Файл қосу
Ықтималдықтың анықтамасы
Методикалық нұсқау
Бұл көмекші құрал пединституттың математика мамандығында өтілетін <<ықтималдықтар теориясы>> курсының А.Н.Колмогоров жасаған программасына сәйкес жазылды.
Бұл 3 тарау, 19 параграфтан құралған.
Біріні тарауда элементтері дискретті жиын болған кездейсоқ оқиғалар, элементар оқиғалар кеңістігі, оқиғалар алгебрасы ұғымы, ықтималдықтың классикалық анықтамасы бұл анықтама негізінде дәлелденілген ықтималдықтардың қасиеттері келтірілді. Комбинаторика формулаларын пайдаланып есептер шығарылды.
Екінші тарауда ықтималдықтың статистикалық анықтамасы келтіріліп оның практикамен байланысын айқындауға қажетті практикалық сенімділік критерийі мен үлкен сандар заңы туралы ұғым берілді.
Үшінші тарауда элементар оқиғалар кеңістігі элементтегі қалаған сан болуына кеңейтілген. Сөйтіп, F системасының δ алгебрасы ұғымы енгізіліп, Колмогоров аксиоматикасы берілді. Ықтималдықтардың қасиеттері келтірілді.
Оқырмандар қауымына ұсынылып отырған бұл кітапшаны жазуда автор көптеген қиындықтарға кездесті. Олар, біріншіден, сырттан және стационар оқитын студенттер мұқтаждығын бірдей ескеру қажеттігі туды, сондықтан математикалық қатаңдықты толық сақтай отырып, курс мазмұнын неғұрлым қарапайым баяндау болды. Екіншіден, орыс тіліндегі терминдердің қазақша баламасын жасау болды.
Бұл екі мәселе жөнінде автор қз тәжірибесін пайдаланды.
Сөйтіп кітапша негізіне автордың көп жылдан бері Шымкент пединститутының математика факультетінің 3 курс студенттеріне оқылған лекциясы алынды. Сонымен қатар совет елінің түрлі қалаларында басқа мамандықтарға, әсіресе тіл және экономика мамандықтарына, ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистикадан оқылған лекциялар пайдаланылды.
Бұл кітапшада қарастырылатын негізгі ұғым оқиға /кездейсоқ оқиға/ және оқиға ықтималдығы. Басқа қатыстар осы екі ұғым негізінде құрылған. Сондықтан бұл ұғымдарды баяндауды негіздейік.
ОҚИҒА ҰҒЫМЫ
Бұл ұғым ықтималдықтың классикалық анықтамасында бастапқы ұғым болып, формальды логикалық тұрғыдан анықталынбайтын жиын ұғымы ретінде түсіндірілсе ал аксиоматикалық анықтамада оған анықтама беріледі. Сондықтан оқырмандар оқиға ұғымы туралы мына жағдайларды ескеруі қажет.
Оқиға және олардың арасындағы қатыстарды үш рет қайталап отырғанымызды аңғару қиын емес.§1 де оқиғаның элементі туралы ешқандай сөз болғаны жоқ. Тек геометриялық ұғымға сүйендік.
Аңғарып қарасақ ,келтірілген мысалдарымыз нәтижесі шекті сан болып отырды, бәрақ нәтиже шекті ме шексізбе, санаулы ма әлде санаусыз ба ол туралы сөз қатқанымыз жоқ.
§2 де нәтижесі шекті және тең мүмкіндікті оқиғаларды ғана қарасытрдық. Элементар оқиғалар кеңістігі еңгізілді. Бұл кеңістік элементтері санаусыз шексіз болуы туралы осы параграфта ескеріліп ғана қойылады. Сөйтіп бұл жағдайға §18 арналды.
§1де оқиғалар алгебрасын /өрісін/ шекті операциялар нәтижесі арқылы енгізілген бұл операциялардың орындалуы санаулы шексіз болғанда δалгебра болатыны §18 параграф та айтылды.
Оқиғалар алгебрасы мен δ-алгебра ұғымдары, біріншіден, оқиғалар жиындары мен жасалуында болса, екіншіден, операциялардың орындалу санында екендігін аңғару керек.
Ықтималдықтар теориясының бірінші негізгі ұғымы оқиға бірте бірте кеңейтіліп анықтала түсіп формализацияланады. Сөйтіп колмогоров аксиоматикасында ғана оқиға деп, белгілі бір жиынды ұғатынымызға негіздеме берілді. Ал оған дейін оқиға сынау нәтижесі ретінде қарастырылды, ол элементте, жиында болып кездесіп отырылды.
Екінші негіздегі ұғым ықтималдықта осы сияқты формализацияланған. Бұл жағдайда ықтималлдықтың әрбір анықтамасы бір бірімен салыстыру және жетімсіздігін толықтыру арқылы түсіндірілді. Ықитмалдықтың классикалық анықтамасы мен аксиоматикалық анықтамасы оқиғалар алгебрасын кеңейту арқылы ұштастырылды.
Статистикалық анықтама мен жиілік салыстырылып отырды. Ықтималдықтың негізгі үш қасиеті аталған үш анықтама үшін де орын алатындығын басынқырап айтудағы мәселе ол ықтималдықтар теориясын бұл аталған анықтамалардың кай қайсысы негізінде құруға болатынына көз жеткізу болды.
Негізгі теоремалардың дәлелдемесі ықтималдықтың классикалық анықтамасы негізінде келтірілді.
Сөйтіп мектеп курсында факультативтік курсты өткенде ұсынылып отырған құралды пайдалануға қолайлы болу жағдайы ескерілді.
Комбинаторика туралы айтылғанда 9 класста өтілетін материалдар ескеріліп ыөқтималдықтар теориясымен байланыстыру жағдайы ойластырылды. Мұнда қайталама іріктеме және қайталанбайтын іріктеме сияқты статистика терминдерінің негіздеуді жөн көрдік. Осы терминдерді пайдаланып формулалар қорытылды. Бұрын соңды қазақша келтірілмеген терминдерде және ұғымдарда бар.
Жалпы теориялық модель мен практиканың ұштасуы үлкен сандар заңы арқылы болуына жалпы сипаттама берілді. Бұл ұғым келешекте математикалық статистика туралы берілетін мәләметтермен ұштасады.
Математикалық теория болу үшін зерттеп отырған құбылысқа байланысты математикалық модель болуы қажет. Яғни құбылысты сипаттау үшін қатаң айқындалған символ мен оларға қолданатын операцияларды пайдалану керек. Бұл мәселе қазіргі заман математикасында аксиоматикалық жүйеде құрғанда ғана шешілетіндіктен, ықтималдықты колмогоров берген аксиомалар негізінде аныұтап ықтималдықтар теориясын құру негізделді.
Ықтималждықтың аксиоматикаллық жүйесі классикалық және статистикалық анықтамаларды болған кемшіліктердің болмауын қамтамасыз етіп, қатаң математикалық теория құрудың негізі болатынын іспеттеді.
Ықтималдықтар теориясы математикалық пен ретінде қарастылылғандықтан келтірілген мысалдар негізінде теориялық мәселелерді айқындауға және оның түрлі қолдануларымен байланысын ашуға арналған.
Келтірілген есептердің құрылымы жағынан ықтималдықтар теориясының тарихы және басқа ғылым салаларымен байланысы туралы азды көпті мәліметтер береді.
* Ықтималдықтар теориясы басқа ұғымдар сияқты бірден қалыптаспаған. Ол өзінің дамуында талай сатыдан өткен /кіріспені қара/.
Ықтималдықтар теориясының тарихын білу үшін алдымен бұл пән айналысатынын білудің қажеттігі туды. Сондықтан тарихи мәлімет туралы айтқанда қай уақаттарда қандай ғалымдар және қай ел математиктері бұл пәннің дамуына үлес қосқанына шолу ғана берілді. Толық тарихи мәліметтерді беру курс соңында берілгенін жөн деп таптық. Алайда бұл ғылымның дамуын кейбір мысалдарды шығару арқылы түсіндірілді. Бұған келтірілген Даламбер және Де мере есептері дәлел бола алады. Даламбер есебі дұрыс талқылаудың ықтималдықтар теориясы үшін үлкен мәні бар екендігінің айғағы да болады.
2 ықтималдықтар теориясының физика ғылымының дамуына әсері өте мөте зор болды. Жалпы статистикалық физиканың негізделуінде ықтималдықтар теориясының алып тұрған орны ерекше. Бұл мәселе комбинаторика формулаларын пайдалану арқылы частицалардың ұиаларда орналасуының ықтималдығын анықтауға байланысты статистикалық физиканың әртүрлі саласының болуын мысалмен түсіндірілді.
3 келтірілген мысалдардың ішінде ықтималдықтар теориясының түрлі салалар мен, мысалы, тіл білімі мен, биологиямен, статистикамен т.т. байланысын аңғару қиын емес.
Сонымен қатар осы мысалдарға қарап, оқырмандардың өздері де есеп қарастыруына мүмкін болатын жағдайы қарастырылды.
Ұсынылып отырған бұл кітапшада қазақша оқу құралдарының жоқтығы ескеріліп неғұрлым жүйелі қарапайым баяндауды, есептерді аяғына дейін шығаруды жқн көрдік. Бұлай құрылған методикалық талдаудың пайдасы болар деп ұғамыз. мұндағы ойластырған бір мәселе оқырман осында жазығандарды бірнеше қайталап оқыса, шығалырған есеп модельдерін түсінсе, онда ықтималдықтар есебінен толық шығара алады және теориялық материялдарды түсінеді деп ұғамыз.
Кейбір мәселелер жөнінде орыс тіліндегі оқу құралдарына және автор өзінің кітапшасына нұсқап отырды.
Кітап соңында келтірілген тізім- программа бойынша ұсынылған кітаптар, тек сол тізімге автор өзінің кітапасын қосуға тиіс болды.
Әрине, бұл методикалық талдаманы ұсыну үшін тізімде келтірілген әдебиеттен басқа да көптеген кітаптарды пайдаланды. Бұлардың тізімін[4],[5 ] кітаптардан қараңыз.
Сонымен қатар бұл бөлімде баяндалған ұғымдар келешек бөлімдерде түгелдей пайдаланып отырылады. Сондықтан бұл курсты меңгеремін деушілер осы бөлімде жазылған қарапайым ұғымдарды егжей тегжейі мен түсіну қажет.
Мұнда қолданылған математикалық апаат өте қарапайым, сондықтан бұл бөлімді түсіну үшін қазіргі орта мектеп көлеміндегі математиканы білу жеткілікті. Осы себепті бұл көмекші оқу құралын мектеп мұғалімдері факультативтік курсқа толық пайдалануына болады.
КІРІСПЕ
Табиғаттағы құбылыстар сан алуан және олар түрлі түрлі әдістер мен зерттелінеді. Солардың ішінде кейбір құбылыстар сан алуан қайталанып жиын жасайды. Мұндай жиындарда кездесетін заңдылықтар жеке құбылыстар қасиетін зерттеу мен анықталмайды. Өйткені бұл заңдылықтардың өзіне тән ерекшеліктері бар, сонымен қатар ол көп жағдайда сол жиынның жеке элементтерінің ерекшеліктеріне тікелей байланысты болмайды. Мысалы, ыдыста белгілі көлемде газ бар болсын. Енді осы газдардың ыдыс қабырғасына түскен қысымын өлшейік. Мұндағы газдар бір бірімен соқтығысып, қабырғаға түскен қысымын қадағалауға болмай, кездейсоқ өзгеріп отырады. Бірақ көптеген зерттеулердің нәтижесі бойынша малекулалар саны сейлінше көп болса, газдардың ыдыс қабырғасына түскен қысымы газ бөлектерінің жүрген жолына байланыссыз болып, белгілі бір заңға бағынады, мысалы Боиль-Мариотта заңы.
Сонымен,жеке обьектілерге тән дербес ерекшеліктер өзара жойылып, орта мәнге тұрақтанады, яғни статистикалық /ықтималдық/ заңдылықөа айналады.
Қарастырайық деп отырған ықтималдықтар теориясы - кездейсоқ құбылыстардың заңдылығымен айналысатын математикалық ұғым. Сайып келгенде, ықтималдықтар теориясы қандайда математикалық /теориялық/ модель құру және оны таңдау мен айналысады, ұсынылып отырған жұмыста дедуктивті ықтималдықтар моделі сипатталынады.
Қазіргі ауқытта ықтималдықтар теориясы ғылыммен техниканың алуан түрлі салаларында қолданылып отыр, математиканың көптеген салаларына қарағанда ерекше орын алып отыр.
Ықтималдықтар теориясының әдістері, оның апараты барлық жаратылыстану және техникалық ғылымдар ғана емес, тіпті математикадан алшақ деп ұғ\ынылатын тіл ғылымына, педагогика мен психология ға, сонлай ақ археологияға да еніп олар мен ортақ тіл табысып ішкі құрылыс заңдарын ашып көрсететін пәрменді құралға айналып отыр.
Кибернетиканың негізгі салалары-информация теория, ойын теориясы, операция теориясы, сенімділік теориясы т.б математикалық аппараттарды ықтималдықтар теориясы негізінде құрылған.
Бұл ғылым XVII ғасырда пайда болған делінеді. Ал ықтималдықтың бастапқы ұғымдары өте ертедегі заманда - ақ кездеседі. Мәселен, біздің жыл санауымыздан 2238жыл бұрын Қытайда өткізілген санаққа қарағанда, жаңа туған ұл балалардың санының барлық нәрестелердің жалпы санына қатынасы тұрақты және ол сан 12 ге тең /яғни ықтималдығы 12 /
Ал қызба құмар ойындарда көп қолданылып жүрген ойын кубы /ойын сүйегі/ Иракта, Индияда осыдан 6 мың жыл бұрын қолданылғаны анықталды.
Ықтималдықтар теориясының тарихи дамуы мен ғылым ретінде қалыптасуы бірнеше сатыдан өтеді.
Бірінші сатысы, ол XVII ғасырға дейінгі дәуір. Бұл дәуір өте ұзаққа созылғанымен арнайы зерттеу методтары болмаған дәуір. Бұл дәуірде келешекте ықтималдықтар теориясының дамуына материялдар жиналады. Бұл дәуір XVI ғасырда шыққан Луки Пачоли /1445-1541/, Н. Партолий /1499-1557/, Д. Кардан /1501-1576/, т.т. еңбектерімен аяқталады.
Екнші сатысында ықтималдықтар теориясының алғашқы ұғымдары қосу және көбейту теоремалары енеді. Бұл дәуір XVII ғасырдан XVIII ғасырға дейінгі уақытты қамтыдф. Бұл дәуірде көрнекті еңбек сңірген ғалымдар Б. Паскаль /1623-1662/, П. Ферма /1601-1665/, Х. Гоигенц/1629-1695/.
Келесі, үшінші, сатысы үлкен сандар заңының қарапайым түрі және оның қатаң дәлелдемесі келтірілген. Я. Бернуллидің/1654-1705/ 1713 жылы шыққан <<искусство предположения>> еңбегінен басаталады. Осыдан бастап Европа ғалымдары А. Моавр /1667-1754/, Т. Байес /1702-1763/, П. Лаплас /1749-1826/, Ф. Гаусс /1777-1855/, С. Пуассон /1781-1840/ орасан зор үлес қосты.
Бұл ғылымның келесі дамулары ұлы орыс математигі Пахнутий Львович Чебышев /1821-1894/ басқарған Петербург ықтималдықтар теориясы мектебімен байланысты. Атап айтқанда П. Л. Чебышевтің XIX ғасырдың орта кезінде жарық көрген іргелі зерттеулерінен бастап Рассияда ықтималдықтар теориясы пәрменді дамыды. Аса ірі еңбектер сіңіріп, жаңа әрі құнды нәтижеге қолы жеткен Рассия Совет ықтималдықтар теориясын дамытқан Совет ғалымдары А.А. Марков /1856-1922/,А.М. Ляпунов/ 1857-1918/, А. Я. Хинчин/ 1894-1959/, А. Н. Колмогоров/ 1903 жылы туған/, С. Н. Барнитеин/ 1880-1968/, В.И. Ромоновский/ 1879-1954/, В.И. Слуцкий/ 1880-1948/, В.И. Гливенко/ 1896-1940/, Б.В. Гнеденко/ 1912 жылы туған/, Ю.В. Линник/ 1915-1972/, Ю.В. Прохоров/ 1929жылы туған/ т.т есімдері жұртшылыққа кеңінен мәлім.
Ыктималдыктар теориясымен математикалык статистиканы дамытып ірі жетістіктерге ие болган ғалымдардын бірі - Ташкент математика мектебінін негізін калаушы В.И.Ромоновский.корнекті галымдар Т.А.Сарымсаков/1915жылы туган/,С.Х.Сираждинов/1920жылы туган/сиякты,В.И.Ромоновскидін баскада шәкіртері бул ғылымнын өркендеуіне елеулі үлес қосып келеді.
Ықтималдықтар теориясының қазіргі замандағы даму дәуірі аксиоматикалық негіздеуден басталады. Бұған байланысты алғашқы жұмыстар Берншейн, Мизес, Борель аттарымен байланысты болғанымен, аксиоматикалық методтың тұжырымдамасын берген және барлық ғалымдардың мойынсынғаны осы ғасырдың отызыншы жылдары Совет академигі
А.Н.Колмогоров ұсынған акисоматикасы. Қазіргі ықтималдықтар курсы көп жағдайда осы Колмогоров аксиоматикасы негізінде баяндалды.
Тарау1. Элементар оқиғалардың дискіретті кеңістігі. Ықтималдықтың анықтамасы.
§1.Оқиғалар. Оқиғалар алгебрасы.
Бұл ұғымды түсіндіру үшін мысалдар келтірейік.
1-мысал. Басбармағымыздың үстіне монетті койып, қаттырақ ыршытып жіберейік. Монет жоғарлап барып бір жағымен жатады, я қырымен тұрады.
2-мысал. Бір тектес материалдан жасалған симетриялы дұрыс кубтың әрбір жағын 7-ден 6-ға дейінгі цифрлармен нөмірлейік.Оны бір рет лақтырғанда 6 жағының бірі жоғары қарай жатады, я бір қырымен тұрады, не бір төбесімен шаншыла тұрады деп болжауымызға болады.
Бұл мысалдарды тәжірибенің абстракттық моделін, яғни математикалық теориясын құру үшін пайдаланатын болсақ, онда алдымен тәжірибенің мүмкін нәтижелерін айқындап алуымыз керек. Мұны анықтаудағы қойылатын бірден-бір талап монета және куб түсетін еден мейілінше тегіс болуы қажет. Сонда келтірілген мысалдардағы <<қырымен тұру>>, <<төбесімен шаншыла тұру>> нәтижелерін ескермеуімізге болады. Сөйтіп, тәжірибе ықшамдалып нәтижесі айқындала түседі.
Сонымен, монетаны лақтырғанда тек бір жағы жоғары қарай жатады, кубты лақтырғанда 6 нөмірінің тек бір нөмері ғана жоғары жатады деп келісеміз және қай жағы жатса да, тәжірибе нәтижесі болмақ, мұны оқиға деп атаймыз.
Оқиғаларды А,В,С,... әріптерімен белгілейміз. Бұл оқиғалар тәжірибе орындалғанда пайда болуы да, болмауы да мүмкін, яғни бұлар-кездейсоқ оқиғалар .Өйткені қай нәтиженің пайда болуын алдын ала айта аламыз. Мұндай оқиғаларға монетті лақтырғанда тиын жағымен, кубты лақтырғанда алты жағының бірінің жоғары қарап түсуі т.т. мысал бола алады.
Кездейсоқ оқиғалар арасында белгілі қатыстар бар. Сондықтан бұлардың арасындағы негізгі қатыстарды келтіріп, амалдарды орындап, олардың көрнекілігін графикпен, яғни Эйлер-Венна диаграмасымен көрсетейік.
1.Сынау жүргізгенде сөзсіз пайда болатын нәтижені ақиқат оқиға дейміз. Оны U әрпімен белгілейміз.
2.Сынау жүргізгенде сөзсіз пайда болмайтын нәтижені мүмкін емес оқиға дейміз. Оны ϑ әрпімен белгілейміз.
3-мысал. Жәшікте формасы, салмағы бірдей 10 қызыл шар бар дейік. Жәшіктегі шарды араластырып жіберіп, кез келген бір шар алсақ, ол алынған шардың қызыл болуы ақиқат оқиғада, басқа түсті болып шығуы мүмкін емес оқиға болады.
3.Сынау жүргізгенде оқиғаның бірі пайда болғанда, екіншісі пайда болмайтын екі оқиғаны үйлесімсіз оқиғалар дейді. Мәселен, А1,А2 оқиғалары-үйлесімсіз оқиғалар.
4. Кез келген екі-екіден алынған оқиғалар үйлесімсіз болса, ондай оқиғаларды қос-қостан үйлесімсіз дейді.
5. Сынау жүргізгенде оқиғаның бірі пайда болғанда екіншісінің де пайда болуы мүмкін болатын екі оқиғаны үйлесімді оқиғалар деп атайды. Мысалы кубтың жұп нөмірінің шығуы А және үш санына еселік нөмірдің шығуы В үйлесімді. Өйткені кубтың 6-нөмірінің шығуын көрсететін А6 оқиғасы А оқиғасы пайда болуы мүмкін.
6. Сынау нәтижесінде оқиғалардың тек әйтеуір біреуінің сөзсіз пайда болуы ақиқат болса, ондай оқиғаларды жалғыз ғана мүмкіндікті оқиғалар дейді. Мысалы, сынау нәтижесінде кубтың алты жағының біреуі шығуы сөзсіз, сондықтан А1,А2,А3,А4,А5,А6 оқиғалары жалғыз ғана мүмкіндікті оқиғалар, бұлар оқиғалардың толық тобын құрайды деп атайды. Сондықтан бұл оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық системасын құрайды дейміз. Мұндай оқиғалар системасын оқиғалар кеңістігі деп те атайды.
7.А және В оқиғаларының кемінде біреуінің пайда болуын сол оқиғалардың қосындысы деп атайды. Оны А+В немесе АUВ деп белгілейді. U- бірігу таңбасы. Сонымен, екі оқиғаның қосындысы дегенде не А оқиғасы, не В оқиғасын, не А және В екеуі де пайда болатын оқиғаны түсінеміз. Оқиғаны өзіне - өзін қосқанда сол оқиғаның өзі шығады, яғни
А+А=А.
А және В оқиғалар қосындысының геометриялық кескінін көрсету үшін кездейсоқ оқиғаның жазықтықта фигура деп қарастырған қолайлы. Квадратішіндегі радиусы үлкен дөңгелектегі нүктелер жиыны А оқиғасының пайда болуына қолайлы нәтижелерді кескіндейді, радиусы кіші дөңгелектегі нүктелер жиыны В оқиғасының пайда болуына қолайлы нәтижелерді кескіндейді десек, онда А+В оқиғасы біріктірілген екі дөңгелек құрайтын облыстағы нүктелер жиынын көрсетеді. 1а - чертеж А және В оқиғалары үйлесімді болған жағдайдағы қосынды оқиғаны көрсетсе, 1ә-чертеж бұл оқиғалар үйлесімсіз болғандағы қосынды оқиғаны көрсетеді.
8. А және В оқиғаларының бірден пайда болуын олардың көбейтіндісі деп атайды. Мұны АВ немесе АВ деп белгілейді.- қилысу таңбасы. АВ-ні АжәнеВ оқиғаларының пайда болуы деп оқиды. Оқиғаны өзін-өзіне көбейтсе, сол оқиғаның өзі пайда болады, яғни А*А=А.
АВ оқиғасының геометриялық кескіні 1б - чертежде келтірілген екі дөңгелекке ортақ облыс болады.
9. А оқиғасы орындалып, В оқиғасы орындалмайтын оқиғаны А оқиғасы мен В оқиғасының айырмасы деп атайды. Мұны А-В немесе А/В деп белгілейді азайту немесе шегеру таңбасы. А-В оқиғасының геометриялық кескіні 1в-чертежде келтірілген А дөңгелегінің белгілі болмақ.
10. Сынау нәтижесінде пайда болған В оқиғасы екінші бір А оқиғасының да пайда болуын қамтамасыз етсе, онда В оқиғасының пайда болуынан А оқиғасы да пайда болады дейді. Бұл жағдайда В-ны А-ға толықтырушы оқиға деп атайды. Мұны В А деп белгілейді. - Құрамында жату таңбасы.
В А қатысы В облысы А облысының бөлігі екенін көрсетеді. Бұл факт 1г-чертежде айқын көрсетілген. Геометриялық талдаудан
1.А⊂Аболады
2.В⊂Ажәне А⊂С болса, онда В⊂С болады
3.В⊂А болса, А∪В=A және А∩В=В
Сондай-ақ АUϑ=А, АUU=U, а болуын байқау қиын емес. Бұларға талдау жасауды оқырмандардың өздеріне тапсырамыз.
11.Сынау нәтижесінде пайда болған А оқиғасы В оқиғасының да пайда болуын қамтыса /яғни А⊂В/ және сынауда В оқиғасының пайда болуы А оқиғасының пайда болуын қамтыса /яғни В⊂А/ онда А және В оқиғаларын эквивалент деп атайды. Мұны А=В деп белгілейді. Өзара Эквивалент кез келген екі оқиғаны теңбе - тең немесе тең оқиғалар деп атайды.
Барлық ақиқат оқиғалар эквивалент , сондықтан оларды U әрпімен белгілеу қабылданған. Сондай-ақ барлық мүмкін емес оқиғалар да мәндес, сондықтан оларды да бір ϑ әрпімен белгілеу қабылданған. Оқиғалардың толық тобын құрайтын А,В,С,...,Z оқиғалар қосындысы ақиқат оқиға , яғни
А+В+С+...+Z=U.
12.Оқиғалар қосындысының анықтамасы бойынша А+В оқиғасы мен В+аА оқиғасы эквивалент, ал көбейтіндінің анықтамасы бойынша АВ менВА эквивалент оқиғалар. Бұл жәйт оқиғалар саны екіден артық болғанда да орындалады. Олай болса, оқиғалардың қосындысы және көбейтіндісі үшін орын ауыстыру заңы орындалады.
13. Екі үйлесімсіз А және Ā оқиғалары оқиғалардың толық тобын құраса, олар қарама-қарсы оқиғалар деп аталады. Олардың қосындысы-ақиқат оқиға, яғни А+Ā=U(2)
ал көбейтіндісі-мүмкін емес оқиға, өйткені олардың екеуіне де ортақ оқиға болмайды, яғни А*Ā=ϑ. (3)
2және 3 формулаларын пайдаланып, былай айтуға да болады: егер екі оқиғаның қосындысы ақиқат оқиға, ал көбейтіндісі мүмкін емес оқиға болса, ондай екі оқиға қарама-қарсы оқиға деп атайды. Көбейтіндісі мүмкін емес оқиға болатын қарама қарсы екі оқиғаны үйлесімсіз оқиғалар деп атайды. Сондай-ақŪ=ϑ, ῡ=U,Ā=A болуын байқау қиын емес.
Бұл жерде қарама-қарсы екі оқиға бірін-бірі ақиқат оқиғаға толықтырып отыр. Сондықтан <<емес>> орнына <<толтыру>> операциясы терминде қолданылады.
14. Эйлер-Венна диаграммасы оқиғаларды қосу, көбейту, толықтыру операцияларының орындалуын көрнекі тексеруге мүмкіндік береді.
Шынында қандай да оқиғаларға бірігу,/U/ қилысу,/ϑ/ ішінде жату/⊂/ және ішіне алу /⊃/операцияларының қолданылуы дұрыс болса, онда ол оқиғаларды сәйкес толықтырушы оқиғалармен ауыстырып қолданғанда операциялар бір-бірімен ауысады, яғни /U/мен ∩/не∩менU/,/ ⊂мен⊃ /,/не ⊃мен⊂/.Сол себепті мына қасиеттер орын алады:
Егер А⊂В болса, онда А ⊃В
Егер А⊃В болса, онда А⊂В (4)
Егер С=АUB болса, онда С=A∩B
Егер С=A∩Bболса, онда С=AUB
Енді оқиғалар арасында қатыстарды пайдаланып, төмендегі қасиеттерді дәлелдеуді оқырмандарға тапсырамыз:
1.A+В=В+А /қосудың коммуникативтік заңы/
2.(A+B)+C=A+(B+C)/ қосудың ассоциативтік заңы/
3.AB=BA / көбейтудің коммутативтік заңы/
4.(AB)C=A(BC) /көбейтудің ассоциативтік заңы/
5.(A+B)C=AC+BC /дистрибутивтік заң/
6.AB+C=(A+C)(B+C) /екінші дистрибутивтік заң/
7.A+B= A*B
8.AB= A +B
9.A+BC=AC+BC
10.AC+BC=(A+C)(B+C)
11.AC+BC= AC BC
Біздің мақсатымыз тәжірибенің мүмкін нәтижелерімен анықталатын құбылыстарды сипаттауға ыңғайлы математикалық модельді іздестіру болатынды. Бұл мәселе оқиғаны тек сынау нәтижесі деп қарастырумен шешілмейді. Сондықтан, мұны шешу үшін жиын мен оқиғаны ұштастырдық, яғни тәжірибе нәтижесінен құралған әрбір жиынды оқиға деп қарастырдық. Міне, осылай қарастыру нәтижесінде ғана қойылған мақсат шешілмекші болып отыр. Олай болса, іздестіріп отырған моделімізге жоғарыда келтірілген оқиғалар тобы оларға қолданылатын бірігу, қилысу, толықтыру операциялары мен бұлардың қасиеттеріне құрылған модельді алуға болатынын байқаймыз. Бұл модельді оқиғалар алгебрасы деп атаймыз.
Оқиғалар өрісіне мүмкін емес оқиға ϑ ақиқат оқиға U жатады. Өйткені (2),(3) бойынша А+Ā=U, А*Ā=ϑ. Оқиғалар алгебрасында қандай да оқиғаларға бірігу, қилысу және толықтыру операцияларын қолданғанда шыққан оқиғалар сол оқиғалар өрісінен сыртқа шықпайды, яғни оқиғалар алгебрасы қарастырып отырған оқиғаларға қарағанда жабық система құрайды. Осы айтылғандарды мысалдармен түсіндірейік.
1-мысал. Кездейсоқ А оқғасынан туған оқиғалар алгебрасына
ϑ,A,Ā,U (6)
жатады.
Шынында, бірігуден шыққан оқиға осы алгебрада жатыр, өйткені А+А=А. Сондай-ақ, қиылысудан шыққан оқиға (6) да жатыр, өйткені А*А=А, толықтырудан шыққан оқиға (6)-да жатыр. Өйткені U-A=U. Мүмкін емес оқиға ϑ, ақиқат оқиға U (6)-да жатуы оқиғалар алгебрасы анықтамасынан мәлім. Сонымен осы 4 оқиғаларға аталған операциялардың қай-қайсын қолдансақ та, одан шыққан оқиғалар осы оқиғалар алгебрасы (6)-да жатады.
Шынында да1.ϑ+А=A, ϑ+Ā=Ā, A+Ā=U т.т
2.ϑ*A=ϑ, A*Ā=ϑ, A*U=A т.т
3. ῡ=U, Ā=A, Ū=ϑ т.т
2-мысал. Кездейсоқ А және В оқиғаларынан туған оқиғалар алгебрасын құру керек болсын.
Шешуі.1. Мүмкін емес оқиға ϑ ақиқат оқиға U оқиғалар алгебрасында жатады.
2.А және В-ға толықтаушы оқиғалар сәйкес Ā және Ḃ
3. Бірігу амалын орындағанынан мынадай оқиғалар шығады:
А+В, А+Ḃ, Ā+Ḃ, Ā+Ḃ.
4. Қилысу операциясын орындағаннан мынадай оқиғалар шығарады:
АВ,АḂ, ĀВ, ĀḂ.
5. Бірігу және қилысу операциясын орындағаннан мынадай оқиғалар шығады:
АВ+ĀḂ, АḂ+ĀВ.
1-5 пукттегі оқиғалар жинағы оқиғалардың алгебрасын құрайды. Бұлардың саны 16 олар:
ϑ,А,В,Ā,Ḃ,А+В, А+Ḃ,Ā+В,Ā+Ḃ, А*В,А*Ḃ,Ā*В,Ā*Ḃ, АВ+ĀḂ,А Ḃ+ĀВ,U. (7)
Осы оқиғаларға аталған операцияларды қолданудан туған әр қандай оқиға осы оқиғалардың әйтеуір біреуі болады.
Мысалы, АḂ-ға қарама-қарсы оқиға Ā+В болады, яғни
AB= A+B сондай ақ,
(AB+AB)+AB= AB=A+B
(A+B)(A+B)=AB+AB т.т
Бұдан аталған операцияларды қайталап орындалғаннан өрісте көрсетілген оқиғалардан өзге оқиғалар тумайтынын көрдік. Олай болса бұл алгебра А және В оқиғаларына қарағанда тұйық система болады.
Сонымен, қорта келгенде ықтималдықтар теориясының әрбір мәселесінде сынау және оқиғалардың белгілі системасы Ƒ пен жұмысымыз болады, яғни қандайда сынау жүргізілгенде осы Ƒ системадағы әйтеуір бір оқиға пайда болады, оның үшін бұл Ƒ системасы туралы мынадай талаптар қойылады дейміз.
* Егер Ƒ системасына А және В оқиғалары жатса, онда бұларға бірігу, Қилысу және толықтыру операцияларының шыққан оқиғалар да жатады.
2.Ƒ системасына мүмкін емес және ақиқат оқиғалар жатады.
Осы талаптарды қанағаттандыратын оқиғалардың Ƒ системасын оқиғалар алгебрасы немесе оқиғалар өрісі деп атаймыз. Бұл система элементін ,(7)-дегі оқиғаларды, кездейсоқ оқиға деп қарастыруға болатын 18-параграфтан қара.
Мұндағы құрастырып отырған оқиғалар саны да жәнек операциялар саны да шекті. Ал операциялар саны санаулы шексіз болған жағдайын 18-параграфтан қара.
4-мысал. Кластан шақырылған кез келген бір оқушының белгілі бір пәннен алған жақсы болуы А оқиғасы, орташа болуы В оқиғасы , нашар болуы С оқиғасы болсын.
А+В, А+В, А+С, АВ, АС, АС+В, А,В
оқиғаларын сипаттап беру керек.
Шешуі. А+В оқиғасы А не В оқиғаларының кемінде біреуінің пайда болатынын көрсетеді. Сондықтан А+В оқиғасы деп оқушының жақсы немесе орташа оқитынын түсінеміз. А+В оқиғасы А+В оқиғасына кері оқиға , Ол- баланың нашар оқитынын көрсететін С оқиғасы, яғни . А+В=С. Осы сияқты А+С=В болады. АВ оқиғасы- мүмкін емес оқиға, өйткені оқушының алған бағасы бірден жақсы да, қанағаттандыралық та болуы мүмкін емес. Осы сияқты АС да мүмкін емес оқиға. Ал АС+В=В болатынын байқау оңай.
А оқиғасы кері оқиға Ā оқушының орташа В не нашар С оқуын сипаттайды, демек, Ā=В+С. Ал Ā =В+С және В+С=А болатынынан Ā=А болатыны түсінікті. Осы сияқты В=В болатынын сипаттап беру қиын емес.
§2. ЭЛЕМЕНТАРЛЫҚ ОҚИҒАЛАР. ОҚИҒАЛАР КЕҢІСТІГІ.
Тәжірибеге қойылатын негізгі шарт оның мүмкін болатын нәтижесін көрсете білуімізде екендігін көрдік. Ал тәжірибе жүргізгенде мүмкін нәтиженің бірі пайда болғанда, екіншісі пайда болса, ондай нәтижені бұдан былай элементарлық оқиға дейміз. Мұны ωмен белгілейміз. Элементарлық оқиғалар- әрі қарай жіктелмейтін оқиғалар. Ал сынау нәтижесі болса, тек бір ғана элементарлық оқиғамен көрсетіледі.
Тәжірибенің барлық мүмкін нәтижелері жиынын, яғни барлық элементарлық оқиғалар жиынын, элементарлық оқиғалар кеңістігі дейміз. Мұны {ω} мен белгілейміз. Элементарлық оқиғалар жиыны {ω}-ның әрбір ішкі жиыны оқиға деп аталады. Сөйтіп, оны А,В,С,... әріптерімен белгілейміз. Мысалы, кубты лақтырғанда барлық мүмкін нәтижелер жиыны {ω}={А1, А2, А3, А4, А5, А6,} элементарлық оқиғалар. Осы {ω} жиынында анықталған оқиғаларды қарастырайық:
а) Нөмірлері 3-тен артық болмау А={А1, А2, А3} оқиғасын құрайды. Бұл А⊂ {ω}
ә) Тақ нөмірлі ұпайлар оқиғасы В={А1, А3, А5} оқиғасын құрайды. Бұл В⊂ {ω}.
Элементарлық оқиғалар кеңістігінің геометриялық кескінін қандайда кеңістік десек, онда элементарлық оқиғалар осы кеңістік нүктесі болады.
Евклид геометриясын құрғанда <<нүкте>> және <<түзу>> анықталмайтын бастапқы ұғым деп қарастырған сияқты, ықтималдықтар теориясында да элементарлық оқиға және оның нүктесін бастапқы ұғым және бұл теория көлемінде анықталмайтын ұғым деп қараймыз. Мұны берілген деп қарастырамыз.
Сонымен, А оқиғасын элементарлық оқиғалар кеңістігіндегі белгілі элементарлық оқиғалар жиыны деп анықтауға келісеміз.
Сынау нәтижесінде сөзсіз пайда болатын оқиғаны ақиқат оқиға десек, онда оны барлық, ЭОК-мен теңестіруге болады, сөйтіп U={ω} мен белгілейді. Сынау нәтижесінде сөзсіз пайда болмайтын оқиғаны мүмкін емес оқиғасы десек, онда бұны бір де элементарлық оқиғасы болмайтын бос жиын деуімізге болады. Сөйтіп, оны ϑ={ω} символымен белгілейміз.
§1-те келтірелген қасиеттер элементар оқиғалар кеңістігінде де орындалады. Онда оқиғалар арасындағы қатыстар және оқиғалар алгебрасы туралы сөз еткенде жиын ұғымы мен ұластырып отырдық. Бірақ ол жиын элементтерінің саны жайлы сөз қозғаған жоқпыз . Ал жоғарыда келтірілген мысалдарда ЭОК шекті жиын болып келеді. Мысалы, монетаны лақтырғанда ЭОК 2 элементтен құралса, кубты лақтырғанда ЭОК 6 элементтен құралады. Бұнда ЭОК элементтері шексіз болмайды деген тұжырым шықпайды. Мәселен, егерде монетаны қанша тиын жағы пайда болғанша лақтыра берсек, сондай-ақ оқты қашан нысанаға тигенше ата берсек т.т. онда элементар нәтижелері принципінде шексіз тізбек жасайды.
Сонымен шекті яшексіз санаулы және шексіз санақсыз тізбек аламыз.
Біз қазір нәтижелері тең мүмкіндікті шекті я санаулы шексіз дискретті элементарлық оқиғалар кеңістігімен айналысамыз. Осыған байланысты ықтималдықтың классикалық анықтамасын келтіріп теория құру жағын қарастырамыз.
§3.ЫҚТИМАЛДЫҚТЫҢ КЛАССИКАЛЫҚ АНЫҚТАМАСЫ.
Қандай болмасын математикалық теория белгілі бір ұғымдар негізінде құрылатын болғандықтан, біз ықтималдықтар теориясының құрылуын ықтималдықтың классикалық анықтамасына негіздеп бастаймыз. Ілгеріде ықтималдықтар теориясын бұдан да басқа анықтама негізінде құруға болатынын көрсетеміз.
Ықтималдықтың классикалық анықтамасын алғаш рет берген Лаплас /1749-1827/ еді. Ықтималдықтың бұл анықтамасы тең мүмкіндікті шекті элементтер оқиғалар кеңістігінде қарастырылады және өте қарапайым. Сондықтан да біз ықтималдықтар теориясын баяндауды осы анықтамадан бастаимыз.
Тең мүмкіндік немесе тең ықтималдық ұғымдары алғашқы ұғымдарға жатады, олар логикалық анықтама беруді қажет етпейді. Жалпы сынау нәтижесінде бірнеші элементар оқиғалар пайда болуы мүмкін болса және олардың біреуінің пайда болу мүмкіндігінің, екіншісіне қарағанда, артықшылығы бар деп айта алмайтын болсақ, басқаша айтқанда сынаулар нәтижесінің симметриялы қасиеті болса, мұндай элементар оқиғалар тең мүмкіндікті делінеді. Бұған 1-ші параграфта келтірілген 2-ші мысал айғақ. Өйткені кубтың әрбір жағының пайда болуы мүмкіндігі бірдей .Сондықтан бұлар тең мүмкіндікті/яғни тең ықтималдықты/ элементар оқиғалар болады.
А1, А2,..., Ап оқиғалары тең мүмкіндікті қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын /системасын/ құраса, онда ол оқиғаларды сынаудың мүмкін / мүмкін болатын/ нәтижелердің толық тобы немесе элементар оқиғалар кеңістігі деп атайтынын көрдік. Сонда {ω}={А1, А2, ..., Ап}.
жалпы саны n{ω} мен белгілейміз. Әрбір элементар оқиғаның шығу мүмкіндігінің мөлшері, ықтималдығы P=1nω. Ал, тең мүмкіндікті, үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын А1, А2, ..., Ап элементар оқиғалардың бірнешеуі бір А оқиғасының пайда болуын тудыруы мүмкін , яғни екінші сөзбен айтқанда, құранды А оқиғасы тең мүмкіндікті бірнеше оқиғаларға бөлінеді және олардың кез-келген біреуінің пайда болуынан А оқиғасының пайда болуы шығатын болады . Мысалы, кубты бір рет лақтырғанда оның кез келген тақ нөмері А1, А3, А5 пайда болуынан, А оқиғасының пайда болуын байқаймыз. Былайша айтқанда, А оқиғасы тақ нөмерлі А1, А3, А5 үш оқиғаға бөлініп отыр. Бұл тақ нөмерлі элементар оқиғалар саны /ол 3-ке тең/ осы А оқиғасының пайда болуына қолайлы. Мұны m {ω} мен белгілейміз. Мұнда {ω} ={А1, А3, А5}. Сонымен, сынау нәтижесінде А оқиғасы бөлінбейтін элементар оқиғаларды осы оқиғаға, А-ға қолайлы дейміз.
* мысал. Жәшікте 10 шар бар. Олардың 4-еуі ақ 6-уы қызыл шар. Жәшіктегі шарды араластырып жіберіп ,қарамай тұрып бір шарды алайық. Алынған шар ақ болып шығуының / А оқиғасы/ сандық мөлшерін /ықтималдығын/ анықтау керек.
Шешуі. Әрбір шардың пайда болу мүмкіндігі бірдей /яғни бұлар тең мүмкіндікті элементар оқиғалар/ және оның шығу мүмкіндігінің сандық мөлшері / ықтималдығы/ 110-ге тең. Мұнда n{ω}=10. А оқиғасы үшін барлық тең мүмкіндікті 10 элементар оқиғалардың тек 4-еуі ғана А оқиғасына қолайлы элементар оқиғалар, бұлардың санын /олар 4/ барлық элементар оқиғалар санынан /олар 10/ қатынасы, осы оқиғаның пайда болуының мүмкіндік дәрежесін белгілейтін болмақ, бұны PA=410 ықтималдық мәні деп қабылдаймыз .
Анықтама. А оқиғасына қолайлы элементар оқиғалар санының (m {ω} сынаудың тең мүмкіндікті барлық элементар оқиғалар санына n{ω}) қатынасын А оқиғасының ықтималдығы деп атайды және былай жазады
PA=mωnω
Бұдан былай m= m {ω}, n= n{ω} деп белгілейміз, сонда
PA=mn
Ықтималдықтың бұл анықтамасын классикалық анықтама, я Лапылас моделі дейміз.
Бұл айтылғандар Лаплас моделі нәтижесі тең мүмкіндікті тәжірибелерді сипаттайды деп ұғамыз және бұл модель 1/ нәтижелер жиыны {ω}. 2/ оқиғалар алгебрасы/ өрісі/, 3/ элементар оқиғалар ықтималдығы/Р/ және 4/ ықтималдық Р(А)-дан жасалады. Сонымен Лаплас моделін жасаған бұл компоненттердің әр қайсысы тең мүмкіндікті нәтижелі тәжірибенің мүмкін нәтижелерінің қолайлы математикалық сипаттамасы болады.
Енді Р(А) ықтималдықтың қасиеттерін қарастырайық.
1.Р(А) ықтималдығы оң таңбалы функция, яғни
Р(А)>=С. (2)
2.Р(А) ықтималдығы нормалданған функция, яғни
Р(U)=1.
3.Қилыспайтын /үйлесімсіз/ әрбір А жәнеВ оқиғалары үшін Р(А) ықтималдығы аддитивті функция, яғни
Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (3)
1-ші және 2-ші қасиеттер айқын көрініп тұр. Өйткені 000 теріс таңбалы болуы мүмкін емес , олай болса Р(А)>=0, ақиқат оқиғаға қолайлы элементар оқиғалар саны n демек
PU=nn=1
Үшінші қасиетін дәлелдейік. Дәлелдеу үшін /3/ теңдіктегі үш ықтималдықты есептеп, ол мәндерді /3/ теңдікке қойып, оның дұрыстығына көз жеткізу жеткілікті.
Айталық, тең мүмкіндікті, үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын элементар оқиғалар саны n болсын. Олардың ішінде А оқиғасына қолайлы m1 болсын бұлар В үшін қолайсыз/.Воқиғасына қолайлысы m2 болсын бұлар А үшін қолайсыз/.Демек,бұлардың ықтималдықтары
Р(А)=m1n,Р(В)=m2n,
А+В оқиғасына қолайлысы m1+m2-тең, өйткені А мен В үйлесімсіз.Сондықтан бір сынауда екеуіне де бірдей қолайлы элементар оқиғалар болмайды.Демек,
Р(А+В)=m1+m2n=m1n+m2n=PA+P(A)
Осымен теорема дәлелденеді.
Бұл үшінші қасиет оқиғалар саны 2-ден артық,яғни саны n болғанда да орын алады.
Шынында,егер А1,А2, ..., Аn қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар болса,онда бұлардың қосындысының ықтималдығы олардың әрқайсысының ықтималдықтарының қосындысына тең болады,яғни
Р(А1+А2+...+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Аn)
Дәлелдеу.Мұны толық математикалық индукция әдісі мен дәлелдейік.n=2 болғанда теореманың дұрыстығы өткен теоремада дәлелденеді.Бұл теорема n=K үйлесімсіз А1,А2,..., Ак оқиғалары үшін дұрыс болады дейік,яғни
Р(А1+А1+...+Ак)=Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Ак).
Енді n=к+1 болғанда да теореманың дұрыс болатынын дәлелдейміз. Берілгені бойынша А1,А2,Ак..,Ак+1, оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз,олай болса(А1+А2+...+Ак) мен Ак+1 оқиғалары да үйлесімсіз.Демек, бұл екі оқиғаға 3 формуланы қолданамыз,сонда Р(А1+А2+...+Ак+Ак+1)=Р[А1+А2+...АК)+АК+1]=Р(А1+А2+...+АК)+Р(Ак+1)Бұдан теореманың n=K+1 үшін де дұрыс екендігін көреміз.Олай болса,теорема n-нің кез келген мәні үшін де дұрыс.
Енді жоғарыда келтірілген қасиеттерді пайдаланып ықтималдықтардың төмендегі қасиеттерін дәлелдейміз.4.Қарама - қарсы екі оқиға ықтималдықтарының қосындысы бірге тең,яғни
Р(А)+Р(Ā)=1. (4)Мұның дәлелдемесі 3-ші қасиеттен айқын көрініп тұр.Өйткені А+Ā оқиғасы,сондықтан
р(U)=Р(А)+Р(Ā).
Бұдан А оқиғасына қарама-қарсы А оқиғасының ықтималдығы бір санынан А оқиғасының ықтималдығын шнгергенге тең,яғни
Р(Ā)=1-Р(А).Мұны бұдан былай Р(А)=Р, Р(Ā)=q деп белгіленген қолайлы.Сонда /4/ бойынша
р+ɋ=1түрінде жазылады.Бұдан р=1-ɋ не ɋ=1-р шығады. 5.Мүмкін емес оқиға ықтималдығы нольге тең.Шынында, U және V оқиғалары үйлесімсіз,сондықтан Р(U+V)=Р(V)+Р(V)=Р(U).Бұдан Р(V)=0.6.Егер АᴄВ болса,онда Р(А)<=Р(В).1Ә чертежден В оқиғасын А және АВ екі үйлесімсіз оқиғалар қосындысы түрінде жазуға болады,яғни В=А+ĀI-ші және 3-ші қасиет бойынша Р(В)=Р(А+ĀВ)=Р(А)+Р(ĀВ)>=Р(А).7.Әр қандай А оқиға ықтималдығы 0 мен I арасында болады,яғни 0<=Р(А)<=1.Шынында,VᴄА+V=А,екіншіден АсU, бұдан Р(А)<=р(U).Демек, Ǫ<=Р(А)<=1. Ықтималдықтың классикалық нықтамасы өз уақытында ықтималдықтар теоремасын құруға негіз болды.Біз мұны кездейсоқ оқиғалар заңдылығын математикалық абстракциялаудың алғашқы қарапайым сатысы демекпіз. Енді ықтималдылықтың классикалық наықтамсын пайдалана отырып,ықтималдылықтарды тікелей есептеуге бірнеше мысалдар келтірейік.Сонымен қатар тарихи мәні бар мысалдарды шығарып,ықтималдықтар теориясының бірден қалыптаса қоймағанына көз жеткізейік.
§4.ЫҚТИМАЛДЫҚТАРДЫ ТІКЕЛЕЙ ЕСЕПТЕУГЕ МЫСАЛДАР
1-мысал.Жәшікте бірдей 20 шар бар.Оның 6-уы ақ шар,10 қызыл шар,4-уі көк шар.Жәшіктен кех келген бір шар алынады.Алынған шар:а/ақ шар /А оқиғасы/,ә/ қызыл шар/В оқиғасын/ б/ көк шар/ С оқиғасы/ болу ықтималдығын анықтау керек. Шешуі:а/Шарлардың үлкендігі және салмағы бірдей болғандықтан,олардың шығу мүмкіндіктері де бірдей.Элементар оқиғалар саны n=20.А оқиғасына /ақ шардың шығуы/қолайлы элементар оиғалар саны m=6.Демек, оның ықтималдығы
Р(А)=m/n=6/20=0,30 немесе 30% болады.Қалғандарында осылай анықтаймыз,сонда ә/ Р(В)=б/ Р(С)=0,20 2-мысал.Абай Құнанбаев тілінің сәндігінде әр түрлі 6000 сөз бар,оның 2975-і тек бір реттен ғана қолданылған,800-і тек екі реттен қолданған. Ақын сөздігіннен кех келген бір сөз алынды.Бұл сөз ақынның:а/тек бір реттен және ә/тек екі реттен,б/тек үш реттен,в/4 және одан да көп роеттен қолданған сөз қорына тиістілік ықтималдығын анықтау керек. Шешуі.а/ Барлық мүмкін элементар оқиғалар саны 6000-ға тең.Әр сөздің де алыну мүмкіндігі бірдей,өйткені әрбір сөзді жеке-жеке карточкаға жазып,оларды араластырып, кез келген біреуін аламыз деп қарастыруымызға болады.Тек бір рет қолданылған сөздің алынуын А оқиғасы десек, онда бұл оқиға қолайлысы 2975 болады.Тек бір рет қолданылған сөздің алынуын А оқиғасы десек,онда бұл оқиғаға қолайлы 2975 болады.Олай болса,дәлелденген ықтималдық
Р(А)=m/n=2975/6000=0,496 немесе 4906% болады.Қалғандарын да осылайша анықтау қиын емес,сондаә/0,150 б/0,062 б/0,272 болады. 3-мысал.Монет екі рет лақтырылды.Кем дегенде бір рет герб жағы пайда болу ықтималдығын анықтау керек. Шешуі:Есептің шешілуі /әсіресе ықтималдыққа тиіс-І.К.Бектаев.Частотный словарь языка Абая.Масковская конференция по вопросам частотных словарей и автоматизации линговостатических работ.Л.,1966,96-бет.ті есептерді / есеп шартын дұрыс талқылауға байланысты.Бұл фактіні осы есептің шешуін талқылау арқылы көрсетейік. Бірінші жолы:Даламбер талқылау.Герб жағымен не бірінші лақтырғанда,не екінші лақтырғанда түседі,не тіпті түспейді.Сонымен,барлық элементар оқиғалар саны -- үшеу.Олардың ішінде А оқиғасының пайда болуына қолайлы -- екеу.Демек дәлелденген ықтималдық
Р(А)=2/3=0,667 немесе 66,7 % болады. Екінші жолы:бірінші монетті бір рет лақтырғанда герб не тиын жағымен түсуі мүмкін:Кай жағымен түссе де , бұл екінші рет лақтырғандағы моменттің герб /Г/ не тиын /Т/ жағының түсуі мен комбинацияланып келеді.Ақырында,төменгі тең мүмкіндікті 4 жағдай болады.Олар: ГТ;ТГ ГГ;ТТМұнда Г-герб,Т-тиын.Есептің шартына қолайлы элементар оқиғалар саны 3.Олай болса,ықтималдығыР(А)=3/4=0,75 немесе 75% Сонымен,табылған екі ықтималдықтың қайсысы дұрыс,қайсысы қате деген сұрау өзінен-өзі туады.Соны анықтайық.Далембердің қателігі мынада болған:ГГ және ТТ оқиғалар жиынын ГГ және ТТ оқиғаларымен тең мүмкіндікті деп алынған.Шындығында бұлай болмайтыны екінші талқылаудан байқалады.Сонымен,екінші шешудің дұрыстығын байқаймыз. 4-мысал./Де Мере есебі/.Француа армиясыеың кавалери І.Даламбер /1717-1788/ көрнекті француа математигі.Де Мере /ХҮІІ өмір сүрген/ құмар ойынға,қызба-құмар ойынға,өте әуесқой және ұтудың әр түрлі жолдарын іадегіш болған екен.Құмар ойыннан туған есептін шешілетіне көзі анық жетпесе ,математиктерден сұрап отырған.Сондай ойындардың бірі екі кубты лақтыру,үш кубты лақтыру т.т.Кубтарды лақтырғанда ұпайлар қосындысы қандай сан болатынына бәсеке тіккен.Өте зерекойыншы Де Мере үш кубты лақтырғанда ұпайларынның қосындысы ІІ не 12 болып келуі жағдайы жиі кездесетіні байқаған,бірақ солай болатынына өзі сене қоймаған және өзінше дәлелдепте көрген.Сондықтан 1654 жылы замандасы Пакальға хат жазған.Хатында осы аталған есепті шешуді өтінеді.Біз бұл есепті төмендегіше тұжырымдайық. Дұрыс үш кубты лқтырғанда ұпайларының қосындысы ІІ не 12 болудың қайсысының ықтималдығы артық? Шешуі:Ұпайлараының қосындысы ІІ болатыны А оқиғасы болсын,ал 12 болатыны В оқиғасы болсын.Кубтардың әрбіреуінің кез келген жағының шығу мүмкіндіктері бірдей.Екі кубты лақтырғанда барлық тең мүмкіндікті элементар оқиғалар саны 36 болатыны мәлім.Олай болса үш кубты лақтырғанда барлық тең мүмкіндікті нәтижелерсаны 36.6=216 болатынын байқау қ иын емес.Көрнеті болу үшін 6 қатарлы 36 бағаналы таблица құрайық./1-таблицаны қара/.
І.Ілгеріде <<нөмірі>>орнына <<ұпай>>деген сөзді жиі қолданамыз.Куб жақтарының нөмірлерінңің қосындысы деудің орнына куб ұпайларының қосындысы т.т. дейтін боламыз.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
--------------------------------------------------------------------------------
Әрбір ұядағы жақша ішіндегі сандардың біріншісі-бірінші кубтың түскен ұпайы,екіншісі-екінші кубтың түскен ұпайы,үшіншісі-үшінші кубтың түскен ұпайы.Енді осы табдицаны пайдаланып,ұпайларының қосындысы Х-ты табу қиын емес.Бірнеше ұядағы Х-тің мәні бірдей болуы мүмкін,сондықтан олардың санынm(Х) дейік.Сонда
m/3/=m /18/=1m/4/=m /17/=3
m/5/=m /16/=6
m/6/=m /15/=10
m/7/=m /14/=15
m/8/=m /13/==21
m/9/=m /12/=25
m/10/=m /11/=27
Бұдан А және В оқиғаларының ықтималдығын анықтау оңай.Өйткені А қоиғасына қолайлы элементар оқиғалар саны m/11/=2,ал В оқиғасына қолайлы элементар оқиғалар саны m/12/=25.Демек,іздеген ықтималдығымыз мынадай:
Р(А)=27/216, Р(В)=25/216
яғни Р(А)>Р(В).Сондықтан да ұпайлардың қосындысы ІІ болады деп бәсепкелескен адамның ұту мүмкіндігі көбірек. Енді Де Мере шешуін келтірейік. Де Мере ІІ ұпай 12-ден гөрі жиі шығатынын байқағанымен,оған сене қоймайды да,өзінше дәлелдемесін келтіреді,ол төмендегідей: ІІ ұпайды 6 түрлі тәсілмен шығарып аламыз,олар /6,4,1/, /6,3,2/,/5,5,1/,/5,4,2/,/5,3,3/,/4,4,3/. І2 ұпайды да 6 түрлі тәсілмен табамыз:/6,5,1/,/6,4,2/,/6,3,3/, /5,5,2/,/5,4,3/,/4,4,4/.Бұдан ІІ және 12 ұпай шығу ықтималдығы бірдей екенін көреміз. Паскальдің түсіндіруі бойынша Де Мере іс жүзінде кездесетін жағдайды есепке алмаған,мысалы,тек 6,4,1 сандар комбинациясы 6 рет кездеседі/ келесі парагрфтардың қара/ олар:
/6,4,1/ /4,1,6/ /1,4,6/
/6,1,4/ /4,6,1/ /1,6,4/
Сондай-ақ /6,3,2/ комбинациясы -6,/5,5,1/-3,/5,5,1/-3,/5,4,2/-6,/5,3,3/-3,/4,4,3/-3.иСонымен ұпай саны 11 болатын барлық комбинациялар сан 27 екен.
Осы сияқты 12 ұпай шығатын комбинациялар саны мынадай: /6,5,1/-6,/6,4,2/-6,/6,3,3/-3,/5,5,2/-3,/5,4,3/-6,/4,4,4/-1, барлық саны 25-ке тең.
Сонымен Де Мере қателігі комбинациялардың әр түрінен бір-бірден ғана алғандығында болып атыр /3-мысалдағы Даламбер қателігімен салыстыр/.
5-мысал. Класта 20 бала бар. Олардың 4-еуі үздік оқушы. Класс жетекшісі бір жұмысқа кез келген 3 оқушыны шақырды. Сол шақырған оқушылардың кемінде біреуінің үздік болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Шақырған оқушылардың дәл үшеуі де үздік болмауы Ā оқиғасы болсын, сонда оған қарама-қарсы оқиға шақырылған оқушылардың кемінде біреуінің үздік болатынын көрсетеді.
3 оқушыны 20 оқушының ішінен C203 тәсілімен шақыруға болады, яғни n=C2033 үздік еместердің ішінен C203 тәсілімен шақырамыз. Сонда
PA=C163C203=5601140=2857≈0.49
Ал іздеген ықтималдық мәні
Р(А)=1-Р(Ā)=1-2857≈0,51.
6- мысал. Лақтырылған екі куб ұпайларының қосындысы 11-ден кем емес оқиға ықтималдығын анықта.
Шешуі. Куб ұпайларының қосындысы 11 болуы А оқиғасы болып, 12 болуы В оқиғасы болсын. Ал 11-ден кем болмауы С оқиғас дейік. (таблица жасауды оқырмандарға қалдырамыз).
Сонда С=А+В
Сонымен қатар Р(С) =Р(А)+Р(В).
Таблица бойынша Р(А)=2/36, Р(В)=1/36
Сонда Р(С)=236+136=1/12
7-мысал. Жәшікте бірдей 20 шар бар. Оның 7-еуі қызыл түсті, 8-і көк түсті. Жәшіктен қалаған бір шар алынды. Оның түсті /не қызыл , не көк түсті/ шар болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Тең мүмкіндікті, үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын элементар оқиғалар саны n=20. Қызыл түсті шар шығуын А оқиғасы, көк түсті шар шығуын В оқиғасы десек, онда А үшін қолайлы элементар оқиғалар m1=7,В үшін қолайлы элементар оқиғалар m2=8 болады. Сонда С оқиғасының болу ықтималдығы Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=720+820=1520=0,75 не 75%
§5 КОМБИНАТОРИКА ҰҒЫМЫ,
Класикалық анықтамаға негізделген ықтималдықтарды, Р(А) = mn, есептеу-А оқиғасының пайда болуына қолайлы элементар оқиғалар саны m-ді және барлық элементар оқиғалар саны n-ді табуға келіп тіреледі. Ықтималдықтар теориясында m мен n мәндері, ілгеріде көрсетілгендей, оп-оңай анықтала бермейді. Бұларды табу үшін қайсы бір жиын элементтерін түрліше алу тәсілдерін қарастыруға тура келеді. Мысал келтірейік. Жәшіктегі әріптер жиыны а,в,с элементтерден құралған десек, онда бұл жиыннан әріптерді:
1/бір-бірден 3 тәсілмен аламыз, олар: а,в,с
2/ екі-екіден 6 тәсілмен аламыз, олар:
ав, ва, са
ас,вс , св
3/ үш-үштен 6 тәсілмен аламыз, олар:
авс, вас, сав
асв, вса, сва
Мұндағы алынған әріп тіркестерінің бір-біріене айырмасы не элементтерінде , не элементтерінің орналасу ретінде болып отыр.
Мұндай тіркестер- жиын элементтерінің комбинациясы /қосылысы/ болады.
Сонымен, шешуі <<нешеу>>, <<неше т тәсілмен>> деген сұраулардың қажет ететін есептер комбинаторлық математика деп аталады.
Математиканың бұл саласы соңғы жылдары жедел қарқынмен дамып келеді. Кейінгі жылдары комбинаториканың практикада кең қолданыс табуына электрондық есептегіш техниканың дамуы, шектеулі математика рөлінің артуы, ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистиканың практикалық маңызының күннен-күнге артуы негізгі себеп болып отыр.
Комбинаториканы пайдаланып оқиға ықтималдығын анықтау, іріктемені жиыннан алу тәсіліне байланысты. Мұны түсіндіруді мысалдан бастайық.
1-мысал. Елімізде автомашиналардың серияларын анықтау ісімен мемлекеттік автоинспекция шұғылданады. Олар екі, үш әріптен неше комбинация /қосылыс, тіркес/ жасайтынын білу керек.
Бұл фактіні байланыс қызметтері де, кодалау мамандарыда білуге тиіс. Сонымен, орыс алфавитіндегі32 әрптен үш әріптен құралатын комбинациясын /тіркес, қосылыс/ неше тәсілмен жасауға болады?
Шешуі.Бұл есепті шешу әріптер жиынынан үш әріп комбинациясына қойылатын талапқа байланысты. Түсінікті болу үшін бұл әріптердің әрбіреуін формасы бірдей жеке карточкаларға жазайық.
Сөйтіп, оларды топтастырайық, яғни бір колада етейік. Сонда, колодағы карточкалар жиын болады. Әріптнрді колодан екі түрлі жолмен іріктеп алуға болады.
Біріншісі /қайталанбайтын іріктеме/. Бірінші алынатын әріп колодағы 32 әріптің бірі болады, яғни оны 32 тәсілмен алуға болады. Ал, екінші әріп колодада қалған 31 әріптен алынады. Сонда шығатын әр түрлі екі әріпті тіркестер /комбинациялар/ саны-32*32=992 болады. Бұл екі әріпті тіркестердің әрқайсысы үшінші алынатын әріппен тіркесіп, үш әріпті тіркес құрайды. Сонда олар 32 31 30=29760 тәсілмен алынады. Бұл жағдайда әрбір үш әріпті тіркестегі әріптер түрліше болып кездеседі.
Екіншісі /қайталанатын іріктеме/. Бірінші алынған әріп таңбасы белгіленген соң, ол колодаға қайта салынады. Сонда екінші алынатын әріп те колодадағы 32 әріптің бірі болады. Олай болса, екі әріпті тіркестерді
32*32=322=1024
Тәсімен алуға болады. Осы сияқты үш әріпті
32*32=322*32=32768
Тәсілмен жасалады. Бұл жағдайда үш әріпті тіркестердің жасалуына ешқандай шек қойылмайды, яғни мұнда әрбір әріп бір тіркестің ішінде екі, үш рет қайталанып келуі мүмкін.
Сонымен, 32 әріптен үш үштен алу іріктеме /выборка/ болып табылады. Бірінші жолы колодадан қай әріп алынатыны белгіленгеннен кейін колодаға ол қайта салынған жоқ. Сондықтан іріктемені қайталанбайтын іріктеме деп атаймыз. Іріктеме саны 29760.
Екінші жолы колодадан алынған әріп белгілеп алынғаннан кейін ол қайтадан колодаға салынады. Сонда екінші әріп колодадағы 32 әріптің ішінен алынады. Үшінші әріпті алғанда да өзгермейді. Сондықтан бұлайша іріктеуді қайталанатын іріктеме деп атайды. Бұл жағдайда іріктеме саны 32768. Ал, элементтері алынып отырған жиындағы жиын, яғни 32 әріп жиыны, бас жиын болады. Әдетте, бас жиындағы әріптер сол жиын элементтері болады.
Бұл мысалдардың екеуінде де комбинация санын анықтағанда көбейтудің мынадай ережесін байқау қиын емес.
Көбейту ережесі. Егер А жиыны а1, а2,...., аn яғни m элементтен, ал В жиыны в1, в2,...., вn элементтен құралатын болса / бұл екі жиын бір жиыннан алынуы да мүмкін/, онда әрқайысының бір-бір элементтен алынған әр түрлі /аi,вj/ комбинация саны mk болады /i=1,2,..., m,j=1,2,...,k/.
Шынында, бұларды /аi,вj/ түрінде m горизонталь және k вертикаль жолдардан тұратын мына таблицаға орналастыруға болады:
Бұл таблицадағы әрбір /аi,вj/ тек бір реттен ғана кездеседі. Олардың /ұялардың/ барлық саны-mk. Бұл ереже жиын саны екіден артық болғанда да орындалады. Мысалы, элементтер саны сәйкес m,k,h, сандарына тең болады А{ а1, а2,...., аm }, В{ в1, в2,...., вk}, С{ с1, с2,...., сh} үш жиын берілсін. Әр жиыннан тек бір элемент ғана алынған әр түрлі /аi,вj,сk/ үш элемент комбинациясын жасауға болады, мұндағы i=1,2,...,m, j=1,2,...,k және l=1,2,....,h. Олардың саны m,k,h, өйткені А және В жиындарынан алынған әрбір /аi,вj/ пары үшінші жиынның әрбір элементі мен комбинациялянады. Бұл комбинация саны, әрине, (m,k)h=mkh санына тең. Енді комбинаторикалық есептерді шешуге және ықтималдықтар теориясының есептерін шешуге қажетті бірнеше формулаларды қорытудың қажеттігі туады. Бұл формуладан екі түрлі жағдайда қарастырылады. Біріншісі қайталанбайтын іріктеме үшін болады.
Қайталанбайтын іріктеме үшін комбинаторика формулалары 9-шы класс математикасында қолданылған. Бұл формулаларды және оларға тиісті есептерді шығаруды ұсына отырып, ықтималдықтарды есептеуге арналған мысалдарды келтіреміз.
§6.ҚАЙТАЛАНБАЙТЫН ІРІКТЕМЕЛЕР ҮШІН КОМБИНАТОРИКА ФОРМУЛАЛАРЫ.
* Орналастырулар.
* Алдыңғы параграфтағы 1-мысалдың бірінші шешуінде орыс алфавитінен үш әріп комбинациялары
32*31*30=29760
еді. Алфавит N әріптен тұрса, онда әрқайсысы үш әріптен тұратын комбинациялар саны
N(N-1)(N-2)
болар еді. Ал енді 3 әріп орнына әрқайсысы k әріптен тұратын комбинация құрсақ, олар
N(N-1)(N-2)....[N-(k-1)]
тәсілмен табылады. Бұл өрнек N элементтен әрқайысы k-дан жасалған орналастчрулар саны делінеді. Бұл орналастырулардың әрқайсысына N элементтің ішінен k элемент еніп, олардың айырмашылықтары не элементтерінде / мысалы, ав, ас, mm/, не элементтерінің орналасу ретінде / мысалы, ав және ва, вс және св т.т/ болады. Мұны Аkn символімен белгілейік. Сонда Аkn = N(N-1)(N-2)....[N-(k-1)]. (1)
Өрнекті ықшамдаған қолайлы. Ол үшін /1/ өрнектің алымын да, бөлімін де 1,2,3,..../N-k/ сандарына көбейтеміз. Сонда
ANk=NN-1N-2...N-(k-1)1*2*3...(N-k)1*2*3...(N-K)=1*2*3...N-kN-k-1...N-1N1*2*3...(N-K)=N!N-k!
Яғни
ANk=N!N-k!
Мұнда N!-эн факториял деп оқылады, ол 1-ден N-ге дейінгі натурал сандардың көбейтіндісіне тең, яғни
N!=1*2*3*.....*N, (3)
немесе N!=N(N-1)(N-2)...3*2*1
1-мысал. Е,К,М,Н,Т,Ш,Ы әріптері бірдей карточкаларға жазылып, бір колодаға салынған. Оларды әбден араластырып, бір-бірден /не бірден/ төрт карточка аламыз. Сонда: а/7әріптен төрт-төрттен неше тәсілмен алуға болады, ә/ алынған 4 әріпті қатарынан тізіп қойғанда <<КЕНТ>> сөзінің пайда болу ықтималдығын есептеу керек.
Шешуі:а/ Колодадан алынған бірінші карточка сондағы 7 карточканың бірі, яғни бірінші карточканы 7 тәсілмен алуға болады. Екі карточканы 7,6 тәсілмен алуға болады, өйткені бірінші карточка алынғаннан кейін екіншісін колодадан қалған 6 карточканың ішінен алады. Оның үстіне, әрбір бірінші әріп әрбір екінші әріппен 7,6 рет комбинация 7,6,5 тәсілмен, 4 әріптен алынатын комбинация 7,6,5,4 тәсілмен құралады. Есеп шарты бойынша N=7,k=4, енді /1/ формуланы пайдалансақ:
А47 - - - - =7*6*5*4=840
немесе A74=7!7-4!=7!3!=840
ә/ Алдымен n-ді анықтайық. Берілген 7 әріптен әрқайысы 4 әріптен тұратын комбинация А47 - - - - =840 тәсілімен таңдалынды. Мұнымыз барлық тең мүмкіндікті элементар оқиғалар саны. Демек, n=840. Енді аталған сөздің пайда болуына қолайлы элементар оқиғалар саны m-ді табамыз.
4 әріпті тіркес ішіндегі бізге қолайлысы тек бірінші орында <<К>> әрпі, екінші орында <<Е>>, үшінші орында <<Н>>, төртінші орында <<Т>> әрпі тұратын <<КЕНТ>> сөзі ғана болмақ. Бұл сөз тек бір-ақ рет кездеседі. Сондықтан ықтималдық мынаған тең: Р(А)=Р(КЕНТ)=1/840≈0,012,
2.Алмастырулар.
N элементтен N-нен алынған орналастыруларды алмастырулар деп атайды.
Алмастырулардың бір-бірінен айырмашылығы тек элементтерінің орналасу ретінде ғана, өйткені әрбір алмастырудағы элементтердің саны бірдей. Сонда /1/ формуладан N=k десек,
Р - - N=АNN =1*2*3....N=N! (4)
2-мысал. 1-мысалда келтірілген Е,К,М,Н,Т,Ш,Ы әріптерінен: а/ неше алмастырулар жасауға болады? ә/ карточкаларды қатарынан қойғанда <<ШЫМКЕНТ>> сөзінің шығу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. а/ Айырмасы тек элементтерінің орналасу ретінде ғана болатын 7! алмастырулар жасауға болады.
ә/Бұл алмастырулардың әрқайсысының шығу мүмкіндігі бірдей. Сонда тең мүмкіндікті барлық элементар оқиғалар саны n=7! болады. Бұлардың ішінде <<Шымкент>> сөзінің шұығу мүмкіндігі біреу-ақ демек, оның ықтималдығы
Р(А)=Р(ШЫМКЕНТ)=1/7!=1/5040.
* Терулер.
N элементтен әрқайысы k-дан алынған орналастыруларды бір-бірінен айырмашылығы не элементінде, не элементінің орналасу ретінде болатын комбинациялар деп қарастырдық. Орналастырулардың айырмашылығы тек элементтерінің орналасу ретінде ғана болатын дербес түрін алмастырулар дедік.
Сондай-ақ айырмашылығы кемінде бір элементінде болатын орналастырулардың дербес түрін теру деп атайды.
Сонымен N элементтен әрқайысы k элементтен алынған терулер санын Сk - N деп белгілесек, k элементтен жасалған алмастыру Рk десек, онда сол N элементтен k-дан алынған орналасуда /АkN-де/ алмастырудың да терудің де қасиеттері қамтылғандықтан
АkN=СkN Рk (5)
болады.
АkN , Рk мәндерін /5/ формулаларға қойсақ, шығатыны:
СkN=NN-1N-2...N-(K-1)1*2*3...K
Бұл өрнектін оң жақ бөлігіндегі бөлшектің алымын да, бөлімін де 1*2*3.../N-k/ санын көбейтсек,
СkN=1*2*3...N-KN-k-1...N-1N1*2*3...1*2*3...(N-k)=N!K!N-k!
яғни
СkN=CNk=N!k!N-k!
формуласы шығады. Бұл формуланы мұнан былай жиі қолданамыз. /4/ формула N=0 және k=0 мәндерінде дұрыс болу үшін 0!=1 деу керектігі естеріңде болсын. N мен k мәндері үлкен болғанда СkN мәнін /6/ формуламен есептеу аса қиынға соғады. Сондықтан факториалдар логарифмдерін пайдалану қолайлы. Осы себепті кітаптың соңында 100 факториалға дейінгі сандар логарифмдердің таблицасын келтірдік /кітап соңындағы 1-таблицаны қара/.
N!-ды есептеудің жуық формуласында пайдаланады. Бұған көбінесе анализден белгілі мына отирлинг формуласы алынады.
N!=2PIN*NN*e-N
Есеп шығарғанда әдетте мұның екі жағын логарифмдейді. Терудің негізгі екі қасиетін келтірейік.
1-қасиеті.
CNk=CNN-k
Мұны дәлелдеу үшін /6/ формуладағы k орнына N-k қоямыз.
Сонда CNN-k=N!N-k!K!
шығады./6/ және /8/ өрнектердің оң жақ бөліктері тең болғандықтан, бұлардың сол жақ бөліктері де тең болады, яғни
СkN= СN-kN (8)
2-қасиеті.
СkN= Сk-1N-1+ СkN-1. (10)
Мұны дәлелдеу үшін Сk-1N-1, СkN-1 орындарына бұлардың /6/ формуладағы мәндерін қойып жазсақ, шығатыны:
CN-1K-1+CN-1k=N-1!k-1!N-k!+N-1!k!N-k-1!=N-1!k+(N-k)k!N-k!=N!k!N-K!=CNk
Терудің екінші қасиетін пайдаланып Паскаль ұшбұрышы деп аталатын төмендегі схеманы келтіру қолайлы.
Паскаль ұшбұрышы.
Бұл ұшбұрыштың құрлысымен танысқанда мынадай ережені байқау қиын емес: төменгі қатардағы әрбір сан /екі шеткісін қоспағанда/ оның үстіңгі қатарындағы /сол цмфрдың үстіндегі/ оң жақ және сол жақ екі санның қосындысына тең, яғни
СkN-1 мәні N қатар үстіндегі N-1 қатардағы теру мәндеріне сәйкес /10/-шы формула негізінде табылған. Сонымен СkN-1 мәні N қатары мен k диагональдың қилысуындағы санға тең. Мысалы N=8, k=3 болғанда С38 мәні 8-қатар мен k=3-ке сәйкес диагоналдағы 56 санына тең.
Әрбір қатардағы сандар қосындысы 2N санына тең. Мысалы, N=3 болғанда
1+3+3+1=8=23
N=7 болғанда 1+7+21+35+35+21+7+1=128=27
Бұл /1+1/7 биномын Ньютон формуласы бойынша жіктегенге тең. Шынында Ньютон формуласы бойынша (а+вх)n биномын жіктесек мынадай болады:(а+вх)n=аn+Cn1аn-1вх+Cn2аn-2в2х2+.....+Cnn-1авn-1хn-1+вnхn
Егер а=1, в=1, х=1, десек, онда
(1+1)n=1+Cn1+Cn2+...+Cnn-1+1=2n шығады
3-мысал:N=100, k=50 болғанда C10050 мәні неге тең?
Шешуі: C10050=100!50!50!. Енді мұның екі жағын да логарифмдейміз, сонда lgC10050=lg100!-2lg50!
1-таблицадан lg100!=157,9700
lg50!=64,483
Демек, lgC10050=29,0038.
Бұдан C10050=1029 өте үлкен сан шығады. Ал, ықтималдықтарды есептегенде көп жағдайда N мен k үлкен болып келгенімен, факториалдар логарифмдерін пайдаланып есептеу жеңілге түседі.
Енді C10050 - ді Стирлинг формуласымен есептейік. Сонда100!=0000
немесе
lg100!=0,2486+1/2 lg100+100 lg100-100 lgе=0,2486+1/2*2+100*2- 100*0,4343=157,8186
lg50!=0,2486+1/2lg50+50 lg50-50 lgе=0,2486+1/2*1,6990+50*1,6990-50*0,4343=64,3
lgC10050= lg100!-2 lg50!=157,8486-128,6662=29,1524
Сонымен бұл формуламен есептеу дәлдігі факториалдың нақты шын мәніне мейілінше жуық екенін байқаймыз.
4-мысал. Жәшікте бірдей N нәрсе бар. Олардың М нәрсесі жарамды да, N-М=D нәрсесі жарамсыз. Жәшіктен кез келген S нәрсе іріктелінді, іріктеменің m-1 жарайды,d-сі жарамсыз болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. N нәрседен S іріктемені CNs тәсілімен алуға болады. Бұл нәтижелер - барлық тең мүмкіндікті оқиғалар. Қолайлы элементар оқиғалар санын анықтайды. Жарамдыны тек жарамды нәрселерден CMm тәсілмен аламыз, ал жарамсызды тек жарамсыз нәрселерден CDdнемесе CN-Ms-m тәсілімен аламыз. Алынған іріктемеде жарамды да, жарамсыз да нәрселер болу мүмкін. Олардың шығу комбинациясы CMmCN-Ms-m тең. Демек, мұның ықтималдығы
PA=CMmCN-Ms-mCNs
5-мысал. Преферанс ойынында 32 картаны он-оннан үш адамға таратып, екеуін төңкеріп қояды. Осы төңкеріп қойылған карталардың: а/екеуі де тұз болу ықтималдығы неге тең? ә/біреуі тұз, біреуі дама болу ықтималдығы неге тең?
Шешуі. 32 картадан 2 картаны
C322=32!2!30!=496 тәсілмен алуға болады.
Бұл n-ге тең. а/Қолайлы элементар оқиғалар санын тек тұздардың ішінен анықтауға болады. Колодадағы тұздар саны -4, бұлардан екі-екіден тұздарды C42 тәсілмен ала аламыз, олай болса m=C42=4!2!2!=6
Демек, іздеген ықтималдық PA=6496=0.012
ә/1тұзды 4 тұздан С14 тәсілмен, 1 даманы 4 дамадан С14 тәсілмен аламыз. Бұл екеуінің комбинациясы С14 С14 . Демек,
PA=C41C41C322=16496≈0.≈033
$7 Қайталамалы іріктемелі үшін комбинаторика формумалары
Қайталамалы орналастырулар.
Осы уақытқа дейін элементар жиыннан орналастырулар жасағанда одан алынған элемент жиынға қайыра енбейтін еді, ондай орналастырулар қайталанбайтын орналастырулар болады. Біз енді қайталамалы орналастыруларды, яғни жиыннан алынған элемент сол жиынға қайыра енетінін қарастырамыз, мысалдар келтірейік.
1-мысал: 1,2,3 цифрларынан екі таңбалы неше сан жазуға болады?
Шешуі. Бұл есепті екі тәсілмен шешуге болады. Бірінші тәсіл: цифрлары қайталанбайтын әр түрлі екі таңбалы сандарды A32=3*2=6 тәсілмен жасаймыз, олар:
12 21 31
13 23 32
Екінші тәсіл: цифрлары қайталанып отырған әр түрлі екі таңбалы сандарды біртіндеп жазсақ, мыналар шығады:
11 21 31
12 22 32
13 23 33
Яғни олардың барлық саны 3*3=9 болады. Басқаша айтқанда цифрдың әрқайсысы да 3 тәсілмен алынады, сонда бірінші алынған цифр әр жолы екінші цифрмен комбинацияланады, сөйтіп, екі цифр комбинациясын
3*3=32 =9
Тәсілмен аламыз. Бұл мысалды әрі қарай да кеңейте беруге болады.
2-мысал. Осы 1,2,3 цифрларынан қайталамалы орналастырулар тәсілімен үш таңбалы, K таңбалы неше сан құруға болады?
Шешуі. Үш таңбалы санның бірінші цифрын 3 тәсілмен, екіншісін де 3 тәсілмен алуға болады. Сонда алдыңғы екі цифрлы санды 3*3=32 тәсілмен аламыз. Бұлардың әрқайсысы үшінші цифрмен комбинацияланады. Сонда үш цифрлы санды 32*3=33=27 тәсілмен құруға болады. Осылайша талқыласақ, осы үш цифрдан 4 цифрлы сандарды 34=81 тәсілмен, ал K цифрлы сандарды 3K тәсілмен құруға болатынын байқау қиын емес.
Енді есептің шартын өзгертіп, яғни берілген 1,2,3 цифр орнына 1,2,3...,N цифрды алайық. Сонда N цифрдан әр түрлі екі цифрлы сандарды N*N=N2 тәсілмен, әр түрлі үш цифрлы сандарды N2*N=N3 тәсілмен, ал K цифрлы әр түлі сандарды NK тәсілмен құруға болады. Сонымен, мынадай қорытындыға келеміз:
Элементтері қайталанып келетін N элементтен K-дан алынған орналастырулар
PNK=PK
Формуласымен өрнектеледі. Мұны қайталамалы орналастырулар немесе қайталамалы іріктеме
Формуласы деп аталады. Қайталанбайтын орналастырулар мен салыстыруларды айтқанда іріктеме көлемі K<=N болатын. Ал, элементтері қайталанатын орналастырулар мен алмастырулар үшін KN болуы мүмкін. Бұл факт жоғарыда келтірілген мысалдан айқын көрініп тұр.
3-мысал. Соғылатын телефонның номері 4 цифрдан құралған. Ол номердің: а. Барлық цифрлары әр түрлі болып келу ықтималдығын, ә. Барлық цифрларының жұп болып келу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі: а. 4 таңбалы нөмердің әр цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 цифрларының кез келгені болуы мүмкін. Олай болса, әр түрлі төрт таңбалы нөмрлердің барлық саны 104 болады. Олар 0000-ден 9999-ға дейінгі нөмірлер саны. Бұлардың ішінде бізге қажеттісі - цифрлары әр түрлі төрт таңбалы сандар, олар 10 цифрдан 4тен алынған орналастырудың санына тең, яғни
А104 =10*9*8*7
бұл- оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайлар саны. Оқиғалардың барлық тең мүмкіндікті, қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын элементар оқиғалардың жалпы саны
n=104
демек, оның ықтималдығы
P(A)=10*9*8*7104=5040104=0,504
Ә. 2,4,6,8 төрт жұп нөмірден әр түрлі төрт таңбалы нөмір құрастыруға болады, бұл оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайлар саны 44-тең . олай болса оның ықтималдығы
P(A)=44104=256104=0,0256
4-мысал. Дөңгелек стол басында отырған 12 адамның туған жылдары қазақша бір мүшел деп аталатын 12 жыл ішінде болсын дейік. Осы 12 адамның әрқайсысының туған жылы а. 12жылдың әрбір жылына келу ықтималдығын анықтау керек. Б. Үшеуінің бір жылда, қалғандарының әр жылда туылу ықтималдығын анықта. В. Екеуінің январь айында, үшеуінің май айында, қалғандарының әрбір айда туылу ықтималдығын анықта.
Шешуі. 12 адамның әрқайсысынан сурадық дейік. Сонда бірінші отырған адамның туған жылы 12 жылдың бірі болуы мүмкін, яғни бірінші сұралған адамның туған жылы туралы 12 түрлі тең мүмкіндікті нәтижелер шығады. Екінші адамның да туған жылы сол 12 жылдың бірі. Бірінші адамның туған жылы жайлы табылған тәтижелер екінші адамның әрбір мүмкін болатын туған жылымен комбинацияланып келеді. Сонда екі адамнан сұрай келе туған жылдар туралы.
12*12=122
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _
* Қазақша жыл қайыру мүшел деп аталады да, әрбір 12 жылда қайталанып отырады. Олар:
* Тықшқан
* Сиыр
* Барыс
* Қоян
* Ұлу
* Жылан
* Жылқы
* Қой
* Мешін
* Тауық
* Ит
* Доңыз
Деп аталады. Туған жылы қазақша қалай аталатынын білу үшін туған жылына 9 санын қосып, 12-ге бөледі. Қалған қалдық жыл аттарының реттік нөмерін көрсетеді. Мысалы 1945жылы туған адам мүшелдің қай жылына келетінін білу үшін, оған 9 санын қосамыз, сонда 1954 жылы болады. Мұны 12 ге бөлсек 162 ден келеді де, қалдық 10 болады. кестеде 10нөміріне сәйкес жыл аты - тауық. Демек, 1945 жылы туған адамдар қазақша жыл қайыру бойынша Тауық жылында туған болып шығады. Бұл жылға /1945/ке 12нің еселік сандарын қоссақ мысалы, 12K, K=1, 2, 3,...\, тауық жылы шыға береді.
Тең мүмкіндікті нәтижелер шығарып аламыз. Ал үш адаммен сұрасақ, 122*12=123 тең мүмкіндікті нәтижелер т.т. табамыз. Ал 12 адамнан түгел сұрағанда барлық тең мүмкіндікті нәтижелер /элементар оқиғалар/ саны
n=1212
болады.
А. Енді осылардың ішінде туған жылдары әр түрлі болуға қолайлы нәтижелер саны m-ді есептейік.
Бірінші адамның туған жылы сол 12 жылдың кез келген бірі, ал екінші туғаг жылы болса, бос 11 жылдың бірі болады, үшінші адамның туған жылы қалған 10 жылдың бірі болады т.т. ең соңғы адамның туған жылы қалған жылға келеді. Бұлар бір бірімен комбинаияланып келетіндіктен, қолайлы нәтижелер саны мынаған тең:
m=12*11*10....2*1=121
демек, ықтималдығы P(A)=12!1212=0,000054
ә/ үш адам туылған жылы 12 жылдың әрқайсысына C123 тәсілмен орналасуы мүмкін. Қалған 9 адамның туылған жылы 12 жылдың әрбір жылына 12, 11... 4 тәсілмен орналастыруға болады.
Сонда m=C123*A129
Одан P(A)=C123*A1291212=0.00198≈0.0020
сондай ақ в/үшін m=C122*C123*A127бұдан P(A)=C122*C123*A1271212=0.006534≈0.0065
5-мысал. 9 этажды Алматы қонақ үйінің бірінші этажына лифтіге 3 адам мінеді. Бұлардың әр қайсысының кез келген этажда түсу мүмкіндіктері бірдей деп алып, мына ықтималдықтарды анықтау керек:
а/ үшеуінің де 5-этажда түсу ықтималдығы неге тең?
ә/ үшеуінің кез келген бір этажда түсу ықтималдығы неге тең?
б/ екеуі бірге кез келген бір этажда, ал үшіншісі кез келген өзге этажда түсу ықтималдығы неге тең?
Шешуі. Адам саны 3, этаж саны- 8/ өйткені бірінші этаж есепке алынбайды/ 2 мысалдағыдай талқыласақ, барлық тең мүмкіндікті элементар оқиғалар саны n=83 болады. а/ 5-этаж біреу ақ. Демек, мұның ықтималдығы
P(A)=183=1512
ә/ 3 адамды лифтімен 8 этаждың әрқайсысына C83 тәсілмен шығаруға болады, яғни m=C83 олай болса
P(A)=C8383=8!3!5!512=764
б/ екі адамның 8 этаждың әрқайсысына C82 тәсілімен шығаруға болады, ал бір адам C81 тәсілмен шығарылады. Бұлардың комбинациясы C82*C81 демек, іздеген ықтималдық мәні
P(A)= C82*C8183=716
* Қайталамалы алмастырулар
Жоғарыда қарастырылған алмастыруда элементтің барлығы да әртүрлі еді. Бірақ алмастырулар жасалатын N элементтің кейбіреуі /бірнешеуі/ қайталанып отыруы мүмкін. Мұндай алмастыруларды қайталамалы алмастырулар деп аталады.
6-мысал. Бірдей карточкаларға жазылған А,А,А,К,Р,Т,У әріптерінен: а/ 7 әріптен алғанда неше алмастырулар шығады?
ә/ <<Қаратау>> сөзінің шығу ықтималдығын анықтау керек?
Шешуі. а/ іріктемедегі әріптер әр түрлі болса, <<жеті>> әріптен жазылатын сөздер саны 7! Болар еді. Ал біздің мысалымызда үш әріп бірдей. Сондықтан 7 әріпті әр түрлі сөздер /оның басым көпшілігі мағынасыз тіркестер/ саны 7!ден кемиді. Өйткені <<А>> әріптері өзара орындарын ауыстырғанда жаңа сөз шықпайды. Сондықтан есепті шешу үшін алдымен бірдей сөз құрайтын алмастырулар санын анықтап қаламыз. <<А>> әріптің өзара орын ауыстырулар саны - 3! Бұл әр типтегі сөздердің қайталану саны болмақ.
Бұл жағдайда 7 әріпті сөздердің бір типі <<ҚАРАТАУ>> деген сөзбен көрсетейік. Түсіну оңай болу үшін алдымен сөз құралатын алмастырулардың түрлері төменде цифрлармен келтірілген:
1
2
3
4
5
6
7
А
А
А
Қ
Р
Т
У
Қ
А
Р
А
Т
А
У
4
1
5
2
6
3
7
4
1
5
3
6
2
7
4
2
5
1
6
3
7
4
2
5
3
6
1
7
4
3
5
1
6
2
7
4
3
5
2
6
1
7
Сонда 7 әріптен тұратын әр түрлі <<сөздер>> бұл жағдайда
7!3!=1*2*3*4*5*6*71*2*3=4*5*6*7=840
Тәсілмен шығады екен.
а/ бұл алмастырулардың әрқайсысының шығу мүмкіндігі бірдей. Сонда тең мүмкіндікті барлық элементар оқиғалар саны n=840.
Бұлардың ішінде <<ҚАРАТАУ>> сөзінің шығу мүмкіндігі біреу ақ. Олай болса,
PA=Pқаратау=1840
Сол ықтималдықты басқа тәсілмен табайық. Әріптер әр түрлі болғанда, тең мүмкіндікті нәтижелер саны n=7! Болады. Бірақ А әрпі үш рет қайталап отыр. Қалған әріптер қайталанбағандықтан <<қаратау>> сөзінің пайда болуына қолайлы нәтижелер саны m=3! Демек, оның ықтималдығы
PA=Р/қаратау/=3!7!=1840
Тағыда бір мысал келтірейік.
7-мысал. Бірдей карточкаларға А, А, А, Е,И,К,М,М,Т,Т әріптері жазылған. а/ олардан ІО әріптен құралатын сөздерді неше тәсілмен құруға болады? ә/ <<МАТЕМАТИКА>> сөзінің шығу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. а/ алмастыруларға енетін әріптер саны N=10. Бұл әріптердің барлығы да әр түрлі десек, онда небәрі P10=101 алмастырулар жасауға болады. Бірақ біздің мысалымызда А әрпі үш рет қайталанып отыр. Егер А дан өзге қалған әріптер әр түрлі десек, онда, өткен мысалға сәйкес, алмастырулар саны
10!3!
Болар еді. Бірақ А дан басқа М әрпі екі рет және Т әрпі де екі рет қайталанып отыр. Сондықтан алмастырулардың жалпы саны мынаған тең болады:
10!3!2!2!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*101*2*3*1*2*1*2=5*6*7*8*9*10=15200
ә/ 10 әріптен тіркестер тең мүмкіндікті, қос қостан үйлесімсіз, оқиғалардың толық тобын құрайтын элементар оқиғалардың жалпы саны - 151200. Бұлардың ішінде аталған сөзіміздің шығуына қолайлы жағдайлар саны біреу ақ. Олай болса, мұның ықтималдығы PA=1151200
мұны бірден PA=3!2!2!10!=1151200
жазуға да болады. Сонымен барлық тең мүмкіндікті жағдайлар саны 101 аталған сөздің пайда болуына қолайлысы m=3!2!2! болады.
Бұл мысалдар шыққан нәтижелерді пайдаланып, мынадай қорытынды жасасақ:
М жиыны a1,a2,...akэлементтеріне құралсын. Мұнда a1элементі n1 рет, т.т akэлементі қайталайтын болсын /n1+n2+...+nk=N/. Сонда N элементтен берілген n1,n2,...,nk дан алынған алмастырулар саны мына формуламен анықталады:
PNn1,n2...nk=N!n1,!n2!...nk (2)
8-мысал. Алдыңғы мысалдағы <<МАТЕМАТИКА>> сөзінің әріптерінен неше алмастыру жасауға болады?
Шешуі. Бұған жауап беру үшін /2/ формуланы пайдаланамыз, сонда N=10, M әріпінің қайталану саны n1=2! A әрпінің қайталану саны n2=3! Т әрпінің қайталану саны n3=2! қалған әріптер бір реттен енеді. Демек,
P102,3,2=10!2!3!2!1!1!1!=151200
3 қайталамалы терулер.
Өткен параграфтарда қайталамайтын теруді өзгешелігі кемінде бір элементінде болатын орналастыру деп анықтадық. Мұнда элементтерінің орналасу реті ескерілетін.
Мысалы 1,2,3 цифрлардан екіден жасалған теру C32=3 болатын. Олар 1 2, 1 3, 2 3. Мұндағы 1,2,3 элементтері жеке комбинацияда қайталанбайтын. Сондықтан мұндай комбинацияны қайталамайтын теру дейтінбіз.
Енді айтайық,магазинде /формасы бірдей завод 1,2,3 цифрлармен нөмірленген конфета сатылады дейік. 5 конфетаны неше тәсілмен сатып алуға болады? Осыны шешу керек
Бұл есептің өткенде қарасырылған есептерден айырмасы төмендегіше:
Біріншіден, конфеталар қандай ретпен орналасуына ешқандай шарт қойылып отырғаны жоқ. Сондықтан, бұл есеп қайталамалы орналастыруллар есебіне келмейді, өйткені онда элементтердің орналасу реті есепке алынатын. Ал теру есебіне жуық келеді деуімізге болар еді. Олай дейік десек, мұнда комбинацияға енетін элементтер қайталанып еніп отыруы мүмкін. Мысалы, сатып алынған бес конфетада бірінші номерлі болуы мүмкін, немесе 4- уі І ші номерлі, біреуі үшінші номерлі т.т. яғни жеке номерлі конфеталар іріктемеге қайталанып еніп отыр. Мұндай комбинацияның қайталамалы теру деп атаймыз.
Мұның формуласын қорыту үшін мынадай бір мысал қарастырайық
9-мысал. Жәшікке орналасатын шар санына да және шарлардың орналасу ретіндеде ек қойма са, онда n жәшікке к шарды неше тәсілмен орналастыруға болады?
Шешуі. Мұны көрсету үшін бір науны үстіңгі жағы ашық n бірдей жәшікке бөлейік. Бұл жәшіктер ортақ фонера мен ажыратылып тұрсын, ал шеткі жәшіктердің 1-1 жағы қозғалмайтын етіп бекітілген болсын. Сонымен, бұл n жәшік n+1 фонера мен ажыратылып тур да, ортадағы n-1 фонерасы жылжымалы, яғни бір бірімен орындарын ауыстыруға болады. Бұларды бірден n-1 ге дейінгі сандар мен номерлейтін. Осы n жәшікке орналасқан шарларды бірден к ге дейінгі сандармен номерлейтін. Сонда номерленген фонерамен шар саны n+k-1 болады. Бұл жағдайда әрбір номерленген санды өзгеше деп қарастырсақ, онда бұл есеп элементтері қайталанбайтын теру формуласына келеді, яғни n+k-1 деп к бойынша алынған теру санына анқтауға тіреледі бұл Cn+k-1 болады, яғни
Cn+k-1k=n+k-1!k!n-1! (3)
Бұл қайталама теру формуласы болады. Енді осы 6,7 параграфтарда келтірілген комбинаторика формулаларын физикалық есептерге қолданып, кейбір теориялармен байланысын көрсетейік.
§8 частицалардың ұяларда орналасуы және статистикалық физика туралы.
Бір элементар оқиғалар кеңістігінде әр түрлі ықтималдықтарды қарастыруға болады. Бұлай қарастыру ол элементарлық оқиғаларға қойылатын шартқа байланысты.
Бұған дәлелді статистикалық физикадан келтірейік, өйткені тең мүмкіндікті оқиғалардың толық группасының қалай жасалуына байланысты Больцман Максвелл, Линден Белла, Ферми Цирака, Бозе Энштеин физикалық статистикасының бірі болады. Бұл физиктер өздерінің теориялық тұжырымдауын частицалардың пайда болу ықтималдықтарын есептеу арқылы дәлелдеген. Бірақ бұларда элементар оқиғалар кеңістігі бірдей болғанымен әрқасысының есептеген ықтималдығы әр түрлі болып шыққан. Бұл айтылғандарды частицалардың ұяларға орналасуын мысалмен түсіндірейік. Бұл мысал қандай оқи,аларды тең мүмкіндікті болады деп қарасырудың маңыздылығын көреседі.
1-мысал. K частица n ұяда (n>k) кездейсоқ орналасатын болсын. Әрбір частицаның ұяда орналасу ықтималдығы бірдей және ол 1\n ге тең.
Сонда а/ белгілі k ұяда бір бір частицадан орналасу, б/ қандай да k ұяда бір бір частицадан болу ықтималдығын анықта :
Шешуі: аталған әрбір статистика үшін ықтимал мәнін анықтаймыз.
І. Больцман Максвелл статистикасында /бұған газдардың үластірімділігі бағынады/ частицалар бір бірімен приципиал айырымды/ различимы/ болады, яғни әртүрлі екі ұядағы частицаларды ауыстырса жаңа үлестірімділік шығады. Бірақ бір ұяда тұрған екі частицаны ауыстырғаннан жаңа үлестірімділік шықпайды.
мұнда бір ұядағы частицаларс санына шек қойылмайды, яғни ұя бар десек, бір ұяда болатын частицалар саны о болуы да 1 болуы да,..., k мүмкін. Бірақ әрбір ұяға түсетін частица ықтималдықтарын бірдей деп ұғады.
Бұл Больцман Максвелл статистикасында барлық тең мүмкіндікті элементар оқиғалар саны nk ға тең, өйткені әрбір частица әрбір n ұяда қалауынша орналасуы мүмкін.
а/ n ұяның белгіленген k ұясында частицаларды бір бірден орналастыру саны k! ге тең. Өйткені частицалар бір бірінен прнципиал различимы.
Демек, ықтималдық P1=k!nk
б/ n ұяның қандайда /белгіленілмеген / к ұясында частицаларды бір бірден орналастыру n нен к бойынша алынған Cnk теруге тең. Өйткені частицалар бір бірінен принципиалды различимы.
Олай болса n ұяның қандай да k ұясында частицалардың бір бірден орналасу ықтималдығы P1 ықтималдығынан Cnk есе артық. Демек,
P2=Cnk*P1=n!n-K!nk
2.Линдер-Белла статистикасында /бұған жұлдыздар системасындағы фазалық кеңістіктегі элементарлық көлемдер бағынады/ частицалар бір-бірінен принципиально ажыратылады /различимы/, бірақ әрбір ұяда бірден артық частица болмайды, яғни әрбір ячейкада не 0, не 1частица болуы мүмкін.
Олай болса тең мүмкіндікті оқиғалар саны Аnk=n!n-k! - ға тең.
а/n ұяның белгіленген k ұясында частицаларды бір-бірден k! тәсілмен орналастыруға болады. Өйткені частицалар принципиаль различимы.
Бұл оқиғаның пайда болуына қолайлы элементар оқиғалар саны болғандықтан, ықтималдық
Р1=k!Ank=k!n-k!n!
б/ n ұяның қалған /белгіленілмеген/ k ұясында частицалардың бір-бірден орналасу саны n!n-k! өйткені частицалар бір-бірінен принципиал различимы.
Бұл оқиғаның барлық тең мүмкіндікті элементар оқиғалар санына тең, сондықтан
P2=n!n-k!*1Ank=1
3.Ферми-Дирака статистикасында /бұған, мысалы, электронды газ бағынады/, частицалар принципиаль ажыратылмайды/ не различимы/ әрбір ұяда бірден артық частица болмайды. Сондықтан барлық тең мүмкіндікті элементар оқиғалар саны Cnk-ге тең.
а/n ұядағы белгіленген k ұясында частисаларды бір-бірден тек 1-ақ тәсілмен орналастыруға болады. Өйткені частицалар бір-біріне не различимы. Сондықтан,
P1=1Cnk=k!n-k!n!.
б/n ұядағы қандай да /белгіленілген/ k ұясында частицаларды бір-бірден Cnk тәсілмен орналастыруға болады. Өйткені не различимы. Демек,
P2=Cnk1Cnk=1
4.Бозе-Эйнштейн статистикасында /бұған, мысал, фотон газы бағынады/ частицалар бір-бірінен принципиаль ажыратылмайды /не различимы/, яғни әр түрлі ұядағы екі частицаны ауыстырғаннан жаңа үлестірімдлік шықпайды, мұндай жағдайлар теңбң-тең деп қарастырылады.
Мұндағы өзгешелігі әр частицаның орын ауыстыруындағы ерекшеліктерде болып отырған жоқ, мұндағы ерекшелік бір ұяға түскен частица санында болып отыр. Частицаларды осылайша ұяларға ұлестірілуін Бозе-Эйнштейн үлестірілімділігі деп айтады.
Бұл үлестірімділікпен жұп элементарлық частицалардан құралған фотондар, атомдық ядролар, атомдар сипатталынады.
Бір ұяда болатын частицалар санын Больцман-Максвелл статистикасы сияқты шек қойылмайды, яғни әрбір ұяда 0,1,2,...kчастицалар болуы мүмкін.
Бозе-Эйнштейн статистикасында барлық тең мүмкіндікті элементар оқиғалар санын анықтау қайталамалы іріктеме үшін теру формуласын қортумен бірдей. Тек ондағы мысалда келтірілген <<жәшік>>, сөзін <<ұямен>>, <<шар>>сөзін <<частицамен>> ауыстыру керек. Мұнда да n ұяда орналасатын k частица санына да, ретіне де шек қойылмайды, яғни кез келген екі немесе бірнеше частицалардың орнын ауыстырғаннан да жаңа үлестірімділік шықпайды, сондай-ақ ұялардағы ажыратып тұрған фонерлердің орын ауыстырғаннан да жаңа үлестірімділік шықпайды. Олай болса тең мүмкіндікті барлық элементар оқиғалар саны Cn+k-1k ,болады.
Олай болса а/n ұядағы белгіленген k ұясына частицаларды бір-бірден тек 1 - -ақ тәсілмен орналастыруға болады. Өйткені частицалар бір-бірінен ажыратылмайды /не различимы/. Бұл жағдайда ықтималдық
P1=1Cn+k-1k =k!n-1!n+k-1!
б/n ячейкалардың қандай да /белгіленілмеген/ k ячейкасында частицаларды бір-бірден Cnk тәсілімен орналастыруға болады.Өйткені, частицалар не различимы. Демек, ықтималдық
P2=CnkP1=k!n-1!n-k!n+k-1!
§9.ТӘУЕЛСІЗ ЖӘНЕ ТӘУЕЛДІ ОҚИҒАЛАР.ШАРТТЫ ЫҚТИМАЛДЫҚ.
Ықтималдықтар теориясында оқиғаларды майда оқиғаларға жіктеп қана қоймай, оқиғалардың тәуелді және тәуелсіздігінің де жігін айырып қарастырады.
Егер екі оқиғаның бірінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдығын өзгертпес, ондай екі оқиғаны тәуелсіз деп атайды.
1-мысал. Жәшікте 10 шар бар, оның 4-і ақ, 6-ы қызыл. Жәшіктен кез келген бір шарды алып, түсін белгілеп алғаннан кейін, ол шарды қайтадан салады. Одан соң екіншісін алып, сынауларды жүргізе береміз.
Жәшіктен бірнеше рет алынған шар түсі қызыл болуы В оқиғасы болсын /онда В оқиғасы жәшіктен алынған бірінші шар түсі қызыл емес, яғни ақ шар шығуы болады/, екінші рет алынған шар түсі ақ шар болуы А оқиғасы болсын /онда А оқиғасы А емес шардың, яғни екінші ретті қызыл шардың шығуы болады/. Бірінші алынған шар түсі белгіленгеннен кеиін, ол шар жәшікке қайта салынған себепті, шар екінші ретті алынғанда да жәшіктегі шарлар саны бастапқыдай болады. Сондықтан А оқиғасының ықтималдығы оған дейін жәікте қызыл шар /В оқиғасы/ шығуын я ақ шар /В оқиғасы/ шығуына байланысты емес, өзгермейді және ол 410-ге тең. Бұдан В оқиғасының пайда болуының А оқиғасының ықтималдығына әсері болмайтынын байқаймыз. Демек, А және В оқиғалары бір-біріне тәуелсіз. 1
Егер екі оқиғаның біреуінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдығын өзгертетін болса, ондай екі оқиғаны тәуелді оқиғалар деп атайды.
2-мысал. Тәжірибе шарты 1-мысалдағыдай, бірақ екінші алынған шар жәшікке қайта салынбайды. Бұл жағдайда екінші ретте А оқиғасы пайда болуы ықтималдығы оның алдында қызыл шар не ақ шар /В оқиғасы / шығуына байланысты. Егер бірінші сынауда қызыл шар шықса, онда екінші сынауда ақ шар шығу ықтималдығы 410 болады. Егер бірінші сынауда В оқиғасы пайда болса /ақ шар шықса/, онда екінші ретте де ақ шар шығу /А оқиға/ ықтималдығы 39-ге тең. Осы сияқты істі бірінші сынауда қызыл шар /В оқиғасы/ не ақ шар /В оқиғасы/ шықты десек, онда екінші сынауда қызыл шар /А оқиғасы/ пайда болу ықтималдығы сәйкес 59 және 69 сандарына тең. Екінші сөзбен айтқанда, А және В оқиғалары тәуелді оқиғалар, өйткені В оқиғасының пайда болуы келесі сынауда А оқиғасының пайда болу ықтималдығы өзгеріп отыр.
Егер А оқиғасының ықтималдығын есептегенде оның пайда болуына комплекс шарттар өзге ешқандай шек қойылмас, яғни тәуелсіз оқиғалар қарастырылатын болса, онда Р(А) ықтималдығын шартсыз ықтималдық деп атайды. Алайда А оқиғасының ықтималдығын есептегенде комплекс шарттан басқа да қосымша шек қойылуы мүмкін, ол шек: А оқиғасының пайда болуы В оқиғасының пайда болуына байланысты, яғни А оқиғасының пайда болу ықтималдығы В оқиғасының пайда болуына байланысты, яғни А оқиғасының пайда болу ықтималдығы В оқиғасының пайда болуына не пайда болмауына байланысты өзгеріп отырады. Мұндай ықтималдықты шартты ықтималдық деп атайды.
Шартты ықтималдықты былай белгілейді:
PBA-B оқиғасы орындалғанда А оқиғасының пайда болу ықтималдығы. PB1B2....BnA-B1B2....Bn оқиғалары орындалғанда А оқиғасының пайда болу ықтималдығы.
Жоғарыда айтылғандарға сүйене отырып, А және В оқиғаларының тәуелсіздігін
PBA=РA (1)
Түрінде жазуға болады.
1-мысалдан РA= PBA=410
РA= PBA=410
РА = PBА =610
РА = PBА =610
Егер А және В оқиғалары бір-біріне тәуелді болса, онда
РA!=РВ(А).
2-мысалдан РВА=49!= РA=410
Сондай - -ақ РBА=39!= РA=410
РВA=59!= РA=610
РBA=69!= РA=610
Шартты ықтималдықтардың қасиеттерін анықтайық:
1.Шартты ықтималдық мәні де, шартсыз ықтималдық мәні сияқты, ноль мен бір аралығында болады, яғни 0<=РВА<=1.
2. РВU=1
3. РВu=0
4.Егер А1⊂A2 болса, онда РВA1<= РВA2
5.Егер А1=A2 болса, онда РВA1= РВA2
6.Егер А1A2....An оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз болса, яғни AiAj=υ(i!=j) және А= А1+A2+...+An болса, онда РВА= РВA1+ РВA2+...+ РВAn
7. А мен А қарама-қарсы оқиғалар болса, онда
РВА=1- РВА
Бұлардың дәлелдеуі 3-ші параграфта көрсетілгенге ұқсас. Сондықтан оны дәлелдеуді оқырмандардың өздеріне тапсырамыз.
3-мысал. Екі ойын кубы лақтырылған /§4,4-мысалды қара/. Егер ұпайларының қосындысы жұп сан екені белгілі болса, келесі сынауда ұпайларының қосындысы 8 болу ықтималдығы неге тең болмақ?
Шешуі. Екі ойын кубын лақтырғанда үстіне қарай түсетін ұпай сандарының қалай комбинацияланатыны туралы 4-параграфты қараңыз. Ұпайларының қосындысы жұп сан болатын В оқиғасы дейік. Есеп шарты бойынша В оқиғасы орындалған, яғни жұп санды ұпайларының бірі пайда болған. Бұлардың саны 18-ге тең болатын таблицадан байқау қиын емес, ал бұл сан тәжірибе шартындағы талапқа сай барлық тең мүмкіндікті элементар оқиғалар санына тең. Бұлардың ішінде А оқиғасына қолайлысы 5-ке тең. Сондықтан
РВА=518≈0.29
Ал шартсыз ықтималдық мәні
РА=536≈0.17
4-мысал. Кластағы 25 оқушының 5-уі үздік оқиды, 15-і спортшы. Үздік оқушылардың бәрі де спортшылар. Мектепте оқу ісінен кез келген біреуін шақырады. Келген оқушының үздік болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Оқушылардың үздік болуы А оқиғасы, спортшы болуы В оқиғасы болсын. В оқиғасының барлық тең мүмкіндігі элементар оқиғалар саны-15, мұның ішінде А оқиғасының қолайлы элементар оқиғалар саны-5. Өйткені үздік оқушы тек спортшылардың арасынан шақырылады. Олай болса, іздеген шартты ықтималдық мынаған тең:
РВА=515=13≈0.33
Бұл келтірілген мысалдардан А және В оқиғаларының бірден пайда болатынын байқаймыз, мәселен үшінші мысалда 18 саны әрі жұп /АВ оқиғасы/, төртінші мысалда үздік оқушы әрі спортшы /АВ оқиғасы/ болып отыр. Сонда бірден пайда болған АВ оқиғасына қолайлы элементар оқиғалар саны үшінші мысалда 5-ге, төртінші мысалда 5-ке тең, осыларға сәйкес шартсыз ықтималдық Р(AB) сәйкес 536 және 528 сандарына тең. Ал В оқиғасының шартсыз P(B) ықтималдығы үшінші мысалда 1836 - ге, төртінші мысалда 1525-ке тең.
Сонымен, бұл мысалдардан жалпы қортынды жасасақ, онда
РВА=P(AB)P(B)
Бұдан P(AB)=P(B)PB(A)
Шығады. Енді көбейту теориясын келтіріп, дәлелдемесін берейік.
§10. ЫҚТИМАЛДЫҚТАРДЫ КӨБЕЙТУ ТЕОРЕМАСЫ.
Бұл теорема тәуелді немесе тәуелсіз екі және бірнеше оқиғалардың бірден пайда болу ықтималдығын есептеуге мүмкіндік береді.
Теорема. Екі тәуелді оқиға көбейтіндісінің ықтималдығы біреуінің шартсыз ықтималдығын сол оқиға пайда болды деп алынғандағы екінші оқиғаның шартты ықтималдығына көбейткенге тең:
P(AB)=P(A)PA(B) (1)
P(AB)=P(B)PB(A) (1')
Дәлелдеу. Тең мүмкіндікті, үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын nэлементарлық оқиғалардың А оқиғасына қолайлысы m болсын. Онда оның ықтималдығы мынаған тең:
P(A)=mn. (2)
Сондай-ақ В оқиғасына қолайлы элементар оқиғалар саны k болсын, онда оның ықтималдығы мынаған тең:
P(В)=kn (3)
АВ /А және В/ оқиғасына қолайлы элементар оқиғалар саны r болсын, онда мұның ықтималдығы мынау:
P(AB)=rn (4)
Әрине, r<=m, r<=k.
Шартты ықтималдық мәні
РВА=rk (5)
Өйткені В оқиғасына қолайлы k элементар оқиғалардың /бұл жерде оқиғаларды тең мүмкіндікті, үйлесімсіз оқиғалар деп түсінеміз/ тек r элементар оқиғалары ғана А оқиғасына ғана тиісті. Осы сияқты,
РАВ=rm (6)
Орындалатынын көрсетуге болады. Енді /4/ бөлшектің алымын да, бөлімін де m санына көбейтеміз, сонда
P(AB)=k n mm=mn rm=PAPA(B) (1)
Ал, егер оның алымын да, бөлімін де k санына көбейтсек, мынау шығады:
P(AB)=rn kk=kn rk=PBPB(A) (1')
Теореманы осмен дәлелденді деп есептейміз /1/ және /1'/ теңдіктерінің сол жақ бөліктері тең болғандықтан, оның оң жақ бөліктері өз ара тең болады:
PAPA(B)= PBPB(A) (7)
Теорема оқиғалар саны екіден артық болғанда да орындалады.
1-салдары.А,В,С тәуелді оқиғалар көбейтіндісінің ықтималдығын сол оқиға орындалғандағы екіншісінің ықтималдығына, алдыңғы екі оқиға орындалғандағы үшіншінің шартты ықтималдығына тең, яғни
Р(АВС)=Р(А)РАBPABC (8)
Мұны басқаша түрде былай жазуға болады:
P(BAC)=P(B)PBA PBA(C)
m1m2....mn жоғарыдағы үш оқиғаның орнына n тәуелді A1,A2,...An оқиғалары алынғанда
P(A1,A2,...An)=P(A1)PA1A2....PA1A2....An-1An (9)
Теңдігі орындалады.
1-мысал. Жәшіктегі бір келкі M қызыл N-M ақ шардан кез келген екі шар алынды. Оның екеуі де қызыл болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Шарды бір-бірлеп алайық шардың қызыл түсті болуы В оқиғасы, екінші алынған шардың қызыл түсті болуы А оқиғасы болсын. Сонда Р(В)=MN
Бірінші жолы қызыл түсті шар шыққан /В оқиғасы/ соң, екінші алынғанда қызыл түсті шар шығу /А оқиғасы/ ықтималдыүы мынаған тең:
PBA=M-1N-1
Өйткені шар саны қызыл түсті шардың алынуына байланысты 1-ге кеміген. Олай болса, бірінші және екінші алынған шарлардың екеуі де қызыл түсті /АВ оқиғасы/ болу ықтималдығы мынаған тең:
P(AB)=P(B)PBA=M(M-1)N(N-1)
Бұл нәтижені /ықтималдықтарды/ тікелей есептей аламыз. Шынында да, екі шарды CN2 тең мүмкіндікті тәсілмен аламыз. Ал екі қызыл түсті шардың ішінен CM2 тәсілмен аламыз, сонда іздеген ықтималдығымыз мынадай:
P=CM2CN2=M(M-1)N(N-1)
2-мысал. <<Жамбыл>> сөзін құрастыратын кеспе әріптер әбден араластырылып, 4 кеспе әріпті қатарынан қойғанда алым сөзінің шығу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі.Бірінші алынған кеспе әріп А болуы A1 оқиғасы болсын, екіншісі Л болуы А2 болуы, үшіншісі-Ы болуы А3 оқиғасы, төртіншісі М болуы А 4 оқиғасы болсын десек , онда АЛЫМ сөзінің пайда болуы В оқиғасы болады. Көбейту теоремасы бойынша
Р(B)=P(A1,A2,A3,A4)=P(АЛЫМ)=P(A)PA(Л)
РАЛЫРАЛЫ(М)=16 15 14 13=1360
Болып шығады.
Енді тәуелсіз оқиғалар көбейтіндісінің ықтималдығын анықтау мәселесін қарастырайық.
Теорема. Екі тәуелсіз оқиғалар көбейтіндісінің ықтималдығы олардың шартсыз ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең, яғни P(AB)=P(A)P(A) (10)
Болады.
Дәлелдеу. Ажәне В тәуелсіз болғанда PB(A)=P(A) және PA(B)=P(B). Бұл PA(B) мәнін /1/ формулаға қойсақ,
P(AB)=P(A) P(B)
Шығады.
Бұл теореманы бірінші оқиғалар үшін жалпылауға болады. Ол үшін алдымен бірінші оқиғалардың тәуелділігінің анықтамасын берейік.
Егер A1,A2,...An оқиғаларының кез келгенінің ықтималдығы қалған оқиғалардың қалған көбейтіндісінің пайда болуына байланысты болмаса, ондай оқиғаларды жиынтығы бойынша тәуелсіз деп атайды. Бұл анықтамадан
PA1(A2)=P(A2), PA1A2(A3)=P(A3),...,PA1A2....An-1(An)=P(An) (11)
Қатынасы шығады. Бірінші тәуелсіз оқиғалар үшін көбейту теоремасы төмендегідей:
Теорема. Егер A1,A2,...An оқиғалары жиынтығы бойынша тәуелсіз болса, онда олардың көбейтіндісінің ықтималдығы ықтималдықтардың көбейтіндісіне тең, яғни
Р(A1,A2,...An)=P(A1)P(A2).....P(An) (12)
Мұның дәлелдемесі /9/ және /11/ теңдіктерден шығады.
Бұл аталған теоремалардан мынадай салдар шығады.
2-салдар. Егер А оқиғасы В-ге тәуелсіз болса, онда В оқиғасы А-ға тәуелсіз болады
Шынында, А-ның В-ға тәуелсіздік анықтамасы бойына PB(A)=P(A).Мұны /1/ теңдіктегі PB(A) орнына қойып, екі жақ бөлігінде P(A)-ға қысқартсақ P(B)=PA(B) шығады. Демек, бұдан В-ның А-ға тәуелзіздігі шығады. Олай болса, А және В оқиғалары өзарам тәуелсіз.
3-салдар.А мен В тәуеилсіз болса, онда (А,B);(A,B);(A ,B) қос оқиғалар да біріне-бірі тәуелсіз болады. Мұны (A,B) қос оқиға үін дәлелдейік.
Шынында, ұйғару бойынша PA(B) = P(B) мұның үстіне PA(B)+ PA( B) =1 бұдан PA( B)=1- PA(B)=1-P(B)=P(B)
Салдары осымен дәлелденді. Қалғанидарының тәуелзіздігі де осылайша дәлелденеді.
3-мысал. Нысанаға оқтың дәл тию ықтималдығы 0.3-ке тең. 2% жарылғыш жарылмай қалса, оқтың нысананы жою ықтималдығы неге тең болаы?
Шешуі. Нысанаға дәл тиюі А оқиғасы, жарылғыштың от алуы В оқиғасы болсын. Бұларды тәуелсіз деп ұйғарамыз. Сонда нысанаға тиюі мен жарылғыштың от алуы АВ оқиғасы болады, Демек, іздеген ықтималдық мынадай:
P(AB)=P(A)P(B)=0.3(1-0.02)=0.294
4-мысал. Үш оқушының біреуі монетті, екіншісі кубты лақтырды, ал үшіншісі колодағы 36 картаның кез келген біреуін суырды.Осы жүргізген тәжірибелер нәтижесінде монеттің герб жағымен түсу /А оқиғасы/, кубтың 4 ұпайымен түсу /В оқиғасы/ және суырылған картаның тұз болып шығу /С оқиғасы/ ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Өткен мысалдарды еске түсірсек
P(A)=12,
P(B)= 16,
P(C)= 19
Сонда іздеген ықтималдығымыз
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=12 16 19 ≈0.092≈9.2%
§11.ЫҚТИМАЛДЫҚТАРДЫ ҚОСУДЫҢ ЖАЛПЫ ТЕОРЕМАСЫ
Өткен 3-параграфта екі /не бірнеше/ оқиғалар үйлесімсіз болғандағы қосу теоремасын, яғни оның
P(A+B)=P(A)+P(B) (1)
Болатынын дәлелдедік. Ал бұл оқиғалар үйлесімді болса, теорема орындалмайды. Сондықтан кез келген оқиғалар үшін мынатеорема орындалады.
Теорема. Екі оқиғаның кемінде біреуінің пайда болутықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысынан оқиғалардың бірдей пайда болған ықтималдығын шегергенге теңболады P(A+B)=P(A)+P(B) - P(AB) (2)
Дәлелдеу. Егер А және В үйлесімді оқиғалар болса, онда A+B=A+(B-AB)және B=AB+(B-AB) теңдіктерінің оң жағындағы қосылғыштар үйлесімсіз оқиғалар болады.
Сондықтан 3-қасиет бойынша
P(A+B)=P(A)+P(B-AB), P(B)=P(AB)+P(B-AB)
Бұл теңдіктерден
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
Бұл теңдік үйлесімді А және В оқиғалары үшін қосу теоремасы болады.
Бұл жерде айтылып отырған А және В оқиғалары тәуелді не тәуелсіз оқиғалар болу мүмкін. Егепр А мен В тәуелді оқиғалар болса, онда /10.1/ теңдігін ескеріп, /1/ өрнегін
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)PA(B) (3)
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(B)PB(A) (4)
Түрінде жаза аламыз. Егер бұл екі оқиға тәуелсіз болса,онда /10.10/ теңдікті ескеріп,/1/ өрнегін
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) (5)
Түрінде жазуға боады.
1-мысал. Колодада 36 карта бар. Кездейсоқ алынған бір картаның көзір не тұз болу ықтималдығын анықтау керек?
Шешуі.Шыққан картадан көзір болуы А оқиғасы, тұз болуы В оқиғасы болсын. Сонда көзір тұздың шығуы АВ оқиғасы болады, мұның ықтималдығы
P(AB)=P(A) PA(B)=936 19 =136
А және В оқиғалары үйлесімді, өйткені көзір карта тұз болуы да мүмкін. Олай болса
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=936+ 436- 136 =13 ≈0.333 не3.3%
Өйткені
P(A)=936, P(B)=436
§12.ТОЛЫҚ ЫҚТИМАЛДЫҚТЫҢ ФОРМУЛАСЫ.
Күрделі оқиғалар ықтималдығын есептегенде ықтималдықтың қосу және көбейту теоремаларын қатарынан жиі қолдануға тура келеді. Мұндай оқиғалардың ықтималдығын есептеу үшін формуланы қортудан бұрын мынадай мәселеге тоқтала кетейік.
Айталық Н1,H2,....,Hn оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын болсын. Ал В оқиғасы осы оқиғалардың тек біреуімен ғана бірігіп, орындалыды дейік. Оның үстіне,P( Н1),P(H2),....,P(Hn ) және PH1B,PH2,....,PHnB ықтималдықтары белгілі болсын. Осы берілгендер бойынша В оқиғасының ықтималдығын анықтауға болама және ол неге тең деген сұрау туады. Мұның жауабын ыұтималдықтың толық формуласы беріледі.
Шынында,
B=B(Н1+H2+....+Hn )=BН1+BH2+....+BHn (1)
Ал Н1,H2,....,Hn қос-қостан үйлесімсіз болғандықтан, BН1,BH2,....,BHn оқиғалары да қос-қостан үйлесімсіз. Олай болса, бұл оқиғаларға қосу теоремасын қолдануға болады. Сонда
P(B)=P(BН1)+P(BH2)+....+P(BHn) шығады.
Көбейту теоремасы бойынша
P(BHi)=P(Hi)PHiB i=1,2,3,...,n болады.
Демек, P(B)=P(H1) PHiB+PH2PH2B+...+PHnPHn(B)
Немесе PB=i=1nPHiPHi(B)
Жоғарыдағы берілгендері бойынша В-нің ықтималдығын, осы /2/ формуланы толық ықтималдық формуласы деп атайды. Әдетте Н1+H2+....+Hn оқиғаларын гипотеза деп атайды.
1-мысалы. Төрт V кластың әрқайысында 25 қыз бала, 15 ер бала оқиды, үш VI кластың әрқайысында 22 қыз бала бар, 18 ер бала оқиды, үш VII кластың әрқайысында 20 қыз бала,20 ер бала оқиды. Мектеп директоры бір жұмыспен осылардың ішінен кезкелгенін бір оқушыны шақырады. Шақырылған бала қыз бала болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Шақырылған оқушы V /Н1 оқиғасы/, VI /Н2 оқиғасы/ VII /Н3 оқиғасы/ кластардың бірінен болуы мүмкін, сондықтан бұл оқушының қыз бала болуы /В оқиғасы/ В=H1B+H2B+H3B түрінде өрнектеледі.
Толық ықтималдықтың формуласы бойынша
P(B)=P(H1) PHiB+PH2PH2B+PH3PH3(B)
Болады.
Есептің шарты бойынша P(H1)=410 өйткені оқушыны шақыру үшін алдымен он класс, ішінен кездейсоқ бір класс, мысалы V класстың бірі аталатды. Енді сол классты кездейсоқ шақырылған оқушының қыз бала болу ықтималдығы 2040- ке тең. Осы сияқты
PH2=310, PH3=310, PH2B=2240, PH3B=2040
Болатынын байқау қиын емес. Сонда іздеген ықтималдық мынау
PB=410 2540+310 2240+310 2040=226400=0.565 не 56.5%
§13 Байес формуласы
Осы уақытқа дейін қарастырып келген ықтималдықтар индуктивті түрде теориялық болжамжарға сүйеніп, тәжірибе жүргізілмей ақ, комплекс шарт жөніндегі білім / түсінік/ негізінде анықталып келді. Тәжірибеге дейінгі H1,H2,...Hn гипотезалар /оқиғалар/ ықтималдығы сәйкес түрде PH1,PH2,...P(Hn) болатын ды.
Тәжірибе жүргізілді делік, соның нәтижесінде В оқығасының пайда болғаны анықталды, енді осы В оқиғасына пайда болуына байланысты H1,H2,...Hn гипотезалардың ықтималдығын қайта қарауға тура келеді. Яғни PBH1,PBH2...PB(Hn) ықтималдықтар мәнін анықтауға тіреледі. Бұл ықтималдықтарды анықтау үшін, көбейту теоремасы мен ықтималдықтардың толық формуласын пайдаланамыз.
Тәуелді оқиғалар үшін көбейту теоремасы бойынша В оқиғасы мен Hi(i=1,2,...,n)
Гипотезалардың бірге пайда болу ықтималдығы /10.7/ формуланы қара / мынаған тең:
PBHi=PBHiPB=PHiPHi(B) (1)
Бұдан
PBHi=PHiPHiBP(B) (2)
Шығады. Бұл формулаға толық ықтималдық формуласынан P(B) мәнін қойсақ, онда
PBHi=PHiPHi(B)i=1nPHiPHi(B) (3)
Шығады. Осы /3/ формуланы Байес формуласы деп атайды.
І мысал. Өткен параграфтағы І мысалға қайта оралайық. Енді мәселені басқаша қояйық: мектеп директорының кез келген бір класстан шақырған оқушының қыз бала болуы /В оқиғасы/ анықталды дейік. Енді сол шақырылған қыз баланың Ү/ҮІ/,ҮІІ/ класс оқушысы болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешу. Есептің шарты бойынша PH1=410, PH2=310, PH3=310, PH1B=2540, PH2B=2240, PH3B=2040
Байес формуласы бойынша
PBH2=PH1PH1(B)P(B)=4102540226400=5073≈0.442 не 44.2%
Шығады. Қалғандарын да осылай анықтауға болады, сонда қыз баланың ҮІ класстан шақырылу ықтималдығы
PBH2=0.292 не 29.2%
ҮІІ класстан шақырылу ықтималдығы PBH3=0.266 не 26.6%
PBH1,PBH2,PB(H3) ықтималдықтары тәжітибе жүргізгеннен кейінгі /яғни апостериорлық/ ықтималдықтар болып отыр. Сондықтан да көп жағдайда Байес формуласы апостериорлық ықтималдықтарды анықтау формуласы деп те аталады. Бұл формула ғылым және салаларында, мысалы,артиллерияда, лингвистикада т.т. қолданып жүр.
2-мысал Үш ауданның мектептерін биылғы оқу жылында 2000 оқушы бітірді. Олардың 40% ті A1 ауданында, 35% ті A2аудынында, қалған 25% ті A3 ауданында бітірді. Мектепті бітірген оқушылардың математикалық қабілеті бірдей емес. Кейбіреулері математикадан нашар болғанымен, басқа пәндерден жақсы. Оқуышлардың осындай профессионалдық қабілетін ескеріп математикадан нашар болғанымен, қосымша консультациялар өткізіліп, кейбіреулерінің бағасы үштік балға дейін көтерілді. МұндайларA1 ауданында осы ауданда бітірген оқушылардың 2% ін A2 ауданында 1,5% ін A3 ауданында 1%ін құрайды. Осы бітірген 2000 оқушының кез келген біреуін шақырып сурағанымызда: а/ мұның математикадан білімі нашар оқушы болу ықтималдығы неге тең?
ә/ бұл оқушы: І A1ауданында, 2.A2 ауданында, 3. A3 ауданында бітірген оқушы болу ықтималдығы неге тең?
Шешуі. Шақырылған оқушының математикадан нашар болуы В оқиғасы болсын, оның A1 ауданынан болуы H1оқиғасы A2ден болуы - H2, A3тен болуы H3 оқығасы болсын. Есептің арты бойынша.
PH1=0.40, PH2=0.35, PH3=0.25, PH1B=0.020, PH2B=0.015, PH3B=0.010
Бұл мәліметтерді пайдаланып, бірінші сұраққа жауап береміз:
а) PB=i=1nPHiPHiB=0.40*0.02+0.35*0.015+0.25*0.01=0.01575≈0.016 не 1.6%
ә/ енді екінші сұраққа жауап берейік. Барлық оқушылар ішінен кез келген бір оқушыны шақырып, оның математикадан нашар болуын тексергенімізге дейінгі, бұл оқушының A1,A2,A3аудандарында бітіру ықтималдығы сәйкес түрде 0,40;035;025 еді. Шақырылған оқушының математикадан нашар болып шығуы оқушылар жайында қосымша хабар болып отыр. Осы қосымша хабар бұл ықтималдықтарды өзгертеді. Бұл жаңа ықтималдықтар PBH1, PBH2, PBH3 Байес формуласы бойынша мынадай:
PBH1=PH1PH1(B)P(B)=0.40*0.020.01575=0.508,
PBH2=PH2PH2(B)P(B)=0.35*0.0150.01575=0.333,
PBH3=PH3PH3(B)P(B)=0.25*0.010.01575=0.159,
Сонымен, көрнекті болу үшін бұл ықтималдықтарды былай тұжырымдайық:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------
ықтималдықтар
--------------------------------------------------------------------------------
априорлық ықтималдық/оқушы шықырылғанға дейінгі/
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Апостериорлық ықтималдық /шақырылған оқушы туралы
Хабар алынғаннан кейін/
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ТАРАУll. ЫҚТИМАЛДЫҚТЫҢ СТАТИСТИКАЛЫҚ АНЫҚТАМАСЫ. ТЕОРИЯ МЕН ПРАКТИКАНЫҢ ДӘНЕКЕРЛЕУ МОДЕЛІ.
§14 ЫҚТИМАЛДЫҚТЫҢ СТАТИСТИКАЛЫҚ АНЫҚТАМАСЫ.
Ықтималдықтың класикалық анықтамасы сынау нәтижесінде шектеулі сан рет және тең мүмкіндікті болатынына негізделді. Сондықтан бұл анықтаманың қолданылу өрісі тар. Осы себепті ықтималдықтың жай есептерінен күрделі есептерін шешуге көшкенде, әсіресе, статистикалық құбылыстарды сипаттауға байланысты практикада қолданылатын мәселелерді шешкенде шамадан тыс көптеген қиыншылықтарды кездестіреміз. Өйткені, біріншіден, сынаудың мүмкін нәтижелері шектеулі шама болмауы мүмкін. Мысалы, қандай да бір тілдегі бір сөздің пайда болу ықтималдығын тапқанда, біз практика тұрғысынан шектеусіз жиынды кездестіреміз. Екіншіден, жүргізілген тәжірибе нәтижесін ылғи да тең ықтималды болады деу аса үлкен қиындық туғызады. Мысалы, ұл бала мен қыз бала туу ықтималдығын анықтағанда симметрия және тең ықтималдыққа сүйеніп, қортынды жасауға болмайтын биологиялық статистика дәлелдейді /1- таблицаны қара, мұнда 1935 ж. Швецияда туған ұл баланың статистикасы келтірілген/.
Сонымен, құбылыстарды сипаттауға ықтималдықтың статистикалық анықтамасын қолданайық.
Статистикалық анықтама тәжірибені /сынауды/ сан рет қайталап, нәтижелерін /оқиғаны/ регистрациядан өткізуге /тізбесін жасауға/ сүйенеді. Сынау көп жүргізілгенде оқиғаның бірнеше рет пайда болуы не бірнеше рет пайда болмауы мүмкін. Оқиғаның пайда болу /пайда болмау/ санын бұдан былай жиілік немесе абсолютті жиілік дейтін боламыз. Ал жиіліктің
Айы
1
2
3
4
5
6
Барлығы
7280
6957
7883
7884
7892
7609
Ұл бала
3743
3550
4017
4173
4117
3944
Жиілігі
0,514
0,511
0,510
0,529
0,522
0,518
7
8
9
10
11
12
Жыл бойына
7585
7393
7203
6903
6552
7132
88273
3964
3797
3712
3512
3392
3761
45682
0,538
0,516
0,515
0,509
0,518
0,527
0,518
барлық сынау санына қатынасын салыстырмалы жиілік дейміз.Сонда сынаудың жалпы санын n десек, А оқиғаның қайыра қолдану санын /жиілігін/ m десек, онда А оқиғасының салыстырмалы жиілігі мынаған тең болады:
f(А)=m/n.
Жүргізілген сынау саны аз болса, жиілігі тұрақты болмай, бір сынаудан екінші сынауға дейінгі өзгерісі артып отырады. Ал сынау жеткілікті дәрежеде қайталанып отырса, онда А оқиғасының жиілігі тұрақтанады. Мұндай құбылыс физика-техникалық бақылауларда, биологияда, экономикада т.с.с. байқалады.
Бұл айтылғандарға алдымен төменгі мысалдармен түсініктеме берейік.
1-мысал. Монетаны n рет лақтырып, оның герб жағының пайда болу жиілігін анықтау үшін Бюффон және К.Пирсон жүргізген тәжірибе қортындылары 2-таблицада келтіріліп отыр.
Эксперимент жүргізгендер
Лақтыру саны
Герб болу саны
Салыстырмалы жиілігі
Бюффон
4040
2048
0,5080
К.Пирсон
12000
6019
0,5018
К.Пирсон
24000
12012
0,5005
Бұл келтірілген мысалдардан сынау саны мейілінше көп болса, салыстырмалы жиілік мәні тұрақтылық қалыпқа түсетінін байқаймыз, біздің мысалдарымызда 1/2 - ге жуықтайды. Екінші сөзбен айтқанда, кездейсоқ құбылыстарда қандай да обективті қасиеттер бар екендігі және оның тұрақтануға бейімділігі сезіледі. Бұл қасиет сынау саны /зерттеліп отырған мәселе көлемі/ артқан сайын айқындала түседі, ол қасиет қандай да бір тұрақты шамамен /санмен/ өлшенеді. Бұл шама бақылауға түскен құбылыстың обективті сандық сипаты болып табылады. Осы тұрақты шаманы /санды, мөлшерді/ кездейсоқ оқиға А-ның ықтималдығы дейміз. Сөйтіп, оны бұрынғыша, Р(А) арқылы белгілейміз. Осылайша анықталған кездейсоқ оқиға ықтималдығын статистикалық ықтималдық деп атайды.
Ықтималдықтың ілгеріде дәлелденген қасиеттері ықтималдықты статистика тұрғысынан анықтағанда да орындалады, тексеріп көрейік.
* Салыстырмалы жиілік m/n теріс таңбалы болуы мүмкін емес, өйткені m>=0, n<=0.
* 2.Ақиқат оқиға әрбір сынауды қайталауда пайда болады, сондықтан m=n, ал ықтималдық 1-ге тең.
* 3. А және В оқиғалары үйлесімсіз болса, бұлардың қосындысының ықтималдығы олардың салыстырмалы жиіліктерінің қосындысына тең, яғни n сынаудың жалпы саны болса m1А оқиғасының пайда болуы жиілігі болсак, m2В оқиғасының пайда болу жиілігі болса, онда Р(А+В)= m1/n+ m2/n.
Класикалық анықтамада келтірілген осы негізгі үш қасиеттен шыққан басқа қасиеттерде орындалады.
Ықтималдықтардың жоғарыда аталған қасиеттері әрқандай кездейсоқ оқиғалар системасы үшін орын алады. Бұл қасиеттер кездейсоқ оқиға ықтималдығын класикалық, статистикалық, аксиоматикалық /§19-ты қара/ анықтамалар бойынша бергенде де орындалады. Класикалық анықтама негізінде ықтималдықтар теориясын құрған сияқты, статистикалық анықтама негізінде де құруға болады. Сондай-ақ совет математигі академик А.Н.Колмогоров аксиоматикасы негізінде де құруға болады /§18,§19-ты қара/.
Математика ғылымының басқа салалары сияқты ықтималдықтар теориясының кездейсоқ оқиғалардың /құбылыстардың/ физикалық мазмұнымен жұмысы болмай олардың ықтималдылықтарының арасындағы сандық қатынасты қарастырады. Сондықтан мұнда ықтималдықтардың негізгі қасиеттері мен олардан шығатын сол ықтималдықтарды есептеу ережелерінің ролі зор. Бұл айтылғандарды мынадай тұжырымдауға болады. Ықтималдықтар теориясы мен оның қолданулары үшін тән мәселе мынадай:
Ықтималдықтары белгілі /берілген/ қарапайым кездейсоқ оқиғалар жиыны бойынша осы оқиғалар мен белгілі түрде байланыста болған басқа кездейсоқ оқиғалар ықтималдығын анықтау болмақ. Мысалы, тиынды лақтырғанда оның әрбір лақтыруда тиын жағының пайда болу ықтималдығы Р=1/2*200 рет лақтырғанда тиын жағы кем дегенде 100рет пайда болу ықтималдығын анықта. Мұндай есептерді шешу ықтималдықтарды есептеудің белгілі ережесі бойынша орындайды /мұндай ереженің бірі қосу теоремасы, ал бұл есеп шешуін келесі екінші бөлімде көрсетіледі/.
Оқушылардың назарын аударатын бір мәселе-статистикалық ықтималдықтың сан мәнінің белгісіз болуы. Әдетте, сынау саны үлкен /көп/ болғанда ықтималдық мәніне не А-ның салыстырмалы жиілігінің өзі алынады, не осы салыстырмалы жиілікке жуық сан алынады. Ондай санға, мысалы жеткілікті үлкен бірнеше сериядан алынған салыстырмалы жиіліктің арифметикалық ортасы алынады. Бұл анықтаманың іс жүзінде орындалатын түрлі зерттеулерде мүмкіндік болмай қалады, сондықтан оның бөлігін /іріктемені/ зерттеуге мәжбүр боламыфз. Сөйтіп іріктемені зерттеу нәтижесінде кездейсоқ оқиғаның салыстырмалы жиілігін анықтаймыз. Осы іріктемедегі салыстырмалы жиілік арқылы ықтималдықтың сан мәнін бағалаймыз, бұл-қарастырып отырған құбылыстың сандық сипаттамасы болып табылады. Сонымен қатар қаншалықты алшақ ауытқитынын анықтауға әкеліп тірейді.
Осы мәселені шешу барлық статистикалық зерттеудің бірден-бір түйінді мәселесі болып табылатынын есте ұстаған жөн. Сонымен, ықтималдықтар теориясы мен практиканы /статистиканы/ ұштастыратын маңызды дәнекер модель-үлкен сандар заңы болмақ. Аталған ауытқуды /кездейсоқ қатені/ бағалаудың теориялық негіздемесі де осы үлкен сандар заңы бойынша орындалады. Бұл заңның математикалық дәлелдемелерін кейінге қалдыра отырып қарапайым негіздемесін келтірейік.
Бұл негіздеме практикалық сенімділік принципі ұғымына байланысты. Сондықтан алдымен осы ұғымды түсіндірейік.
§15ПРАКТИКАЛЫҚ СЕНІМДІЛІК ПРИНЦИПІ.
Біз өткен параграфта мүмкін емес оқиғалар ықтималдығы нольге тең, ал ақиқат оқиғалар ықтималдығы бірге тең деген болатынбыз. Іс жүзінде мүмкін емес және ақиқат оқиғалар орнына <<практикалық мүмкін емес>> және <<практикалық ақиқат>> оқиғалар мен жуық болса, ондай оқиғалар өте-мөте сирек пайда болатыны өмір тәжірибесінен аян. Екінші сөзбен айтқанда, кейбір оқиға ықтималдығы мейілінше кіші болса, ондай оқиға бір рет жүргізілген сынауда пайда болмайды деп ұйғарамыз. Бұл принципті біз әрдайым күнделікті өмірімізде қолданып отырамыз. Сонымен, практикалық мүмкін емес оқиға деп ықтималдығы нольге дәл тепе-тең емес, бірақ оған мейілінше жуық болған оқиғаны айтамыз.
Мысалы. Жеңіл машиналар катастрофасы болып тұрса да, біз оның ықтималдығы нольге жуық дейміз де, таксиге не басқа жеңіл машинаға мінеміз.
<<Практикалық ақиқат>> оқиғаны да <<практикалық мүмкін емес оқиға>> сияқты анықтайды. Өйткені оқиға мүмкін емес болса, оған қарама-қарсы оқиға ақиқат оқиға болады. Сондай-ақ <<практикалық мүмкін емес>> болса, оған қарама-қарсы оқиға <<практикалық ақиқат>> болады. Олай болса практикалық ақиқат оқиға ықтималдығы деп бірге дәл тепе-тең емес, оған мейілінше жақын болған оқиғаны айтамыз. Ықтималдықтар теориясының практикалық қолданылуы осы практикалық қолданылуы осы практикалық ақиқат және мүмкін емес ұғымдарына сүйенеді. Сондықтан бұл ұғымдардың алатын орны үлкен.
Айтылып отырған <<практикалық ақиқаттың>> /сенімділік/ және <<практикалық мүмкін еместік>> /сенімсіздік/ ұғымдарын кейде практикалық сенімділік принципі деп те атайды. Бұл принциптің анықтамасы /Е.С.Бентцель келтіруі бойынша/мынадай:
Қарастырып отырған процесте А оқиғасының ықтималдығы мейілінше аз /мейілінше үлкен/ болса, онда тәжірибе бір рет орындалғанда А оқиғасының пайда болуын іс жүзінде үлкен сенімділікпен /ықтималдықпен айта аламыз/.
Практикалық сенімділік принципін математикалық дәлелдеуге де болмайды. Өйткені, оқиғаның практикалық сенімділігі /сенімсіздігі/ оның маңыздылығына байланысты анықталады.
Мысалы, самолеттің авария болу ықтималдығы 0,05, тіпті 0,01 болса, онда авиациямен жолаушыларды тасу іс жүзінде пайдаланылмаған болар еді. Ал егерде екі қала аралығын өлшеуде кететін қате 0,05 болса, мысалы, әр километрге 50см. болса, одан ешқандай зиян болмайды. Бұл қатені толық ескермеуімізге болады.
Сонымен, ықтималдық теориясының әрбір қолдану саласын тән өзінің практикалық сенімділігі /ықтималдығы/ беріледі. Оны біз шекаралық ықтималдық дейміз.
Мұндай шекаралық ықтималдыққа көп жағдайда 0,90;0,95;0,99 сандары алынады. Аталған цифрларды, мысалы 0,95 ықтималдығын былай ұғамыз; егерде қандай бір оқиғаны бақылау үшін 100 рет тәжірибе жүргізілсе, оның 90 проценттей нәтижесін дұрыс деп айта аламыз да, 5 проценттейін қателесуіміз мүмкін.
§16. ҚАТЕЛЕРДІҢ ТҮРЛЕРІ.
Қандай да бір физикалық шаманы өлшедік дейік. Ол шаманың сандық мәні өлшеу нәтижесінде алынады. Бір шаманы бірнеше рет өлшесек, олардың нәтижесінде айырма болады. Сонымен, қате деп шаманың өлшеуден шыққан мәні мен оның ақиқат дәл мәнінің айырымын айтады. Шаманың ақиқат мәні белгісіз болғандықтан, қате мөлшері де белгісіз. Сондықтан бұл қатенің қаншалықты үлкен не кіші болуы тәжірибе жүргізуден алынған мәліметтер бойынша анықталады. Оның үшін ол жіберілетін қателердің түрлерін білу керек. Ол-негізінде үшеуі.
Біріншісі-дөрекі қателер. Мұндай қателер-тәжірибенің негізгі талабына сай жұмыс істеу себебінен немесе тәжірибе жүргізген адамның ықтиярсыздығынан /мысалы, құралды дұрыс пайдаланбауы сияқты/ шығатын қателар. Осындай дөрекі қателерді сол мезетте қарастырудан шығарып тастау керек.
Екіншісі-систематикалық қателер.Мұндай қателер бір я бірнеше нақты себептердің /факторлардың/ әсерінен болады. Бұл себептердің әрқайысы біржақтама қате жіберіп систематикалық қате тудырады дейді. Сөйтіп, әрбір фактордың әсерінен пайда болған систематикалық қателерді жіберіп систематикалық қате тудырады дейді. Сөйтіп, әрбір фактордың әсерінен пайда болған систематикалық қателерді анықтау үшін арнайы зерттеуді қажет етеді. Әдетте, ықтималдықтар теориясында бұл екі түрлі қателер кездескен болса, онда олар жөнделінген, сондықтан мұндай қателар жоқ деп қарастырамыз.
Үшіншісі-кездейсоқ қателер. Бұлар факторлардың әрқайысының әсері жоқтың қасындай болып, жеке-жеке ескеруге мүмкін емес қателер болады. Сонда кездейсоқ қате деп факторлардың құранды әсерінен пайда болған қатені ұғамыз. Екінші сөзбен айтқанда, өлшеу нәтижесінде байқалған барлық дөрекі және систематикалық қателерді алып тастаудан қалған қатені кездейсоқ қате дейміз.
Систематикалық қатені анықтау қиынға соғатын жағдайлар кездеседі. Оны айқындаумен айналысқанда кейде жаңалықтарды ашу ізіне түсуге де алып баратын жәйттер ұшырасады. Мысалы, П.Лаплас өзінің ашқан кейбір маңызды жаңалықтарына тоқталғанда, кездейсоқ емес /яғни систематикалық/ қателерді айқындау нәтижесінде болғанын баса айтады.
Көп жағдайда кездейсоқ қатенің қалайша пайда болуын білу систематикалық қатені анықтауға жәрдемдеседі. Сөйтіп, оны қарастырудан шығара аламыз.
Кездейсоқ оқиғаның /шаманың/ ақиқат дәл мәні ретінде математикалық /априорлық/ ықтималдық алынсын деп ұйғарайық.
Сонда кездейсоқ шама мәндерінің теориялық ортадан ауытқуы бақылаушының ескеруі мүмкін болмайтын себептер /факторлар/ көп. Мұндай факторларға тәжірибе жүргізушінің көңіл қоштығы да т.т. жатады. Осындай факторлардың әрбіреуі әсерінің қосындысы кездейсоқ қате болады. Бұл түрдегі қате бірін-бірі жою да, арттыруы да мүмкін. Сөйтіп, кездейсоқ шама мәндері теориялық ортаға немесе салыстырмалы жиілік ықтималдыққа өзгеріп, ауытқып отырады.
Егер де эксперимент нәтижесін болжаудағы /пронозировать/ практикалық сенімсіз күшті болса, онда қарастырып отырған құбылыс ықтималдығын құнды деп ұғамыз. Өйткені бұл ықтималдық салыстырмалы жиілікке өте жуық, яғни жиіліктің ықтималдыққа қарағандағы ауытқуы үлкен емес.
Сонымен, ықтималдықтар теориясы мен эксперимент /тәжірибе, опыт/ арасындағы қатынастың негізгі мақсаты оқиғаның салыстырмалы жиілігі мен ықтималдығының, сондай-ақ кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасы мен теориялық ортасының бір-бірімен дәл келуін қандай ықтималдықпен қамтамасыз ету мәселесі болмақ. Бұл мәселелер алда баяндалатын үлкен сандар заңы /ҮСЗ/ деп аталатын бірнеше теоремалар жиынымен сипатталады.
§17.ҮЛКЕН САНДАР ЗАҢЫ ТУРАЛЫ ҰҒЫМ.
Теория мен практиканы ұштастыратын ықтималдықтар теориясының саласы үлкен сандар заңы деп аталатын тарау. Үлкен сандар заңын сипаттайтын теоремалар ықтималдық теориясының абстрактық модельдері мен опыт арасындағы байланысты көрсетеді. Сонымен қатар сол опыттар нәтижесін болжауға мүмкіндіктер береді. Сондықтан бұл теорияның практикада қолданылу әдістерін білу қажет. Мұнда оқиғаның салыстырмалы жиілігі ықтималдықтан қандай да алдын ала берілген оң таңбалы аз шамадан үлкен болмауын бірге жуық ықтималдықпен /сенімділікпен/ айту үшін жүргізілетін сынау саны қандай болуы қарастырылады. Ал егер де сынау саны бұрыннан мәлім болса, онда үлкен сандар заңы салыстырмалы жиіліктің әрбір сынаудағы ықтималдықтан ауытқуы алдын-ала берілген шектен артпауын бірге жуық ықтималдықпен айтады.
Осы айтылғандардың барлығы да арифметикалық орта мен математикалық ортаның ауытқуына да тиісті болады.
Адамзат өзінің практикалық тәжірибесінде байқап жүрген бұл заңдылықтың математикалық тұжырымдамасын тұңғыш рет Я.Бернулли 1713 жылы берген. Оның тұжырымдамасы үлкен сандар заңының ең қарапайым формасы еді. Оны былай деп айтуымызға болады:
Егек де әрдір тәуелсіз сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты болып, ол Р-ға тең болса, онда сынау саны n мейілінше үлкен болғанда, Р мен салыстырмалы жиілігі f=m/n айырманың абсолюттік шамасы оң таңбалы мейілінше кіші ε-нен артық болмау ықтималдығын ақиқаттыққа мейілінше жуық ықтималдықпен мақұлдаймыз, яғни
limn-->infinityPmn-P<ε=1
Бұл Бернулли теоремасын дәлелдейміз. Айта кететін бір мәселе осы заңның, яғни үлкен сандар заңың, жалпы теоремасын жасаған-ұлы орыс математигі П.Л.Чебышев.
Бернулли теоремасы осы Чебышев теоремасының салдары ретінде оп-оңай дәлелденеді. Аталған теоремалар сияқты тағы да теоремалар бар. Ондай теоремалар жиынын үлкен сандар заңы деп атайды. Бұл жағдай келесі тарауларда арнайы қарастырылады.
ТАРАУ lll. ЭЛЕМЕНТАР ОҚИҒАЛАРДЫҢ ҚАЛАҒАН КЕҢІСТІГІ. ЫҚТИМАЛДЫҚТЫҢ АКСИОМАТИКАЛЫҚ АНЫҚТАМАСЫ.
§18 δ-АЛГЕБРА.ӨЛШЕНЕТІН КЕҢІСТІК.
Ықтималдықтар теориясы математика ғылымының бір саласы болғандықтан оны формалды-логикалық негізде құру мәселесі келіп шығады. Аксиоматикалық методта ықтиа\малдықтар теориясын құруды алғаш негіздеген совет-математигі С.Н.Бернштейн (1880-1968).
Бірақ бұл саланың толық аксиоматикалық жүйесін берген әйгілі совет математигі академик А.Н.Колмогоров
Ықтималдықтың классикалық анықтамасында кездейсоқ оқиға бастапқы ұғымға жататын.
Колмогоров аксиоматикасында кездейсоқ оқиға бастапқы ұғым емес, ол басқа элементар ұғымдар негізінде жасалады.
Мұны түсіндіру үшін 1,2-ші еске түсірейік. Ол параграфтарда сынау нәтижелері шекті я саналымды шексіз элементтер оқиғалар жиыны болатынын көрдік. Енді сынау нәтижесі саналымсыз /шексіз/ болатын элементар оқиғалар кеңістігіне мысал келтірейік.
Мысалы, нүктені [t1, t2] кесіндісіне кездейсоқ лақтырудың континуум нәтижесі болады, өйткені нәтижесі осы кесіндідегі кез келген нүкте болуы мүмкін. Бұл кесіндіге, мәселен, осы аралықтағы температураның өзгеруі, уақыттың өзгеруі т.т. жатады.
Нәтижесі шекті я саналымды шексіз жиын болғанда сынаудың әр қандай нәтижесінің оқиға болатын болса, қарастырып отырған бұл мысалда мәселе басқаша. Өйткені бұл кесіндінің қалаған ішкі жиынын оқиға десек онда көптеген қиындыққа кездесеміз.
Сондықтан мұндай жағдайда оқиға болу үшін арнайы ішкі жиындар класын құрудың қажеттігі туады. Элементтері оқиға болатын сондай жиындар класын құрайық. Мұның үшін §1-ші енгізілген оқиғалар алгебрасы ұғымын кеңейтейік.
Элементар оқиғалар кеңістігі Ω болсын. Мұның ішкі жиындар системасы F болсын. Сонда оқиғалар алгебрасы болу үшін мына аксиомалар /шарттар/ орындалатыны айтылғанды. Олар:
* Элементар оқиғалар кеңістігі Ω-ның өзі F жиынында элемент ретінде жатады, яғни ΩEuroF
* Егер де А оқиғасы және В оқиғасы элемент ретінде F системасында жатса, онда бұл системада олардың бірігуі де, қиылысуы да жатады, яғни АEuroF және ВEuroF-тен АUВEuroFжәне А∩B∈F шығады.
* Егерде А оқиғасы элемент ретінде F системасында жатса,онда оған қарама-қарсы Ā оқиғасы да сол F системада жатады, яғни АEuroF болса, онда ĀEuroF
Әрине ϑ EuroF, өйткені ϑ=Ū.
2мен3 қасиеті бірігу, қиылысу және толықтыру операцияларының орындалуы деп ұғылады.
Біз оқиғалар саны шекті болғанда /мысалы екеу болғанда/ F системасының қалайша жасалуын қарастырдық /§1-ді қара/. Ал егерде оқиғалар саны шексі болса, онда Колмогогов аксиоматикасында тағы да бір талап қойылады.
4 аксиома /2-ішінің кеңейтілген түрі/ F системасына А1, А2....... тізбектер жиыны жатса онда оған олардың бірігуі мен қилысуы да жатады, яғниinfinityUn=1An∈F,infinityUn=1An∈F
Ескерту.2-ші және 4-ші аксиомалардың қорытатын бір мәселе ол бірігу я қиылысу операцияларының біріне толықтыру операциясын қолданса, одан екінші операция шығады. Шынында, ∩An=UAn,n=2 ,болғанда A+B=A*B
Сонымен оқиғалар алгебрасы деп бірігу, қиылысу және толықтыру операциялары сан рет орындалған және бұларға қарағанда жабық жиындар класын жасайтын алгебралар системасын айтқан болатынбыз /§1-ді қара/. Бұл операциялар саналымды шексіз орындалғанда жабық жиындар класын жасаса , онда мұндай жиындар класы F системасын δ-алгебра немесе оқиғалардың борельдік өрісі немесе оқиғалар өрісі деп атайды. Fсистема элементтері оқиға болады. Бұдан былай Ω жиыны мен δ-алгебра құруға F системасы берілсе, өлшенетін кеңістік берілген дейміз, <Ω,F> пен белгілейміз. Сонымен қандайда ықтималдықтар есебін формалдау қажеттігі туралы болса онда оны /экспериментті/ өлшенетін кеңістікке, яғни <Ω,F>-ге сәйкестендіру керек.
Айтылғандарды мынандай бір мысалмен түсіндірейік [0,1] кесінді нүктелері континиум. Бұл кесіндіні шекті кесінді я интервалдарға бөліп жиын /система/ жасасақ, онда бұл система оқиғалар алгебрасын құрайды, бірақ δ-алгебра жасамайды.
Ал егер де бұл кесіндінің барлық ішкі жинағын алсақ ол δ-алгебра жасайды.Әрине,F системасында жатпаған Ω жиынын қалған барлық ішкі жиындары оқиға болмайды.
Сонымен Ω-ны ақиқат оқиға дейміз 1,3 аксиома бойынша бос жиын ϑEuroF-ны мүмкін емес оқиға дейді .Ā-ны А-ға қарама-қарсы немесе А-ны толықтаушы оқиға дейді.
АВ=U болса, онда А мен В-ны үйлесімсіз дейді. Енді ықтималдықты анықтайтын аксиомаларды беруге болад.
§19. Ықтималдықтар теориясының аксиомалары.
Ықтималдық кеңістік.
Бұдан былай<Ω, F кеңістігінде өлшенетін F системасының δ алгебрасында анықталған және төмендегі аксиомаларды қанағаттандыратын сандық функция P ны ықтималдық дейміз.
Аксиома І. F өрісіндегі әрбір кездейсоқ А оқиғаға ықтималдық деп аталатын теріс емес сан Р(А)-ны сәйкес қоюға болады, яғни P(A)>>0-ны оқиға ықтималдығы дейміз.
Аксиома 2. P(Ω)=1
Аксиома 3. /қосу аксиомасыя/. Егер де А және В үйлесімсіз болса, онда
P(A∪В)=P(A)+P(B)
Осы сияқты егер де А1,А2,...Ап оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз болса, онда
PnUi=1=PA1+PA2+...+P(An)
Классикалық тұрғыдан қарағанда бұл аксиоманы теорема күйінде беріледі, сондықтан 3-ші аксиоманы қосу теоремасы немесе ықтималдықтардың қосу заңы деп те атаймыз.
Қосудың кеңейтілген аксиомасы. А оқиғасының пайда болуы қос-қостан үйлесімсіз A1,A2,...,An... оқиғаларының кем деген де біреуінің пайда болуы мен мәндес болса, онда
P(A)=P(A1)+PA2+...+PAn+...
Аксиома 4/үздіксіз аксиома/. Егер де оқиғалар тізбегі A1,A2...An...,берілсе және келесі оқиғаның орындалуы шығып отырса, ал барлық An оқиғаларының көбейтіндісі мүмкін емес оқиға болса, онда P(An)-->0 егерде n-->infinity.
Қосудың кеңейтілген аксиомасынан үздіксіз аксиомасын және керісінше шығаруға болады. Сондықтан бұлар бір-бірінен мәндес. Мұның дәлелдемесін Гнеденко кітабының 53-54 беттерінен қара.
Элементарлық оқиғалар кеңістігі Ω система F және ықтималдық Р ықтималдықтар кеңістігін жасайды.
Бұдан біз ықтималдық ұғымын анықтағанда бастапқы элементар оқиғалар кеңістігі Ω мен қатар кездейсоқ оқиғалар жиыны F және осында анықталған Р функциясын көрсетуге тиістіміз.
Сонымен жиындар теориясы көзқарастан қарастырғанда ықтималдыққа берген аксиоматикалық анықтаманы: Ω жиынында нормалданған санақтық- аддитивті, өлшемі теріс емес F жиынының барлық элементі үшін анықталған деп айтуға болады.
Колмогоров аксиоматикасы осы түрде енгізілген. Мұның аксиоматикалар системасы толық емес және қайшылықта емес [5]
Ықтималдық теориясының аксиоматикалық құрылуына бірнеше салдарлар шығады.
Салдар І. Егер де үйлесімсіз A1,A2,...,An оқиғалары оқиғалар кеңістігі Ω жасаса, онда 2және 3 аксиомалар бойынша бұл оқиғалардың қосындысының ықтималдығы бірге тең, яғни
PnUi=1=i=1nPAi=1
Салдар 2. Қарама қарсы екі оқиғалар ықтималдықтарының қосындысыт І ге тең, яғни
P(A)+P(A)=1
Бұл теңдіктен
P(A)=1-P(A)
Не
P(A)=1- P(A)
Егер P(A)=P, P(A)=q десек, онда
P+q=1
Бұдан P=1-q не q=1-p
Салдар 3. Мүмкін емес оқиға ықтималдығы нольге тең:
P(ϑ)=0
салдар 4. Кездейсоқ оқиға А қандай болмасын, оның ықтималдығы 0мен1 аралығында болады, яғни
0<
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz