Үшбұрыш бұрыштары арқылы дәлелдеу

ПИФАГОР ТЕОРЕМАСЫНЫҢ ДӘЛЕЛДЕУЛЕРІ

БУЖКЕНОВ СҰЛТАН
Солтүстік Қазақстан облысы, Уәлиханов ауданы, Көктерек ауылы
Елтай орта мектебі
Жетекшісі: математика пәнінің мұғалімі Габитова З.М.

Қазақстан Республикасының Президенті Н.Ә. Назарбаевтың 2000 жылдың 18
қаңтарында Парламент палаталарының бірлескен отырысында сөйлеген сөзінде,
атап айтқанда, «Қазақстанды таяудағы он жыл ішінде әлемдегі бәсекеге
барынша қабілетті 50 елдің қатарына қосу стратегиясында» білім беру
мәселесіне де баса назар аударылды.
Геометриядағы ең маңызды теорема – Пифагор теоремасы. Бұл теорема
Пифагордың есімімен аталады. Пифагор – гректің әйгілі ғұлама-ғалымы,
ойшылы, ұстаз. Ол Эгей теңізіндегі Самос аралында дүниеге келіп, осы аралда
жастық шағын өткізген. Өмірінің ақырғы кезеңдерін (б.д.д. 530жж.) Пифагор
Италияның оңтүстігіндегі грек колониясы Кротон қаласында өткізген. Осы
қалада ол төнірегіне білім қуған жастарды топтастырып, ғылыми мектеп –
пифагорлықтар мектебін ашқан. Оның зерттеулері арифметиканы да, музыканы
да, әрине, геометрияны да қамтыған. Пифагордың негізгі ойы – «Сандарды
адамдар мен құдайлар ойлап тапқан». Пифагорлықтар әлемнің құпиясы сандардың
заңдылығында деп сенген. Сондықтан пифагорлықтардың ұраны – «Бар нәрсе
сан». Математика сөзін алғаш пайдаланғандар да пифагорлықтар, сондықтан
математика сөзі өзінің бастауын осы пифагорлықтардан алады: гректің µαθηµα
(матэма) сөзі – тану, білу, оқу, ғылым деген сөздерді білдіреді,
пифагорлықтардың µαθηµα-сы (матэмасы) төрт бөлімнен тұрған: арифметика,
геометрия, музыка және астрономия.
Пифагор теоремасы былай оқылады: «Тікбұрышты үшбұрыштың
гипотенузасының квадраты оның катеттерінің квадратына қосындысына тең»,
яғни

c2=a2+b2
Пифагор теноремасының 100-ден астам дәлелдемелері бар. Мен олардың
кейбір түрлерін мысалға келтірмекпін.
1. Трапеция ауданының формуласын пайдаланып дәлелдеу.
Пифагор теоремасының ерекше бір дәлелдемесін 1876 жылы АҚШ-тың сегізінші
президенті Дж. Гарфильд трапеция ауданының формуласын пайдаланып тапқан.

Тікбұрышты тарпецияны қарастырайық. Оның табандары a мен b (b ≤ a), ал
биіктігі табандарының қосындысына тең болсын. Осы a жәнеb кесінділерін
трапецияның биіктігіне өлшеп салып, кесінділердің ұштарын қарсы бұрыштардың
төбелерімен қосатын кесінділр жүргізген соң, үш тікбұрышты үшбұрыштар
аламыз. Катеттері a,b; a bжәне c,c болатын тікбұрышты үшбұрыштардың
аудандарының қосындысы:

ал екінші жағынан бұл аудан трапецияның ауданына тең екенін ескерсек,
, онда аламыз, осыдан
Осымен, a2 +b2 . Бізге дәлелдеу керегі де осы еді.
2. Квадрат арқылы теореманы дәлелдеу.
Тікбұрышты Т үшбұрышының катеттері а мен b, ал гипотенузасы с болсын. c2=a2
+b2 екенін дәлелдейік.
Ол үшін қабырғасы a+b болатын Q квадратын салайық. АВ, ВС, СD, DA
кесінділері Q квадратынан катеттері a мен b болатын тікбұрышты Т1, Т2, Т3,
Т4 үшбұрыштарын кесіп алатындай етіп, квадраттың қабырғаларынан А, В, С, D
нүктелерін алайық. АВСD төртбұрышы қабырғасы с болатын квадрат екенін
көрсетейік. Т1, Т2, Т3, Т4 үшбұрыштарының бәрі берілген Т үшбұрышына тең.
Сондықтан, оладың гипотенузалары да с-ға тең. Егер α мен β берілген
үшбұрыштың сүйір бұрыштарының мәндері болса, онда
α+ β=900. АВСD төртбұрышының А төбесіндегі γ бұрышы α мен β бұрыштарымен
бірге жазыңқы бұрыш құрайды. Сондықтан α+ β+ γ= 1800.

α+ β=900 болғандықтан, γ=900. Сонымен, АВСD төртбұрышы бұрыштары тік ромб,
яғни квадрат болады. Оны Р әріпімен белгілейік. Салуымыз бойынша Q квадраты
квадраты мен Т үшбұрышына тең төрт Т1, Т2, Т3, Т4 тікбұрышты үшбұрышынан
құралған. Ауданы өлшеудің 30қасиеті бойынша SQ=SP+4ST, бұл жерде SQ=(a+b)2,
S=c2. ST= a2+2ab+b2=c2+2ab.
Демек, с2=а2+ b2
3. Перпендикуляр және көлбеу арқылы дәлелдеу.
АВС - тікбұрышты үшбұрыш. С төбесінен СD (h) биіктігі жүргізейік. Осы
сияқты 3 жұп үшбұрыштарды аламыз:

ADC~ACB (А бұрышы – ортақ).

BDC~BCA (В бұрышы – ортақ).

ADC~CDB (ADC= CDB).
Бұл жұптарға байланысты қабырғалар арасындағы қатыстарды табайық:
1

2)
b а

3)
с
Бұл алынған пропорциялара ұқсас ұзындықтар бар. Мәселен,
пропорциясында қайталанды. Тікбұрышты үшбұрыштың катеті ол –
гипотенуза мен осы катеттің гипотенузаға проекциясы арасында пропорцианал
болып табылады: b2=bcc, а2=аcc. Тікбұрышты үшбұрыштың биіктігі ол –
катеттердің гипотензаға проекциясының арасындағы орта пропорцианал болып
келеді: немесе h2=acbc.
Осыдан, b2=bcc және b2=bcc.
Осы теңдіктерді қосып осыны аламыз:
а2+ b2 = аcc+с=с(c∙c 2.
Демек, с2=а2+ b2
4. Тікбұрышты үшбұрыштардың бұрыштары арқылы (cosα).
АВС – берілген тікбұрышты үшбұрыш. С төбесінен CD биіктігін саламыз. cоs A=
Осыдан АВ∙AD=AC2. cоs B= . Осыдан АВ∙ВD=ВС2.

Алынған теңдіктерді ала отырып және АD+DС=АВ, осыны аламыз:

АС2+ВС2=АВ(AD+DВ) =АВ2.

Теорема дәлелденді.

Қорытындылай келе, Пифагор теоремасының көрсетілген дәлелдеулерін мен
осылай бөлдім:

- Трапеция ауданы арқылы дәлелдеу;

- Квадрат ауданы арқылы дәлелдеу;

- Көлбеу арқылы дәлелдеу;

- Үшбұрыш бұрыштары арқылы дәлелдеу.

Пифагор теоремасының 100-ден аса дәлелдеулері бар. Мен олардың тек
кейбіреулерін алдарыңызға ұсындым. Бұл дәлелдеулер есептеуде қолдануға
тиімді, әрі мектеп оқушыларына ұғынықты. «Еліміздің болашағы – білімді
ұрпақ қолында» дегендей, бүгіннен бастап, білім алып, алға ұмытылайық.

Пайдаланған әдебиеттер тізімі:

1. А.Д.Александров, «Геометрия» (оқу құралы), 2003 ж.

2. А.Е.Әбілқасымова, «Қызықты математика», 2007 ж.

3. А.В.Погарелов, «Геометрия» (оқу құралы), 2001 ж.

4. Ж.Юсупов, «Геометрия» (оқу құралы), 2004 ж.

5. А.Н.Колмогоров, «Геометрия» (оқу құралы), 1973 ж.

-----------------------
һ

Т1 Т2

Т3 Т4