УМКД

Анықталған интеграл

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
семей ҚАЛАСЫНЫҢ шәкәрім атындағы мемлекеттік университеті
3 деңгейлі СМК құжаты
ПОӘК
ПОӘК
042-0.1.00 /02-2013
Оқытушыға арналған
<<Математикалық анализ 1>> пәні бойынша жұмыс бағдарламасы
02.09.2013 ж.
№1 басылым

ПӘНДЕРДІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ

<<Математикалық анализ 1>>

5B010900-Математика мамандығы үшін

ОҚУ -ӘДІСТЕМЕЛІК МАТЕРИАЛДАР

Семей
2014

МАЗМҰНЫ

1
Глоссарийлар .....................................................................................

3
2
Дәріс оқулар.......................................................................................

8
3
Практикалық сабақтар.......................................................................

23
4
Студенттің өздік жұмысы.................................................................

1 ГЛОССАРИЙЛАР

№
Жаңа ұғымдар
Мазмұны
1
2
3
*
Алғашқы функция
Егер аралығындағы дифференциалданатын және, теңдігі орындалатын болса, онда ол берілген аралықтағы функциясының алғашқы функциясы деп аталады
*
Анықталмаған интеграл
Егер функциясы функциясының белгілі бір аралықтағы алғашқы функциясы болса, онда функциялар жиынтығы берілген функциясының анықталған интегралы деп аталады да символымен белгіленеді, мұндағы С-ерікті тұрақты
*
Анықталмаған интегралдағы айнымалыларды ауыстыру
Айталық мұндағы бірсарынды және дифференциалданатын функция. Онда
*
Бөліктеп интегралдау формуласы

*
интегралының рекурентті формуласы

*
Мына төмендегі интегралдарды есептеу

Үшмүшеліктің

толық квадратын бөліп алып, ауыстыруын қолданамыз.
7

7
Рационал функцияларды интегралдау мұндағы көпмүшеліктер
1) егер бөлшегі бұрыс болса, онда көпмүшелігін көпмүшесіне бөлеміз, сонда бөлінді бүтін бөлікке және дұрыс бөлшекке жіктеледі ;
2) көпмүшені көбейткіштерге жіктейміз;
3) дұрыс бөлшекті қарапайым бөлшектердің қосындысына келтіреміз;
4) белгісіз коэффициенттерді жеке мәндер және анықталмаған коэффициенттер әдісітерімен табамыз.
5) қарапайым бөлшектердің интегралын есептейміз.
8
Мына түрдегі интеграл
мұндағы -рационал функция;
бүтін оң сандар.
алмастыруын жүргіземіз, мүндағы - саны бөлшектерінің ортақ бөлімі
9
Төмендегі интегралдарға
1)
2)
3)

Келесі алмастырулар жүргізіледі:
1)
2)
3)
10
Мына түрдегі интегралдарға

Төмендегі формулаларды қолдану керек

11
Келесі интегралдарға
мұндағы m,n-бүтін сандар
1) Егер - оң тақ сан болса, ондаалмастыруын жүргіземіз.
2) Егер - оң тақ сан болса, онда алмастыруын жүргіземіз.
3) Егер - жұп оң сандар болса, онда мына формулалар қолданылады:

4) Егер жұп теріс сан болса, онда алмастыруын жүргіземіз.

12
Мына түрдегі интегралдарға
мұндағы- функциясы арқылы рационал функция.
универсал ауыстыруын жүргіземіз. Сонда
болады. Дербес жағдайлар:
1) Айталық онда ауыстыруын жүргіземіз.
2) Айталық , онда ауыстыруын жүргіземіз.
3) Айталық онда ауыстыруын жүргіземіз.

Анықталған интегралдың анықтамасы

Егер нөлге ұмтылғанда интегралдық қосынды аралығын бөлу тәсіліне және нүктелерін қалай сайлап алуға тәуелді емес бір тиянақты шекке ұмтылса, онда осы шекті функциясының аралығында алынған анықталған интегралы деп атайды және былай белгіленеді:
14
Ньютон-Лейбниц формуласы
, мұндағы функциясы функциясының алғашқы функциясы
15
Анықталған интегралды бөліктеп интегралдау формуласы
Айталық, және олардың туындылары -аралығында үзіліссіз болса, онда төмендегі формула орындалады.
16

Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру
Егер функциясы аралығында үзіліссіз, ал өз кезегінде функциясы кесіндісінде үзіліссіз дифференциалданатын функция және болсын. Онда

Бірінші текті меншіксіз интегралдар (өзіндік емес интегралдар). Шектері ақырсыз интегралдар

18
Екінші текті меншіксіз интегралдар (өзіндік емес интегралдар). Шектелмеген функциялар интегралы
Егер функциясы болғанда үзіліссіз және онда анықтама бойынша орындалады.

19
Жоғарғы жағынан, үзіліссіз қисықпен, төменгі жағынан өсімен , бүйір жақтарынан
түзулермен қоршалған қисық сызықты трапецияның ауданы

қисықтарымен шектелген фигураның ауданы

21
Фигура параметрлік теңдеулермен барілген қисықтарымен шектелген. Осы фигураның ауданы

22
сәулелерімен және қисығымен шектелген фигураның ауданы

23
теңдеуімен берілген доғаның ұзындығы

параметрлік теңдеулерімен берілген кеңістіктегі қисықтың доғасының ұзындығы

25
параметрлік теңдеулерімен берілген кеңістіктегі қисықтың доғасының ұзындығы

26
Қисықтың теңдеуі поляр координаттарында берілсе, онда қисықтың доғасының ұзындығы

27
аралығында орналасқан теңдеуімен берілген қисық доғасының өсі арқылы айналғанда пайда болған айналу бетінің ауданы

28
параметрлік теңдеулермен берілген қисық доғасының өсі арқылы айналғанда пайда болған айналу бетінің ауданы

29
поляр координаттарында берілген қисық доғасының өсі арқылы айналғанда пайда болған айналу бетінің ауданы

Денің көлемі
мұндағы өсіне перпендикуляр денеге жүргізілген қиманың аудуны
31
функциясы графигі арқылы алынған қисықсызықты трапецияны өсімен айналдырғанда пайда болған айналу бетінің көлемі

32
фигурасы графигі арқылы алынған қисықсызықты трапецияны
өсімен айналдырғанда пайда болған дененің көлемі

2 ДӘРІС ОҚУЛАР

ДӘРІС 1-5. Анықталмаған интеграл және қасиеттері. Айнымалыны ауыстыру және бөлшектеп интегралдау.

Дәріс сабақтың құрылымы:
* Алғашқы функция және анықталмаған интеграл
* Интегалдаудың негізгі әдістері
3. Айнымалыны ауыстыру тәсілімен интегралдау
4. Бөлшектеп интегралдау

Дәріс сабақтың мазмұны:
1. Алғашқы функция және анықталмаған интеграл.
1-Анықтама. Егер [a,b] кесіндісінің кез келген нүктесінде болса, онда F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы деп аталады.
Мысалы: функциясының алғашқы функциясы болады, өйткені болады.
Теорема-1. Егер және функциялары f(x) функциясының [a,b] кесіндісіндегі екі алғашқы функциялары болса, онда олардың айырмасы тұрақты сан болады.
2-Анықтама. Егер функциясы f(x) тің алғашқы функциясы болса, онда өрнегі f(x) функциясының анықталмаған интегралы деп аталады. және деген белгімен белгіленеді. Сонымен болады. Мұндағы
f(x) интеграл астындағы функция деп, f(x)dx интеграл астындағы өрнек деп аталады. х интегралдау айнымалысы деп, ал белгі -анықталмаған интегралдың таңбасы деп аталады.
Теорема-2. Берілген сегментте үздіксіз кез келген функцияның осы сегментте алғашқы функциясы болады. Берілген функцияның анықталмаған интегралын табу амалы сол функцияны интегралдау деп аталады. 2-ші анықтамадан мыналар шығады.
* Анықталмаған интегралдың туындысы интеграл астындағы функцияға тең болады, яғни, егер болса, онда болады.
* Анықталмаған интегралдың дифференциалы интеграл астындағы өрнекке тең болады.
* Кез келген функцияның дифференциалының анықталмаған интегралы сол функция мен тұрақты санның қосындысына тең болады.
Негізгі интегралдың таблицасы.
Интегралдауды жеңілдету үшін негізгі интегралдардың таблицасы беріледі. Бұл таблицалардың дұрыстығын дифференциалдау арқылы жеңіл тексеруге болады.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 11*.
12. 12*.
13. 13*.
14. 15.
16.
Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері.
Теорема-1. Екі және бірнеше функцияның алгебралық қосындысының анықталмаған интегралы олардың интегралдарының қосындысына тең.
.
Теорема-2. Тұрақты көбейткішті интеграл таңбасының алдына шығаруға болады, яғни егер а - тұрақты сан болса, болады.
2. Интегалдаудың негізгі әдістері.
* Жіктеу тәсілімен интегралдау.
Негізгі интегралдың табицасын пайдаланып және анықталған интегралдың негізгі қасиеттерін қолданып және сол сияқты интеграл астындағы функцияны жай тепе-тең түрлендіру арқылы интегралдауды тікелей интегралдау деп аталады. Мысалы:
1)
2)
3)
3. Айнымалыны ауыстыру тәсілімен интегралдау.
интегралын есептегенде f(x) функциясының алғашқыфункциясы бар болғанмен, оны тікелей табу қиын болуы мүмкін. Сондықтан интеграл астындағы өрнекте деп айнымалыны ауыстырайық. Мұндағы кері функциясы бар, туындысы үздіксіз болатын үздіксіз функция болсын. Сонда болады. Сонда мынадай теңдік орындалады.
Ескерту. Кей жағдайда айнымалыны деп алмастырудан, деп алмастыру қолайлы болады. Мысалы:
Мысалы:
4. Бөлшектеп интегралдау.
u және v дифференциалданатын функция болсын. Сонда uv көбейтіндісінің дифференциалы мына формуламен табылады. Интегралдасақ, . Бірақ, . Болғандықтан болады. Бұл бөлшектеп интегралдау формуласы деп аталады.
Мысалы.
Кейде бөлшектеп интегралдауды бірнеше рет қолдану керек болады.
Бөлшектеп интегралдау әдісімен есептелетін, жиі кездесетін кейбір интегралдарды қарастырайық.
І. интегралдар. Мұндағы к-кез келген сан. Бұл интегралдарды бөліктеп интегралдау үшін белгілеу керек.
ІІ. интегралдар. Мұндағы P(x) - көпмүшелік. Бұл интегралдарды бөліктеп интегралдау үшін -ке көбейтілген функцияны u деп белгілеу керек.
ІІІ. интегралдар. Мұндағы а және в сандар. Бұл интегралдарды екі рет бөліктеп интегралдау арқылы табылады.

Өзін-өзі бақылауға арналған есептер:
1. интегралын тап.
2. интегралын тап.
3. интегралын тап.
4. интегралын тап.
5. Интегралын тап.

Ұсынылған әдебиеттер:
1. Х.И.Ибрашев, Ш.Т.Еркеғұлов. Математикалық анализ курсы. 1-2 том. А., <<Қазақтың мемлекеттік оқу-педагогика баспасы>>, -1963.
2. Фихтенгольц Г. М. Математикалық анализ негіздері, 2 Том.
3. Н.Темірғалиев. Математикалық анализ. А., <<Мектеп>>, 1987.

ДӘРІС 6-11. Рационал функцияларды интегралдау. Иррационал функцияларды интегралдау. Тригонометриялық функцияларды интегралдау.

Дәріс сабақтың құрылымы:
* Қарапайым рационал бөлшектер және оларды интегралдау
* Рационал бөлшектерді қарапайым рационал бөлшектерге жіктеу
3. Рационал бөлшектерді интегралдау

Дәріс сабақтың мазмұны:
1. Қарапайым рационал бөлшектер және оларды интегралдау.
Кез келген рационал бөлшекті төмендегідей төрт түрлі қарапайым рационал бөлшектердің саны шекті болатын қосындысы түрінде жіктеуге болады.
І. ;
ІІ. ;
ІІІ. (бөлімінің түбірлері комплекс сандар, яғни ).
ІV. (бөлімінің түбірлері комплекс сандар, оң бүтін сан).
2. Рационал бөлшектерді қарапайым рационал бөлшектеге жіктеу.
Кез келген дұрыс рационал бөлшекті қарапайым бөлшектердің қосындысы түрінде жіктеуге болатынын көрсетейік. дұрыс рационал бөлшегі берілсін. Бұл бөлшек қарапайм болсын және мұндағы көпмүшеліктердің коэффициенттері нақты сан болсын.
Теорема 1. Егер х=а бөліміндегі көпмүшеліктің к еселі түбірі болсын, яғни болсын. Онда берілген дұрыс бөлшек ті төмендегідей екі дұрыс бөлшектің қосындысы түрінде жіктеуге болады. (*). Мұндағы А-нөлге тең емес тұрақты сан, ал дәрежесі бөлімінің дәрежесінен кіші болатын көпмүшелік.
Салдар. (*) - ші теңдікке кіретін дұрыс рационал бөлшекке алдағыға ұқсас талқылауды қолдануға болады. Сондықтан, егер х=а бөліміндегі көпмүшеліктің к еселі түбірі болса, онда оны былай жіктеп жазуға болады. . Мұндағы - қысқармайтын дұрыс бөлшек. Бұл бөлшекке де алдыңғы теореманы қолдануға болады, егер тің басқа нақты түбірлері болса.
Енді бөліміндегі көпмүшеліктің комплекс түбірлері болғандағы жағдайды қарастырайық. Нақты коэффициентті көпмүшеліктердің комплекс түбірлері қос-қостан түйіндес болатынын еске салайық. Сонда көпмүшеліктің нақты көбейткіштерге жіктегенде көпмүшеліктің әрбір түйіндес комплекс түбіріне түріндегі өрнек сәйкес келеді.егер комплекс түбірінің еселігі болса, оған өрнегі сәйкес келеді.
Теорема 2. Егер болсын, мұндағы көпмүшелігі -ға бөлінбейді, онда дұрыс рационал бөлшек -ті төмендегідей екі дұрыс бөлшектің қосындысы на жіктеуге болады.
. Мұндағы көпмүшелігінің дәрежесі -тің дәрежесінен кем болады.
3. Рационал бөлшектерді интегралдау.

-рационал бөлшектің интегралын есептеу керек болсын яғни -ті есептеу керек болсын. Егер берілген бөлшек бұрыс бөлшек болса, онда оны М(х) көпмүшелігі мен дұрыс рационал бөлшек -тің қосындысы түрінде жазамыз. Сонда болады. -ті қарапайм бөлшектердің қосындысына жіктейміз.

1. Кейбір тригонометриялық функциялардың түрлерін интегралдау.
интегралын қарастырайық. Мына алмастыруларды қолданамыз:
Қарастырылған алмастыру түріндегі кез келген функцияны интегралдауға мүмкіндік береді. Сондықтан оны <<Универсалды тригонометриялық ауыстыру>> формуласы деп атайды. Бірақ практикада ол өте қиын рационал функцияға келтіреді. Сондықтан кей жағдайда жылдамырақ мақсатқа жеткізетін алмастырудың басқа түрлерін де білген жөн.
1) түріндегі интегралына алмастыруын қолдансақ түріне келтіреді.
2) интегралына алмастыруын қолдансақ, ол интегралды рационал функцияның интегралына алмастырады.
3) Егер интеграл астындағы өрнек түрінде болсын, бірақ Sinx пен Cosx - тің тек қана жұп дәрежелері болса, онда tgx=t алмастыруы қолданылады.
4) Егер интеграл астындағы өрнек tgx - ке ғана тәуелді болса, онда алмастыруы мұндай интегралды рационал функцияның интегралына алмастырады.
5) Интеграл астында түріндегі көбейтінді болып келген интегралын қарастырайық. Мұнда үш жағдайды қарастырамыз:
а) , мұндағы m және n сандарының ең болмағанда біреуі тақ сан болсын. Айқындық үшін n- тақ сан болсын. n=2p+1 алайық және интегралды түрлендірейік. Бұл t-ның рационал функциясының интегралы.
б) , мұндағы m және n теріс емес жұп сандар. m=2p, n=2p - деп алайық және интегралды түрлендірейік.
болады. Дәрежеге шығарып және жақшаны ашсақ, Cos2x-тің тақ және жұп дәрежелері бар мүшелерді аламыз. Тақ дәрежесі көрсеткішті бар мүшелер а) жағдайда көрсетілгендей интегралданады. Жұп дәреже көрсеткіші бар дәрежелерді тағы да дәреже көрсеткіштерін түрлендіреміз. Осылай жалғасып ең аяғында оңай интегралданатын сияқты мүшеге келеміз.
в) Егер екі көрсеткіште жұп болып, ең болмағанда біреуі теріс болса, онда tgx=t, (Ctgx=t) деп айнымалыны ауыстыру керек.
Кейбір иррационал функцияларды тригонометриялық алмастырулардың көмегімен интегралдау.
1. болсын. деп белгілейміз. Сонда . Яғни
2. болсын. деп белгілейміз. Сонда . Яғни
3. 1. болсын. деп белгілейміз. Сонда . Яғни
1. болсын. Бұл жағдайда х-тің кезкелген мәнінде комплекс сан болады.

Өзін-өзі бақылауға арналған есептер:
1. Интегралын бөлшектеп интегралдау әдісімен табыңдар.
2. Интегралын табыңдар.
3. Интегралын бөлшектеп интегралдау әдісімен табыңдар.
4. Интегралын табыңдар.
5. Интегралын тап.
6. Интегралын тап.
7. Интегралын тап.
8. Интегралын тап.
9. Интегралын тап.

ДӘРІС 16-23. Анықталған интеграл. Ньютон - Лейбниц формуласы. Есептеу әдістері

Дәріс сабақтың құрылымы:
1. Анықталған интеграл және оның қасиеттері. Анықталған интегралдың қолданылуы
2. Жоғары шегі айнымалы интегралдың туындысы
3. Ньютон-Лейбниц формуласы
4. Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру
5. Анықталған интегралда бөлшектеп интегралдау
1. Декарт координатындағы ауданды есептеу
2. Полярлық координатасымен берілген қисықпен шектелген фигураның ауданын есептеу
3. Дененің көлемін белгілі көлденең қимасы бойынша есептеу
4. Қисықтың доғасының ұзындығы және доғаның дифференциалы
5. Айналу денесінің бетінің ауданы
6. Меншіксіз интегралдар

Дәріс сабақтың мазмұны:
1. Анықталған интеграл және оның қасиеттері. 1-Анықтама. [a,b] кесіндісінде f функциясы берілсін. [a,b] кесіндісін нүтелерімен бөліктерге бөлейік. Әрбір дербес аралығынан кезкелген нүктесін алайық. Және қосындысын құрайық. Бұл қосынды интегралдық қосыды деп аталады. деп белгілейік.
Егер дағы интегралдық қосынды тің шегі (егер ол бар болса) f функциясының [a,b] кесіндісіндегі анықталған интегралы деп аталады. және ол былай белгіленеді.
а сан анықталған интегралдың төменгі шегі, ал в саны жоғары шегі деп аталады.
Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері.
1-қасиет. Тұрақты көбейткішті анықталған интегралдың таңбасының алдына шығаруға болады, яғни .
2-қасиет. Бірнеше функциялардың алгебралық қосындысының анықталған интегралы сол қосылғыштардың анықталған интегралдарының қосындысына тең болады, яғни .
3-қасиет. [a,b] кесіндісінде, мұндағы a>, -1963.
2. Фихтенгольц Г. М. Математикалық анализ негіздері, 2 Том.
3. Н.Темірғалиев. Математикалық анализ. А., <<Мектеп>>, 1987.

ДӘРІС 24-27. Екі айнымалы функциялар. Олардың негізгі ұғымдары. Дербес туындылары. Дифференциалы. Күрделі функцияны дифференциалдау.

Дәріс сабақтың құрылымы:
1. Бірнеше айнымалының функциясының шегі
2. Бірнеше айнымалының функциясының үздіксіздігі
3. Бірнеше айнымалының функциясының дербес туындылары

Дәріс сабақтың мазмұны:
1-Анықтама. Егер Д облысындағы тәуелсіз х, у айнымалыларының әрбір қос (х,у) мәніне қандай да бір ереже немесе заң бойынша z - тің бір мәні сәйкес келсе, онда айнымалы z Д жиынындағы х, у тәуелсіз айнымалыларының функциясы делінеді. Былай белгіленеді: т.б.
2-Анықтама. функциясы анықталатын х пен у-тің (х,у) қос мәндерінің жиынтығы, сол функцияның анықталу облысы немесе бар болу облысы деп аталады.
1. Бірнеше айнымалының функциясының шегі.
Центрі нүктесінде жатқан дөңгелектің іші сол нүктенің төңірегі деп аталады. Егер дөңгелектің радиусы болса, онда нүктенің төңірегі делінеді. нүктенің төңірегінде жатқан кезкелген нүктенің сол нүктеден қашықтығы -дан кіші болатындығы анық.
Анықтама. Егер кезкелген сны үшін нүктесінің төңірегі табылып, сол төңіректің кезкелген нүктесі үшін немесе теңсіздігі орындалса, в саны екі айнымалының функциясы -нің -дағы шегі деп аталады және деп жазылады. Екі айнымалының функциясының шегі нөлге тең болса, ол шексіз аз шама деп аталады.
2. Бірнеше айнымалының функциясының үздіксіздігі.
Анықтама. нүктесі f(x,y) функциясының анықталу облысында жатсын. Егер (1) теңдігі орындалса, онда функциясы нүктесінде үздіксіз деп аталады, әрі нүктесі нүктесінде анықталу облысында жатып кезкелген еркін бағытпен ұмтылады. Облысытың әрбір нүктесінде үздіксіз функция сол облыста үздіксіз функция деп аталады. Егер кезкелген бір нүктесінде (1) шарт орындалса, онда нүктесі функциясының үзіліс нүктесі деп аталады. (1) шарт төмендегідей жағдайларда орындалуы мүмкін:
1) функциясы нүктесінен басқа, оның төңірегіндегі барлық нүктелерде анықталған болса.
2) функциясы нүктесінің төңірегіндегі барлық нүктелерде анықталған болса, бірақ шегі болмаса.
3) функциясы нүктесінің төңірегінде анықталған болса, және шегі бар болса, бірақ болса.
3. Бірнеше айнымалының функциясының дербес туындылары.
Екі айнымалының функциясының -ті қарастырайық. Екі айнымалының біреуін тұрақтандырайық, мысалы у-ке тұрақты мәнін берейік те х-ті өзгертетін болсақ, онда z те бір айнымалының функциясы болады. Енді оның нүктесіндегі туындысын есептейік. Осы өсімшесін береміз, сонда функция өсімше алады, мұндағы (х бойынша алынған) функцияның дербес өсімшесі дейміз. Туындының анықтамасы бойынша, ол мына шекке тең болмақ: . Бұл функциясының нүктесінде х бойынша алынған дербес туындысы деп аталады және немесе деп белгілейді. Сонда болады. Осыған ұқсас у бойынша алынған дербес туынды былай анықталады. .
Ұсынылған әдебиеттер:
1. Х.И.Ибрашев, Ш.Т.Еркеғұлов. Математикалық анализ курсы. 1-2 том. А., <<Қазақтың мемлекеттік оқу-педагогика баспасы>>, -1963.
2. Фихтенгольц Г. М. Математикалық анализ негіздері, 2 Том.
3. Н.Темірғалиев. Математикалық анализ. А., <<Мектеп>>, 1987.

ДӘРІС 28-30. Екі айнымалы функция экстремумы, ең үлкен және ең кіші мәндері. Бағыты бойынша туынды. Градиент.
1. Жоғарғы ретті дербес туындылар
2. Толық өсімше және толық дифференциал
3. Толық дифференциалдың жуықтап есептеуге қолданылуы.
4. Скаляр өріс
5. Бағытталған туынды
6. Градиент.
Жоғарғы ретті дербес туындылар.
екі айнымалының функциясы берілсін. Дербес туындылар жалпы айтқанда х және у айнымалыларының функциясы болады. Сондықтан олардан тағы да дербес туынды табуға болады. Екі айнымалының екінші ретті туындысы төртеу болады. Өйткені функциясының әрқайсысын х және у бойынша дифференциалдаймыз. Оларды былай белгілейміз.
,. Т.с. Жалпы айтқанда n-ші ретті туынды (n-1)-ші ретті туындыдан алынған бірінші ретті туынды болады. Әртүрлі айнымалысы бойынша алынған екінші ретті немесе жоғарғы дербес туындылар аралас дербес туындылар деп аталады.
Толық өсімше және толық дифференциал..
екі айнымалының функциясы берілсін. Х және у аргументтері сәйкес өсімшелерін алсын. Сонда функциясы толық өсімшесін алады, ол формуласымен өрнектеледі. Яғни (*).
Анықтама.Өсімшенің -ке қарағанда сызықтық бөлігін құрайтын қосылғыштары өсімшенің толық дифференциалы деп аталады. да dz немесе df деп белгіленеді. болады. Сонда (*) теңдік былай жазылады. . Осыдан деген жуық теңдік аламыз. Тәуелсіз айнымалылар өсімшесі -ті тәелсіз айнымалының дифференциалы деп атаймыз да dx және dy пен белгілейміз. Сонда болады. n>2 болғанда осыған ұқсас болады.
Толық дифференциалдың жуықтап есептеуге қолданылуы.
Айталық (х,у) нүктесіндедифференциалданатын екі айнымалының функциясы берілсін. Оның толық өсімшесі . Бұдан және болғандықтан болады, мұндағы . Сонда болады.
Күрделі функцияның туындысы. Толық туынды. Күрлелі функцияның толық дифференциалы.
теңдеуіндегі u және v тәуелсіз айнымалылары x пен y тің функциясы болсын . Сонда z x пен y аргументтерінің күрделі функциясы болады. күрделі функциясының дербес туындысы былай анықталады: , .
Егер , мұндағы y=y(x), u=u(x), v=v(x), болса, онда z бір айнымалы х-тің функциясы болады да туындыны табу туралы сұрақ қоюға болады. Сонда
Скаляр өріс.
Анықтама. Әрбір Р нүктесіне кезкелген бір скаляр шама u-дің сан мәні сәйкес келетін кеңістіктің бөлігін скаляр өріс деп аталады. Мысалы егер u=F(x,y,z) Доблысында берілсін M(x,y,z) нүктесіндегі температураны көрсетсе, онда скаляр температура өрісі берілген деп аталады. Егер Д облысы сұйықпен немесе газбен толтырылса және u=F(x,y,z) қысымды көрсетсе, онда қысымның скаляр өрісі т.с.с деп атаймыз.
Анықтама. Скаляр өрістің деігейлік беті деп (немесе эквипотенциалды беттер) өріс функциясы u=F(x,y,z) С-ға тең бірдей мән қабылдайтын кеңістіктің барлық нүктелерінің жиынтығын айтамыз. Сонымен беттің теңдеуі С=F(x,y,z) болады.
Бағытталған туынды.
Д облысында дифференциалданатын скаляр өрістің функциясы u=u(x,y,z) берілсін. Осы өрісте M(x,y,z) нүктесін қарастырайық. М нүктесінен бағыттаушы косинустары болтын векторын жүргізейік. векторының бойынан М нүктесінен қашықтығы болатын нүктесін қарастырайық.
Анықтама. -дағы қатынасының шегі, u=u(x,y,z) функциясынан (x,y,z) нүктесінде векторы бағытымен алынған туынды деп аталады да деп белгіленеді. Сонымен болады. Яғни болады. Дербес туындылардың өзі бағытталған туындының дербес жағдайы болып табылады.
Градиент.
U=u(x,y,z) функциясы берілген Д облысының әрбір нүктесінде координат остеріндегі проекциялары дербес туындылардың сол нүктедегі мәндері болатын векторды анықтайық. Ол вектор u(x,y,z) функциясының градиенті деп аталады. және grad u деп белгіленеді. Сонда . Соған байланысты Д облысында градиентердің векторлық өрісі анықталады деп атайды.

3 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТАР

ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ 1-2. Анықталмаған интеграл және интегралдаудың негізгі әдістері

* Анықталмаған интегралды тікелей есептеу.
* Бөліктеп интегралдау. Айнымалыны ауыстыру әдісі.

Интегралды есепте
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
10 11) 12)
13) 14) 15)
16) 17) 18)

ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ 3-5. Рационал функцияларды интегралдау

* Рационал және иррационал функцияларды интегралдау.
* Тригонометриялық функцияларды интегралдау.

Интегралды есепте
1) 2) 3)

4) 5) 6)
7) 8) 9)
10) 12) 13)
13) 14) 15)
16) 17) 18)

ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ 6-12. Анықталған интеграл. Ньютон - Лейбниц формуласы. Есептеу әдістері

* Ньютон-Лейбниц формуласы.
* Бөліктеп интегралдау. Айнымалыны ауыстыру әдісі.

Есепте
1) 2) 3)
4) 5) 6) .
7) 8) 9) .
10) 11) 12)
13) 14) 15)

* Жазық фигураның ауданын табу.
* Доганың ұзындығын есептеу.
* Айналу денесінің көлемін табу.

1) қисығымен және x=0, x=ln2 түзулерімен, ал төменгі жағынан Ох осімен шенелген дененің ауданын есепте
2) қисығымен аралығында және Ох осімен шенелген дененің ауданын есепте
3) қисығымен және x=1, x=l түзулерімен, ал төменнен Ох осімен шенелген қисық сызықты трапецияның ауданын тап
4) қисығымен және Ох осімен шенелген дененің ауданын тап
5) қисығымен және x=1, x=l түзулерімен, ал төменнен Ох осімен шенелген дененің ауданын тап
6) параболасымен Оу осімен шенелген дененің Оу осін айналғаннан пайда болған фигурасының көлемін табыңыз
7) және қисықтарының доғалары мен дененің Ох осін айналғаннан пайда болған фигурасының көлемін табыңыз
8) аралығында функциясымен берілген қисықтың айналуынан пайда болған фигураның бетінің ауданын тап
9) қисығының доғасының ұзындығын табыңыз
10) қисығының аралығындағы доғасының ұзындығын табыңыз

ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚ 13-15. Екі айнымалы функциялар. Олардың негізгі ұғымдары.

* Екі айнымалы функцияның анықталу облысын табу.
* Дербес туынды мен толық туындыны табу.
* Толық дифференциалдың жуық есептеулерге қолданылуы.

Функцияның анықталу облысын тап
1) 2) 3)
4) 5)
6) Егер болса неге тең?
7) Егер болса функциясының мәнін анықта
8) функциясының нүктесіндегі мәнін тап
9) болса, неге тең?
10) -ті тап
11) функциясының х айнымалысы бойынша дербес туындысын тап
12) функциясының х айнымалысы бойынша дербес туындысын тап
13) Егер болса - ті тап
14) -ті тап
15) Егер
16) Егер
17) Егер
18) -ті нүктесіндегі мәнін тап
20) 21)
22)
23)
24) 25)
26) Жуықтап есепте
27) функциясынан x=0,y=1 болғандағы нің жуық мәнін есепте.
28) функциясынан x=1,y=0 болғандағы нің жуық мәнін есепте.

4 СТУДЕНТТІҢ ӨЗДІК ЖҰМЫСЫ

4.1 Студенттің өздік жұмысын ұймдастыру жөніндегі әдістемелік ұсынымдар
№1 СӨЖ.
[9], 121-124бет, №1676-1831(тақтары) 124-129 бет, №1832-2011(тақтары)
№2 СӨЖ.
[9], 129-131 бет, №2012-2067(тақтары)
№3 СӨЖ.
[9], 131 бет, №2068-2089 (тақтары)
№4 СӨЖ.
[9], 132-135 бет, №2090-2230(тақтары)
№5 СӨЖ.
[9], 111-114 бет, 1592-1623(тақтары)
[9], 114-116 бет, №1628-1648(тақтары)
№6 СӨЖ.
[9]117-120 бет, №1650-1675; 136-137 бет, №2231-2258(тақтары)
[9], 137-141 бет, 2259-2295; №2301-2317(тақтары)
№7 СӨЖ.
[9], 153-157 бет, №2455-2518(тақтары)
№8 СӨЖ.
[9], 157-165 бет, №2519-2609(тақтары)
№9 СӨЖ.
[9], 148 бет, №2366-2393; 150 бет, №2426-2438(тақтары)
№10 СӨЖ.
[9], 193-199 бет, №2953-2958; 196-197 бет, №2983-3015(тақтары)
№11 СӨЖ.
[9], 199-211 бет,
№3036-3089; №3094-3113; №3124-3138; №3145-3155; №3176-3205; №3219-3229 (тақтары)
№12 СӨЖ.
[9], 213-215 бет, №3259-3283; №3291-3295(тақтары)

4.2 Студенттердің білімін ағымдағы және бақылауға арналған бақылау тапсырмаларының немесе рефераттар тақырыптарының тізімі (тесттер, сұрақтар, коллоквиумдар және т.б.) және т.б.

Аралық бақылау тапсырмалары.

1) Интегралды есепте
А) B) C) D)
E)
2) Есепте
А) В) С)
D)
E)
3) Есепте
A) B) C) D) E)

4) Есепте .,
A) B) C) D) E)
5) Есепте
A) B) C) D) E)
6) Есепте
A) B) C) D) E)
7) Есепте
A) B) C) D) E)
8) Есепте
A) B) C) D) E)
9) Есепте
A) B) C) D) E)
10) Есепте
A) B) C) D) E)
11) Есепте
А) . B) . C). D) . E) .
12) . Есепте
А) . B) . C) . D) . E) .

13) . Есепте
А) . B) . C) . D) . E) .
14) Сызықтармен шенелген фигураның ауданын тап у=0, у=1, у=х3
A. 1. B. . C. . D.. E. .
15) Сызықтармен шенелген фигураның ауданын тап: х=0, х=2, у=0, у=ех
A. . B. . C. . D. . E. .

16) Сызықтармен шенелген фигураның ауданын тап
A. 13. B. . C. . D. . E. .

* ӘДЕБИЕТТЕР
НЕГІЗГІ ӘДЕБИЕТТЕР
* Х.И.Ибрашев, Ш.Т.Еркеғұлов. Математикалық анализ курсы. 1-2 том. А.: Қазақтың мемлекеттік оқу-педагогика баспасы, 1963.
* Н.Т.Темірғалиев. Математикалық анализ. Том - 1, Алматы: Мектеп, 1987. -288 б. Том - 2. Алматы: Ана тілі, 1991. -400 б. Том - 3. Алматы: Білім, 1997. -432 б.
* Г.М.Фихтенгольц. Дифференциалдық және интегралдық есептеулер курсы. Том - 1, Алматы: Мектеп, 1970. -634 б. Том - 2, Алматы: Мектеп, 1971. -664 б.
* К.А.Бохан, И.А. Егоров, К.В. Лащенов. Курс математического анализа. Том - 1. Москва: Просвещение, 1965. -436 с. Том - 2, 1966. -380 с.
* Х.И.Ибрашев, Ш.Т.Еркеғұлов. Математикалық анализ курсы. Т - 1,2. Алматы, 1963.
* Л.Д.Кудрявцев. Курс математического анализа. В 3 томах. М.: Дрофа; т.1 - 2003. -704с.; т.2 - 2004. -720с.; т.3 - 2006. -351с.
* В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. Математический анализ. В 2-х томах. М.: Изд-во МГУ. Ч.1: 2-е изд., перераб., 1985. - 662с.; Ч.2 - 1987. - 358с.
* Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Москва: Наука, 1990. -624 с.
* Г.Н.Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. Москва: Наука, 1969. -440с.
* Н.А.Давыдов, П.П.Коровкин, В.Н.Никольский. Сборник задач по математическому анализу. М.: Просвещение, 1973. -256с.
* О.А. Жәутіков. Математикалық анализ курсы. Алматы, 1958.
* Б.Т. Төлегенов. Математикалық анализден лекциялар курсы. Алматы, 1994.
* В.А.Ильин, Э.П.Поздняк. Основы математического анализа. М.: Наука, 1973. -448 с.
* С.М.Никольский. Курс математического анализа. Т - 1,2. М.: Наука, 1983.
* В.Ф.Бутузов и др. Математический анализ в вопросах и задачах. 4-е изд., исправ. М.: Физматлит, 2001. -480 с.
* Г.Е.Берікханова., А.А.Анияров, Г.К.Каримова. Фурье қатары, Фурье түрлендіруі және оның қолданылуы. Семей: Printmaster, 2008. -156 б.
ҚОСЫМША ОҚУ ӘДЕБИЕТТЕРІ
1. Л.Д.Кудрявцев. Математический анализ. М.: Высшая школа, 1970.
2. Л.Д.Кудрявцев. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1989.
3. П.П.Коровкин. Математический анализ. М.: Просвещение, 1963.
АНЫҚТАМА ӘДЕБИЕТТЕРІ
1. Г.И.Запорожец. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1966.
2. П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевников. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Оникс 21 век, 2003.
3. И.И.Ляшко, А.К.Боярчук, Я.Г.Гай, Г.П.Головач. Справочное пособие по высшей математике. М.: Научная и учебная литература, 2007.

Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

Ақпарат

Қосымша

Email: info@stud.kz

Іздеу
Файл қосу
Презентациялар
Тегін
Кабинет
Баланс
Таңдаулы жұмыстар
Cатып алған жұмыстарыңыз
Менің файлдарым
Презентацияларым
Сатылым статистикасы