УМКД

Қисықтың жанамасы

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
ШӘКӘРІМ атындағы СЕМЕЙ МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ
3 деңгейлі СМЖ құжаты
ПОӘК

ПОӘК 042-14.01.20.168/02-2013
ПОӘК
Студенттерге арналған пәндердің оқу жұмыс бағдарламасы <<Математикалық логика және дискретті математика>>
02.09.13 ж. №1 басылым

<<ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ГЕОМЕТРИЯ ЖӘНЕ ТОПОЛОГИЯ>>
пәні бойынша оқу-әдістемелік кешені

050109 - Математикаа
мамандығы үшін

Семей
2013

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
2 - ші беті 48 беттің

Құрастырған доцент Нақышбекова Ғ. М.

Кафедра мәжілісінде мақұлданды
<< 31 >> 08 2013ж. Хаттама № 1

Кафедра меңгерушесі доцент Жолымбаев О.М.

Факультеттің оқу -әдістемелік кеңесінде мақұлданды

<< >> 2013 ж. Хаттама №

Оқу әдістемелік кенесінің төрайымы проф. Токабаева Г.К.

Факультеттің ғылыми кеңесінде мақұлданды

<< >> 2013ж. Хаттама №

Факультет деканы проф. Берікханова Г. Е.

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
3 - ші беті 48 беттің

* ПӘННІҢ ОҚУ БАҒДАРЛАМАСЫ - SYLLABUS

+ Оқытушылар туралы мәлімет:
Нақышбекова Ғафиза Молдабекқызы - доцент
Оқытушымен байланыс: СМПИ, корпус 3, аудитория 226
Тел. 64-62-09

+ Пән туралы мәліметтер:

<<Дифференциальдық геометрия және топология>>

Кредит саны - 2
Жүргізілетін орны № 3 корпус
Оқу жоспарынан көшірме:

Курс
Се-местр
Кре-диттер
Лек-ция
Маш.
Саб.
СОӨЖ
СӨЖ
Барлығы
Бақылау түрі
3
6
2
30
15
15
15
75
Емтихан

+ Курстық пререквизиттері (пәнге қажет білім); Бұл пәнді толық меңгеру үшін, аналитикалық геометрияның негізгі бөлімдерін, математикалық талдаудағы бір және көп айнымалы функциялардың дифференциальдық есептеулерін және интеграл теориясын білу қажет.
+ Курстың постреквизиттері. Бұл курстың материалы математикалық анализде, дифференциялдық теңдеулерде және математикалық физиканың теңдеулерінде қолданылады.
+ Курстың қысқаша сипаттамасы; Бұл курс <<математика>> мамандығының студенттеріне арналған.
Курстың мақсаты: Дифференциалдық геометрия курсының негізгі теориялық бөлімдерін оқып үйрену.
Геометрия оқыту келесі бағыттарды
* логикалық және алгоритмдік ойлауды дамытуды;
* геометриялық есептерді шешу мен зерттеу әдістерін игеруді;
* математикадағы сандық әдістерді игеруді;
* өздігінен білімін кеңейту және қолданбалы (инженерлік) есептерді талдай білуді;
* Топология элементтері және метрикалық, топологиялық кеңістіктер туралы мәлімет;
* Топологиялық бейнелеу, гомеоморфизм, қарапайым беттерді
оқытуды мақсат етеді.

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
4 - ші беті 48 беттің

Курстың міндеті:
Пәнді оқытудың негізі - ақпараттық жүйелер мамандығы бойынша мамандар дайындаудағы жоғарғы кәсіби білім мемлекеттік стандарты орнатқан талаптарды орындау (жүзеге асыру).
Пәнді оқытуда келесі міндеттер қойылады:
а) Студенттерді өздерінің практикалық ж+-мыстарында есептеу єдістерін қолдана білуге үйрету;
б) Студенттердің жалпы математикалық білім деңгейін жетілдіру, пєн бойынша жүйелі білімді қалыптастыру;
в) Математикалық есептерді зерттеуде, талдауда болашақ мамандардың шығармашылық ойлау деңгейін дамыту;
г) Студенттерді оқу және ғылыми әдебиеттермен өздігімен жұмыс істеуге үйрету.
Пәнді оқып, үйрену нәтижесінде студенттер мыналарды білуге міндетті :
* вектор-функциялар ұғымы және оларға амалдар қолдану;
* қисықтар ұғымы және оның негізгі теңдеулері;
* беттер ұғымы және оның негізгі теңдеулері.
* Топология элементтері және метрикалық, топологиялық кеңістіктер туралы мәлімет;
* Топологиялық бейнелеу, гомеоморфизм, қарапайым беттер.

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
5 - ші беті 48 беттің

+ Пән бойынша тапсырмалардың орындалу және тапсырылу графигі

№
Жұмыс
түрлері

Тапсырманың мақсаты мен мазмұны
Ұсынылатын әдебиеттер
Орындалу
ұзақтығы
Балл
Тексеру формасы

Тапсыру мерзімі
1
Практика-лық тап -сырмалар-ды орын-
дау
Практикалық сабақтардың жоспарларына сәйкес
Практикалық сабаққа дайын далу үшін ұсынылған әдебиеттерді қолдану
Оқу жос- пары мен сабақ кес- тесіне сәйкес курсты оқу кезе-ңінде
Практика -
лық сабақ-тың әрбір тақырыбы бойынша ауызша жауап үшін 20 баллға дейін
Ағымдағы бақылау (ауызша жауаптың бағасы және семинар сабақтағы жұмыс)
Оқу жос- пары мен сабақ кес тесіне сәй кес семи- нар саба- ғында

2
Ауыз-ша жауап
ОСӨЖ жоспарына сәйкес (коллок-
виум)
ОСӨЖ сабағы-на дай- ындалу үшін ұсынылатын әдебиетті пайдала-ну
Оқу жоспары мен сабақ кестесіне сәйкес курс кезе-ңінде
Ауызша жауап үшін 15 баллға дейін
Аралық бақылау (ауызша жауап-тың бағасы)
Оқу жоспары мен сабақ кестесіне сәй-кес
ОСӨЖ саба-ғында

3
Жазба-ша жұмыс
ОСӨЖ
жоспары-на сәйкес
(бақылау жұмысы, өздік жұмыс)
ОСӨЖ сабағына дайында-лу үшін ұсынылатын әдебиетті пайдалану
Оқу жоспары сәйкес курсты оқу кезеңін-де
Әрбір бақыл-ау жұмысы және өздік жұмысы үшін 20 баллға дейін
Аралық бақылау (әрбір жұмыстың бағасы)
Оқу жоспары мен сабақ кестесіне сәйке СОӨЖ сабағында
4
Жазбаша жұмыс
СӨЖ жоспарына сәйкес (өздік жұмыс, ЖҮТ)
СӨЖ сабағына дайында-лу үшін ұсыеыны-латын әдебиетті пайдалану
Оқу жоспары сәйкес курсты оқу кезеңін-де
Әрбір үй жұмысы 10 баллға дейін
Үй тапсырмасы (әрбір үй тапсырмасының баға-сы)
СӨЖ жоспарына сәй-кес
5
Емтихан
Тест

1,5
35 баллға дейін
Қорытын-ды бақы-лау
Оқу жоспарына сәй-кес
ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
6 - ші беті 48 беттің

+ Әдебиеттер тізімі:

Негізгі әдебиеттер

* Базылев В.Т. Геометрия. 2-б.Алматы - 1981.
* Атанасян А.В. , Гуревич Г.Б. Геометрия. Ч.2. М.1977.
* Рашевский П.К.Курс дифференциальной геометрии. М.1956.
* Васильев А.М., Соловьев Ю.П. Дифференциальная геометрия. М., МГУ, 1981.
* Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию. М.1957.
* Моденов Л.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии. М.1953.
* Атанасян Л.С. Сборник задач по геометрии. М.1975.
* Қожашева Г.О. Дифференциалдық геометрия есептері мен жаттығулары. Талдықорған - 2007.
* Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. - М., Наука, 1969.
* Мищенко А.С., Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. - МГУ, 1981.
* Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. - М. 1958.

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
7 - ші беті 48 беттің

+ Рейтинг-шкала

Бақылау түрлері
Балл
Ағымдағы бақылау
20
Аралық бақылау
30
Үй тапсырмасы
10
Қортынды бақылау
40
Барлығы
100

+ Курстың саясаты және процедуралары

Студент оқытылатын лекция курсын қысқаша мазмұнын жазып отыруы тиіс, практикалық және үй тапсырмаларын орындауы, сабаққа кешікпей келуі керек, сабақ уақытында сөйлеспеуі, газет-журнал оқымауы, ұялы телефонды ағытып қоюы және оқу процесіне белсенді қатысуы тиіс. Бақылау жұмыстарын, коллоквиумдарды, емтихандарды уақытылы тапсыруы тиіс. Студент сабаққа міндетті түрде қатысуы қажет. Себепсіз босатылған сабақты студент оқу-әдістемелік кешенінде көрсетілген сабақ көлеміне сәйкес қайта тапсырылады. Курстың үштен бір бөлігін себепсіз босату оқудан шығарып жіберуге әкеледі.

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
8 - ші беті 48 беттің

* ПӘН БОЙЫНША ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК МӘЛІМЕТТЕР
+ Курстың тақырыптық жоспары
Барлығы 2 кредит

Тақырып атауы
дәріс
Маш.сабағы
СОӨЖ
СӨЖ

1.
Вектор-функция
1
1,5
3
3
2.
Қисықтар ұғымы. Қисықтың жанамасы
2
1,5
2
2
3.
Жанасушы жазықтық. Қисықтың нормалі
2
2
2
2
4.
Доға ұзындығы. Қисықтық пен бұралым
1,5
2
2
2
5.
Бет ұғымы. Жанама жазықтық пен нормаль
1,5
2
2
2
6.
Беттің бірінші квадраттық формасы
1,5
2
1
1
7.
Беттің екінші квадраттық формасы
1,5
2
1
1
8
Топологиялық кеңістік. Тұйық жиын. Топологиялық бейнелеулер. Гомеоморфизм.
2
2
2
2
9.
Жекеленушілік,компактылық байланыстылық. Қарапайым беттер.

Барлығы
15
15
15
15

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
9 - ші беті 48 беттің

2.1. Лекция сабағының тақырыптары

Лекция тақырыбы. Вектор - функциялар ұғымы.

Векторлық есептеулер екі бөлімнен тұрады: векторлық алгебра және векторлық анализ.
Векторлық алгебраның элементтері вевлитикалық геометрия курсында қаралады. Мұнда вектор ұғымы және оларға қолданылатын амалдар: векторларды қосу, азайту, векторды скалярға көбейту, векторлардың скаляр көбейтіндісі, векторлардың векторлық көбейтіндісі, векторлардың аралас көбейтіндісі қарастырылады. Бұл амалдардың барлығы тұрақты векторлар үшін енгізілген.
Векторлық анализ айымалы векторларды қарастырып, шектер мен дифференциалды есептеу теорияларын құра отырып, векторлық функцияларды оқиды. Скаляр аргументті функция ұғымы векторлық анализдің негізгі туынды ( алғашқы) ұғымы болып табылады.
tL, векторының басы О нүктеде, t=1 t=2
ұшы М(t) нүктеде жатады. Сондықтан. M(t)
вектор t уақыттағы функция болады.
L

Көптеген қолданбаларда векторлар үстіндегі сызықтық амалдардың жеткіліксіз екендігі байқалады. Күш жұмысы ұғымы, сол сияқты сызықтық жылдамдық пен айналатын қатты дене нүктесінің радиус-векторы арасындағы байланысты тек (векторларға қолданылатын) бинар операциясы көмегімен өрнектеуге болады. Мұндай операциялардын қасиеттері сандар көбейтіндісі операциясының қасиеттеріне ұқсас.
Келтірілген жағдайдың бірінде операция нєтижесі сан болса, екіншісінің нєтижесі вектор. Осы операциялардың жақсы танымалы анықтамаларын келтірейік.
Анықтама. жєне векторларының скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыш косинусының көбейтіндісіне тең санды айтады.
Скаляр көбейтіндісін (,) арқылы белгілеп, бұл анықтаманы
(,) (11) түрінде жазуымызға болады.
Нөлдік көбейткіштері үшін (,) (12)
Қасиеттері:

* (,)=(,) (13)
скаляр көбейтіндісінің ауыстырымдылығы және скалярға көбейтуге қатысты

2. (,)= (14)
3. (,) (15)
4. (16) - үлестірімділік қасиеті
5. (17)
Скаляр көбейтінді өзінің әрбір көбейткішіне қатысты сызықты.
Сонымен бірге нольден өзгеше векторлардың скаляр көбейтіндісінің нольге айналуы сол векторлардың перпендикулярлығының айғағы. Бұдан

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
10 - ші беті 48 беттің

(18) шығады.
Шынында, (,)теңдігінен (11) формула бойынша екендігі шығады.
Керісінше,
Анықтама. Нольден өзгеше және векторларының векторлық көбейтіндісі деп төмендегі үш қасиетпен анықталатын векторын айтады:
1) атап айтқанда көбейтінді көбейткіштерге перпендикуляр;
2) , векторлар үштігі декарт базисінің үштігімен бірдей ориентацияланған
3-сурет
3) (19)
Бұл анықтамадан векторлық көбейтіндінің нольге тең болуы олардың коллинеарлығын білдіретіні шығады.
Векторлық көбейтіндінің қасиеттері:
* (20) - антикомутативті
* ()= (21)
* (22) - үлестірімділік заңы
(23) - біріктіру заңы
(17), (20),(23) формулаларына сүйене отырып скаляр және векторлық көбейтінділерінің, көбейткіштердің координаталары арқылы өрнектелуін шығарып алу қиын емес.

векторларына қолданып
(24)
(25)
формулаларына келеміз. Соңғы формуланы
(26)
түрінде жазуға болады.
Енді үш
(27)
векторын қарастырайық. векторын арқылы белгілеп

көбейтіндісін есептейік. (26) және (24) формулаларын пайдаланып мынаны аламыз:

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
11 - ші беті 48 беттің

(28)
Мұнан = шығады, сондықтан
(281)
анықтамысын енгізген орынды.
Әдетте үш вектордың мұндай көбейтіндісін аралас немесе векторлы-скаляр көбейтінді дейді.
Үш вектордың сызықтық тәуелділігі олардың компланарлығын білдіретіндіктен, сонымен бірге (28) анықтауышы жолдарының сызықтық тәуелділігін білдіретіндіктен, үш вектордың аралас көбейтіндісінің нольге айналуы олардың компланарлығымен мәндес деп айтуымызға болады.
Сонымен жағдайында:

компланар -.
Соңында аралас көбейтіндінің геометриялық мағынасын ашайық.
саны
векторларында салынған параллелограммның S ауданы болғандықтан, ал және (мұндағы һ-қырлары параллелепипедінің биіктігі), онда
мұнда V-сөз етіліп отырған параллелепипедтің көлемі.

Негізгі әдебиеттер:[1-5]
Қосымша әдебиеттер:[6-7]

Лекция тақырыбы Скаляр аргументті вектор-функциялар.
Бір және екі скаляр аргументті вектор-функциялар. Келбет.

Векторлық анализде сандар жиыны мен бірге векторлар жиыны елеулі орын алады.
Бұл векторлар жиыны аргументтер жиыны болуы да мүмкін, мәндер жиыны болуы да мүмкін. Сондықтан функциялардың жаңа 3 түрі пайда болады.
1. - скаляр аргументті вектор-функциялар.
2. - вектор аргументті скаляр функциялар.
3. - вектор аргументті вектор-функциялар.
Бұл жағдайлардың әрқайсысында аргумент ретінде бір сан (бір вектор) емес, сандардың (немесе векторлардың) реттелген бумасы болуы мүмкін.
2-ші және 3-ші типтес функциялар келесі тарауда зерттеледі. Әзірше скаляр аргументті вектор-функцияларға назар аударайық. Бұл функцияларды геометриялық тұрғыдан зерттеу келбет ұғымына сүйенеді.
Бір немесе екі аргументті вектор-функциясының барлық мәндері болып келетін радиус-векторлар ұштарының геометриялық орны осы функцияның келбеті деп аталады.
M(x,y,z) нүктесінің радиус-векторы оның координаталары және (тұрақты) базистік векторлары арқылы
(1)
түрінде өрнектелсе, онда
(2)
ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
12 - ші беті 48 беттің

Демек бір вектор фукцияның берілуі үш скаляр x,y,z функцияларының берілуіне мәндес. Бір скаляр аргумент жағдайында
(3)
t параметрінен құтылып (ол тек болуында мүмкін)
(4)
қатынастарын аламыз.
Мұнан бір аргументті вектор-функция годографы қисық (екі беттің қиылысу сызығы) болатыны шығады.
Екі аргумент үшін
(5)
айнымалыларынан құтылу.
(Ол (6) матрицасының рангі екіге тең болуында ғана мүмкін), екі аргументті вектор-функция келбетінің бет екенін көрсетеді, өйткені (5)
z=z(x,y) (7)
түрінде келеді.

Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

Лекция тақырыбы
Үзіліссіздік пен дифференциалдану.
Туындылардың геометриялық мағынасы.

Анализдің негізгі ұғымдарын скаляр аргументті вектор-функцияларға тарату қиын емес.
Ең алдымен айнымалы векторларының шегі деп
(8)
теңдігін қанағаттандыратын тұрақты векторын айтамыз. Осымен бірге вектордың шек ұғымы скаляр айнымалының шек ұғымына келтіріледі.
Сонымен
(9)
Шек теориясының негізгі теоремалары оп-оңай дәлелденеді. Олар қысқаша былай тұжырымдалады.
Теорема. Егер болса онда келесі шектер бар болып мына түрде есептелінеді.

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
13 - ші беті 48 беттің

(10)
мұнан <<қанатты>> ережеге келеміз: қосынды (немесе көбейтінді) шегі шектер қосындысына. (немесе көбейтіндісіне) тең.
Енді функциясының мәніндегі үзіліссіздігін анықтаған оп-оңай. Ол
(11)
теңдігінің орындалғанын білдіреді.
Егер (11) барлық a> бөлігінде осы жазықтыққа тиіс.
4. Бас нормаль мен бинормаль.
Анықтама. Кеңістік сызығының берілген М нүктесінен сол нүктедегі жанамасына перпендикуляр өтетін түзуді нормаль (тіктеуіш) дейді. Кеңістік сызықтың берілген нүктесіндегі бас нормалі деп жанасушы жазықтықта орналасқан нормальді айтады. Бинормаль деп жанасушы жазықтыққа перпендикуляр нормальды айтады.

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
18 - ші беті 48 беттің

Ескерту. Дәтулелдеген теоремалардан сызығының нүктесінде жанама
векторымен, бинормаль векторымен, бас нормаль векторымен анықталатыны туындайды.

5. Қисықтық. Сызықта М нүктесін және ондағы жанаманы қарастырайық.
Жақын нүктесіне көшкеннен жанама кейбір бұрышына бұрылады. Осы бұрышының доғасының ұзындығына / қатынасы доғасының орта қисықтығы делінеді. Ол ММ1 доғасының иілу дәрежесін орта есеппен сипаттайды. ММ1 доғасы өзінің түрлі нүктелерінде түрліше иілуі мүмкін. Алайда ММ1 доғасы неғұрлым кіші болған сайын, орта қисықтық осы доғаның әрбір нүктесіндегі иілу дәрежесін соғұрлым дәл анықтай түседі.
Анықтама. Сызықтың берілген М нүктесіндегі k қисықтығы деп сызықтың сол М және оған жақын М1 нүктелеріндегі жанамалары арасындағы бұрышының шексіз кіші ММ1 доғасының ұзындығына қатынасының

шегін айтады.
Мысал ретінде R радиусты шеңбер қисықтығын анықтайық. Ол үшін оның бойында М және М1 нүктелерін алайық. Шеңбер жанамалары арасындағы бұрыш жанасу нүктелеріне жүргізілген ОМ және ОM1 радиустары арасындағы бұрышына тең. Бір жағынан шеңбер доғасының ұзындығы

көбейтіндісіне тең, мұнда - доғаны керетін централ бұрыш.

Сындықтан =

Демек, шеңбердің кез келген нүктесіндегі қисықтығы

атап айтқанда оның радиусына кері шама болып келеді.

6. Бұралым. Сызықтың М нүктесін және ондағы жанасушы жазықтығын қарастырайық. Сызық бойымен көрші М1 нүктесіне көшкенде жанасушы жазықтық қандайда бұрышына бұрылады осы бұрышының ММ1 доғасы ұзындығына қатынасын ММ1 доғасының орта бұралымы дейді. Ол кеңістік сызығының жазықтықтан ауытқуын орта есеппен сипаттайды. ММ1 доғасын кішірейте отыра, біз қисықтың берілген нүктесіндегі бұралым ұғымына келеміз.
Анықтама. Сызықтық берілген М нүктесіндегі æ бұрымы деп сол М және оған жақын орналасқан М1 сызық нүктесіндегі жанасушы жазықтықтары арасындағы бұрышының кіші ММ1 доғасының ұзындығына қатынасының
шегін айтады.
Мұның өзінде сызық бойымен сырғытып жанасушы жазықтық оң бүрандалы қозғалыс жасайтын болса, бұралымы оң деп есептейміз, кері жағдайда - теріс болып саналады. Жанасушы
ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
19 - ші беті 48 беттің

жазықтықтың айналу бұрышының орнына оған тең бинормальдың айналу бұрышын алуға болатынын атап кеткен орынды.

7.Доға ұзындығы. Қисықтық пен бұралымды анықтағанның өзінде-ақ қисықтың доға ұзындығы ұғымын пайдаланамыз. Енді бұл ұғымды қатаң анықтап, интеграл арқылы доға ұзындығын есептеуге арналған формуланы шығарып аламыз.
Анықтама. Сызық доғасының L ұзындығы деп оған іштей сызылған сызық ұзындығының, сызықтағы кесінділер санының шектеусіз өсіп, ең ұзын кесінді ұзындығы 0-ге ұмтылғандағы шегін айтамыз.
сызығы АВ доғасы нүктелері және сәйкес кесіндіснен алынған t параметірлер арасындағы сәйкестік өзара бірмәнді болсын. Оның үстіне әдеттегідей туындысы бар болып ол үзіліссіз деп ұйғарамыз. Сызықың АВ доғасы ұзындығы

немесе

формуласы бойынша есептеледі.
Сызықтың t параметірін S параметірімен алмастырғаннан алынған

)

түріндегі L сызығының параметірленуін табиғи параметірлену деп, S параметірін табиғи (натурал) параметір дейміз.
Егер L сызығының табиғи параметірленуі болса, векторы бірлік вектор, атап айтқанда =1 болады. Табиғи S параметірі сызықтың кейбір нүктесінен бастап саналатын доға ұзындығы болып табылады.
Егер барлық нүктелері үшін болса, сызығы регуляр, ал кесіндісінің кезкелген ішкі нүктесі үшін болса, сызығы бирегуляр делінеді.
3. Бирегуляр сызығының Френе репері деп ал шарттарына бағынатын ортанормалы

реперін айтамыз.

Енді кеңістік сызықтар теориясының негізгі теңдеулері мен есептеу формулаларын келтірейік:
1. Сызық жанамасының теңдеуі:

немесе

2. Нормаль жазықтықтың теңдеуі:

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
20 - ші беті 48 беттің

немесе

3. Бинормль теңдеуі:

немесе

4. Жанасушы жазықтықтың теңдеуі:

(
немесе

5. Бас нормаль теңдеуі:

немесе

мұнда

6. Түзеуші жазықтықтың теңдеуі:

немесе
æ
мұнда

7. Френе формулалры:

мұнда әріп үстіне қойылған нүкте S бойынша туынды алуды білдіреді, - бірлік жанама вектор, -түзеуші жазықтықтың қисық орналасқан жарты кеңістікке бағытталған бірлік бас нормаль вектор , - бірлік бинормаль вектор.
ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
21 - ші беті 48 беттің

8. Табиғи параметірге қатысты берілген қисықтың , , векторларының кескінделуі:

Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]
Лекция тақырыбы. Беттер теориясы.

R[3] дегеніміз (x,y,z) координаталы үш өлемді евклид кеңістігі, ал F(x,y,z) үш айнымалыға тәуелді k ретті дербес туындыларға ие болатын (бұл жағдйда F(x,y,z) функцисы (k клсына тиіс делінеді) нақты функция болсын
С[к]- классты бет деп
F(x,y,z)=0 (1)
теңдеуін қанағаттандыратын M(x,y,z)R[3] нүктелер жиынын айтады, онымен қоса M нүктесінде
gradF (2)
болуы талап етіледі. М нүктесінің кіші аймағында gradF шарты бойынша F(x,y,z)=0 теңдеуін айнымалыларының біріне қатысты шешілген түрінде жазуға болады. Мәселен болуында F(x,y,z)=0 теңдеуді z=f(x,y) айқын теңдеу түріне келеді. Алайда, беттерді оқып зерттеуде, оларда берілуінің небір қолайлы тәсілі параметірлік кескіндеу болып табылады.
Анықтама. С[к] - классты беттің параметрлік теңдігі берілуі деп С[к] - дифференциялдамалы бейнелеуін айтамыз.
Мұндағы U жиыны R2 -де (u,v) координаталы ашық жиын. Онымен бірге U-де (3) басқаша айтқанда R[3] - те бет
(4)
векторлық теңдеуімен, немесе оған эквивалент

(5)
үш скаляр теңдеумен кескінделеді.
Дифференциадық геометрияда радиус векторының u және v бойнша алынған дербес туындыларын символдарымен белгілейді.
шарты, және векторларының коллинеар еместігін, атап айтқанда
ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
22 - ші беті 48 беттің

(6)
Якоби матрицасы ретінің 2-ге тең болуын білдіреді. және вектроларының өздерін, бетінде орналасқан сәйкес `u' және `v' координаталық сызықтарының жанамаларына параллель.
rangA=2 болуында, айқындалмаған функция жөніндегі теорема бойынша бет өзінің кіші аймағында (локальді) кейбір функция келбеті түрінде кескінделуі мүмкін. Мәсенен А Якоби матрицасы минорының, кейбір (u,v) нүктелерінде нөлден өзгеше болуыда, сол нүктенің кіші аймағында x=x(u,v), y=y(u,v) теңдеулері u,v - ға қатысты шешілуі мүмкін
u=u(x,y), v=v(x,y) (7)
Сонымен (7) шешімдерін (5) жүйесінің соңғы теңдеуіне қойғаннан z=z(u(x,y),v(x,y)), немесе, қысқаша z=f(x,y) теңдеуіне келеміз.
Сонымен, бет келесі тәсілдердің бірімен
* z=f(x,y) функциясы келбеті түрінде (8)
* F(x,y,z)=0 теңдеуімен
* Параметрлік немесе, координаталық түрде x=x(u,v) y=y(u,v) z=z(u,v) теңеулерімен берілуі мүмкін
Беттің осылайша берілуіне сәйкес жанама жазықтығының теңдеулері :
1) Z - z0=p(x-x0) +q(y - y0); мұнда P=(x0, y0) q=(x0, y0)
2)

Мұндағы дербес туындылардың мәндері (x0, y0, z0) нүктесінде есептелген.
3) ()=0 немесе

= 0 (9)

Мұнда R = X, Y , Z - ағымдағы координаталардың радиус векторы.
векторлары бетінің жанама жазықтығына тиіс. Жанасу нүктесінде жанама жазықтыққа перпендикуляр түзуді беттің нормалі (тіктеуіші) дейді.

( 10 )

векторы бет нормальінің бірлік векторы делінеді.
Жоғарыдағы беттің түрлі берілуіне сәйкес оның нормалінің теңдеулері:

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
23 - ші беті 48 беттің

Бетте қисықсызықты координаталары
(12)
Теңдеулерімен анықталатын нүктелердің геометриялық орнын қарастырайық. Мұнда - тәуелсіз айнымалы, ал үзіліссіз дифференциалдамалы функциялар. Беттің параметрлік кескінделуін пайдаланып кез келген мұндай нүкте радиус векторын

түрінде жазуымызға болады. Сонымен бір айнымалыға тәуелді функцияға айналады және өзінің өзгеру облысында мәндерді қабылдағанда өзінің ұшымен тұтасымен бетіне тиіс қандайда бір қисық сызады. Демек, теңдеулері бетінде орналасқан қисықты анықтайды. теңдеулерінде параметрі ретінде қисықсызықты координаталардың бірі мәселен болуы мүмкін. Сонда беттегі сызықта анықтайтын қос теңдеу жалғыз
теңдеуіне келтіріледі.
бетінде орналасқан тегіс сызығының доға ұзындығы

қатынасымен анықталады, мұндағы

бетіндегі доға ұзындығы дифференциалының квадраты, атап айтқанда

өрнегі беттің 1-ші негізгі квадраттық формуласы немесе 1-ші негізгі дифференциалдық инварианты делінеді.
және
болуынан (беттің ерекше емес нүктесінде) ) беттің 1- квадраттың формуласы оң анықталған.
(4) бетіндегі (du;dv) және (δu;δv) сызықтары арасындағы бұрыш сол сызықтардың қиылысу нүктесіндегі олардың
d=du+dv,δ=δu+δv
ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
24 - ші беті 48 беттің

жанамалары арасындағы бұрыш ретінде есептелетіндіктен
cosφ=cos(d^,)= (16)
Бет қарапайым бөлігінің ауданы

δ═∫∫dudv (17)

екі еселі интегралымен есептеледі. Мұнда D облысы "u", "v", "u+du", "v+dv" сызықтарымен шектелген.
Беттің екінші квадраттық формасы
ІІ=Ldu2+2Mdudv+Ndv2 (18)
түрінде кескінделеді. Мұндағы L,M,N коэффициенттері
L=(,uu), M=(,), N=(,)
Скаляр көбейтінділері түрінде, немесе (10)-ды ескере
L=g-1(), M=g-1(), N=g-1() (19)
(мұндағы g=II=)
аралас көбейтінділері арқылы есептеледі.
Беттің М нүктесіндегі бойындағы нормалі арқылы өтетін кейбір жазықтықпен қимасын беттің нормаль қимасы деп атайды. М нүктесіндегі осы сызық қисықтығының абсолют шамасын нормаль қисықтық дейді, бұл сан М нүктесіндегі қима, векторы жағына ойыс болуында оң, және сәйкесінше, дөңес болуында теріс болады.
(du,du)бағыттындағы нормаль қиманың нормаль қисықтығы
kn= (20)
формуласымен есептеледі.
М нүктесіндегі нормаль қиманың Ки қисықтығы нөлге тең болса, оның жанамасының бағыты М нүктесіндегі асимптоталық бағыт делінеді.
kn нормаль қисықтығының формуласынан, беттегі асимптоталық сызықтардың дифференциалдық теңдеуі
Ldu2+2Mdudv+Gdv2=0
түрінде жазылатыны шығады.
Менье теоремасы. Егер беттің М нүктесіндегі асимптоталық бағытта болмайтын жанамасы арқылы (бірі нормаль, ал екіншісі көлбеу) беттің қос қимасын жүргізсе, нормаль қиманың қисықтық центрінің көлбеу жазықтығына түскен проекциясы - көлбеу қиманың қисықтық центрі болып табылады.
Менье теоремасынан тікелей R=Rncos формуласы туындайды. Мұндағы R - беттегі кез келген Г сызығының қисықтық радиусы, Rn-нормаль қима қисықтығы, - Г сызығының жанасушы жазықтығымен нормаль қима жазықтығы арасындағы бұрыш. Ал, олай болса, оларға кері шама болып келетін қисықтықтар үшін k
есептеу формуласы орынды. І және ІІ квадраттық формалардың және матрицаларын сәйкес Р және Q арқылы белгілейік. Беттің әрбір нүктесінде олар симметриялы, сандық матрицалар, онымен бірге Р ерекше емес,оң анықталған. Сызықтық алгебрадан Р матрицасы бірлік, ал Q - диагоналды матрица болатындай базис табылатыны белгілі. Бұл базис элементтері беттің М нүктесіндегі бас векторлар, ал олар анықтайтын бағыттар - бас

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
25 - ші беті 48 беттің

бағыттар делінеді. Бас базистегі Q матрицасының k1 және k2 элементтерін М нүктесіндегі беттің бас қисықтықтары дейді. Бас қисықтықтар

теңдеуінен табылады. Осы теңдеуден (Виет теоремасы бойынша) бас қисықтардың қосындысы мен көбейтіндісін тапқан оп-оңай:
k1k2= ; k1+k2=
беттің берілген нүктесіндегі бас қисықтықтарының көбейтіндісін беттің толық немесе Гаусстық қисықтығы деп К арқылы белгілейді. Беттің бас қисықтары қосындысының жартысын беттің орташа қисықтығы деп Н әрпімен белгілейді.
Берілген М нүктесі арқылы өтетін кейбір нормаль қиманы қарастырайық.
- М нүктесінде нормаль қимаға бірлік жанама вектор болсын. - өзара ортогональ бірлік бас векторлар.φ арқылы 1 векторынан - ға дейінгі оң бағытта айналу бұрышын белгілейік (1 - ден 2 - ге айналу бағытын оң деп санаймыз). Алынған нормаль қиманың kn қисықтығы k1 және k2 бас қисықтықтары арқылы
kn= k1cos[2]φ + k2sin[2]φ
түрінде өрнектеледі. Бұл формуланы Эйлер формуласы дейді. Егер k1k2 болса, онда Эйлер формуласынан бас қисықтықтардың бірі нормаль қима қисықтығының мүмкін болатын ең кіші мәні, ал екіншісі ең үлкен мәні болып табылатыны шығады.
k1= k2 болуында kn= const. Басқа сөзбен, берілген нүкте арқылы өтетін кез келген бағыттағы нормаль қиманың қисықтығының мәні өзгермейді. Мұндай нүкте дөңгеленген нүкте делінеді.
Беттің М нүктесі маңайында орналасуынан мағлұмат алу үшін келесі үш жағдайды қарастырайық:
1. .М нүктесінде К Гаусс қисықтығы оң шама. Мұндайда Мысал нүктесі Эллипстік делінеді. К атап айтқанда k1, k2>0 болуынан k1 мен k2 таңбалас. Егер k1>0, k2>0 болса, онда барлық нормаль қималар үшін kn-де оң. Бет өзінің барлық бағытында m нормаль векторы жағына иіліп, жанама жазықтығының бір жағында ғана орналасады. Эллипстік нүктеде асимптоталық бағыттар болмайды. k1<0, k2<0 жағдайының алдыңғыдан (қималардың бәрі - m векторы жағына иілгенін есептемегенде), маңызды өзгешелігі жоқ.
* М нүктесінде К толық қисықтығы теріс. Мұндай нүкте гиперболалық делінеді. К толық қисықтығы, атап айтқанда k1k2 көбейтіндісі теріс болуынан k1 мен k2 түрлі таңбалы. Анықтылық үшін k1<0, k2>0 , болсын. Демек бас қималардың бірі - m жағына, екіншісі m жағына иіледі.
М нүктесінен айналған нормаль қима жанамасы бас бағыттардың бірінен екіншісіне көшеді, демек тік бұрышқа бұрылады. Ал оның kn қисықтығы k1<0 мәнінен k2>0 мәніне дейін бірсарынды өседі. Демек нөлдік мәннен өтеді. Нормаль қисықтың нөлдік мәніне

бұрыштары бойынша бағытталған нормаль қималар сәйкес. Бұл қималар бас бағыттарға қатысты симметриялы орналасады және берілген нүктеде асимптоталық бағыттарға ие болады. Асимптоталық бағыттармен жасалған екі пар вертикаль бұрыштардың бірі теріс қисықтығы бар нормаль қималарды қамтитын болса, екіншісі оң қисықтығы бар нормаль қималарды қамтиды. Осыған сәйкес біріншісінде бет - m векторы жағына иілсе, екіншісінде m жағына иіледі. Нәтижесінде, гиперболалық нүкте маңайында бет ертоқым пішіндес болады.
3. М нүктесінде К=0 болсын. Осы шартты қанағаттандыратын бет нүктелері паробалалық делінеді. Мұндай нүктеде К=k1k2=0 болуынан k1k2 қисықтарының біреуі немесе екеуі де нөлге айналады. Бірінші жағдайда беттегі М нүкте аймағы паробалалық цилиндр пішіндес болады. Екінші жағдайда М жазықталу нүктесі делінеді. Мұндай нүкте аймағында бет құрылымы аса
ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
26 - ші беті 48 беттің

күрделі болуы мүмкін және оны зерттеу үшінші және одан да жоғары ретті туындыларды қарастыруға келтіріледі.

Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

Лекция тақырыбы. Асимтоталық бағыт. Асимтоталық сызық. Түйіндес бағыт. Беттері түйіндес торлар

Анықтама. М бетіндегі P(u,v) нүктесіндегі (du:dv) бағыты асимтоталық деп аталады, егер беттің нормальдық қисықтығы осы бағытта нөлге тең болса, яғни бағыттың асимтоталық болуының қажетті және жеткілікті шарты, егер мына шарт орындалса:
,онда - (1) асимтоталық бағытты есептеу.
Асимтоталық бағыттың беттің нүктелеріне сәйкес үш жағдайы болады:
1) беттің эллипстік нүктесінде асимтоталық бағыт болмайды және мына шарт орындалады: LN-M2>0.
2) ал, беттің гиперболалық нүктесінде екі асимтоталық бағыт болады: LN-M2<0.
3) ал, парболалық нүктесінде бір ғана асимтоталық бағыт болады: LN-M2=0.
Анықтама. Беттегі қисық асимтоталық сызық деп аталады, егер оның бағыты әрбір нүктеде асимтоталық болса, яғни Ldu2+2Mdudv+Ndv2=0 теңдеуі асимтоталық сызықтың дифференциалдық теңдеуі болып табылады. Егер бетте түзу орналасса, онда ол асимтоталық сызық болып табылады. Асимтоталық сызықтың келесі бір қасиетін көрсетелік. Беттің жанама жазықтағы асимтоталық сызықтың әрбір нүктесінде жанасушы жазықтық болып табылады.
=0 - жанама жазықтық. R=R(u,v).; - жанасушы жазықтық, өйткені асимтоталық сызықтың P нүктесінде қисықтық (К) нөлге тең болса, онда беттің жанама жазықтығы P нүктесінде жанасушы жазықтық болады, өйткені ол қисықтың жанамасы арқылы өтеді.
Егер қисығының қисықтығы P нүктесінде нөлден өзгеше болса, онда жанама жазықтық векторларын қамтиды (өйткені бірінші жазықтық жанама, ал екінші қисығы асимтоталық сызық). Сондықтан мына шартты қанағаттандырады: ()=0, міне осыдан жанама жазықтық асимтоталық жазықтың жанасушы жазықтығы болып табылады.
Беттің координаталық сызықтары u=const, v=const қандай шартта асимтоталық болатынын қарастырайық. Ол үшін u=const, v=const мәндерін ретімен асимтоталық теңдеуіне қоя отырып, мынадай шешімге келеміз. Координаталық торлардың асимтоталық болуы қажетті және жеткілікті шарт. Егер екінші квадраттық формуласының L және N коэффициенттері нөлге тең болса.
Анықтама. М беті берілсін, P оның кез-келген нүктесі болсын. (du:dv) және () бағыттары беттегі P нүктесіндегі екі бағыт болсын. бағыттары түйіндес деп аталады, егер оның сәйкес түзулері P нүктесінде түйіндес болатын болса. Бұдан бағыттары түйіндес болуы үшін мына шарттың орындалуы қажетті және жеткілікті: (2) немесе (d) мен () бағыттарының түйіндестігін қысқаша мына түрде жазуға болады: =0 асимтоталық бағыттар өзара түйіндес болып табалады.

Лекция тақырыбы Беттің бас бағыты. Қисықтық сызық

Беттегі (du:dv) бағыты бас бағыт деп аталады, егер беттің нормальдық қисықтығы осы бағытта экстремальдық мәнге ие болса. Осыдан беттің әрбір нүктесінде жалпы жағдайда екі бас
ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
27 - ші беті 48 беттің

бағыты болады және олар өзара ортогональ және түйіндес болады, яғни олар мына шартты қанағаттандырады:
I(d,)=Eduu+F(duv+udv)+Gdvv=0-(1)-ортогональдық шарт.
II(d,)=Lduu+M(duv+udv)+Ndvv=0-(2)- түйіндес шарт.
Осы теңдеулерден u,v- дан құтылсақ, мынау шығады:
- (3) - дәлелдеу керек.
Осы теңдік (du:dv) бағытының бас бағыт болуының қажетті және жеткілікті шарты болып табылады.Оны басқа түрде де, яғни, симметриялық формада жазуға болады:

егер есептің номальдық қисықтығы бас бағытқа сәйкес келетін болса, онла ол бас қисықтық деп аталады.
Анықтама. Беттегі сызық қисықтық сызығы деп аталады. Егер оның бағыты әрбір нүктесінде басбағыт болатын болса. Осыдан шығатыны (3) және () теңдеуі қисықтық сызығының дифференциалдық теңдеуі болып табылады. Егер беттегі координаталық сызықтар қисықтық сызығы болатын болса, онда бірінші және екінші квадраттық формуланың сәйкес F,M коэффициенттері нөлге тең болады. Мұндағы F=0 болуы, бұл координаталық торлардың ортогональдылығынан шығады, ал M=0 болуы олардың түйіндестігінен шығады.

Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

Лекция тақырыбы Беттердің бас қисықтықтары мен нормаль қисықтықтарының арысындағы байланыс. Беттің орта және толық (Гаусс) қисықтығы.

Беттің нормаль қисықтығын кез-келген бағытта бас нормаль қисықтығы арқылы өрнектейік. Ол үшін x,y,z тікбұрышты декарттық координаталар арқылы кез-келген О нүктесі жанама жазықтығы үшін j,x,y жазықтығын, ал Oz осін беттің нормалі ретінде қарастырамыз. x,y осьтерінің бағытын сәйкес келетіндей таңдап аламыз. z=z(x,y) беттің О нүктесі аймағындағы теңдеуі болсын. О нүктесінде zx=0, zy=0. Сондықтан О нүктесінде бірінші және екінші квадраттық формулалар мына түрде жазылады:
*
Осыдан нормаль қисықтық кез-келген (dx:dy) бағытында мына түрде анықталады:
- (1), мұндағы k1 және k2 беттің бас қисықтықтары болады.
бұрышы (dx:dy) кез-келген бағытымен (dx:0) бас бағытының арасындағы бұрыш болсын. Онда К осы бағыттағы нормальдақ қисық болады. Ал, k1 және k2 (dx:0) және (0:dy) бағыттарына сәйкес келетін бас қисықтықтар болсын. Онда нормаль қисықтықтың бірінші формуласынан кез-келген бағыттағы нормальдық қисықтықтың Эйлер формуласы шығады.
К=k1cos[2]+k2sin[2] - Эйлер формуласы.
Бұл формуладан көретініміз беттің кез-келген бағытындағы нормаль қисықтығын табу үшін беттің бас қисықтығын білген жеткілікті. Енді, біз бас қисықтықтың өрнегін бетттің теңдеуі параметрлік түрде берілген жағдайды қарастырайық.

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
28 - ші беті 48 беттің

k1 және k2 беттің бас қисықтықтары болсын (k1k2). Кез-келген қисық сызықты координаталар жүйесінде бірінші және екінші квадраттық формулаларды қарастырып, * формуласына теңестіріп. Мынадай тепетеңдік аламыз:

осы жұйенің екінші теңдеуін k1-ге көбейтіп. Біріншіден алып тастасақ, мына тепетеңдікті аламыз:

(L-k1E)du2+2(M-k1F)dudv+(N-k1G)dv2=(k2-k1)dy2

кез-келген координаталық жүйесінен нормаль түрге көшкенде, біз мынадай теңдік аламыз:

Осы dy-ті алдыңғы теңдеуге қойып және дифференциалдың арасындағы коэффициенттерді теңестірсек, біз мынадай қатынастар аламыз:

,
теңдеуді а2/в2-қа көбейтеміз, онда

Бұдан мынадай теңдік шығады

(L-k1E)(N-k1G)-(M-k1F)2=0.

Осыған ұқсас k2 үшінде оң жағынан dy2-ты жою арқылы теңдік алуға болады. Осыдан беттің бас қисықтығы оның әрбір нүктесінде мына квадраттық теңдеу түбірі болдып табылады.

(L-k2E)(N-k2G)-(M-k2F)2=0. (2)

немесе мына түрде де жазуға болады:

k2(EG-F2)-k(LG-2MF+NE)+(LN-M2)=0.

Cоңғы теңдік екінші теңдеудің характеристикалық теңдеуі деп аталады.
Енді. беттің орта және толық (Гаусс) қисықтықтарын қарастырайық.
Анықтама . Беттің бас қисықтығының қосындыларының жартысы беттің орта қисықтығы деп аталады және былай белгіленеді:

(3)

Анықтама. Беттің бас қисықтығының көбейтіндісі беттің толық (Гаусс) қисықтығы деп аталады және былай белгіленеді:
ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
29 - ші беті 48 беттің

К=k1k2 (4)

Осыларды түрлендірейік. Енді беттің орта және толық қисықтықтарын бірінші және екінші квадраттық формулалардың коэффициенттері арқылы өрнектейік. Ол үшін екінші формуланы қолданамыз. Екінші квадраттық теңдеудің түбірлерінің қасиеті бойынша мынадай теңдік аламыз:

(5)
Егер беттің теңдеуі айқын түрде берілсе, яғни z=z(x,y), онда орта және толық қисықтықтар мына түрде табылады:

(6)

мұндағы p, q, r, s, t, - z=z(x,y) функциясының туындыларының белгілеулері. Олар мына түрде анықталады:

p=fx; q=fy; r=fxx; s=fxy; t=fyy.

Негізгі әдебиеттер:[1-5]
Қосымша әдебиеттер:[6-7]

2.3. МАШЫҚТАНУ САБАҚТАРЫН ЖҮРГІЗУ ЖОСПАРЛАРЫ

Әдістемелік ұсыныстар: Лекция конспектілерінде келтірілген формулаларды немесе [9] есептер жинағындағы сәйкес тақырыптар бойынша әдістемелік ұсыныстарды қолдану. Ұқсас есептердің шешілу варианттары [4-5] оқу-әдістемелік құралында келтірілген.

1-тақырып. Вектор - функцияның қасиеттері.
Сұрақтар
* Вектор-функцияның анықтамасы.
* Вектор-функцияның шегі мен үзіліссіздігі.
* Вектор-функцияның дифференциалы мен интегралы.
Тапсырма:
Есептерді шығарыңыз: [3] 11-14, 16-22, 33-36.

Әдістемелік нұсқау:
2.1.-мысал вектор - функцияларының туындысын табу керек.
Вектор-функциялардың векторлық көбейтіндісінің дифференциалдау ережелерін қолданамыз.
, , тең болғандықтан, .
2.2.-мысал туындысын табу керек.
ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
30 - ші беті 48 беттің

Анықтама бойынша . Көрсеткіштік функция мен скаляр көбейтіндінің дифференциалдау ережелерін пайдалансақ,
.
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

2-тақырып. Қисықтар ұғымы. Қисықтың жанамасы.
Сұрақтар
* Қисықтың параметрлік теңдеуі.
* Қисықтың айқын және жалпы теңдеуі.
* Қисықтың жанамасы.
Тапсырма:
Есептерді шығарыңыз: [3] 102, 106-108, 507, 156.

Әдістемелік нұсқау:
3.1-мысал. қисығының қандай нүктесіндегі жанамасы жазықтығына параллель болады.
Шешуі
Жанаманың бағыттаушы векторының координаталары: , атап айтқанда .
Жанама жазықтыққа параллель болу үшін оның бағыттаушы векторы, жазықтықтың нормаль векторына -ға перпендикуляр болуы қажет. Яғни олардың скаляр көбейтіндісі 0-ге тең болады. Сонда
.
Бұдан квадрат теңдеуді шешеміз , , . мен -нің мәндерін қисығының орнына қойып және нүктелерін табамыз.
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

3-тақырып. Жанасушы жазық
ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
31 - ші беті 48 беттің
тық. Қисықтың нормалі
Сұрақтар
* Жанасушы және нормаль жазықтықтың теңдеулері.
* Қисықтың бинормалі мен бас нормалі.
* Қисықтың түзетуші жазықтығы. Френе репері.
Тапсырма:
Есептерді шығарыңыз: [3] 530, 536, 544, 546, 550.

Әдістемелік нұсқау:
4.1-мысал. бұранда сызығының жанасушы.
нормаль, түзеуші жазықтықтарының, бинормалі, бас нормалі және жанамасының, теңдеулерін жазып жанамасы бинормалі мен бас нормалінің бірлік векторларын табу керек.
Шешуі.
f туындыларын анықтаймыз.
, .
1) Жанасушы жазықтық , векторларына параллель болғандықтан оның теңдеуі
немесе түрінде табылады.
2) Нормаль жазықтық жанамаға перпендикуляр болғандықтан, оның теңдеуі мына түрде анықталады немесе .
3) Анықтама бойынша бинормаль жанасушы жазықтыққа перпендикуляр болғандықтан, оның бағыттаушы векторы мына теңдікпен анықталады.
,
Ал оның теңдеуі түрінде жазылады.
4) Бас нормаль жанама мен бинормальға перпендикуляр болғандықтан, оның бағыттаушы векторы , мұндағы - бинормальдың бағыттаушы векторы.

.
Бас нормальдың теңдеуі

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
32 - ші беті 48 беттің

түрінде жазылады.
5) Түзеуші жазықтық бас нормальға, яғни , векторына перпендикуляр, сондықтан оның теңдеуі мына түрде жазылады:
или .
6) , , - жанама, бас нормаль және бинормальдың бірлік векторлары болсын.
,
,
.

Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

4-тақырып. Доға ұзындығы. Қисықтық пен бұралым
Сұрақтар
* Қисықтың доға ұзындығының теңдеуі.
* Қисықтың қисықтығы.
* Қисықтың бұралымы
Тапсырма:
Есептерді шығарыңыз: [3] 552, 555-557, 569, 571, 537, 575,
Әдістемелік нұсқау:
5.1-мысал. қисығының қисықтығын табу керек..
Туындыларын табамыз:
, .
Қисықтықтың формуласын қолданамыз.
Сонда .580.

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
33 - ші беті 48 беттің

Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

5-тақырып. Бет ұғымы. Жанама жазықтық пен нормаль
Сұрақтар
* Беттің теңдеуінің берілу тәсілдері.
* Беттің жанама жазықтығының теңдеуі.
* Беттің нормалінің теңдеуі.

Тапсырма:
Есептерді шығарыңыз: [3] 657, 660, 683, 685, 687, 689, 694.
Әдістемелік нұсқау:
6.1-мысал. Беттің теңдеуі берілсін . Беттің нүктесіндегі жанама жазықтығы мен нормалінің теңдеуін және беттегі сызығының жанамасын табу керек.
Шешуі.
М нүктесінің тікбұрышты координаталарын табамыз , атап айтқанда .бетінің дербес туындыларын тауып: , . , мәндерін қоямыз. , .
Жанама жазықтықтың теңдеуін жазамыз.
немесе .
Нормальдің бағыттаушы векторын

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
34 - ші беті 48 беттің

сол нормальдың теңдеуін жазамыз. .
сызығының теңдеуі мына түрде болады. , жанама векторы және //.
Бұдан М нүктесіндегі жанамасының теңдеуін жазамыз.
.

Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

6-тақырып. Беттің бірінші квадраттық формасы
Сұрақтар
* Бірінші квадраттық форманың коэффициенттері.
* Бет бойындағы сызықтар арасындағы бұрыш
* Бөлік беттің ауданы.
Тапсырма:
Есептерді шығарыңыз: [3] 762, 764, 766, 768, 804-806.

Әдістемелік нұсқау:
7.1-мысал. Бет теңдеуі берілген
а) Беттің I-ші квадраттық формасын табу керек:
, , , , ,
.
б) сызығының доға ұзындығының дифференциалын табу керек.
Сызықтың теңдеуінен шығатын , және мәндерін жоғарыдағы теңдікке қоямыз, сонда

бұдан .

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
35 - ші беті 48 беттің

в) , сызықтырымен қиылысу нүктелері арасында сызығының S доға ұзындығын табамыз. .
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

7- тақырып. Беттің екінші квадраттық формасы
Сұрақтар
* Екінші квадраттық форманың коэффициенттері
* Беттің бас бағыты мен қисықтығы.
* Орта және толық қисықтық.
Тапсырма:
Есептерді шығарыңыз: [3] 819, 821, 828, 836, 838, 840.
Әдістемелік нұсқау:
8.1-мысал. Түзу геликоидтың 2-ші квадраттық формасын табу керек
.
Шешуі. функциясының туындысын табамыз , , , , .
1-ші квадраттың форманың коэффициенттері мына түрде анықталады: , , , .
Онда 2-ші квадраттың форманың коэффициенттерін былай табамыз. ,
,
,
Бұдан 2-ші квадраттық форма мына теңдікпен анықталады..
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
36 - ші беті 48 беттің

Элементы топологии.

Топология изучает понятия непрерывности и близости с абстрактной точки зрения.

Определение. Окрестностью точки р называется произвольное множество U, содержащее открытый шар (не включая границу) с центром в точке р.

Окрестностью на плоскости, очевидно, является открытый круг с центром в точке р.
Из определения окрестности вытекают следующие очевидные свойства:
1) Точка р принадлежит любой своей окрестности.
2) Если U - окрестность точки р, а V U, то V - тоже окрестность точки р.
3) Если U и V - окрестности точки р, то их пересечение U V тоже будет окрестностью точки р.
4) Если U - окрестность точки р, то можно найти такую окрестность V точки р, что W = V U является окрестностью является окрестностью каждой из своих точек.

Определение. Топологическим пространством незывается множество Е, каждая точка которого р имеет набор подмножеств множества Е, называемых окрестностями точки р и удовлетворяющих приведенным выше свойствам.

Частным случаем топологического пространства является метрическое пространство.

Определение. Пусть Е - топологическое пространство, а F - его подмножество. Пусть р - точка множества F. Назовем подмножество U множества F окрестностью точки р в F, если U=FV, где V - окрестность точки р в E.
При этом множество F называется подпространством пространства Е.

Метрическое пространство.

Определение. Метрикой на множестве Е называется функция f(x, y), определенная на декартовом произведении ЕЕ, значениями которой являются неотрицательные действительные числа, удовлетворяющая при любых значениях х, у, z из множества Е следующим условиям:
1) f(x, y) = f(y, x)
2) f(x, y) + f(y, x) f(x, y)
3) f(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда х = у.

Определение. Метрическим пространством называется множество Е с заданной на нем метрикой f.

Определение. Число (x, y), где х Е и у Е - заданные точки, называется расстоянием между этими точками.

Определение. Пусть r - положительное число. Множество {y: (x, y) < r} называется открытым шаром радиуса r с центром в точке х; множество {y: (x, y) r} - замкнутым шаром радиуса r с центром в точке х.

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
37 - ші беті 48 беттің

Например, для трехмерного евклидова пространства R[3] метрика определяется как , где х(х1, х2, x3) R[3] и y(y1, y2, y3) R[3].

Открытые и замкнутые множества.

Определение. Пусть Е - топологическое пространство, а U - его подмножество. Множество U называется открытым, если оно является окрестностью для любой точки U.

Определение. Пусть Е - топологическое пространство, а F - его подмножество. Множество F называется замкнутым, если множество E \ F - открыто.

Отметим следующие свойства:
1) Объединение любой совокупности открытых множеств открыто.
2) Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.
3) Пересечение любой совокупности замкнутых множеств замкнуто.
4) Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

Определение. Если А - любое множество в топологическом пространстве Е, то объединение всех открытых множеств, содержащихся в А, открыто. Это объединение называется внутренностью множества А. Обозначается IntA. Это объединение будет наибольши открытым множеством, содержащимся в А.

Определение. Множество называется замыканием множества А. Множество FrA = CA называется границей множества А.

Непрерывные отображения.

Пусть Е и F - топологические пространства, и пусть f - отображение пространства Е в F.
f: E F.
Непрерывность отображения состоит в том, что точки, близкие друг к другу в множестве Е, отодражаются в точки, близкие друг к другу в множестве F.

Определение. Отображение f: E F называется непрерывным в точке р, если для любой окрестности V точки f(p) в множестве F существует такая окрестность U точки в множестве Е, что f(U) V. Отображение f называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке пространства Е.
Особое значение имеют те непрерывности отображения, для которых существует непрерывное обратное отображение.

Определение. Если f - взаимно одноначное отображение пространства Е в F, то существует обратное отображение g пространства F в E. Если и f и g непрерывны, то отбражение f называется гомеоморфизмом, а пространства Е и F - гомеоморфные.

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
38 - ші беті 48 беттің

Гомеоморфизм между множествами устанавливает взаимно однозначное соответствие между окрестностями, закрытыми и открытыми подмножествами этих множеств.

Топологические произведения.

Пусть E и F - топологические пространства. Множество EF определяется как множество пар (p,q), где pE, a qF. Оно превращается в топологическое пространство следующим образом: если (p,q) EF, то окрестность точки (p,q) - это любое множество, содержащее множество вида UV, где U - окрестность точки p в E, a V - окрестность q в F.

Определение. Множество EF, превращенное в топологическое пространство только что описанным способом, называется топологическим произведением пространств E и F.

Например, в трехмерном евклидове пространстве тор является топологическим произведением окружности на себя.

Связность.

Определение. Пространство E называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся множеств, открытых в E. Множество в топологическом пространстве называется связным, если оно связно как подпространство.

Если Е и F - связные пространства, то произведение Е F также связно.

Компактность.

Понятие компактности обобщает свойство быть замкнутым и ограниченным множеством в евклидовом пространстве.

Определение. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если оно обладает следующим свойством: каковы бы ни были две различные точки p и q, существует такая окрестность U точки p и такая окрестность V точки q, что UV=.
Любое евклидово пространство является хаусдорфовым.
Любое подпространство евклидова пространства хаусдорфово. На самом деле любое подпространство любого хаусдорфова пространства хаусдорфово.
Прежде чем определять компактность, приведем несколько предварительных определений.

Определение. Покрытие топологического пространства E - набор множеств из E, объединение которых дает все пространство E. Оно называется открытым покрытием, если каждое множество в наборе открыто.

Определение. Пусть дано покрытие топологического пространства. Подпокрытием называется покрытие, все множества которого принадлежат данному покрытию.

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
39 - ші беті 48 беттің

Определение. Компактным пространством называется хаусдорфово пространство, обладающее тем свойством, что каждое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие, т.е. покрытие, состоящее из конечного числа множеств. Множество в топологическом пространстве называется компактным, если оно является компактным подпространством.
Компактное подмножество евклидова пространства должно быть замкнутым и ограниченным. Если перемножаемые компактные пространства A и B лежат в евклидовых пространствах размерностей и , то их произведение есть подпространство в -мерном пространстве. Так как пространства A и B компактны, они замкнуты и ограничены. Поэтому их произведение является замкнутым и ограниченным подмножеством евклидова пространства. Следовательно, AB компактно.

+ ОҚЫТУШЫНЫҢ ЖЕТЕКШІЛІГІМЕН СТУДЕНТТЕРДІҢ ӨЗДІК ЖҰМЫСТАРЫН ЖҮРГІЗУ ЖОСПАРЫ

Тақырып №1. Вектор-функция ұғымы.
* Вектор-функцияның анықтамасы.
* Вектор-функцияның шегі мен үзіліссіздігі.
* Вектор-функцияның дифференциалы мен интегралы.
Тапсырма:
Есепті шығарыңыз: [4] 11-14, 16-22, 33-36.
СОӨЖ өткізу түрі: Студенттердін қажеттілігіне қарай, тақтада және өз орындарында өз беттерімен берілген есептерді шығаруы. Бақылау жұмыстарын жүргізу.
Әдістемелік нұсқау:Семинар сабағының 1-тақырыбындағы нұсқауға қараңыз
Негізгі әдебиеттер:[1-5]
Қосымша әдебиеттер:[6-7]

Тақырып №2. Қисықтар ұғымы.
* Қисықтың параметрлік теңдеуі.
* Қисықтың айқын және жалпы теңдеуі.
* Қисықтың жанамасы.
Тапсырма:
Есепті шығарыңыз: [4] 102-104, 106-109, 507-509, 156-158.
СОӨЖ өткізу түрі: Студенттердін қажеттілігіне қарай, тақтада және өз орындарында өз беттерімен берілген есептерді шығаруы. Бақылау жұмыстарын жүргізу.
Әдістемелік нұсқау:Семинар сабағының 2-тақырыбындағы нұсқауға қараңыз
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

СОӨЖ өткізу түрі: Студенттердін қажеттілігіне қарай, тақтада және өз орындарында өз беттерімен берілген есептерді шығаруы. Бақылау жұмыстарын жүргізу.

Әдістемелік нұсқау:Семинар сабағының 3-тақырыбындағы нұсқауға қараңыз
ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
40 - ші беті 48 беттің

Негізгі әдебиеттер:[1-5]
Қосымша әдебиеттер:[6-7]

Тақырып №4. Доға ұзындығы. Қисықтық пен бұралым.
* Қисықтың доға ұзындығының теңдеуі.
* Қисықтың қисықтығы.
* Қисықтың бұралымы
Тапсырма:
Есепті шығарыңыз: [4] 552, 555-558, 569-575, 580-581.
СОӨЖ өткізу түрі: Студенттердін қажеттілігіне қарай, тақтада және өз орындарында өз беттерімен берілген есептерді шығаруы. Бақылау жұмыстарын жүргізу.
Әдістемелік нұсқау:Семинар сабағының 4-тақырыбындағы нұсқауға қараңыз
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

Тақырып №5. Бет ұғымы. Жанама жазықтық пен нормаль

* Беттің теңдеуінің берілу тәсілдері.
* Беттің жанама жазықтығының теңдеуі.
* Беттің нормалінің теңдеуі.
Тапсырма:
Есепті шығарыңыз: [4] 657, 660, 683, 685-689, 694.
СОӨЖ өткізу түрі: Студенттердін қажеттілігіне қарай, тақтада және өз орындарында өз беттерімен берілген есептерді шығаруы. Бақылау жұмыстарын жүргізу.
Әдістемелік нұсқау:Семинар сабағының 5-тақырыбындағы нұсқауға қараңыз
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

Тақырып №6. Беттің бірінші квадраттық формасы
* Бірінші квадраттық форманың коэффициенттері.
* Бет бойындағы сызықтар арасындағы бұрыш.
* Бөлік беттің ауданы.
Тапсырма:
Есепті шығарыңыз: [4] 762, 764, 766, 768, 773, 804-806, 808, 809, 813-814.
СОӨЖ өткізу түрі: Студенттердін қажеттілігіне қарай, тақтада және өз орындарында өз беттерімен берілген есептерді шығаруы. Бақылау жұмыстарын жүргізу.
Әдістемелік нұсқау:Семинар сабағының 6-тақырыбындағы нұсқауға қараңыз
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

Тақырып №7. Беттің екінші квадраттық формасы
* Екінші квадраттық форманың коэффициенттері.
* Беттің бас бағыты мен қисықтығы.
* Орта және толық қисықтық.
Тапсырма:
Есепті шығарыңыз: [4] 819, 821, 823, 828, 834, 836, 838, 840.
СОӨЖ өткізу түрі: Студенттердін қажеттілігіне қарай, тақтада және өз орындарында өз беттерімен берілген есептерді шығаруы. Бақылау жұмыстарын жүргізу.
Әдістемелік нұсқау:Семинар сабағының 7-тақырыбындағы нұсқауға қараңыз
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]
ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
41 - ші беті 48 беттің

+ СТУДЕНТТЕРДІЊ ӨЗДІК ЖҰМЫСЫН ЖҮРГІЗУ ЖОСПАРЛАРЫ

Тақырып №1. Вектор-функция ұғымы
* Вектор-функцияның анықтамасы.
* Вектор-функцияның шегі мен үзіліссіздігі.
* Вектор-функцияның дифференциалы мен интегралы.
Тапсырма:
Есепті шығарыңыз: [4] 11-14, 16-22, 33-36.
Әдістемелік нұсқау:Семинар сабағының 1-тақырыбындағы нұсқауға қараңыз
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

Тақырып №2. Қисықтар ұғымы
* Қисықтың параметрлік теңдеуі.
* Қисықтың айқын және жалпы теңдеуі.
* Қисықтың жанамасы.
Тапсырма:
Есепті шығарыңыз: [4] 102-104, 106-109, 507-509, 156-158.
Әдістемелік нұсқау:Семинар сабағының 2-тақырыбындағы нұсқауға қараңыз
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

Тақырып №3. Жанасушы жазықтық. Қисықтың нормалі
* Жанасушы және нормаль жазықтықтың теңдеулері.
* Қисықтың бинормалі мен бас нормалі.
* Қисықтың түзетуші жазықтығы. Френе репері.
Тапсырма:
Есепті шығарыңыз: [4] 530, 531, 536-538, 544-546, 549.
Әдістемелік нұсқау:Семинар сабағының 3-тақырыбындағы нұсқауға қараңыз
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

Тақырып №4. Доға ұзындығы. Қисықтық пен бұралым
* Қисықтың доға ұзындығының теңдеуі.
* Қисықтың қисықтығы.
* Қисықтың бұралымы
Тапсырма:
Есепті шығарыңыз: [4] 552, 555-558, 569-575, 580-581.
Әдістемелік нұсқау:Семинар сабағының 4-тақырыбындағы нұсқауға қараңыз
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

Тақырып №5. Бет ұғымы. Жанама жазықтық пен нормаль
* Беттің теңдеуінің берілу тәсілдері.
* Беттің жанама жазықтығының теңдеуі.
* Беттің нормалінің теңдеуі.
Тапсырма:
Есепті шығарыңыз: [4] 657, 660, 683, 685-689, 694.
Әдістемелік нұсқау:Семинар сабағының 5-тақырыбындағы нұсқауға қараңыз
ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
42 - ші беті 48 беттің

Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

Тақырып №6. Беттің бірінші квадраттық формасы

* Бірінші квадраттық форманың коэффициенттері.
* Бет бойындағы сызықтар арасындағы бұрыш.
* Бөлік беттің ауданы.
Тапсырма:
Есепті шығарыңыз: [4] 762, 764, 766, 768, 773, 804-806, 808, 809, 813-814.
Әдістемелік нұсқау:Семинар сабағының 6-тақырыбындағы нұсқауға қараңыз
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

Тақырып №7. Беттің екінші квадраттық формасы
* Екінші квадраттық форманың коэффициенттері.
* Беттің бас бағыты мен қисықтығы.
* Орта және толық қисықтық.
Тапсырма:
Есепті шығарыңыз: [4] 819, 821, 823, 828, 834, 836, 838, 840.
Әдістемелік нұсқау:Семинар сабағының 7-тақырыбындағы нұсқауға қараңыз
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]

+ КУРС БОЙЫНША ЖАЗБАША ЖҰМЫСТАРДЫҢ ТАҚЫРЫПТАРЫ

Рефераттық жұмыстың тақырыптары:
* Туындылардың геометриялық мағынасы.
* 2) Сызықпен байланысқан негізгі дифференциоалды-геометриялық ұғымдар.
* Асимтоталық бағыт. Асимтоталық сызық. Түйіндес бағыт.
* Беттері түйіндес торлар.

Курстық жұмыстың тақырыптары:
* Вектор-функция тақырыбына байланысты
* Қисықтар ұғымы және оның жанамасы мен нормаліне байланысты өзіндік жұмыс.
* Беттер ұғымы және оның жанамасы мен нормаліне байланысты өзіндік жұмыс.
* Беттің бірінші және екінші квадраттық формасына байланысты өзіндік жұмыс.

Қолданылатың әдебиеттер: [1-5]

Бақылау жұмысының тақырыптары:
* Вектор - функцияның қасиеттері.
* Қисықтар ұғымы. Қисықтың жанамасы.
* Жанасушы жазықтық. Қисықтың нормалі.
* Доға ұзындығы. Қисықтық пен бұралым.

+ Өзін-өзі тексеру үшін <<Дифференциалдық геометрия>> пәні бойынша тест сүрақтары.

1. векторлық көбейтіндісінің туындысын тыбыңыз:

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
43 - ші беті 48 беттің

2.Вектор функцияның келбеті (годографы) нені анықтайды:
3. сызықтың нүктесінде жанама векторын табу керек:

4. сызығының нүктесіндегі бинормалінің бағыттаушы векторын табу керек.

5. сызығының нүктесіндегі жанасушы жазықтығының теңдеуін жазыңыз.

6. бетінің нүктесіндегі нормаль векторын табу керек.

7. қисығының нүктесіндегі нормаль жазықтығы мына жазықтық болады.

8. қисығының бұрылымын есептеңіз.

9. сызығының бірлік жанама векторын анықтаңыз.

10. бетінің нормаль векторын анықтаңыз.

11.Мына жазықтықтардың арасындағы бұрышын табу керек.

12. ‡лкен жарты осі а=5 жєне параметрі с=4,8 болатын эллипстіњ кіші жарты осі b жєне ε эксцентриситін табыњыз.

а) b=1; ε=0,8; с) b=4; ε=0,6; e) b=5; ε=0.
в) b=1,4; ε=0,96; d) b=4,8 ε=0,28;

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
44 - ші беті 48 беттің

13. (2;2;-2) н%.ктесінен uтетін жєне х-2у-3z=0 жазыќтыѓына параллель жазыќтыќтыњ тењдеуін жазыњыз.

а) х-2у+3z=14; с) х-2у-3z=4 e) 2х+у+z=1.
в) х+у=4; d) 2х+3у+4z=3;

14. нүктесінен жазықтыққа дейінгі қашықтықты табу керек.

15. жазықтығының түзуімен қиылысу нүктесін табу керек.

16. шеңбердің радиусын жєне центрінің кординаттарын тап.
a) C (2; 4), R=20
b) C (2; -4), R=
c) C (0; 1), R=16
d) C (1; 2), R=25
e) C (1; 2), R=4

17. нүктесінің жазықтығына проекциясын табу керек.

18. шеңбердің радиусын және центрінің координаттарын тап:

19. гиперболасының фокустарын және асимптотасының теңдеуін жаз:
20. параболаның төбесі қай нүктеде жатыр:

Дұрыс жауаптар варианттары:

№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
жауап
С
D
A
D
B
C
B
C
C
D

11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
С
B
C
B
D
B
E
E
D
A

ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
45 - ші беті 48 беттің

Тест нәтижесі бойынша өзін-uзі тексеру шкаласы:

дұрыс жауаптар саны
Баллы
дұрыс жауаптар саны
Баллы
1
1,8
11
19,3
2
3,5
12
21
3
5,3
13
22,8
4
7
14
24,5
5
8,8
15
26,3
6
10,5
16
28
7
12,3
17
29,8
8
14
18
31,5
9
15,8
19
33,3
10
17,5
20
35

+ КУРС БОЙЫНША ЕМТИХАН СҰРАҚТАРЫ

Дифференциальдық геометрия және топология

* Вектор-функция. Вектор-функцияның шегі, үзіліссіздігі, дифференциалы және интегралы.
* Вектор-функцияның нүктедегі туындысы. Вектор-функцияның дифференциалының қасиеттері.
* Бірлік вектор-функция туралы лемма.. Тұрақты модульді векторлық функция.
* Үш өлшемді Евклид кеңістігіндегі қисық. Жол. Мысал.
* Қисық. Регулярлық қисық.
* Тегіс сызық. Мысал.
* Қисықтар ұғымы және олардың берілу тәсілдері.
* Френе үшжағы.
* Қисықтың жанамасы мен нормалі.
* Қисықтың жанасушы, нормаль жазықтықтары.
* Қисықтың бинормалі мен бас нормалі.
* Қисық доғасының ұзындығы. Натурал теңдеуі.
* Қисықтың иілімі мен бұралымы.
* Қисықтың табиғи параметр бойынша берілгендегі иілімі мен бұралымы.
* Табиғи параметр бойынша берілген қисықтың берілген нүктедегі жанамасы мен нормалінің теңдеулері ,
* Табиғи параметр бойынша берілген қисықтың берілген нүктедегі бас нормалі мен түзетуші жазықтығының теңдеулері.
* Табиғи параметр бойынша берілген қисықтың берілген нүктедегі бинормалі мен түйісуші жазықтығының теңдеулері
* Френе формулалары.
* Серре-Френе формулалары.
* Бет ұғымы және олардың берілу тәсілдері.
* Беттің жанама жазықтығы мен нормалі.
* Беттің бірінші квадраттық формасы және оның коэффициенттері.
* Беттегі қисықтар арасындағы бұрыш. Беттегі облыстың ауданы.
* Беттің екінші квадраттық формасы және оның коэффициенттері.
* Беттің нормальдық қисықтығы.
* Асимптоталық сызық пен бағыт.
ПОӘК 042-02.01.20.123/02-2013
01.09.2013 №1 басылым
46 - ші беті 48 беттің

* Бас бағыт және бас қисықтық. Эйлер формуласы. Қисықтық сызығы.
* Беттің орта және толық (Гаусс)иілімдері және есептеу формулалары.
* Топология элементтері.Метрлік кеңістік.Мысалдар.
* Ашық, тұйық шарлар. Сфере. Ішкі, сыртқы, шекаралық нүктелер. Мысал.
* Топологиялық кеңістік.Мысалдар.
* Тұйық жиындар.Мысалдар. Толық түп нұсқа.
* Үзіліссіз бейнелеу.Бейнелеудің үзіліссіздігі туралы тнорема.
* Жекеленушілік. Мысалдар.
* Байланыстылық. Мысалдар.
* Қарапайым беттер. Р тұтқалы сфера, Мебиус жапырағы.
* Изометрлік беттер. Беттерді майыстыру.
* Беттің ішкі геометриясы.
* Беттің нүктесінің гаусстық координаталары. Сфераның параметрлік теңдеуі.
* Гаусс-Бонн теоремасы.
* Бетті торкөздерге бөлу.
* Гомеоморфизм. Мысалдар.
* Қарапайым беттер. Р тұтқалы сфера. Мебиус жапырағы.

Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

Ақпарат

Қосымша

Email: info@stud.kz