УМКД

Қос интегралдардың қасиеттері

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
семей ҚАЛАСЫНЫҢ шәкәрім атындағы мемлекеттік университеті
3 деңгейлі СМК құжаты
ПОӘК
ПОӘК
042-0.1.00 /02-2013
Оқытушыға арналған
<<Математикалық анализ 2>> пәні бойынша жұмыс бағдарламасы
02.09.2013 ж.
№1 басылым

ПӘНДЕРДІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ

<<Математикалық талдау 2>>

5B010900-Математика мамандығы үшін

ОҚУ -ӘДІСТЕМЕЛІК МАТЕРИАЛДАР

Семей
2014

МАЗМҰНЫ

* Глоссарийлар...........................................................................3
* Дәріс оқулар ...........................................................................7
* Практикалық сабақтар.................................................................31
* Студенттің өздік жумысы................................................................45

1 ГЛОССАРИЙ

№
Жаңа ұғымдар
Мазмұны
1
Анықталмаған интеграл
Негізгі интегралдың таблицасы.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.23. 24.
2
Екі айнымалы функция
z = f(x, y). Экстремум
- бірінші ретті дербес туындылары
- толық дифференциал

Дифференциал арқылы жуықтап есептеу
- екінші ретті дербес туындылары.
Экстремумға зерттеу: 1) , P()
2) егер , мұндағы онда экстремум Р нүетсінде бар, егер , онда экстермум болмайды. Егер , онда P() максимум . Егер , онда P() - минимум
3
Екі еселі интеграл
, қайталаңған интегралға көшу
поляр координттарға көшу
беттін ауданы
жазық фигураның ауданы
- ауыру центрі

4
Үш еселі интеграл
қайталаңған интегралға көшу

.
Сфералық координаттарға көшу
.
Цилиндрлік координаттарға көшу
. - дененің көлімі
дененің массасы
моменты инерции
5
Қисық сызықты интегрладар
* Бірінші типті қисық сызықты интеграл.
С қисығы еркінше параметрлік теңдеулермен берілсін

С қисығы айқындалған y=y(x) (axb) теңдеумен берілген

* Екінші типті қисық сызықты интеграл.
С =(AB) қисығы параметрлік теңдеулермен берілген болсын.

Енді қисық айқындалған y=y(x) теңдеумен берілген

* += Грин формуласы.

6
Беттік интегралдары
* Беттік интегралды екі еселі интегралға келтіру
-
Бірінші типті бетті к интегралы
2)
- Екiншi типті беттік интегралы
3)
Стокс формуласы.
* -Остроградский
формуласы
7
Фурье қатарлары
аралығында
- Фурье қатары
, ,

аралығында
- Фурье қатары

8
Өріс теориясының элементтері
* скаляр өріс берілсін.
U скаляр шаманың градинент

* бағыты бойынша туындысы
ротор деп аталады
* векторлық өрістің дивергенция

* Онда Гаусс - Остроградский

* векторлық өрістін циркуляциясы

2 ДӘРІС ОҚУЛАР
Дәріс сабақтардың құрылымы

1-4 ДӘРІС. Цилиндрлік кесектің көлемі туралы есеп. Қос интегралдың анықтамасы. Қос интегралдың бар болуының шарты. Интегралданатын функциялар кластары. Қос интегралдардың қасиеттері.
1. Екі еселік интегралдың анықтамасы және есептеу. Жоғарғы жағынан z=f(x,y) бетпен, бүйір жағынан жасаушысы z осіне параллель цилиндрлік бетпен, ақырында, төменгі жағынан xy жазықтығындағы (P) жазық фигурамен қоршалған (V) дененні қарастырамыз. Осы дененің V көлемін табу керек.
Бұл есепті шешу үшін интегралдық есептеудегі дағдылы тәсілді қолданамыз: ізделетін шаманы элементар бөліктерге бөледі, әрбір бөлігін жуық есептейді, оларды жинақтап, соңынан шекке көшеді. Осы мақсатпен (P) (P1), (P2), ..., (Pn) бөлшек облыстарға юөлеміз және осы бөлшек облыстары табаны болатын цилиндрлік бағандарды қарастырамыз. Бұл цилиндрлік жиыны берілген денені құрады.
Жеке бағандардың көлемін есептеу үшін әрбір (Pi) фигурадан еркінше бір нүктеден аламыз. Егер әрбір бағанды жуықтап биіктігі f апликатаға тең нағыз цилиндр деп алсақ, онда бөлек бағанның жуық көлемі
fPi
көбейтіндіге тең болады. Мұндағы Pi фигураның ауданы н көрсетеді. Бұл жағдайда барлық дененің көлемінің жуық өрнегі
болады.
Бұл теңдіктің дәлдігін арттыру үшін (Pi) облыстардың санын көбейтіп, өлшемін кішірейтетін боламыз. (Pi) облыстардың ең үлкен диаметрі нольге ұмтылғандағы шегінде бұл дәл теңдік болып шығады, сондақтан
болады және есеп осымен шешіледі.
f(x,y) осы түрдегі шек функциясынан (P) облысы бойында алынған қос интеграл болады. Ол мына символмен белгілінеді

Жоғарғы көлем үшін табылған формула мына түрге келеді
V=
Қос интегралдың бар болуының шарты. Интегралданатын функция қажетті түрде шектелген болуы керек. Бұлай болмаған жағдайда кез келген тәсілмен (P) облысын бөлшек облыстарға бөлгенде , нүктелерді тандап алу есебінен интегралдық қосындыны қалауымызша үлкен етуге болады, сондықтан оның шектеулі I шегі болмай қалады.
Берілген f(x,y) функциясының интегралдану шарттарын қарауға көшкенде, алдымен оны шектелген функция деп ұйғаратын боламыз . Бір аінымалының функциясыжағдайындағыдай , бұл жерде де сондай ақ Дарбудың төменгі және жоғарғы қосындыларын енгізу қолайлы болады , , мұндағы және облысындағы f(x,y) функциясының мәндерінің дәл төменгі және дәл жоғарғы шекараларын белгілейді.
(P) облысы берілгени тәсілмен бөлшек облыстарға бөлінгенде нүктелерінің таңдап алынуына байланыссыз, мына теңсіздіктер орындалатын болады .
Дарбуның жоғарғы және төменгі қосындылары облысты бөлудің сол тәсіліне сәйкес интегралдық қосындылардың дәл жоғарғы және төменгі шекаралы болып табылады.
1 қасиет. Облысты бөлшек облыстарға бөлетін сызықтарға тағы жана сызықтар қосып , (Pi) бөлшектерді одан әрі ұсақтағанда, Дарбудың төменгі қосындысы кемімейді, ал жоғарғы қосындысы артпайды.
2 қасиет. Дарбудың әрбір төменгі қосындысы әрбір жоғарғы қосындысынан артпайды, тіпті бұл жоғарғы қосныдысы (P) облысын басқа тәсілмен бөлгеннен пайда болса да.
Теорема. Қос интеграл болу үшін болуы қажетті және жеткілікті немесе басқаша белгілеулерде
(1) ,
- мұнда f(x,y) функциясының (Pi) бөлшек облыстағы тербелесі.
Интегралданатын функциялар кластары.
1. (P) облысындағы әрбір үздіксіз f(x,y) функциясы интегралданатын болады.
Расында, егер f(x,y) функциясы (P) облыста үздіксіз болса, онда бір қалыпты үздіксіздіктің қасиеті бойынша әрбір санына сәйкес саны табылады және диаметрі дан кіші (Pi) бөліктерге бөлінген болсын. Сонда барлық тербелістер нен кіші болады және осыдан (1) шарттың орындалуы шығады.
Лемма. (P) облыста ауданы 0 ге тең бір (L) қисығы берілсін. Сонда әрбір санына сәйкес саны табылады және (P) облысы тек қана диаметрі дан кіші бөліктерге бөлінгенде (L) қисығымен ортақ нұктелері болатындарының аудандарының қосындысы нен кіші болады.
2. Егер шектелген f(x,y) функциясы тек ауданы 0 ге тең саны шектеулі қисықтарда үзілісті болса , онда ол интегралданатын болады.
Еркінше санын алайық. Ұйғару бойынша f(x,y) функциясының барлық <<үзіліс сызықтарын>> жалпы ауданы нен кіші болатын (Q) көп бұрышты облыстың ішіне орналастыруға болады. Саны шектеулі (L) сынық сызық облыстың шекарасы болады. Және оның да ауданы 0 ге тең болады.
(P) ден ішкі (Q) облысын бөліп шығарғаннан кейін қалған тұйық облыста f(x,y) функциясы тұтасынан үздіксіз, демек , бір қалыпты үздіксіз. Сондықтан алдын ала берілген санына сәйкес саны табылады және диаметрі ден кіші осы облыстың әр бөлігінде f(x,y) функциясының тербілісі нен кіші болады.
Енді лемма бойынша , оң санын табуға болады, әр қашан (P) облысын еркінше қисықтармен диметрлері осы ден кіші болатын етіп бөліктерге бөлгенде , сол бөліктердің (L) сынығына тиісетіндерінің аудандарының қосындысы нен кіші болады. , сандарының ең кіші болсын. (P) облысын диметрлері дан кіші болатын (P1), (P2), ..., (Pn) бөліктерге бөлеміз және сәйкес қосындыны қарастырамыз. Бұл қосынды екі қосындыға бөліп жазамыз
+
белгі тұтасымен (Q) облысының сыртында жататын облыстарға сәйкес деп , ал белгі қалған басқаларына сәйкес деп ұйғарамыз. Осы қосындыларын әрқайсысын жеке мұғдарлаймыз.
Сондықтан болады. Басқа жағынан егер барлық (P) облысындағы f(x,y) функциясының тербелісін арқылы белгілесек , онда теңсізідігі табылады.
Ақырында болғанда болып шығады. Бұл теңсіздіктің оң жағы мен бірге еркінше аз болғандықтан (1) шарт орындалатын болады.
Қос интегралдың қасиеттері.
1. Егер ауданы 0 ше тең кейбір (L) сынығы бойында (P) облыста интегралданатын f(x,y) функциясының мәнін қалауымызша өзгертсек, онда жаңадан табылған фуекция да (P) облысында интегралданатын болады және оның интегралы f(x,y) функциясының интегралына тең болады.
2. Егер f(x,y) функциясы берілген (P) облысы ауданы 0 ге тең (L) қисығымен және екі облысқа бөлінген болса, онда f(x,y) функциясының тұтас (P) облысында интегралданатындығынан оның және бөлшек облыстарында да интегралданатындығы келіп шығады және керсінше және облыстарда функцияның интегралданатындығынан (P) облысында интегралданатындығы келіп шығады. Сонымен болады.
3. Егер (P) облысында интегралданатын f(x,y) функциясын тұрақты к ға тең көбейтсек, онда шығатын функция да сондай ақ интегралданатын болады және сонымен бірге болады.
4. Егер (P) облысында f(x,y) және g(x,y) фунцкиялары интегралданатын болса, онда f(x,y) g(x,y) фунцкиясыда интегралданаьтын болады. Және болады.
5. Егер (P) облысында интегралданатын f(x,y) және g(x,y) фунцкиялар үшін f(x,y) g(x,y) теңсізідігі орындалатын болса онда орындалады.
6. f(x,y) функциясы интегралданатын жағдайда функциясы да интегралданатын болады және теңсізідігі орындалады.
7. Егер (P) облысында интегралданатын f(x,y) функциясы теңсізідікті қанағаттандыратын болса, онда теңсіздігі орындалады.

5-6 ДӘРІС. Қос интегралды есептеу. Тік бұрышты облыс жағдайында қос интегралды қайталанған интегралға келтіру. Қисық сызықты облыс жағдайында қос интегралды қайталанған интегралға келтіру
Бірінші семестрде дененің көлемін оның көлденеңқимасы бойынша есептеуге берілген есеппен кездестік. Осыған қатысты формуланы еске түсірейік. Дене және жазықтықтармен қоршалған болсын , х абциссаға сәйкес болатын , х өсіне перпендикуляр жазықтықпен қиғандағы дененің қимасының ауданы деп ұйғарайық. Сонда дененәң көлемі , бар болатын болса, мына формуламен өрнектеледі . Енді осы формуланы алдынғы сөз болған цилиндрлік кесектің көлемін есептеуге қолданамыз. Кесектің табаны тік төртбұрыш болған жағдайдан бастаймыз. жазықтығы қиятын кесектің қимасы қисық сызықты трапеция болады. Оның ауданың табу үшін бұл фигураның проекциясын жазықтығына түсшреміз. Сонда өзімен тең трапециясын тауып аламыз. Қисық сызықты трапеция ауданының анықталған интеграл түріндегі белгілі өрнегімен пайдаланып, мынаны жазамыз . Біздің болжауымыз кез келген қимаға жарамды болатындықтан , жалпы алғанда ушін болады . Осы формуланы көлемін формулаға қойғанда мына формуланы табамыз V= . Бірақ көлем V үшін біздін өрнегіміз де бар сондықтан=.
Сонымен қос интеграл қайталанған интегралға келтірілді. ХУ жазықтығындағы (Р) облысы екі қисықпен және және екі ординатамен қоршалған қисық сызықты трапеция болған жалпы жағдай үшін де осыған ұқсас нәтижені тауып алуға болады. Қарастырылыған жағдайданайырмасы тек мынау - бұрын кез келген белгілеп алынған де у аралығында ғана өзгеретін еді, ал енді ол аралықтың өзі ге тәуелді болады Сондықтан болады. Ақырында мынаны табамыз V==.
+ Тік бұрышты облыс жағдайында қос интегралды қайталанған интегралға келтіру.
Теорема. Егер (P) тік төртбұрышта (axb, cyd) анықталған f(x,y) функциясы үшін
(1)
қос интегралы бар болса және axb интервалындағы х - тің әрбір тұрақты мәнінде жай интеграл
, (axb) (2)
бар болса, онда сонымен қатар қайталанған интеграл (3)
бар болады және (4)
теңдік орындалатын болады.
Дәләлдеме. (P) тік төртбұрышта анықтайтын және арақықтарды нүктелерімен бөліктерге бөлеміз

Сонда (P) тік төртбұрыш мынадай дербес тік төртбұрыштарға бөлінеді.
және арқылы f(x,y) функциясының тік төртбұрыштағы сәйкес дәл төменгі және дәл жоғарғы шекараларын белгілейміз. Сондықтан осы тік төртбұрыштың барлық (x,y) нүктелері үшін теңсізідігі орындалатын болады. аралығынан х ті қалауымызша белгілеп алып : және у бойынша дейін интегралдап мына теңсіздігін табамыз . Мұнда , у бойынша интеграл бар болады, себебі бүкіл арақығында (2) интеграл бар деп ұйғарылған. Осыған ұқсас теңсіздіктерді к бойынша 0 ден ге дейін жинақтап төменгі теңсіздікті табамыз
Егерде осы теңсіздіктердің барлық бөліктерін ге дейін жинақтайтын болсақ мынау шығады
Ортада тұрған шама функциясы үшін интегралдық қосынды. Ал шеткі мүшелеріне келсек, олар (1) қос интеграл үшін Дарбудың s және S қосындылары болады. расында тік төртбұрыштың ауданы балғандықтан мысалы болады.
Сонымен ақтығында шығатыны Егер енді және бір уақытта 0 ге ұмтылса , онда (1) қос интегралдың бар болуы себепті, s және S екі қосындының екеуі де қос интегралға шегі ретінде ұмтылатын болады. Мұндай жағдайда және = болады , яғни (1) қос интеграл сонымен бірге функциясының интеграл интегралы болып табылады.
Сонымен теорема дәлелденді.
+ Қисық сызықты облыс жағдайында қос интегралды қайталанған интегрлаға келтіру.

Теорема. Егер (P) облысында анықталған f(x,y) функциясы үшін қос интегралы бар болса және axb интервалындағы х - тің әрбір тұрақты мәнінде жай интеграл
, (axb) бар болса, онда сонымен қатар қайталанған интеграл
бар болады және
теңдік орындалатын болады.Х және у айнымалыларының рольдерін өзгерте отырып осы формуламен қатар мына формула орындалады
және
7-8 ДӘРІС. Қос интегралдарда айнымалыларды ауыстыру
Жазық облыстарды түрлендіру. Біреу х және у тік бұрышты осьтеріне , ал екіншісі сондай және осьтеріне қатысты алынған екі жазықтық берілген дейік. Осы жазықтықтардағы шектелген екі тұйық облысты қарастырамыз. Мынадай қос интегралды қарастырамыз: ху жазықтықтағы (D) облысыын және облысында облысын. Бұл облыстардың әрқасысының контуры немесе шекарасы жай үзінді тегіс қисық деп ұйғарамыз. (D) облысыын контурын (S) символымен және облысының контурын символымен белгілейміз.
облысында үздіксіз функциялар системасы (1)
берілген дейік. Бұл система облысының әрбір ( ,) нүктесіне (D) облысынын бір белгілі нүктесін сәйкес және де (D) облысынын бір нүктесі деп қалып қоймайды, сондықтан бұл облыстын әрбір нүктесі облысының кемінде бір ( ,) нүктесіне сәйкес келетін болады.
Егер әртүрлі ( ,) нүктелерге әр түрлі нүктелері сәйкес келетін болса, онда әрбір нүктесі тек бір ғана ( ,) нүктесіне сәйкес келеді, ендеше (1) теңдеулер және ға қатысты бір мәнді шешілген болады және айнымалылары (D) облысында х,у тердіңбір мәнді функциялар болады
(2). Сөйтіп (D) және облыстарының арасында өз ара бір мәнді немесе бір бір мәнді сәйкестік тағайындалады. Сонымен қатар (1) формулалар облысын (D) облысына түрлендіреді , ал (2) формулалар (D) облысын облысына керісінше түрлендіреді деп те айтады. Бұл жағдайда қажетті түрде контурының нүктелеріне (S) контурының нүктелері сәйкес келетіндігін және керісінше болатындығын ескертеміз. Одан әрі (1) функциялар үздіксіз ғана болып қоймай , облысында үздіксіз бірінші ретті дербес туындылары болады деп ұйғарамыз. Сонда функцияоналдық анықтауыш та (3)
облысында ( ,) лардың үздіксіз функциясы болады. Бұл анықтауыш әрқашан 0 ге тең емес деп есептейміз, ал ендеше үздіксіз болғандықтан тұрақты таңбасын сақтайтын болады.

, мұнда (D) облысы қарапайым үзінді тегіс (S) контурымен қоршалған, ал f(x,y) функциясы осы облыста үздіксіз. D облысы {a<х> болсын. Бұл кесек төменгі жағынан және жоғарғы жағынан сәйкес және беттермен қоршалған болсын және бұл беттердің ху жазықтығына түсетін проекциясы ауданы 0 ге тең С қисығымен қоршалған кейбір D фигурасы болсын. (V) денесі екі бүйірінен жасаушылары z осіне параллель және С қисығы оның бағыттаушы ролінде болатын цилидрлік бетпен қоршалсын. Сонда мына формула табылады

.
12-13 Дәріс.Үш еселІ интегралды ауыстыру арқылы есептеу.
хyz тік бұрышты координаталар системасында алынған бір кеңістік және uvw координаталар системасындағы екінше кеңістік болсын. Сонда оларды қисық сызықты координатталары деп атайды.

1. Цилиндрлік координатталар ху жазықтығындағы полярлық координаталардың дағдылы z декарттық апликатамен косулуы болады№ Оларды декарттық координаталармен байланыстыратын формулалардың түрі мынадай

Түрлендірудің функционалдық анықтауышы мынау
Сонда

2. Сфералықкоординаталар басқаша кеңістіктегіполярлық координаталар деп аталады декартық координаталармен мына формулар арқылы байланысады.

Сонда
Якобиан:

Үш еселі интегралды қолданулары
7) Денесінің көлемі үш еселі интеграл арқылы мына формуламен өренктеледі

Мұндағы z1 және z2 - х және у тәуелді болатын функциялар, ал у1 және у2 - х тәіелді болатын функциялар немесе тұрақты, х1 және х2 - тұрақты болады.
8) Ауырлық центрінің координаталарын мына формулармен табамыз
9) Координатталар осьтеріне қатысты инерциялық моменттер үшін формулалар мына түрде табамыз

10) Координатталар жазықтықтарына қатысты инерциялық моменттер үшін формулалар мына түрде табамыз
.

11) Координаттық бас нүктеге қатысты инерциялық моменттер үшін формулалар мына түрде табамыз

12) Дененің кез келген нүктесіндегі массаның орналасу тығыздығын w арқылы белгілесек онда массаның үшін мына өрнекті табамыз
Фигураның ауданы .Дененің көлемі
Екі еселі интегралдың анықиасынаң жазықтык фигураның ауданы мына формуламен өрнектеледі .
.

Дененің ауданы

Егер бет айқын түрінде берілсе, онда
, беттін ауданы мына формуламен беріледі

14-21 ДӘРІС. Бірінші типті қисық сызықты интегрладар. Екінші типті қисық сызықты интеграл. ГРИН ФОРМУЛАСЫ.

1. Бірінші типті қисық сызықты интегралдар. Бұл ұғымға келу үшін соған келтіретін бір механикалық есепті қарастырайық. Қисық С берілсін. Бұл қисықтың бойында массалар орналасқан және олардың сызықтық тығыздығы қисықтың барлық М нүктелерінде болсын. Тұтас қисықтың С m массасын анықтау керек болады.
Бұл үшін қисықтың А және В ұштарының аралығына қалауымызша нүктелерді қондырамыз.
Қисықтың доғасынан бір нүктесін алып, сол нүктедегі тығыздықты есептейміз. Осы участоктың барлық нүктелерінде тығыздық нүктесіндегідей деп есептеп және доғаның ұзындығын деп белгілеп, бұл доғаның массасы үшін

жуық өрнек тауып аламыз, ал ізделіп отырған бүкіл масса үшін
өрнегі табылады.
Осы қосындының нольге ұмтылғандағы шектеулі шегін фукнкциясынаң қисық бойынша немесе С жолы бойынша алынған бірінші типті қисық сызықты интегралы деп аталады және

символымен белгіленеді. Мұндағы s доғаның ұзындығы және ds шамасы элементар ұзындықтардың жүреді.
Сөтіп, материалдық қисықтың массасы үшін жоғарында табылған өрнекті былай қайта жазуға болады:

Енді С қисығы еркінше параметрлік теңдеулермен берілсін

мұндағы және функциялары өздерінің және туындыларымен бірге үздіксіз және қисықтың еселік нүктелері жоқ деп ұйғарамыз.Сонда қисық әдейі түзуленуші болады егер t параметрдің өсуіне s== s(t) доғаның өсуі сәйкес келсе, онда

болады. Және

Сонымен бірінші типті қисық сызықты интегралды есептеу үшін интеграл астындағы функцияда х және у айнымалылардын координаталардың параметр арқылы өрнектерімен, ал ds көбейткішті параметрдің функциясы түрде доғаның дифференциалымен ауыстыру керек.
Айқындалған y=y(x) (axb) теңдеумен берілген қисық болған жағдайда формула мына түрге келеді

2. Екінші типті қисық сызықты интегралдар. (AB) жай қисық берілсін және тағы оның бойында кейбір f(x,y) функциясы берілсін болсын. Қисықты нүктелермен бөлімшелерге бөліп, қысықтың кесіндісінен еркінше нүктесін таңдап аламыз және бұрын жасағанымыз сияқты осы нүктедегі функцияның мәнін есептейміз. Бірақ бұл мәнді бұл жолы доғаның ұзындығына көбейтпей, оның, айталық х осіндегі проекциясына, яғни -ге көбейтеміз. Содан кейін
интегралдық қосындыны құрамыз.
0- ге ұмтылғандағы осы қосындының шектеулі I шегін f(M)dx- тің қисықтын бойымен алынған немесе (AB) жол бойынша алынған екінші типті қисық сызықты интегралы деп атайды және

символмен белгілейді.
Осыған ұқсас, мәнді -ге көбейтпей, -ге көбейтіп, яғни доғаның у осіндегі проекциясына көбейтіп және

қосындыны құрып, осының шегі түрінде f(M)dy - тің екінші типті қисық сызықты интегралын тауып аламыз

Бұл интегралдардың қосындысың қисық сызықты интеграл деп атайды және мына түрде жазады

С =(AB) қисығы параметрлік теңдеулермен берілген болсын. Онда қисық сызықты интегрлады мына формуламен есептейді

Енді интеграл айқындалған y=y(x) теңдеумен берілген қисықтың бойымен алынған болсын және де а-дан b - ге дейін х өзгерегенде нүктенің қисықтың бойымен жылжуы А - дан В- ге дейін болатын болсын.

22-26 ДӘРІС. Бірінші ЖӘНЕ ЕКІНШІ типті беттік интегралДАРЫ

Үзінді тегіс контурмен қоршалған кейбір екі жақты тегіс S бетің нүктелірінде f(M) функциясы анықталған болсын. S бетті қалауымызша жүргізілген қисықтыр торы арқылы бөліктерге бөлеміз. Әрбір бөліктен қалауымызша нүктесін алып,сол нүктедегі функцияның f(M) мәнін есептейміз және оны беттің сәйкес бөлігінің ауданына көбейтіп, барлық осындай көбейтінділердің қосындысын құрамыз Бұл қосынды бұдан бұрын қарастырылған көп қосындыларға ұқсас болғандықтын, біз оны интегралдық қосынды деп атайтын боламыз.
Анықтама. Барлық бөліктердін диаметрлері нөльге ұмтылғандығы осы косындының шектеулі шегін f(M) функциясының S бет бойындағы алынған беттік интеграл деп аталады. Және
1524635-5715000

символмен белгіленеді
Беттік интегралдың қасиеттері:

1) S - ауданы
2)
3)
4) Егер S бетті екі бетке бөлсек S1 және S2, онда

5) Егер , онда
6)
Беттік интегралды екі еселі интегралға келтіру 7283456350000

Сөйтіп бірінші типті беттік интегралды еселі интегралға кнлтіру үшін x, z, y координатталарын олардың параметрлер арқылы өрнектерімен, ал ауданның dS элементін оның қисық сызықты координаталар арқылы өрнегімен ауыстырса болғаны
Если на поверхности S есть хотя бы одна точка и хотя бы один не пересекающий границу поверхности контур, при обходе по которому направление нормали в точке меняется на противоположное, то такая поверхность называется односторонней.
Если при этих условиях направление нормали не меняется, то поверхность называется двухсторонней.
Будем считать положительным направлением обхода контура L, принадлежащего поверхности, такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остается слева.
Двухсторонняя поверхность с установленным положительным направлением обхода называется ориентированной поверхностью.

Рассмотрим в пространстве XYZ ограниченную двухстороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан либо уравнением вида z = f(x, y), либо является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ.
Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода.

12350755715000

- поверхностный интеграл второго рода.

Свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны уже рассмотренным нами свойствам поверхностного интеграла первого рода.
Т.е. любой поверхностный интеграл второго рода меняет знак при перемене стороны поверхности, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, поверхностный интеграл от суммы двух и более функций равен сумме поверхностных интегралов от этих функций, если поверхность разбита на конечное число частичных поверхностей, интеграл по всей поверхности равен сумме интегралов по частичным поверхностям.
Если S- цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси OZ, то . В случае, если образующие поверхности параллельны осям OX и OY, то равны нулю соответствующие составляющие поверхностного интеграла второго рода.
Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению соответствующих двойных интегралов. Рассмотрим это на примере.

27-30 ДӘРІС. Стокс, Остроградский ЖӘНЕ СТОКС формулаРЫ
Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.
Поверхностные интегралы первого и второго рода связаны друг с другом соотношением:
8731258826500

В этой формуле cos, cos, cos - направляющие косинусы нормали к поверхности S в выбранную сторону поверхности.

Формула Гаусса - Остроградского.
Формула Гаусса - Остроградского является аналогом формулы Грина - Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.
Для вывода формулы Гаусса - Остроградского надо воспользоваться рассуждениями, подобными тем, которые использовались при нахождении формулы Грина - Остроградского.
Рассматривается сначала поверхность, ограниченная сверху и снизу некоторыми поверхностями, заданными известными уравнениями, а сбоку ограниченную цилиндрической поверхностью. Затем рассматривается вариант когда поверхность ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными дум доугим координатным осям.
После этого полученные результаты обобщаются, приводя к формуле Гаусса - Остроградского:
3302002476500

Отметим, что эта формула применима для вычисления поверхностных интегралов по замкнутой поверхности.
На практике формулу Гаусса - Остроградского можно применять для вычисления объема тел, если известна поверхность, ограничивающая это тело.

Формула Остроградского - Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.
Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:

Если участки АВ и CD контура принять за произвольные кривые, то, проведя аналогичные преобразования, получим формулу для контура произвольной формы:
13436609715500

Эта формула называется формулой Остроградского - Грина.

Формула Остроградского - Грина справедлива и в случае многосвязной области, т.е. области, внутри которой есть исключенные участки. В этом случае правая часть формулы будет представлять собой сумму интегралов по внешнему контуру области и интегралов по контурам всех исключенных участков, причем каждый из этих контуров интегрируется в таком направлении, чтобы область все время оставалась по левую сторону линии обхода.
Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с поверхностными интегралами второго рода.
Пусть в пространстве задана некоторая поверхность S. L - непрерывный кусочно - гладкий контур поверхности S.
Предположим, что функции P,Q и R непрерывны на поверхности S вместе со своими частными производными первого порядка. Применим формулу, выражающую криволинейный интеграл через определенный.

Введем обозначения:
Применив формулу Грина - Остроградского, можно заменить криволинейный интеграл равным ему двойным интегралом. После преобразований устанавливается следуюшее соответствие между криволинейным и поверхностным интегралом:

эта формула и называется формула Стокса.
3 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТАР

ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ 1-3. ҚОС ИНТЕГРАЛДЫ ҚАЙТАЛАНҒАН ИНТЕГРАЛҒА КЕЛТІРУ. ҚОС ИНТЕГРАЛДЫ ЕСЕПТЕУ. ТІК БҰРЫШТЫ ОБЛЫС ЖАҒДАЙЫНДА ҚОС ИНТЕГРАЛДЫ ҚАЙТАЛАНҒАН ИНТЕГРАЛҒА КЕЛТІРУ.

Қос интегралды екі еселі интеграл көмегімен есептеу. Еселі интегралда айнымалыны ауыстыру. Еселі интегралда поляр координатаға көшіру.

Мысал 1. түзулерімен шектелген тіктөртбұрышты облысындағы қос интегралын есептеңдер.
Шешуі: Берілген қос интеграл төмендегідей екі еселі интегралға келтіреді.

- ті тұрақты деп есептеп ішкі интегралды есептейміз:

Алынған - тің функциясын [1,2] кесіндісінде интегралдаймыз.

Әдебиеттер
Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М., <<Наука>> - 1977.
Бақылау сұрақтар
* Цилиндрлік кесек деген не?
* Қос интегралдың анықтамасы?
* Қос интегралдың бар болуының шарты?
ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ 4. ҚИСЫҚ СЫЗЫҚТЫ ОБЛЫС ЖАҒДАЙЫНДА ҚОС ИНТЕГРАЛДЫ ҚАЙТАЛАНҒАН ИНТЕГРАЛҒА КЕЛТІРУ
Мысал 7. параболларымен шектелген облысында қос интегралын есептеңдер.
Шешуі: 2-сурет. облысының төменгі шекарасы ал жоғары шекарасы , яғни , мұндағы радикал алдына "+" таңбасы қойылады, өйткені облысы хОу жазықтығының бөлігінде орналасқан - тің [0,1] кесіндісіндегі кезкелген бекітілген мәнінде - тан не дейін өзгереді.
Сондықтан

О
1
1
А(1,1)
х
у

2-сурет.

Әдебиеттер
Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М., <<Наука>> - 1977.
Бақылау сұрақтар
* Қос интегралдың қасиеттері?
* Тік бұрышты облыс жағдайда қос и нтегралды есептеу?
* Қисық сызықты облыс жағдайда қос интегралды есептеу?

ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ 5. ҚОС ИНТЕГРАЛДАРДА АЙНЫМАЛЫЛАРДЫ АУЫСТЫРУ
Мысал 2. , түзулерімен және шеңберімен шектелген жазық облыстың ауданын есептеңдер.
Шешуі: поляр координатын енгіземіз. Сонда облысты шектейтін шеңбердің теңдеуі болады, мұндағы . нөлден - ге дейін өзгереді. 4-сурет. Сонда
у=х
у
х
D
O
(2,0)
A(1;1)
у=х
у
х
D
O
(2,0)
A(1;1)

4-сурет.

Әдебиеттер
Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М., <<Наука>> - 1977.
Бақылау сұрақтар
* Жазық облыстарды түрлендіру?
* Ауданды қисық сызықты координатталар арқылы өрнектеі?
* Поляр координаттар?

Геометриялық және механикалық қолданулары.
Мысал 1. түзуімен параболасымен шектелген жазық облыс - нің ауданын есептеңдер.
Шешуі: Суретін саламыз. (3 - сурет.)
облысын және өсіне проекциялаймыз. Бұл облыс өсіне қарағанда симметриялы, сондықтан облыстың жартысының ауданын тауып, одан кейін екі есептейміз.
облысының оң жартысы осіндегі [-1;2] кесіндісіне проекцияланады және сол жақ шекарасы түзуі ол оң жағы немесе сызығымен шектеледі.
Сонда

болады, бұдан .

1
-1
-1
2
у=2
у
х
D
1
-1
-1
2
у=2
у
х
D

3-сурет.
Мысал 3. қисығымен шектелген фигураның ауданын табыңдар.
Шешуі: Берілген фигураны шектеп тұрған сызықты зерттей келе оның пен қарағанда алтыншы дәрежелі теңдеумен берілген байқаймыз.
Егер - ті - пен ауыстырсақ берілген теңдеудің өзгермейтінін байқаймыз, сондықтан қисық абцисса осьіне қарағанда симметриялы болады. Одан басқа қисық координат бас нуктесі арқылы өтеді және , яғни қисық ордината осьінің оң жағында ғана орналасқан.
деп қойып поляр координаттарын көшеміз. Мұны қисықтың теңдеуіне қойып, немесе - ді қосамыз.
Бұл теңдеуден бұрышының әрбір мәніне радиус - ның бір ғана мәні сәйкес екенін көреміз. мәніне бұрыштың мәні сәйкес келеді, ал - ге сәйкес келеді, яғни бұрышы 0 - ден - ге дейін өзгергенде 2 деп 0 дейін бірқалыпты келеді. Осы жағдай жуық чертеж салуға мүмкіндік береді. (5 - сурет).
О
х
у

2
О
х
у

5-сурет.
Фигураның осьіне қарағанда симметриялығы оның І - ширекте жатқан бөлігінің ауданын тапсақ жеткілікті болады.

Әдебиеттер
Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М., <<Наука>> - 1977.
Бақылау сұрақтар
* Массаны есептеу?
* Ауданды есептеу?
* Көлемін есептеу?

ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ 6. ҮШ ЕСЕЛІ ИНТЕГРАЛ.
Мысал Ауданың табу керек , . .
Мысал. y2 = 4x + 4; x + y - 2 = 0.Сызақтармен шектелген фигураның ауданың есепте.
Сызақтардың қиылысу нүктелері - (0, 2) и (8, -6). х бойынша шектері до х = 2 - у, ал У өсіне проекциясы - 6 тан 2 ден. Онда
S =

Пример. Дененің көлемін есепте: конус x2 + y2 = 1;және жазықтық
x + y + z =3
x1 = -1; x2 = 1;

Мысал 5. қисықтарымен шектелген біртектес пластинканың ауырлық центрінің координатын табыңдар.
Шешуі: Қисықтардың қиылысу нүктелерінің координаттарын табамыз.
х
у
1
-2

х
у
1
-2

7-сурет.

Сонда .

Әдебиеттер
Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М., <<Наука>> - 1977.
Бақылау сұрақтар
* Дененің массасын есептеу?
* Үш еселік интеграл және оның бар болу шарты?

Үш еселік интегралды есептеу
Мысал 1. Үштік интегралды тап. Мұнда облысы беттерімен шенелген.(сурет-11). облысы осі бойынша дұрыс болғандықтан

Онда берілген интеграл үш еселі интегралға келтіріледі:
Әдебиеттер
Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М., <<Наука>> - 1977.
Бақылау сұрақтар
* Үш еселік интегралды есептеу?
* Үш еселік интегралдың қасиеттері?

ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ 7. ҮШ ЕСЕЛІК ИНТЕГРАЛДАРДА АЙНЫМАЛЫЛАРДЫ АУЫСТЫРУ
-609602413000325374036703000Мысал 2. Интегралды есепте егер облысы беттерімен шенелген болса (сурет-14).
облысының шекарасының теңдеулерін (**) цилиндрлік кординатаға көшіріп, облысының шекарасының теңдеулерін жазамыз.
-дан аламызғ, яғни.
теңдеуі поляр координатада өрнектеледі, ал өзгермейді. және айнымалылары үшін, .
Сондықтан, мынаны аламыз
.

Әдебиеттер
Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М., <<Наука>> - 1977.
Бақылау сұрақтар
* Кеңістік облычтарды түрлендіру?
* Көлемнің қисық сызықты координатталар арқылы өрнегі?
* Цилиндрлік және сфералық координатталар?

Үш еселік интегралдарды қолданулары.
Үш еселік интегралды пайдаланып, беттерімен шектелген дененің көлемін табыңдар.
Шешуі: 6-сурет. Жоғарғы жағынан төменгі жағынан үздіксіз беттерімен, ал бүйір жағынан тік цилиндрмен шектелген, және жазықтығындағы облысына проекцияланатын цилиндрін дене - нің көлемі туралы теория бойынша

формуласымен табылады.
O
O
x
x
y
y
z
A
B
M
D
A
B

O
O
x
x
y
y
z
A
B
M
D
A
B

6(а)-сурет 6(б)-сурет
Бұл дененің жоғары жағынан беттен, ал төменгі жағынан жазықтығымен, ал бүйір жағынан және тік цилиндрмен шектелген цилиндрдік дене деп қарастырамыз 6(а) сурет. Интегралдау облысы 6(б) сурет.

Әдебиеттер
Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М., <<Наука>> - 1977.
Бақылау сұрақтар
* Үш еселік интегралдың механикалық қолданулары?
* Үш еселік интегралдың геометриялық қолданулары?

ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ 8-11. БІРІНШІ ТИПТІ ҚИСЫҚСЫЗЫҚТЫ ИНТЕГРАЛ ЖӘНЕ ЕКІНШІ ТИПТІ ҚИСЫҚСЫЗЫҚТЫ ИНТЕГРАЛ. ГРИН ФОРМУЛАСЫ.
Пример. Қисық сызықты интегралды есепте по одному витку винтовой линии

Мысал. 1 типті Қисықсызықты интегралды есепте , где L- y=2x+1, , мұндағы L - түзу (АВ) А(0.1), В(1, 3)
Шешімі.
(АВ) тұзудің теңдеуді табамыз Онда , х-тің шектері Қисықсызықты интегралдан анықталған интегралға көшу

Мысал. 2 ші типтьі Қисықсызықты интегралды есепте ,где L- отрезок от А (1,1) до В(3, 4)
Шешімі.
(АВ) тұзудің теңдеуді табамыз Онда , х-тің шектері Қисықсызықты интегралдан анықталған интегралға көшу

Әдебиеттер
Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М., <<Наука>> - 1977.
Бақылау сұрақтар
* Бірінші типті қисық интегралдың анықтамасы?
* Бірінші типті қисық интегралдың бар болуы шарты?
* Физикалық есептерге қолдану

ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ 12-14. БІРІНШІ ЖӘНЕ ЕКІНШІ ТИПТІК БЕТТІК ИНТЕГРАЛДАРЫ
Пример. Вычислить криволинейный интеграл . L - контур, ограниченный параболами . Направление обхода контура положительное.

Представим замкнутый контур L как сумму двух дуг L1 = x2 и

Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой Остроградского - Грина.

Әдебиеттер
Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М., <<Наука>> - 1977.
Бақылау сұрақтар
* Екіінші типті қисық интегралдың анықтамасы?
* Екіінші типті қисық интегралдың бар болуы шарты?
* Екі типті қисық сызықты интегралдар арасындағы байланыс?

ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ 15. ОСТРОГРАДСКИЙ-ГАУСС ЖӘНЕ СТОКС ФОРМУЛАРЫ.
Пример. Бірінші типті беттік интегралды есептеу по верхней стороне полусферы

Преобразуем уравнение поверхности к виду:
Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:

Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:
,

Әдебиеттер
Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М., <<Наука>> - 1977.
Бақылау сұрақтар
* Бірінші типті беттік интегралдың анықтамасы?
* Айқындалған теңдеумен берілген беттің ауданы?
* Жалпы жағдайдағы беттің ауданы?
* Екінші типті беттік интегралдың анықтамасы?
* Жай қос интегралға келтіру?

СТУДЕНТТІҢ ӨЗДІК ЖҰМЫСЫ
СТУДЕНТТЕРДІҢ ӨЗДІК ЖҰМЫСТАРЫНА АРНАЛҒАН ТАҚЫРЫПТАРДЫҢ ТІЗІМІ
5.1 Цилиндрлік кесектің көлемі тұралы есеп.
5.2 Екі еселі интегралды қайталанған интегралға келтіру
5.3 Қисық сызықты облыс жағдайында қос интегралды қайталанған интегралға келтіру
5.4 Екі еселі интегралдарда айнымалыларды ауыстыру
5.5 Екі еселі интегралды геометриялық қолданулары
5.6 Екі еселі интегралды механикалық қолданулары
5.7 Дененің массасын есептеу тұралы есеп.
5.8 Үш еселі интегралды есептеу.
5.9 Үш еселі интегралдарды қолданулары
5.10 Бірінші және екінші типті қисықсызықты интегралдарды есептеу. Грин формуласы.
5.11 Бірінші және екінші типтік беттік интегралдары
5.12 Остроградский-Гаусс және Стокс формулары.
Бақылау есептер
Задача 1. Н.Я.Виленкин. Задачник по курсу математического анализа. ч. II., М.,<<Просвещение>> - 1971, 155-166с. №1.6-50.6
Задача 2. Н.Я.Виленкин. Задачник по курсу математического анализа. ч. II., М.,<<Просвещение>> - 1971, 166-172с. №51.6-76.6
Задача 3. Н.Я.Виленкин. Задачник по курсу математического анализа. ч. II., М.,<<Просвещение>> - 1971, 173-176с. №77.6-93.6
Задача 4. Н.Я.Виленкин. Задачник по курсу математического анализа. ч. II., М.,<<Просвещение>> - 1971, 176-182с. №94.6-121.6
Задача 5. Н.Я.Виленкин. Задачник по курсу математического анализа. ч. II., М.,<<Просвещение>> - 1971, 182-185с. №122.6-145.6
Задача 6. Н.Я.Виленкин. Задачник по курсу математического анализа. ч. II., М.,<<Просвещение>> - 1971, 185-190с. №146.6-172.6
Задача 7. Н.Я.Виленкин. Задачник по курсу математического анализа. ч. II., М.,<<Просвещение>> - 1971, 190-192с. №173.6-185.6
Задача 8. Н.Я.Виленкин. Задачник по курсу математического анализа. ч. II., М.,<<Просвещение>> - 1971, 192-194с. №186.6-196.6
Задача 9. Н.Я.Виленкин. Задачник по курсу математического анализа. ч. II., М.,<<Просвещение>> - 1971, 194-198с. №197.6-228.6
Задача 10. Н.Я.Виленкин. Задачник по курсу математического анализа. ч. II., М.,<<Просвещение>> - 1971, 198-207с. №229.6-273.6

Тестік сұрақтар

$$$ 1
Есепте ,
A)
B) 7
C) 8
D) 8,5
E)
$$$ 2
Есепте ,
A)
B) 7
C)
D) 8
E) 8.5

$$$ 3
Есепте ,
A)
B)
C)
D) 4
E)

$$$ 4
Есепте ,
A) 10
B) 11
C)
D)
E) 12

$$$ 5
Есепте ,
А) 4
B) 3
C) 0
D) 1
E) 2

$$$ 6
Есепте
A) -2
B) 0
C) 2
D) 4
E) 6

$$$ 7
Есепте
A) 9
B) 27
C) 24
D) 18
E) 36

$$$ 8 B
Есепте
A) 36
B) 38
C) 40
D) 42
E) 44

$$$ 9
Есепте
A) 29,5
B) 31,5
C) 30,5
D) 32,5
E) 33,5

$$$ 10
Есепте ,
A)
B)
C)
D)
E)

$$$ 11
Есепте ,
A)
B)
C)
D)
E)
$$$ 12
Есепте ,
A) е
B)
C)
D)
E)

$$$ 13
у=0, у=1, у=х3 сызықтарымен шектелген фигураның ауданын тап
A) 1
B)
C)
D)
E)

$$$ 14
х=0, х=2, у=0, у=ех сызықтарымен шектелген фигураның ауданын тап
A)
B)
C)
D)
E)

$$$ 15
: х=0, у=1, у=3, сызықтарымен шектелген фигураның ауданын тап
A) ln4
B) 1
C) ln3
D) ln5
E) ln6

$$$ 16
х=y, х=1, сызықтарымен шектелген фигураның ауданын тап
A) 0,5
B) 3
C) 2
D)1,5
E) 1

$$$ 17
Есепте
A) 1
B) 0
C) 2,5
D)
E)
$$$ 18
Есепте
A)
B)
C)
D)
E)

$$$ 19
Есепте
A)
B)
C)
D)
E)

$$$ 20
Есепте
A)
B)
C) 0,25
D)
E) 0,5

$$$ 21
Есепте ,
A)
B) 2
C)
D) 3
E)

$$$ 22
Есепте ,
A) е-1
B) е+2
C) е
D) е-2
E)е+1

$$$ 23 C
Есепте ,
A) 1
B) 1,5
C) 0,5
D) 2
E)

$$$ 24
Есепте ,
A) 7
B) 8
C) 10
D) 9
E) 6

$$$ 25 B
сызықтарымен шектелген фигураның ауданын тап
A)
B)
C)
D)
E)

$$$ 26
сызықтарымен шектелген фигураның ауданын тап
A)
B) 3,5
C)
D)
E) 4

$$$ 27
сызықтарымен шектелген фигураның ауданын тап
A) 13
B)
C)
D)
E)

$$$ 28
сызықтарымен шектелген фигураның ауданын тап
A) 30
B) 192
C) 28
D) 32
E) 35

$$$ 29
сызықтарымен шектелген фигураның ауданын тап
A) 52
B)
C)
D) 60
E)

$$$ 30
Полярлық координаталарға көше отырып есепте ,
A) 0
B)
C)
D)
E)

$$$ 31
Полярлық координаталарға көше отырып есепте ,
A)
B) 0
C)
D)
E)

$$$ 32
Полярлық координаталарға көше отырып есепте ,
A) 2
B) 0
C)
D)
E)

$$$ 33
Полярлық координаталарға көше отырып есепте ,
A) 0
B) 5
C) 4,5
D)
E)

$$$ 34
Полярлық координаталарға көше отырып есепте
A)
B)
C)
D)
E)

$$$ 35
Полярлық координаталарға көше отырып есепте
A)
B)
C)
D)
E) 25

$$$ 36
Есепте , егер Т : 0<=х<=, х<=у<=2х, 0<=z<=
A)
B)
C) 8
D) 8,5
E)

$$$ 37
Есепте ,егер Т-х=0, у=0, z=0, х+у+z-1=0
A)
B) 7
C)
D) 8
E)

$$$ 38
Есепте , егерТ - сфера x2+y2+z2=R2
A)
B)
C)
D) 4
E)

$$$ 39
Есепте , егер Т - z =
A)
B)
C)
D)
E)

$$$ 40
, егер Т - х=0, х=1, у=2, у=5, z=2, z=4
A) B) 3 C) 0 D) E) 2 ln

$$$ 41
Есепте
A) -12
B) 20
C) 12
D) 14
E) 16

$$$ 42
Есепте
A) 9
B) 27
C) 12
D) 18
E) 36

$$$ 43
Есепте

А) 36
B) 38
C) 40
D) 24
E) 44

$$$ 44
Есепте
A) 14
B) 13
C) 18
D) 0
E) 15

$$$ 45
Есепте , егер Т- призма x=y=z=0, z=3, x+y=2
A) 9
B) 2
C) 3
D) 8
E) 18

$$$ 46
Есепте , егер Т- параллелепипед x+y=1,х=0, y=0, z=0, z=3
А)
В)
С) 2
D) 3
E)

$$$ 47
Есепте , егер Т - х=у=z=0, x=1, y=2, z=3
A) 10
B) 11
C)
D)
E) 20

$$$ 48
, егер Т - x=y=z=0, x=2, y=4, z=5
A) 10
B) 40
C) 44
D) 55
E) 22

$$$ 49
Есепте , егер x=y=z=0, x=1, y=4, z=16
A) 25
B) 36
C) 64
D) 60
E) 29

$$$ 50
Есепте dxdydz, егер Т - x=y=z=1, x=y=z=2
A) 1
B) 0
C)
D)
E)

* ӘДЕБИЕТТЕР
o Негізгі әдебиеттер
8.1.1. Х.И.Ибрашев, Ш.Т.Еркеғұлов. Математикалық анализ курсы. 1-2 том. А., <<Қазақтың мемлекеттік оқу-педагогика баспасы>>, -1963.
8.1.2. Фихтенгольц Г. М. Математикалық анализ негіздері, 2 Том.
8.1.3. Демидович Б. П.Задачи и упражнения по математическому анализу, 1978, Наука
8.1.4. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике, М. <<Высшая школа>>, 1984.
8.1.5. Қадықайырұлы Қ. Дифференциалдық және интегралдық есептеулер, 1972, Мектеп
8.1.6. Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М., <<Наука>> - 1977.
8.1.7. Н.Я.Виленкин. Задачник по курсу математического анализа. ч. II., М.,<<Просвещение>> - 1971
8.1.8. Н.Темірғалиев. Математикалық анализ. А., <<Мектеп>>, 1987.
8.1.9. В.И.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа. М., <<Наука>> - 1980, ч.1 и 2.

+ Қосымша әдебиеттер
8.2.1. Данко Л. Е., Попов Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 2., М.,
8.2.2. Запорожец А. Т. Задачи по математическому анализу.
8.2.3. С. М. Никольский Курс математического анализа. Том 1. М. <<Высшая школа>>,
1978.
8.2.4. Уваренков И. М. Маллер М.З. Курс математического анализа 1966, 2том Просвещение
8.2.5. Л.Д.Кудрявцев. Математический анализ, т.1 и 2. М., - 1970.
8.2.6. В.Ф.Бутузов. Математический анализ в вопросах и задачах. М., <<Высшая школа>> - 1988.

Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

Ақпарат

Қосымша

Email: info@stud.kz