УМКД

Термодинамика және статистикалық физика негіздері курстың пәні мен әдістері

                ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИАСЫНЫҢ
             БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
         СЕМЕЙ КАЛАСЫНЫҢ ШӘКӘРІМ атындағы
                МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ
3 деңгейлі СМЖ құжаты 
                                   УМКД
ПОӘК 042.18.38.77/03-2013
                                   ПОӘК
Оқу-әдістемелік материалдар

                           №3 баспа  2013 ж.






 5В072300- <<Техникалық физика>> мамандығы үшін
<<Статистикалық физика және термодинамика негіздері>>
ЭЛЕКТИВТІК ПӘНІНІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ




             ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК МАТЕРИАЛДАР







                                  Семей
                                     2013
                                       
                      Дәріс № 1. Кіріспе. 
<<Термодинамика және статистикалық физика негіздері>> курстың пәні мен әдістері.
                       Дәрістің мазмұны.
* Феноменологиялық термодинамика және статистикалық физика. Табиғат заңдарын танудың динамикалық және статистикалық әдістері.
* Макро- және микрокүйлер, олардың ықтималдылығы.
* Кездейсоқ шамалар. Таралу функциясы.

* Термодинамиканың да, статистикалық физиканың да қарастыратын нысаналары бір  -  ол макроскопиялық жүйелер. Макроскопиялық жүйе деп өте көп бөлшектерден тұратын (мысалы, N ~ 1020) кез келген жүйені айтады. Бұл курстын мақсаты  -  макроскопиялық жүйелер беталысының жалпы заңдылықтарын зерттеу.
Макроскопиялық жүйелердің ғылыми зерттеулері ХVII ғасырда ең қарапайым макроскопиялық жүйеден  -  кәдімгі жағдайда қасиеттері идеал газға өте жақын ауадан басталды. ХVII-ХІХ ғасырлардағы атмосферадағы ауаның зерттеулері газдағы изопроцесстер заңдарының ашылуына әкелді және макрожүйелердің күйлері бірнеше физикалық шамалармен (мысалы, көлем, температура және массамен) ғана анықталатындығын көрсетті. Мұндай тәжірибелер арқылы табылатын шамаларды макроскопиялық параметрлер, ал олар арқылы анықталатын күйлерді макроскопиялық немесе термодинамикалық күйлер деп атайды. Макроскопиялық параметрлер арасындағы байланысы макрожүйенің күй теңдеуін береді.
Макроскопиялық жүйелердің алғашқы зерттеулерін өткізгенде заттың атомдық-молекулалық құрылымы әрі белгісіз болған. Осындай заттың атомдық-молекулалық құрылымын ескермей, тәжірибелер негізінде ғана жалпы заңдардың қорытылуын термодинамикалық әдіс деп атайды. Сондықтан термодинамиканы, классикалық электродинамика сияқты, феноменологиялық (феномен-құбылыс) ғылым деп атауға болады.
Жылу табиғатын эксперимент жүзінде ХVIIІ ғасырдың аяғында ағылшын ғалымы Бенжамен Томпсон (1753-1814) ашты. Ол суға салған металл цилиндрді бұрғылау нәтижесінде суды қайнатып, жылу материяның қозғалыс формасы екендігін дәлелдеді. 1824ж. француз инженері және физигі Сади Карно (1796-1832) <<Оттың қозғалтатын күші туралы>> деген жұмысында жылу мәшіндердің жалпы теориясын құрып, термодинамиканы дамыта бастады. Ол бірінші болып, ғылымда циклдар әдісін қолданды, термодинамиканың бірінші және екінші заңдарының онша дәл емес анықтамаларын берді.
Термодинамиканың бірінші заңын (бастамасын) ХІХ ғасырдың 40-шы жылдарында бір-біріне тәуелсіз неміс дәрігері Ю.Майер (1814-1878), ағылшын ғалымы Т.Джоуль (1818-1889) және неміс физиологы Г.Гельмгольц (1821-1894) ашты.
Термодинамиканың екінші заңының дәл анықтамасын 1850ж. неміс физик-теоретигі Р.Клаузиус (1822-1888) берді. Онымен бірге ол қайтымды және қайтымсыз процесстер үшін екінші заңының математикалық өрнегін беріп, физикаға жаңа ұғымды  -  энтропияны енгізді. Клаузиуске тәуелсіз термодинамиканың екінші бастамасын атақты ағылшын физигі У.Томсон (1824-1904) ашты. У.Томсон (Кельвин) екінші текті мәңгі қозғалтқышты жасауға болмайтындығын дәлелдеді, физикаға абсолюттік температура мен температураның абсолюттік шкаласын енгізді.
Термодинамиканың үшінші бастамасын (Нернст теоремасын) 1906ж. заттың төменгі температуралардағы беталысын зерттеу нәтижесінде неміс физигі В.Нернст (1864-1941) ашты.
Термодинамикада заттың ішкі құрылысы ескерілмегендіктен, онда неге? деген сұрақтын ешқандай мәні болмайды. Термодинамиканың заңдары мен қатынастары статистикалық физикамен салыстырғанда қарапайым болып келеді, сондықтан ол бірқатар техникалық ғылымдардың негізінде жатыр (мысалы, техникалық термодинамиканың, теплотехниканың және т.б.).
Статистикалық физикада термодинамикада қолданатын макроскопиялық жүйелердің жалпы бейнелеудің орнына макрожүйелер табиғаты әртүрлі болатын бөлшектердің көпшілігінен (атомдардан, молекулалардан, электрондардан және т.б.) тұратындығы ескеріледі. Бұл термодинамиканың негізгі қатынастарын қорытуға мүмкіндік береді (мысалы, термодинамиканың негізгі тепе-теңдігін, бір атомды идеал газдың күй теңдеуін және т.б.), яғни неге? деген сұраққа жауап беріледі. Екіншіден, статистикалық әдіс термодинамика көмегімен табылмаған кейбір сұрақтарға жауап табуға мүмкіндік берді (мысалы, заттың жылусыйымдылықтарының толық теориясын, флуктуациялар теориясын құруға және т.б.).
ХІХ ғасырдың екінші бөлігінде статистикалық физика газдардың кинетикалық теориясында дамытыла бастады және бұл кезенде макрожүйелерді құрайтын бөлшектер қозғалысы механикалық заңдарына бағынады деп есептелді. Классикалық статистика дамуына Р.Клаузиустің, ағылшын физигі Д.К.Максвеллдің (1831-1879), австриялық физик-теоретигі Л.Больцманның (1844-1906) және американдық физик-теоретигі Д.У.Гиббстің (1839-1903) үлесі зор.
Классикалық механика толығымен себебтік принципке негізделген. Ньютон заңдары бойынша механикалық жүйенің алғашқы күйі, яғни жүйеге кіретін бөлшектердің координаттары мен жылдамдықтары белгілі болса, жүйенің келешектегі кез келген күйі бірмәнді анықталады. Сонымен бірге механикалық процесстер қайтымды. Мысалы, жерден кейбір денені лақтырсақ, ол анықталған траекториямен қозғалып, жерге анықталған жылдамдықпен түседі. Егер денені түскен нүктеден қайтадан лақтырсақ және оның жылдамдығының  модулі түскен жылдамдықтың модуліне тең, ал бағыты қарама-қарсы болса, дене бұрыңғы траекториямен керісінші қозғалып, алғашқы нүктеге келеді. Бұл көзқарас бойынша ғылымда кездейсоқ деген ұғым мүлде болмау керек. Сөйтіп, механика даму нәтижесінде табиғатта динамикалық заңдылықтар ғана болу мүмкін деген көзқарас қоғамда қалыптасты, ғалымдар табиғаттын барлық құбылыстарын динамика заңдары негізінде түсіндіруге болады деп есептеді.
Динамикалық заңдылықтар бір немесе бірнеше бөлшектер ғана кіретін жүйелердің қозғалысында білінеді. Ал бөлшектер саны өте үлкен болатын макрожүйелердің беталысында статистикалық заңдылықтар айқын көрінеді. Табиғатта динамикалық заңдылықтар мен бірге статистикалық заңдылықтар болатындығы туралы алдымен ХІХ ғасырдың ортасында Максвелл айтқан. Статистикалық физика ықтималдық теориясына негізделеді және макрожүйелердің соңғы күйлері олардың алғашқы күйлеріне тәуелсіз болады. Оны былай дәлелдеуге болады. Біріншіден, алғашқы кезде жүйеге кіретін барлық бөлшектердің координаттары мен жылдамдықтары берілсе соңғы күйді табу үшін миллиардтаған теңдеулерді бірге шешуге теориялық жағынан мүмкін болсада практикалық жағынан мүмкін емес. Екіншіден, жүйеге кіретін бөлшектер ретсіз қозғалыста болғандықтан, кез келген бөлшектің басқа бөлшектермен соқтығысуларын ешқашан болжауға болмайды.
* Молекулалық теория мен термодинамика арасындағы байланысты табу үшін жүйе күйінің анықтамаларын дәлдеу керек. Жоғарыда айтылғандай, макроскопиялық денелердің беталысын қарастыратын термодинамика күй онша көп емес термодинамикалық параметрлермен анықталады. Ал микроәлемдегі жеке молекуланың қасиеттерін ескеретін молекулалық теорияда толық молекулалық жүйенің күйі анықталу үшін жүйеге кіретін әрбір молекуланың күйі белгілі болу керек. Жеке молекуланың еркіндік дәрежелер саны f болсын делік, яғни еркін өзгеретін мүмкінді бар f тәуелсіз параметрлері болсын делік. Сонда жеке молекуланың кеңістіктегі орны мен жылдамдығын сипаттау үшін 2 f күй параметрлері белгілі болу керек, себебі әрбір еркіндік дәрежеге бір кеңістіктік координата мен жылдамдықтың (немесе mv импульстің) бір құраушысы сәйкес болады. Сөйтіп N молекулалардан тұратын молекулалық жүйенің күйі 2 fN параметрлермен анықталады. Сөйтіп, молекулалық теорияда жүйе күйі термодинамикаға қарағанда мүлдем басқаша анықталады, себебі термодинамикалық параметрлер молекулалық параметрлерден айырылады және біріншілердің саны аз, ал екіншілердің саны өте үлкен.
Сонда термодинамикалық параметрлермен анықталатын макрожүйе күйін макрокүй деп атайды, себебі ол макроәлем үшін ғана маңызды болады. Ал молекулалық параметрлер арқылы анықталатын (координаттар мен импульстер арқылы) күйді макрожүйенің микрокүйі деп атауға болады, себебі оның мәні жеке молекулалар қарастырылатын микроәлем үшін ғана болады.
Әрбір микрокүй өзінің болу ықтималдығымен сипатталады. Бұл түсінікті, себебі молекулалар әрқашан қозғалады, бір-бірімен әсерлеседі және соқтығылсады. Молекулалық процесстердің ретсіздігін ескерсек, микрокүйдің параметрлерінің кейбір мәндері кездейсоқ пайда болады, сондықтан микрокүйде мына немесе ана ықтималдықпен орындалады. Бірақ кейбір макрокүйде әрқашан болмайды, ол да анықталған болу ықтималдылығымен сипатталады, себебі әрбір макрокүйдің артында молекулалардың кейбір ретсіз қозғалысы болады. Сонда біздің мақсатымыз  -  микро- және макрокүйлердің ықтималдылығын табу.
Бұл шамаларды есептеу үшін Больцман жалпы түрінде газдардың молекулалық статистикасының әртүрлі есептерін шешуге арналған ұяшықтар әдісін дамытты. Мұнда біз бұл әдісті дербес түрінде қолданамыз: 
Газ нүктелік молекулалардан тұрады деп алсақ, әрі молекула ілгерілмелі қозғалыстың үш еркіндік дәрежелерімен сипатталады және оның жылдамдығы үш компонентпен беріледі. Ықтималдылықтарды есептегенде әрбір молекуланың күйін елестететін жылдамдықтардың үш өлшемді кеңістікте жеке нүкте ретінде көрсетейік. Қолайлы бөлу үшін бұл кеңістікті кішкентай ұяшықтарға бөлейік және әрбір ұяшықтың көлемі dω = dvx dvy dvz болсын. Өз зерттеулінде Больцман әрбір ұяшықтағы молекулалардың күйлерін бірдей деп есептеу үшін олардың көлемдері жеткілікті кішкентай болу керек деген талапты қойды. Екінші жағынан, статистикалық әдісті қолдану үшін, ұяшықтарда молекулалар көп болу керек, сондықтан ұяшықтардың көлемі жеткілікті үлкен болу керек. Бұл талаптар, ұяшықтар көп болсада, газ үшін жақсы орындалады. Жылдамдықтар кеңістегі ұяшықтардың λ үлкен санын қарастырып, Больцман бойынша ықтималдықтар қорытылуын берейік.
Газдың алынған көлемі n молекулалардан тұрады деп есептейік. Көлемі dw1 болатын N1 ұяшықтағы бір молекула болуының ықтималдылығын W1 деп белгілейік. Сол ұяшықта екі молекулар болуының ықтималдылығы W12, себебі молекулалар бірдей және олардың бір ұяшыққа түсуі өзара тәуелсіз оқиғалар болады. Сонда N1 ұяшықта n1 молекулалардың болуының ықтималдылығы W1n1 болады. Солайда басқа ұяшықтардағы n2 , n3 ,..., nλ молекулалардың болуының ықтималдылығы ұқсас өрнектеледі. Молекулалардың ұяшықтар бойынша таралуы өзара тәуелсіз оқиғалар деп есептеп, бірмезгілде N1 ұяшықта n1 молекулалар, N 2 ұяшықта n2 молекулалар, N 3 ұяшықта n3 молекулалар және т.с. болуының ықтималдылығын мына түрде жазуға болады

                                         U = W1n1 · W2n2 · W3n3 · ... Wλnλ                              (1.1.)

мұнда  n1 + n2 + n3 + ... + nλ = n
Бұл шама молекулалар жылдамдықтарының анықталған таралуының ықтималдылығы, сөйтіп бұл кейбір микрокүйдің ықтималдылығы деп алуға болады. 
Енді макрокүйдің ықтималдылығын табайық. Ол үшін классикалық статистикада бірдей бөлшектерді айыруға болатындығын ескерейік. Молекулалардың ұяшықтар бойынша анықталған таралуына, яғни әрбір микрокүйге кейбір макрокүй сәйкес болады. Егер молекулалардың ұяшықтар бойынша таралу санын өзгертпей, ұяшықтардағы молекулалардың өзара орын алмастыруын өткізсек, жаңа микрокүй пайда болады, ал макрокүй өзгермейді. Сөйтіп, жалпы жағдайда бір макрокүйге көп микрокүйлер сәйкес болады. Бір макрокүйді туғызатын микрокүйлер бір-бірімен тең құқықты болу керек. Бұл Больцман тұжырымдаған негізгі қағидаға әкеледі: молекулалардың ұяшықтар бойынша берілген таралуымен сипатталатын барлық микрокүйлер тең ықтималды.
Сонда макрокүйдің ықтималдылығын табу үшін сол макрокүйге сәйкес n молекулалардың ұяшықтар бойынша таралуын өзгертпейтін барлық орын алмастырулар саның табу арқылы макрокүйге сәйкес барлық микрокүйлерді анықтап, олардың ықтималдылықтарын қосу керек. n молекулалар арасында  n! орын алмастырулар жасауға болады. Мысалы, 3 молекулалар алсақ, олардың арасында 3! = 1·2·3=6 орын алмастырулар жасауға болады. Енді осы 3 молекулалардың 2 ұяшықтар бойынша таралуын қарастырайық. Әртүрлі таралулардың саны 6 болады, ал молекулалардың ұяшықтар бойынша таралудың екі түрі ғана болады: бірінші ұяшықта бір молекула, екіншігінде екі молекула және керісінше. Бір макрокүйге үш микрокүйлер сәйкес болады. Математикалық жағынан макрокүйге сәйкес микрокүйлердің саның былай табуға болады

                                              n! n1! n2!  = 3!1!2! = 1·2·31·1·2 = 3

Бір ұяшықтағы бөлшектердің күйі бірдей деп есептелгендіктен, олардың өзара орын алмастырулары жаңа микрокүйлерді бермейді.
Жалпы жағдайда бір макрокүйге сәйкес микрокүйлердің саны былай табылады:
                                                          n!  n1! n2!...nλ!                              (1.2)

Ал әрбір микрокүйдің ықтималдылығы (1.1) формула бойынша анықталады, сондықтан макрокүйдің ықтималдылығы былай анықталады:

                          W = W1n1 · W2n2  · ... Wλnλ  n!  n1! n2!...nλ!                   (1.3)   

  +  және (1.3) өрнектерді қарапайым түрге әкелу үшін барлық ұяшықтардың көлемдерін бірдей  dω  деп есептейік. Сонда барлық ұяшықтардың көлемі λdω  болады, ал бір молекуланың бір ұяшықта болуынын ықтималдылығы былай анықталады:
                                                    ω = dωλdω = 1λ = λ-1                        (1.4)

Бұл ықтималдық Больцман бойынша барлық молекулаларға бірдей, яғни

                                        ω1 = ω2 = ... = ωλ = ω = λ-1

Сондықтан           U = λ-n   және
                                             W = λ-n n!  n1! n2!...nλ!                              (1.5)
(1.5) формула бойынша макрокүйдің ықтималдылығын бағалау қиын, сондықтан салыстырмалы ықтималдылықты WТ енгізу қолайлы. Оны Планк термодинамикалық ықтималдылық деп атайды. Жиі WТ макрокүйдің статистикалық салмағы деп атайды.
Термодинамикалық ықтималдылық немесе статистикалық салмақ  -  ол берілген макрокүйдің W ықтималдылығының шартты нормалды макрокүйдің W0 ықтималдылығына қатынасы, яғни
                                                         WТ = WW0                                  (1.6)
Нормалды күй ретінде кейбір макрокүйдің таңдап алып, барлық басқа күйлерді соған қатысты қарастыруға болады. Ең қарапайым нормалды жағдай-барлық молекулалар бір ұяшықта болуы, мысалы, N1 ұяшықта.
Сонда
                                          n1 = n,    n2 = n3 = ...= nλ = 0
және (1.5) формуладан табамыз
                                              W0  = λ-n n!  n!0!0!...  = λ-n                      (1.7)
Себебі    0! = 1
Бұл жағдайда барлық молекулалардың жылдамдығы бірдей, оның ықтималдылығы өте кішкентай шама. Сондықтан кез келген макрокүйдің ықтималдылығы одан өте үлкен шама   W ≫ W0 және WТ ≫ 1.
Термодинамикалық ықтималдылық берілген макрокүйдің ықтималдылығы нормалды макрокүйдің ықтималдылығынан неше есе үлкендігін көрсетеді (1.5), (1.6) және (1.7) формулалар негізінде табамыз

                          WТ = WW0  = n!  n1! n2!...nλ!    немесе    WТ =   n! Піnі !          (1.8)     
Макрокүйдің термодинамикалық ықтималдылығының (1.8) өрнегі Больцман статистикасы деп аталатын молекулалық жүйелер  статистикасында негізгі өрнек болады.
* Ықтималдылықтар теориясының негізгі ұғымы ретінде оқиға туралы ұғым алынады. Жалпы мағынасында оқиға деп қарастырылып отырған жүйедегі кейбір қасиеттін (сипаттаманың) пайда болуы немесе пайда болмауы есептеледі. Мысалы, темір ақшаны (монетаны) лақтырғанда орел немесе решканың шығуы, молекуланың анықталған жылдамдықты алуы және т.б. Барлық оқиғаларды мүлдем болмайтын әрқашан болатын және мүмкін болатын оқиғаларға бөлуге болады. Сол мүмкін болатын оқиғаларды кездейсоқ оқиғалар деп атайды. 
Кездейсоқ оқиғаның бірнеше сипаттамалары болуы мүмкін, бірақ математикалық статистика сұрақтарының көпшілігінде және статистикалық физикада сан мен бейнелетін бір ғана сипаттама қарастырылады. Осы санды кездейсоң шама деп атайды. Кездейсоң шаманың әртүрлі физикалық мағынасы болуы мүмкін, бірақ кездейсоқ шаманың мәндерінің көпшілігі туралы айтқанда дискретті және үздіксіз шамаларда айырады. Егер кездейсоқ шаманың мәндерінің көпшілігі шектелген болса, ол дискретті деп аталады. Мысалы, ыдыстағы бидай дәндерінің саны, шелектегі алмалардың саны, топтардағы студенттер саны және т.б.
Кейбір кездейсоқ  шамалар мәндердің анықталған интервалында кез келген мәнді алу мүмкін, яғни үздіксіз өзгеру мүмкін, сондықтан олар үздіксіз кездейсоқ шамалар деп аталады. Үздіксіз шамалардың көпшілігінің жиынтығы үздіксіз көпшілікті немесе континуумді түзеді. Мысалы, бидай дәндерінің салмағы белгілі интервалда кез келген мәнді алу мүмкін, яғни ол үздіксіз кездейсоқ шама болады. Солайда газ молекуланың координаттары мен жылдамдығы кездейсоң шамалардың екінші тобына жатады.
Дискретті кездейсоқ шама     ω1, ω2, ω3, ...,  ωn   ықтималдылықпен пайда болатын а1, а2, а3, ..., аn  әртүрлі  n  мәндерді алатын болсын. Сонда көрсетілген мәндерден кез келгені пайда болуынын ықтималылығы барлық ықтималдылықтардың қосындысына тең болады. 
Сөйтіп                                      і=1n  ωі = 1                                           (1.9)
Бұл өрнекті нормалау шарты деп атайды. Зерттеулер саны ақырсыз болғанда дискретті шама әртүрлі ықтималдылықпен мәндердін шектелген көпшілігін алатын болса, нормалау шарты былай жазылады
                                                     і=1infinity  ωі = 1                                        (1.10)

Кездейсоқ шаманын ықтималдылылықтар мәндерінің жиынтығы алынған шаманың таралуын түзеді.
Үздіксіз шама үшін нормалау шарты өзгереді. Кездейсоқ шама мәндерінің 
х-тан х + ∆х-қа дейін кішкентай интервалында пайда болуының ықтималдылығы х-тың таңдап алынған мәніне тәуелді болады, яғни ол f(х) функция болады және ол интервалдың ∆х мәніне пропорционал болады. Сөйтіп, ықтималдылықты f(х) ∆х деп көрсетуге болады. ∆х --> 0 шекке ауысып, кездейсоқ шаманың х-тан  х +
Пәндер
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат

Қосымша

Email: info@stud.kz