Толқындық функция

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
СемЕЙ қаласының ШӘКӘРІМ атындағы МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ
3 деңгейлі СМК құжаты
ПОӘК

ПОӘК 042-18-38.103
/03-2014

ПОӘК
<<Кванттық механика>> пәнінің оқу-әдістемелік материалдары

№2 басылым
25.06.2014 ж.













                                       
            ПӘННІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ
                     <<Кванттық механика>>
                                       
           <<5В60400  -  Физика>> мамандығы үшін
                                       
            ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК МАТЕРИАЛДАРЫ
                                       















                                  Семей
                                     2014

                                Мазмұны

1
Глоссарий 
3
2
Дәрістер
4
3
Практикалық сабақтар
67
4 
5  
Курстық жұмыс (проект)
Студенттердің өздік жұмыстары

75



























1 ГЛОССАРИЙ 
азғындау  -  кванттық механикадағы кез келген  оператордың  меншікті мәніне кейде бірнеше меншікті функциялар  сәйкес келеді. Мұндағы - азғындау еселігі деп аталады
алмасу әрекеттестігі  -  кейбір ерекше әрекеттестіктің нәтижесі болып білінетін теңбе-тең бөлшектердің өзара ықпалы
анықталмағандықтар қатынасы  -  бөлшектің координаттарын және импульстерін бір мезгілде дәл өлшеу мүмкін екендігін тұжырымдайтын кванттық теорияның негізгі қағидасы
атомның стационар күйі  -  атомды сипаттайтын физикалық шамалар уақыт бойынша өзгермейтін орнықты күй
ауытқулар теориясы  -  теңдеулерді жуықтау шешу әдісі. Егер жүйеге әсер ететін ауытқу аз болса, онда ауытқы теориясы қолданылады
гамильтониан  -  классикалық теориядағы Гамильтон функциясына сәйкес келетін оператор
Дирак теңдеуі  -  спині болатын еркін бөлшекті сипаттайтын толқындық функцияға арналған релятивтік кванттық теңдеу
жұптық  -  физикалық жүйенің  толқындық функциясының кейбір үздікті түрленулеріне қатысты симметриясын сипаттайтын кванттық сан
инварианттық  -  кез келген шаманың белгілі бір түрлендірулерге қатынасты өзгермейтіндігі
операторлар  -  кванттық механикада бір толқындық функцияны басқа функцияға ауыстыратын кез келген әрекет
жасау уақыты  -  қозған күйдегі микрообъектінің (молекуланың, атомның, атом ядросының) орташа өмір сүру уақыты, ол микрообъектінің қалыпты күйге өздігінен көшу ықтималдығына кері шама
еріксіз сәулелену  -  сыртқы әсердің нәтижесінде кванттық жүйенің электрмагниттік сәулеленуді шығаруы
екінші қайтара кванттау  -  бөлшектер жүйесін өрістік бейнелеу, яғни жүйенің бөлшектерін белгілі бір өрістің кванттары ретінде қарастыру әдісі
кванттық механика  -  микробөлшектердің (элементар бөлшектердің, атомдардың, молекулалардың) қозғалыс заңдылықтарын зерттейтін қазіргі заманғы физиканың негізгі теориясының бірі
кванттық статистика  -  көп бөлшектерден тұратын кванттық жүйелердің статистикалық физикасы
Клейн-Гордон-Фок теңдеуі  -  нөлдік спинді бөлшектерге арналған кванттық релятивтік теңдеу
кеңістік инверсия  -  бөлшектің кеңістіктік координаттары таңбаларының қарама-қарсы таңбаларға өзгеруі: 
кванттық көшудің ықтималдығы  -  берілген көшуге қатынасты кванттық жүйенің жасау уақытына кері шама
кванттық жүйенің қозған күйі  -  негізгі күйден басқа күй
квазиклассикалық жуықтау -  теңсіздік орындалғанда классикалық сипаттамаға түзету енгізе отырып квантмеханикалық есептерді шешу әдісі
кванттық электрдинамика  -  электрмагниттік өрістің электрондар мен басқа элементар бөлшектермен әрекеттестігінің кванттық теориясы
 кванттық сандар  -  кванттық жүйелер мен жеке элементар бөлшектерді сипаттайтын физикалық шамалардың мүмкін мәндерін анықтайтын бүтін немесе бөлшек сандар
кванттық көшу  -  кванттық жүйенің бір күйден басқа күйге секіріс тәрізді көшуі
коваленттік байланыс  -  электрондарды ортақтастыру кезінде пайда болатын екі атомның арасындағы химиялық байланыс
корпускулалық-толқындық дуализм  -  кез келген микрообъектілердің корпускулалық та және толқындық та қасиеттері болатындығы туралы пікір
магнетон  -  атом, атом ядросының және элементар бөлшектер физикасындағы магниттік моментін өлшеу бірлігі
механика  -  материалдық нүктелердің механикалық қозғалысын қарастыратын физиканың бөлімі
өрістің кванттық теориясы  -  элементар бөлшектер мен олардың әрекеттестіктерінің физикалық теориясы
Паули принципі  -  спині (1/2) болатын зарядталған бөлшектердің сыртқы электрмагниттік өрісіндегі қозғалысын сипаттайтын релятивтік емес теңдеу
потенциалдық шұңқыр  -  кеңістіктің шектелген облысы, ондағы бөлшектің потенциалдық энергиясы U, сыртындағы потенциалдық энергиядан кіші болады
суперпозиция принципі  -  егер кванттық жүйе екі немесе бірнеше толқындық функциялармен сипатталатын күйде орналаса алса, онда ол осы функциялардың кез келген сызықтық комбинациясымен сипатталатын күйде де орналаса алады
симметрия  -  физикалық объект құрылымының оның түрлендірулеріне қатысты өзгермейтіндігі
себептілік принципі  -  физикалық оқиғалардың бір-біріне ықпалының мүмкін шегін тағайындайды
сәуле шығаратын кванттық көшу  -  кванттық жүйенің электрмагниттік сәулелену квантын шығару немесе жұту процесі болатын көшу
спин  -  микробөлшектің қозғалыс мөлшерінің меншікті моменті
тепе-теңдік сәулелену  -  абсолют қара дененің сәулеленуі
тығыздық матрицасы  -  кез келген физикалық шаманың орта мәнін табатын оператор
теңбе-тең бөлшектер  -  массасы, спині, электр заряды, кванттық сандары және басқа да ішкі сипаттамалары бірдей болатын бөлшектер
физика  -  материяның жалпы формалары және өзара түрленуі туралы ғылым, ол дәл ғылымдарға жатады және айналамыздағы процестермен құбылыстардың сандық заңдылықтарын зерттейді
физикалық заңдар  -  табиғатта болатын тұрақты қайталанатын объективті заңдылықтар
фермион  -  жартылай бүтін спинге ие болатын бөлшек немесе квазибөлшек. Фермиондарға электрон, протон, нейтрон, кварктар және т.б. жатады
шашырау амплитудасы  -  соқтығудың кванттық теориясында бөлшектердің соқтығысуын сан жағынан сипаттайтын шама
шашырау матрицасы - әрекеттесу (шашырау) нәтижесінде квантмеханикалық жүйелердің бір күйлерден басқа күйлерге көшу процесін сипаттайтын шамалардың жиынтығы (матрицасы)
Шредингер теңдеуі  -  релятивтік емес кванттық механиканың негізгі теңдеуі. Бұл теңдеуді 1926 ж. австриялық физик Э.Шредингер ұсынған. Шредингер теңдеуі жүйенің мүмкін күйлерін және сонымен қатар күйлердің уақыт бойынша өзгерісін анықтайды
толқындық функция  -  кванттық жүйенің күйін сипаттайтын шама
ықтималдық амплитудасы  -  кванттық механикада толқындық функциясының рөлін атқарады
іріктеу ережелері  -  кванттық жүйелер үшін мүмкін көшулерді анықтайтын ережелер
электронға ұқсастық  -  кейбір атомдар мен молекулалардың қосымша электронды өзіне қосып алып, теріс иондарға айналуы

2. ДӘРІСТІҢ ҚЫСҚАША КОНСПЕКТІЛЕРІ 
Кіріспе
Кванттық механика қазіргі заманғы физиканың негізгі теориясының бірі. Кванттық механика - микробөлшектердің (элементар бөлшектердің, атомдардың, молекулалардың) қозғалыс заңдылықтарын зерттейтін теория.   
Кванттық механиканың алғашқы даму тарихын қарастыра отырып,  негізгі үш кезеңді ерекше бөліп алуға болады. Бірінші кезең: XIX ғасырдың аяғы - 1912 ж. (алғашқы тәжірибелер және оларды түсіндіру әрекеттері). Екінші кезең: 1913 - 1922 ж.ж. (Бордың кванттық теориясы). Үшінші кезең: 1923 - 1927 ж. ж.  (кванттық механиканың пайда болуы және дамуы).
XIX ғасырдың аяғында және XX ғасырдың басында рентгендік  сәулелер, электрондар, спектрлер, радиоактивті құбылыс және т.б. физикалық құбылыстар ашылды. Осыған байланысты ғалымдар микрообьектілерді зерттеуге мүмкіндік алды. Алғашқы кванттық ұғымды енгізген неміс физигі М.Планк. 1900 жылы 14 желтоқсанда Планк <<Қалыпты спектрдегі энергияның үлестірілу теориясына>> деген еңбегін Немістің физикалық қоғамының мәжілісінде баяндады. Осы күнді кванттық теорияның туған күні деп есептеуге болады. Классикалық сәулелену теориясы бойынша жарық үзіліссіз түрде шығарылады. Бұл ұғым бойынша физиктер абсолют қара дененің сәулеленуінің эксперименттік қисығын түсіндіре алмады. Осы қиыншылықты жою үшін Планк, жарық үзікті түрде, яғни атомдар энергияны жеке порциялармен шығарады деп болжаған. Энергияның бір мөлшерін ол латынның квант (қанша) деген сөзімен атады. Планк  гипотезасын (ғылыми болжамын) пайдалана отырып неміс ғалымы А. Эйнштейн 1905 жылы фотоэффект құбылысын және 1907 жылы қатты денелердің жылу сыйымдылығының  температураға   тәуелділігін    түсіндірді.   1911   жылы   ағылшын    физигі  
Э. Резерфорд  - бөлшектердің  ауыр элементтер атомдарымен соқтығысуын зерттей отырып, атомның планетарлық моделін ұсынды. 
Кванттық механиканың пайда болуына дейін микрообъектілерде болатын физикалық құбылыстарды классикалық физиканың (Ньютон механикасы, классикалық электрдинамика және т.б.) көмегімен түсіндіру әрекеттері болды. Бірақ эксперименттік берілгендер классикалық физиканың заңдылықтары кеңістіктің микроскопиялық аймағында орындалмайтындығын көрсетті. Мысалы, атомдар Ньютон заңдарына бағынбайды. Классикалық физика атомдардың электрмагниттік сәулеленуімен  өзара  әрекетін,  мыстың  не  себепті  өткізгіш,   ал   шынының - оқшаулағыш болатынын түсіндіре алмады. Себебі, классикалық физика заттың микроқұрылысы рөл атқармайтын құбылыстарды қарастырады. Сонымен, ХХ ғасырдың басында классикалық физика түсіндіре алмайтын эксперименттік фактілер көптеп жинақталды. Оларды тек кванттық теорияның көмегімен түсіндіруге болды. 
Кванттық механиканың негіздерін құруда классикалық физикада қолданылатын бірсыпыра көрнекі және үйреншікті ұғымдардан бас тартуға тура келді. Мысалы, классикалық механикада материялық нүкте траектория бойынша қозғалса, кванттық механикада бөлшек траекториясы ұғымы жоқ. Классикалық физикада барлық объектілер энергияны үзіліссіз түрде шығарса, кванттық теория бойынша атомның сәуле шығаруы үзікті сипатта болады. Классикалық физикада заңдар динамикалық сипатта болса, кванттық заңдар статистикалық сипатқа ие болады. 
Кванттық механиканың осы жаңа ұғымдары көрнекілік қасиеттерге ие болмайды. Микрообъектілердің қасиеттерін түсіндіру үшін мүлде басқаша теория қажет болды және соған сәйкесті жаңа математикалық аппарат қолдану керек болды. 
Кванттық физика атомдар, ядролар және элементар бөлшектер физикасын, яғни кванттық құбылыстарды зерттейді. Осы кванттық құбылыстардың қазіргі заманғы математикалық теориясы кванттық механика деп аталады. Кванттық механика, қарастырылатын бөлшектердің жылдамдықтарына байланысты екі түрге бөлінеді: релятивистік емес кванттық механика (бұл   жағдайда   бөлшектер  жылдамдығы   жарық   жылдамдығы - дан өте кіші, ) және релятивтік кванттық механика (). 
Кванттық механиканың көмегімен көптеген физикалық құбылыстарды түсіндіруге болады. Оны негізге ала отырып, атомдық спектрлердің, молекулалар құрылысының, элементтердің периодтық жүйесінің, металдың өткізгіштік, химиялық байланыс және т.б. теориялары жасалды.  Осы сияқты өрістің кванттық теориясы да біз қарастыратын кванттық механикаға негізделген.
Тақырып: Кванттық ұғымдарға ауысудың қажеттілігі. Бөлшектік-толқындық екіжақтылық. Бөлшектің қозғалысын ықтималдық мағыналаудың қажеттілігі. Анықталмағандық принципі. Толқындық функция. Суперпозиция принципі. Толқындық функцияның негізгі қасиеттері. Себептілік принципі.
Сәулелену кванттары  -  фотондардың екіжақты қасиеттері болады, оларды бірінші жағдайда корпускулалар (бөлшектер) ретінде, ал екінші жағдайда толқындар ретінде қарастыруға болады. Осы идеяны 1923-1924 жылдары нөлден өзгеше тыныштықтық массаға ие болатын бөлшектерге арнап қолданған де Бройль болды. Оның болжауынша, бұл бөлшектердің корпускулалық қасиеттерімен қатар  толқындық қасиеттері де болады. Әрине, оның  ғылыми  болжамы  сол  кезде  күтпеген  өте  батыл  ой  болды. 
Де Бройль қатысын басқа да қарапайым әдіспен алуға болады. Оптика курсынан белгілі, толқындық түйдектің топтық жылдамдығы 

 				      				          
формуламен сипатталады.
Осыдан де Бройль қатысын аламыз (интегралдау тұрақтысын нөлге теңестірсе)
 
Бұл өрнекті үйреншікті түрде жазуға болады
                                 		   		          

Осы қатыс де Бройль формуласы деген атпен белгілі.
Енді де Бройль толқынының физикалық мағынасына тоқталайық. Бөлшектердің толқындық қасиеттері болғандықтан, кванттық механиканыңалғашқы  даму барысында, бөлшекті толқындық түйдек түрінде қарастыру көрінісі басым болды. Толқындық теория бойынша, түйдектің өлшемі бөлшектің өлшемімен бірдей болады. Егер бөлшек ретінде еркін электронды алса, онда есептеулер бойынша толқындық түйдек - тен кейін жайылып кетеді. Сонымен, еркін электронды толқындық түйдек түрінде қарастыру көрінісі дұрыс болмады, себебі электрон  -  тұрақты бөлшек. Де Бройль толқынына дұрыс мағына берген неміс физик  -  теоретигі Макс Борн болды. Оның айтуынша, егер бөлшек толқындық функциямен сипатталса, оның модулінің квадраты (яғни де Бройль толқынының қарқындылығы) кеңістіктің әр түрлі нүктелерінде бөлшекті табу ықтималдығын  көрсетеді.
Классикалық физика көріністері бойынша, электронды зарядталған шарик ретінде қарастыруға болады. Ол шарик белгілі бір уақыт мезетінде қатаң анықталған орын алсын, яғни оның анықталған координаты болсын. Осы мезетте шарик анықталған импульске ие болады.
Кванттық теория көріністері бойынша, электрон толқындық қасиеттерге ие болады. Осы қасиеттердің негізінде біз бірмезетте электронның импульсін және координатын анықтай алмаймыз. Бұл пікірді Гейзенберг 1927 жылы мына түрде тұжырымдады: бөлшектің координаталарын және импульстерін бірмезетте дәл өлшеу мүмкін емес. Осы тұжырымдауды Гейзенбергтің  анықталмағандықтар  қатысы  деп  атайды.
Жалпы жағдайда бұл қатыс мына түрде жазылады :
    .	  			          (2.3)
(2.3)  -  Гейзенбергтің анықталмағандықтар қатысы деп аталынады. Бұл қатыс бойынша, егер  - бөлшектің   координатын өлшеудегі қатесі болса, ал - оның  өсі бағытындағы импульсін өлшеудегі қатесі болса, онда екі өлшеу қателерінің көбейтіндісі ешқашан да шаманың реті бойынша Планк тұрақтысынан кіші болмайды. Сонымен: 
 ,               .

Планк тұрақтысы өте аз шама болғандықтан, анықталмағандықтар қатыстары  макроденелер  үшін  білінбейді. 
	(2.3) қатыс бойынша, егер координатаның  мәні дәл анықталса , онда импульстің  мәні  дәл  анықталмайды  және  керісінше. 
	Гейзенбергтің  анықталмағандықтар  қатысын  мына  түрде  де  жазуға  болады: 
 .   			          (2.4)
Бұл қатыс бойынша, егер жүйенің энергиясы  дәлдікпен өлшенсе, онда осы өлшеуге қатысты  уақыт минимальді анықталмағандыққа ие болады. (2.3) және (2.4) қатыстарын тағы да мынадай қатыстармен толықтыруға болады: 
                                   ,   ,    ,                 (2.5)
мұндағы - өсьті  айналдыра  бұру  бұрышының  анықталмағандығы, - бұрыштық моменттің х өсі бағытындағы анықталмағандығы. Сонымен, микродүниеде көп жағдайда физикалық шамалардың мәндері бірмезетте  дәл  анықталмайды. 
Де  Бройль  идеясы  бойынша,  бөлшектердің  толқындық  қасиеттері
 болады. Осыған байланысты, кванттық механикаға мынадай постулат енгізуге болады: бөлшектің күйі толқындық функция  - мен сипатталады,  оның   модулінің   квадраты  t   уақыт мезетінде  координаты 
 - ға тең нүктеде табу ықтималдығының тығыздығын береді. Жалпы айтқанда, толқындық функция  (пси-функция) комплекс функция болып саналады. Ол бөлшектің қозғалысын анықтайтын белгілі бір дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады. Мысалы, - функция кванттық механиканың негізгі теңдеуі Шредингер теңдеуінің шешімі болып табылады. Толқындық функция бөлшекті табу ықтималдығын анықтайтын көмекші комплекс шама, сондықтан оның тікелей физикалық мағынасы  болмайды.   Табу   ықтималдығы   нақты  оң  шама  болу  керек, 
пси - функцияның  модулінің  квадраты  бұл  шартты  қанағаттандырады. 
Ақырсыз  кішкене  аймақ   қарастырайық,
оның көлем элементін  деп  белгілейік. Ықтималдық теориясы бойынша  көлемдегі  бөлшекті  табу  ықтималдығы  мынаған  тең: 
                                           ,                      (3.1)
мұндағы 
                                      (3.2)
ықтималдық  тығыздығы  деп  аталынады.  Енді  t  уақыт  мезетінде  v  көлемдегі  табу  ықтималдығын  қарастырамыз: 
                                 .                          (3.3)
Бұл өрнек шын оқиғаның ықтималдығы. Ықтималдық теориясы бойынша  шын  оқиғаның  ықтималдығы 1-ге тең  деп  қабылдауға  тиістіміз. Егер  осы  келісімге  тоқталсақ, (3.3)-ті  бірге  теңестіреміз: 
                                                   .                                       (3.4)
Сонымен  біз  нормалау  шартын  алдық.  Осы  шартты қанағаттандыратын 
 функциясы нормаланған функция деп аталынады.
Толқындық функция  келесі  шарттарды  қанағаттандырады. 
1.  функция үзіліссіз болады және оның туындысы да үзіліссіз болу керек, себебі зарядтың және токтың тығыздығы үзіліссіз шамалар (ол шамалар  толқындық  функцияның  көмегімен  табылады). 
2.  функция кеңістікте ақырлы және бірмәнді болу керек. Оның ақырлы болуы (3.4)-ті қанағаттандырады және бірмәнділігі бастапқы мезеттегі толқындық функцияның мәні белгілі болса, кейінгі мезеттегі мәнін табуға  болатындығын  көрсетеді. 
3.  функция белгілі бір шекаралық шарттарды қанағаттандырады, себебі кванттық теңдеулердің шешімі математикалық физиканың кейбір есептерінің шешімін еске түсіреді. Егер осы үш шарт орындалса ғана толқындық функция  кванттық  теңдеудің  жалғыз  шешімі  болып  табылады. 
Классикалық физикада суперпозиция принципі жиі қарастырылады. Бұл принцип кванттық механикада да өте үлкен рөль атқарады, оның екі  анықтамасы  бар. 
1. Егер жүйе  және - мен сипатталатын күйлерде орналаса алса, онда ол осы екі функциялардың сызықтық комбинациясынан түзілген функциямен  сипатталатын күйде де орналаса алады

                                                        ,	  	    	                   (4.1)

мұндағы  және  - кез келген комплекс сандар, олар   және  күйлердің  амплитудаларын  анықтайды. 
2. Егер толқындық функцияны кез келген нөлден өзгеше комплекс санға көбейтсек, онда жаңа толқындық функция жүйенің бастапқы күйіне сәйкес келеді.
Квантмеханикалық суперпозиция принципінің орындалуы үшін, қарастыратын  теңдеулер  сызықтық  теңдеулер  болуы  керек.  Егер  күрделі күй бар болса, онда (4.1) өрнек  былай  жазылады: 
                                                                      (4.2)
мұндағы  комплекс амплитудалар.
Тақырып: Физикалық шамалардың операторлары. Операторлардың сызықтылығы және эрмиттілігі.
Оператор  -  бір толқындық функцияны басқа функцияға ауыстыратын математикалық символ, яғни кез келген әрекет. Операторды бүркеншігі  бар  әріппен  белгілейді.  Мысалы: 

.                                        	        (5.1)

Бұл теңдіктегі  оператор ретінде арифметикалық, дифференциалдық және т.б. операторларды  қарастыруға  болады.  
Кванттық механикада пайдаланылатын операторлардың тобы шектелген,     себебі,    кванттық     механика    суперпозиция     принципіне 
негізделген. Бұл принципті бұзбас үшін, операторлар сызықтық түрде болу керек. Сызықтық операторлардың математикалық анықтамасын келтіруге болады: 
;         .                       (5.2)

Бұл екі шартты біріктіруге болады: 
 					  ,	        (5.2ә)

мұндағы , ,  - тұрақты  сандар. 
	Физикалық шамалардың операторлары сызықтық ғана емес, өзіне түйіндес болу керек. (5.1) қатысты мына түрде жазуға болады: 
               .   				        (5.3)

Бұл операторлық қатыстағы F тұрақты шама, оның кейбір мәндері (5.3)-ті қанағаттандырады, олар  оператордың өзіндік мәндері деп аталынады. Өзіндік мәндерге сәйкес келетін толқындық функциялар өзіндік функциялар деп аталынады. Кванттық механикада өзіндік мәндер әрқашан бақыланатын физикалық шамалар болып табылады. Ал, бақыланатын физикалық  шамалар  нақты  сандар  болу  керек, яғни  . Мұндағы  шаманың түйіндес мәні. Өзіндік мәндердің нақты шамалар болу шарты, операторлардың өзіне түйіндес болуына келтіреді. Өзіндік функция   және  оның  түйіндесі  -ге  арналған  екі  қатысты  жазайық: 
  .				                 (5.3а)

     .				       (5.3ә)

(5.3а) қатысты сол жағынан , (5.3ә) - ні  -ге көбейтіп бір бірінен алайық:
 .

Бұл  қатысты    көлем   бойынша  интегралдайық 

 .

Нормалау  шарты  (3.4)-ті және  екенін еске түсірейік.  Нәтижесінде: 

.			        (5.4)

Бұл  теңдік  келесі  теңдіктің  дербес  жағдайы  болады: 

.	  			(5.5)

Сонымен, біз операторлардың өзіне түйіндес шартын алдық.  (5.5) теңдікті  мына  түрде  жазуға  болады: 
.			       (5.5a)

(5.5) және (5.5а)- ны  салыстыра отырып, операторлардың өзіне түйіндес болу  шартын  қысқаша  түрде  көрсетейік: 
                ,					       (5.5ә)

мұндағы  <<+>>  символын   эрмиттік  түйіндес  амалы  ретінде  түсіну  керек, 

яғни оны (5.5) теңдіктің сол жағындағы интегралдың оң жағындағы интегралға  ауысуы   деп   қарастырамыз.  - эрмиттік  оператор  деп  аталынады. 
	Енді бастапқы  операторға қатысты аударылған  операторын  анықтайық: 
 ,			      (5.5б)

мұндағы ~ (тильда) белгісі  және  функцияларының  орын  ауыстырғанын көрсетеді. (5.5а) және (5.5б) теңдіктерді салыстыра отырып, мынадай  қорытындыға  келеміз: 

.					      (5.5в)


Бұл   теңдік     комплекс   шамаға   арналып   жазылған,  жалпы  айтқанда 
 өзінің түйіндес мәні  оператормен  тең  болмайды.  Егер  нақты  шама  болса, онда (5.5ә) теңдік  орындалады. 
Тақырып: Операторлардың өзіндік функцияларының қасиеттері. Импульс және орбитальды момент операторларының өзіндік мәндері және өзіндік функциялары. Физикалық шамалардың орташа мәндері. Бақыланатын шамалардың бірлесіп өлшену шарты.Физикалық шамалардың анықталмағандықтарының қатынасы.
Кванттық механикада бөлшектердің қозғалыс заңдары-ықтималдық сипатта болады. Сондықтан да, кванттық механика физикалық шамалардың (бақыланатын шамалардың) орта мәндерін анықтауға мүмкіндік жасайды. Ол үшін ықтималдық теориясындағы математикалық үміт туралы теоремасын пайдаланамыз. Нәтижесінде мынадай анықтама беруге болады:  сызықтық және өзіне түйіндес оператормен сипатталатын физикалық шаманың орта мәні, күйді сипаттайтын толқындық функция  берілсе, мына формуламен анықталады. 
 .	        (6.1)
Бұл интегралды есептегенде (3.4) нормалау шарты орындалу керек. (6.1)-ге сәйкес бөлшектің координаты мен импульсінің орта мәндерін табуға болады: 
 , 
 , 
мұндағы  операторлары кейін анықталады. 
	Орта мәндер әрқашан да нақты сандар болу керек: 
 .				        (6.2)

Бұл пікірді дәлелдеу үшін, (6.1) формуланы операторлардың өзіне түйіндес  шартын  пайдалана  отырып,  басқаша  түрде  жазамыз: 
.			        (6.3)
Енді (6.1) формуламен анықталатын орта мәннің комплексті түйіндес мәнін  жазайық: 
 .		                 (6.4)
(6.3) және (6.4) қатыстарды салыстыра отырып, орта мәннің нақты сан екенін осылай анықтаймыз. 
	Физикалық шама   жөнінде толығырақ мәлімет алуға болады. Ол үшін  шаманың орта мәннен орташа квадраттық ауытқуын (дисперсияны) қарастырайық. Ықтималдық теориясынан алынған мәліметтер бойынша, орташа  квадраттық  ауытқу  мынаған  тең: 
 , 
мұндағы  - орта мәннен ауытқу. Орташа квадраттық ауытқу теріс емес болу керек. Мұны дәлелдеу үшін (6.1) формуланы пайдаланып, орта  мәннен  орташа  квадраттық  ауытқуды  есептейік: 
 .      (6.5)
Бұл есептеуде операторлардың өзіне түйіндестік шартын пайдаландық. Анықтама  бойынша 
    				        (6.6)
сондықтан да, орташа квадраттық ауытқу әрқашан да, оң шама немесе нөлге тең. 
Алдыңғы параграфтағы толқындық функцияның көмегімен есептелген орта мәннен орташа квадраттық ауытқуды қарастырайық. Жалпы жағдайда  , бірақ, біз қарастырып отырған  шама бір ғана мәнге тең күйді қарастырсақ, онда  . Бұл күй үшін (6.5) теңдікті келесі түрде жазамыз: 
 .
Интеграл  астындағы  шама  -  елеулі  оң  шама,  сондықтан  ол  интеграл мына  жағдайда  ғана  нөлге  тең  болады: 
 .
Комплекс санның модулі нөлге тең болады, егер санның өзі нөлге тең болса. Сонымен 
 ,
немесе  функциямен сипатталатын күйде  бір ғана мәнге ие болатынын және 6 - параграфтағы орта мәннен ауытқуды ескере отырып, мынадай теңдеу жаза аламыз:
.
Осыдан 
				        (7.1)
	Бұл теңдік белгісіз  функцияға қатысты сызықтық теңдеу болып табылады, себебі анықтама бойынша - оператор. Көп жағдайда  дифференциалдық оператор болады, сондықтан (7.1) теңдеу біртекті, сызықтық  дифференциалдық  теңдеу  болады.  Бұл  теңдеудің  мардымсыз  емес шешімі болады,  себебі  нөлдік  шешімнің  физикалық  мағынасы  жоқ. 
	Үшінші параграфта қарастырылғандай,  толқындық функция үзіліссіз, бірмәнді, ақырлы болу керек және белгілі бір шекаралық шарттарды қанағаттандыру керек. Бұл талаптарды орындау, (7.1) операторлық теңдеудің шешімі  физикалық шаманың тек белгілі бір мәндерінде болатындығына келтіреді. Осы белгілі бір мәндерді  оператордың өзіндік мәндері, ал оларға сәйкес келетін (7.1) теңдеудің шешімдерін оператордың өзіндік функциялары деп атайды. 
	Біз  шамаға мынадай талап қоя аламыз: тәжірибелерде  оператордың тек өзіндік мәндері бақыланады. Бұл постулат бойынша операторлардың өзіндік мәндері мен тәжірибенің арасындағы байланысты табуға болады. 

	Жоғарыда айтылғандай, операторлық теңдеудің шешімі  физикалық шаманың тек белгілі бір мәндерінде болады. Ол мәндер , , ... , , ... үзікті қатар мәндерін немесе үзіліссіз қатар мәндерін құрайды. Оператордың  өзіндік  мәндер  жиынтығы  оның  спектрі  деп  аталынады. Егер оператор үзікті өзіндік мәндерге ие болса, онда ол үзікті спектрге ие болады. Егер оператор біраз аралықта үзіліссіз өзіндік мәндерге ие болса, онда  ол  үзіліссіз (тұтас) спектрге ие болады. 

	Оператордың өзіндік функцияларын бір-бірінен айыру үшін, олардың индекстері ретінде өзіндік мәндердің нөмірлерін алады. Мысалы, оператор үзікті спектрге ие болса, онда өзіндік мәндер , , ... , , ...  қатар, ал өзіндік функциялар , , ... , , ... қатар түзеді. Кванттық механикада, өзіндік мәндер мен өзіндік функцияларды анықтайтын  бүтін сандарды  кванттық  сандар  деп  атайды. 

	Егер  өзіндік мәннің әрбіреуіне өзіндік функцияның бір ғана мәні сәйкес келсе, спектр тоғысқан емес болады. Егер өзіндік мәннің әрбіреуіне бірнеше өзіндік функциялар сәйкес келсе, онда спектр тоғысқан болады. Мысалы,     өзіндік  мәнге      өзіндік  функциялар сәйкес  келсе,  онда 
 тоғысудың еселігі деп аталынады. Егер  болса, онда екіеселі тоғысу болады, яғни өзіндік мәннің әрбіреуіне екі толқындық функция сәйкес  келеді. 

	Оператордың өзіндік мәні әрқашан да нақты болады. Өзіндік мән оператордың өзіндік функциясы сипаттайтын күйді анықтайтын физикалық  шаманың  орта  мәніне  сәйкес  келеді,  ал  орта  мән  әрқашан  да нақты: 
 .
(6.2) теңдік бойынша  , сондықтан  . 
	Енді өзіндік функциялардың негізгі қасиеттеріне тоқталайық. Біз қарастыратын  оператор тоғысқан үзікті спектрге ие болсын, сонда мынадай операторлық теңдеуді жазуға болады: 
 .
Бұл  теңдеудің  комплекс  түйіндісі 
  .	                          (7.2)
Басқа толқындық функцияға арналған, екінші бір операторлық теңдеуді жазайық: 
 ,		   	        (7.3)
мұндағы  . Бесінші параграфтағы математикалық тәсілді пайдалана отырып, (7.2) теңдеуді сол жағынан , ал (7.3) теңдеуді  - ге көбейтіп, содан соң бір-бірінен алып, алынған қатысты көлем бойынша интегралдайық:
 .

Егер операторлардың өзіне түйіндес шартын еске түсірсек, бұл теңдеудің  сол  жағы  нөлге  тең,  сондықтан: 
.		                   (7.4)
Есептің  шарты бойынша   ,  сондықтан  
 .			        (7.5)
Бұл теңдеуден әр түрлі өзіндік мәндерге қатысты өзіндік функциялардың ортогоналдығын алдық. Егер болса, онда үзікті спектрдің өзіндік функцияларын  бірлікке  нормалауға  болады: 
                                             					                   (7.6)
(7.5) және (7.6) формулаларды  бір  формулаға  біріктірейік: 
   ,				        (7.7)
мұндағы - Кронекер символы: 

      			        (7.8)
(7.7) теңдікті өзіндік функциялардың ортонормаланған шарты деп атайды. 
Бірінші параграфта біз Гейзенбергтің анықталмағандықтар қатысының қарапайым қорытындысын қарастырдық. Енді операторлар теориясын пайдалана отырып, анықталмағандықтар қатысының қатаң қорытуын жасайық. Ол үшін бірмезетте мәндері анықталмаған екі А және В физикалық шамаларды қарастырайық. Бұл жағдайда А және В шамаларға сәйкес келетін  және  операторлар өзара коммутацияланбайды: 
                                                                                                   (9.1)
мұндағы  - өзіне түйіндес оператор. 
	Біздің мақсатымыз, осы шамалардың флуктуацияларының көбейтіндісінің минимальды мүмкін мәнін табу. Орта мәннен ауытқудың өлшемі ретінде алтыншы параграфта қарастырған орташа квадраттық ауытқуды аламыз: 
                                      (9.2)
Бұл  шамаларды (6.1) формуланың  көмегімен  есептейміз: 

                		         (9.3)
	Мына  қосымша  интегралды  қарастырайық: 
  			          (9.4)
мұндағы - комплекс сан, - кез келген заттық параметр. (9.4) интеграл теріс емес, Операторлардың өзіне түйіндестігін пайдалана отырып, бұл интегралды  басқаша түрде жазайық: 



	(6.1) , (9.1) және (9.3) өрнектерді ескере отырып, мына қатысты аламыз: 
          .          (9.5)

	Егер  , онда - ға қатысты жазылған (9.5) квадраттық теңдеудің  анықтауышы  теріс  емес болады
  ,

немесе 
                          (9.6)

(9.6) формула  және  қателіктерінің арасындағы қатысын береді. Оның көмегімен осы қателіктер көбейтіндісінің минимальды мүмкін мәнін табуға болады. Көп жағдайда, (9.6) теңсіздігін  және  шамаларға арналған  анықталмағандықтар  қатысы  деп  атайды. 
	Енді (9.6) формуланың дербес жағдайын қарастырайық. Ол үшін  және  деп қарастырамыз, онда (8.9) қатыс бойынша 
   .		                   (9.7)

Сонымен (9.6) қатыстан бірінші параграфтағы анықталмағандықтар қатысы шығады. 
Қорыта келе, мына тұжырымдауды ұсынуға болады. Барлық түйіндес квантмеханикалық шамаларды бірмезетте өлшеуге болмайды, осы өлшеудегі олардың мәндеріндегі минимальды қателік  шамамен байланысты болады. Егер біз қарастыратын квантмеханикалық шамалар өзара коммутацияланса , олар бірмезетте кез келген дәлдікпен  өлшене  алады. 
Тақырып: Шредингер теңдеуі. Шредингердің стационарлық теңдеуі. Ықтималдықтың ағынының тығыздығы. Кванттық механикадағы үздіксіздік теңдеуі.
Классикалық механикада Ньютонның теңдеуі және электродинамикада Максвелл теңдеулері қандай рөл атқарса, кванттық механикада Шредингер теңдеуінің рөлі сондай болады. Ньютон және Максвелл теңдеулері сияқты, Шредингер теңдеуі қорытылмайды. Шредингер теңдеуі постулат түрінде қабылданады, яғни белгілі тәжірибелердің қорытындысы болып саналады. 
	Бірақ, Шредингер теңдеуін себептілік принципінің көмегімен формальды түрде алуға болады. Бұл әдістің тарихи және әдіснамалық маңызы бар. Себептілік принципі бойынша бастапқы  уақыттағы  толқындық функция кейінгі  уақыттағы толқындық функциямен байланысты болады. Осы байланысты қалай табуға болады? Оны  табу  үшін     функцияны    уақыт мезетінде  қарастырайық, яғни 
-ді қатарға  жіктейміз: 

Себептілік принципі бойынша  функциядан  анықталу  керек: 

мұндағы  - ны алу үшін - ге қатысты жасалатын амал. Біздің жағдайда  кез  келген  түрде  алынған,  сондықтан 
				   ,   		        (11.1)
мұндағы - уақыт  бойынша ығысу операторы. 
	Кванттық механикадағы анықтама бойынша, оператор - бір толқындық функцияны басқа толқындық функцияға ауыстыратын кез келген математикалық символ. Сондықтан (11.1) теңдеудегі  оператор постулат түрінде қабылдану керек. Суперпозиция принципі бойынша  сызықтық түрде болу керек. Бұл операторда уақыт бойынша алынған туындылар  мен  интегралдар  болмау  керек, ал  тек параметр ретінде болу керек. Егер керісінше жорамалдасақ, онда функция жүйе күйін сипаттайды деген кванттық механиканың негізгі қағидасы бұзылады. (11.1) теңдеудің көмегімен  бастапқы функция арқылы  функциясын табуға болады, осыған сәйкес  уақыттағы әр түрлі өлшеулер  нәтижелерінің  ықтималдығын  болжауға  болады. 
	(11.1) теңдеудегі  оператордың түрін анықтау керек. Оны табу  үшін белгілі бір  импульске ие болатын еркін қозғалысты қарастыру қажет. Бұл қозғалыстың толқындық функциясы де Бройль толқыны болады: 
							        (11.2)

мұндағы толқын амплитудасы. Осы толқындық функциядан  және туындыларды табайық: 
        
Бұл  есептеуде  еркін  бөлшектерге  арналған 

қатысын пайдаландық. Жоғарыдағы екі қатыстан (11.2) функцияның   мына теңдеуді  қанағаттандыратынын  байқаймыз: 
 .

Бұл теңдеуді  мына  түрде  қайта  жазуға  болады 

									                 (11.3)

Мұнда  оператор еркін қозғалыстағы бөлшектің гамильтонианы (Гамильтон  операторы):
			   . 		       (11.4)
Сонымен (11.1) және (11.3) теңдеулерді салыстыра отырып, еркін қозғалысқа  арналған  уақыт  бойынша  ығысу  операторын  табамыз: 
						  .		  	                  (11.5)
	Кванттық механикада бұл нәтижені жалпы түрде жазуға болады, ол үшін   ығысу  операторын  Гамильтон функциясының операторы ретінде  қарастыру  керек 
				   			       (11.6)
мұндағы -бөлшектің потенциалдық энергиясы. Сонымен (11.5) постулатқа  сәйкес (11.1)  теңдеуді  мына  түрде  жазуға  болады: 
						  .				       (11.7)
	Бұл теңдеуді 1926 жылы басқа әдіспен Шредингер алған, ол Шредингер теңдеуі немесе Шредингердің толқындық теңдеуі деп аталынады. Шредингер теңдеуінің ерекшелігі, ол уақыт бойынша бірінші ретті теңдеу және оның құрамына комплекс бірлік кіреді, сол себепті оның периодты шешімдері болады. Сондықтан да, Шредингер теңдеуі толқындық теңдеу болады. 
	(11.7) теңдеу бойынша  толқындық функциядан уақыт бойынша тек бірінші ретті туындысы ғана болады, яғни бұл теңдеудің көмегімен бастапқы уақыт мезетіндегі толқындық функцияның мәні белгілі болғанда, кейінгі уақыт мезетіндегі толқындық функцияның мәнін табуға болады. Осы жағдай Шредингер теңдеуінің себептілік принципін қанағаттандыратынын  көрсетеді. 
	Шредингер теңдеуінің бірнеше түрлері болады. Егер (11.6) өрнектегі  потенциалдық  энергия  болса,  онда  еркін  қозғалыс болады. Егер  болса, онда тұрақты күй болады. Егер  болса, онда бұл айнымалы өрістегі қозғалыс (11.7) теңдеумен қарастырылады. Егер потенциалдық энергия  - радиус  -  вектордың модуліне тәуелді болса, яғни  , онда біз центрлі  -  симметриялы өрістегі  есепті  аламыз, мұндағы  . 
	Cыртқы айнымалы өріс болмаған жағдайда, гамильтониан уақытқа тәуелді болмайды, яғни , ал  . Бұл жағдайда Шредингер теңдеуі мына түрде болады: 
					 . 		      (11.8)
Бұл  теңдеуде  айнымалыларды  бөлу  әдісін  пайдалануға болады: 
                                                 	   .			      (11.9)
(11.9) өрнекті (11.8) теңдеуге  қояйық: 

Бұл  теңдеуді  басқаша  түрге  келтірейік 
 .			      (11.10)
(11.10) теңдеудің сол жағы уақытқа ғана тәуелді болса, оң жағы  координатаға ғана тәуелді. Бұл теңдік сол жағында да және оң жағында да кейбір тұрақты шамалар тең болса, мүмкін болады. Ондай тұрақты шамалар  айнымалыларды  бөлудің  тұрақтылары  деп  аталынады. Оларды 
 әрпімен белгілейік. Бұндайда (11.10) теңдеу екі тәуелсіз теңдеулерге бөлінеді 
			    (11.11)
 .				    (11.12)
(11.11) теңдеу толық энергия операторының өзіндік функцияларына арналған теңдеу, оларды  деп, ал өзіндік мәндерін деп белгілеуге болады. (11.12) теңдеудің  шешімі  мына түрде болады 
		                         (11.13)

(11.13) функциясын  есепке  ала  отырып, (11.9) шешімді  табамыз: 
  .			    (11.14)

Энергияның анықталған мәнімен сипатталатын (11.14) күйді тұрақты күй деп атайды, ал (11.11) теңдеуді Шредингердің тұрақты күйлеріне арналған теңдеуі деп атайды. (11.8) теңдеу сызықтық теңдеу болғандықтан, оның жалпы шешімі үзікті спектр үшін тұрақты күйлердің суперпозициясы болады 
           ,		     (11.15)
мұндағы  - тұрақты амплитудалар. Егер  оператордың өзіндік мәндері үзіліссіз  спектр  құрса, онда 
  .		    (11.16)

	Жоғарыда айтылғандай, белгілі бір энергияға ие болатын күйлер кванттық механикада тұрақты күйлер деп аталады. Тұрақты күйлердің толқындық функциясы (11.14) өрнекпен сипатталады, ал уақытқа тәуелсіз (11.11) теңдеу Шредингердің стационар теңдеуі деп аталады.
Алдыңғы тақырыптарда қарастырылған мәліметтер бойынша, толқындық функция  жалпы жағдайда кеңістік пен уақытта өзгеріске ұшырайды. Бірақ, бұл өзгеріс қалай болса солай болмайды. Бұл жағдайда белгілі бір сақталу заңы орындалуы керек. Біздің мақсатымыз  -  осы заңды табу. Ол үшін, классикалық электрдинамиканы еске түсірейік. Электрдинамикада үзіліссіздік теңдеуі бар: 
 ,		                 (12.1)
мұндағы - заряд тығыздығы, - ток тығыздығы. Бұл теңдеу зарядтың сақталу заңын береді. (12.1) теңдеуді кванттық механикада Шредингер теңдеуінің көмегімен алуға болады. Басқаша айтқанда, Шредингер теңдеуінің шешімі  (12.1) теңдеуіне ұқсас теңдеуді қанағаттандыратын көрсету керек. Ол үшін Шредингер теңдеуін және оның комплекс түйіндес  теңдеуін  жазайық. 
 ,
  .
Бірінші теңдеуді  ,  екінші теңдеуді функциясына көбейтіп, бір бірінен  шегерейік 
  .
Бұл теңдікті басқаша түрде қайтадан жазуға болады 
  ,                    (12.2)
мұндағы  - ықтималдық тығыздығы. Енді  арқылы мына векторды  белгілесек 
 , 		      (12.3)
онда (12.2) теңдеу былай жазылады 
      .		                 (12.4)
(12.3) өрнекпен сипатталатын  векторы ықтималдық ағыны тығыздығының  векторы  деп аталады. (12.4)  үзіліссіздік теңдеуіндегі    бөлшектердің орта тығыздығы ретінде де қарастырылады. Бұл жағдайда  белгілі бір бетті уақыт бірлігінде қиып өтетін бөлшектердің орта ағыны болып саналады, ал (12.4) теңдеуді бөлшектер санының сақталу заңы  деп атайды. 
	Егер  мен  шамаларды бөлшектің заряды  -ге көбейтсек, электр тогы  мен  электр  зарядының  орта тығыздығын  аламыз 
 ,		.

Үзіліссіздік теңдеуі мұндайда кванттық механикадағы зарядтың сақталу заңына айналады 
 .				      (12.5)

	Егер қарастыратын толқындық функция нақты болса, яғни , онда  ток  тығыздығы  әрқашан  да  нөлге  тең  болады. 
	Енді  мен  шамаларды  бөлшектің  массасы  -ге  көбейтейік 

,		.

Бұл жағдайда (12.4) теңдеуі кванттық механикадағы массаның сақталу заңына айналады 
        .				        (12.6)
Тақырып: Бақыланатын шамалардың орташа мәндерінің уақыт бойынша өзгерісі. Эренфест теоремалары. Қозғалыс интегралдары. Сақталу заңдары және олардың кеңістік пен уақыттың симметриясымен байланысы. Кванттық күйлердің жұптылығы.
Өзімізге белгілі, классикалық механикада Пуассон жақшалары үлкен рөл атқарады. Ол жақшалардың көмегімен классикалық механикадағы сақталу заңдарын алуға болады. Енді кванттық механикадағы Пуассон жақшаларын алайық. 
	Кванттық механикада операторлардың тек орта мәндері қарастырылады. Анықтама бойынша кез келген    оператордың  орта мәні 

интегралмен есептелінеді. Бұл шама  уақытқа екі себеппен байланысты: 
а) күйді сипаттайтын  толқындық функция Шредингер теңдеуіне сәйкес уақыт бойынша өзгереді; ә)  операторы уақытқа айқын тәуелді болады. Осы орта мәннің уақыт бойынша алынған толық туындысын алайық, яғни  орта мәннің өзгерісінің жылдамдығын табайық: 

 .                (13.1)

Мұндағы   және  дербес туындыларды Шредингер теңдеуінен тауып, орнына  қояйық: 

,   ;	 ,    ;

           .                             (13.2)

Операторлардың өзіне түйіндестік шартын пайдалана отырып, (13.2) өрнектегі үшінші  интегралды  былай  жазамыз 	

.

Сонымен 

.		      (13.3)

Мұндағы
				      (13.4)

өрнегі  Пуассонның  кванттық  жақшалары  деп  аталынады. 
	Егер  оператор уақытқа айқын тәуелді болмаса, онда  . Бұл  жағдайда (13.3) теңдеу  ықшамдалады 
.				      (13.5)
(13.5) теңдеуден -тің уақыт бойынша өзгерісі толығымен Пуассон жақшаларымен анықталатынын байқаймыз. Осыған байланысты, қозғалыс интегралына анықтама бере кетейік: егер  оператор уақытқа айқын тәуелсіз болса және  Гамильтон операторымен коммутациялаушы болса, онда  шаманың орта мәні уақыт бойынша өзгермейді. Мұндай шама қозғалыс  интегралы  немесе  сақталушы  шама  деп  аталынады. 
	Мысал ретінде,  потенциалдық өрісте қозғалатын бөлшектің толық  энергиясы  сақталу  керек, Расында  да 

осыдан 
 .
Егер, Шредингердің  стационар  теңдеуін  еске  түсірсек 
.
Сонымен, біз кванттық механикадағы энергияның сақталу заңын, яғни қозғалыс  интегралын  алдық. 
	Пуассонның кванттық жақшаларын пайдалана отырып, классикалық қозғалыс  теңдеулерінің  кванттық  баламаларын  табуға  болады.  Ол  үшін 
  және  шамалардың уақытқа айқын тәуелсіз екендігін біле отырып, (13.5) теңдеуді пайдаланамыз. 
	1.  

(8.9) қатыстарды  пайдалана отырып, 

табамыз. Біржолата табатынымыз 

					   .			                 (13.6)

	2.  ,

 


Операторларды  көбейту  ережесін  пайдалана отырып, 



табамыз. Сонымен
				  .                                (13.7)

	(13.6) және (13.7) теңдеулер бойынша, орта координатадан уақыт бойынша алынған туынды бөлшектің массасына бөлінген орта импульске және орта импульстен уақыт бойынша алынған туынды  орта күшке тең. Бұл теңдеулер Эренфест теоремалары деп аталынады. Эренфест теоремаларынан Ньютонның кванттық теңдеуін алуға болады, ол үшін (13.6)  -  ны уақыт бойынша дифференциалдап, содан кейін (13.6) және (13.7) теңдеулерден  алып тастаймыз. 

				   .		                 (13.8)

Жоғарыдағы теңдеулер Бордың сәйкестік принципін қанағаттандырады, себебі классикалық механиканың негізгі теңдеулерін кванттық жағдайға жинақтап қорыту үшін, классикалық қатыстарға операторлардың  орта мәндерін қоямыз. 
Классикалық механикада сақталу заңдарының кеңістік-уақыт симметриясының қасиеттерімен тығыз байланысты екенін қарастырғанбыз. Кванттық механикада да импульстің, импульс моментінің және энергияның сақталу заңдары кеңістіктің біртектілік, изотроптық қасиеттерімен және уақыттың біртектілік қасиеттерімен байланысты болады. 
	Қозғалыс интегралдарының бар болуы және оларға сәйкес келетін сақталу заңдарының, квантмеханикалық жүйелердің симметриясының қасиеттерімен тығыз байланысты екенін, яғни Гамильтон операторының координаталар түрленуіне қатысты инварианттылығын көрсетеміз. Басқаша айтқанда, егер  операторының бір оператормен коммутаторы нөлге тең болса, ол квантмеханикалық жүйеде симметрия бар болатындығын  көрсетеді. 
	Импульстің сақталуы кеңістіктің біртектілігімен байланысты екенін көрсетейік. Егер, тұйық жүйені параллель тасымалдасақ, онда оның қасиеттері өзгермейді. Бұл ерекшелік-кеңістіктің біртектілігі деп аталынады. Кванттық механикада жүйенің қасиеттері Гамильтон операторымен анықталғандықтан, параллель тасымалдауда ол оператор өзгермейді. Қарастырып отырған жүйемізді  өсінің бойымен  қашықтыққа  ығыстырайық,  мұнда  - ақырсыз  кішкене  ығысу.  Бұл  жағдайда ескі  және  жаңа  координаталар  мына  қатыспен  байланысты  болады 
,    ,     .
Жаңа координаталарға тәуелді толқындық функция мен ескі координаталарға тәуелді толқындық функцияның арасындағы байланысты табайық, ол үшін  функцияны қатарға жіктеп, оның бірінші мүшесімен  шектелейік
  .
Бұл өрнектегі  операторын ақырсыз кішкене ығысу операторы немесе  ығысу  операторы  деп  атайды. Сонымен 
				    ,			      (14.1)
мұндағы  ығысу операторының функциясына жасаған әрекеті  координатаның  шамаға ығысуына баламалы болады. 
	Сонымен қатар Гамильтон операторының кейбір түрленуге қатысты инварианттылығын түсіндіре кетейік. Егер кез келген  оператордың  функцияға әрекеті  оператордың  функциясына әрекетіне тепе-тең болса, онда  операторы  инвариантты  болады, яғни 
.
Басқаша айтқанда, Гамильтон операторының  операторы іске асыратын түрлендіруіне қатысты инварианттылығы, осы екі оператордың коммутациялаушы  болуына  келтіреді
						 .  				      (14.2)
Кеңістіктің біртектілігіне байланысты ығысу операторы  мен Гамильтон операторы (14.2) қатысты қанағаттандыру керек.  операторы импульс  операторымен  байланысты 

сондықтан 
					 .      				      (14.3)
Импульс операторы уақытқа айқын тәуелді болмайды, сондықтан (13.5) теңдеу бойынша импульстің сақталу заңын аламыз. (14.3) қатыстың орындалуы жүйенің  өсі бойымен  ығысқанда  симметриялы  екенін  көрсетеді. 
	Импульс моментінің сақталуы кеңістіктің изотроптылығымен байланысты екенін көрсетейік. Егер тұйық жүйені  өсті айналдыра ақырсыз кішкене   бұрышқа бұрсақ, онда жүйенің  гамильтонианы  өзгермейді. Бұл  ерекшелік  математикалық  түрде  былай  көрсетіледі
					.				      (14.4)
	Осы бұру операторын табайық. Ол үшін ескі және жаңа координаталардың  арасындағы  байланыстарды  берейік 

Жүйені  бұрышқа бұрғанда  толқындық функция  функцияға  өзгереді

 .  
Осыдан  бұру  операторын  табамыз 
 .	   		      (14.5)
Кеңістіктің изотроптылығына байланысты,  операторы (14.4) қатысты қанағаттандыру керек. Екінші жағынан, бұру операторын (8.7) өрнектер бойынша  импульс  моменті  операторы  арқылы  көрсетуге  болады 
                  .   	      (14.6)
Нәтижесінде Гамильтон операторы импульс моменті операторымен коммутациялаушы болады, сондықтан (13.5) теңдеуі бойынша импульс моментінің сақталу заңын аламыз.  операторының  оператормен коммутативтігі жүйенің  өсті айналдыра  бұрышқа бұруына қатысты симметриялы  екенін  байқатады. 
	Енді энергияның сақталу заңының уақыттың біртектілігімен байланыстылығын көрсетейік. Ол үшін уақытты - ға ығыстыратын   трансляция операторын енгізейік. Ескі және жаңа координаталардың арасындағы  байланыс 
  .
Осыған  сәйкес 
 . 
Бұл  өрнектен   трансляция  операторын  табамыз
 . 			  	      (14.7)
Математикалық өрнек бойынша уақыттың біртектілігін коммутация шартымен  көрсетуге  болады   
 . 			        (14.8)
Кей  жағдайда  мынадай  энергия  операторын  енгізуге  болады 
  .				        (14.9)
Трансляция операторын (14.9) шартты түрде енгізген энергия операторы арқылы өрнектейміз: 
 .  
Сонымен, Гамильтон операторы  энергия операторымен, яғни өз өзімен коммутациялаушы болады. Осыдан энергияның сақталу заңын (13.5) теңдеуден аламыз. Қарастырып отырған тұйық жүйеміз, уақытқа қатысты тасымалдауда  симметриялы  болады. 
	Сонымен біз қарастырған импульстің, импульс моментінің және энергияның сақталу заңдары классикалық механикадағы сақталу заңдарының квантмеханикалық баламалары болып саналады. Бірақ кванттық механикада классикалық баламасы жоқ сақталу заңдары болады. Осындай сақталу заңдарының бірін, нақты айтқанда, инверсияны түрлендіруді қарастырайық. Инверсияны түрлендіруде, кейде оны кеңістіктік инверсия деп атайды, барлық координаталардың таңбалары кері таңбаларға бірмезетте  өзгереді: 
      . 				      (14.10)
Басқаша айтқанда, координаталардың оң жүйесі координаталардың сол жүйесіне ауысады. Гамильтон операторы осы түрлендірулерге қатысты инвариантты болып  қалады.
	Жоғарыда қарастырған ығысу және бұру операторларын енгізген сияқты,   инверсия  операторын  енгізейік 
 .
Енді осы инверсия операторының өзіндік мәнін анықтау керек, ол үшін мынадай  операторлық  теңдеу  құрамыз: 

     . 				    (14.11)

Осы теңдеудің екі жағына инверсия операторын қолдансақ, онда бұл оператордың  екіеселі  қолдануы бастапқы  күйге  келтіреді 
 . 		
Осыдан  , яғни  . (14.11)-ді  қайтадан  жазайық

 .			    (14.12)

Егер өзіндік мән  болса, онда бұл күй  оң  жұптылыққа ие болады, егер  болса, онда теріс жұптылыққа ие болады. Сонымен (14.12) бойынша жұп күй және тақ күй болады. Егер жұптылық операторы гамильтонианмен коммутацияланса, онда жұптылықтың сақталу заңын аламыз: 

Бұл заң бойынша жүйе жұп күйде болса, ол әрқашан да осы күйде қала береді. Тақ күйде орналасқан жүйе де осындай жағдайда болады. Осы қағиданы әмбебап физикалық заң деп есептеген. Бірақ 1956 жылы американдық физиктер Т.Ли, Ч.Янг және Ц.Ву әлсіз өзара әрекеттерде жұптылықтың  сақталмайтындығын  көрсетті. Осы  әлсіз  процестерде  оң  және теріс арасындағы симметрия бұзылады, яғни жұптылықтың сақталу заңы  бұзылады.
Тақырып: Бірөлшемді тікбұрышты потенциалдық шұңқырдағы бөлшек. Сызықты гармонияалық осциллятор. Туннельдік эффект.
Бірөлшемді қозғалыстың ең қарапайым мысалы ретінде тікбұрышты потенциалдық шұңқырдағы бөлшектің қозғалысын қарастырайық. Потенциалдық  шұңқырдың  өрісі  мына  суретпен  кескінделеді: 
x
U(x)
0
                                2 - сурет


						      (16.1)			
					



(16.1) өрнекпен анықталатын потенциалдық өріс ақырсыз терең потенциалдық шұңқыр деп аталынады. Кез келген потенциалдық шұңқыр тереңдігімен (ақырсыздыққа тең) және енімен (- ге тең) анықталады. Бөлшек кеңістіктің  аймағынын шыға алмайды деп есептейміз, себебі шығу үшін бөлшек ақырсыз үлкен жұмыс жасау керек. Сонымен, бөлшектің қозғалысы идеал шағылдырушы қабырғалардың арасында шектеледі. Осы мәселе металдағы электрондардың қозғалысын зерттеу үшін қолданылады. 
	Потенциалдық шұңқырдың ішіндегі Шредингер теңдеуінің шешімін іздестірейік. Бөлшек шұңқырдың сыртына шыға алмайды, сондықтанда оны бұл аймақта табу ықтималдығы нөлге тең. Басқаша айтқанда,  аралықтан  тыс  жерде  бөлшектің  толқындық  функциясы  нөлге тең. Үзіліссіздік шарты бойынша толқындық функция  және  нүктелерінде  де  нөлге тең болады 
        .		                           (16.2)

Бұл  талап  толқындық  функцияның  шекаралық  шарты  болып табылады. 
	Шредингердің стационар теңдеуін жазайық

 .

(16.1) өрнек бойынша шұңқырдың ішінде  , сонда Шредингер теңдеуін  ықшамдап  былай  жазайық: 
   ,    			      (16.3)
мұндағы 
 .
(16.3) дифференциалдық теңдеудің  шешімі 
                  .			      (16.4)
(16.2) шекаралық шартты ескере отырып  және  коэффициенттерін табамыз 
 ,   ,
           ,    .
Екінші  шекаралық шарт орындалу үшін
           ,     		                 (16.5)
теңдік орындалу керек. Сонымен, потенциалдық шұңқырдағы бөлшекке арналған  Шредингер теңдеуінің  шешімі  былай  жазылады 
            . 		                 (16.6)
(16.5) шарттың көмегімен потенциалдық шұңқырдағы бөлшектің энергиясының  мүмкін  мәндерін табамыз 
  .  				      (16.7)   
Бұл өрнек бойынша, ақырсыз терең потенциалдық шұңқырдағы бөлшектің энергиясы квантталады және оның қалыпты күйдегі энергиясы мынаған  тең 
.
 Классикалық есепте потенциалдық шұңқырдағы бөлшектің энергиясы үзіліссіз  мәнге  ие  болады .
Алдыңғы параграфпен салыстырғанда қарастыратын мәселемізді күрделендірейік. Ол үшін сызықтық гармониялық осцилляторды кванттық тұрғыдан қарастырайық. Егер бөлшек тепе-теңдік төңірегінде кішкене сызықтық тербеліске ұшыраса, ол  сызықтық  гармониялық осциллятор деп  аталынады. Гармониялық осциллятор туралы мәселе өрістің кванттық теориясын жасауда үлкен рөл атқарады, сонымен қатар, ол молекуладағы атомдар тербелісін, кристалдың жылулық қозғалысын және тағы  басқа  зерттеулерде  қолданылады. 
	Шредингердің стационар теңдеуін, гармониялық осциллятордың потенциалдық  энергиясын   еске  түсіре  жазайық: 
      			      	        (17.1)

мұндағы  осциллятордың массасы, -дөңгелектік жиілігі. Бұл теңдеуді шешу  үшін  өлшемсіз  айнымалы  шамаларға  көшкен  жөн  болады 
                                                                (17.2)
Нәтижесінде (17.1) теңдеу мына түрге келеді 
     ,			        (17.3)
мұндағы 
 .
	Дифференциалдық теңдеулер теориясындағы белгілі әдістер бойынша, екінші ретті теңдеуді шешу үшін толқындық функцияның ақырсыздықтағы беталысын зерттейміз  :
       .		                           (17.4)
Бұл  теңдеудің  шешімі 
       .		                 (17.5)
Толқындық функция  ақырлы болу керек, сондықтан экспонентті кемитін функцияға сәйкес келетін  шешімді  қалдырамыз 

     .			     (17.5а)
(17.3) теңдеудің  жалпы  шешімін  мына  түрде  іздестіреміз 

     ,		      (17.6)

мұндағы  - белгісіз функция. (17.6) өрнек толқындық функцияның  ақырсыздықтағы беталыс ерекшеліктерін еске алады, оны (17.3) теңдеуге ауыстырып  қойып,  функциясына  қатысты  жаңа  теңдеу  аламыз 

   .			      (17.7)

Бұл  теңдеудің  шешімін  дәрежелік  қатар  түрінде  іздестіреміз 
    .				      (17.8)
Осы қатардың  бірінші  және  екінші  туындылары 
 ,       .
Бұларды (17.7) теңдеуге ауыстыра отырып, ұқсас мүшелерді жинақтаймыз 
 .                    (17.9)
(17.9) дәрежелік қатар нөлге тең болу үшін  алдындағы барлық коэффициенттер нөлге тең болу керек, осыған сәйкес мынадай рекурренттік формула аламыз
  .			    (17.10)    
Рекурренттік формула  және  коэффициенттерін байланыстырады. Егер  , онда (17.8) қатардың беталысы беталысы сияқты болады. Бұл жағдайда (17.6) толқындық функция ақырсыз өседі. Бірақ, мұндай шешім  бізді  қанағаттандырмайды. 
	Ендігі   біздің   барлық   үмітіміз  (17.10)  рекурренттік  формуладағы  
 коэффициентінде. Егер (17.8) ақырсыз қатар белгілі бір  индексінде үзіліп, полиномға айналса,  онда (17.6) функция  ақырлы болады. Мысалы,  , онда (17.8) қатардағы  кейінгі  коэффициенттердің  барлығы нөлге айналып,  функциясы  дәрежедегі полиномға айналады.  Рекурренттік  формуладан  мына  қатысты  табамыз: 
 ,    			    (17.11)
мұндағы   ақырсыз  қатар  үзілетін  мүшенің  нөмірі . 
	(17.2) өрнекті (17.11) қатысқа ауыстыра отырып, гармониялық осциллятордың  энергиясын  табамыз: 
 .		                         (17.12)
	Индекс - нің әрбір мәніне мынадай толқындық функция сәйкес келеді: 
          ,  			      (17.13)
мұндағы - нормалау шартынан табылатын коэффициент, - Эрмит  - Чебышев  полиномы  деп  аталынады
                    .		               (17.14)
Эрмит  -  Чебышев полиномы мынадай дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады:

 . 		    (17.15)

Бұл теңдеу (17.7) теңдеуден алынады, егер (17.11) қатысты есепке алсақ. Эрмит - Чебышев  полиномдарының  бірнешеуін  мысалға  келтірейік: 

                   ,    .        (17.16)

Нормалау  шартын  пайдалана  отырып,  коэффициентін  табайық: 

 .

Бұл интегралды есептеу үшін туындыны бір функциядан басқа функцияға  асырып  тастау ережесін  пайдаланамыз: 
 , 		               (17.17)
мұндағы 
  ,      . 
Нәтижесінде 
  .
Алынған интегралды әрі қарай есептеу үшін, мына өрнектерді ескереміз: 

     .

Сонымен, біржолата  алатынымыз: 

                    ,     .   	      (17.18)

	Енді гармониялық осциллятордың энергетикалық спектрін зерттейік. (17.12) өрнек бойынша, гармониялық осциллятордың энергиясы үзікті мәндерге ие болады, басқаша айтқанда оператордың өзіндік мәндері квантталады. Кей жағдайда, энергетикалық деңгейдің нөмірін анықтайтын  -ді  кванттық  сан  деп  атайды. 
	Егер 
 - осциллятордың  негізгі  күйі;
 - осциллятордың  бірінші  қозған  күйі; 
 - осциллятордың екінші  қозған  күйі және т.т. деп  аталады. Егер осциллятор энергиясы  күйден энергиясы  күйге көшсе, онда ол монохромат жарық квантын шығарады. Ол жарық квантының энергиясы  мынаған  тең: 
 .
Бұл өрнекке байланысты, осциллятордың энергетикалық деңгейлерінің бір-бірінен қашықтығы тұрақты болады және ол  - ға тең. Оны мына түрде  көрсетуге  болады: 





E4
E1
E2
E3
E0


  




4- сурет
	4-сурет бойынша гармониялық осциллятордың энергетикалық спектрі  эквидистантты  болады  .
	(17.13) , (17.16) және (17.18) пайдалана отырып, бірнеше толқындық  функциялардың  нақтылы  түрін  келтірейік: 
     ,                          ,                 (17.19а)
               ,                , 	              (17.19ә)
    ,  	              (17.19б)

Бірінші функция  басқа еш жерде нөлге айналмайды. Екіншісі  нүктеде нөлге айналады. Үшінші функция  нүктелерде нөлге тең болады. Функцияның нөлге айналатын нүктесін тораптық нүкте деп атаймыз. Функцияның торап саны функцияның нөмірі -ге тең немесе кванттық сан  функцияның торап санына тең. Осы функциялардың түрін және осцилляторды табу ықтималдығы үлестірулерінің кванттық және классикалық  есептеу  нәтижелерін  суретте  кескіндейік:










 





5  -  сурет
























                                                                                                                         
                    


6 - сурет

6 - суреттегі  тұтас сызық кванттық табу ықтималдығы тығыздығын, жіңішке сызық классикалық табу ықтималдығы тығыздығын береді. Үлкен кванттық сандар облысында кванттық және классикалық теориялар бойынша есептелінген ықтималдықтардың үлестірулері, сәйкестік принципіне  байланысты бір-біріне жуықтап  дәл  келеді. 
	Жоғарыда айтылғандарды қорыта келе, осциллятордың кванттық және классикалық теорияларының қандай айырмашылығы бар екеніне тоқталайық. Кванттық теория бойынша, гармониялық осциллятордың энергиясы үзілісті болса, классикалық теория бойынша үзіліссіз болады. Классикалық немесе Бор теориясы бойынша, осциллятор энергиясының минимум мәні нөлге тең болса, (17.12) өрнек бойынша ол  тең болады, яғни  нөлден  өзгеше  болады.  Кванттық  бөлшек  6 - сурет бойынша  және  классикалық бұрылу нүктелерінен ары кете алады, ал классикалық бөлшекке ол  нүктелерден  ары  қозғалыс тыйым  салынған.
Потенциалдық энергиясы, өзін қоршаған нүктелердің энергиясынан үлкен болатын кеңістіктің аймағын потенциалдық тосқауыл деп атайды. Ең  қарапайым  тосқауыл  ретінде  тікбұрышты  бірөлшемді  ақырсыз  ұзын  потенциалдық  тосқауылды  алуға  болады: 








							         
							         .





7  -  сурет

Бөлшектердің 7- суреттегі тосқауылдан өтуін  классикалық  көзқарас бойынша қарастырайық. Бөлшектер І аймақта солдан оңға қарай қозғалсын және энергиясы  болсын. Бірінші жағдайда қарастырайық: бөлшектердің энергиясы тосқауылдың биіктігінен үлкен болсын, яғни  . Классикалық  механиканың заңдары бойынша, барлық бөлшектер  тосқауылдың үстінен өтеді. Екінші жағдайда, егер  болса, онда олар тұтасымен  потенциалдық  тосқауылдан  шағылады. 
Кванттық көзқарас бойынша, осы екі жағдай да дұрыс болмайды: егер   болса, онда нөлден өзгеше бөлшектердің шағылу ықтималдығы  болады; егер   болса, онда нөлден  өзгеше  бөлшектердің өту ықтималдығы болады. Кванттық механикада бірінші құбылысты тосқауылдан жоғары шашырау, ал екінші құбылысты туннелдік эффект  деп  атайды.  Үстірт  қарағанда,  бұл  екі  құбылыс  болмау  керек. Бірақ, кванттық механика заңдары ол құбылыстардың болатынын тұжырымдайды.  Не себепті болады? Осы  сұраққа  жауап  берейік. 
І. Тосқауылдан  жоғары  шашырау  дегеніміз  не? 
Бұл сұраққа жауап беру үшін, 7 - суреттегі І және ІІ аймақтар үшін Шредингер теңдеуін  жазайық: 
       ,         ,         ,

        ,       ,    . 
Біржолата  Шредингер  теңдеуі  мына  түрге  келеді
    				      ,     ,	                  (18.1)

                                               ,     .                (18.2)
Бұл  екі  теңдеудің   шешімдерін  табуға  болады: 
  ,			      (18.1а)

           .		                 (18.2а)
(18.1а) , (18.2а) формулалардағы   және  мүшелері  өсімен оң бағытта таратылатын жазық толқындарды, ал  және  мүшелері қарама - қарсы    бағытта    таратылатын   жазық   толқындарды   көрсетеді. 
 ,  ,  және  амплитудалары тұрақты коэффиценттер болып табылады. Есептің шарты бойынша, ІІ аймақта шағылатын толқын болмайды, сондықтан  . Тосқауылға түсетін бөлшектер ағынының тығыздығын (12.3) формуланың  көмегімен  табуға  болады

                                     .       	        (18.3)

Егер тосқауылға түсетін бөлшектерді сипаттайтын толқындық функцияның  мәні  - ді (18.3) өрнекке  ауыстырып  қойсақ 

табамыз. Бұл  есепті  жеңілдету үшін  ағынды  сондай  түрде  аламыз, ол үшін түсетін  толқынның  амплитудасын  бірлікке  теңестіреміз . Сонымен 
                                                        .			                  (18.4)

(18.1а) және (18.2а) теңдеулер жүйесіндегі қалған ,  коэффициенттерді табу қажет. Ол үшін  нүктесіндегі шекаралық шартты пайдаланамыз. Толқындық функция қанағаттандыратын шарттар бойынша, толқындық функция және оның бірінші туындысы потенциалдық энергияның  үзіліс  нүктесінде  де  үзіліссіз  болу  керек 

 ,         .

Бұл теңдіктерге (18.1а) және (18.2а) формулаларды ауыстырып қояйық және  ,   екенін  ескерейік.  Сонда 
 ,             . 
Бұл  теңдеулерден    және   амплитудаларды  табамыз 

            ,         .		                 (18.5)

Сонымен, (18.5) өрнек бойынша тосқауылдан шағылған толқынның амплитудасы  нөлден өзгеше, себебі де Бройль бойынша бөлшектердің толқындық қасиеттері болады. Осыған байланысты, толқынның бір бөлігі тосқауылдан  шағылады,  ал  қалған бөлігі  ІІ  аймаққа  өтіп  кетеді. 
	Потенциалдық тосқауылдар тосқауылдан шағылу коэффициенті және тосқауылдан өту коэффицентімен сипатталады. Тосқауылдан шағылатын бөлшектердің үлесі мен тосқауылдан өтетін бөлшектердің үлесін анықтайық: 
      ,          .			      (18.6)
мұндағы  тосқауылдан  шағылу  коэффициенті,  тосқауылдан өту коэффициенті,  тосқауылдан шағылатын бөлшектер ағынының тығыздығы,  тосқауылдан өтетін бөлшектер ағынының тығыздығы. (12.3) өрнектің  көмегімен   және   
       .            (18.7)
      .                      (18.8)
(18.6)  -  (18.8) өрнектердің көмегімен шағылу және өту коэффициенттерін  аламыз 
   ,                 .      		      (18.9)

Бұл  коэффиценттердің  қосындысы  бірге  тең  болу  керек 
    .			    		    (18.10)
(18.10) қатыс бөлшектер  санының  сақталу  заңын  білдіреді. 
	ІІ. Туннелдік эффект дегеніміз не? 
Бұл сұраққа жауап беру үшін тосқауылдан жоғары шашырауды қарастырғандағы әдісті  пайдаланамыз,  бірақ  болатынын  ескеру  керек. 7- суреттегі  І  және ІІ  аймақтарға  арналған  Шредингер  теңдеуін  жазайық 
  ,        ,		               (18.11)
 ,           .              (18.12)
Бұл екі теңдеудің  шешімдері  келесі  түрде  болады: 
   ,        ,		    (18.11а)
  .				   (18.12а)
Толқындық функция ақырлы болу керек, яғни квадраттық интегралдану шартын қанағаттандыру керек, сондықтан  болу керек. Енді (18.11а) және (18.12а) теңдеулер жүйесіндегі  ,  коэффициенттерін  үзіліссіздік  шартынан  табамыз 
  ,                .
Бұл  теңдеулерден   және  амплитудаларын  табамыз 
 ,               .     		    (18.13)
(18.4) , (18.6) және (18.7) өрнектердің көмегімен шағылу коэффициентін табуға болады
 .
Сонымен, толық шағылу құбылысын алдық. Бөлшектер санының сақталу заңы бойынша потенциалдық тосқауылдың мөлдірлік коэффициенті , яғни тосқауылдан өтетін бөлшектер болмайды. Бірақ, бұған қарамастан, толқындық функция (18.12а) және (18.13) өрнектерге байланысты  ІІ  аймақта  нөлден  өзгеше  болады. Осыған  сәйкес бұл  аймақта  бөлшектерді  табу  ықтималдығының  тығыздығы 
  .		               (18.14)
Бөлшектерді   табу   ықтималдығы   ІІ  аймақта  нөлден  өзгеше болғанмен, 
 ұлғайса ол өте тез өшеді. 
	Тосқауылдан жоғары шашырау және туннелді эффект не деген сұрақтарға  жауап  бере  отыра  мынадай  қорытындыға  келеміз: 
қарастырған екі құбылыстың классикалық баламасы жоқ, олар тек таза кванттық  құбылыс; 
екі құбылыстың байқалу себебі, бөлшектердің әрқашан да корпускулалық  қасиеттерімен  қатар,  толқындық  қасиеттері  бірге  болады. 
Тақырып: Орталық симметриялық өрістегі қозғалыстың жалпы қасиеттері. Кулон өрісіндегі бөлшек. Бөлшектің еркін қозғалысы.
Алдыңғы тақырыптарда қарастырған кванттық механиканың математикалық аппаратын нақты жүйелердің қасиеттерін қарастыруға қолданайық. Нақты жүйе ретінде сутегі атомын пайдаланамыз. Сутегі атомында электрон ядроның потенциалдық өрісінде қозғалады, яғни электронның ядромен өзара әрекеті тек аралық қашықтық -ге байланысты. Мұндағы  - электронның радиус-векторы,  - ядроның радиус-векторы. Осыған сәйкес электронның массасын  , ядроның массасын  деп белгілей отырып, екі бөлшекке арналған гамильтонианды жазайық 
 , 		      (20.1)
мұндағы  мен  Лаплас операторлары  мен  координаталарға қатысты алынған. Бұл гамильтонианды ықшамды түрге келтіру үшін жаңа айнымалыларды енгізейік 
 ,             , 		      (20.2)
- өзара қашықтық векторы, - бөлшектердің инерция центрінің радиус-векторы. Қарапайым, бірақ біраз ұзаққа созылатын түрлендірулердің нәтижесінде (20.1) гамильтонианды мына түрге келтіреміз 

 .			      (20.3)

Мұндағы  мен  Лаплас операторлары  мен векторларының құраушыларына қатысты алынған,  және  жүйенің толық және келтірілген  массасы 
 				 ,          .			      (20.4)
Сонымен гамильтониан бір-біріне тәуелсіз екі бөлікке бөлінеді, сондықтан жүйені сипаттайтын  функциясын   көбейтіндісі ретінде  іздестіреміз. Шредингер теңдеуін жазайық: 
 .
(20.3) гамильтонианды бұл теңдеуге ауыстырайық және   операторы тек  , ал  операторы  функциясына әрекет жасайтынын ескерсек 
 ,		                            (20.5)
 ,		                           (20.6)
 				    . 		 	                            (20.7) (20.5) теңдеу инерция центрінің, яғни массасы  бөлшектің еркін қозғалысын  сипаттайды.  Ол  теңдеудің  шешімі 
    ,		                                     (20.8)
мұндағы   жүйенің толық импульсі,  жүйенің кинетикалық энергиясы. Сонымен, Шредингер теңдеуінің  жалпы  шешімі 
 . 		      (20.9)

	Алынған формулалар бойынша мынадай қорытынды жасауға болады: жүйенің ауырлық центрі кеңістікте еркін бөлшек сияқты қозғалады, ал бөлшектердің салыстырмалы қозғалысы ауырлық центрінің қозғалысына тәуелсіз болады және (20.6) теңдеуді қанағаттандыратын  функциясымен сипатталады. Жүйенің толық энергиясы (20.7) салыстырмалы қозғалыстың және ауырлық центрінің энергияларының қосындысынан тұрады. Егер ядроның массасы электронның массасынан едәуір үлкен екенін ескерсек  , онда (20.4) бойынша . Сонымен, классикалық физикадағы сияқты, кванттық механикада да өзара әрекеттің потенциалдық энергиясы тек өзара қашықтыққа байланысты болса, онда екі бөлшек туралы мәселе массасы  болатын бір бөлшектің мәселесіне айналады. Егер протонның өлшемін еске алмасақ, онда сутегі атомын қозғалмайтын центрдің кулондық өрісінде қозғалатын электрон ретінде қарастыруға болады. Біздің қарастыратынымыз, центрлі  -  симметриялық өрістің  жалпы  түрі, кейіннен  кулондық  өріске  көшеміз. 
Центрлі  -  симметриялық потенциалдық өрісте (20.6) Шредингер теңдеуін сфералық координаталар арқылы түрлендіру өте қолайлы. Бұл жағдайда  толқындық функцияны ,  ,  сфералық координаталардың функциясы ретінде қарастырамыз. Біздің алдағы қоятын мақсатымыз (20.6) Шредингер теңдеуінің , ,  аралықтарындағы үзіліссіз, бірмәнді және ақырлы шешімдерін табу. Сонымен, (20.6) теңдеуі  мына  түрге  келеді   
 
            .		                         (20.10)
Сфералық  координаталардағы  белгілі Лаплас операторын  келтірейік: 
                 .        (20.11)
Бұл  формулаға  екі  белгілеу  енгізе  отырып 
 ,		               (20.12)
  ,		    (20.13)

Лаплас операторын өзінің радиалдық бөлігі  және бұрыштық бөлігі  арқылы өрнектейміз 
 .		               (20.14)
	Центрлі  -  симметриялық өрісте үш сақталу заңы орындалады: энергияның сақталу заңы, импульс моменті квадратының сақталу заңы және моменттің   өсіне проекциясының сақталу заңы. Осы сақталу заңдарын қарастырайық. Ол үшін декарттық координаталар мен сфералық координаталардың арасындағы байланыстарды  көрсететін қатыстарды пайдалана отырып 

 ;
 ;
импульс моменті проекцияларын табу үшін қолданылатын керекті өрнектер  жинағын  жазайық: 
 ,
 ,
 .						    (20.15)
Бұл  қатыстарды  пайдалана  отырып,  импульс  моменті  проекцияларын және импульс моментінің  квадратын  табамыз: 
 , 						    (20.16)
 , 						    (20.17)
 ,										    (20.18)
 .   	    (20.19)
Мысал ретінде,  операторды қалай табуға болатынын көрсетейік: 

 . 
(20.19) қатысты пайдаланып,  гамильтонианды былай жазайық: 
 . 				               (20.20)
 операторының құрамында тек  айнымалылары және осы айнымалылар бойынша дифференциалдау операторлары бар. Сондықтан  операторы құрамында  координаты және осы координата бойынша дифференциалдау операторы бар  оператормен әрқашанда коммутациялаушы  болады 
                                                                    (20.21)
Осы сияқты,  ,  ,  операторлары да  оператормен коммутациялаушы болады 
  ,    .			      (20.22)
(8.13) қатыстар бойынша 
  ,   .			      (20.23)
Он үшінші параграфтағы анықтаманы еске түсірсек, (20.21), (20.22) бойынша  және  операторларының өзіндік мәндері қозғалыс интегралы болады. Егер операторлар өзара коммутациялаушы болса, онда олар өзіндік  функциялардың  ортақ  жүйесіне  ие  болады. 
Тақырып: Көріністер теориясының элементтері. Кванттық механиканың жуықтау әдістері. Квазиклассикалық жуықтау. Классикалық механикаға өтудің шекті жағдайы.
Кванттық механиканы онан ары қарастыру үшін әр түрлі физикалық шамалар операторларының нақтылы түрін білу керек. Ол үшін белгілі бір анықталған көріністі таңдап алу керек. Бұл тарауға дейін біз кванттық механикадағы кейбір көріністерді қарастырдық. Мысалы, координаталық көріністе операторлар координаталарға тәуелді функциялармен өрнектеледі. Кей жағдайларда, біз қарастыратын күй импульстік көріністе, энергетикалық көріністе және тағы басқа көріністе беріледі. Сонымен қатар, <<көрініс>> ұғымын кең мағынада да қарастыруға болады. Кванттық механикада күйдің уақыт бойынша өзгерісін негізінен үш түрлі әдіспен сипаттайды. Осы әдістерді үш түрлі көріністер ретінде қарастыруға болады. Олар Шредингер көрінісі, Гейзенберг көрінісі және Дирак (өзара әрекет) көрінісі деп аталады. 
	Шредингер көрінісінде жүйенің эволюциясы  толқындық функцияның уақыт бойынша өзгерісіне сәйкес келеді. Толқындық функцияның уақытқа тәуелділігі Шредингер көрінісінде мынадай түрлендірудің  көмегімен  көрсетіледі : 
		 . 					        (26.1)
Дербес жағдайда  операторы мына шарттарды қанағаттандырады :
		 ,         .  		        (26.2)
Мұндағы екінші шарт  оператордың унитарлық шарты,  унитар оператор деп аталынады, ол (25.15) өрнекте көрсетілген. Ал бірінші шарт бойынша  жағдайда,  бірлік оператормен дәл келеді.  оператордың унитарлығы толқындық функцияның нормалау шартының уақыт  бойынша  сақталатындығын  білдіреді 
		.
Сонымен, жүйе эволюциясын уақыт бойынша сипаттау, толқындық функцияның уақыт бойынша өзгерісіне апарады. Бұл өзгеріс  унитар оператордың  көмегімен  сипатталады.  оператор   бастапқы  функцияға  әрекет  жасап,  оны   функцияға  айналдырады.
	Осы  унитар оператордың түрін анықтауға болады. Есепті жеңілдету үшін  тұрақты шаманы нөлге теңестірейік , яғни  . Шредингер көрінісіндегі квантмеханикалық қозғалыс теңдеуіне, яғни кәдімгі Шредингер теңдеуіне (26.1) толқындық функцияны ауыстырып  қоямыз

		 .					      (26.3)

Нәтижесінде уақыт бойынша алынған бірінші ретті дифференциал теңдеу  шығады 

		

осыдан  оператордың  түрін  табамыз 

 .							        (26.4)

Мұнда экспонентаны дәрежелік қатарға жіктеу мағынасында түсіну керек. 
	Бұл жағдайда жүйені сипаттайтын  операторлар уақыт бойынша айқын өзгермейді. Сонымен, жүйені сипаттайтын толқындық функция уақыт бойынша өзгерсе, ал операторлары уақытқа тәуелсіз болса, ондай көрініс Шредингер көрінісі деп аталады. Мұндағы <<көрініс>> деген сөздің мағынасы координаталық, импульстік және энергетикалық көрініс дегеннен кең болады. Біздің жағдайда ол күйдің уақыт бойынша өзгерісін  сипаттаудың  тәсілі  болады. 

	Гейзенберг көрінісі 

	Гейзенберг көрінісінде толқындық функциялар уақытқа тәуелсіз болады, бірақ эрмиттік операторлар  уақыт бойынша өзгереді. Гейзенберг көрінісіндегі толқындық функцияға Шредингер көрінісіндегі толқындық функциядан  көшу үшін,  мынадай унитар  түрленуді  пайдаланамыз  
		 .						      (26.5)
Шынында, (26.1) өрнекке (26.5) түрленуді  ауыстырып  қойсақ, 
		 ,					      (26.6)
мұндағы  - Гейзенберг  көрінісіндегі  толқындық функция.
									      (26.7)
өрнекті ескере отырып, (26.5) функцияны былай  жазамыз
		 .					      (26.8)
	Шредингер көрінісіндегі операторды  деп белгілейік. Осы операторды Гейзенберг көрінісінде табу керек, ол үшін бір көріністен басқа  көрініске  көшу  ережесін (25.20) унитар  түрленудің  көмегімен табамыз 
		 ,					      (26.9)
мұндағы  - көрініс аты. Гейзенберг көрінісінде (26.9) оператор мына түрде болады: 
		  .						    (26.10)
(26.4) өрнекті (26.10) өрнекке  ауыстырып  қоямыз 
		  .					               (26.11)
Бұл өрнекті пайдалана отырып, Гейзенберг  көрінісіндегі қозғалыс теңдеуін табуға болады. Ол үшін (26.11) өрнекті уақыт бойынша дифференциалдаймыз
		  ,
немесе 
		 , 
мұндағы  және  . (26.2) өрнектегі  унитарлық  шартты  ескерсек, бұл  теңдеу  мына  түрге  келеді
	
	 . 
Біз бұл есептеуде (26.10) формуланы  және  операторларға қатысты пайдаландық. Сонымен біз Гейзенберг көрінісіндегі квантмеханикалық  қозғалыс  теңдеуін  аламыз 
		 .					   (26.11а)
(26.11а) теңдеу Гейзенберг көрінісіндегі операторлардың уақыт бойынша өзгеру заңын береді. 
	Шредингер көрінісі мен Гейзенберг көрінісінің арасындағы айырмашылық мынада: Шредингер көрінісінде толқындық функциялар уақытқа тәуелді, ал  Гейзенберг  көрінісінде  операторлар  уақытқа  тәуелді. Іс жүзіндегі есептеулер үшін, Шредингер көрінісі ыңғайлы, ал Гейзенберг көрінісінде қозғалыстың кванттық теңдеуі қозғалыстың классикалық  теңдеуіне  ұқсас  болады. 

	Өзара  әрекет (Дирак)  көрінісі 

	Біз қарастыратын жүйенің гамильтонианы екі  қосылғыштан  тұрсын 
								      (26.12)
мұндағы  - жүйенің  өзінің  гамильтонианы, ал   - осы  жүйенің сыртқы өрістермен немесе басқа жүйелермен өзара әрекетін сипаттайды. Бұл  жағдайда  Дирак  енгізген  өзара  әрекет  көрінісін  пайдаланған жөн. 
	Өзара  әрекет  көрінісінде  толқындық  функция  мына  түрде беріледі 
		  .					               (26.13)
Ал,  кез  келген  оператор  өзара  әрекет  көрінісінде  былай  анықталады
		 . 				    (26.14)
Бұл өрнектердің (26.8) және (26.11) өрнектерден айырмашылығы, экспонентаның  дәреже  көрсеткішіне  толық  гамильтониан  кірмейді,  онда  тек  оператор  бар. 
	Енді  функция  қанағаттандыратын  теңдеуді  алу  керек,  ол үшін (26.13) қатысты  уақыт  бойынша  дифференциалдаймыз 
		 . 

Бұл  теңдеуге  Шредингер  теңдеуін 
		  

ауыстыра  отырып  және (26.14) операторды  ескеріп, жаңа  теңдеу  аламыз 
		 . 						    (26.15)

Сонымен, біз  гамильтонианы  бар  Шредингер  теңдеуін  алдық. (26.14) қатысты уақыт бойынша дифференциалдай отырып, мына теңдеуді  аламыз 
		 . 						      (26.16)

Жасайтын қорытындымыз: (26.15) бойынша, өзара әрекет көрінісінде толқындық функциялардың уақытқа тәуелділігі  өзара әрекет гамильтонианымен, (26.16) бойынша оператордың уақытқа тәуелділігі  гамильтонианымен анықталады. Осы мағынада, Дирак көрінісі Шредингер  және  Гейзенберг  көріністерінің  аралық  көрінісі  болып  саналады. 
Ауытқу теориясының негізгі идеялары аспан механикасынан алынған. Аспан механикасында планеталардың Күнді айнала қозғалысы зерттеледі. Мысалы, Жер  -  Күн жүйесінің қозғалысын зерттейтін мәселенің дәл шешімін табуға болады. Енді екі планетаның Күн айналасындағы қозғалысын қарастырсақ, ол үш дене мәселесіне көшеді. Үш дене мәселесінің дәл шешімін табуға болмайды, сондықтан жуық әдіс қолданылады. Егер екі планетаның өзара әрекеті, планета мен Күннің өзара әрекетінен  әлдеқайда  кіші  болса,  онда  ауытқу  теориясы  қолданылады. Бұл жағдайда, екі планетаның өзара әрекеті кішкене ауытқу ретінде қарастырылады. Ауытқу теориясы бойынша, алдымен планета мен Күннің өзара әрекеті қарастырылады. Бұл жуықтау нөлдік жуықтама деп аталынады. Нөлдік жуықтамадағы мәселені шешкеннен кейін, ауытқу есепке алынады. Бұл жуықтау бірінші жуықтама деп аталынады. Кванттық механикадағы бұл мәселенің баламасын қарастырсақ, атомдағы электрондардың қозғалысын мысалға алуға болады. Электрон мен ядроның өзара әрекетін нөлдік жуықтама, ал электрон мен электронның өзара әрекетін  ауытқу ретінде, яғни  бірінші  жуықтама  деп  қарастырамыз. 
	Тоғысу жоқ кездегі стационар есепті қарастырайық. Бұл жағдайда Шредингер теңдеуінің гамильтонианы уақытқа тәуелсіз болып мына түрде беріледі: 
 ,							      (27.1)
мұндағы - дәл шешімі бар есептің гамильтонианы (нөлдік жуықтамадағы оператор) , - ауытқу операторы (бірінші жуықтамадағы оператор), - кез келген  кішкене  параметр ,  . Шредингер  теңдеуі  мына  түрге  келеді: 
 .					                 (27.2)
Біздің  мақсатымыз, осы теңдеуді шешу арқылы энергияның мәнін және оған сәйкес келетін толқындық функцияларды,  операторды есепке ала отырып табу. Ауытқу теориясы бойынша,  және  үшін шешімдер қатарлар  түрінде іздестіріледі 
					      (27.3)
мұндағы -  шамаларға қатысты аздығы бірінші ретті шамалар, ал  - аздығы екінші ретті шамалар және т.б. (27.3) шамаларды (27.2) теңдеуге аударып қоямыз, сонда 

  .	      (27.4)
Аздығы бірінші ретті шамаларды ғана қарастырып және нөлдік жуықтамада Шредингер теңдеуі мына түрде болатынын ескерейік
 .
Сонда (27.4) теңдеу мына түрге келеді 
		 .					      (27.5)
Кез келген толқындық функцияны  функциялардың толық жүйесі бойынша жіктеуге болады, сондықтан 
		 , 							      (27.6)
мұндағы  - белгісіз коэффициенттер. Оларды табу үшін, тағы да нөлдік жуықтамадағы Шредингер теңдеуін ескереміз және (27.6) функцияны (27.5) теңдеуге ауыстырсақ, 
		 .
Бұл теңдеуді сол жағынан  функцияға көбейтіп, барлық кеңістік бойынша интегралдайық 
 .	                 (27.7)
Ортонормаланған  шартты 
		 ,
және  оператордың 
 ,
матрицалық элементін еске ала отырып, мынадай формуланы алуға болады 
 .				                 (27.8)
	Жалпы  жағдайда , сонда 

 .							      (27.9)

(27.3) , (27.6) функцияларды және (27.9) коэффициентті ескере отырып, ауытқуға тәуелді толқындық функцияны табамыз
                                                       (27.10)
мұндағы қосынды белгісінің шекесіндегі штрих, қосындылау  индексінен басқа барлық  индекстері бойынша жүргізілетінін көрсетеді. Егер  болса, онда (27.3) және (27.8) бойынша ауытқуға тәуелді энергияны табамыз 
 , 							    (27.11)
мұндағы 
		 				 		    (27.12)
ауытқу операторының орта мәні, ол  матрицасының диагоналдық элементтеріне тең. Ескерте кететін жағдай, ауытқу теориясын пайдалануға болады, егер  . 
	Енді нөлдік жуықтамадағы  оператор тоғысқан өзіндік мәндерге ие болып, ал тоғысудың еселігі  болсын. Жоғарыда қарастырған әдістерді қолдана отырып, алынған (27.5) теңдеуді есептеуге ыңғайлы түрде жазайық 
		 . 			                         (27.13)
Осы теңдеуді шеше отырып, бірінші жуықтамадағы энергияның мәні мен оған сәйкес келетін толқындық функцияларды табамыз. Ол үшін (27.13) теңдеуді сол жағынан  функциясына көбейтіп, барлық кеңістік бойынша интегралдайық 
 .

Егер (17.17) ережені  пайдалансақ, онда 
 .		               (27.14)
функциясы нөлдік жуықтамадағы Шредингер теңдеуінің шешімі болады 
 .
Сондықтан (27.14) теңдеудің сол жағы нөлге тең 

 .					               (27.15)

Тоғысу еселігі  болса, онда  функциясы   функциялардың  суперпозиция  болады 

		 .							    (27.16)

Ортонормаланған шартты 

 ,

ескере отырып, мына теңдеуді аламыз 
		  ,					    (27.17)

мұндағы 

.                               (27.18)

(27.17) теңдеудегі қосынды белгісінің шекесіндегі штрихтың мағынасы (27.10) өрнекте көрсетілген. Бұл теңдеу  біртекті теңдеулер жүйесі болып табылады

		  
Бұл  жүйені  мына түрде де жазуға болады: 
 			               (27.19)

Егер  белгісіздердің алдындағы коэффициенттерден тұратын анықтауыш нөлге тең болса, онда (27.19) жүйенің нөлден өзгеше шешімі болады. Ол  анықтауыш  мына  түрде  көрсетіледі

 .					    (27.20)

Бұл   анықтауышты    аша   отырып,   біз  белгісіз     шамаларға  қатысты 
 дәрежелі теңдеу алдамыз. Ол теңдеу секулярлық немесе ғасырлық деп аталынады.   Ғасырлық   теңдеу    ретті   теңдеу  болады, сондықтан оның 
 түбірі бар. Бұның мағынасы, - ші энергетикалық деңгей  өзара жақын орналасқан деңгейлерге бөлшектенеді. Бұл жағдайда ауытқу деңгейлердің  тоғысуын  толық  жояды.  Егер  сутегі  атомын  электр  өрісіне  енгізсе, онда оның спектр сызықтары бөлшектенеді, мұнда электр өрісі ауытқу ретінде қарастырылады. Бұл құбылысты 1913 жылы неміс физигі И. Штарк байқаған, ол  Штарк  эффектісі  деп  аталады. 
Өзіміз қарастырған (15.3) теңдеуге назар аударайық. Ол сызықтық емес теңдеу, сондықтан  оның  дәл  шешімін  табуға болмайды. Алғашқы рет  Шредингер теңдеуінің  шешімін 1926 жылы жуық әдіспен тапқан неміс физигі Г. Вентцель, нидерланд теоретигі Х. Крамерс және француз физигі Л. Бриллюэн болған. Сондықтан бұл әдісті ВКБ әдісі немесе көбінесе квазиклассикалық жуықтау әдісі деп атайды. Он бесінші параграфтағы дайын нәтижелерді пайдалана отырып, стационар есепке көшейік. Ол үшін  толқындық функцияны (11.14) бойынша мына түрде жазайық 
 .						      (28.1)

Осыған байланысты (15.2) және (15.4) өрнектерде 

		 ,						      (28.2)

ал  және т.б. функциялар уақытқа тәуелсіз деп есептейміз. (15.5) теңдеуден энергияның  мәнін  табамыз
		 			     			      (28.3)

осыдан
			      (28.4)

мұндағы 
		 .						      (28.5)

Сонымен біз, классикалық механиканың формулаларын алдық. 
	(15.6) теңдеуден функцияны табуымыз керек 
		 ,
немесе 
		 .
Бұл теңдеуді интегралдап,  функцияны табамыз 
									      (28.6)
мұндағы - интегралдау тұрақтысы. 
	(15.2) анықтаманы, (28.2) , (28.6) табылған өрнектерді және (28.4) бойынша импульстің екі таңбасы бар екенін ескере отырып, толық шешімді  екі  шешімнің  суперпозициясы  ретінде жазамыз 
		                        (28.7)
		                    (28.8)
Енді (28.7) және (28.8) өрнектердің мағынасын қарастырайық. Егер  болса, онда (28.5) бойынша импульс нақты болады, ал толқындық функция тербелмелі сипатта болады. Бөлшекті  және  аралықта табу ықтималдығы   болады, яғни классикалық механикадағы нәтижені алдық. Егер болса , онда импульс жорамал болады, ал толқындық функция экспоненттік сипатта болады.  бұрылыс нүктесінде  болады және алынған толқындық функция мағынасын жоғалтады. Классикалық механика бойынша бұрылыс нүктесінде бөлшек жылдамдықтың таңбасын өзгертіп, теріс бағытта қозғалады. Толқындық көзқарас бойынша, қозғалыс  аймақта болуы мүмкін.  Бұл  құбылыс туннелдік эффект  деп  аталынады. 
	(28.7) және (28.8) функциялардың қолданылу шегін, яғни квазиклассикалық жуықталу қай жағдайда дұрыс болатынын табайық. Ол үшін (15.3) теңдеуге оралайық. Егер  болса, онда кванттық теңдеу классикалық  теңдеуге  көшеді  және   болады. Егер , онда  мына  шарт 
								      (28.9)
орындалғанда, кванттық мүшелер классикалық теңдеуде болмашы түзетулер енгізеді. (28.9) жуықтау квазиклассикалық жуықтау деп аталынады, оны мына түрде ықшамдап жазуға болады 
									    (28.10)
Бірөлшемді жағдайда бұл теңсіздік былай жазылады 
		  ,   							    (28.11)
немесе  ( - толқындық сан) екенін ескере, 
		                    			    (28.12)
квазиклассикалық жуықтау шартын аламыз. Сонымен, (28.12) бойынша де Бройль толқын ұзындығы баяу өзгеру керек немесе тұрақты шама болу керек.
Бордың сәйкестік принципі бойынша, кез келген классикалық емес теория белгілі шекте ескі классикалық теорияға өтеді. Осы принциптің көрнекі мысалы ретінде Шредингер теңдеуінің классикалық Гамильтон-Якоби теңдеуіне өтуін қарастырайық. Шредингердің толық теңдеуін жазайық: 

 . 			      (15.1)

Кванттық механикадан классикалық механикаға шектік өтуінің ең қарапайым шартын зерттеу үшін, толқындық функцияны  комплекс функциясы  арқылы  мына  түрде өрнектейік: 

  				      (15.2)

(15.2) функцияны (15.1) теңдеуге  ауыстырып  қояйық: 



нәтижесінде  функцияға  арналған  теңдеу  аламыз: 

 .   		      (15.3)

	Формальды түрде  функцияны  шаманың дәрежелері бойынша  жіктейік: 
			      (15.4)
(15.4) функцияны (15.3) теңдеуге ауыстырып қойып, Планк тұрақтысының бірдей   дәрежелерінің   алдындағы   коэффициенттерді   теңестіреміз. Егер 
 шаманың бірінші дәрежесіне дейінгі дәлдікті есепке алсақ, онда екі теңдеу аламыз: 
 ,		                 (15.5)
        .	                 (15.6)
(15.5) теңдеу классикалық механикадағы  әрекет функциясына арналған Гамильтон  -  Якоби теңдеуімен дәл келеді. (15.6) теңдеудің мағынасын анықтау үшін, бөлшекті табу ықтималдығын (15.2) өрнекті пайдалана отырып табайық: 
       .		                           (15.7)
Енді (15.6) теңдеуді -ға көбейтіп және 
 ,			
ескере отырып, мына  теңдеуді  аламыз: 
   . 		      (15.8)
Сонымен біз, үзіліссіздік теңдеуін таптық. Бұл теңдеу бойынша ықтималдық тығыздығы  кеңістікте  жылдамдықпен орын ауыстырады. 
Тақырып: Спинді бөлшектің толқындық функциясы. Бөлшектің және бөлшектер жүйесінің толық бұрыштық моменті. Спинді бөлшекке арналған Шредингер теңдеуі. Теңбе-тең бөлшектер жүйесіндегі алмасу арқылы әсерлесу.
Жалпы жағдайда, бөлшектің күйі оның координаталарымен ғана емес, спин векторының бағытымен де анықталады. Сондықтан толқындық функцияның түрі мынадай болады: 

	 ,  							        (30.1)

мұндағы  спиннің  өсіне проекциясы. 
	Енді Уленбек пен Гаудсмит гипотезасының математикалық негізін қарастырайық. Топтар теориясы бойынша, спин операторының проекциялары және спин операторының квадраты импульс моменті операторларына арналған (8.12ә) және (8.13) қатыстарды қанағаттандырады. Екінші жағынан, спин - векторлық шама. Сонымен 

	  , 
	,  , ,                                  (30.2)
	 .  

Спин операторлары импульс моменті операторының қасиеттеріне ие болғандықтан 
	,             ;						        (30.3)

	 ,    .						        (30.4)      
Мұндағы  -  спин   операторының    өсіне  проекциясын  анықтайды, ал 
-спин операторының квадратын анықтайды, ол спиндік кванттық сан деп аталады. (21.12) өрнек  бойынша, -тің  бір  мәніне - тің   мәні сәйкес келу керек. Штерн - Герлах  және  тағы  басқа  тәжірибелер  бойынша,  тек екі мәнге ие болу керек, сондықтан спиндік кванттық сан  , ал  . Тәжірибелер мен теория мынаны көрсетеді: электрондар, протондар, нейтрондар және тағы басқа бөлшектердің спині  , -мезондар , - мезондардың  спині , фотондар  үшін . 
	Классикалық теория бойынша, электронның спині дегеніміз - зарядталған абсолют қатты шариктің өз өсінен айналуы. Ол шариктің импульс моменті мынаған тең: , мұндағы  электронның классикалық радиусы. Кванттық теория бойынша, электронның импульс моменті . Енді  теңдіктен жылдамдықты тапсақ,  , мұндағы - жарық жылдамдығы. Сонымен, электронның сызықтық  жылдамдығы  жарық  жылдамдығынан  үлкен. Олай  болуы  мүмкін емес, сондықтан электронды зарядталған абсолют қатты шарик ретінде қарастыруға болмайды. Ал, спин - таза кванттық құбылыс, оның классикалық баламасы жоқ. 
	Уленбек пен Гаудсмит болжамы бойынша, спиннің кез келген бағытқа проекциясы  екі мәнге ие болады. Сондықтан,  операторлары  екі  қатарлы  матрицалармен  өрнектелу  керек 

,	,					                  (30.5)
мұндағы    - Паулидің спиндік матрицалары немесе операторлары деп аталынады. 
,	,	 .			        (30.6)
Бұл  спиндік  матрицалардың  мынадай  қасиеттері  бар: 
,	,	,	,		                  (30.7)
,			                  (30.8)
,     ,	,       (30.9)
,	,	,	                (30.10)
мұндағы - бірлік матрица. Паули матрицаларының (30.7) қасиетінің көмегімен,  операторының  өзіндік  мәнін  табуға  болады 
,
немесе 
.
Бұл теңдеуден  өзіндік мәнді табамыз, ол  . 
	Спинге тәуелді толқындық функцияның айқын түрін табайық. (30.1) өрнектегі спиндік  айнымалы  екі  мәнге  ие  болады,  сондықтан 
,	.		                (30.11)

Бұл екі функцияны бір  бағанды  матрица түрінде  жазуға  болады 

,					      (30.12)

мұндағы  . Егер  болса, онда  бағытындағы спиннің проекциясы . Егер  болса, . (30.12) өрнектегі функцияның  аргументі  тек  екі  мәнге  ие  болғандықтан 
,        онда	,
,	   онда         .
 (30.12) функция  операторының өзіндік функциялары немесе спиндік функциялары деп аталады. Біз енді  оператордың өзіндік функцияларын және өзіндік  мәндерін  табайық. Ол  үшін  операторлық теңдеу құрамыз 
.							      (30.13)
(30.5) , (30.12) өрнектерді осы теңдеуге ауыстыра отыра, матрицаларды көбейту ережесін  пайдаланып, мынадай теңдеу аламыз: 

Бұл матрицалық теңдеу екі біртекті алгебралық теңдеуге эквивалентті болады 
,								                (30.14)
.
Осыдан  операторының  өзіндік  мәндерін  табамыз 
								                (30.15)
 (30.12) пайдаланып, мынадай  белгілеу енгізейік 

.						                (30.16)
Мұндағы  бір жолды түйіндес функция. Спиндік функцияларға арналған нормалау шарты 
,								                (30.17)
немесе 
.							              (30.17a)
 (30.17а) нормалау шартынан спиндік функцияларды табамыз 
,	.						                (30.18)
Сонымен, біз  спин операторының  өсіне проекциясының өзіндік функцияларын және өзіндік мәндерін таптық 
Егер     ,	,						                (30.19)
Егер     ,	.
Көп жағдайда, айнымалыларды айыру әдісі арқылы (30.1) толқындық функцияны былай жазуға болады 
.				                (30.20)
Бөлшектердің теңбе-теңдік принципінің маңызды салдары бар. Біз қарастыратын   жүйе   екі   бөлшектен   тұрсын,  бірінші   бөлшектің   күйін 
, екінші бөлшектің күйін  анықтасын. Мұндағы ші бөлшектің  координаталар  мен  спиндік  айнымалылардың  жиынтығын  көрсетеді. Екі бірдей бөлшектен тұратын жүйенің күйі мынадай толқындық функциямен сипатталады 
.							        (31.1)
Енді бөлшектерді орын алмастыру  операторын енгізейік. Егер  операторы (31.1) функцияға әрекет жасаса, онда екі бөлшек орын алмастырады. 
.						        (31.2)
 оператордың өзіндік мәндерін табайық, ол үшін әдеттегідей мынадай операторлық теңдеу құрамыз 
,						        (31.3)
мұндағы  орын алмастыру операторының өзіндік мәндері. (31.2) теңдеуге  оператормен сол жақтан әрекет жасайық 
.			        (31.4)
Осы әрекетті (31.3) теңдеуге арнап қайталайық, сонда 
.					        (31.5)
(31.4) және (31.5) теңдеулердің оң жақтарын салыстыра отырып,  операторының өзіндік мәндерін табамыз
 .								        (31.6)
Бұл өрнектің мағынасы мынада: бөлшектер  орын алмастырғанда  толқындық функция не өзгеріссіз қалады, не таңбасын өзгертеді
,   ,				        (31.7)
,   .				        (31.8)
(31.7) өрнектегі функция бөлшектерді орын алмастырғанға қатысты симметриялы болады, ол симметриялық функция деп аталады. Ал, (31.8) өрнектегі функция бөлшектерді орын алмастырғанға қатысты антисимметриялы болады, ол антисимметриялық функция деп аталынады. Табиғатта теңбе-тең бөлшектердің әрбір қосағының орын алмастыруына қатысты тек симметриялық немесе тек антисимметриялық күйлер жүзеге асады.
Тақырып: Бөлшектер жүйесінің толқындық функциясы. Бөлшектер жүйесінің операторлары. Бөлшектер жүйесіне арналған Шредингер теңдеуі. Көпденелі есепті бірбөлшекті есебіне келтіру әдістері. Теңбе-тең бөлшектер жүйесі. Теңбе-тең бөлшектер жүйесінің толқындық функциялары. Паули принципі.
Енді фермиондар мен бозондардан тұратын жүйелердің толқындық функцияларының нақтылы түрін табайық. Ол үшін бір-бірімен өзара әрекеттеспейтін теңбе-тең  бірдей бөлшектерден тұратын жүйені қарастырайық. Бұл жүйеге арналған Шредингердің стационар теңдеуі мына түрде болады
.	        (32.1)
Өзара әрекет болмаған жағдайда, бұл теңдеудің шешімін жеке толқындық функциялардың  көбейтіндісі ретінде  іздестіреміз 
,					        (32.2)
мұндағы кванттық сандардың жиынтығы және т.т. Біздің жағдайда, бір бөлшекке арналған Шредингер теңдеуі 
 .
Жалпы  жағдайда, (32.2)  шешімнің  құрамында  симметрияның  нақтылы түрі анықталған және анықталмаған шешімдері болады. Егер жүйе тек бозондардан тұрса, онда симметриялық функцияларға сәйкес келетін шешімдерді ғана алу керек. Егер жүйе тек фермиондардан тұрса, онда антисимметриялық функцияларға сәйкес келетін шешімдерді ғана алу керек. Сондықтан (32.2) функцияны симметриялау немесе антисимметриялау керек. Ол үшін, екі өзара әрекеттеспейтін бөлшектен тұратын қарапайым жүйені қарастырайық. Бұл жағдайда, (32.1) теңдеудің шешімі былай  жазылады: 
.						        (32.3)
Бірдей  бөлшектердің  теңбе-теңдік  принципі  бойынша 

							        (32.4)

функциясы да (32.1) теңдеудің шешімі болып табылады. (32.4) өрнек бөлшектердің  орын  алмастырғанын  көрсетеді, ал ,  функциялардағы  1, 2 индекстері бөлшектің екі түрлі күйін көрсетеді. (32.3) және (32.4) шешімдерден  екі  симметрияланған  комбинацияны  құруға  болады

,

 .

Бірінші толқындық функция бөлшектердің орын алмастыруына қатысты симметриялы, ал екіншісі  -  антисимметриялы болып келеді. Ал  коэффиценттер 

,				                  (32.5)

нормалау  шартынан  табылады: 
 .							        (32.6)
Біржолата  алатынымыз 

,			        (32.7)

.			        (32.8)

Жалпы жағдайда, (32.7) және (32.8) өрнектерді  өзара әрекеттеспейтін бөлшектер үшін жазуға болады 

,				      (32.7a)

мұндағы , қосындылау   индекстерінің мүмкін орын алмастырулары бойынша жүргізіледі. Фермиондар үшін антисимметриялық функцияны детерминант ретінде жазуға болады 
 .			      (32.8a)
Егер қарастыратын жүйе екі бөлшектен тұрса, (32.7а) және (32.8а) өрнектерден (32.7) және (32.8) өрнектер шығады. (32.8а) өрнектен өте маңызды нәтиже шығады, ол  -  Паулидің тыйым салу принципі. Бұл принципті мына түрде тұжырымдап айтуға болады: бірдей фермиондар жүйесінде бірмезетте екі немесе одан көп бөлшектер орналаса алмайды. Шынында, (32.8) өрнекте  болса,  . Бұл күйде екі бөлшекті табу ықтималдығының тығыздығы  . Мысалы, екі бірдей электрон бір күйде орналаса алмайды, ал олардың спиндері қарама - қарсы болса, онда орналаса алады. Барлық параметрлері бірдей, электрон мен позитрон бір күйде  орналаса  алады, себебі  олардың   зарядтары  әр  түрлі  болады. 
Тақырып: Атомға арналған Гамильтон операторы және Шредингер теңдеуі. Атомдағы электрондардың бірбөлшекті күйлері. LS  - байланыс . jj  -  байланыс. Сутегі атомы. Сілтілік элементтер атомдарының энергетикалық деңгейлері.
Сутегі атомы мен сутегі тәрізді атомдар бір электронды атомдарға жатады. Олар үшін Шредингер теңдеуінің дәл шешімін табуға болады. Элементтердің периодтық жүйесінде сутегі атомынан кейін орналасқан гелий атомы . Гелий атомы көпэлектронды атомдардың ішіндегі ең қарапайымы, бұл атомда ядро айналасында екі электрон қозғалады. Екіэлектронды атомға, гелий тәрізді атомдар жатады:  - бірдүркін иондалған литий атомы,  - екідүркін иондалған берилий атомы және т.б. Кезінде гелий атомындағы екі электронның қозғалысын Бордың ескі кванттық теориясының көмегімен қарастырған, бірақ ол ешқандай нәтиже бермеді. Не себепті дұрыс нәтиже алынбады деген заңды сұрақ туады. Біріншіден, Бордың кванттық теориясында алмасулық күштері есепке алынбады. Екіншіден, электрондардың спиндік қасиеттері есепке алынбады. Өзімізге белгілі Бор теориясы бойынша екі электронның қозғалысын жеке-жеке басынан аяғына дейін қадағалауға болады. Кванттық теория бойынша, екі электрон бір-бірінен үлкен ара қашықтықта орналасса ғана, оларды нөмірлеп, бір-бірінен ажыратып қарастыруға болады. Бірақ, оларды өте жақын орналастырса кеңістіктің қай нүктесінде нөмірленген электрондардың қайсысы орналасқанын ажырата алмаймыз. Бұл жағдайда, бөлшектердің теңбе-теңдік принципі орындалады. Бөлшектерді ажыратылмаушылықтың нәтижесінде, бұл бөлшектер күйлермен алмасады. Бөлшектер арасында, классикалық баламасы жоқ, алмасулық күштер пайда болады. Бор бойынша сутегі тәрізді атомдар теориясында электрон спині есепке алынбайды, бірінші жуықтауда ол  түзетулерді елемеуге болады. Ал гелий атомында спиндік құбылысты елемеуге болмайды. 
	Біз гелий атомының жуық теориясын қарастырамыз, себебі, бұл мәселе - үш дене мәселесі болып саналады (үш дене мәселесінің дәл шешімі болмайды). Гелий атомының сұлбасын берейік (14-сурет). 
           
















14  -  сурет

1-ші  электронның  орны  - радиус - вектормен,  2-ші электронның  орны  -радиус-вектормен, екі электронның өзара қашықтығы  - радиус-вектормен берілген. Координаталар басы қозғалмайтын ядромен дәл келеді. Электрондар күйі  және  кванттық  сандар  жинағымен беріледі ((32.2) өрнекке назар аударыңыз). Екі электроннан тұратын жүйенің гамильтонианы  мына  түрде болады:
                    .              (33.1)
Мұндағы үшінші және төртінші мүшелер электрондардың ядро өрісіндегі потенциалдық энергиясы, бесінші мүше электрондардың өзара әрекет кулондық энергиясы, соңғы мүше электрондардың спиндеріне, орналасқан орындарына және жылдамдықтарына тәуелді спин  -  орбиталық өзара әрекет операторы. Көп жағдайда  операторын есепке алмауға болады, себебі ол  -  болмашы түзету. Сонымен, (33.1) гамильтонианының көмегімен Шредингер теңдеуін жазамыз 
                       .			        (33.2)
Бұл теңдеудің гамильтонианында спиндік операторлар жоқ, сондықтан (33.2) теңдеудің шешімін координаталық және спиндік функциялардың көбейтіндісі түрінде іздестіреміз 
.				 	        (33.3)
Біз әзірше спиндік өзара әрекеттікті ескермейміз, сондықтан (33.2) теңдеуді спиндік функцияға қысқартамыз. Сонда Шредингер теңдеуі мына түрге келеді:
,				        (33.4)

мұндағы 
 (33.5)
,	,                        
,	  ,     .
Мұндағы - ядро өрісіндегі екі электронның толық энергиясының операторы,  операторын ауытқу операторы деп қарастыруға болады. 
	Жоғарыда айтылғандай (33.4) теңдеудің дәл шешімін табуға болмайды, сондықтан алдымен нөлдік жуықтамадағы шешімді қарастырайық (- операторды елемейміз). Сонда 
,						        (33.6)
мұндағы  - нөлдік жуықтамадағы толқындық функция. (33.5) өрнегінде  гамильтониан бір айнымалыға тәуелді екі гамильтонианның қосындысынан тұрады, сондықтан  толқындық функцияны екі функцияның көбейтіндісі түрінде жазуға болады 
.					        (33.7)
(33.7) функцияны (33.6) теңдеуге ауыстырып қояйық 

.
Осыдан нөлдік жуықтамадағы энергияны табамыз 
,							        (33.8)
мұндағы - бірінші электронның, - екінші электронның энергиясы. (33.8) теңдікті былай түсінуге болады: өзара әрекет есепке алынбағанда екі электронның толық энергиясы  және энергияларының қосындысына тең. Екінші жағынан, есептеулер мына жағдайды көрсетеді: (33.8) энергияға басқа күй де сәйкес келеді, бірінші электрон , ал екінші электрон  күйлерде орналасады. Сонда 
		.					        (33.9)
(33.9) өрнек екі электронның орын алмастыруын көрсетеді, оны тағы да (33.6) теңдеуге ауыстырып қояйық 


				      (33.10)
Сонымен,  энергияның бір деңгейіне  және  функциялармен сипатталатын екі күй сәйкес келеді. Бұл жағдайды мына түрде түсіндіруге болады: жүйенің күйі электрондарды ажыраталмаушылыққа байланысты қосымша тоғысуға ие болады, ол алмасулық тоғысу деп аталынады. Егер  болса, онда . Тоғысу бұл жағдайда болмайды 
								      (33.11)
Егер  , онда нөлдік жуықтамадағы функция  және  функциялардың  суперпозициясы пайда болады 
			,						      (33.12)
мұндағы  коэффициенттер 
									      (33.13)
нормалау шартын қанағаттандырады. 
Айта кететін жәйт, электрондардың барлық моменттерін қосып, атомның толық моментіне айналдыруының екі тәсілі бар. Бірінші тәсіл: орбиталық және спиндік моменттерді жеке-жеке қосып, атомның моментін табу керек, яғни 
	,	,	.			        (34.2)
Бұл тәсіл - байланыс немесе Рассел-Саундерс байланысы деп аталынады (жоғарыда  осы  тәсілді  пайдаландық), ол  жеңіл  атомдарда  жиірек іске асады. Екінші тәсіл: алдымен әрбір электронның орбиталық және спиндік моментін қосып, содан кейін барлық электрондардың толық моментін табу керек, яғни 
	 ,       .							        (34.3)
Бұл тәсіл - байланыс деп аталады, ол ауыр атомдарда жиірек кездеседі. Кванттық механикада (34.2) және (34.3) тәсілдер бір-біріне баламалы емес. 
Енді біз потенциалдық энергияның нақты түрін қарастырамыз. Ол үшін ядроның кулондық өрісіндегі электронның қозғалысын негізге аламыз. Ондай өріс сутегі атомында, -гелий ионында, - екіеселі иондалған литий атомында және т.б. сутегі тәрізді атомдарда байқалады. Ядроның зарядын деп белгілейік, мұндағы  ядроның нөмірі (сутегі үшін ) ,  - элементар заряд. Бұл өрістегі электронның потенциалдық  энергиясы  мынаған  тең 
 . 			                 (23.1)
	Біздің мақсатымыз, осы өрісте қозғалатын электронның энергетикалық спектрін және толқындық функцияларын табу. Ол үшін (23.2)  Шредингердің  радиалдық  теңдеуін  мына түрге  келтіреміз 
 .	       (23.2)
(23.1) потенциалдық  энергияны (23.2)  теңдеуге  ауыстыра   отырып   және
 
           ,       ,	      (23.3)

белгілеулерді ескере отырып 

теңдеуін аламыз. Бұл теңдеуді шешуге жеңілдік жасау үшін өлшемсіз айнымалыны енгіземіз 
 .				      (23.4)  
Сонда  мынадай  өлшемсіз  теңдеу  аламыз 

  ,	      (23.5)

мұндағы    . 
	Сутегі атомы туралы мәселені шешу тәсілі гармониялық осциллятор (§ 17)  мәселесін шешу тәсіліне ұқсас, сондықтан да, біз энергияның үзікті деңгейлерін  іздестіруді  мақсат  етіп  қоямыз. Кішкене қашықтықта  функция (22.7) бойынша, ал үлкен қашықтықта (22.12) функциясына ұқсас өзгереді 
 .
Бұл теңдеудің шешімі  . Экспонентті түрде өсетін шешімді алмай, екінші  шешімді  қалтырамыз.  Сонымен,  функцияның  кішкене  және үлкен қашықтықтағы беталысын ескере отырып, (23.5) теңдеудің шешімін  мына  түрде  іздестіреміз 
 .    			                 (23.6)

 функцияның бірінші және екінші туындысын табу үшін Лейбниц формуласын  пайдаланамыз 



мұндағы  . Қарапайым есептеулер нәтижесінде (23.5) теңдеу, белгісіз  функциясына  қатысты  теңдеуге  айналады 
 .		                 (23.7)
(23.7) теңдеудің  шешімін  мына  қатар  түрінде  іздестіреміз 
.				  	      (23.8)
Бұл функцияның бірінші және екінші туындысын тауып, оларды (23.7) теңдеуге   ауыстыра  отырып,  гармониялық  осциллятор  есебі   сияқты   
айнымалы шаманың бірдей дәрежелерінің алдындағы мүшелерді жинақтап,  мынадай  формуланы  аламыз 
 .	      (23.9)
(23.9) теңдік орындалу үшін,  алдындағы коэффиценттер  нөлге  тең болу керек, яғни  рекурренттік  формуланы  аламыз 
 . 		      (23.10)
Егер  , онда (23.8) қатар  сияқты жинақсыз болады. Сондықтан толқындық функция ақырлы болу шартын қанағаттандырмайды. Енді гармониялық осциллятор мәселесіндегі сияқты, (23.8) қатарды  индексі бар мүшеде үзіп,  дәрежелі полином аламыз. Бұл жағдайда (23.10) рекурренттік формуладағы   ,  , ... коэффиценттері нөлге айналады. Ол коэффиценттер нөлге айналу үшін, рекурренттік формуланың  алымы  нөлге тең  болу  керек 
  .		                                   (23.11)

Мұндағы -бүтін сан (нөлді қоса есептегенде), сондықтан  қосынды  да   бүтін    сан    болады.   Ол    қосындыны        деп    белгілесек,  
-радиалдық кванттық сан, - бас кванттық сан деп аталынады. (23.11) теңдіктің нәтижесінде, (23.8) ақырсыз қатар   дәрежелі полиномға айналады 
 .		  			      (23.12)
Бұл қатардағы  коэффиценттерді  (23.10) рекурренттік формуланың көмегімен есептей отырып, пайда болған тұрақты көбейткіштерді  көбейткішке жинақтай отырып, (23.6) функцияны біржолата былай жазамыз 
   ,		               (23.13)
мұндағы  - Лагеррдің жалпыланған полиномы деп аталынады және оның  тұйық  пішіні  мына  түрде  беріледі 
  .		    (23.14)
Радиалдық функцияға арналған  нормалау  шартын 
 
пайдалана отырып, (23.3) , (23.4) және (23.13) өрнектерді ескере, нормалау  коэффицентін  табуға  болады 
  ,		    (23.15)
мұндағы - бірінші Бор  орбитасының  радиусы  болады. 
	Сутегі тәрізді атомның энергетикалық спектрі (23.3) және (23.11) формулалардан табылады 
   .		                          (23.16)
Алғашқы  рет (23.16) өрнекті 1913 жылы Бор жартылай классикалық теорияның көмегімен тапқан. Ал, кванттық механикада бұл өрнекті матрицалық әдіспен 1926 жылы Австрия физигі В. Паули және толқындық теңдеудің көмегімен Шредингер алған. Бұл әдістердің бір-бірінен айырмашылығы, Бор әдісі жасанды, ал Паули мен Шредингердің әдістері логикалық, табиғи болып келеді. Егер бас кванттық сан   болса, онда  бөлшектің кулондық өрісіндегі негізгі күйін анықтайды;  болса, онда  бөлшектің кулондық өрісіндегі бірінші қозған күйін сипаттайды және т.б. (22.1) және (23.13) өрнектер бойынша,  толқындық функция  үш  кванттық  сандардың  мәндерімен  анықталады. 
    , 		      (23.17)
ал энергия деңгейлері (23.16) бойынша, тек бас кванттық санға тәуелді болады. Сондықтан, сутегі тәрізді атомның энергетикалық деңгейлері тоғысқан болады. Центрлі  -  симметриялық өрісте, жиырма бірінші параграфта көрсетілгендей, тоғысу  саны бойынша болады. Ал, кулондық өрісте энергетикалық дейгейлер қосымша орбиталық кванттық саны бойынша да тоғысады. Тоғысудың -ші энергетикалық деңгейге қатысты еселігін  табайық.  Берілген   саны  бойынша  орбиталық  кванттық сан   нөлден  дейін  аралықтағы  мәндерге  ие  болады,  ал  - дің әрбір мәніне -нің  мүмкін  мәндері  сәйкес  келеді.  Сонымен,  тоғысу дәрежесі 
  .	    (23.18)
Бұл есептеуде арифметикалық прогрессия формуласын пайдаландық. (23.18) бойынша,  энергетикалық деңгейдің әрбір мәніне  әр түрлі толқындық функциялар  сәйкес  келеді.
Жалпы жағдайда, сілтілі металдар атомдарындағы оптикалық электрон моделі көпэлектронды мәселені көрсетеді. Бірақ жоғарыда аталған атомдардың бір ерекшелігі бар, бұл атомдардағы қозғалысты центрлі симметриялы өрістегі бір электронның қозғалысына келтіруге болады. <<Атомдық қалдықпен>> әлсіз байланысқан оптикалық электронды одан аластатсақ, онда қалдықта қалған электрондар инертті газға тән электрондық қабықша түзеді. Мысалы,  ионы  атомының электрондық қабықшасы сияқты электрондық қабықшаға ие болады. Инерттік газдың электрондық қабықшасы тәжірибелер бойынша сфералық симметрияға ие болады және сыртқы әсер оған онша ықпал ете қоймайды, сондықтан оптикалық электрон <<атомдық қалдықтағы>>  электрондарға тікелей әсерін тигізбейді. Сонымен белгілі бір дәлдікте, оптикалық электронды <<атомдық қалдықтың>> центрлі - симметриялық өрісінде қозғалады деп есептеуге болады. Бұл центрлі  -  симметриялық өрістің потенциалын  десек, ал оптикалық электронның потенциалдық энергиясын  деп белгілейміз, сонда 
 		                                     (24.1)
Сонымен, <<атомдық қалдықтың>> центрлі-симметриялық өрісін белгілі бір нүктелік зарядқа ие болатын сілтілі металдар атомдарының орнықты <<қаңқасы>> немесе <<эффектив ядросы>> тудырады деп қарастыруға болады. Ішкі  электрондар тудыратын электр зарядының орташа тығыздығы  болсын, сонда радиусы  сфераның ішінде орналасқан толық электрондық заряд мынаған тең болады 
 .			                 (24.2)
Қаңқаның   құрамындағы   ядроның   зарядын    деп   белгілесек,  онда сферамыздың толық заряды мына түрде анықталады 
 ,			                 (24.3)
мұндағы  қашықтықтағы ядроның эффектив нөмірі. Гаусс теоремасын  пайдалана отырып,  өрісті табуға болады 
 ,		                           (24.4)
ал  потенциал мынаған тең 
 .			      (24.5)
(24.3) өрнекке толығырақ тоқталайық. Бұл өрнек бойынша, электрондық қабықшаның әрекеті  ядро өрісін қалқалауға апарады. Қалқалау қашықтыққа тәуелді, ядроның маңында оның өрісі қалқаланбайды. Шынында,  нөлге ұмтылған жағдайда 
 .		
Бұл аймақта өріс 
 ,
ал потенциал 
    .		                 (24.6)
Егер    (-электрондық қабықшаның радиусы)  аймақты қарастырсақ
 
 ,
мұнда - қабықшадағы электрондардың толық саны. Сонымен бұл аймақта 
 ,
ал потенциал 
 .		                                     (24.7)
Бұл потенциал, қабықшадағы электрондар зарядына азайтқандағы ядро зарядының потенциалына сәйкес келеді. 
	Кей жағдайда, -эффектив нөмірдің  қашықтыққа тәуелділігін есепке алмайды, яғни 
 ,	  .
	Жоғарыдағы потенциалдарды пайдалана отырып, Шредингердің радиалдық теңдеуінің шешімдерін табуға болады. Олар сандық интегралдау арқылы табылады. Осыған сәйкес тек табылған нәтижелерге тоқталайық. 
	Сутегі   атомының   энергетикалық   спектрін қарастырғанда, энергия 
-нің тек бас кванттық сан -ге тәуелді екенін анықтағанбыз. Ал біздің жағдайда энергия  сонымен қатар,  радиалдық кванттық санға да тәуелді болады. Жалпы түрде қарастырсақ, алдыңғы тақырып бойынша  , сондықтан  энергия  орбиталық кванттық санға да тәуелді болады. Сонымен,   және   екі кванттық санға тәуелді болады, яғни  болғандықтан,  өзіндік мәндер  және  кванттық сандарға тәуелді болады. Осы айтылғандарға байланысты өзіндік функциялар мен өзіндік мәндерді мына түрде белгілеуге болады 

 
										                 (24.8)

Өзіміз қарастырған кулондық өрісте  , сондықтан  және   кванттық сандар  қосындыға кіреді. Ал, сілтілі металдар атомындағы оптикалық электрон  моделі  бойынша  . 
	Алдыңғы тақырыпта айтқандай, кулондық өрісте  орбиталық кванттық саны бойынша тоғысу болады, яғни  бас кванттық сан берілгенде энергия -ге тәуелді болмайды . Ал  центрлі өрісті жалпы жағдайда қарастырсақ, бұл  саны бойынша тоғысу болмайды  . 
Тақырып: Кванттық ауысулар ықтималдығы.
Кванттық ұғымдарды пайдалана отырып, 1916 жылы Эйнштейн сәулеленудің қарапайым кванттық теориясын ұсынған. Эйнштейн теориясына сүйене отырып, кванттық жүйенің жарықты шығаруын және жұтуын түсіндіруге болады. Эйнштейн теориясын тереңірек түсіну үшін, көрнекі мысал ретінде сәулеленудің классикалық теориясын еске түсірейік. Электрдинамика заңдары бойынша, тек үдей қозғалатын зарядталған бөлшек сәулелену көзі болып табылады. Уақыт бірлігінде сәулелену энергиясы  үдеуге  тура  пропорционал  болады 

	 .								        (39.1)

Егер  сәулелену  көзі  ретінде  гармониялық  осциллятор  алынса
	 ,                                                                                        (39.2)

онда сәулелену қарқындылығы (уақыт бірлігіндегі энергия)  амплитуданың квадратына тура пропорционал болады, ал сәулелену жиілігі осциллятордың тербеліс  жиілігіне тең болады. Кванттық механикада сәулелену процесі мүлде басқаша түрде болады: жүйе бір кванттық күйден  екінші  кванттық  күйге  ауысса, онда  жарық  шығарылады  не  жұтылады. 
	Жарықты шығару немесе жұту процестерін түсіндіру үшін Эйнштейн өз атымен аталатын  және  коэффициенттерді енгізді.  коэффициенті жүйенің бір күйден басқа күйге өздігінен болған ауысуды сипаттайды, ол ауысу кейде тосын ауысу деп аталады.   коэффициенті жүйенің бір күйден басқа күйге сыртқы әсердің нәтижесінде болған ауысуды  сипаттайды,  ол  ауысу  мәжбүр  ауысу  деп  аталады. 
	Тәжірибелер бойынша, жүйе өздігінен  жоғары күйден  төмен күйге ауыса алады. Бұл жағдайда энергиясы  болатын жарық кванты шығарылады, оның жиілігі  . Егер қозған атомдардың саны  болса, өздігінен болған ауысулар үшін сәулелену қарқындылығы 
	  ,   							        (39.3)

мұндағы  коэффициенті өздігінен болған ауысудың  ықтималдығын анықтайды. Егер атомдар орналасқан кеңістіктің бөлігінде электрмагниттік сәулелену бар болса, ол атомдарға екі түрде әрекет жасайды. Біріншіден, электрмагниттік сәулелену жұтылады, онда атом төмен  энергетикалық деңгейден жоғары  энергетикалық деңгейге ауысады  . Екіншіден, атом    қозған  күйде  орналасса,  сыртқы  сәулелену сол  атомның    төмен  күйге  ауысуына  жағдай  тудырады .




		
					Em





21- сурет

21- суретте жоғарыдан төмен бағытталған , яғни өздігінен болған және мәжбүр ауысулар; төменнен жоғары бағытталған , яғни мәжбүр ауысулар көрсетілген.  коэффициентті Эйнштейн бойынша жоғарыдан төмен бағытталған ауысудың ықтималдығын, ал  төменнен жоғары бағытталған ауысудың ықтималдығын анықтайды. Егер мәжбүр ауысулардың саны электромагниттік сәулеленудің спектрлік тығыздығына  пропорционал болса, онда сәулеленудің және жұтылудың  қарқындылықтары  мынаған  тең  болады 

	 ,						                            (39.4)

 						                            (39.5)

мұндағы  күйдегі атомдар саны. Қыздырған атомдар мен олар шығарған  жарықтың  арасында  термодинамикалық  тепе-теңдік  болсын, ол жағдайда жарық шығару процесі мен жарық жұту процесі арасында тепе-теңдік болуға тиіс. 21- сурет бойынша жоғарыдан төмен бағытталған ауысулар саны мен төменнен жоғары бағытталған ауысулар саны бірдей  болады 
	  .                                                                (39.6)
Максвелл үлестірілуі бойынша атомдардың  және  энергияларымен  үлестірілуі  былай  беріледі
	     ,                         ,		                  (39.7)
мұндағы - тұрақты коэффициент,  - Больцман тұрақтысы, - абсолют температура. (39.7) өрнектерді (39.6) теңдікке  ауыстырып  қояйық 
	 .                                                     (39.8)

(39.8) теңдікті  көбейткішке қысқартайық және  болатынын  есепке  алайық 
	  .							                  (39.9)
Статистикалық физикада көрсетілгендей сәулеленудің спектрлік тығыздығы  жиілікке  ғана  емес,  температураға  да  тәуелді  болу  керек. Онда ол  тығыздық, температурасы  болатын  затпен  тепе-теңдікте  орналасқан сәулеленудің тығыздығы болады. Басқаша айтқанда, - қара сәулеленудің  спектрлік  тығыздығы  болады.  Қара  сәулеленудің  қасиеттері тепе-теңдікте  тұрған  заттың  қасиеттеріне  тәуелсіз  болады,  сондықтан бұл мәселенің жалпы маңызы болуы керек. Жоғары температуралар аймағында  , онда  . Осы  жағдайды  есепке  ала  отырып, (39.8) - ден  мына  теңдікті  алуға  болады

.								                (39.10)

Бұл  теңдіктің  нәтижесінде, (39.9) мына  түрге  келеді 

.							                (39.11)

Енді    қатынасты  табу  керек.  Ол  үшін,  жоғары   температуралар 
аймағында  (39.11) кванттық өрнек Рэлей-Джинстің классикалық өрнегіне көшетінін пайдалану керек (Бордың сәйкестік принципі орындалады). Бұл жағдайда   қатарға  жіктеледі 

							                (39.12)

(39.3) өрнекті  пайдалансақ, (39.11) өрнекті  былай  жазамыз 

.							                (39.13)
Рэлей  -  Джинс өрнегі бойынша 

.								                (39.14)
(39.13) және (39.14) өрнектерді  салыстыра  отырып  

								                (39.15)
қатысты табамыз. (39.15) қатыстан бір коэффициент арқылы екінші коэффициентті табуға болады және тепе-теңдік сәулеленудің тығыздығын (Планк  формуласын)  аламыз   
.							                (39.16)
	Өздігінен болған ауысудың ықтималдығын анықтайтын  коэффициентін  тапсақ, (39.15)  қатыстан  коэффициентін  табамыз. Есепті жеңілдету үшін, мысал ретінде гармониялық осцилляторды алып, Бордың сәйкестік принципін пайдаланамыз. Гармониялық осциллятордың классикалық теория бойынша алынған қарқындылығы (39.1) өрнекпен анықталады және бірөлшемді осцилляторды алайық. (39.2) өрнекті пайдаланып, үдеуді  табамыз 
,
сонда (39.1) мына  түрге  келеді: 
.						                (39.17)
Бұл  өрнекті  қорытуда   - ның  орта  мәні  мынаған  тең  екенін ескердік 
,
мұндағы  - тербеліс периоды. Осциллятордың толық энергиясы  болатынын  ескере  отыра,  жеке-жеке   ,  энергияларды  есептейміз
,				                (39.18)
мұндағы - серпімділік  күші. 
      
.					                (39.19)
(39.18) және (39.19) өрнектердегі потенциалдық және кинетикалық энергияларды толық энергияға арналған өрнекке ауыстыра отырып, мына өрнекті табамыз 
.								                (39.20)
(39.20) және (39.17) өрнектерді бір-бірімен  амплитуда арқылы байланыстырып, осциллятордың уақыт бірлігіндегі сәулелену энергиясын табамыз 
.							                (39.21)

Тоқтала кететін нәрсе: (39.20) өрнек бойынша, классикалық осциллятордың энергиясы үзіліссіз шама болса, кванттық осциллятордың энергиясы (17.12) өрнек бойынша үзікті болады. Кванттық теорияның көмегімен гармониялық осциллятордың сәулелену интенсивтігін (39.3) өрнек  бойынша  табамыз 
.							                (39.22)
Классикалық (39.17) өрнекте қарқындылық амплитуда квадратына тура пропорционал,  соған  сәйкес  өздігінен  болған  ауысудың  коэффициенті  сәулелену процесін сипаттайтын координатаның  матрицалық элементтерінің  квадратына  тура  пропорционал  дейміз  
 
,							                (39.23)

мұндағы , ал 

.							                (39.24)

Бұл матрицалық элементті білу келесі параграфта қажет болады, сондықтан оның нөлден өзгеше мәндерін табайық. Ол үшін гармониялық осциллятор  туралы  есептің (§ 17)  нәтижелерін  және  Эрмит-Чебышев  полиномдарының арасындағы мынадай рекурренттік қатысын пайдаланайық 
.						                (39.25)



			                          (39.26)



(7.8) ортонормаланған шартты есепке алсақ, координатаның нөлден өзгеше  матрицалық  элементтерін  табамыз  
,	.			                                  (39.27)
Сәулелену қарқындылығын табу үшін, жоғарыдан төмен бағытталған ауысуды  қарастырамыз,  сонда 
,	,	,
.
Осы өрнектерді пайдалана отырып, классикалық жуықтамада  (39.21) және (39.22)-дегі қарқындылықтарды бір-біріне теңестіреміз (Бордың  сәйкестік  принципі  орындалады)
.

Бұл теңдіктен  тұрақтысын тауып, оны (39.23) қатысқа ауыстырып қоямыз 
,

немесе  үшөлшемді  жағдайда 
.							                (39.28)

(39.15) қатысты пайдаланып, еріксіз ауысулардың ықтималдығын анықтайтын  коэффициенттерді  табамыз  
.						                (39.29)
Сонымен, (39.22) теңдікті пайдалана отырып, дипольдік жуықтамадағы сәулелену  қарқындылығын  табамыз  
							                (39.30)
Дипольдік жуықтамада жүйенің өлшемі, шығарылатын жарықтың толқын  ұзындығынан  өте  кіші  болады .
	Біз қарастырған сәулеленудің қарапайым кванттық теориясы таза кванттық емес, жартылай классикалық (квазикванттық) теория. Себебі, Эйнштейн коэффициенттерін қорытқанда, біз осциллятор тербелісінің классикалық  теориясын  және  сәулеленудің  классикалық  теориясы  -  Рэлей  -  Джинс теориясын пайдаландық. Кванттық механиканың көмегімен сыртқы электрмагниттік толқынның, атомдағы электрондардың  өзара әрекетінің  нәтижесінде пайда болатын мәжбүр ауысуларды түсіндіруге болады. Электрмагниттік толқын классикалық болып саналады. Өздігінен болған ауысуда сыртқы электрмагниттік өріс болмайды, сондықтан ол ауысуды кванттық механика түсіндіре алмайды. Егер сыртқы әсер болмаса, кванттық механика бойынша қозған атом сол күйде қанша керек болса  да  тұра  береді.  Белгілі  энергияға  ие  болған  күй  қалыпты болады, ал энергия  қозғалыс интегралы болады. Ол басқа күйге өздігінен ауыса алмайды, бірақ тәжірибелер өздігінен болған ауысулардың бар екенін растайды. Центрлі  -  симметриялық өрістегі қозғалыста біз қозғалыстағы электронның электрмагниттік өріс тудыратынын есепке алған жоқпыз, шынында ол өріс электронның өзіне қарсы әрекет жасайды. Осы әрекетті жоғарыда өздігінен болатын ауысудың бар екенін постулат ретінде қарастырдық. 1927 жылға дейін атомдық жүйелер мен электрмагниттік өріс арасындағы өзара әрекет жартылай классикалық тұрғыдан қарастырылды, яғни атомдық жүйелер кванттық, ал электрмагниттік өріс классикалық түрде болды. Кванттық электрдинамикада өріс кванттық жүйе  ретінде  қарастырылады.   
Тақырып: Энергиялық деңгейлердің анықталмағандығы және ені. Квазистационарларлы күй және өмір сүру уақыты.
Тоғызыншы параграфтағы Гейзенбергтің анықталмағандықтар қатысын (9.6) пайдаланайық. Біз қарастыратын тұйық жүйенің бастапқы уақыттағы энергиясы анықталмаған болсын.  оператордың орнына толық энергия операторын алайық, ал  оператор уақытқа айқын тәуелді болмасын. (9.6) теңсіздіктің сол жағын жуықтап мына түрде алуға болады. 	.					                  (41.1)
Сонда 
	.							                  (41.2)
(9.1) өрнекті ескерсек 
						                  (41.3)
Операторларды уақыт бойынша дифференциалдағанда (§ 13), мына қатысты аламыз 
.						                  (41.4)
(41.4) қатысты (41.2) теңсіздікке ауыстырсақ 
.						                            (41.5)
(41.5) өрнек энергиядағы анықталмағандық  шамадағы анықталмағандық  және  шаманың орта мәнінің өзгеріс жылдамдығын байланыстырады. Бұл өрнекті мына түрде ықшамдап жазуға болады,  егер 
.							                  (41.6)
Сонда 
.								                  (41.7)
Сонымен, біз Гейзенбергтің тағы да бір анықталмағандықтар қатысын алдық. (41.7) теңсіздігі бойынша, егер  тұрақсыз микрообъектінің өмір сүру уақыты болса, оның берілген күйдегі энергиясының анықталмағандығы  болу керек. Егер тұрақты күйді қарастырсақ, онда микрообъектінің күйі дәл анықталған болады  . Мысалы,  жүйенің жартылай ыдырау  периодына тең болса, онда (41.7) қатысты былай жазуға болады: 

,								                  (41.8)

мұндағы   - энергияның бастапқы күйдегі анықталмағандығы, соған сәйкес спектрлік сызықтың енін береді.
	Жалпы жағдайда, -нші деңгейдегі жасау уақыты  және деңгейдің ені , жүйенің басқа энергетикалық деңгейлерге кванттық ауысуларының мүмкіндігіне байланысты болады. Тұйық жүйе үшін  деңгейден  деңгейге  өздігінен болған сәуле шығарғыш ауысулар деңгейдің табиғи енін анықтайды. Ол деңгейдің табиғи ені, есептеулер бойынша, өздігінен болған ауысуларды анықтайтын  Эйнштейн коэффициенттеріне тура пропорционал болады. Көп жағдайда, деңгейдің ені деңгейдің энергиясынан кіші болады. Деңгей енінің табиғи деп аталуы, оның сәулелену процесінің өзіне байланыстылығынан. Кей жағдайда, спектрлік сызықтарының кеңеюі басқа да себептерге байланысты болады. Деңгейдің табиғи ені өмір сүру уақытына кері пропорционал болады, яғни  . 
Тақырып: Шашыраудың амплитудасы. Борн жуықтауы. Резерфорд формуласы.
Егер қандай болса да бөлшектер шоғы затқа түссе, онда бөлшектер заттың қарсы келген бөлшектерімен соқтығысулары нәтижесінде өзінің бастапқы жолынан ауытқиды. Осы ауытқуды шашырау процесі, ал затты шашыратқыш деп атайды. Егер шашырау кезінде соқтығысатын бөлшектер бір-біріне айналмаса және олардың ішкі күйі өзгермесе, онда мұндай шашыру серпімді шашырау деп аталады. 
	Шашырау процесін зерттей отыра, газ разрядындағы электрондардың тежеуін, газ молекулаларының соқтығысуын, радиоактивті және ғарыштық сәулелер бөлшектерінің тежеуін қарастыруға болады. Ол үшін шашырау ықтималдығын анықтау керек. Сонымен қатар, шашырау процесін біле отырып, шашыраған және шашыратушы бөлшектердің табиғатын анықтауға болады. Атомдық және ядролық физикадағы көптеген біз білетін мәліметтер шашырау процесін зерттеу нәтижесінде алынды. Мысал ретінде, атомдық ядроның болуы Резерфорд тәжірибелеріндегі  - бөлшектердің шашырауын зерттеу нәтижесінде тағайындалды. 
	Біз классикалық механикада екі дене мәселесін қарастырғанбыз, онда серпімді соқтығысу мәселесі қозғалмайтын күштік центрдің  өрісінде  келтірілген  массаға  ие болатын бір бөлшектің шашырау мәселесіне саяды. Келтірілген  массаны 
					
деп белгілейік. Мұнда массасы -ге тең бөлшек массасы -ге тең бөлшектен шашырайды, олардың өзара әрекеті  потенциалдық өріске тәуелді, ал  - салыстырмалы координата. Сонымен,  потенциалдық өрістегі қозғалыс соғылысатын бөлшектердің инерция центрімен байланысты координаталар жүйесіне ауысуына байланысты болады. Инерция  центрі  жүйесіндегі  шашырау  процесін  қарастырайық (22-сурет). Бұл суретте -шашырау бұрышы, ал шашырау процесінің бастапқы мезетінде ақырсыз қашықтықтағы екі бөлшектің біріне-бірі қарсы қозғалысы көрсетілген. Олар жақындағанда бөлшектердің арасындағы өзара әрекет олардың қозғалысының күйін өзгертеді, содан кейін бөлшектер  жан-жаққа   ұшып  кетеді.   Шашырау  процесінің  соңғы  












22- сурет

мезетінде бөлшектер бір-бірінен алыстатылып қозғалады. Шашырау процесін стационар түрде сипаттаймыз, ол үшін берілген күштік өрісте шашыраған бөлшектер ағынын түсуші бөлшектер ағынының функциясы ретінде қарастырамыз. 
	Өзіміз білетіндей шашыраған бөлшектер центрден үлкен қашықтыққа алыстатылса еркін қозғалады, яғни олардың қозғалысының энергиясы әрқашан оң болады және квантталмайды. Сонымен, бөлшектер серпімді шашыраса, олардың энергетикалық спектрі үзіліссіз болады. Келтірілген массасы  болатын бөлшектің толқындық функциясы , ал энергиясы   болса, ол үшін Шредингер теңдеуі мына түрде жазылады 
	 .
Толқындық санды енгіземіз 
	 .
Сонда Шредингер теңдеуі мына түрге келеді
	.                                                            (42.1)
	Потенциалдық өріс  кеңістіктің белгілі бір шектелген  аймағында нөлден өзгеше болсын. Кеңістіктің бұл бөлігі күштердің әрекет аймағы деп аталады. Күштердің әрекет аймағының сыртында бөлшектер еркін қозғалады, олардың қозғалыс күйі жазық толқынмен сипатталады 
	 ,      .						        (42.2)
Бұл жазық толқын оң жағы нөлге тең (42.1) теңдеуді қанағаттандырады, ал  салыстырмалы қозғалыстың  импульсімен мына қатыспен байланысты:. (42.2) толқындық функцияны сондай түрде нормалау керек, ол үшін толқындағы ағын тығыздығы бөлшектердің  жылдамдығына тең болады 
	 , 					                  (42.3)
мұндағы . (42.3) формуладағы - түсуші бөлшектер ағынын сипаттасын деп ұйғарайық, олардың қозғалыс күйі (42.2) жазық толқынға сәйкес келеді. Өзара әрекет нәтижесінде бөлшектердің шашырауы пайда болады. Біздің міндетіміз (42.1) теңдеудің шешімдерін табу, олар екі шешімнен тұрады. Бірінші шешім (42.2) жазық толқын болады, ол (42.1) теңдеудің оң жағы нөлге тең болғанда пайда болады 

	 .							                (42.1а)

Ал, екінші шешім күштердің әрекет аймағынан кетуші, шашыраған толқындарды көрсетеді. Сонымен, (42.1) теңдеудің шешімі (42.2) жазық толқын  мен  шашыраған  толқындардың  суперпозициясы  болады. 
	Осы жағдайды қарапайым физикалық тұрғыдан қарастырайық. Егер шашыратқыш центрден алыста қозғалатын бөлшекті сипаттайтын толқындық функцияны қарастырсақ, оны түсуші және шашыраған толқындардың қосындысы ретінде қарастыруға болады. 
	Бұл шешімдерді Грин функцияларының көмегімен қатаң түрде алуға болады. Грин функциясы мына теңдеуді қанағаттандырады 
	.                                                                   (42.4)
Мұндағы оператор (42.1) теңдеудің сол жағындағы оператор, ол бөлшектің еркін қозғалысының операторы болып келеді. Ал, еркін қозғалыс операторының Грин функциясы  болады, ол (42.4) нүктелік көзді теңдеуді қанағаттандырады. Егер (42.4) теңдеудің шешімі белгілі болса, онда 
						                            (42.5)
теңдеудің жалпы шешімі мына түрде көрсетіледі 
	 ,					        (42.6)
мұндағы - оң жағынсыз (42.5) теңдеудің шешімі, . Есептеулер бойынша (42.4) теңдеудің шешімі шашыраған (кетуші) толқындарға сәйкес  келеді 
	 .						        (42.7)
(42.2) , (42.5) және (42.6) өрнектерге сәйкес (42.1) теңдеуді мына түрге түрлендіруге болады 
	                        (42.8)
Бұл алынған теңдеу шашырау мәселесіндегі  толық толқындық функцияны анықтайтын интегралдық теңдеу болады. Енді (42.8) формуладағы интегралды қарастырайық және оның мәнін үлкен қашықтықтарда  анықтайық. Мұндай қашықтықтар  жеткілікті тез кемігенде әрқашан бар болады. (42.8) интегралды есептегенде, үлкен қашықтықта  деп есептеуге болады. Осыған сәйкес  қатарға жіктеледі 

	
немесе 
	 ,      .
Мұндағы  радиус  -  вектор бойынша бағытталған толқындық вектор. Ол шашыраған толқынның таралу бағытын сипаттайды. Осы жіктеуді (42.8)-ге ауыстырып қойсақ, онда -дің асимптоталық мәні мына түрге келеді 
	 ,       ,				                  (42.9)
мұндағы 
	 .				                (42.10)
Егер -импульсі  эффектив бөлшектің қозғалысын анықтайтын жазық толқын болса, онда (42.10)-ды жиырма бесінші параграфтағы белгілеулер бойынша мына түрде жазамыз 
	 .                                                                   (42.11)
 функциясы шашырау амплитудасы деп аталады. (42.11) бойынша шашырау амплитудасы келтірілген массаға пропорционал болады және салыстырмалы қозғалыстың энергиясына,  және  векторлар арасындағы бұрышқа, шашырау потенциалына тәуелді болады. (42.10) бойынша, күштердің әрекет аймағынан үлкен қашықтықтарда  шашыраған  толқын  шашырау  амплитудасымен  толық  анықталады. 
	Бөлшектер ағынының шашырауы  шашыраудың дифференциалдық қимасымен сипатталады. Бұл шама уақыт бірлігінде  денелік бұрышқа шашыраған бөлшектер санының түсуші бөлшектер ағыны  тығыздығына  қатынасымен  анықталады.  Ал,    аудан элементінен бір секундта  бөлшектер өтеді, мұндағы ағынның радиалдық тығыздығы мына түрде жазылады 
	 .

Егер (42.3)-ті еске түсірсек, онда  серпімді шашыраудағы шашыраудың дифференциалдық қимасы мен шашырау амплитудасының арасындағы байланысты табамыз 
	 .					                (42.12)
	Сонымен, шашыраудың дифференциалдық қимасы шашырау амплитудасымен  анықталады, оны есептеу үшін (42.8) интегралдық теңдеудің шешімін (42.11)-дің көмегімен табу керек. Егер  өзара әрекет энергиясын шағын ауытқу деп қарастырсақ, онда (42.8) теңдеуді біртіндеп жуықтау  әдісінің  көмегімен  шешуге  болады.  Нәтижесінде  алатынымыз 

	                      (42.13)

(42.13)-ті (42.11)-ге ауыстырсақ, шашырау амплитудасын қатар түрінде көрсетуге болады 



	 	      (42.14)

Егер бұл қатар жинақталса және біз алғашқы  мүшелерді сақтасақ, ал қалғандарын есепке алмасақ, онда алынған жуық мән -ші борндық жуықтама  деп  аталынады.  Дербес  жағдайда,  бірінші  борндық  жуықтамада 
	.						                (42.15)
Егер (42.15)-ті (42.12)-ге ауыстырып қойсақ, онда бірінші борндық жуықтамадағы серпімді шашыраудың дифференциалдық қимасын есептеуге болады 
	 .						      (42.16)

Сонымен, бірінші борндық жуықтамада шашырау амплитудасын есептеуде (42.11) өрнекте  функцияны  түсуші толқындық функциямен ауыстыру керек. 
	Біз (42.9) өрнекте толқындық функцияның асимтотикалық мәнін таптық, бірақ  шашырау амплитудасын нақтылы түрде табу қиын мәселе қатарына жатады. Шынында, (42.11) өрнектегі шашырау амплитудасы белгісіз  толқындық функция арқылы беріледі. Біздің назарымызды аударатын, керекті мәселелерде Шредингер теңдеуінің дәл шешімін табу үлкен математикалық қиыншылықтарға кездеседі. Сондықтан шашырау теориясында жуық әдістер кеңінен қолданылады. Олардың ішіндегі ең маңыздысы Борн әдісі болып табылады, оның көмегімен (42.15) шашырау амплитудасын және (42.16) серпімді шашыраудың дифференциалдық қимасын таптық. Борн әдісінің негізінде шашыратушы өріс шағын ауытқу деп қарастырылады, яғни шашыраған бөлшектің күштердің центрімен өзара әрекет потенциалдық энергиясы аз шама болады. Борн  әдісі  ядролық  физикада  жиі  қолданылады.
Тақырып: Молекулалар. Гетерополярлық және гомеополярлық байланыстар.
Өзіміз білетіндей, элементтердің химиялық қасиеттері сыртқы қабаттағы электрондармен анықталады, ал ішкі қабаттардағы электрондарға тәуелді болмайды деп есептеуге болады. Себебі, ішкі электрондар ядромен, сыртқы электрондарға қарағанда, күштірек байланысты болады. Химиялық байланыстың негізгі екі түрі болады: гетерополярлық (иондық) және гомеополярлық (атомдық) . 
	Гетерополярлық молекулалар иондардан құрылады. Мысалы,  молекуласы  және  иондардан пайда болады. Оң және теріс иондардың арасында атомдарды молекулада ұстап тұратын кулондық тартылыс бар. Ион зарядының таңбасы, яғни натрий ионы оң, ал хлор ионы теріс болуы неге байланысты болады? Тәжірибелер бойынша, ион зарядының таңбасы екі факторге: иондау потенциалына, яғни сыртқы электронды алыстатуға кетіретін энергияға, электронға ынтықтылық энергиясына, яғни бейтарап атомның қосымша электронды сыртқы қабатта ұстап тұратын қабілеттілігіне байланысты. Периодтық жүйенің бірінші және екінші тобының атомдары  өзінің валенттік электронын басқа атомға оңай түрде береді, себебі олар үшін иондау потенциалы минималды болады. Бұл жағдайда, ол атомдар оң иондарға айналады. Периодтық жүйенің алтыншы, жетінші тобының атомдары  электронға ынтықтылық энергиясының ең үлкен мәніне ие болады. Мысалы, хлор атомының электронға ынтықтылық энергиясы , ал натрий үшін жуық мөлшерде нөлге тең. Осы айтқандарға байланысты, хлор атомы қосымша электронды өзіне қосып алып, теріс ионға айналады. Енді   молекуласының пайда болуын сұлбалар  бойынша  түсіндірейік 

  
●
●
●
●
●
●
●
●
●
 + +
●
●
+
  
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
 + +
+
●
●




            						       


16  -  сурет


  
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
  
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
(5,1 эв)
(3,72 эв)
(5,6 эв)


 + +
 + +
+
+








17- сурет

16-суретте бір-біріне тәуелсіз және бейтарап және  атомдары көрсетілген. 17-суретте  молекуласының   және  иондарынан пайда болуының қарапайым сұлбасы берілген. Жақшалардың ішінде - натрийдің иондану,  - ынтықтылық және  - иондарды байланыстыратын кулондық энергиялары көрсетілген. Бор теориясына сүйене отырып, 1916 жылы неміс физигі В. Коссель иондық байланыстың теориясын ұсынған. 
	Енді гомеополярлық молекулаларды қарастырайық. Олар бейтарап атомдардан құрылады. Ең қарапайым гомеополярлық молекула-сутегі молекуласы . Сутегі молекуласының жуық кванттық теориясын 1927 жылы неміс физиктері В. Гайтлер мен Ф. Лондон ұсынған, ол теория кванттық химияның негізін қалады. Гайтлер мен Лондон теориясына қысқаша шолу жасайық. Сутегі молекуласындағы электрондар мен ядролардың орналасуын мына түрде көрсетейік: 
1
2


            	    ●
 			      ●
в
a
	

18 - сурет
Сутегі молекуласы тыныштық күйде бір-бірінен  қашықтықта орналасқан  және  ядролардан,  қашықтықта орналасқан 1 және 2 электрондардан құрылады. Мынадай белгілеулер енгізейік: - бірінші электронның  ядроларға  қатысты  радиус - векторы, - екінші электронның  ядроларға қатысты радиус-векторы. Қарастырып отырған жүйенің гамильтонианы 
.                       (36.1)
Мұндағы бірінші, екінші мүшелер  -  электрондардың кинетикалық энергиясының операторлары, үшінші мүше  -  ядролардың өзара әрекет энергиясы, төртіншісі  -  екі электронның өзара әрекет энергиясы, бесіншісі  -  бірінші  электрон  мен    ядроның  потенциалдық  энергиясы  және  т.т. 
	Сутегі молекуласының екі атомы өзара әрекеттеспейді, сондықтан нөлдік жуықтамадағы толқындық функцияларды симметрияланған функциялардың  суперпозициясы  ретінде  қарастырамыз 
		 . 				        (36.2)
Біздің қарастырып отырған мәселеміз, көп денеге арналған мәселеге жатады, сондықтан жуық әдістерді пайдалануға мәжбүр болып отырмыз. (36.2) өрнектегі  функциялар  ядролардың айналасында қозғалатын бірінші электронға арналған сутегі атомының толқындық функциялары,  - екінші электронның сол сияқты толқындық функциялары. Егер толық спин  (синглеттік күй) болса, онда (36.2) функция симметриялық  болады; ал толық спин  (триплеттік күй) болса, онда (36.2) функция  антисимметриялық  болады.  Коэффициент   нормалау  шартынан (32.5) табылады 

		 .                (36.3)
Сонымен, (36.2) толқындық  функцияны  біржолата  былай  жазамыз 

		 .					        (36.4)

Біз Гайтлер  -  Лондонның сапалық теориясын қарастырып отырмыз, сондықтан ауытқу әдісін қолдана отырып 

		  ,						        (36.5)
бірінші жуықтамадағы жүйенің энергиясын табамыз 
		

 .               (36.6)
(36.6) өрнекті талқылайық. Мұндағы - - екі бейтарап сутегі атомының жиынтық   энергиясы,    оны   нөлдік   энергия   деп   қарастыруға   болады 
(- Ридберг тұрақтысы),  - ядролардың потенциалдық энергиясы, бірінші екі еселі интеграл -  және - екі электрондық бұлттың кулондық өзара әрекетінің және электрондық бұлттар мен ядролардың өзара әрекетінің энергиялары. Екінші екі еселі интеграл - алмасулық интеграл. Кулондық энергияны да, алмасулық энергияны да есептеуге болады. Ол үшін, (36.6) өрнектегі интегралдарға сутегі атомының қалыпты күйін сипаттайтын  толқындық  функциясын  ауыстырып  қоямыз 
		 ,           ,                       (36.7)
мұндағы - ядродан электронның ара қашықтығы, - бірінші Бор радиусы. (36.6) өрнектегі функцияларын табу үшін  қашықтықтың  орнына  қашықтықтарды  ауыстырып  қою  керек. 





	Бірінші жуықтамадағы энергияның ядролардың өзара қашықтығына  тәуелділік  графигін  көрсетейік,  энергияның  нөлдік  санағы  ретінде - шаманы  аламыз. 












 19  -  сурет

Триплеттік күйде   энергия  -  бірсарынды кемиді, яғни антисимметриялық күйде екі сутегі атом бірін - бірі тебеді, сондықтан сутегі молекуласы түзілмейді. Синглеттік күйде   энергия   қашықтықта  минимум  шамасына  тең  болады, бұл  жағдайда  сутегі  атомдары    қашықтықта  орналаса алады, яғни сутегі молекуласы пайда болады. Сонымен, антисимметриялық күйде қарама - қарсы спиндері бар электрондардан тұратын екі сутегі атомы бір-біріне тартылып, сутегі молекуласы құрылады. Параллель спиндері бар электрондардан тұратын екі сутегі атомы  молекуласын құра алмайды. Атомдардың бір-біріне тартылуы немесе бірін-бірі тебуі алмасулық энергия таңбасына тәуелді. Күйлердің алмасулық құбылысы таза кванттық құбылыс, сондықтан ол тек кванттық теория тұрғысынан түсіндіріледі. Иондық байланысты кванттық теорияның да, Бор теориясының да көмегімен түсіндіруге  болады.


3. Практикалық сабақтар 
Машықтану сабақтарын жүргізудің мақсаты теориялық материалды меңгеру және есептерді шығаруда белгілі бір дағдылар мен іскерліктерді игеру болып табылады.  
	Есептерді шығару кезінде анықталған жалғасымдылық ұсынылады. 
Қажет:
- тақырып бойынша теориялық материалды меңгеру; 
- есепті шығаруды бастағанда, оның мағынасын түсіну. Сөз болып отырған физикалық құбылысты ғана емес, есепті шығару барысында жасауға қажетті қысқарулар мен ескермеуге қажетті шарттарды да еске түсіру керек;
- егер есептің сипаты қажет етсе, есептің мазмұныны түсіндіретін және оны шығаруға мүмкіндік беретін суреттерді салу. Сурет түсінікті болуы керек (мысалға модулі бойынша бірдей күштерді бірдей ұзындықтағы векторлармен-түзулермен және т.б. салу керек); 
- есептің шарты қысқаша жазылады, оған енетін барлық шамаларды бір ХБЖ жазу керек; 
- шартына қажетті жетіспеген мәліметтерді кестелерден алу қажет; 
- есептің шешуін түсіндірме жазбамен көрсету керек; 
- есепті жалпы түрде шешіп, жауапты формуланың жекелеген мүшелерінің өлшемдерінің теңдігі бойынша тексеру керек; 
-сандық есептеулерді орындау керек; 
- сандық жауапты алып, шындыққа жақындығын бағалау керек. 
Тақырып: Кванттық механикадағы операторлар. 
Сабақтың мақсаты: операторлардың сызықтық және эрмиттік қасиеттерін, операторларды көбейту ережелерін, коммутаторларды есептеуді қарастыру.
Есеп шығару мысалдары
1 есеп.   - операторларды квадраттау керек.
Шешуі

Операторларды көбейту ережесін пайдалана отырып, оператормен  кез  келген  функцияға  екі  рет  әрекет  жасаймыз

		

		. 
Осыдан  кейін  теңдеудің  екі  жағындағы  -ді  алып  тастаймыз
		 .
2 есеп.  және  операторлардың коммутаторын табу керек. 
Шешуі
 - оператормен  кез келген функцияға әрекет жасайық: 

		,


Осыдан  .
3 есеп. Кез келген  оператор мен оның түйіндес операторының қосындысы  өзіне  түйіндес  оператор  болатынын  көрсету  керек. 
Шешуі 
 сызықтық операторға түйіндес  оператор мына шарттан анықталады: 

		.

 қосынды эрмиттік оператор болады, себебі:

		

			 .
4 есеп. Төменде  көрсетілген  операторлардың  эрмитті  -  түйіндес  операторларын  табу  керек: 
1)  ,                  
  2)   ,
  3)   ,                 
Шешуі 
Кез келген  оператордың эрмитті-түйіндес операторын анықтама бойынша былай табамыз: 


		.


Мұндағы  және   нөлге ұмтылады. 
* .

Бұл интегралды есептегенде бөліктеп интегралдау әдісін пайдаландық: 

		.

Сонымен  ,

яғни  - операторы эрмиттік оператор болмайды. 

* Бірінші жағдайда есептеу сияқты: 

		,
яғни:
		,

Оператор - эрмиттік оператор. 


* Сфералық координаталар жүйесінде  ( - денелік бұрыш), сондықтан: 

		

		.

Сонымен:

		 ,


яғни - оператор эрмиттік емес оператор. 
Өзбеттерімен шығаруға арналған есептер
 1. Егер  және  операторлар сызықтық болса, онда  және  операторлар да сызықтық болатынын көрсету керек.
2. - операторды квадраттау керек.
3.  және  операторлардың коммутаторын табу керек.
Тақырып: Физикалық шамалардың операторлары
Сабақтың мақсаты: Координата, импульс, кинетикалық энергия және Гамильтон операторларын есептеуге сызықтық операторлар теориясын қолдануға машықтануға үйрету.
Есептерді шығару мысалдары
1 есеп. 3.6  -  есептегі функцияға арнап  шамаларды есептеу  керек  және  анықталмағандықтар  қатысын  тексеру  керек. 
Шешуі
3.6-есепте , сондықтан .
Осыған сәйкес: 
	 .
Нормалау шарты бойынша , яғни  .
Анықтама бойынша: , сондықтан: 
		 .
Оны есептеу үшін 3.4-есептегі  өрнегін пайдаланамыз: 
		 .
* шаманы нормалау шартынан табамыз: 

		 .
Осыдан   . Енді  шаманы табайық: 

	
	 .
2 есеп. Классикалық динамиканың  негізгі  теңдеуі 
  ,
физикалық шамалардың орта мәндері үшін кванттық механикада да орын алатынын  көрсету керек (күш) . 
Шешуі 
Анықтама бойынша орта мәннің уақыт бойынша алынған туындысы: 
		 ,
мұнда: 
		 .
Бөлшектің импульс операторы уақытқа тәуелсіз, сондықтан оның 
		
гамильтонианмен коммутаторы мынаған тең болады: 
		 .
Есептің шарты бойынша  , сондықтан 
		.
ал орта мәндер үшін 
		,
немесе:
		 .
Өзбеттерімен шығаруға арналған есептер
1. Толқындар түйдегінің уақыт бойынша қозғалысын қарастыру керек, егер  ол   мезетте 

функциясымен  берілсе. 
	 - ықтималдық тығыздығын және  - ықтималдық ағыны тығыздығының  векторын  анықтау  керек. 
2.  және  операторларын  құру керек.
Тақырып: Шредингер теңдеуі
Сабақтың мақсаты: Шредингердің стационарлық және уақытқа тәуелді теңдеулерін шешу
Есептерді шығару мысалдары
1 есеп. Еркін бөлшекке арналған Шредингер теңдеуінің жалпы шешімін табу керек (бірөлшемді  кеңістік  үшін).
Шешуі 
Массасы  еркін бөлшектің гамильтонианы (бірөлшемді кеңістік үшін):
		 .
Сондықтан: 
		
Шредингер теңдеуінің шешімін 

		

түрде іздестіреміз. 
		 . 
Осы теңдеуден  бөлектеу тұрақтысын енгізе отырып, екі теңдеу аламыз: 
		,

		 . 

Бірінші теңдеуді интегралдау нәтижесінде: 

		,

ал екінші теңдеудің шешімі  түрінде болады. Мұндағы: 
		 ,                 ,
- толқындық сан. 
	Шредингердің толық теңдеуі сызықтық түрде болғандықтан, оның жалпы шешімі де Бройль толқындарының суперпозициясы түрінде беріледі: 
		.
2 есеп. Еркін бөлшекке арналған Шредингердің стационарлық теңдеуінің  шешімін  табу  керек (үшөлшемді  кеңістік үшін).
Шешуі 
3.1.  -  есептегі Шредингердің стационарлық теңдеуі үшөлшемді кеңістік үшін былай жазылады: 
		,
мұндағы  3.1- есепте анықталған. Бұл теңдеудің шешімін айнымалыларды бөлектеу әдісінің көмегімен табамыз 
		 .
Осы өрнекті Шредингер теңдеуіне ауыстыра отырып және табылған қатысты мынаған 
		
көбейтсек, келесі теңдеуді аламыз: 
		
мұндағы  штрихтар   функциядан  алынған  туындыларды  көрсетеді. 
	Егер  болса, онда үш теңдеу аламыз:
		,		,

			.
Бұл теңдеулердің шешімдері: 
		 ,            ,         .
Іздестіріліп отырған шешім: 
		 .
Өзбеттерімен шығаруға арналған есептер
1. Электрон тұрақты және біртекті магнит өрісінде қозғалады. Эренфест  теоремасын  магнит  өрісіндегі  қозғалысқа  арнап  жазу  керек. 
2.  Гамильтониан мына түрде берілсін 
  .
Қозғалыс теңдеулерін табу керек. 
Тақырып: Спин теориясы
Сабақтың мақсаты: спин операторының өзіндік функцияларын және өзіндік мәндерін табу.
Есептерді шығару мысалдары
1 есеп. Спин абсолют қатты зарядталған шариктің өз өсінен айналуына байланысты емес екенін, яғни спин  -  таза кванттық құбылыс екенін көрсету керек. 
Шешуі 
Кванттық механика бойынша электронның өзіндік импульс моменті 
	 ;
Классикалық механика бойынша . Егер 
	 ;          
болса, онда электронның сызықтық жылдамдығы 
	 ,
мұндағы  электронның классикалық радиусы, -жарық жылдамдығы. Осыдан электронның сызықтық жылдамдығы жарық жылдамдығынан үлкен болады деген ұғым шығады, бірақ ол дұрыс емес, яғни спин  -  классикалық баламасы жоқ, кванттық құбылыс. 
2 есеп. Паули матрицаларын пайдалана отырып, электрон спинінің проекциялары операторларының өзіндік функцияларын және өзіндік мәндерін табу керек. 
Шешуі 
Спин проекциялары операторларының  меншікті функцияларын және  өзіндік мәндерін мына теңдеулерден табамыз 
		 ;								   (1)
		 ;                                                                                   (2)
		 .							             (3)
(1) теңдеуге іздестірілетін функцияны 
		
апарып қойып, мынадай матрицалық теңдеу аламыз 
		
Осыдан ,  немесе  . Бұл қатыстан табатынымыз . яғни .  үшін  табамыз, сондықтан 
		 .

Тұрақты - ны нормалау шартынан табамыз: 

		 .

яғни  . Осыған сәйкес 
		 .
Егер  , онда 
		 . 

(2) және (3) теңдеулер үшін 
 ,    ,     ;        ; 

 ,     ,          ;         .
Мұндағы  электрон спині  өсімен бағыттас күйге сәйкес келсе,  өсіне қарама-қарсы күйге сәйкес келеді. 
3 есеп. Электрон спині проекциясының квадратын кез келген бағытқа арнап есептеу керек. 
Шешуі 
Бөлшектің спин операторын  арқылы жазайық 
			 ,
мұнда - Паули матрицалары, олар ,  , ... шарттарды қанағаттандырады. -тің кез келген  бағытқа проекциясын құрайық және оны  матрицаларының қасиеттерін пайдалана отырып, квадраттайық 

.
Өзбеттерімен шығаруға арналған есептер
1. Паули матрицаларын 
			
қатыстарды қанағаттандыратын  векторлық оператордың компоненттері ретінде қарастыруға болатынын көрсету керек. Табу керек:   .
2. Мына теңдікті: 
			
дәлелдеу керек, мұндағы - құраушылары - Паули матрицалары. 

* СТУДЕНТТЕРДІҢ ӨЗДІК ЖҰМЫСТАРЫ 

СОӨЖ дайындалу барысында пән бойынша оқу әдебиетін пайдаланып, мәселені алдын-ала меңгеру ұсынылады. Теориялық материалды меңгеру барысында күдік келтіретін немесе толық түсінбеген сұрақтарды көрсете отырып, оқығандары бойынша қысқаша конспект құру керек. 
1-тақырып:Кванттық ұғымдарға ауысудың қажеттілігі. Бөлшектік-толқындық екіжақтылық.
Классикалық ұғымдардан кванттық ұғымдарға көшу қажеттілігіне көңіл аудару керек. XIX ғасырдың аяқ жағындағы және XX ғасырдың басындағы тәжірибелерді келтіру керек, себебі олар кванттық механиканың пайда болуына әсер етті. Корпускулалық-толқындық дуализмнің негізі болатын де Бройль гипотезасын қарастыру керек.
2-тақырып:Физикалық шамалардың операторлары. Операторлардың сызықтылығы және эрмиттілігі.
Кванттық механиканың негізін қалайтын сызықтық операторлар теориясына көңіл аудару керек. өзіне түйіндес операторлар шартын алу керек, сызықтық эрмиттік операторларға мысалдар келтіру керек.
3-тақырып: Операторлардың өзіндік функцияларының қасиеттері.
Операторлардың өзіндік функцияларының қасиеттері математикалық физика әдістерінен шығатынын көрсету керек.
4-тақырып: Шредингер теңдеуі.
Ұқсастық әдісін пайдалана отырып және классикалық физикамен салыстыра отырып, Шредингер теңдеуінің кванттық механиканың негізгі теңдеуі екенін көрсету керек. Бордың сәйкестік принципін келтіру керек. Шредингер теңдеуінің түрлерін көрсету керек.
5-тақырып:Бақыланатын шамалардың орташа мәндерінің уақыт бойынша өзгерісі.
Бақыланатын шамалардың орташа мәндерінің уақыт бойынша өзгерісі кванттық механикадағы сақталу заңдарына әкелетінін көрсету керек. Қозғалыс интегралдарына бірнеше мысалдар келтіру керек. Олардың кеңістік және уақыт симметриясының қасиеттерімен байланысын көрсету керек.
6-тақырып: Бірөлшемді тікбұрышты потенциалдық шұңқырдағы бөлшек.
Бірөлшемді қозғалысты, яғни потенциалдық шұңқырдағы бөлшектің қозғалысын қарастыру керек. Сызықтық гармониялық осцилляторды қарастырғанда, классикалық және кванттық нәтижелерді салыстыру керек.
7-тақырып: Орталық симметриялық өрістегі қозғалыстың жалпы қасиеттері.
Кванттық механикадағы 2 дене проблемасын қарастыру керек және оны классикалық механикадағы Кеплер проблемасымен салыстыру керек. Еркін бөлшектің қозғалысын және кулондық өрістегі бөлшекті қарастырғанда, айнымалыларды бөлу әдісін пайдалану керек.
8-тақырып:Көріністер теориясының элементтері. Кванттық механиканың жуықтау әдістері.
Көріністің 3 түрін және кванттық механикадағы кейбір жуықтау әдістерін қарастыру керек. Классикалық механикаға шекті көшкенде Бордың сәйкестік принципі орындалатынын көрсету керек.
9-тақырып: Спинді бөлшектің толқындық функциясы
Спиннің таза кванттық құбылыс екенін көрсету керек. Әрбір бөлшектің өз спині болатынын айту керек. Спинді ескеретін Шредингер теңдеуін жазу керек. Тепе-тең бөлшектер жүйесіндегі алмасу әрекеттестігі механизмін көрсету керек.
СӨЖ тапсырмаларын орындауға кірісерде қажет: 
-  тақырып бойынша теориялық материалды меңгеру; 
- есеп шығара бастағанда оның мәнін түсіну. Сөз болып отырған физикалық құбылысты тек елестетіп қана қоймай, сондай-ақ есеп шығара отырып жасалуы қажет қысқартуларды, ұйғарымдарды еске түсіру керек;   
- егер есептің сипаты мүмкіндік берсе есептің мазмұныны және мағынасын, есепті шығаруға көмектесетін суреттерді салу ұсынылады; 
- есептің шшартына енетін барлық шамаларды қамти отырып, есептің шартын қысқаша жазу, ХБЖ жүйесінде өрнектеу; 
- есептің шартында жетіспейтін мәліметтерді кестелерден жазу; 
- есептің шешімін түсіндірме жазбамен келтіру; 
- жалпы түрде есепті шығарып, формуланың жекелеген мүшелерінің өлшемдерінің теңдігі бойынша жауапты тексеру; 
- сандық есептеулерді орындау; 
- сандық жауапты алып, оның шындыққа жанасатынын бағалау. 
СӨЖ тапсырмаларын орындау бойынша графикке сәйкес келесі тапсырмаларды шығарып, тексеруге тапсыру керек: 
- Кванттық механикадағы динамикалық айнымалылар: № 4.1.3 (Галицкий В.М., Карнаков Б.М. Задачи по квантовой механике Ч 1,2. 2001 г.), № 6.2.5, 6.2.6, 6.2.7, 6.2.8, 6.2.10 (Маусымбаев С.С. Кванттық механика. А., <<Халықаралық жазылым агенттігі>>, 2007), №7.12, 7.13, 7.14 (Гречко Л.И., Сугаков  В.И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа, 1983)
- Кванттық механикадағы динамикалық теңдеулер: № 4.2.2 (Галицкий В.М., Карнаков Б.М. Задачи по квантовой механике Ч 1,2. 2001 г.), № 6.3.5, 6.3.9, 6.3.10 (Маусымбаев С.С. Кванттық механика. А., <<Халықаралық жазылым агенттігі>>, 2007),  № 7.46, 7.47 (Гречко Л.И., Сугаков  В.И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа,  1983)
- Физикалық шамалардың сақталу заңдары: № 6.3.11, 6.3.12 (Маусымбаев С.С. Кванттық механика. А., <<Халықаралық жазылым агенттігі>>, 2007), № 7.91, 7.92, 7.93 (Гречко Л.И., Сугаков  В.И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа,  1983)
- Кванттық механиканың кейбір салдары: № 4.2.4 (Галицкий В.М., Карнаков Б.М. Задачи по квантовой механике Ч 1,2. 2001 г.), № 6.4.4, 6.4.6, 6.4.8 (Маусымбаев С.С. Кванттық механика. А., <<Халықаралық жазылым агенттігі>>, 2007), № 7.51, 7.52 (Гречко Л.И., Сугаков  В.И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа,  1983)
- Жуықтау әдістері: № 4.8.3 (Галицкий В.М., Карнаков Б.М. Задачи по квантовой механике Ч 1,2. 2001 г.), № 6.7.2, 6.7.3 (Маусымбаев С.С. Кванттық механика. А., <<Халықаралық жазылым агенттігі>>, 2007), № 7.110 (Гречко Л.И., Сугаков  В.И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа,  1983)
- Бөлшектің спинін ескеру: № 4.5.2 (Галицкий В.М., Карнаков Б.М. Задачи по квантовой механике Ч 1,2. 2001 г.), № 6.8.7, 6.8.9 (Маусымбаев С.С. Кванттық механика. А., <<Халықаралық жазылым агенттігі>>, 2007), № 7.102, 7.103 (Гречко Л.И., Сугаков  В.И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа,  1983)
- Көпбөлшекті жүйе. Күйлер арасындағы ауысулар: № 4.11.19 (Галицкий В.М., Карнаков Б.М. Задачи по квантовой механике Ч 1,2. 2001 г.), № 6.10.5 (Маусымбаев С.С. Кванттық механика. А.,<<Халықаралық жазылым агенттігі>>, 2007), № 7.75 (Гречко Л.И., Сугаков  В.И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа,  1983)
- Сәулелену теориясы:  № 4.14.3 (Галицкий В.М., Карнаков Б.М. Задачи по квантовой механике Ч 1,2. 2001 г.), № 6.11.3, 6.11.6 (Маусымбаев С.С. Кванттық механика. А.,<<Халықаралық жазылым агенттігі>>, 2007) 
- Бөлшектердің серпімді шашырауы:  № 4.13 (Галицкий В.М., Карнаков Б.М. Задачи по квантовой механике Ч 1,2. 2001 г.), № 6, 6.11.20 (Маусымбаев С.С. Кванттық механика. А.,<<Халықаралық жазылым агенттігі>>, 2007), № 7.125 (Гречко Л.И., Сугаков  В.И. и др. Сборник задач по теоретической физике. М. Высшая школа,  1983).
БАҚЫЛАУ-ӨЛШЕУ ҚҰРАЛДАРЫ 
Кванттық механика бойынша тестік тапсырмалар 
 1. Планк гипотезасы бойынша микрообьектiлер мына мәндерге ие болады және мына қатыспен анықталады:     
   
A)       B) Е=mc2 ;  C) Е=cp;   D) E=n     E) E=
2. Эйнштейн бойынша электрмагниттiк өрiстi энергиясы мынаған тең фотондар жиынтығы  ретiнде қарастыруға болады:                         
A) E=mc2;  B) E=;       C) Е=cp          D) E=        E) Е=

3. Атомдар теориясының негiзiн Бор мынадай 2 постулатты енгiздi:
A) стационар және орнықты күйде постулаттары
B) стационар күйлер және жиiлiктер постулаттары
C) стационар емес және жиiлiктер постулаттары
D) стационар және орнықты емес постулаттары
E) стационар емес және орнықты емес постулаттары

4. Микробөлшектердiң толқындық қасиеттерi мына де Бройль формуласымен анықталады:
A)            B) E=      C) Е=mc2          D)          E) Е=ср

5. Толқындық функция мына теңдеудiң шешуi болып табылады:
A) Ньютонның                        
B) Гамильтон -Якобидiң 
C) Шредингердiң
D) Максвелдiң
E) Лагранждың

6. Квантмеханикалың суперпозиция принципi мына түрде анықталады:
A)                   B)                   C)    
D)                 E) 

7. Гамильтон операторының ( потенциалдық өрiстi  есепке алғанда ) өзіндік мәнi:
A) Толық энергия    B) Потенциалдық  энергия      C) Кинетикалық  энергия
D) Импульс моментi      E) Импульс

8. Электронның  спинi дегенiмiз:
А) бөлшектің орбиталдық  механикалық моментi 
  В) бөлшектiң орбиталдық магниттiк моментi
  C) бөлшектiң өз өсiнен айналуы
  D) бөлшектiң меншiктi механикалық моментi 
  E) бөлшектiң ядроны айналуы
9. Шредингердiң толық теңдеуi былай анықталады: 
A)       B) = -            C) =                                                                                 
D) -=E                         E) =
10. Атомдар теориясының негiзiн Бор мынадай 2 постулатты енгiздi:
A) стационар және орнықты емес постулаттары 
B) стационар күйлер және жиiлiктер постулаттары
C) стационар емес және жиiлiктер постулаттары
D) стационар және орнықты күйде постулаттары
E) стационар емес және орнықты емес постулаттары

11. Шредингердiң стационарлық теңдеуi былай жазылады:
A) =0          B) -+U=        
C) =  -           D) = -       E) =0  

12. Гейзенбергтiң анықталмағандық қатысы мына түрде жазылады: 
A) ;     B) ;    C) E=     D) p=       E) 

13. Кванттық теория бойынша гармониялық осциллятордың энергиясы мына өрнекпен сипатталады:
A) En=n      B) En=;    C) En=;     D) E=;       E) E=mc2
14. Гармониялық осциллятордың энергетикалық спектрi:
  A) үзiлiссiз болады            B)  дискреттi болады       C) жолақ болады
  D) дискреттi емес               E) эквидистантты емес

15. Гармониялық осцилятордың толқындық функциясы мына полиномдар арқылы берiледi:
  A)Лагерр      B) Эрмита-Чебышев   C)Лежандр   D)Бернулли    E)Якоби

16. Импульс моментi проекциясы операторының  өзіндік мәндерi мен өзіндік функциялары мына түрде болады:
A) LZ=m  и ;   B) LZ=m и Фm=Cmeim    C) L=  и      D) L=  и Фm=Cmeim        E) LZ=m  и Фm=Cmeim 

17. Сутек атомының энергиясы мына кванттық санға  байланысты:
  A) орбиталдық кванттық санға     B)спиндiк кванттық санға
  C) бас кванттық санға                   D)магниттiк кванттық санға  
  E) радиалды кванттық санға

18. Атомдық жүйенiң индукциялық сәулеленуi
A) сыртқы электромагниттiк өрiстiң әрекетiнен болады
* ядроның кулондық өрiсiнiң әрекетiнен болады
* сыртқы электромагниттiк өрiс болмаған жағдайда болады
* электронның үдей қозғалысының әсерiнен болады
* кулондық емес өрiс әсерiнен болады

19. Бозонға мына бөлшек жатады:
A) протон;   B) фотон;  C) электрон;   D) нейтрон;   E) позитрон

20. Сутек атомының энергиясы мына кванттық санға  байланысты:
A) бас кванттық санға                           B) спиндiк кванттық санға
C) орбиталдық кванттық санға    D) магниттiк кванттық санға
E) радиалды кванттқы санға

21. Оператор дегенiмiз бiр толқындық функцияны екiншi бiр толқындық функцияға келесi түрде айналдыратын әрекет:
A)          B)       C)      D)        E)

22. Гамильтон операторы (потенциалдық өрiстi есепке алғанда) дегенiмiз мына шама:
A)       B)                C)                                           
D)                     E) 

23.  операторының комутаторы мына түрде анықталады: 
A) i             B) -i              C) 0                D)                   E) i

24. F  операторының орта мәнi мына түрде анықталады:
A) =              B) =           C) =                                                                                   
D) =                 E)  =

25. Физикалық шамалардың орта мәндерiнің уақыт бойынша өзгеруi мына өрнекпен сипатталады:
A)            B) =  - +U
C)                                          D)              
E) 
26. Шредингер көрсетуiнде микрожүйенiң уақыт бойынша эволюциясы мынаған байланысты:
А) эрмиттiк операторлардың уақыт бойынша өзгерiсiне
B) эрмиттiк  операторлардың және толқындық функциялардың уақыт бойынша өзгерiсiне
C) толқындық функциялардың уақыт бойыншаөзгерiсiне            
D)бақыланатын шамалардың уақыт бойынша өзгерiсiне
E)қозғалыс интегралының уақыт бойынша өзгерiсiне

27. Тiк бұрышты потенциалдық  тосқауылдың мөлдiрлiк коэффициентi мына формуламен берiледi:                ,   k2=           .  Бөлшектер  тосқауылдан өтедi,егер:
A) E=U0                       B)               C) EU0            E) U0=0

28. Қалыпты күйде сутек атомындағы электрон келесi түрде көрсетiледi:
* зарядталған шарик түрiнде
* сфералық зарядталған түрiнде     
* конус тәрiздi зарядталған бұлтша түрiнде
* гиперболоид тәрiздi зарядталған бұлтша түрiнде
* эллипсод тәрiздi зарядталған бұлтша  түрiнде

29.1-ші дәлдiкте ауытқу теориясы бойынша анықталған энергия (тоғысу жоқ кезiнде) былай анықталады:               
A) ауытқу операторының диагоналдық емес матрицалық элементтерiмен                                                               B) ауытқу операторының диагоналдық матрицалық элементтерiмен                                                         C) ауытқу операторының  i-шi жазық жолындағы матрицалық элементтерiмен                                        
D) ауытқу операторының  j-шi тiк жолындағы матрицалық элементтерiмен
E) ауытқу операторынын ортогоналдық матрицалық элементтерiмен

30. Шредингер көрсетуiнде микрожүйенiң уақыт бойынша эволюциясы мынаған байланысты:
А) толқындық функциялардың уақыт бойынша өзгерiсiне 
B) эрмиттiк  операторлардың және толқындық функциялардың уақыт бойынша өзгерiсiне
C) эрмиттiк операторлардың уақыт бойынша өзгерiсiне
D)бақыланатын шамалардың уақыт бойынша өзгерiсiне
E)қозғалыс интегралының уақыт бойынша өзгерiсiне

31. Келесi сұрыптау ережелерi орындалғанда гармониялық осциллятор жарық шығарады:
A) n= 0       B) n=1      C) n=2          D) n=3        E) n= 0,1

32. Тепе-тең бөлшектердi айыра алмау принципi бойынша:
  A)бiр мезгiлде электронның координатын және импульсiн анықтауға болмайды      
   B)егер жүйе 1 -мен сипатталатын күйде және 2, -мен сипатталатын күйде орналасса, онда ол 
    күйдеде орналаса алады
   C) егер толқындық функцияның  t=0  уақыттағы мәнi белгiлi болса,онда оның  t  = 0 уақыттағы мәнiнде анықтауға болады
  D) бiрдей бөлшектердi орын ауыстырғанмен жүйенiң физикалық күйi өзгермейдi                                               
  E)бiрдей бөлшектердi орын  ауыстырғанда жүйенiң күйi өзгередi 

33. Фермионға мына бөлшек жатады: 
  A) симметриялық функциямен сипатталатын бөлшек
  B) антисимметриялық функциямен сипатталатын бөлшек
  C) - бөлшек
  D) тұтас спинге ие болатын бөлшек                                    
  E) фотон                                                                                       

34. F операторының өзіне түйiндестiк шарты келесi түрде анықталады:
A) =           B) =                                     
C) =       D) =
E) =

35. Электрондық бұлтшаны ( қабықшаны) барлық электрондық күйлердiң жиынтығы құрайды,егер олар келесi берiлген кванттық сандармен сипатталса:
A) n және        B) n және ms           C)  және ms        D) e және ms       E) n және k

36. Энергетикалық деңгейлердi толтырудың реалдық схемасы мына түрде болады:
  A) аргона элементiне (z=18 ) дейін, идеалдық схемамен бiрдей болады
  B)  калий элементiне ( z= 19) дейiн, идеалдық схемамен брдей болады  
  C) уран элементiне ( z = 92 ) дейiн, идеалдық схемамен бірдей  болады
  D) кальция элементiне ( z =20) дейiн, идеалдық схемамен  бiрдей болады 
  E)темiр элементiне ( z =26 ) дейін, идеалдық схемамен бiрдей болады

37. Клейна-Гордонның  толық теңдеуi мына түрде жазылады:                            
A) - +U                       B) =0                                   
C)             D) = -                                                     
E) 

38. Дирака теңдеуiнiң  коварианттық формасы былай жазылады:                   
A) -+U=                 B)                                 
C)                    D)                                                                           
E) 

39. Гетерополярлық молекулалар мына түрде түзiледi:
  A) 2 ядро мен  2 электроннан
  B) оң және теріс иондардан
  C) бейтарап  атомдардан     
  D) аттас зарядталған иондардан
  E) бiр ядродан және екi электроннан

40. Гомеполярлық молекулалар мына түрде түзiледi:
  A) аттас зарядталған иондардан
  B) он және терiс иондардан
  C) 2 ядро мен 2 электроннан
  D) бейтарап атомдардан    
  E) бiр ядродан және  электроннан















12. Өзгертулер енгізу парағы

Өзгертудің реттік саны
Құжат тарауы пункті
Өзгерту түрі (ауыстыру, жою, қосу)
Өзгерту реті және күні
Өзгерту енгізу




күні
Аты-жөні қолы, лауазымы












































13. Қызметкерлерді таныстыру

№ р/с
Лауазымы
Аты-жөні
Күні
Қолы
Өзг.№_
Күні
Қолы
Өзг.№_
Күні
Қолы

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс