мысал Жәшіктегі біркелкі М қызыл, N-M ақ шардан кез келген екі шар алынады. Оның екеуі де қызыл болу ықтималдығын анықтау керек (11.1-мысалмен салыстыр).
Шешуі. Шарды бір брлеп алайық, алынған шар жәшікке қайта салынбайды.Бірінші алынған шардың қызыл түсті болуы В оқиғасы,екінші алынған шардың қызыл түсті болуы А оқиғасы болсын. Сонда
р(В)=
Бірінші жолы қызыл түсті шар шыққан (В оқиғасы) соң,екінші алғанда қызыл түсті шар шығу(А оқиғасы) ықтималдығы мынаған тең:
pB(A)=
өйткені шар саны қызыл түсті шардың алынуына байланысты1- ге кеміген. Олай болса, бірінші және екінші алынған шардың қызыл түсті болу ықтималдығы (АВ оқиғасы) мынадай:
р(АВ)=p(B)pB(A)=
Бұл нәтижені (ықтималдықтарды ) тікелей есептей аламыз. Шынында да, екішарды тең мүмкіндікті тәсілмен аламыз. Ал екі қызыл түсті шарды ылғи қызыл ылғи қызыл шардың ішінен тәсілмен аламыз, сонда іздеген ықтималдығымыз мынадай
p(A)=
М
О
С
К
В
А
2-мысал.
К
В
А
С
Сөзін кұрастыратын кеспе әріптер әбден араластырылып, 4 кеспе әріпті қатарынан қойғанда сөзінің шығу ықтималдығын анықтау
керек (6.2-мысалмен салыстыр).
К
Шешуі. Бірінші алған кеспе әріп болуы А1
В
Оқиғасы болсын, екіншісі болуы- A2, үшіншісі-
A
С
Болуы А3 оқиғасы, төртіншісі болуы А4 оқиғасы болсын десек,
К
В
А
С
онда сөзінің пайда болуы А оқиғасы болады.кобейту
теоремасы бойынша
к
в
а
с
р(А)= p( ) =
Енді тәуелсіз оқиғалар көбейтіндісінің ықтималдығын анықтау мәселесін қарастырайық.
Теорема Екі тәуелсіз оқиғалар көбейтіндісінің ықтималдығы олардың шартсыз ықтималдықтарының көбйтіндісіне тең, яғни
р(АВ) =p(A)p(B) (10)
болады.
Дәлелдеу. А және В тәелсіз болғанда рВ(А)=p(A) және pA(B)=p(B). Бұл рА(В) мәнін (1) формулаға қойсақ
р(АВ) =p(A)p(B)
шығады.
Бұл теореманы бірнеше оқиғалар үшін жалпылауға болады. Ол үшін алдымен бірнеше оқиғалардың тәуелсіздігінің анықтамасын берейік.
Егер А1,A2,...,An оқиғаларының кез келген ықтималдығы қалған оқиғалардың қалаған көбейтіндісінің пайда болуына байланысты болмаса, ондай оқиғаларды жиынтығы бойынша тәуелсіз деп атайды. Бұл анықтамадан
Қатынасы шығады бірнеше тәуелсіз оқиғалар үшін көбейту теоремасы төмендегідей:
Теорема. Егер А1,A2,...,An оқиғалары жиынтығы бойынша тәуелсіз болса, онда олардың көбейтіндісінің ықтималдығы ықтималдықтардың көбейтіндісіне тең, яғни
p(А1,A2,...,An)=p (А1)(A2)...(An). (12)
Мұның дәлелдемесі (9) және (11) теңдіктерден шығады.
Ескету. А1,A2,...,An оқиғалары қос- қостан тәуелсәз болғанымен, жиынтығы бойынша тәуелсіз болмауы мүмкін. Мұны байқау үшін С.Н.Бернштрейн мысалын келтірейік.
Жәшіте 110,101,011,және 000 деп нөмірленген төрт билет бар дейік. Жәшіктегі билеттің кез келген біреуін алғанда, оның бірінші цифры 1 болуы А1 оқиғасы, екінші цифры 1 болуы А2 оқиғасы, үшінші цифры 1 болуы А3 оқиғасы болсын. Сонда
p (А1)=p(A2)=p(A3)=
Енді оқиғалардың қос- қостан болатынын көрсетеміз. Ол үшін, алдымен, А2 оқиғасының ықтималдығы А1 оқиғасының пайда болу- болмауына байланысты болмайтынын көрсетейік. Шынында, А1 оқиғасы пайда болса, мұнымыз-101 не 101нөмірілі билеттердің бірі шықты деген сөз. Бұлардың біріншісіне А2 оқиғасы оқиғасы сәйкес келсе, екіншісіне А3 оқиғасы сәйкес келеді. Сонымен, бұл жағдайда р(А2)=. Ал А1 оқиғасы пайда болмаса, онда 011және 000 билеттің бірі шыққаны. Бұл жағдайда да р(А2)= тең. Сонымен, А2 оқиғасының ықтималдығы А1 оқиғасының пайда болу болмауына тәуелді болып отырған жоқ. Дәл осылайша, А3 оқиғасының А2-ге, А3 оқиғасының А1-ге тәуелсіз екенін тексеру қиын емес. Сайыа келгенде, p (А1),(A2),(A3) оқиғалары қос қостан тәуелсіз және
р(А1A2)=p(A1A3)=p(A2A3)=
екенін байқау қиын емес.Алайда
p (А1A2A3)
өйткені барлық үш орында да 1цифры тұратын нөмірлі билет жәшікте жоқ, сондықтан
p (А1A2A3)
Сонымен, оқиғалардың қос - қостан тәуелсіздігін жиынтығына таратуға болмайтынын көрдік.
Бұл аталған теоремалардың мынадай салдарлар шығады.
2-салдар.Егер А оқиғасы В-ге тәуелсіз болса, онда В оқиғасы А-ға тәуелсіз болады.
Шынында А-ның В-ге тәуелсіздік анықтамасы бойынша рА(B)=p(A). Мұны (1) теңдіктегі рА(В) орнына қойып, екі жақ бөлігін де р(А)-ға қысқартсақ р(В)=pA(B) шығады. Демек, бұдан В-ның A-ға тәуелсіздігі шығады. Олай болса, А және В оқиғалары өз ара тәуелсіз.
3-салдар.А мен В тәуелсіз болса, онда (,В),(А,),() қос оқиғалар да біріне-бірі тәуелсіз болады. Мұны (А,) қос оқиғалар үшін дәлелдейік.
Шынында, ұйғару бойынша рА(В)=p(B), мұның үс- тіне,рА(В)+pA()=1. Бұдан рА()=1-pA()=1-p(B)=p().
Салдар сонымен дәлелденді. Қалғандарының тәуелсіздігі де осылайша дәлелденеді.
3-мысал. Нысанаға дәл тию ықтималдығы 0.3-ке тең. 2% жарылғыш жарылмай қалса, оқтың нысанадағыны жою ықтималдығы неге тең?
Шешуі. Нысанаға дәл тиюі А оқиғасы, жарылғыштың от алуы В оқиғасы болсын. Сонда нысанаға тиюі мен жарылғыштың от алуы АВ оқиғасы болады. Бұларды тәуелсіз деп ұйғарамыз. Демек, іздеген ықтималдық мынадай
р(АВ)=p(A)p(B)=0.3(1-0.02)=0.294.
4-мысал. Үш оқушы біреуі монетті, екіншісі кубты лақтырды, ал үшіншісі колодадағы 36 картаның кез келген біреуін суырды. Осы жүргізген тәжірибелер нәтижесінде монеттің герб жағымен түсу (А оқиғасы), кубтың 4 ұпаймен түсу (В оқиғасы ), және суырған картаның тұз болып шығу (С оқиғасы ) ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Өткен мысалдарды еске түсірсек,
р(А)=1/2
р(B)=1/6
р(C)=1/9
Сонда іздеген ықтималдығымыз
р(АВС)=p(A)*p(B)*p(C)= 1/2*1/6*1/9=1/108=0,092%
§16.Оқиғаның кемінде бір рет пайда
болуының ықтималдығын есептеу
Теорема.Бірнеше үйлесімді А1,A2,...,An оқиғаларының кемінде біреуінің пайда болу ықтималдығы барлық қарама- қарсы оқиғаладың бірден пайда болу ықтималдығын бір санынан шегергенге тең:
р(А1 +A2+...+An)= 1- p(). (1)
Дәлелдеу. А1,A2,...,An оқиғаларын кемінде біреуінің пайда болуын В-мен белгілейік. Оқиғалар үйлесімді болғандықтан, олардың В оқиғасына тиісті. А1,A2,...,An оқиғалардың бірде біреуі пайда болмайтын В-ге қарама қарсы оқиға ықтималдығы мынаған тең
р()= p(). (2)
(13.6) формуланы еске түсірсек, сонда
р(В)=1- p(), (3)
немесе
р(А1 +A2+...+An)= 1- p(). (4)
болады.
1-салдар. А1,A2,...,An оқиғалар жиынтығы бойынша тәуелсіз болса, онда
р(А1 +A2+...+An)= 1- p(). (5)
2-салдар. Егер р(А1) = p(A2) = ... = p(An) = p болса ,
онда
р(А1 +A2+...+An)= 1- p(1-p)n. (6)
1-мысал. Соғыс кемелері жүзетін жолға үш қатар мина қамалы жасалынған. Кеме осы мина қамалдарының ең тиімді жоларын тауып өтуі керек. Бірінші қатардан өткенде кеменің минаға тиіп жарылу(А) ықтималдығы - 0.60, екінші қатарда жарылу (В) ытималдығы- 0.70, үшіншіде жарылу (С) ықтималдығы - 0.50. кеме осы мина қамалдарын өткенде кемінде бір қатарда минаға тиіп жарылу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Есеп шарты бойынша кеменің бірінші,екінші, үшінші қатарларда жарылмау ықтималдығы сәйкес түрде
сандарына тең. Сонда кеменің үш қатар мина қамалынан аман өту ықтималдығы 0,4∙0,3∙0,5 көбейтіндісіне тең. Кемінде бір қатарда жарылу ықтималдығын P десек, ол мынадай болады:
94
2-мысал. Бір нысананы көздеп үш рет оқ атылды. Бірінші рет атылған оқтың нысанаға дәл тию ықтималдығы - 0,2, екінші ретте дәл тию ықтималдығы - 0,3, үшінші - 0,4. Осы атылған үш оқтың кемінде біреуінің тию ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Бұл есепті екі тәсілмен шешуге болады. Бірінші атылған оқтың нысанаға тиюі А оқиғасы (тимеуі А оқиғасы), сәйкес екінші және үшінші реттегі нысанаға дәл тиюі А және А (тимеуі А және А) болсын. Оқ үш рет атылғанда үшеуі де тиюі не екеуі тиіп, біреуі тимеуі немесе біреуі тиіп, екеуі тимеуі мүмкін, яғни бұлар,AAA , ААА, ААА, ААА, ААА, ААА түрінде жазылады. Оқиғалардың кемінде бір рет пайда болуын B деп белгілесек, онда
Көбейту және қосу теоремаларының және А, А, А тің жиынтығы бойынша тәуелсіздігін ескерсек, онда В оқиғасының ықтималдығы мынаған тең болады:
+
Сонымен, іздеген ықтималдық 0,664-ке тең. Бірақ бұл жол аса көп есептеуді керек ететінін көрдік. Ал екіншісі, бұған қарағанда, қысқа. Енді сол екінші жолды келтірейік.
В оқиғасына қарама-қарсы оқиға, атылған оқтың үшеуі де нысанаға тимеуі В=ААА тең. В және В оқиғалары үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын болғандықтан, бұдан шығады.
Ал, болады. Олай болса, іздеген ықтималдығымыз
Бұдан екінші тәсілмен жоғарыдағыдай есептерді шешудің тиімді болатынын байқаймыз.
3-мысал. Нысанаға атылған үш оқтың әрқайсысының тию ықтималдығы бірдей, 0,3-ке тең. Сол атылған оқтардың кемінде біреуінің нысанаға тию (В оқиғасы) ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. 2-мысалдың бұл дербес түрі. Өйткені демек,
Олай болса,
Жаттығулар
1. Пачкадағы 100 лотерея билетінің 20-сы ұтыс билеті. Жеке-жеке сатып алынған екі билеттің екеуі де ұтыс билеті болу ықтималдығын анықтаңыз.
2. Оқушы программа бойынша құрастырылған 30 сұраудың 25-ін біледі. Мұғалімнің берген үш сұрауына да оқушының дұрыс жауап беру ықтималдығын анықтаңыз.
3. Жәшікте 6 қызыл түсті, 4 ақ түсті шар бар. Жәшіктен кез келген үш шар алынды. Үшеуінің де қызыл түсті болу ықтималдығын анықтаңыз.
4. 42 қазақ әріптерінен кез келген 7әріпті алып, қатарынан тіркестіре қойғанда <<Шымкент>> сөзінің шығу ықтималдығы неге тең?
5. Колодадағы 36 картадан бірден төрт карта алынды. Бұл карталардың әр түсті болу ықтималдығын анықтаңыз.
6. Бір кластағы 24 оқушының 4-уі үздік оқиды, екінші кластағы 22 оқушының 5-уі үздік оқиды. Әр кластан кез келген бір -бір оқушы шақырылды. a) Бұлардың екеуі де үздік оқушы, ә) біреуі үздік оқушы болу ықтималдығын анықтаңыз.
7. Біреуді туған күнімен құттықтауға N жолдастары келеді. Келген қонақтардың аяқ киімдерінің өлшемі бірдей және бәрінің де галоштары бар. Олардың әрқайсысы өзінің оң аяғының галошын сол аяғының галошынан ажырата алады, бірақ бірінің галошын екіншісі ажырата алмайды. Мына ықтималдықтарды анықтаңыз:
a) әр қонақ өз галошын киеді;
ә) әр қонақ бір кісіге тиісті пар галошты (ол пар галош өзінікі болмауы да мүмкін) киеді.
8. Еркін мамасымен магазинге бірге барғанды жақсы көреді, өйткені бірге жүргенде мамасы ойыншық алып беруі мүмкін. Бүгін мамасы оны өзімен бірге магазинге ерту ықтималдығы 0,3. Егер мамасы Еркінді өзімен ертіп шықса, онда оған ойыншық алып беру ықтималдығы 0,7. Мамасы Еркінді бүгін магазинге ертіп барып, ойыншық әперу ықтималдығын анықтаңыз.
9. Күні бойы үзіліссіз жұмыс істейтін станок 3 бөлшектен тұрады. Бұлардың әрқайсысы бір- біріне байланыссыз-ақ істен шығып қалуы мүмкін. Біреуі- ақ істен шықса, станок жұмыс істемейді. Бірінші станоктың күні бойы үзіліссіз жұмыс істеу ықтималдығы - 0,90, екіншісінікі - 0,95, үшіншісінікі - 0,97. Күні бойы станоктың үзіліссіз жұмыс істеу ықтималдығын анықтаңыз.
10. Үш мерген нысананы дәл көздеп бір-біріне байланыссыз, оқ атады. Біріншінің нысанаға дәл тигізу ықтималдығы - 0,7, екіншісінікі - 0,75, үшіншісінікі - 0,80. Егер әр мерген бір реттен ғана оқ атса, онда нысанаға кемінде біреуінің тигізу ықтималдығы неге тең?
11. Аяқ киім фабрикасында бәтеңкенің ұлтанын, өкшесін және үстін жеке цехтарда дайындайды. Шығарылған ұлтандардың 5%-ті, өкшенің 1%-ті, үстінің 5%-ті жарамсыз болуы мүмкін. Бәтеңке тігетін цехта бұл үшеуі кездейсоқ алынып, біріктіріледі, сөйтіп, олардан бәтеңке дайындалады. Дайындалған пар бәтеңкелердің неше процентінде жарамсыз бөлшектер кездеседі?
12. Белгілі бір жағдайда 60 жастағы адамның 61жасында дүние салу ықтималдығы - 0,09. 60 жастағы үш адамның: а) бір жылдан соң үшеуі де тірі жүру ықтималдығы неге тең? ә) кемінде біреуінің тірі жүру ықтималдығы неге тең?
§17. Ықтималдықтарды қосудың жалпы теоремасы
Өткен 13-параграфта екі (не бірнеше) оқиғалар үйлесімсіз болғандағы қосу теоремасын, яғни оның
(1)
болатынын дәлелдедік. Ал бұл оқиғалар үйлесімді болса, онда теорема орындалмайды. Сондықтан кез келген оқиғалар үшін де орындалатын төмендегі жалпы теореманы дәлелдейік.
Теорема. Екі оқиғаның кемінде біреуінің пайда болу ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысынан оқиғалардың бірден пайда болу ықтималдығын шегергенге тең болады
Дәлелдеу. Бұрынғыша, барлық тең мүмкіндікті жағдайлар санын n дейік. Бұлардың ішінде А оқиғасына қолайлысы m1 , B үшін қолайлысы m2, AB үшін қолайлысы m3, A+B үшін қолайлысы m4 болсын. Сонда (1) өрнегін құрайтын қосылғыштар мына түрде жазылады:
,
, . (2)
Бұл белгілеулерден m1+m2 қосындысынан А және В оқиғаларына бірдей қолайлы жағдайлар саны m3-ті шегерсек, А+В оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m4 шығатынын байқаймыз. Сонымен ол m4= m1+ m2 - m3 болып шығады. Бұл теңдіктің екі жағын да n-ге бөліп, (2)теңдіктерді ескерсек, (1) өрнегі шығады. Сөйтіп, теорема дәлелденді. А және В үйлесімсіз болса,
болады.
Бұл жерде айтылып отырған А және В оқиғалары тәуелді не тәуелсіз оқиғалар болуы мүмкін. Егер А мен В тәуелді оқиғалар болса, онда (15.1) теңдікті ескеріп, (1) өрнегін
A (B) (3)
не
B (A) (4)
түрінде жазуға болады.
1-мысал. Колодада 36 карта бар. Кездейсоқ алынған бір картаның көзір немесе тұз болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Шыққан картаның көзір болуы А оқиғасы, тұз болуы В оқиғасы болсын. Сонда көзір тұздың шығуы А∙В оқиғасы болады, мұның ықтималдығы
A (B) ∙.
А және В оқиғалары үйлесімді, өйткені көзір карта тұз болуы да мүмкін. Олай болса,
не өйткені
§18. Ықтималдықтардың толық (орта) формуласы
Күрделі оқиғалар ықтималдығын есептегенде ықтималдықтардың қосу және көбейту теоремаларын қатарынан жиі қолдануға тура келеді. Мұндай оқиғалардың ықтималдығын есептеу үшін формуланы қорытудан бұрын мынадай мәселеге тоқтап өтейік.
Айталық H1, H2, ..., Hn оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын болсын. Ал В оқиғасы осы оқиғалардың тек біреуімен ғана бірігіп орындалады дейік. Оның үстіне, 1), 2), ..., n) және (B), (B) ықтималдықтары белгілі болсын. Осы берілгендер бойынша B оқиғасының ықтималдығын анықтауға бола ма және ол неге тең деген сұрау туады. Мұның жауабын ықтималдықтың толық формуласы береді.
Шынында,
B=B(H1+H2+...+ Hn)= BH1+BH2+...BHn. (1)
H1,H2,...,Hn қос-қостан үйлесімсіз болғандықтан,В H1,ВH2,...,ВHn оқиғалары да қос-қостан үйлесімсіз. Олай болса,бұл оқиғаларға қосу теоремасын қолдануға болады. Сонда
P(B)=P(BH1)+P(BH2)+...P(BHn)
шығады.
Көбейту теоремасы бойынша
,...n) болады.(1)
Демек,(B)+...+
Немесе
(2)
Жоғарыдағы берілгендері бойынша В-нің ықтималдығын осы(2) формуламен анықтайды. Бұл формуланы ықтималдықтардың толық (орта) формуласы деп атайды. Әдетте,H1,H2,...,Hn оқиғаларын гипотезалар (болжамдар) деп атайды.
1-мысал. Төрт V кластың әрқайсысында 25 қыз бала, 15 ер бала оқиды, үш VI кластың әрқайсысында 22қыз бала,18ер бала оқиды, үш VII кластың әрқайсысында 20 қыз бала,20 ер бала, оқиды. Мектеп директоры бір жұмыспен осылардың ішінен кез келген бір оқушыны шақырады. Шақырылған оқушының қыз бала болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Шақырылған оқушы Vқиғасы),VI( оқиғасы),VII( оқиғасы) кластардың бірінен болуы мүмкін, сондықтан бұл оқушының қыз бала болуыВ= H1B,H2В,...,H3 В түрінде өрнектеледі. Толық ықтималдықтың формуласы бойынша
P(B)=P(H1)Ph1(B)+P(H2)Ph2(B)+P(H3)Ph3(B)
болады.
Есептің шарты бойынша
P (H1) = ,
Өйткені оқушыны шақыру үшін алдымен он класс ішінен кездейсоқ бір класс, мысалы V кластың бірі,аталады,(H1оқиғасы орындалды, мұның ықтималдығы ).Енді сол кластан кездейсоқ шақырылған оқушының қыз бала болуы(B оқиғасы) ықтималдығы ке тең. Осы сияқты, P(H2)= , P (H3) =,
Ph2 (B) = , Ph3 (B) = ,
Болатынын байқау қиын емес. Сонда іздеген ықтималдық мынау:
P(B)=+ + = =0.065 не 56,5%
ʂ19. БАЙЕС ФОРМУЛАСЫ
Осы уақытқа дейін қарастырып келген ықтималдықтар интуитивті түрде теориялық болжамдарға сүйеніп,тәжірибе жүргізілмей-ақ ,комплекс шарт жөніндегі білім( түсінік) негізінде анықталып келді. Тәжірибеге дейінгі,,..., гипотезалар (оқиғалар) ықтималдығы сәйкес түрде ), ), ...) ,болатын-ды.
Тәжірибе жүргізілді делік , соның нәтижесінде В оқиғасының пайда болғаны анықталады, енді осы В оқиғасының пайда болуына байланысты гипотезалардың ықтималдығын қайта қарауға тура келеді. Яғни (), ),...,)ықтималдықтар мәнін анықтауға тіреледі. Бұл ықтималдықтарды анықтау үшін,көбейту теоремасы мен ықтималдықтардың толық формуласын пайдаланамыз. Тәуелді оқиғалар үшін көы бойынша В оқиғасы мен гипотезаларының бірге пайда болу ықтималдығы (формуланы қара) мынаған тең:
==. (1)
Бұдан
(Hi)= (2)
шығады. Бұл формулаға толық ықтималдық формуласынан мәнін қойсақ, онда
(3)
шығады. Осы (3) формуланы Байес формуласы деп айтады.
1-мысал. Өткен параграфтағы 1-мысалға қайта оралайық. Енді мәселені басқаша қояйық: мектеп директорының кез келген бір кластан шақырған оқушының қыз бала болуы анықталды дейік.Енді сол шақырылған қыз баланың V(VI,VII) класс оқушысы болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Есептің шарты бойынша
p p p
,
Байес формуласы бойынша
шығады. Қалғандарын да осылай анықтауға болады,сонда қыз баланың VI кластан шақырылу ықтималдығы
VII кластан шақыру ықтималдығы
ықтималдықтары тәжірибе жүргізілгеннен кейінгі (яғни апостериорлық) ықтималдықтар болып отыр.Сондықтан да көп жағдайда Байес формуласы апостериорлық ықтималдықтарды анықтау формуласы деп аталады.Бұл формула ғылым және техника салаларында,мысалы,артиллерияда,лингвистикада т. т. қолданып жүр.
2-мысал. Үш ауданның мектептерін биылғы оқу жылында 2000 оқушы бітірді.Олардың 40 ауданында,35 ауданында,қалған 25бітірді.Мектепті бітірген оқушылардың математикалық қабілеті бірдей емес.Кейбіреулері математикадан нашар болғанымен,басқа пәндерден жақсы. Оқушылардың осындай профессионалдық қабілетін ескеріп математикадан нашар болғанымен, қосымша консультациялар өткізіліп, кейбіреулерінің бағасы үштік балға дейін көтерілді.Мұндайлар ауданында осы ауданда бітірген оқушылардың 2 ауданында 1,5 1- ін құрайды.Осы бітірген 2000 оқушының кез келген біреуін шақырып сұрағанымызда: а) мұның математикадан білімі нашар оқушы болу ықтималдығы неге тең?
Шешуі. Шақырылған оқушының математикадан нашар оқушы болу В оқиғасы болсын,оның ауданынан болуы оқиғасы,-ден болуы - -тен болуы оқиғасы болсын.Есептің шарты бойынша
p=0,40 p=0,35 p=0,25
Бұл мәләметтерді пайдаланып, бірінші сұраққа жауап береміз:
a) ә) Енді екінші сұраққа жауап берейік.Барлық оқушылар кез келген бір оқушыны шақырып оның математикадан нашар болуын тексергенімізге дейінгі,бұл оқушының аудандарында бітіру ықтималдығы сәйкес түрде 0.40; 0.35; 0.25 еді. Шақырылған оқушының математикадан нашар болып шығуы оқушылар жайында қосымша хабар болып отыр. Осы қосымша хабар бұл ықтималдықтарды өзгертеді. Бұл жаңа ықтималдықтар
( ) = = =0.508,
)= = =0.33,
()= = =0.159.
Сонымен,көрнекі болу үшін бұл ықтималдықтарды былай тұжырымдайық:
Ықтималдық
Райондар
Априорлық ықтималдық (оқушы шақырылғанға дейінгі)
0,40
0,35
0,25
Апестериорлық ықтималдық (шақырылған оқушы туралы хабар алынғаннан кейінгі)
0,51
0,33
0,16
жаттығулар
1. Заводта дайындалған бір типті детальдарды тексеру үшін бірінші цехтан 6 жәшік, екінші цехтан 4,үшінші цехтан 2 барлығы 12 жәшік деталь алынды. Бірінші цехтан алынған әрбір жәшіктегі 18 деталь I сортты, 5 деталь II сортты, 2 деталь III сортты, екінші цехтан алынған әрбір жәшікте I сорттан 20 деталь, II сорттан - 4, III сорттан 1 деталь,ал үшінші цехтан алынған әрбір жәшікте I сорттан 22 деталь, II сорттан 3, III сорттан 0 деталь бар.Тексеруге әкелгенде,жәшіктер араласып кеткендіетен,қай жәшік қай цехтан келгені белгісіз болды.Енді кез келген бір жәшіктен бір деталь алынады.Осы алынған детальдың:а) I сорты,ә) II сорты,б) IIIсорт болу ықтималдығын анықтаңыз.
2.1-есеп шартында айтылған оқушының емтихан тапсырғаны мәлім; енді мыналарды анықтаңыз:оның а) бүтін сандарға берілген есепті шығару ықтималдығы неге тең? Ә) ондық бөлшектерге берілген,б)жай бөлшектерге берілген есептерді шығару ықтималдығы неге тең?
3. 3- есеп шартын пайдаланып,мына есепті шығарамыз: алыгған детальдың I сорттан болғаны анықталды, оның а) бірінші цехта,ә) екәншә цехта, б) үшінші цехта дайындалу ықтималдығын анықтаңыз.
Сондай ақ детальдың II, III сорт екендігі анықталған болса,оның бірінші,екінші,үшінші цехта дайындалу ықтималдығы неге тең болатынын анықтаңыз.
§ 20. Сынауды қайталау
Ықтималдықтар теориясы мен оның қолданылуында осы уақытқа дейін қарастырылып келген жеке сынау нәтижесінің іс тұрғысынан қарағанда қажеттігі шамалы.Өйткені практика жүзінде жеке сынау нәтижесін алдын ала болжау мақсат етілмейді.Мұның орнына сынаудың сан алуан қайталанып отыратын жағдайы мен оған тиісті ықтималдықтарды есептеуді мақсат етеді.Осы айтылғандарды жай мысалдармен түсіндірейік.
1.Мақтаны еккенде оның жеке бір шитінің (дәнінің) көктеп шығуының(ықтималдығы) практика тұрғысынан ешқандай қажеті жоқ.Мақта егушілер үшін сол егілген шиттің қанша процетінің (ықтималдығы) шығуын білу жеткілікті.Осыған қарай мақта өнімін алдын ала болжап және жоспарлап отырады.
2.Мемлекеттік көлемде жеке адамның бас киімінің өлшемін(ықтималдығы) білу (я білмеу) назар аударалық іс емес.Бірақ жоспарлаушы ұйымдар,сауда мекемелері үшін сондай өлшемді киәм киетін адамдар неше процент(ықтималдық) құрайтынын білудің мәні зор.
Бұл келтірілген мысалдардың біріншісінде мақта шитінің өніп шығуы (сынаудың),екінші мысалда белгілі бір өлшемді бас киімнің сан алуан (сынаудың)қайталануын байқап отырмыз.Өорыта келгенде,сынаудың қайталанып отыруына байланыста мәселелермен айналысамыз.Алайда,сынау жүргізгенде бірнеше нәтиженің (оқиғаның) пайда болуын (мысалы,кубты лақтырғанда 6 нәтиже,монетті лақтырғанда екі нәтиже т.т) күтуімізге болады.Бұлардың ішіндегі ең қарапайымы сынау нәтижесі тек екі оқиға. А және оған қарама қарсы Ā болатын және әрбір тәуелсіз сынауда оқиғаның пайда болу ықтиалдығы тұрақты p=p(A) (пайда болмауы q=1-p) тең болатын схемасы (сынаудың түрі).Мұндай қарапайым схеманы тұңғыш қарастырған Швейцария ғалымы Я.Бернулли (1654-1705),сондықтан бұл схеманы Бернулли схемасы немесе тәуелсіз сынауларды қайталау схемасы деп айтады.Ал сынауды тәуелсіз дегенде біз оқиғаның пайда болу (я болмау) ықтималдығы бір сынаудан екінші сынауға дейін өзгермейді және оқиңа басқа , алдыңғы не соңғы,сынауларда пайда болды ма не болмады ма, оған байланысты емес деп түсінетін боламыз.
1-мысал.Нысананы көздеп 3 рет оқ атылды.Әр қайсысының дәл тию ықтималдығы бірдей,яғни ол - ге тең.Нысанға дәл екі оқтың тию ықтималдығы неге тең?
Бұл мысалда нысананы көздеп әрбір ату сынау болады. Сонда барлығы 3 сынау жүргізілді.Бір рет атылған оқтың нысанаға тиюі не тимеу нәтижесі екінші атылған оқтың тию тимеуіне тәуелді емес,яғни бұлар тәуелсіз санаулар.Оқтың бір атқанда нсанға дәл тиюі А оқиғасы десек,онда тимеуі Ā оқиғасы болады.Олардың ықтималдылықтары берілген шарт бойынша
P=p(A)=
q=p()=1-p=
Оқ үш рет атылғанда нысананға дәл екі рет тиюі В оқиғасы болсын.Әрине бұл күрделі оқиға,өйткені бұл оқиға құрамында алғашқы екі оқ тиіп үшіншісі тимейтін(ААА оқиғасы) не бірінші мен үшінші оқ тиіп,екінші мен (ААА оқиғасы), не екінші және үшінші оқ тиіп,біріншісі тимейтін (ААА оқиғасы) оқиғалар бар,яғни
B=AAĀ+AĀA+ĀAA.
А мен Ā оқиғалары тәуелсіз ал қосылғыштар үйлесімсіз олай болса,қосу мен көбейту теоремасы негізінде В оқиғасының ықтималдылығы.
P(B)=p=(AAĀ+AĀA+ĀAA)=p(AAĀ)+p(AĀA)+p(ĀAA)=p(A) p(A) p(Ā)+ p(A) p(Ā) p(A)+ p(Ā) p(A) p(A)=ppq+pqp+qpp=3p[2]q.
p[2]q өрнегінің коеффиценті 3 элементтен екі екіден алынған теру санына тең,олай болса,
p(B)= 3p[2]q = C[2]p[2]q=[2]=0.22.
Сонымен,А оқиғасының әрбір санауда пайда болу ықтималдығы тұрақты болғанда,В оқиғасының ықтималдығы неге тең болатынын анықтадық.Бұл нәтижелерді жалпы түрде көрсетейік,яғни мына теореманы дәлелдейік.
Теорема. Егер әрбір сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты және ол p- ге тең болса,онда n рет тәуелсіз сынау жүргізгенде ол оқиғаның дәл m рет пайда болу ықтималдығы мынаған тең:
Pn(m)=p[m]q[n-m].
Дәлелдеу. Мұны дәлелдеу үшін n рет тәуелсіз сынау жүргізгенде оқиғаның дәл m рет пайда болуын В оқиғасы деп белгілейік.
Оқиғаның (А оқиғасы) m рет пайда болуының және n-m пайда болмауының () барлық мүмкін болатын тізбегін құрайық.Ол:
АĀ,,...
Бұл тізбек мүшелерінің (оқиғалардың) бір- бірінен айырмашылығы тек орналасу ретінде ғана болып отыр, сондықтан оны А оқиғасы m рет,Ā оқиғасы n-m рет енетін қайтамалы алмастыру деп қарастыруға болады.Олардың саны
= (10.4)
Тізбек мүшелері (оқиғалар) қос- қостан үйлесімсіз оқиғалар. Бұлардың қандай да біреуінің пайда болуынан В оқиғасы пайда болып отырады,бұл жағдай былайша жазылатын:
B = AA ... AĀĀ ... Ā + AA ... AĀAĀ ... ĀĀ + ... + ĀĀ ... ĀAA ... A.
Қосу теоремасы бойынша,
p(B)= p(AA ... AĀAĀ ...ĀĀ)+ ... +p(ĀĀ ... ĀAA ...A).
Теңдіетің оң жақ бөлігіндегі әрбір ықтималдықты анықтайық.Ол үшін p(AA ... AĀĀ ... Ā) ықтималдығын алайық.Бұл А оқиғасының m рет алынған р ықтималдықтары мен Ā оқиғасының n-m рет алынған q ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең,яғни
P(AA ... AĀĀ ...Ā)=p(A) p(A) ... p(A) p(Ā) ...p(Ā)=pp ... pqq ...q=pmqn-m.
Қалған ықтималдықтардың да осы p[m]q[n-m] тең болатынын байқау қиын емес. Енді(10.4) формуласын ескеріп,р(В) ықтималдығын былайша жазамыз,
p(B)=p[m]q[n-m]+ p[m]q[n-m] +....+ p[m]q[n-m]=p[m]q[n-m]. (1)
Оқиғаның тәуелсіз n сынауда дәл m рет пайда болу ықтималдығы р(В)-ні жеңіл түсіну үшін оны деп жазамыз, сонда
pn=(m)=p[m]q[n-m]. (1)
Осымен теория дәлелденді.
Бұл формуладағы m- нің мәндері 0,1,2, ... , n болуы мүмкін. m- нің көрсетілетін мәндеріндегі оқиғалар бір бірімен үйлесімсіз барлық мүмкін оқиғалардың толық тобын құрайды. Сондықтан олардың қосындысы ақиқат оқиға.Ал ақиқат оқиға ықтималдығы бірге тең болғандықтан,
pn(0)+pn(1)+...+Pn(n)=1,
немес
* Формуладағы мәнін қойсақ,
шығады.
* формуладағы қосындысы бірге тең ықтималдықтар m=0,1,2, ...,n мәндеріне сәйкес pn(0), pn(1), pn(2),..., pn ықтималдықтарға бөлінді (үйлестірілді).Сондықтан m=0,1,2,..., n болғанда,
pn=(m)=p[m]q[n-m].
формуласын ықтималдықтардың биномдық үлестірімділігі не биномдық үлестірімдік заңы деп атайды.
Ал м нің дербес мәніне сәйкес ықтималдықты биномдық ықтималдық деп атайды.Биномдық үлестірімдік заңын таблица түрінде жазуға болады. Бұл таблицаның бірінші қатарында м мәндері,екіншісінде оларға сәйкес pn=(m) ықтималдық мәндері келтірілген:
m
0
1
2
...
m
...
n-1
n
pn=(m)
q[n]
npq[n-1]
p[2]q[n-2]
...
p[m]q[n-m]
...
np[n-1]q
pn
Жоғарыда аталған <<биномдық>>, <<биномдық ықтималдық>> терминдерінің шығу төркінін түсіндірейік.
Әрбір сынауда не А оқиғасы,не Ā оқиғасы пайда болатындықтан,
p(A)+p (A) не p+q=1
n рет тәуелсіз санау жүргізсек,онда көбейту теоремасы бойынша былай болады:
(p+q)[n]=1 (3)
* мен (2) теңдіктің оң жақ бөліктері тең болғандықтан,сол жақ бөліктері де тең болады,олай болса,
Бұл формула Ньютон биномы формуласынан да шығады.Шынында
(q+pt)[n]=q[n]+ (5)
Болады. Бұл өрнектегі коеффиценті мынадай:
Егер десек ,онда () формула шығады.
Сонымен,мұндағы m=0,1,2... , n мәндеріне сәйкес pn(m) ықтималдығын биномдық ықтималдық деп атау себебі биномды (екі мүшені) Ньютон формуласы бойынша жіетеу ұқсастығында болып отырғанын байқаймыз.
Бұл ықтималдылықтарды график түріде кескіндеуге болады.Ол үшін абциссалар осіне м мәндерін,ординаталар осіне мәедерін салу керек.Әрбір сандарына сәйкес ұштарын қоссақ, көп бұрыш шығады.Мұны ықтималдықтардың үлестірімділік көп бұрышы деп те атайды.Бұл графиктер үшінші мысалда кетірілген( 7және 8 чертежді қара)
2-мысал.Нысананы көздеп тәуелсіз 10 рет оқ атылды.Әр қайсысының нысанаға тию ықтималдығы - ге тең болса,онда атылған тәуелсіз 10 оқтың нақты 4- нің нысанаға тиюі ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі:Есеп шарты бойынша сынау саны n=10.Әрбір сынаудағы оқиғаның пайда болу ықтималдығы p= және m=4. Демек ( 1) формула бойынша
pn(m)=p10(4)=[46]=210[46]=0,22760
3-мысал. 2 мысалы шартын пайдаланып, m=0,1,2,....,10 мәндеріне сәйкес ықтималдықтарды есептеп және олардың графигін сызу керек.
Шешуі:Іздеп отырған ықтималдықтарды,2- мысалдағыдай,(1) формула бойынша есептейміз,сонда
P10(10)=10=0,0173.
P10(1)=9=10*9=0,0867.
P10(2)=28=45*28=0,19551.
P10(3)=37=120*37=0,2602.
P10(4)=46=210*46=0.2276.
P10(5)=55=252*55=0,1366.
P10(6)=64=210*64=0,0569.
P10(7)=73=120*73=0,0163.
P10(8)=82=45*82=0,0031.
P10(9)=9=10*9=0,0003
P10(10)=0,00002
Ықтималдықтар мәнін чертежге салу үшін абцсиссалар осіне m мәндерін,ординаталар осіне рn(m) мәндерін саламыз(7- чертежді қара).Ал бұл чертеждегі рn(m) мәндерінің ұштарын қоссақ,онда 8- чертежде көрсетілген ықтималдықтар үлестірімділігінің көпбұрышы шығыды.
4- мысал. Ұл баланың туу ықтималдығы-0,51 .Жаңа туған 100 нәрестенің дәл 50-нің ұл бала болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі:Шарт бойынша n=100,m=50,p=0,51,q=0,49.
* Формула бойынша
P100(50)= (0.51)[50] (0.49)[50].
Теңдіктің екі жағын да логарифмдейміз,сонда
(50) = lg + 50 lg 0,51+50 lg 0,49.
10-параграфтағы 3-мысалдың шешуін пайдалансақ ,
Lg lg 50! = 29,0038.
Ал
lg 0,51=-0,2924, lg 0,49=-0,3098,
Сонда lg =50(-0,2924)=-14,6200.
lg =50(-0,3098)=-15,4900.
Демек,
lg (50)=29,0038 - 14,6200 - 15,4900 = -1,1062 = 2,8938
Бұдан іздеген ықтималдығымыз
(50)=0,0783 0,078.
-нің жуық формуласы
Сынау саны n үлкен болған сайын pn(m)ықтималдықта (20.1)формуласымен есептеу қиындай түседі. Сондықтан ғалымдар осы формула жарық көрісімен-ақ оған жуық формулаларды іздестіре бастаған.n жеткілікті үлкен болғанда,ал p мәні 0 мен 1-ге мейлінше жуық болмаған жағдайда (20.1) формула орнына төмендегі жуық формуланы пайдаланады.
(1)
Мұнда
(2)
* Формуласымен pn(m) ықтималдықтың жуық мәнін табу өте оңай.Ол үшін
(3)
Функциясының таблицасын пайдаланамыз (бұл таблица кітаптың соңында келтірілді).
функциясы симметриялы,яғни болғандықтан (9-чертеж),таблицада х тің тек оң мәндері ғана кетірілген.Сонымен,(1) формула
p(x)= (4)
түрінде жазылады.
Есеп шығару алгоритімі:
1.Берілген n,m,p мәндері бойынша (2)формуладан х) мәнін анықтаймыз.
2. ІІ таблица бойынша х мәніне сәйкес мәнін табамыз.
3.х) мәнін (4) формулаға қойып,p(x) мәнін анықтаймыз. Бұл pn(m)-нің жуық мәні болады.
1-мысал.20. 3-мысалда берілген n=10, p= , m=0,1,2,...,10 мәндері бойынша биномдық ықтималдықтың жуық мәнін (4) формуласы бойынша есептеу керек.
Шешеуі.1. Алдымен m=4 болғандағы ықтималдықтың мәнін анықтайық.Қалғандары осы сияқты табылады.
=
m
m-np
=(m-np)
0
-
-2,236
0,0337
0,0226
0,0173
1
-
-1,566
0,1170
0,0785
0,0867
2
-
-0,895
0,2670
0,1894
0,1951
3
-
-0,224
0,3891
0,2611
0,2601
4
0,447
0,3605
0,2418
0,2276
5
1,118
0,2135
0,1433
0,1366
6
1,789
0,0806
0,0541
0,0569
7
2,460
0,0194
0,0130
0,0163
8
3,131
0,0030
0,0020
0,0031
9
3,802
0,0003
0,0002
0,0003
10
4,471
0,000006
0,000005
0,000020
2. II таблицадан .
3.
m-нің қалған мәндеріндегі ықтималдылықтарды да осылайша есептеу қиын емес. (6-таблицаға қара)
Бұл таблицадан (4) формуламен есептелінген ықтималдық мәні дәл биномдық ықтималдық мәніне өте жуық екенін байқаймыз.Ал, n үлкен болған сайын, оның дәлдігі арта түседі.
2-мысал. Ұл баланың туу ықтималдығы 0,51. Жаңа туған 100 нәрестенің 50-і ұл болу ықтималдығын анықтау керек (20.4-есепті қара).
Шешуі. Шарты бойынша n=100, m=50, p=0,51,q=0,49. Бернулли формуласы бойынша
P100(50)=C100[50](0,51)[50](0,49)[50].
Мұны есептеуге көп уақыт кететінін көрдік. Сондықтан ықтималдықты (4) формула бойынша есептейміз:
* X==-.2
*
* P(x)=
Демек, іздеген ықтималдық р100(50)0,0782
Е С К Е Р Т У.Бұл (4) формуланың өзіндік мағынасы да бар. Мұны, х үздіксіз болғанда, Гаусстың қалыпты (нормаль) заңы немесе қателер заңы деп те атайды. Өйткені жіберілген кездейсоқ қателер осы заң арқылы сипатталады. Бұл заң көптеген кездейсоқ құбылыстардың математикалық модель қызметін атқарады, сондықтан оның практикалық та, теориялық та мәні зор.
ЖАТТЫҒУЛАР
* Кез келген бір семьядағы балалар саны 8.Ұл бала мен қыз баланың туу ықтималдығы бірдей деп ұйғарылғанда, сол семьядағы балалардың:а) дәл 3-нің қыз бала,ә) дәл 5-нің ұл бала болу ықтималдығын анықтаңыз.
* Ойын кубигі 10 рет лақтырылған. 5 ұпайдың дәл 3 рет шығу ықтималдығын анықтаңыз.
* Бір заем облигациясының ұту ықтималдығы 0,20-ға тең.8 облигациядан 5-нің ұту ықтималдығы неге тең?
* Қабілетті бірдей екі ойыншы шахмат ойнады.Олардың біреуінің 6 партиядан 4-уін ұту ықтималдығы 5 партиядан 3-уін ұту ықтималдығын артық па әлде кем бе?
* Институттың бірінші курсына 5 студент қабылданды. Ұл балалардың туу ықтималдығы 0,51 болғанда, қабылданған балалардың 260-ының қыз бала болу ықтималдығы неге тең?
* Автоматтық станокта стандарт деталь дайындау ықтималдығы 0,90. Дайындалған 400 детальдың 370-інің стандарт болу ықтималдығын анықтаңыз.
* Монет 1000 рет лақтырылғанда, тиынжағымен 520 рет түсу ықтималдығын анықтаңыз.
Ең ықтималды сан
Енді рn(m) ықтималдығын аргументі mбүтін сан болатын функция деп қарастырайық. Сөйтіп, m-нің артуына байланысты рn(m) қалай өзгеретінін анықтайық. 20,3 мысалға зер салсақ, рn(m) функциясы аргумент m артқанда m-нің белгілі бір мәніне дейін өсіп, максимум (ең үлкен ) мәнін қабылдайды да, m-нің қалған мәндерінде рn(m) мәні кеміп отырады. рn(m)-нің ең үлкен мәніне сәйкес келетін m мәнін м о д а (модаль сан) немесе ең ықтималды сан деп атайды. Бұл мәнді me деп белгілейік. Енді, осы ең ықтималды сан me - ні анықтаудың жалпы формуласын табайық. Ол үшін ең үлкен ықтималдықты рn(m) деп ұйғарайық та, мұның алдындағы . рn(m-1) мен кейінгі . рn(m+1) ықтималдылықтарды алайық. Сонымен,
рn(m) рn(m-1)
рn(m) рn(m+1)
Бұлардың әрқайсысын жеке-жеке қарастырайық, сонда
= = =
Бұдан m
Екінші теңсіздіктен шығатыны:
===
Бұдан m шығады.
Бұл екі теңсіздікті біріктірсек, мынау шығады:
(1)
Бұл теңсіздіктің оң жақ бөлігін түрлендірейік:
Np+p=np+(1-q)=(np-q)+1.
Сонымен, (1) теңсіздіктің оң жақ бөлігі сол жақ бөлігінен бір бірлікке артық. m-нің np-q және np+1 бүтін мәндерінде
,
Яғни, екі ықтималдықтың да мәндері ең үлкен болады.Ал, не сандары бөлшек болса, онда айырмасы бірге тең екі бөлшек шығады, бірақ m мәні бүтін сан болғандықтан, ең ықтималды сан біреу ғана болады. Сонымен, (m) функциясының -ге байланысты өзгеруін толық айқындадық деуге болады, яғни m мәні np-q- дан кем болғанға дейін мәні артады, одан кейін m-нің келесі мәнінде бұл функция ең үлкен мәнін қабылдайды, сөйтіп, m- нің np+p - ден артық мәндерінде кемиді.
Қорытып айтқанда, ең ықтималды сан мәні np-q не (np+p) іне тәуелді. Егер np-q не (np+p) бөлшек сан болса, онда
(2)
болады.
Ал, np-q не (np+p) бүтін сан болса, онда
(3)
1-мысал. Өткен 21-параграфтағы 1- мысалдың берілгені бойынша ең ықтималды сан мәнін анықтау керек.
Ш Е Ш У І:np+p=10*=,демек,
=[np+p]=[3]=3.
Бұған сәйкес ықтималдық
Шынында да, бұл ықтималдық қалған ықтималдылықтардың бәрінен де үлкен.
ЖАТТЫҒУЛАР
1.21.1 жаттығу шарты бойынша ең ықтималды сан ні анықтаңыз.
2.21.6 жаттығуда берілген мәліметтерді пайдаланып ең ықтималды сан m-ді анықтаңыз.
3.Жарамсыз деталь дайындау ықтималдығы p=0.05.=63 болатын партияда неше деталь бар?
4.126 рет санау жүргізгенде, А оқиғасының пайда болуының ең ықтималды саны 63 болса, әрбір санаудың ықтималдығы неге тең?
БИНОМДЫҚ ЫҚТИМАЛДЫЛЫҚТАР ҚОСЫНДЫСЫН ЕСЕПТЕУ
Осы уақытқа дейін сынауды n қайталағанда оқиғаның дәл m рет пайда болу ықтималдығын есептедік. Бұған қарағанда, оқиғаның реттен рет пайда болғанға дейінгі ықтималдықты анықтаудың практикалық мәні зор. Мұның дербес түрі, оқиғаның кемінде бір рет пайда болу ықтималдығын анықтау жолы бізге белгілі. Ол:
(1)
Оқиғаның реттен рет пайда болғанға дейінгі, яғни ..., мәндеріне сәйкес ықтималдық мына
, ықтималдылықтар қосындысына тең:
,немесе
(2)
Сондай-ақ оқиғаның қайталау саны -ден кем болмай және -ден артық болмағандығы ықтималдығы сәйкес
= (3)
Және
(4)
Тең.Әрине, (3) формуладағы саны 0-ге жуық болса, онда (20.2)формуланы пайдаланып табамыз:
Өйткені
Ал (4) формулада саны n - ге жуық болса, оны былай жазамыз:
. (6)
1-мысал.Өткен 20-параграфтағы 3-мысалдың шарты бойынш: а)нысанаға кемінде бір оқтың, ә) кемінде үш оқтың,б)9-дан артық емес оқтың, в) 4 реттен 8 ретке дейін атылған оқтардың тию ықтималдығын анықтау керек.
Ш Е Ш У І: Берілгені: N=10, P=, Q=.
* =1- ()=.
Ә)
Б)
B)
Бұл келтірілген мысалда n мәні аз болып келді. Ал практикада n өте үлкен сан болу жағдайы жиі кездеседі. Бұл жағдайда (2)формуламен есептеу көптеген амалдарды орындауды қажет етеді. Сондықтан ғалымдар ғасырлар бойы бұл қосындыны оңай жолмен тікелей есептейтін, мейілінше, жуық формула табуды іздестірді: Біз математикалық қатаң дәлелдеудің келтірмей-ақ, сондай жуық формула орнына Гаусстың қосынды (интегралдық) формуласын пайдаланамыз. Бұл формула n жеткілікті үлкен және р ноль мен тең болмағанда, (2) мәніне мейлінше жуықтайды.
Сонымен,
жазамыз.
Мұндағы,
,
, (8)
болады.
(9)
интеграл (қосынды шегі) белгісі. Ф(х)-ті Лаплас функциясы деп атайды. Х мәніне сәйкес Ф(х) мәні кітап соңында III таблицада келтірілген. Бұл функцияның төмендегі қасиеттерін еске сақтаған жөн:
* Ф(х) - тақ функция, яғни Ф(-х)= -Ф(х). Мысалы, Ф(-2,10)=-Ф(2,10)=-0,4821.
* =Ф(+=0,50, =Ф(-=-0,50.
* Х-тің кіші мәнінде-ақ Ф(х) функциясының мәні 0,50-ге өте шапшаң жуықтайды. Сондықтан таблицада х-тің 4-ке дейінгі ғана мәндері келтірілген.
2-мысал. Жаңадан туған 1000 нәрестенің 470-тен 520-ға дейінгісі ұл бала болу ықтималдығын анықтау керек. Әрбір ұл баланың туу ықтималдығы р=0,51.
Шешуі. Шарты бойынша: n=1000, m1=470, m2=520, p=0,51, q=0,49.
Ізделінетін ықтималдық
P1000(470<= m<=520)=
Қосындыдағы 51 ықтималдықты жеке-жеке есептеп, олардың қосындысын табуға өте көп уақыт қажет. Сондықтан (7) формуланы пайдаланамыз:
=
=
Мыналарды табдицадан табамыз:
Ф(х1)Ф(-2,53)-Ф(2,53)-0,4943,
Ф(х2)Ф(0,63)0,2357.
Сонда іздеген ықтималдығымыз мынаған тең болады:
P1000(470<= m<=520)= Ф(х2) - Ф(х1)0,2357 - (-0,4943)0,7300.
Ықтималдығы берілген ықтималдықтан кем болмайтын оқиғаның кемінде бір рет пайда болуы үшін қажетті сынау санын анықтау
А оқиғасы ықтималдығын р(А)р деп, берілген ықтималдықты Р дейік. А оқиғасының кемінде бір рет пайда болу ықтималдығы берілген Р шамасынан кем болмау үшін неше рет сынау жүргізу керектігін анықтау болып отыр. А оқиғасының пайда болмау ықтималдығы
Р()1- р(А)1 - р.
Орындалынатын, бірақ әзір белгісіз сынау санын п дейік. Сонда п рет сынау жүргізілгенде А оқиғасының пайда болмау ықтималдығының
(1 - р)[п]
болуы және А оқиғасының кемінде бір рет пайда болу ықтималдығы 1 - (1 - р)[п] болатыны бұрын айтылған болатын-ды. Ал, есептің шартына сәйкес бұл ықтималдық Р-ден артық емес, яғни
1 - (1 - р)<=Р.
Теңсіздікті п-ге арнап шешеміз. Ол үшін екі жақ бөлігін де логарифмдесек,
n= (1)
болады. Бұл формуланың практикада маңызы зор.
1-мысал. Монеттің тиын жағымен кемінде бір рет түсу ықтималдығы 0,90-нан кем болмауы үшін, оны неше рет лақтыру керек?
Шешуі. Шарты бойынша: р=0,50, Р=0,90.
* формула бойынша
n˃=
сонымен, монетті лақтырғанда кемінде бір рет тиын жағымен түсу ықтималдығы 0,00-дан кем болмауы үшін, кем дегенде 3 рет лақтыру (сынау жүргізу) керек екен.
Жаттығулар
* Егер бір семьядағы балалардың ұл болу ықтималдығы 0,51 болса, онда 8 баласы бар семьяда: а) кемінде 7 ұл бала, ә) ұл баланың саны 2-ден артық болмау, б) ұл баланың саны 3-5 аралығында болу ықтималдығын анықтаңыз.
* Шеберханада 10 мотор бар. Әрқайсысының белгілі бір уақыт аралығында үзіліссіз жұмыс істеу ықтималдығы - 0,80. Осы уақытта кемінде 9 мотордың үзіліссіз жұмыс істеу ықтималдығын анықтаңыз.
* Ең жоғарғы сортты деталь дайындау ықтималдығы 0,90-ға тең. 10 детальдың кемінде 8-інің ең жоғарғы сортты болу ықтималдығын анықтаңыз.
* Орудиядан атылған әрбір оқтың тию ықтималдығы - 0,40. 300 рет атылған оқтың: а) 120-дан 130 ретке дейінгі, ә) кемінде 100-інің, б) дөп тиетін оқтың саны 100-ден артық болмау ықтималдығын анықтаңыз.
* Бір лотерея билетіне ұтыс шығу ықтималдығы - 0,20. Қолыңдағы 400 билеттің 70-тен 100 арасындағы санының ұту ықтималдығын анықтаңыз.
* Монетті 2000 рет лақтырғанда тиын жағымен 950-реттен 1020 ретке дейін түсу ықтималдығын анықтаңыз.
* Атылған оқтың нысанаға тию ықтималдығы - 0,2. Олардың кемінде біреуінің тию ықтималдығы 0,90-нан кем болмауы үшін, семьяда неше бала болуы керек?
Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы
Ықтималдықтың классикалық анықтамасы сынау нәтижесі шектеулі сан рет және тең мүмкіндікті болатынына негізделеді. Сондықтан бұл анықтаманың қолданылу өрісі тар. Осы себепті ықтималдықтың жай есептерінен күрделі есептерін шешуге көшкенде, әсіресе, статистикалық құбылыстарды сипаттауға байланысты практикада қолданылатын мәселелерді шешкенде шамадан тыс көптеген қиыншылықтарды кездестіреміз. Өйткені, біріншіден, сынаудың мүмкін нәтижелері шектеулі шама болмауы мүмкін. Мысалы, қандай да бір тілдегі бір сөздің пайда болу ықтималдығын тапқанда, біз практика тұрғысынан шектеусіз жиынды кездестіреміз. Екіншіден, жүргізілген тәжірибе нәтижесін ылғи да тең ықтималды болады деу аса үлкен қиындық туғызады. Мысалы, ұл бала не қыз бала туу ықтималдығын анықтағанда симметрия және тең ықтималдыққа сүйеніп, қорытынды жасауға болмайтынын биологиялық статистика дәлелдейді (төмендегі мысалды қара).
Сонымен, құбылыстарды сипаттауға ықтималдықтың статистикалық анықтамасын қолданайық.
Статистикалық анықтама тәжірибені (сынауды) сан рет қайталап, нәтижелерін (оқиғаны) регистрациядан өткізуге (тізбесін жасауға) сүйенеді. Сынау көп жүргізілгенде оқиғаның бірнеше рет пайда болуы не бірнеше рет пайда болмауы мүмкін. Оқиғаның пайда болу (пайда болмау) санын бұдан былай жиілік немесе абсолюттік жиілік дейтін боламыз. Ал жиіліктің барлық сынау санына қатынасын салыстырмалы жиілік дейміз. Сонда сынаудың жалпы санын N десек, A оқиғаның қайыра қолданылу санын (жиілігін) M десек, онда A оқиғасының салыстырмалы жиілігі мынаған тең болады:
ƒ(А)=.
Жүргізілген сынау саны аз болса, жиілігі тұрақты болмай, бір сынаудан екінші сынауға дейінгі өзгерісі артып отырады. Ал, сынау жеткілікті дәрежеде қайталанып отырса, онда А оқиғасының жиілігі тұрақтанады. Мұндай құбылыс физика-техникалық бақылауларда, биологияда, эклнлмикада т. с. с. байқалады.
1-мысал. 1935 жылы Швецияда туған ұл баланың статистикалық мәліметтері алынды (7-таблицадан қара). Мұнда ұл баланың туу жиілігі 0,518 санына жуық өзгеріп (тұрақсызданып) отырған. Осы сияқты бақылау 1871 жылдан 1900 жылға дейінгі аралықта жүргізілген. Бұл жылдары 2,5 миллионнан астам туған балалардың жынысын есепке алғанда, ұл бала тууының салыстырмалы жиілігі 0,514 болған.
Сонымен, жоғарыда келтірілген мысалдан сынау саны мейлінше көп болса, салыстырмалы жиілік ƒ мәні тұрақтылық қалыпқа түсетінін байқаймыз. Екінші сөзбен айтқанда, кездейсоқ құбылыстарда қандай да объективті қасиеттер бар екендігі және оның тұрақтануға бейімділігі сезіледі. Бұл қасиет сынау саны (зерттеліп отырған мәселе көлемі) артқан сайын айқындала түседі, ол қасиет қандай да бір тұрақты шамамен (санмен) өлшенеді. Бұл шама бақылауға түскен құбылыстың объективті сандық сипаты болып табылады. Осы тұрақты шаманы (санды, мөлшерді) кездейсоқ оқиға А-ның ықтималдығы дейміз. Сөйтіп, оны бұрынғыша, р(А) арқылы белгілейміз. Осылайша анықталған кездейсоқ оқиға ықтималдығын статистикалық ықтималдық деп атаймыз.
Оқушылардың назарын аударатын бір мәселе - статистикалық ықтималдықтың сан мәнінің белгісіз болуы. Әдетте, сынау саны үлкен (көп) болғанда ықтималдық
Айы
173
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Жыл бойына
Барлығы
7280
6957
7883
7884
7892
7609
7585
7393
7203
6903
6552
7132
88273
Ұл бала
3743
3550
4017
41
4117
3944
3964
3797
3712
3512
3392
3761
45682
Жиілігі
0,514
0,511
0,510
0,529
0,522
0,518
0,538
0,516
0,515
0,509
0,518
0,527
0,518
7-таблица
Адамның жасы
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
өмір сүргені
100 000
96061
89685
82277
72795
58842
37977
13987
1273
4
8-таблица
Факториалдар логарифмдерінің таблицасы 1- таблица
Оқушылардың назарын аударатын бір нәрсе - статистикалық ықтималдықтың сан мәнінінің белшісіз болуы.Әдетте, сынау саны үлкен (көп) болғанда ықтималдық мәніне не А-ның салыстырмалы жиілігінің өзі алынады,не осы салыстырмалы жиілікке жуық сан алынады.Ондай санға,мысалы,жеткілікті үлкен бірнеше сериядан алынған салыстырмалы жиіліктің арифметикалық ортасы алынады. Бұл анықтаманың іс жүзінде орындалатын түрлі зерттеулерде ерекше мәні бар, өйткені бас жиынды зерттеуге мүмкіндік болмай қалады,сондықтан оның бөлігін (іріктемені) зерттеуге мәжбүр боламыз. Сөйтіп, іріктемені зерттеу нәтижесінде кездейсоқ оқиғаның салыстырмалы жиілігін анықтаймыз.Осы іріктемедегі салыстырмалы жиілік арқылы ықтималдықтың сан мәнін бағалаймыз,бұл - қарастырып отырған құбылыстың сандық сипаттамасы болып табылады.Сонымен қатар бұл мән экспериментальдық жиіліктің ықтималдықтан қаншалықты алшақ ауытқитынын анықтауға әкеліп тірейді.Осы мәселені шешу барлық статистикалық зерттеудің бірден бір түйінді мәселесі болып табылатынын есте ұстаған жөн.
Ықтималдықтың ілгеріде дәлелденген қасиеттері ықтималдықты статистика тұрғысынан анықтаған да орындалады,яғни
1)ақиқат оқиға ықтималдығы бірге тең,
2)мүмкін емес оқиға ықтималдығы нөлге тең,
3)қосу теоремасы,
4)көбейту теоремасы,
5)қосу мен көбейту теоремасына негізделген биномдық үлестірімдік,
7)ыөтималдылықтар қосындысының 1-ге тең болуы, яғни _________________
Егер осы аталған қасиеттер пайдаланылып шешілетін бірнеше мысалдар келтірейік.Бұл мысалдарды шығару тәсілдерінің ықтималдықтың классикалық анықтамасы пайдаланылып шығарылған есептің тәсілдеріне ұқсас болатынын байқау қиын емес.
1-мысал.8- таблицада келтірілген мәліметтерді пайдаланып:а) а(a=20) жастағы адамның b(b=50,b=70,b=90) жасқа дейін өмір сүру ықтималдығын анықтау керек.ә) а=20 жастағы адамның b(b=30,b=50,b=70,b=90) жасқа жетпей дүние салу ықтималдығын анықтау керек.б)ері a(a=30)жаста, әйелі b(b=20) жаста.Екеуі бірге c(c=20,c=40,c=50) жыл өмір сүру ықтималдығын анықтау керек.в)Ері a(a=23) жаста, әйелі b(b=18 жаста, олар бірге c(c=45) жыл өмір сүру ықтималдығын аныөтау керек.г)Ері a(a=50) жаста, әйелі b(b=45) жаста ұлы с(c=25) жаста.Үшеуінің бірге d(d=20,d=30,d=40) жыл өмәр сүру ықтималдығын аныөтау керек.д)ері а(а=40) жаста, әйелі b(b=35). жаста, екеуі бірге с(с =70,с=80) жасөа дейін өмір сүре алмау ықтималдығын есептеу керек.е) ері a=40 жаста,әйелі b=30 жаста,с(c=30,c=40) жылдан соң кемінде біреуі өлмеуі ыөтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Жақша ішіндегі мәліметтердің біреуі үшін осы есепті шығарамыз,қалғадарды шығаруды оқушыларға хүктейміз.Тексеру жеңіл болу үшін олардың жауабын келтіріп,тиісті анализдерді пайдаланамызү
а)8-таблицаға қарағанда, адамгың жасы ұлғайған сайын олардың саны азайып отыр, ол - әрә заңды, әрі түсінікті де.а жастағы адамның b жасқа дейін өмір сүруін А оқиғасы дейік,бұлардың саны m (b)
болсын,а жастағы адамдар саны n (a) дейік.Сонда А оқиғасының ықтималдығы
P(A)=m(b)/n(a)
таблица бойынша а =20 болғанда, n(a)=96061
b=50 болганда, m(b)=72795
Сонда p(A)=72795/96061=0,758 не 75,8 % болады.
Сонымен, 20 жастағы адамдардың орта есеппен 75,8% елу жасқа дейін, 39,5% -і жетпіс жасқа дейін, 1,3%- і тоқсан жасқа дейін өмір сүреді екен.(1) формуладан b=a болғанда p(A)=1,бұл факт адамның b жасқа дейңн өмір сүретінінің ақиқаттығын көрсетеді.
ә)белгілі бір жасқа дейін өмір сүруді А оқиғасы десек, онда ол жасқа дейін өмір сүрмеуі қарама қарсы А оқиғасы болады.а=20,b=50 десек,(13,6) формула бойынша
p(A)=1-p(A)=1-m(b)/n(a)=n(a)-m(b)/n(a)=96061-72795/96061=23266/96061=0,42 не 24,2%.
Сонда 20 жастағы адамдардың орта есеппен 24,2%уі 50жасқа жетпей дүние салатынын байқаймыз,яғни дүние салу ықтималдығы 24,2%.Ал осы 20 жастағы адамдардың 30 жасқа жетпей 6,6% -ы , 70 жасқа жетпей 61,5% - ы, 90 жасқа жетпей 98,7 %-ы дүние салатынын оңай есептеуге болады.
б)Ерінің а жастан a+c жасқа дейін өмір сүруін А оқиғасы, ал әйелінің b жастан b+c жасқа дейін өмір сүруін В оқиғасы дейік.Сонда екеуінің бірге өмір сүруі күрделі оқиға АВ болады.Бұлар бір - біріне тәуелсіз оқиғалар, сондықтан
p(AB)=p(A)p(B)=m(a+c)/n(a)*m(b+c)/n(b)=m(30+20)/n*(30)*m(20+20)/n*(20)=m(50)/n(30)*m(40)/n(20)=72795/89685*82277/96061=0,695 шығады.
Сонымен,екеуінің бірге өмір сүру ықтималдығы 0,695- ке тең,яғни осы көрсетілген жаста ерлі - зайыптылардың 69,5% - ы тағы да 20 жыл бірге өмір сүреді.Әрине,бұлардың жастары артқан сайын бірге өмір сүрушілер саны кеми түседі.Екеуі қосылғаннан бастап 40 жыл өмір сүру ықтималдығы 26%,ал 50жыл өмір сүру ықтималдығы 6,2% болатынын анықтаңыздар.
в)бұл мәселеде дәл б)пункттегі сияқты шешіледі.Бірақ,б)пунктінде келтірілген жасқа сәйкес жиіліктер шамасы таблицада көрсетілген болатын,ал бұған тиісті жиілік шамасы таблицада жоқ.Сондықтан интерполяциялау тәсілін қолданамыз.Ол үшін таблицада келтірілген он жыл ішіндегі әрбір жылдағы өлім бірдей деп аламыз.Сондықтан жұбайлардың бірге өмір сүру ықтималдығын анықтаудан бұрын n(23),n(18),m(23+45)=m(68),m(18+45)=m(63) мәндері неге тең болатынын табамыз.n(23)жиілік n(20)-n(30) аралығында,демек,мынау шығады.
n(23)=n(20)-n(20)-n(30)/n(10)*3=96061-96061-89685/10*3=96061-6376/10*3=96061-1912,8=94148,2=94148.
Мұны былайша да есептейді:
n(23)=n(30)+n(20)-n(300/10*7=94148
қалғандары да осылайша анықталады,сонда
m(18)=90960,
m(68)=42150
m(63)=52582
демек,
p(AB)=m(68)/m(23)*m(63)/m(18)=42150/94148*52582/90960=0,259.
2)бұл жағдайда ұлының -c жастан c+d жасқа деәһін өмір сүруін С оқиғасы десек,онда мәселе үлкен А,В,С оқиғаларының бірге пайда болу ықтималдығын табуға келіп тіреледі.Демек,
p(ABC)=m(70)/n(50)*m(65)/n(45)*m(45)/n(25)=37977/72795*48410/77536*77536/92873=0,272.
қалғандарында осылайша анықтасақ,үшеуі бірге 30 жыл қмір сүру ықтималдығы 4,5%-тең,ал 40 жыл өмір сүру ықтималдығы 0,08% - ке тең болады.
д)ерінің өлуін А қарама қарсы оқиғасы,әйелінің өлуін қарама қарсы В оқиғасы десек, онда екеуінің бірге өмір сүрмеуі қарама қарсы АВ оқиғасы болады.Мұның ықтималдығы мынаған тең:
p(AB-)=p(A-)*p(B-)=(1-p(A)(1-p(B))=n(40)-m(70)/n(40)*n(35)-m(70)/n(35)=82277-37977/82277*85981-37977/85981=44300/82277*48004/85981=0,300
Ал ерлі зайпты адамдар бірге 80 жасқа дейін өмір сүрмеу ықтималдығы 69,5% болады.
е)кемінде біреуінің өлмеуін А оқиғасы дейік,онда оған қарама қарсы оқиға А екеуінің де өлуін көрсетеді.Олай болса,
p(A-)=n(40)-m(70)/n(40)*n(30)-m(60)/n(30)=82277-37977/82277*89685-58842/89685=44300/82277*30843/89685=0,185
Сонда іздеген ықтималдық ,яғни 30 жылдан кейін біреуінің өмір сүру ықтималдығы
p(A)=1-p(A-)=1-0,185=0,815 немесе 81,5%
Дәл осылайша есептесек 40 жылдан кейін кемінде біреуінің өмір сүру ықтималдығы 48% болатынын табу қиын емес.
2-мысал. 8-таблицаны пайдаланып,а(а=20,a=30,a=50,a=70,a=80)жастағы адамның ықтималды өмір сүруін анықтау керек.Ықтималды өмір сүру деп,қазіргі жасынан бастап келесі бір жасқа дейін өмір сүру ықтималдығы 1/2 болатын жасты түсінеміз.
Шешуі. Қандайда бір жасқа дейін өмір сүруін Аоқиғасы дейік,сонда сол жасқа дейін дүние салуы қарама қарсы А оқиғасы болады.
p(A)=1/2 болса,онда p(A-)=1/2 болады.
Қорытып айтқанда,ықтималды өмір сүру деп,қандай да бір жасқа дейін өмір сүру ықтималдығы сол жасқа дейін дүние салу ықтималдығына тең болатын (солай деп болжанатын) жасты айтуымызға болады.Мысалы,қауіпсіздендіру мекемелеріде осыны негізге алады.
Болжап отырған ізделінді жасымыз х болсын. Сонда
m(x)/n(a)=0,5яғни ,m(x)=0,5*n(a)
Енді х- тің мәнін 8- шы таблицаны пайдаланып табамыз.
a=20 болғанда m(x)=0,5 n(20)=48030,5.Таблицада бұл мән жоқ,сондықтан сызықты интерполякцияны орындаймыз.48030,5 саны 58842 мен 37977 арасында демек,осы санға сәйкес x жас 60 пен 70 арасында болады.Дәлірек айтқанда,
x=60+58842-48030,5/58842-37977*10=60+5,2=65,2=65 жас.
Осы тәсілді қолданып,жасы a=30,a=50,a=70,a=80 деп алып есептегенде, ықтималды өмір сүру жасының сәйкес 67,77,79,86 сандарына тең болатынын табу қиын емес.Мұндай есептеулерді іс жүзінде қауіпсіздік мекемелері тікелей пайдаланып отырады.
№26 Үлкен сандар заңы
Біздің назарымызды аудартып отырған мәселе процесс нәтижесінің кездейсоқтығы және оны болжайтын ережені ықтималдықтар териясының тудыруы.Сондықтан бұл теорияның практикада қолданылу әдістерін білген дұрыс.Осындай теориямен практиканы ұштастыратынн ықтималдылықтар теориясының саласы үлкен сандар заңы деп аталады.Үлкен сандар заңын сипаттайтын теоремалар ықтималдылықтар теориясының абстрактілі модельдері мен тәжірибе арасындағы байланысты көрсетеді.Сонымен қатар,үлкен сандар заңы сол тәжірибе нәтижесін болжауға мүмкіндік береді.Мұнда оқиғаның салыстырмалы жиілігі ықтималдықтан қандай да алдын ала берілген оң аз шамадан үлкен болмауын бірге жуық ықтималдық пен айту үшін жүргізілетін сынау саны қандай болатыны қарастырылады.Ал егер сынау саны бұрыннан мәлім болса,онда үлкен сандар заңы салыстырмалы жиіліктің әрбір сынаудағы ықтималдықтан ауытқуы - алдын ала берілген шектен артпауын бірге жуық ықтималдықпен айта алады.
Осы айтылғандардың барлығы да арифметикалық ортамен математикалық ортаның ауытқуына да тиісті болады.
Бұл айтылғандарды алдымен мынадай мысалдармен түсіндіріп көрейік.
Біздің жыл санауымыздан 4000 жыл бұрын Қытайда туған ұл балалр санының барлық туған балалар санына қатынасы жыл сайын да өзгермей, тұрақталып отырғаны байқалған.Сөйтіп,ол санды 1/2-ге тең деп алған.
Бұл сан Лаплас есептеуі бойынша Лондон,Петербург және Брюссель үшін 22/43 санына жуық, Париж үшін 25/49 санына жуық болған.СССР -де 1970 жылғы санақ бойынша,бұл сан 53/103 -ке тең болады.
Жоғарыдағы мысалдардан ұл балалардың туу жиілігінің математикалық ықтималдылығы 1/2 төңірегінде ауытқып отыратынын байқаймыз.Сонымен,көп жағдайда кездейсоқ оқиғаның қалыпты жиілігі болады және ықтималдықтың классикалық анықтамасы бар болса,бұл жиілік сол ықтималдық төңірегінде өзгеріп отырады.
Математикалық ықтималдықты классикалық анықтама арқылы айқындауға болатын жағдайда да статистикалық эксперименттер жүргізіп,жиілігін салыстыру арқылы да анықтауға болатынын байқаймыз.Осындай эксперименттерді көптеген ғалымдар жүргізген.Солардың ішінде монетті лақтырып, оның герб жағымен пайда болу жиілігін Бюффон және К.Пирсон орындаған тәжірибе қорытындылары таблицада келтіріліп отыр.
Эксперимент жүргізгендер
Лақтыру саны
Герб жағымен түсу саны
Жиілігі
Бюффон
4040
2048
0,5080
К.Пирсон
12000
6019
0,5016
К.Пирсон
24000
12012
0,5005
Бұл таблицадан тәжірибелер нәтижесі 1/2 ықтималдығына өте- мөте дәл жуықтайтын,яғни p(A) = f(A) болатынын көреміз.Сонымен, кездейсоқ оқиға (немесе кезэейсоқ шама) әрбір дербес жағдайда әр түрлі мәндерге ие болуы мүмкін,бірақ олардың саны аса көбейгенде белгілі бір заңға бағынатын болады.
Адам өзінің практикалық іс тәжірибесінде байқап жүрген бұл заңдылықтың математикалық тқжырымдамасын тұңғыш рет Я.Бернулли 1713 жылы берген.Оның тұжырымдамасы үлкен сандар заңының ең қарапйым түрі болатын.Оны былай айтуға болады.
Егер әрбір тәуелсіз сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты болып, ол p- ге тең болса,онда сынау саны n жеткілікт іүлкен болғанда р мен салыстырмалы жиілік f=m/n айырмасының абсолют шамасы мейілінше аз оң Е нен артық болмау ықтималдығын мейілінше бірге жуық ықтималдықпен қабылдаймыз,яғни
limn-р(|m/n-p|
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz